Análisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS

7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS

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Matemticas 2 de Bachil lerato Ciencias y Tecnologa


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Se llamaTasa de Var iacin M edia

de una funcin en un intervalo al cociente

entre los incrementos de la funcin y de la variable, es decir:

T.V.M. [a,b] =)()(

Grficamente:

Como podemos ver, si dicha tasa es positiva indica que la funcin es creciente en dicho

intervalo, mientras que si es negativa la funcin ser decreciente.Adems, cuanto mayor sea dicha T.V.M. indicar un crecimiento (o decrecimiento) ms

rpido de la funcin en el intervalo correspondiente.

Ejercicio:

Calcular la tasa de variacin media de la funcin 25)( en los

intervalos [1,2] y [4,5] e interpretar los resultados.

Si ahora consideramos un nmero (positivo o negativo), la T.V.M. en el intervalo

ser:)()(

Si el valor se va haciendo cada vez ms pequeo (se acerca a 0), dicha tasa nos dar lavariacin de la funcin en el punto .

Se llama y la designaremos por , al lmite de

la tasa de variacin media cuando el incremento de la variable tiende a cero, es decir:

)()(lim)('

0


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Ejemplo: Calcular la derivada de la funcin 3)( 2 en el punto

3)3(lim)3(

lim0

03lim

2121lim53)1(1lim)1()1(lim)1('

00

2

0

2

0

2

00

Ejercicio: Calcular la derivada de la funcin ( ) en el punto y en el

punto

Si llamamos , la derivada puede expresarse como:

)()(lim)('

Expresin que resulta ms sencilla de utilizar en la prctica.

Ejercicio: Calcular la derivada de la funcin 4)(2

en el punto

Demostracin:

Sabemos que para que una funcin sea continua en , tiene que cumplir que

lim ( ) ( )

Calculamos entonces eselmite:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim lim( ) lim ( )

'( ) 0 ( ) ( )

Y por tanto la funcin ser continua en


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Por tanto, antes de ver si una funcin es derivable en un punto, veremos si es continua

en dicho punto, ya que si no lo es, tampoco ser derivable y no habr que hacer nada

ms.

En las funciones a trozos, se hablar dederivadas laterales:

)()(lim)(' ;

)()(lim)('

Y la derivada tendr sentido si ambas derivadas laterales coinciden.

Ejemplo1: Calcular laderivada de la funcin12

11)(

2

en el 1

Primero vemos si es continua:

2)1( ; 2)(lim22lim)(lim

21lim)(lim

1

11

2

11

Luego la funcin es continua en 1

Calculamos las derivadas laterales:

2)1(lim1

11lim

0

0

1

1lim

1

21lim

1

)1()(lim)1('

11

2

1

2

11

21

12lim

0

0

1

22lim

1

)1()(lim)1('

111

Como ambas derivadas laterales coinciden podemos decir que la funcin es derivable en

el 1 y que adems su derivada vale 2:


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Ejemplo2: Calcular la derivada de la funcin

2 0

( )0

1

en el 0

Primero vemos si es continua:

;

2

10

0

10

lim ( ) lim 1

lim ( )

lim ( ) lim 01

Luego la funcin no es continua en 0 y por tanto tampoco es derivable en 0.

Ejercicio:

Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a)112

1 en b)

0

0

2

en

c) en y en

d) 2( ) 6 en y en

e)0 1

( )1 1

en

Ya hemos comentado que la derivadatiene que ver con la variacin de una funcin.

En fsica, por ejemplo, la derivada del espacio respecto al tiempo indica la velocidadinstantnea.

Pero nos vamos a centrar en la interpretacin de la derivada desde el punto de vista de la

geometra:

Consideremos la recta que une los puntos y :


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La pendiente de esa recta se calcula como la segunda coordenada del vector director

entre la primera. Como dicho vector es ( ) ( ), , se obtiene que la

pendiente de esa recta ser:( ) ( )

Si hacemos que se acerque a , (que en matemticas es tomar lmite), dicha recta

terminar tocando a la funcin slo en el punto , y por tanto se convertir en la

recta tangente a la grfica de en dichopunto, y su pendiente ser:

( ) ( )lim

Que es justamente la definicin de derivada. Por tanto:

La ecuacin punto-pendiente de dicha rectatangente ser:

))((')(

Como adems sabemos que la pendiente de una recta es la tangente trigonomtrica del

ngulo que forma dicha recta con la parte positiva del eje X, podemos decir que:


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As, si la derivada de una funcin en un punto vale 1, podemos decir que la recta

tangente a la grfica de dicha funcin en ese punto forma un ngulo de 45 con eje X, ya

que 45 1

La a la grfica de una funcin en un punto es la recta perpendicular a la

recta tangente en dicho punto. Como sabemos que las pendientes de dos rectas

perpendiculares son inverso-opuestas,

ser:

1( ) ( )

'( )

Ejemplo:

Calcular la ecuacin de la recta tangente y de la recta normal a la funcin

3)(2

en el 1

Calculamos

Como vimos en el ejemplo,

Luego sustituyendo en la ecuacin de la recta tangente tenemos:

O lo que es lo mismo:

Y sustituyendo en la ecuacin de la recta normal:1

5 ( 1)3

O lo que es lo mismo:1 16

3 3

Ejercicio:Calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la funcin

432)(2 en el punto de abcisa 2


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Una funcin es derivable en un intervalo si lo es en todos los puntos del intervalo.Para estudiar por tanto la derivabilidad de una funcin habr que tener en cuenta eldominio y los puntos donde puede no ser continua (donde cambia la funcin en las

funciones a trozos).

Ejemplo:

Estudiar la derivabilidad de la funcin2

3 1 1( )

1 1

Como su dominio es , el nico punto donde puede no ser continua o derivable es

en el 1.

Vemos si es continua:

11

2 111

lim ( ) lim3 1 2lim ( ) 2 (1)

lim ( ) lim 1 2

Luego la funcin es continua en 1.

Vemos si es derivable:

1 11

2 2

1 1 1 11

3 1( ) (1) 3 1 2'(1 ) lim lim lim 3

1 1 1

( ) (1) 1 2 1 ( 1)( 1)'(1 ) lim lim lim lim lim( 1) 2

1 1 1 1

Como las derivadas laterales no son iguales, esta funcin no es derivable en el 1.

Luego la funcin es derivable en menos en el 1.

Supongamos una funcin derivable en un determinado intervalo.

Se llama funcin derivada de f (o simplemente ) a una nueva funcinque asocia a cada valor de dicho intervalo laderivada de la funcin en ese punto, es

decir, .A la derivada de la llamaremos o bien :

)()(lim)(')(

0

Destacar que la derivada de una funcin en un punto daba un nmero, mientras que al

hacer la funcin derivada se obtiene una nueva funcin


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Ejemplo:

Calcular la funcin derivada de 2)(

22lim2lim002lim

2limlim

)()(lim)('

00

2

0

222

0

22

00

Luego la funcin derivada de la funcin 2)( es la funcin 2)('

Esto permite calcular la derivada en cualquier punto simplemente sustituyendo, sinnecesidad de volver a hacer los lmites para cada punto.

