Matematicas II (Plantel 17)

7/26/2019 Matematicas II (Plantel 17)

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Gua de estudio para presentar

exmenes de Recuperacin y

Acreditacin Es ecial

Junio de 2004

(Versin preliminar)


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Matemticas II


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Matemticas II

NDICE

PRESENTACIN ..........................................................................................................

PRLOGO.....................................................................................................................

UNIDAD 1. Funciones algebraicas............................................................................

1.1 Funciones lineales................................................................................................. Ejercicios. .................Tabla de Comprobacin .....................................................................................

1.2 Funciones cuadrticas.......................................................................................... Ejercicios. ................................

Tabla de Comprobacin ..................................................................................Ejercicios de autoevaluacin..................Clave de respuesta.................

UNIDAD 2. Funciones trigonomtricas......................................................................

2.1 Teorema de Pitgoras............................................................................................ Ejercicios. .....................Tabla de Comprobacin .....................................................................................

2.2 Funciones trigonomtricas.................................................................................... Ejercicios. .....................

Tabla de Comprobacin ..................................................................................Ejercicios de autoevaluacin...................Clave de respuesta.................

UNIDAD 3. Funcionesexponenciales y logartmicas.

3.1 Funcin exponencial ..............Ejercicios. ................................Tabla de Comprobacin .....................................................................................

3.2.Funcin logaritmo.

Ejercicios. ................................Tabla de Comprobacin .....................................................................................Ejercicios de autoevaluacin...................Clave de respuesta.................

BIBLIOGRAFA...............................................................................................................

SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXMENES DERECUPERACIN O ACREDITACIN ESPECIAL..

V

VII

1

38

11

1318

202123

25

273133

4547

515258

61

636770

71

74777884

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PRESENTACIN

Permtenos felicitarte cordialmente por estar leyendo esta gua, ya que es una muestra de tu inters ydecisin de explorar y utilizar los materiales que te ofrece el Colegio de Bachilleres para prepararteadecuadamente antes de presentar un examen de Recuperacin o Acreditacin Especial.

La gua que ests leyendo constituye un trabajo realizado por profesores del Colegio de Bachilleres, delplantel 17 Huayamilpas-Pedregal, que con base en su experiencia docente y en el conocimiento delprograma de estudios de la Reforma Curricular 2003, se fijaron el propsito de colaborar contigo en variasformas:

Especificando los temas y aprendizajes sobre los que sers evaluado en un examenextraordinario.

Elaborando sntesis de cada tema para apoyarte en tu estudio.

Elaborando preguntas, similares a las que encontrars en los exmenes extraordinarios, paraque tambin te ejercites en la solucin de estos tipos de reactivos y te autoevales.

Planteando sugerencias y recomendaciones para apoyar tu preparacin adecuada para elexamen.

Qu ventajas obtendrs al resolver la Gua?

1. Tendrs un material de estudio sencillo y concreto que te permitir prepararte adecuadamente enun lapso corto de tiempo.

2. Estudiars todos los temas del programa de asignatura, en los que sers evaluado.3. Podrs autoevaluarte para saber si estas preparado para presentar con xito tu examen de

Recuperacin o Acreditacin Especial, o saber que temas debers estudiar con mayor ahnco.

Cmo estudiar para tener xito?

Recuerda que una buena preparacin es fundamental para lograr aprobar tus materias, por lo cual terecomendamos:

Leer con cuidado cada uno de los resmenes de tema y contestes las preguntas que vienen acontinuacin.

Revisar tus respuestas y si te equivocaste realizar las actividades que se sugieren en las tablasde comprobacin.

Al trmino de cada unidad, contestar las preguntas de autoevaluacin en el tiempo que se indicaen cada bloque. Ten en cuenta que para contestar el examen de Recuperacin o AcreditacinEspecial tendrs dos horas y por ello tambin debes ejercitarte en resolver los ejercicios bien yrpido.

Si al concluir la autoevaluacin te equivocaste, vuelve a repasar la gua o pregntale a tusprofesores o al jefe de materia de tu plantel. Para contestar toda la gua dedcate a estudiar al menos dos horas diarias durante 15 das, as

estars bien preparado para presentar con xito tu examen.


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Matemticas II

PRLOGO

En el Programa Nacional de Educacin 2001-2004, elevar la calidad de la educacin que se ofrece, as

como incorporar conocimientos bsicos para la sociedad del conocimiento, se han destacado comoobjetivos que orientan a la educacin del siglo XXI. Es por ello que el Colegio de Bachilleres, junto conotras instituciones de educacin media superior inici la operacin, en un plantel gua, de nuevosprogramas de estudio.

En el semestre 03-A se operaron por primera vez, en el plantel 17 Huayamilpas Pedregal, los programasde primer semestre de la Reforma Curricular y sus profesores elaboraron materiales didcticos paraapoyar los diferentes momentos del proceso de enseanzaaprendizaje.

Entre los materiales elaborados se encuentran las guas de estudio, las cuales tienen el propsito deapoyar a los estudiantes que presentarn exmenes de Recuperacin o Acreditacin Especial de lasasignaturas de la Reforma Curricular 2004, con objeto de favorecer el xito en los mismos.

En este contexto, la Gua de estudio para presentar exmenes de Recuperacin o Acreditacin Especialde Matemticas IIse ha elaborado pensando en los estudiantes que por diversas causas reprobaron laasignatura en el curso normal y pueden acreditarla a travs de exmenes en periodos extraordinarios.

Esta gua se caracteriza por abordar, de manera sinttica, los principales temas sealados en el programade estudios. Las actividades y ejercicios que se plantean son un apoyo para que el estudiante aplique y relacione sus conocimientos previos con otros ms complejos, de modo que est en condiciones dedesarrollar procedimientos y modelos matemticos aritmticos y algebraicos. Esto permitir que, con elestudio de la gua, contine mejorando y ejercitando sus habilidades de anlisis y razonamientomatemtico. Al final del desarrollo de las unidades la gua contiene una autoevaluacin sobre loselementos esenciales de toda la unidad, para que el alumno verifique su grado de comprensin y dominio.

Asimismo se incluyen algunas sugerencias para reforzar el apoyo sobre los aspectos estratgicos deltema.

La gua se organiza por unidad, igual que el programa de estudios; en cada una de ellas encontrars unresumen de los temas y aprendizajes que se te van a evaluar, una serie de preguntas y ejercicios portema, la tabla de respuestas a estos ejercicios, as como, al trmino de cada unidad, nuevos ejerciciospara que te autoevales.

As, en la primera unidad, denominada FUNCIONES ALGEBRAICAS, realizars actividades y ejerciciossencillos sobre funciones para facilitarte su aplicacin. En seguida, se abordan los aspectos msimportantes de de estas relacionadas con su representacin grfica y su utilidad para resolver diferentestipos de problemas.

En la segunda unidad de la gua, FUNCIONES TRIGONOMTRICAS, se presentan actividades en las querevisars y aplicars las propiedades del teorema de Pitgoras y sus diferentes aplicaciones por medio delas funciones trigonomtricas, para plantear la solucin y representacin grfica de problemas prcticos dela vida cotidiana.

En la tercera unidad, FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS, revisars las principalesaplicaciones de estas funciones tomando en cuenta las leyes de los exponentes y apoyndose en laelaboracin de las grficas correspondientes para facilitar la comprensin del procedimiento utilizado enproblemas del mbito acadmico.

Por ltimo, se proporciona una bibliografa bsica para consultar en fuentes originales los temasdesarrollados en la gua.


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UUnniiddaaddIIFunciones Algebraicas


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UNIDAD 1

1.1.1 FUNCIONES LINEALES.

La descripcin de un fenmeno de la vida real y el anlisis de algunas relaciones que las describen nospermiten modelar matemticamente dicho fenmeno, uno de los conceptos matemticos que ms seutiliza es el concepto de funcin. En este tema plantearemos algunas situaciones que nos permitan realizar

el estudio de la funcin lineal.

Considrese la siguiente relacin establecida cuando una persona compra boletos para abordar el metro.Sabiendo que uno cuesta $ 2, elaboraremos una tabla que muestre la relacin entre el costo y el nmerode boletos.

b: nmero de boletos 0 1 2 3 4 5 6 7

c: costo en $ 0 2 4 6 8 10 12 14

En esta relacin el costo depende del nmero de boletos comprados, esto es, nosotros podemos decidircuantos boletos comprar; le estamos asignando valores por lo que se le denomina como la variableindependiente, el costo toma valores determinados de acuerdo al nmero de boletos que se vancomprando por lo que se denomina variable dependiente.

Podemos representar a los valores de la tabla como parejas ordenadas, en donde el primer valorcorresponde con la variable independiente (b) y la dependiente es el costo (C) .

(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10), (6,12), (7,14)

La variable independiente se ubica sobre el eje de las abscisas (horizontal) y la dependiente sobre el ejede las ordenadas (vertical). Por lo que, si elaboramos la grfica se tiene:

C (costo en pesos)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(nmero

de boletos)

APRENDIZAJES

Construir la grfica de la funcin lineal.

Interpretar la grfica de la funcin lineal.

Conocer las caractersticas de la funcin lineal.

Resolver problemas cuyo modelo de solucin sea una funcin lineal.

b


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Como podrs observar la grfica est formada por una serie de puntos, que no debemos unir porque notiene sentido querer comprar medio boleto o 3.78 boletos. Sin embargo estos puntos son parte de una

recta.

Nmero de boletos Importe pagado en $1 2(1) = 22 2(2) = 43 2(3) = 64 2(4) = 8b 2(b) = 2b

Al generalizar el procedimiento se llega a la expresin C(b) = 2b, que corresponde con el modeloalgebraico de la relacin y que se lee como el costo debboletos es igual a dos pesos, por el nmero b deboletos comprados.

En las relaciones que tienen por grfica una recta se puede observar que al aumentar o disminuir lavariable independiente una unidad, la dependiente aumenta o disminuye en una unidad constante; para elcaso que analizamos aumentan dos pesos por cada boleto comprado.

Estudiemos otro caso de relacin con un comportamiento parecido al anterior.

A un empleado de una zapatera le pagan $ 50 por da y $ 15 por cada par de zapatos que venda.Cunto gana en un da, si vende uno, dos, tres o ms pares de zapatos?

Como en el caso anterior elaboraremos una tabla de la relacin, cuidando de distinguir la variableindependiente de la dependiente. Como el salario depende del sueldo, ms la comisin por el nmero dezapatos vendidos, entonces de las dos cantidades que intervienen en la relacin, la variable independiente

es el nmero de pares de zapatos vendidos y la variable dependiente es el salario del empleado. De estamanera, la tabla correspondiente tiene la apariencia que enseguida se muestra:

Zapatos (nmero de paresvendidos)

Salario (pesos)

0 50 + 0(15) = 50 +0 = 501 50 + 1(15) = 50 + 15 = 652 50 + 2(15) = 50 + 30 = 80: :: :z 50 + z(15) = 15z + 50

Luego entonces la expresin algebraica de la relacin es S(z) = 15z + 50, donde S es el salario delempleado y z es el nmero de pares de zapatos vendidos.

Elaboremos ahora la grfica, recordando que la variable independiente se ubica sobre el eje de lasabscisas y la variable dependiente sobre el eje de las ordenadas.


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UNIDAD 1

S (salario en pesos)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3

(nmero de

pares vendidos)

ZZZZZZZZZZ

Observa que las expresiones algebraicas de las relaciones anteriores son:

C(b) = 2b

S(z) = 15z + 50

Que podemos generalizar como f(x) = mx + bque corresponde a la expresin algebraica de una funcinlineal.

En las relaciones revisadas anteriormente las variables independientes tienen valores enteros, por lo quese les denominan como variables discretas.As por ejemplo cuando contamos el nmero de goles que seanotan en un juego de ftbol decimos que pueden ser cero, uno, dos, tres o ms goles, pero no podemosdecir que se anota un gol y medio o un cuarto de gol. Analicemos ahora algunas relaciones en las que a lavariable independiente se le asigna cualquier valor, si medimos el tiempo que tarda un mvil en recorrer100 km podemos notar que lo puede hacer en 65 minutos pero tambin puede tardar 66 o puede realizarun tiempo de 65.5 minutos, o podra ser en 65.3 minutos, es decir, la variable toma cualquier valorincluyendo los enteros.

A las funciones que tienen una variable no discreta, como por ejemplo la anterior, las llamamos funcionesde variable continua.

Estudiemos el siguiente ejemplo. El precio de una motocicleta nueva es de $ 60 000 y se devala$ 1000 por mes, es decir, su precio decrece linealmente con el tiempo. Observa que la variable

independiente es el tiempo medido en el nmero de meses transcurridos y la variable dependiente es elcosto actual de la motocicleta.