Por ejemplo, en este caso, ,...10)5(';4)2(';2)1(';0)0('

Ejercicio:

Calcular las funciones derivadas de: )(;2)(;13)( 2

Tambin se puede hablar de la funcin derivada de , que se llamade f y se representa por f (x)

De la misma manera se hablar de la tercera, cuarta, quinta derivada. En general se

habla de laderivada n-sima,

En el ltimo cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente,

sintetizaron la maraa de mtodos infinitesimales (clculo de lmites) usados por sus

predecesores, y desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas dederivacin-, que nos permite calcular derivadas de manera mucho ms sencilla:


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f(x)=k f(x)=0 f(x)=8 f(x)=0

)( 1)('

)(1

)('3

)(2

3)('

21

)(2

1

2

1)(' 2

1

1

)( 1

1)(' 3)(

3 23

1)('

)( )(' 2)( 22)('

)( )('

log)(1 1

`( ) 3log)(1 1

`( )3

)( 1)('

( ) '( ) cos

( ) cos '( )

( ) 2 22

1'( ) 1 sec

cos

( )2

1'( )

1

( ) arccos2

1'( )

1

( )2

1'( )

1


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)( )(' 23)( 6)('

)()( )(')(' 325)(3

215)('2

)()( )(')()()(' 3)(1

3)('32

)(

)(2

)(

)(')()()('

1

2)(

3

2

23

223

1

)3(214)('

Ejercicios:

Calcular las derivadas de:

1

1)()

1)()

325

132)()

4)()log23)()

1)()5log)()2)()

35

2)()1)())()

33)()32)()563)()

2

23

4

2

3

23

32

332

Adems de todas estas reglas, hay otra regla fundamental que se usa para derivar

funciones que son a su vez funciones de otras, como por ejemplo 12 .

Dicha regla se llamaregla de la cadena:

)('))((')(


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En el ejemplo anterior, la funcin sera la exponencial y la el polinomio, y siguiendo

esta regla su derivada sera: 212

Otros ejemplos:

2323)(';2)(

331

1)(';)31()(

1232

1)(';3)(

22333

2

2

Podemos crear, usando la regla de la cadena, unas reglas paralelas a las anteriores pero

para funciones compuestas:

)( 1)(' )( )(')(1

21

)(2

1

2

1)(' 2

1

)()(2

)('

1

)( 1

1)(' )( 1

)(

)('

)( )('

)(

)('

)(

)( )(' )( )(')(

log)( log1

)`( )(log log)(

)`(

)(1

)(' )()(

)('


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( ) '( ) cos ( ) cos ( ) '( )

( ) cos '( ) cos ( ) ( ) '( )

( ) 2 22

1'( ) 1 sec

cos( )

2

2

2

1 ( ) '( )

sec ( ) '( )

1'( )

cos ( )

( )2

1'( )

1( )

2

1'( )

1 ( )

( ) arccos 2

1'( )

1arccos ( ) 2

1'( )

1 ( )

( )2

1'( )

1arc ( )

2

1'( )

1 ( )

Ejemplos:

2 25 2 5 2

2 2

1 1( ) ; '( ) ( ) 3 ; '( ) 3 3 10

2

3 1 2( ) log 3 5 ; '( ) ( ) ; '( )

3 5 10 2 2

Ejercicios:

Calcular las derivadas de:3

2 2 2

3 1

13 32

2

2

2 2

3

2) ( ) ) ( ) 1 ) ( ) 1 1

2 3 2) ( ) ) ( ) 3 ) ( )4 log 3 5

1 (2 )) ( ) 5 1 ) ( ) ) ( ) ( (3 1))

1 cos(2 )

) ( ) 1 cos 1 ) ( ) 3log (2 1)


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Este tipo de derivacin se usa para derivar potencias en las que tanto la base como el

exponente son funciones, es decir:( )

( ) ( )

La tcnica de la derivacin logartmica sigue una serie de pasos:

- Tomar logaritmos en ambos miembros de la igualdad:( )

( ) ( )

( )( ) ( )

- Aplicar la propiedad de logaritmo de una potencia:

( ) ( ) ( )

- Derivar en ambos miembros de la igualdad:

'( ) '( )'( ) ( ) ( )( ) ( )

- Despejar '( )

'( )'( ) '( ) ( ) ( ) ( )

( )

Ejemplo: Calcular la derivada de3 2

2( ) 1

Siguiendo los pasos anteriores:

3 22

2

2

2

2

2

3 22 2

2

( ) 1

( ) 3 2 1

'( ) 23 1 3 2

( ) 1

2'( ) 3 1 3 2 ( )1

2'( ) 3 1 3 2 1

1


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Ejercicio:

Calcular la derivada de:

2

) ( ) 2 1 ) ( )

La derivada de una funcin a trozos es otra funcin del mismo tipo cuyos trozos son las

derivadas de los trozos de la funcin original.

Ejemplo:

22

222

)('22

212

)( 2

2

Ntese que no hemos puesto el igual en el 2. Por qu?

La razn es muy sencilla: no sabemos si la funcin es derivable o no en dicho punto, y

hasta que no lo sepamos no podemos decidir si le ponemos el igual o no.

Luego para calcular la funcin derivada de una funcin a trozos lo primero es ver si es

continua (recordemos que si no lo es no es derivable) y luego ver si las derivadas

laterales coinciden. Para esto no hace falta acudir a la definicin original, sino derivarusando las reglas y ver si los lmites de las derivadas de cada trozo coinciden.

Hagamos el ejemplo completo:

Primero vemos si es continua en 2 (Su dominio es todo y en ningn otro punto

tendr problemas de continuidad):

1)2(

)1(1)(lim

12

lim)(lim

112lim)(lim

2

22

2

22

y por tanto es continua

Calculamos su posible funcin derivada (usando las reglas):

22

222

)('2

2212

)(2

2

Para saber si es derivable en 2 calculamos los lmites de las derivadas laterales:


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2

12lim)('lim)2('

222lim)('lim)2('

222

22

La funcin no es derivable en 2

Y por tanto su funcin derivada es:2

2222

)('2

Obsrvese que ya no hace falta calcular las derivadas laterales usando la definicin de

derivada, sino directamente las reglas de derivacin.

:

Si hubiera salido derivable en 2, la funcin derivada hubiera sido

22

222

)('2

Ejercicio:

Calcular la funcin derivada de las funciones:

)

1

123)

22

)

1)1(3

0)


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1.- Calcula la tasa de variacin media de la funcin 3 en los intervalos:

a) [-1,0]; b) [0,2]; c) [2,3].