Elaboremos la tabla en la que se muestra el costo de la motocicleta al transcurrir 1, 2, 3, 4, 5 y 6 meses,teniendo:


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Nmero demeses

Costo de la motocicleta

1 60 0001 000 = 60 0001(1 000) = 59 000

2 60 0002 000 = 60 0002(1 000) = 58 000

3 60 0003 000 = 60 0003(1 000) = 57 000

4 60 0004 000 = 60 0004(1 000) = 56 000

5 60 0005 000 = 60 0005(1 000) = 55 000

6 60 0006 000 = 60 0006(1 000) = 54 000

t 60 000t(1 000) = 60 0001 000t

Las variables que intervienen en la funcin son el tiempo dado en meses y el costo de la motocicleta enpesos, ambas variables son de tipo continuo.

La variable independiente se ubica sobre el eje de las abscisas (horizontal) y la variable dependiente sobreel eje de las ordenadas (vertical). Por lo que, si elaboramos la grfica se tiene:

C (pesos)

53,000

54,000

55,000

56,000

57,000

58,000

59,000

60,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (meses)

Los puntos se pueden unir mediante una recta ya que la variable tiempo es continua.

Como recordars, una funcin es una relacin de dependencia entre dos variables, de tal manera que aldar un valor a una de ellas queda determinado el valor de la otra, esto es que a cada valor de la primera(variable independiente) le corresponde un slo valor de la segunda (variable dependiente).

En una funcin a todos los valores de la variable independientese les llama dominioy los valores de lavariable dependientese les llama contradominio.

Su grfica es una recta y su expresin algebraica es: C(t) = 60 0001 000t


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UNIDAD 1

Estudiemos el siguiente ejercicio.

En el ao de 1995 se construy una casa cuyo costo fue de $ 230 000 y su speravit (incremento en su

costo) es de $ 20 000 por ao. Al elaborar una tabla del costo despus de transcurridos 1, 2, 3, 4, 5 y 6aos obtenemos:

Nmerode aos

Costo de la casa

1 230 000 + 20 000 = 230 000 + 1(20 000) = 250 000

2 230 000 + 40 000 = 230 000 + 2(20 000) = 270 000

3 230 000 + 60 000 = 230 000 + 3(20 000) = 290 000

4 230 000 + 80 000 = 230 000 + 4(20 000) = 310 000

5 230 000 + 100 000 = 230 000 + 5(20 000) = 330 000

6 230 000 + 120 000 = 230 000 + 6(20 000) = 350 000t 230 000 + t(20 000) = 230 000 + 20 000t

Los valores que intervienen son el nmero de aos y el costo de la casa. Observa que el costo seincrementa al transcurrir los aos.

Su representacin grfica es:

Los puntos se pueden unir mediante una recta ya que, la variable tiempo es continua.

Su grfica es una recta y le corresponde la expresin algebraica:

C(t) = 230 000 + 20 000t

420

270 000

250 000

230 000

c (pesos)

t (aos)

1


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EJERCICIOS

INSTRUCCIONES:Lee con atencin el siguiente ejercicio, complementa llenando el cuadro y anotandosobre las lneas la repuesta a las interrogantes.

Carlos Contreras estudiante del Colegio de Bachilleres Mxico aborda un radio taxi en la Colonia SanRafael cuya tarifa es de $ 20 en el horario de 6:00 A.M. a las 20:00 P.M. y por cada minuto le cobran $1.30

1.- Completa la siguiente tabla para mostrar el costo del viaje en el radio taxi despus de recorrer 5, 10, 15y 20 minutos.

Minutostranscurridos

Costo al transportarse en el radio taxi

120 + 1(1.30) = 20 + 1.30 = 21.30

510152025 20 + 25(1.30) = 20 + 32.50 = 52.50

2.- Seala las variables que intervienen

3.- Cul de las magnitudes corresponde con la variable independiente y cul con la variable dependiente?

4.- Construye la grfica

5.- La relacin corresponde a una funcin?

6.- A qu tipo de funcin corresponde?

7.- Cul es su modelo algebraico?


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Matemticas II

UNIDAD 1

INSTRUCCIONES:Lee con atencin los siguientes reactivos y escribe en el parntesis de la izquierda laletra que corresponda a la respuesta correcta. Realiza tus operaciones en hojas aparte.

8.- ( ) Qu valor tiene la funcin x315)x(f cuando x = - 4?

a) 3b) 12c) 27d) 60

9.- ( ) La grfica de la funcin 2x3)x(f es:

210-1-2

3

2

1

0

-1

x

y

x

y

210-1-2

3

2

1

0

-1

x

y

x

y

210-1-2

3

2

1

0

-1

x

y

x

y

3210-1

3

2

1

0

-1

x

y

x

y


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Matemticas II

10.- ( ) Observa la grfica

Los valores de su dominio son:

a) de2 a 2b) de 0 a 2c) de 2 a 6d) de6 a 6

11.- ( ) Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2 500 litros. Alnavegar cada da consume 150 litros de combustible. Cul es la expresin algebraica que representa lacantidad del tanque despus de que ha recorrido tdas?

a) t1502500)t(C

b) t2500)t(C

c) t1502500)t(C

d)t150

2500)t(C

12.- ( ) Un rectngulo tiene 3m ms de largo que de ancho, cual es la expresin algebraica querepresenta su permetro?

a) )3x(x)x(f

b) 3x2)x(f

c) 6x2)x(f

d) 6x4)x(f

2

y

6

x


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UNIDAD 1

TABLA DE COMPROBACIN

Nmero de pregunta Respuesta Correcta

1

Minutostranscurridos

Costo al transportarse

1 20 + 1(1.30) = 21.305 20 + 5(1.30) = 26.5010 20 + 10(1.30) = 33.00

15 20 + 15(1.30) = 39.5020 20 + 20(1.30) = 46.00

25 20 + 25(1.30) = 52.50

2Las variables que intervienen en este problema es eltiempo medido en minutos y la tarifa del taxi porbanderazo ms el costo por minuto.

3La variable independiente es el tiempo quepermanece Carlos en el taxi y la dependiente es elcosto del traslado.

4

5Si, ya que a cada nmero de minutos transcurridosle corresponde un costo.

6 A una funcin lineal.

7 )t(30.120)t(C 8 c

9 a

10 b

11 c

12 d

201510x

y

5

50

40

30

20

10


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Matemticas II


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Matemticas II

UNIDAD 1

1.1.2 FUNCINES CUADRTICAS

Hemos estudiado algunos fenmenos que tienen un comportamiento lineal, cuya grfica es una lnearecta, existen otros fenmenos, tales como el tiro parablico, construccin de puentes, excavacin de

tneles entre otros. Para analizarlos se emplea como modelo de resolucin la funcin cuadrtica.

Para estudiar a la funcin de segundo grado resolvamos el siguiente problema.

Una mosca al volar describe una trayectoria definida por la expresin P(t) = 4t t2 , en donde P(t) es laposicin de la mosca que depende del tiempo t. Una araa se encuentra en un punto que ubicamosmediante las coordenadas (6,0). En qu lapso de tiempo la mosca asciende en su trayectoria? En qumomento su altura es mxima? Cul es la altura mxima que alcanza? En qu intervalo de tiempodesciende? En qu punto inicia el vuelo y en dnde termina? Se encuentra con la araa?

Elaboremos una tabla y su grfica correspondiente.

Observa que el inicio del vuelo de la mosca o tiempo cero se encuentra en el punto (0,0); entre cero y dossegundos su trayectoria es ascendente, es decir los valores de su posicin crecen hasta alcanzar sumxima altura, que en la grfica corresponde al punto de coordenadas (2,4). Entre dos y cuatro segundossu trayectoria va descendiendo, sus valores decrecen y regresa al piso en el punto (4,0), por lo tanto no seencuentra con la araa.

APRENDIZAJES

Construir la grfica de la funcin cuadrtica.

Interpretar la grfica de la funcin cuadrtica.

Conocer las caractersticas de la funcin cuadrtica.

Resolver problemas cuyo modelo de solucin sea una

funcin cuadrtica.

t P(t)

0 01 3

2 4

3 3

4 0

P(t) (Posicin en metros)

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8t

(tiempo en

segundos)


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Matemticas II

Con esta informacin se contesta las preguntas anteriores.

En qu lapso de tiempo la mosca asciende en su trayectoria? Entre cero y dos segundos.

En qu momento su altura es mxima? A los dos segundos.Cul es la altura mxima que alcanza? Cuatro metros.En qu intervalo de tiempo desciende? Entre dos y cuatro segundos.En qu punto inicia el vuelo y en dnde termina? Inicia en cero y termina en cuatro.Se encuentra con la araa? No ya que la araa esta ubicado en las coordenadas (6,0)

De acuerdo a lo anterior podemos afirmar que las funciones cuadrtica o de segundo grado secaracterizan porque:

a) Su expresin algebraica tiene la forma f(x) = ax2+ bx + c. Al igual que en la funcin lineal, al asignarlevalores a la variable independiente se obtienen los valores de la variable dependiente; es importanteresaltar que en la expresin algebraica se tienen tres trminos, de los cuales pueden faltar dos,excepto el trmino cuadrtico. Por ejemplo, la expresin puede tener la forma f(x) = ax 2+ bx en donde

falta el trmino independiente, f(x) = ax2

en donde falta el trmino lineal y el trmino independiente.

b) La grfica de la funcin de segundo grado o cuadrtica es una parbola. Si el coeficiente del trminode segundo grado es un nmero positivo, las astas de la parbola abren hacia arriba y se dice que escncava hacia arriba o de concavidad positiva; en caso de que el signo sea negativo se dice que escncava hacia abajo o de concavidad negativay las astas abren hacia abajo.

c) Si la parbola tiene concavidad positiva la funcin es decreciente hasta alcanzar un valor mnimo paraluego ser creciente. Si tiene concavidad negativa la funcin es creciente hasta alcanzar un valormximo para luego ser decreciente.

d) El punto donde se encuentra el mnimo o mximo se denomina vrtice de la parbola. Para determinar

la abscisa del vrtice utilizamos la expresina2

bx

, para calcular ordenada sustituimos este valor

en la funcin.

e) Los valores de la abscisa para los cuales la ordenada es cero se llaman races de la ecuacin o cerosde la funcin. Si la parbola corta al eje de las abscisas en dos puntos se dice que tiene dos races; sila corta en un solo punto tiene una y si no la corta no tiene races. Se dice que las races de unafuncin son los valores de la variable para los cuales la funcin es cero. Para determinar el nmero deceros de una funcin a partir de su expresin algebraica, utilizaremos el concepto de discriminante quefue analizado en la ecuacin de segundo grado trabajada en la gua de Matemticas I. Para obtenerlos valores que satisfacen a la ecuacin de segundo grado se

emple la frmula generala2

ac4bbx

2 a la expresin b24ac que aparece dentro del

signo del radical se le denomina discriminante (D).

El discriminante nos permite analizar los tres casos que se pueden presentar en una ecuacin cuadrtica,de tal manera que si:

a) b24ac, es un numero positivo las races son dos reales y diferentes.b) b24ac, es un numero negativo las dos races son imaginarias.c) b24ac, es cero las races son reales e iguales.


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Matemticas II

UNIDAD 1

Utilicemos los conceptos anteriores para resolver el siguiente ejercicio.

Una funcin de segundo grado est definida mediante la expresin f(x) = x 22x8 con valores para la

variable independiente de3 a 5. Determinaremos las coordenadas del vrtice, nmero de races, valor delas races, grfica, si la funcin es creciente o decreciente y si tiene mximo o mnimo y signo de laconcavidad.

Calculemos el valor de la abscisa del vrtice, sabiendo que a = 1, b =2 sustituyndolo en

a2

bx

)1(2

)2(

2

2 = 1

Para calcular el valor de la ordenada sustituimos este valor en la funcin

8)1(211f 2 = 128 =9

Por lo tanto las coordenadas del vrtice son: V(1 ,9).

Para determinar el nmero de races sustituimos el valor de a, b y c en

D = b2 4ac = (2)24(1)( 8) = 4 + 32 = 36

Como el discriminante es un numero positivo las races son dos reales y diferentes, entonces la funcintiene dos ceros.

Para calcular las races utilicemos la frmula generala2

ac4bbx

2 en donde a = 1, b =2

y c =8

)1(2

)8)(1(4)2(2 2

2

362

2

62

42

8

2

62x1

22

4

2

62x2

Por lo que las races de la funcin son: x1= 4 y x2=2


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Matemticas II

Con las coordenadas del vrtice y de las dos races construyamos la grfica.

y

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

Si observamos la grafica podemos afirmar que la funcin es decreciente para los valores comprendidosentre menos dos y uno, es creciente para los valores entre uno y cuatro, y para x = 1, la funcin alcanza suvalor mnimo.