2.- Calcula la tasa de variacin media en el intervalo [0,2] para las funciones:

1

1)24)2)3) 22423

Calcula, aplicando la definicin, las derivadas de las siguientes funciones en lospuntos que se indican:

3

) ( ) 0

) ( ) 2 1 2

) ( ) 1

4.- Dada la funcin definida mediante , halla la ecuacin de las

rectas tangente y normal en el punto de abscisa 0

5.- Calcula la ecuacin de la recta tangente a la funcin en el punto (1,0)

6.- Halla la funcin derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que

se indican:

1123)()2

012

1)()

11

2)()

22

2

3)()

7.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

4

53)32)32)

32

5)

3

3

2)334)

32

2345

8.- Calcular en que punto la derivada de la funcin 23)(2 vale 1

9.- Para que valor de x la tangente a la curva 8)(2

, ser paralela al eje

OX?


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10.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes funciones en los

puntos que se indican:

3 2 2

2 3 2

) ( ) 2 1 1 ) ( ) 5 8 1 2

2) ( ) 0 ) ( ) ( 1) 02

) ( ) 3 4 2 ) ( ) 6 9 (1,4)

11.- Halla un punto de la funcin en el que la tangente sea paralela a la

recta .

12.- Determina los puntos de la curva en los que la tangente tiene una

inclinacin de 45


1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11)

12) 13) 14)

15) 16) 17)

18) 19)2

20) log

21) 12 22) 23)2

24) 3 26 25)2

13 26)

331

27)

2 5

21

28) 3 29)4

2

3

30) 13

231)

3log

2

3 32)53

1

33)4

2 3 34) 22 5123 35)1


20/58

36)312 37)

2

38) 35 22

39)2

40) 3213

52

41)3

3 42)3cos

21 2 43) n

44) 2( 1) 45)3

cos

14.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones y calcular su

funcin derivada:

a)0

0b)

c)112

1d)

e) f)

221

23)(

g) ( ) h)

i) j)

02

1 cos2

k)11 cos 1

( ) 1

0 1

15.- Calcula a y para que las siguientes funciones sean derivables en todo

a) b)2

2

5 1( )

1


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16.- Dada la funcin ( ) , calcular '( ) , ''( ) , '''( )

17.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes funciones en los

puntos que se indican:

2

) 0, 2, 22

) 1 0,


a) ( ) sec b)

2

( )cos

c) 1 1( ) cos d)2

( ) cos

e)2 cos

( )cos2

f)

2 2 1

( )cos

g)2cos 1

2( ) 1 h)

3

( )

19.- Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva22

1 en el

punto

20.- Hallar el punto de la curva2

5 6 en el que la recta normal es

perpendicular a la recta 5 0

21.- Hallar los puntos de la funcin 21

( ) 4 44

en los que la recta tangente

pase por el punto (0,0)

22.- Halla la funcin derivada de la funcin ( ) 2 1


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23.- Dada la funcin:

214

24

3

)(2

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad y calcularsu funcin derivadab) Existe algn punto donde la derivada valga 0?

c) Calcular la ecuacin de la recta tangente en el punto de abcisa 3

24.- Existe algn punto en esta funcin en el que la derivada sea negativa?Razona

la respuesta

25.- a) Indica, en la grfica de la funcin, los puntos en los que la derivada es cero.

b) En x=2, la derivada es positiva o negativa?. c)Y en x=0?

26.- Una partcula se mueve a lo largo de la grfica de la curva2

2, 1

1

En el punto4

2,3

la abandona y sigue desplazndose a lo largo de la recta

tangente a dicha curva. Cul es sta?

27.- Hallar la ecuacin de la recta que corta perpendicularmente a la curva21 en el origen de coordenadas


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28.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones y simplifica el resultado lo

mximo posible:

a)2

( ) 1 b) 2( ) 2 1

c) ( ) 1 cos cot d) 1( )1

e)1

( )1

f)1

( )1

29.- Hallar todas las posibles rectas tangentes a la curva4 que pasan por el punto

(2,0)

30.- De todas las rectas tangentes a la funcin 1( ) , calcular la que pasa por el

origen de coordenadas

31.- Calcula el valor de sabiendo que la recta tangente a la funcin2

( ) en

el punto de abscisa es horizontal.

32.- Sea : la funcin definida por3

2

2( )

1, y sea P el punto de corte

de la grfica de con su asntota. Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica

de en el punto P.

33- Dada la funcin:

2

0( )

0

a) Calcular y para que sea derivable en todo y calcular su funcin

derivada

b) Representarla grficamente

c) Calcular la ecuacin de la recta tangente a la grfica de en el punto de

abscisa 0d) Existe algn punto donde la recta tangente sea horizontal?

34.- Igual que el ejercicio anterior para la funcin:

21 0

( )0

1

35.- Dada2

( ) , calcular '( ) , ''( ) , '''( )


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36.- Calcula las ecuaciones de la recta tangente y normal en el punto de abscisa x = 0 a

la funcin:3

2

2( ) 2

4

37.- Dada la funcin2

2( )

1 2

Calcular los valores de , y para que sea continua y derivable en todo su

dominio y adems verifique que

38.- Dada la funcin:

2

4 8 2

( ) 4 2 2

4 8 2

a) Estudiar su derivabilidad y calcular su funcin derivada

b) Representar grficamente las funciones y

39.- Una funcin : viene dada por la grfica:

a) Estudiar su continuidad

b) Estudiar su derivabilidad

c) Halla '( 1) , '(1) , '(3)

d) Existe algn intervalo donde la derivada de sea negativa?


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REGLA DE LHPITAL

Esta regla fue enunciada por , en1696 y su aplicacin resulta fundamental en el clculo de lmites:

Sean y dos funciones derivables en un entorno de un punto y tales que

lim ( ) lim ( ) 0 . Entonces:

Si'( ) ( ) '( )

lim lim lim'( ) ( ) '( )

Esta regla tambin es vlido si lim ( ) lim ( ) y si cambiamos el lmite en elpunto por un lmite en el infinito.

Esto significa que la Regla de LHpital sirve para resolver indeterminaciones del tipo

0

0, sin ms que derivar por separado las funciones del numerador y del

denominador.

Ejemplo: Calcular2

0

3 1lim

Como es del tipo0

0, podemos aplicar LHpital y derivar cada funcin del cociente:

2

0 0

3 1 0 6lim ' lim 1

0 cos

La gran ventaja de esta regla es, adems, que es recurrente, es decir, podemos aplicarla

tantas veces como queramos hasta resolver laindeterminacin correspondiente:

Ejemplo: Calcular20

(3 ) 2 3lim

Aplicando LHpital:

20 0 0

(3 ) 2 3 0 (3 ) 2 0 (3 ) 1lim ' lim ' lim

0 2 0 2 2


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Si bien tericamente esta regla no sirve para resolver indeterminaciones del tipo

1 , en muchos casos stas se transforman en indeterminaciones del tipo

0

0, con lo que ya s podemos aplicar LHpital.

Como ejercicio, calcular1

lim cos

Aparecen adems nuevas indeterminaciones que, con un poco de habilidad, se pueden

transformar en indeterminaciones a las que s se les puede aplicar LHpital.