La concavidad de la funcin es positiva ya que el signo del coeficiente del trmino cuadrtico espositivo y adems porque en la grfica las astas abren hacia arriba.

Analicemos otro ejemplo:

Un topo se desplaza y en un determinado momento comienza a cavar un tnel con una trayectoria:

P(t) = t26t + 8; donde t es el tiempo en horas. En qu momento iniciar la excavacin? Cul es laprofundidad que alcanza? En que punto regresa a la superficie?

Para dar respuesta a estas interrogantes, realicemos una tabla y su respectiva grfica.

Tiempo(horas)

Profundidad(metros)

Profundidad(metros)

2 0 12.2 -0.75 0.753 -1 0.53.5 -0.75 0.254 0 0

-0.25-0.5

-0.75-1

Observa en la grfica, que el topo inicialmente se desplaza sobre la superficie y a las dos horas inicia sutrayectoria de excavacin describiendo un movimiento decrecienteentre las dos y las tres horas; alcanzauna profundidad de menos un metro a las tres horas que corresponde al punto mnimo de coordenadas(3,1); a partir de ese momento inicia un movimiento crecientecomprendido entre la tres y las cuatro horasy a las cuatro horas exactas el topo sale a la superficie.


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Matemticas II

UNIDAD 1

Es importante que sepas que las funciones cuadrticas tienen un punto mnimo o mximo, que se puede

obtener calculando el vrtice. Para determinar la abscisa del vrtice utilizamos la expresin a2

bx

, para

calcular la ordenada; sustituimos este valor en la funcin, hagamos el clculo en forma analtica.

P(t) = t26t + 8 a = 1 b =6 c = 8

Para las coordenadas del vrtice)1(2

)6(t

32

6t , sustituyendo en la funcin

P(3) = (3)26(3) + 8

= 918 + 8 =1

Por lo que las coordenadas del mnimo son ( 3,1) que coincide con el valor obtenido en la grfica.


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Matemticas II

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atencin las siguientes definiciones y anota en la lnea la(s) palabra(s) que

complete correctamente el enunciado.

1. La funcin f(x) = 6xx2presenta concavidad_____________________________.2. Las races de una funcin son la interseccin con el eje de las__________________.3. En una funcin cuadrtica las coordenadas del ____________representan al mximo o mnimo.

INSTRUCCIONES: Lee con atencin los siguientes reactivos y escribe en el parntesis de la izquierda laletra que corresponda a la respuesta correcta. Realiza tus operaciones en hojas aparte.

4. ( ) La altura h en metros que alcanza una flecha en t segundo despus de haber sido lanzadaverticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio est dada por la ecuacin h(t) =6t2 + 144t + 816Cul es la altura mxima alcanzada por el objeto?

a) 1500b) 1680c) 1695d) 1700

5. ( ) Analiza la siguiente grfica.

y

-7

-6

-5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

Su representacin algebraica es:

a) x2+ 2x3b) x22x3c) x2+ 4x3d) x2+ 2x3

6. ( ) Dada la funcin f(a) = 2a2+ 7a + 3, sus races son:

a)2

1a1 3a2

b)2

1a1 3a2

c)2

1a1 3a2

d)2

1a1 3a2


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Matemticas II

UNIDAD 1

7. ( ) Una compaa que fabrica extractores de jugos encuentra que sus costos totales al producir xcantidad de artculos son: C(x) = x2+ 120x + 24000. Si cada extractor se vende en $500.00, encuentra el

nmero de extractores que se tienen que producir y vender para que la utilidad sea mxima.

a) 25b) 60c) 100d) 190

8. ( ) Una pintura tiene un marco de 20 cm por 12cm. Si estn a la vista 84 cm2de la pintura, cul esel ancho del marco?

a) 8b) 12c) 20

d) 32

9. ( ) Dada f(x) = 4xx2, su grfica es:

f(x)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1 2 3 4 5 x

f(x)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 x

f(x)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 x

f(x)

-5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 0 1 2 3 4 5x

10. ( ) De la funcin f(m) = m29, las coordenadas de su vrtice son:

a) (0,0)b) (0,3)c) (0,9)d) (0,9)

11. ( ) La funcin f(x) = 2x286x tiene comportamiento creciente en:

a) 1 a 4

b) 1 a 0

c)2

3a 4

d)2

3a 4

( a ) ( b ) ( c ) ( d )


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Matemticas II


Nmero de Pregunta Respuesta Correcta

1 negativa

2 abscisas

3 vrtice

4 b

5 a

6 d

7 d

8 c9 a

10 c

11 d


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Matemticas II

UNIDAD 1

f t f t f t f t

t1 2 3

t1 2 3

3

2

1

0

-1

t3 2 1

AUTOEVALUACIN

A continuacin se te presentan una serie de ejercicios, con la finalidad de que reafirmes tus conocimientos

y habilidades para la solucin de problemas, utiliza hojas aparte. Cuentas con noventa minutos pararealizarlo.

INSTRUCCIONES:Coloca sobre la lnea la(s) palabra(s) que complementan el enunciado.

1.- La expresin algebraica de una funcin lineal es una __________________________.

2.- El dominio son los valores que corresponden a la variable_____________________.

3.- La expresin algebraica de una funcin cuadrtica es:_________________________.

4.- El punto donde se encuentra el mnimo o mximo se denomina _________________de la parbola.

INSTRUCCIONES: Lee cada uno de los ejercicios, escribe en el parntesis de la izquierda la letra quecorresponde a la respuesta correcta.