El ejemplo ms notorio son las indeterminaciones del tipo 0 . En este caso

conviene pasar uno de los dos factores como denominador y obtendremos

indeterminaciones del tipo0

0.

Ejemplo: Calcular0

lim

0 0 0 0

2

1

lim 0 lim ' lim lim 01 1

intrumento

Ejercicios:

1.- Calcular los siguientes lmites:

a) lim b)20

1 coslim c)

1

1 1lim

1

d)1

cos

2

lim e)0

lim1

2.- Calcula las asntotas de la funcin: ( )1


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Sea : y :

Se dice que

Existe un entorno del punto , , tal que:, ( ) ( )

, ( ) ( )

De la misma manera:

Se dice que

Existe un entorno del punto , , tal que:

, ( ) ( )

, ( ) ( )

Una funcin es , si es creciente

(decreciente) en todos los puntos del intervalo, o tambin, si

, , , ( ) ( ) ( ) ( )

Es decir, si a valores mayores de la variable independiente le corresponden valores

mayores (menores) de la variable dependiente.


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Consideremos la grfica de una funcin como la siguiente

En ella puede observarse que la funcin es:- Creciente en los intervalos y

- Decreciente en los intervalos y

Como podemos observar, la pendiente de la recta tangente es positiva donde la funcin

es creciente, y negativa donde sta es decreciente.

Recordemos que la pendiente de la recta tangente en un punto era precisamente el valor

de la derivada en dicho punto.

Adems, en aquellos puntos donde la funcin no es ni creciente ni decreciente, la recta

tangente es horizontal, y, por tanto, la derivada en dichos puntos valdr 0.

Teorema 1

Sea : , y derivable en (y por tanto continua). Entonces:

'( ) 0 '( ) 0

Teorema 2

Sea : , , continua en , y derivable en , . Entonces:

'( ) 0 , , ,

Teorema 3

Sea : , , continua en , y derivable en , . Entonces:

'( ) 0 '( ) 0 , ,

,


29/58

De todo esto podemos sacar conclusiones y obtener un mtodo para estudiar la

monotona de una funcin (intervalos donde es creciente y decreciente):

Calcular el dominio de la funcin

Calcular la funcin derivada e igualarla a 0. Esto nos dar los puntos donde la

recta tangente es horizontal, es decir, donde la funcin no es creciente ni

decreciente. A estos puntos se les llama puntos singul ares o puntos crticos.

Dividir el dominio de la funcin en intervalos teniendo en cuenta los puntos

crticos. En caso de que sea una funcin a trozos, tambin habr que tener en

cuenta los puntos donde no sea continua o donde no sea derivable.

Sustituir la primera derivada en un punto de cada uno de esos intervalos y tener

en cuenta que:

0)(' 0

0)(' 0

Ejemplo 1:

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin

296)(23

D =

9123)(' 2

Si igualamos a cero y resolvemos la ecuacin correspondiente:

3,1091232

que son los puntos crticos de la funcin

Teniendo en cuenta estos puntos, el dominio de la funcin queda dividido en tres

intervalos:

Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la derivada:


30/58

09)0(' es creciente en el intervalo 1,

03)2(' es decreciente en el intervalo 3,1

09)4(' es creciente en el intervalo ,1

Ejemplo 2:

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin

2)(

2

D = -{-2}

2

2

2

22

2

2

2

4

2

42

2

22)('

Si igualamos a cero y resolvemos la ecuacin correspondiente:

4,004042

que son los puntos crticos de la funcin

Teniendo en cuenta estos puntos, el dominio de la funcin queda dividido en

cuatro intervalos:

Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la derivada:

055)5('

4es creciente en el intervalo 4,

03

3)3('

4es decreciente en el intervalo 2,4




31/58

Ejercicio:

Calcular los intervalos de monotona de las funciones:

a)3

2( )

4

b) 2( ) 3 1 c)2

( ) ( 1)

d)2

01

( )

4 0

Sea : y :

Se dice que


, ( ) ( )

De la misma manera

Se dice que


, ( ) ( )

Teorema 4

Sea : , y derivable en (y por tanto continua). Entonces:

'( ) 0


32/58

Esto significa que, en los extremos relativos (mximos o mnimos) la recta

tangente es horizontal y por tanto la derivada vale 0.

Los posibles extremos relativos coinciden por tanto con los puntos que seobtienen al igualar la primera derivada a 0 y resolver la ecuacin correspondiente, esdecir, con los puntos crticos.

Para saber si un punto crtico es un mximo o un mnimo relativo basta confijarse en la monotona del intervalo anterior y del posterior. Esto es:

0

)(, 00

0

)(, 00

La segunda coordenada de un punto de la grfica de una funcin se calcula sustituyendo

la primera en dicha funcin.

Ejemplo1:

La funcin 296)(23 tiene dos puntos crticos: el 1 y el 3

Observando su monotona, dicha funcin alcanza un mximo relativo en el punto

Alcanza tambin un mnimo relativo en el punto

Ejemplo2:

La funcin2

)(2

tiene dos puntos crticos: el -4 y el 0 (el -2 no era un punto

crtico, sino que se ha tenido en cuenta en la monotona por no estar en el dominio de la

funcin)

Observando su monotona, dicha funcin alcanza un mximo relativo en el punto

Alcanza tambin un mnimo relativo en el punto

Criterio de la Segunda Derivada

Se puede saber tambin si un punto crtico es un mximo o un mnimo de una funcin

sin necesidad de calcular previamente toda la monotona.

Teorema 4

Sea : , 0 y dos veces derivable en 0 . Entonces:

0 0'( ) 0 ''( ) 0 )(, 00

0 0'( ) 0 ''( ) 0 )(, 00


33/58

Entonces, una vez calculados los puntos crticos, se calcula la segunda derivada (que es

la derivada de la primera derivada, ) y se sustituyen en ella:

Ejemplo1:

La funcin 296)(23 tiene dos puntos crticos: el 1 y el 3

Se han obtenido igualando la primera derivada a 0: 9123)('2

Calculamos la segunda derivada: 126)('' y sustituimos en los puntos crticos:

06)1('' alcanza un mximo relativo en el punto

06)3('' alcanza un mnimorelativo en el punto

Ejercicios:

1.- Comprobar, usando el criterio de la segunda derivada, los extremos relativos de

la funcin del ejemplo 2

2.- Estudiar los extremos relativos de las funciones:

a) 422)( b) 1)( 23

c)4

)(2

d) ( )

e)( 1) 0

( )1 0

Sea : , .

Para calcular los mximos y mnimos relativos de la funcin en dicho intervalo,

habr que buscar entre:

Puntos que anulen a la primera derivada (puntos crticos)

Puntos de discontinuidad de la funcin

Puntos de no derivabilidad de la funcin

Extremos, y , del intervalo

Una vez calculados todos estos puntos, sustituiremos la funcin en todos ellos. El punto

donde valga ms, corresponder al mximo absoluto, y el punto donde menos valga, al

mnimo absoluto.


34/58

Es importante que no exista ningn punto dentro del intervalo donde la funcin se

acerque a infinito (que no tenga asntotas verticales dentro del intervalo), pues sino no

habra mximos absolutos (si se acerca a ) o mnimos absolutos (si se acerca a )

o incluso ambos.Si la funcin no est definida en un intervalo sino en , es importante analizar lo que

pasa con los lmites en y en pues pueden indicar la no existencia de extremos

absolutos.

Ejemplo: Calcular los extremos absolutos de la funcin2

03

( )

2 0

en el intervalo 1,3

En primer lugar, el dominio es 3 , que como no est en el intervalo, no lo

tendremos en cuenta.

El nico punto donde podra no ser contnua o derivable es en el x = 0.

00

02

00

lim ( ) lim 03 lim ( ) 0 (0)

lim ( ) lim 2 0

Luego es continua

Calculamos la derivada:

2

30

3'( )

2 2 0

Vemos las derivadas laterales:

200

00

3 1'(0) lim '( ) lim

33 '(0)

'(0) lim '( ) lim 2 2 2

No es derivable en x = 0

Luego la funcin derivada ser:2

30

3'( )

2 2 0

Si la igualamos a 0 obtendremos los puntos crticos:

2

30 ; 2 2 0 1

3

Luego, en total, los posibles extremos absolutos pueden ser: -1, 0, 1 y 3


35/58

Sustituimos la funcin en todos ellos:

1( 1) ; (0) 0 ; (1) 1 ; (3) 3

2

Luego la funcin tiene un mnimo absoluto en el punto 1, 1 y un mximo absoluto enel punto (3,3)

Ejercicio:

Calcular los extremos absolutos de la funcin 2 4 en el intervalo [-1,2]

Es frecuente encontrase con problemas fsicos, geomtricos, econmicos, biolgios,

en los que haya que encontrar el mximo o el mnimo de una determinada funcin:maximizar los beneficios de una empresa, el volumen de una caja, minimizar el coste

de produccin de un determinado producto, o el tiempo de fabricacin,

Este tipo de problemas se llaman problemas de optimizacin, y para resolverlos esconveniente seguir una serie de pasos:

1. Obtener la funcin cuyos mximos o mnimos hay que calcular, identificando

claramente la/s variable/s

2. Si es una funcin que depende de dos o ms variables, buscar datos en el

problema que nos permitan relacionarlas, de manera que podamos expresarla enfuncin

de una sola variable3. Calcular los mximos o mnimos absolutosde la funcin

4. Interpretar los resultados, rechazando los que no tengan sentido por la naturalezadel problema

Ejemplo:

Descomponer el nmero 36 en dos sumandos positivos, de modo que el productodel primero por el cuadrado del segundo sea mximo

En primer lugar llamamos e a los dos sumandos (ambos mayores que 0). La funcin

cuyo mximo hay que calcular es:2

( , )

Usamos el dato que nos dan para relacionar ambas variables:

36 36

Y por tanto nuestra funcin ser: 2 2 3( ) (36 ) 36


36/58

Calculamos los puntos crticos:2 2

'( ) 72 3 72 3 0 (72 3 ) 0

0 ; 24

El valor lo podemos eliminar pues debe ser mayor que 0, as que nuestro nico

punto crtico es

Comprobamos si es un mximo (usando por ejemplo el criterio de la segunda derivada):

''( ) 72 6 ''(24) 72 0

Luego la funcin alcanza un mximo cuando .

Como adems el dominio de la funcin es 0,36 y no tiene ni asntotas verticales

ni puntos donde no sea continua o derivable, podemos asegurar que para la

funcin alcanza un mximo absoluto.

Calculamos : 36 12

Luego los dos nmeros positivos que suman 36 y que hacen que el producto del primeropor el cuadrado del segundo sea mximo son y .

Adems podemos averiguar cunto vale ese mximo:2

(12,24) 12 24 6912

Ejercicios:

1.- De entre todos los rectngulos de rea 2100 , calcular las dimensiones del quetenga mnimo permetro.

2.- De todos los tringulos rectngulos cuyos catetos suman 10 cm., cul tiene

diagonal menor?

3.- Determina dos nmeros reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el

producto de sus cuadrados es mximo

4.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm3.

Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea mnima.


37/58

En la grfica, la funcin es cncavaen el intervalo y es convexa en el intervalo

Teorema 5

Sea : , al menos dos veces derivable en el intervalo . Entonces:

''( ) 0, ,''( ) 0, ,

.

Por tanto, para estudiar la curvatura de una funcin (intervalos donde es cncava y

convexa), hay que seguir el siguiente procedimiento:

Calcular el dominio de la funcin

Calcular la segunda derivada e igualarla a 0. Esto nos dar los puntos donde lafuncin cambia su curvatura (pasa de ser cncava a ser convexa o viceversa)

Dividir el dominio de la funcin en intervalos teniendo en cuenta los puntos

que han anulado a la segunda derivada. En caso de que sea una funcin a trozos,

tambin habr que tener en cuenta los puntos donde no sea continua o donde no

sea derivable


38/58

Sustituir la segunda derivada en un punto de cada uno de esos intervalos y tener

en cuenta que:

0)('' 0

0)('' 0

Ejemplo 1:

Estudiar la curvatura de la funcin:

296)(23

D =

126)(''9123)('2

Igualamos a 0: 20126

Teniendo en cuenta estos puntos, el dominio de la funcin queda dividido en dos

intervalos:

Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:

012)0('' es convexa en el intervalo 2,

06)3('' es cncavaen el intervalo ,2

Ejemplo 2:

Calcular los intervalos de concavidad y convexidad de la funcin

2)(

2

D = -{-2}


39/58

2

2

2

22

2

2

2

4

2

42

2

22)('

33

22

3

2

4

22

2

8

2

828442

2

24242

2

)2(24242)(''

Si igualamos a 0 la segundo derivada: 08 y por tanto no hay puntos que la

anulen

Teniendo en cuenta esto y el dominio de la funcin, nos queda:

Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:



Ejercicio:

Estudiar la curvatura de las siguientes funciones:

a) 2( ) 1 b) ( ) c)2

3

2 0( )

4 0

Los puntos de inf lexin son los puntos donde cambia la curvatura (sin cambiar lamonotona), es decir, la funcin pasa de ser cncava a ser convexa o viceversa.

Por tanto, los posibles puntos de inflexin sern aquellos que se obtengan de igualar la

segunda derivada a 0 y resolver la ecuacin correspondiente.

Para saber si uno de estos candidatos, 0 , es o no un punto de inflexin, basta fijarse

en la curvatura estudiada anteriormente. Si sta cambia, la funcin tendr en el punto

)(, 00 un punto de inflexin.