5.- ( ) La funcin x4)x(f cuyo dominio es de2 a 2 tiene como contradominio.

a) de2 a 2b) de 0 a 2c) de 2 a 6d) de 6 a 8

6.- ( ) La grfica de la funcin 3t2)t(f es:

a) b) c) d

7.- ( ) La llamada telefnica a un celular tiene un costo es de $2.50 por minuto. Cul es la expresin

algebraica que representa el costo cuando han transcurrido t minutos?

a) t5.2)t(f

b) t5.2)t(f c) t5.2)t(f

d) t5.2)t(f

3

2

1

0

-1

t

3 2 1

3

2

1

0

-1

3

2

1

0

-1


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Matemticas II

8.- ( ) Una agencia de renta de autos cobra $ 300.00 por da ms $ 3.00 por kilmetro recorrido.Cuntos kilmetros recorri una persona que pag $ 825.00?

a) 100 kmb) 150 kmc) 175 kmd) 200 km

9.- ( ) Las coordenadas de las races de la funcin 4x)x(f2 son:

a) x1= ( 0 , 0 ) x2= ( 0 , 0 )b) x1= (- 1, 0 ) x2= ( 1 , 0 )c) x1= ( 0 , - 2 ) x2= ( 0 , 2 )d) x1= (- 2 , 0 ) x2= ( 2 , 0 )

10.- ( ) La grfica de la funcin m22m72)m(f 2 es:

a) b) c) d)

11.- ( ) Se tiene 16 m para construir una jaula, cul es la expresin algebraica que representa su rea?

a) 2xx8)x(f

b) 2xx8)x(f

c) 2xx16)x(f

d)2xx16)x(f

12.- ( ) El costo para producir un artculo esta dado por la expresin a1670a)a(f

2

cuntosartculos se deben producir para que el costo sea mnimo?

a) 4b) 8c) 10d) 16

m m4 4 18

f(m) f(m) f(m) f(m)

m-18

m18-4 -4-18


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Matemticas II

UNIDAD 1

CLAVE DE RESPUESTAS


1 lnea recta

2 independiente

3 cbxax)x(f 2

4 vrtice

5 c

6 d

7 b

8 c

9 d

10 b

11 a

12 b


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Matemticas II


33/95

UUnniiddaaddIIII

FFuunncciioonneessTTrriiggoonnoommttrriiccaass


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Matemticas II


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Matemticas II

UNIDAD 2

2.1 TEOREMA DE PITGORAS

Como recordars, el curso lo iniciamos con el estudio de las relaciones, establecimos relaciones entrepersonas como las que se forman entre un padre y sus hijos, entre hermanos, entre los alumnos de ungrupo, entre personas y objetos o entre conceptos.

Tambin puedes encontrar relaciones entre los lados y los ngulos de las figuras geomtricas, como en eltringulo. Un tringulo esta formado por tres lados y tres ngulos; si atendemos a las medidas de susngulos los clasificamos en: acutngulos sus tres ngulos son agudos (miden menos de 90 grados),rectngulos uno de sus ngulos es recto (mide 90 grados)y obtusngulos uno de sus ngulos es obtuso(mide ms de 90 grados pero menos de 180 grados), ver figuras:

Obtusngulo Acutngulo Rectngulo

Los tringulos tambin se clasifican de acuerdo con las longitudes de sus lados en: escalenos (no hay doslados que tengan la misma medida), equilteros (sus tres lados tienen la misma medida)e issceles (slodos de sus lados tienen la misma medida).

Escaleno Issceles Equiltero

Limitemos nuestro estudio a slo los tringulos rectngulos. Existen tres propiedadesimportantesasociadas a ellos: La primera referida slo a las medidas de los ngulos, la segunda slo a las longitudes

APRENDIZAJES

Conocer el teorema de Pitgoras

Aplicar el teorema de Pitgoras


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Matemticas II

de los lados y la tercera que relaciona las longitudes de dos de los tres lados del tringulo con la medidade uno de los dos ngulos agudos.

Iniciemos con el estudio de la segunda propiedadque nicamente asocia a las longitudes de los tresladosde un tringulo rectngulo, comnmente conocida como Teor ema de Pitgo ras, el cual afirmaque: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de uno de los catetossumado con el cuadrado de la longitud del otro cateto, es decir:

222 catetocatetohipotenusa

A los lados que forman el ngulo de 90 se les conoce como catetosy al otro lado, comohipotenusa (lado de mayor longitud), ver figura.

Hipotenusa

cateto

cateto

Analicemos la figura y veamos si corresponde a un tringulo rectngulo.

Hipotenusa = 1212 11 cateto1= 11

cateto2= 10

10

hipotenusa2= cateto12+ cateto2

2

122= 112+ 102144 = 121 + 100144 = 221

Como la igualdad no se cumple, el tringulo no es rectngulo.

90


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Matemticas II

UNIDAD 2

Veamos otro caso en donde aplicaremos de manera directa el teorema.

53

4

52= 32+ 4225 = 9 + 1625 = 25

Como la igualdad se satisface significa queeste tringulo es rectngulo.

El teorema de Pitgoras tambin es utilizado para resolver problemas cuando conocemos dos de suslados, por ejemplo:

En la figura Cul es la altura de la torre?

80 m

Haciendo un anlisis notamos que en el tringulo rectngulo que se forma, nos proporcionan el valor de lahipotenusa y el valor de uno de los catetos, entonces aplicando el teorema de Pitgoras tenemos que:

x2+ 802= 1502

x2

+ 6400 = 22500x2= 225006400x2= 16100

x = 16100

x = 126.8858 que es la altura de la torre

150 mx


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Matemticas II

Resolvamos otro problema en el que nos proporcionan los valores de los catetos y debemos calcular elvalor de la hipotenusa.

Un avin al despegar recorre en diagonal una distancia xen km, si la altura que alcanza en determinadomomento es 800 m cuando de manera horizontal ha avanzado 2000 m la distancia x que recorre es:

Al construir un dibujo que describa el enunciado del problema tenemos la siguiente figura.

x800 m

2000 m

20002+ 8002= x24000000 + 640000 = x24640000 = x2

4640000 = x

2154.07 = x

Por lo que el avin realiza un recorrido en diagonal de 2154 .07 m.

Nota: el valor fue redondeado a 2 dgitos despus del punto decimal.


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Matemticas II

UNIDAD 2

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atencin los siguientes reactivos y escribe en el parntesis de la izquierda laletra que corresponda a la respuesta correcta. Realiza tus operaciones en hojas aparte.

1. ( ) Utilizando el Teorema de Pitgoras seala, cul de las siguientes ternas corresponden con laslongitudes de los lados de un tringulo rectngulo?a) 10, 12, 14b) 7, 8, 15c) 6, 8, 10d) 5, 7, 9

2. ( ) Analiza la figura.

1500 m

La distancia que recorre el Telefrico (valor de x) es:

a) 1920.94b) 920.94c) 1400.9d) 1300.9

1200mx


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Matemticas II

3. ( ) Analiza la figura.