En el ejemplo 1, la funcin 296)( 23 tiene un punto de inflexin en el

punto


40/58

En el ejemplo 2, la funcin no tiene puntos de inflexin puesto que no hay ningn valor

que anule a la segunda derivada.

Criterio de la Tercera Derivada

Se puede saber tambin si un punto es o no punto de inflexin de una funcin sin

necesidad de calcular previamente toda la curvatura.

Teorema 6

Sea : , 0 y tres veces derivable en 0 . Entonces:

0 0''( ) 0 '''( ) 0

)(, 00

Entonces, una vez calculados los puntos que anulan a la segunda derivada, se calcula latercera derivada y se sustituyen en ella

Ejemplo:

Calcular los puntos de inflexin de la funcin3 2

( ) 3

Vamos a hacerlo usando el criterio de la tercera derivada:

2'( ) 3 6 ''( ) 6 6

Igualamos a cero: 6 6 0 1

Luego hay un posible punto de inflexin en el -1. Calculamos la tercera derivada y en

ella sustituimos nuestro candidato:

'''( ) 6 '''( 1) 6 0

Y por tanto la funcin tiene un punto de inflexin en el punto 1, ( 1) 1,2

Ejercicios:

Estudiar la curvatura y calcular los puntos de inflexin de las funciones:

a) 1)(3 b) 133)(

23 c)312

)(34

d)1

1)( e)

1

1)(

2f) ( ) g)

3( ) 1


41/58

Hemos visto anteriormente que un punto crtico (punto que anula a la primera derivada)ser un mximo o un mnimo relativo segn el signo que se obtenga al sustituirlo en la

segunda derivada (si sale positivo es un mnimo, si sale negativo es un mximo).

Pero, qu pasa si al sustituir un punto crtico (posible extremo) en la segunda derivadasale 0? Qu es dicho punto?

Teorema 7

Sea : , y 0 un punto crtico de 0( '( ) 0) Entonces, si la primera

derivada que no se anula al sustituir 0 es la n-sima:

)

0 0 0

)

0 0 0

( ) 0 ,

( ) 0 ,

0 0,

Es decir, tenemos que seguir derivando hasta que encontremos una derivada que no de

cero al sustituir nuestro punto crtico, y luego aplicamos el teorema.

Ejemplo:

Estudiar la naturaleza de los puntos crticos de la funcin4

( ) 3

Calculamos los puntos crticos. 3 3'( ) 4 3 4 3 0 3

Veamos qu tipo de punto crtico es el x = 3.

2

) )

''( ) 12 3 ''(3) 0

'''( ) 24( 3) '''(3) 0

( ) 24 (3) 24 0

Luego la primera derivada que no se anula es de orden par (la cuarta) ser un mximo oun mnimo. Como 24 > 0, la funcin tendr un mnimo relativo en el punto

3, (3) (3,0)

Ejercicios:

Estudiar la naturaleza de los puntos crticos de las funciones:

a) 7( ) b)5

( ) 1 2


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1.- Calcular los siguientes lmites:

a)0

lim

cos 1

b)0

2lim c)

2lim

1

d)2

20

cos 1lim

2e)

3

1

1lim 2 f)

0

cos 1lim

2.- Calcula la monotona y los extremos de la funcin1

)(2

3.- Calcular las asntotas de la funcin1

( )

4.- Estudiar la monotona de la funcin2

( ) 2

5.- Calcular los extremos relativos de la funcin2

( )

6.- Dada la funcin ( ) , calcular el siguiente lmite:2 3

20

( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)2 6lim

7.- Dada la funcin2 0

( )0

a) Calcular los valores de y para los que la funcin es continua pero no

derivable en 0

b) Para 1 , estudiar su monotona

8.- Estudiar la monotona de las funciones:

a)2

4 3 4( ) b) ( ) 1 2

9.- Calcular los extremos relativos de la funcin 3 2( ) 4 7 6

10.- Halla el valor de para que la funcin 2( ) 2 tenga un mnimo en


43/58

11.- La curva 2 pasa por el punto P(1,8), y tiene un mnimo en

x=(0,5). Halla la ecuacin de la curva.

12.- Halla y para que la funcin3 2

( ) tenga un mximo en

el punto (0,1) y un mnimo en (1,2)

13.- Calcular los extremos absolutos de la funcin ( ) cos en el

intervalo3

0,4

14.- Estudiar la monotona y calcular los extremos relativos y absolutos de la funcin2

( ) 4

15.- Calcular los extremos absolutos de la funcin2

3

2 2 0( )

3 0 2

16.- Una compaade venta a domicilio ha determinado que sus beneficios anualesdependen del nmero de vendedores verificando la expresin:

dondeB(x)es el beneficio en miles de pesetas paraxvendedores.

Determinar, justificando las respuestas:

a) Qu nmero de vendedores ha de tener la empresa para que sus

beneficios sean mximos?

b) Cul ser el valor de dichos beneficios mximos?

17.- Estudia la monotona de las funciones a)1

1)(

2

2

b)4

)(

18.- Estudia la monotona y los extremos relativos de la funcin 1)(2

.Los extremos relativos, son tambin absolutos?

19.- Halla dos nmeros cuya suma sea 20 tales que su producto sea mximo

20.- Halla las dimensiones de un campo rectangular de2

3600 de superficie para

poderlo cercar mediante una valla de longitud mnima.


44/58

21.- La relacin entre los beneficios, en miles de euros, obtenidos por la venta de un

determinado producto y el tiempo, en aos, que ste est en el mercado viene

dada por la funcin:

0,81

100)(

2

a) Indica el nmero de aos que debe estar el producto en el mercado paraque el beneficio sea mximo y cul ser ste.

b) A largo plazo, hacia qu valor se acercan los beneficios?

22.- Durante el pasado invierno, el nmero de enfermos de gripe en una determinada

ciudad vino dado por la funcin 3230)( , donde representa el nmero

de das transcurridos desde el 1 de enero.

a) Cunto tiempo dur el virus de la gripe ese ao?

b) En qu periodos creci y decreci el nmero de enfermos?

c) Cuntos enfermos hubo el da que la gripe afect a ms personas? Quda fue?

23.- Estudiar la monotona y los extremos de la funcin:

82252

5

2044

)(

2

24.- Un banco lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad , en miles

de euros, viene dada en funcin de la cantidad que se invierte, en miles de

euros, por medio de la siguiente expresin:5'34'0001'0)(

2

a) Deducir y razonar qu cantidad de dinero convendr invertir en ese plan

b) Qu rentabilidad se obtendr?

25.- La cotizacin de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la

Bolsa funciona todos los das de un mes de 30 das, responde a la siguiente ley:

3000024345)(23

, siendo x el da del mes.

a) Cul ha sido la cotizacin en Bolsa el da 2?

b) Determina los das en que alcanza las cotizaciones mxima y mnima ycules han sido stas.

26.- Se quiere construir una caja de cartn sin tapa de base cuadrada de forma que

tenga un volumen de 256 dm3. Cules deben ser sus dimensiones para que se

utilice la mnima cantidad posible de carton?


45/58

27.- El nmero de bacterias en un cultivo experimental en un instante viene dado

por la funcin:

20( ) 1000 25 ; 0 100

Cunto valen el mximo y el mnimo nmero de bacterias y en que instantes se

alcanzan, respectivamente, dichos valores extremos?

28.- Dividir un segmento de 60 cm. en dos partes con la propiedad de que la suma de

las reas de los tringulos equilteros construidos sobre ellas sea mnima.

29.- En una circunferencia de radio 4 cm. se inscribe un rectngulo. Cules son las

dimensiones del que tiene mayor rea?

30.- El alcalde de un pueblo quiere cercar un recinto rectangular cerrado para

celebrar las fiestas. Para ello aprovecha una tapia ya existente como uno de los

lados y dispone de 300 m. de tela metlica para hacer los otros tres.

a) Podras indicar las dimensiones del recinto acotado de esta forma cuya rea

es la mayor posible?

b) La comisin de fiestas ha calculado que para montar las atracciones, pista de

baile, necesitan 8.000 m2. Teniendo en cuenta los clculos del apartado

anterior, ser suficientemente grande el recinto que quiere preparar el

alcalde?

31.- Se desea construir una lata de conservas cilndrica con un rea total de 150 cm2y

volumen mximo. Calcula su altura y el radio de la base.

32.- Una pista de atletismo est formada por una regin rectangular con un

semicrculo en cada extremo. Si el permetro es de 200 m., hallar lasdimensiones de la pista para que la regin rectangular tenga rea mxima.

33.- Hallar los puntos de la curva de ecuacin2

4 cuya distancia al punto (4,0)

sea mnima.

34.- Con una chapa de hojalata cuadrada de 60 cm. de lado es preciso hacer un cajnsin tapa que tenga volumen mximo. Se recortan cuadrados iguales en las

esquinas de la chapa y se dobla sta para formar el cajn. Cul debe ser la

longitud del lado de los cuadrados cortados?

35,. Determinar la distancia mnima del origen a la curva


46/58

36.- Cmo hay que doblar un alambre de 4m. de longitud para que forme un

rectngulo cuya rea sea lo ms grande posible?

37.- Desde una casa situada en el punto P(7,0) se quiere hacer un camino recto para

conectarla con una carretera cuyo trazado viene dado por la curva de ecuacin2

1 2 2 .

Con qu punto de la carretera conecta el camino ms corto posible?

38.- Dada una circunferencia de radio , se divide uno de sus dimetros en dos partes

que se toman como dimetros de dos circunferencias tangentes interiores a la

circunferencia dada, tal como indica la figura:

Qu longitud debe tener cada uno de estos

dimetros para que el rea de la regin

rayada sea mxima?

39.- Un almacn tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de

768m3. Se sabe que la prdida de calor a travs de las paredes laterales es de 100

unidades por metro cuadrado, mientras que a travs del techo es de 300 unidadespor metro cuadrado. La prdida por el suelo se puede considerar prcticamente

nula.Calcula las dimensiones del almacn para que la prdida de calor total sea

mnima.

40.- Desde la Tierra, que suponemos situada en el origen del coordenadas del plano,

se observa un objeto que sigue una trayectoria de ecuacin 16 (distancias

medidas en aos-luz). Cules son las coordenadas del punto de la trayectoria

cuya distancia a la Tierra es mnima y cunto vale dicha distancia?

41.- a) Dibuja una funcin que tenga un mximo en pero que no sea

derivable en dicho punto

b) Da un ejemplo de una funcin con infinitos mximos y mnimos

42.- Estudia la monotona y calcula los extremos absolutos de la funcin:

1

( ) 1 2

4 2


47/58

43.- La grfica de la funcin derivada de , , es la que aparece en la figura:

Indica razonadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de y

determina en qu puntos se alcanzan sus extremos relativos

44.- Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin3 2( ) 6 2 en su punto de inflexin

45.- Halla , y para que la funcin tenga un extremo en

(2,0) y un punto de inflexin en x=1

46.- Dada la funcin : definida por3

( ) , calcular los

valores de y sabiendo que tiene un punto de inflexin en Q(-1,3) y

que la recta tangente a la grfica de en el punto M(0,1) es horizontal.

47.- Estudia la curvatura de la funcin f(x) = (x+1)3

48.- Estudia la curvatura y calcula los puntos de inflexin de

a) 2( ) ( 1) b) 2( ) c) ( ) 1

49.- Dada la funcin : definida por3 2

( ) 2 12 , calcular los

valores de y sabiendo que la recta tangente a la grfica de en su punto deinflexin es la recta

50.- Estudia la naturaleza de los puntos crticos de las funciones

a) 3 2( ) 3 b) 6( ) 3 ( 1)


48/58

51.- Dada la funcin2

1 1( )

( 1) ( 1) 1

a) Calcular el valor de para que sea continua en 1

b) Para el valor de calculado anteriormente, estudiar su monotona

52.- Considera la curva de ecuacin , 0

a) Cul es el punto de la curva ms cercano al punto1

,02

?

b) Deduce si existe o no un punto de la curva que sea el que est ms lejos

del punto anterior

53.- a) Calcula el valor de para que se cumpla:

1

40lim

b) Calcula razonadamente el valor de y para que se cumpla:2

20

1 coslim 1

54.- Las siguientes grficas corresponden a las funciones derivadas de dos funciones

y .

A partir de dichas grficas calcular, para y :

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

b) Extremos relativos

c) Intervalos de concavidad y convexidad

d) Puntos de inflexin

55.- Dada la funcin : 1, definida por1

( ) , determina cul de

las rectas tangentes a la grfica de tiene la mxima pendiente.


49/58

56.- Halla el valor de de modo que la funcin2

( ) tenga un nico punto

crtico.

57.- Si , cul de estas proposiciones es cierta?a) tiene un extremo relativo en

b) tiene un punto de inflexin en

c) tiene en tangente paralela al eje OX

58.- Calcula los extremos absolutos de la funcin 2( ) 2 3

59.- Halla y para que la funcin3 2

( ) 5 tenga en un

punto de inflexin con tangente horizontal

60.- Una va de ferrocarril transcurre por un terreno llano de manera que su trazado

coincide con el de la recta para 0 . A partir del punto su trazado

coincide con el de la curva .

Sabiendo que el trazado de la va admite recta tangente en todos sus puntos,

cunto valen y ?


50/58


51/58

Para representar grficamente una funcin, salvo las funciones elementales ya

conocidas, conviene seguir una serie de pasos que veremos a continuacin, si bien no

todos son imprescindibles en todos los casos.