Aplicando el teorema de Pitgoras la altura del rbol es:

a) 199.7mb) 7mc) 57md) 19.97m

4. El lado mayor de un tringulo rectngulo recibe el nombre de _______________.

5. El ngulo de 90 est formado por los lados llamados _____________________.

6. En un tringulo rectngulo el lado mayor mide 13 m y uno de los lados menores mide 12 m por lo que elotro lado mide _______________.

x

32m

25m


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Matemticas II

UNIDAD 2


Nmero de pregunta Respuesta correcta

1 c

2 a

3 d

4 hipotenusa

5 catetos

6 5 m


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Matemticas II

2.2 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Ahora estudiemos la propiedad que relaciona slo a las medidas de los ngulos de un tringulo rectngulo.Como recordars, la suma de los ngulos interiores de cualquier tringulo es igual a 180, un tringulo esrectngulo porque uno de sus ngulos es recto, es decir mide 90, luego entonces los otros dosnecesariamente son agudos y adems, la suma de estos es de 90, que sumados a los 90 del ngulorecto dan 180 (ver figura).

090 CB

La siguiente propiedad que estudiaremos, se caracteriza por asociar a la longitud de dos de los tres ladosde un tringulo rectngulo con la medida de uno de los ngulos agudos y que conocemos como razonestrigonomtricas.

Considera el tringulo rectngulo siguiente.

Las longitudes de sus lados son 3, 4 y 5 respectivamente y los ngulos agudos son W y Q. Todas lasposibles razones entre los valores 3, 4 y 5 son:

4/5, 3/5, 4/3, 3/4, 5/3, 5/4,

90WA

Q

3

45

90WA

Q

3

45

90

B

A C

90

B

A C

APRENDIZAJES

Identificar las razones en el tringulo rectngulo.

Interpretar la grfica de las funciones seno y coseno.

Conocer las caractersticas de las funciones seno y coseno.

Resolver problemas con el uso de tringulos rectngulos.


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Matemticas II

UNIDAD 2

Al relacionar a cada una de las razones anteriores con uno de los dos ngulos agudos; por ejemplo con elngulo W tenemos:

)W,5

4( seno del ngulo W

)W,5

3( coseno del ngulo W

)W,3

4( tangente del ngulo W

)W,4

3( cotangente del ngulo W

)W,3

5( secante del ngulo W

)W,4

5

( cosecante del ngulo W

Al efectuar el mismo procedimiento para el ngulo Q, se tiene:

),5

3( Q

seno del ngulo Q

),5

4( Q

coseno del ngulo Q

),4

3( Q

tangente del ngulo Q

),3

4( Q

cotangente del ngulo Q

),4

5( Q secante del ngulo Q

),3

5( Q cosecante del ngulo Q

Nota: observa que an cuando las razones son las mismas no es la misma correspondencia de cada razncon el nombre de ella.

De esta manera podemos definir a las razones trigonomtricas como:


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Matemticas II

agudonguloaladyacentecatetodellongitudla

ladelongitudla

ladelongitudla

agudonguloalopuestocatetodellongitudlaagudonguloundegente

hipotenusaagudonguloundeeno

hipotenusa

agudonguloalopuestocatetodellongitudlaagudonguloundeseno

tan

agudonguloaladyacentecatetodellongitudlacos

agudonguloalopuestocatetodellongitudla


agudonguloalopuestocatetodellongitudla

hipotenusaagudonguloundeecante

hipotenusaagudonguloundeante

agudonguloundeangente

ladelongitudla

ladelongitudla


cos

sec

cot

Aplicando la definicin de las razones trigonomtricas resolvamos el caso en el que se conoce el ngulo yuno de sus lados es desconocido. Por ejemplo, tan35

x

12

El tringulo que se forma es el siguiente:

B

AC

12

x

35

B

AC

12

x

35


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Matemticas II

UNIDAD 2

Para calcular el valor de x , procederemos como sigue:

x

:tenemosdecimalescifrasdosaoredondeand

35tan

14.17

700207538.0

12

12

1235tan

12

35tan

x

x

x

x

Anlisis de las funciones seno y coseno.

En el apartado anterior estudiamos las razones trigonomtricas, las cuales pueden ser expresadas con un

solo nmero. Por ejemplo la razn de 3 a 5 5

3, podemos expresarla como el nmero 0.6, o sea

6.05

3

Por lo que podemos escribir:

(15, sen) 0.258819045 sen 15 = 0.258819045(30, sen) 0.500000000 sen 30 = 0.5

(45, sen) 0.7071067 sen 45 = 0.7071067(60, sen) 0.866025403 sen 60 = 0.866025403

Generalizando este procedimiento ( x, sen ) y o y = sen x

Observemos que la variable es el ngulo x, la funcin es seno y el nmero yes el valor asociado a estafuncin con respecto a este ngulo.

De esta manera a las razones trigonomtricas que estaban vinculadas a un tringulo rectngulo, lashemos expresado como una funcin que en lo sucesivo las denominaremos como funcionestrigonomtricas y a las que no necesariamente identificaremos con un tringulo rectngulo.

Ahora estudiemos a la funcin trigonomtrica seno, elaborando su grfica, identificando si tiene mximos omnimos, los ceros de la funcin, si es creciente o decreciente. Para ello hagamos una tabla con valores

desde -360 hasta 360 tomndolos de 30 en 30 y construymosla junto con su grfica correspondiente.

NOTA: Es importante sealar que la calculadora cientfica debe estar en modo Deg (grados) para que seobtengan los valores con los que se construir la grfica, dichos valores fueron redondeados a un solodgito despus del punto decimal para una construccin ms clara.


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Matemticas II

x

y

.60 120 180 240 300

360

.. . . .

... . .

.....

..

....

.. .

-60

1

-1

x 0 - 30 - 60 - 90 - 120 - 150 - 180 - 210 - 240 - 270 - 300 - 330 - 360

y = senx 0 -0.5 -0.9 -1 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 1 0.9 0.5 0

x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

y = senx 0 0.5 0.9 1 0.9 0.5 0 -0.5 -0.9 -1 -0.9 -0.5 0

Al analizar la grfica podemos observar que:

Las coordenadas de los puntos mximosson: (-270 , 1) y (90 , 1)

Las coordenadas de los puntos mnimosson: (- 90 , -1) y (270 , -1)

Losceros de la funcin son:x1= - 360 x2 = - 180 x3 = 0o x4 = 180 x5 = 360

La funcin seno es creciente para los valores de ngulos comprendidos entre -360 a -270, -90 a 90y 270 a 360 .La funcin seno es decreciente para valores de ngulos comprendidos entre270 a90, y entre 90 a270Con los resultados obtenidos podemos afirmar que hay intervalos o periodos donde la funcintiene el mismo comportamiento, por lo que, se le denomina funcin peridica.