Si bien a estas alturas los dominios de los distintos tipos de funciones deben serconocidos, resumimos los ms habituales:

( )

( )/ ( ) 0

( )

log / ( ) 0

( ) ( ) / ( ) 0

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Ejemplos:

1.- Calcular los puntos de corte con los ejes de la funcin 3( ) 3 2

Con OY:

2)0(23)(3

tiene un punto de corte en (0,2)

Con OX:

2,1023)(3

(Por Ruffini)

Luego tiene dos puntos de corte con OX que son (1,0) y (-2,0)

2.- Calcular los puntos de corte con los ejes de la funcin ( ) ( 1)

Con OY:

Como 1, , no se puede sustituir la por 0 y por tanto no tiene

puntos de corte con OY

Con OX:

( ) ( 1) 0 1 1 2

Luego tiene un punto de corte con OX en (2,0)


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0 ( ) ( ) ,

Las funciones peridicas ms habituales son las trigonomtricas. As:

2( ),cos( ) ; ( )

Hay otras funciones no trigonomtricas y peridicas, como la funcin Dec(x)

con P = 1

( ) ( ) ,

Por ejemplo4

( ) es par ya que4 4

( ) ( )

( ) ( ) ,

Por ejemplo3

( ) es impar ya que3 3

( ) ( )

Ejercicio: Estudiar las simetras de las funciones3 3

2

4 2

2 1( ) ; ( ) 1 ; ( )

1 1




Con todos los datos anteriores, representamos grficamente la funcin. En

general, la mayor informacin para la representacin grfica la obtendremos del

Dominio, los puntos de corte con los ejes, las asntotas y los extremos, si bien el resto

de informacin nos sirve para precisar la grfica.

Hacemos algunos ejemplos completos:


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Ejemplo 1: Representar grficamente la funcin 23)(3

. Adems no tiene puntos de discontinuidad (es una funcin polinmica)

:

Ya vimos que tena un punto de corte con OY, el (0,2), y dos puntos de corte conOX, el (1,0) y el (-2,0).

Como3 3( ) 3 2 3 2 ( ) , no es par

Como 3 3( ) 3 2 3 2 ( ) , no es impar

Luego esta funcin no es simtrica

Esta funcin, al ser polinmica, no tiene asntotas

1,103333)`( 22 (Puntos crticos)

Como , los intervalos de monotona sern:

09)2(' es creciente en el intervalo 1,



De paso vemos que la funcin alcanza un mximo relativo en el punto yun mnimo relativo en el punto

Los extremos podamos haberlos visto tambin con la segunda derivada, pero yaque estaba hecha la monotona

0066)(''

Como , los intervalos de concavidad y convexidad sern:


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De paso la funcin tendr un punto de inflexin en el punto

Podamos haber usado tambin la tercera derivada:'''( ) 6 '''(0) 6 0 . . 0,2

Con todos los datos anteriores, el dibujo de la funcin 23)(3

ser:

Ejemplo 2: Representar grficamente la funcin

2

1( )

0 . Adems se es el nico punto de discontinuidad

:

Con OY: No puede tener pues el 0 no est en el dominio

Con OX:2

2 21( ) 0 1 0 1, lo que no puede ser y por

tanto no tiene puntos de corte

Como

2 21 1( ) ( ) , no es par

Como2 2

1 1( ) ( ) , es una funcin impar


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Asntotas Verticales:2

0 0

2

0 0

1lim ( ) lim

1lim ( ) lim

Tiene una Asntota Vertical hacia arriba (derecha) y hacia abajo (izquierda) que

es la recta

Asntotas Horizontales:2

2

1lim ( ) lim

1lim ( ) lim

No tiene Asntota Horizontal

Asntotas Oblicuas: 2

2

2

( ) 1lim lim 1

1 1lim ( ) lim lim 0

Es fcil ver que los lmites correspondientes en son los mismos, luego tiene

una Asntota Oblicua por la Derecha y por la Izquierda que es la recta

Vemos la posicin:

2

1

0, 01 1( )1

0, 0

Adems como1

0 , la funcin no corta a su asntota

2 2

2 2

22

2

2 1 1'( )

1

0 1 0 1 , 1

Tenemos por tanto dos puntos crticos. Veamos qu tipo de extremos son:2 2

4 3

2 2 1 2''( )

''(1) 2 0 alcanza un mnimo relativo en el punto 1, (1) (1,2)

''( 1) 2 0 alcanza un mximo relativo en el punto

1, ( 1) ( 1, 2)


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Estudiamos ahora la monotona. Teniendo en cuenta el Dominio y los puntos

crticos:

3'( 2) 0

4es creciente en el intervalo 1,

1'( ) 3 0


1'( ) 3 0


3'(2) 0

4es creciente en el intervalo ,1

De paso vemos que la monotona concuerda con los extremos relativos que

habamos obtenido.

3

2''( ) 0 Esta funcin no tiene puntos de inflexin

Los intervalos para la curvatura sern, por tanto:

''( 1) 2 0 es convexa en el intervalo 0,

''(1) 2 0 es cncava en el intervalo ,0

Con todos los datos anteriores, el dibujo de la funcin2

1( ) ser:


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1.- Estudiar el dominio, las simetras y los puntos de corte con los ejes de las

funciones:

a) 22

( ) 4 b)2

( ) 1 c) ( ) 2

2.- Calcula los puntos de corte con los ejes y las asntotas de las funciones:

a)2

( )2

b)2

1( )

3.- Dada la funcin ( )1

a) Estudia su periodicidad

b) Calcula los puntos de corte con los ejes

c) Estudia su monotona

4.- Representa las siguientes funciones:

a) 3 2( ) 3 4 b)4 2

( ) 2 2

c)1

1)(

2d)

2( )

4

5.- Calcula el dominio, puntos de corte con los ejes, asntotas, monotona y

extremos de lafuncin ( ) y represntala grficamente

6.- Representa grficamente la funcin2

2 3( )

1

7.- Demuestra que la funcin2

( ) 4 8 no tiene puntos de inflexin.

Tiene algn extremo?

8.- Representa grficamente las funciones:

a) ( ) b)2

( )

9.- Calcula el valor de para que la funcin2

( ) tenga un extremo

relativo en . Para dicho valor de , calcula sus asntotas y su monotona y

haz un esbozo de su grfica.


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10.- Construye la grfica de una funcin que cumpla todos y cada uno de los

siguientes requisitos:

I. 1

II.1 1

lim ( ) ; lim ( )

III. lim ( ) lim ( ) 0

IV. Tiene un mximo relativo en (0,0) y un mnimo relativo en (-1,-1)

V. Es creciente en el intervalo (-1,0) y decreciente en los intervalos

, 1 0,1 1,

11.- Representa grficamente la funcin 2( ) 2

12.- Representar, dando todos los pasos necesarios, la funcin2

2 2 2 0( )2 2 0

13.- Calcula los mximos y mnimos relativos de la funcin ( ) 3 . Tiene

asntotas?

14.- Calcula los puntos de corte con los ejes, monotona y extremos de la funcin

( ) cos y haz un esbozo de su grfica

15.- Representa grficamente la funcin ( ) 1

16.- Indica razonadamente cul de las siguientes grficas corresponde a la de la

funcin1

( )

Análisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS

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