Revisemos ahora la funcin coseno, para lo cual construiremos una tabla tomando valores de 60 en 60

x -360 -300 -240 -180 -120 -60 0 60 120 180 240 300 360

y =cosx 1 0.5 -0.5 -1 -0.5 0.5 1 0.5 -0.5 -1 -0.5 0.5 1

Empleando los valores de la tabla construyamos la grfica, que nos queda de la siguiente manera

1


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Matemticas II

UNIDAD 2

Al analizar la grfica de la funcin cosenopodemos observar que:

Las coordenadas de los puntos mximosson: (-360 , 1) ( 0o, 1) y (360 , 1)

Las coordenadas de los puntos mnimosson: (-180 , -1) y (180 , -1)

Losceros de la funcin son:x1= - 270 x2 = - 90 x3 = 900 x4 = 270

La funcin coseno escrecientepara los valores de ngulos comprendidos entre -180 y -0, 180 y 360

La funcin coseno es decrecientepara valores de ngulos comprendidos entre360 a180, y entre 0a 180

Tambin en la funcin coseno hay intervalos o periodos donde la funcin tiene el mismocomportamiento, por lo que, la denominamos funcin peridica.

Resolucin del tringulo rectngulo.

Hemos revisado algunas relaciones que se dan en un tringulo rectngulo, ahora resolveremos algunosproblemas empleando el teorema de Pitgoras y las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente.

1. Para la construccin de los distribuidores viales, fue necesario emplear gras para colocar las piezas deconcreto como se ilustra en la siguiente figura.

x

Y

60 120 180 240 300 360

.

.

.

.

...

.

.

. .

..

-60-120-180-240-300-360 0

1

-1


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Matemticas II

q

40

30A

B

Cq

40

30A

B

C

Uno de los ingenieros desea saber a qu ngulo debe colocar la gra para poder levantar la pieza queformar el puente y tambin cunto debe enredar el cable para que la pieza quede exactamente en elpunto C.

Antes de tratar de resolver el problema, es necesario leer cuidadosamente el enunciado e identificar en lafigura que te proporcionan los elementos que intervendrn en su solucin.

Accin Representacin grfica o matemtica

Primero observa que en la figura se forma untringulo que mide 30 pies en uno de sus lados(AC) y 40 en la hipotenusa(AB).

40pies

30 pies

10 pies

q

40pies

30 pies

10 pies

q

C


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Matemticas II

UNIDAD 2


Para definir el ngulo al que se deber colocar lagra para poder levantar la pieza que formar elpuente, tendrs que recordar las posiblesrazones que se pueden establecer con los ladosde un tringulo rectngulo.

Como conoces el cateto adyacente y lahipotenusa lo recomendable es utilizar la razncorrespondiente a cos q

75.04

3

40

30

h

cacos q

424140.4175.01cos q

Ahora debemos contestar la siguiente pregunta:Cul es el nmero de metros que debeenredarse el cable para colocar la pieza en elpunto C? En este caso la medida que deseamoscalcular es la de BC que corresponde al catetoopuesto.

Recordars que las razones trigonomtricas

que incluyen al cateto opuesto son sen qy tanqcualquiera te permitir determinar la medidabuscada.

h

cosen q

40

co4241sen

44.26)6613(.40)4241sen(40co

ca

cotan q

30

co4241tan

44.26)8816(.30)4241(tan30co

2. Calculemos el nguloAy el lado desconocido de un tringulo rectngulo en el que se conoce

que una razn trigonomtrica es9

5senA

Al analizar esta expresin podemos afirmar que 5 corresponde con la longitud del cateto opuesto alngulo A, y que 9 es la hipotenusa. Con esto podemos construir el siguiente tringulo:

q

40

30A

B

Cq

40

30A

B

C

q

40

30A

B

Cq

40

30A

B

C

B

A

5

9

C


50/95

18

Matemticas II

Para calcular la medida del ngulo A utilizaremos el siguiente procedimiento:

9

5senA con una calculadora obtienes el valor de )

9

5(invsenA

=33 44 56.36

Para obtener la medida del lado desconocido podemos emplear el teorema de Pitgoras

52+ L2= 92

25 + L2= 81

L2= 8125

L2= 56

L = 56

L = 7. 48

3. Un grupo de estudiantes acuden a un billar y se retan a efectuar el siguiente tiro: la bola blanca debergolpear a la bola que se encuentra en la banda opuesta, como se muestra en la figura. Uno de ellos sealaque lo har auxilindose de los conocimientos aprendidos en su curso de trigonometra y que primerodeterminar la distancia en la que debe golpear la banda lateral y con ello el ngulo en que deberhacerlo. Podras verificar que tiene razn? Por qu?

Como abras observado en la figura que se te proporcion x es la distancia del punto donde la pelota tocala banda a la esquina izquierda. En los cursos de fsica que has tomado te sealaron que las medidas delos ngulos de reflexin y de incidencia son iguales, por lo que, podrs observar que ambos ngulos midenq. Para resolver este problema efecta el siguiente procedimiento.


Primero observa que en la figura se formandos ngulos

Ahora dibuja los tringulos que observas,ambos son rectngulos.

x1.70 - x

.70.60

q q

x1.70 - x

.70.60

q q

x 1.70 M-x

440.60 M


51/95

19

Matemticas II

UNIDAD 2

Como ambos ngulos tienen la mismamedida entonces se cumple que:

Esto significa que :

qtanx

.

60 y qtan

x.

.

701

70

x.

.

x

.

701

7060

Para resolver esta ecuacin multiplica sustrminos en cruz

)(.x)x.(. 7070160

Al aplicar la propiedad asociativa y realizandolas operaciones obtenemos:

x.x.. 7060021

7846301

021

301021

6070021

..

.x

x..

x.x..

Recordars que qtanx

.

60entonces

sustituyendo el valor que obtuviste de x setiene que:

qtan.

.

7846

60 .7647tan q

403776471 ..tanq 3724

Como ambas expresiones me permitencalcular el valor de qentonces:

7646915470

7846701

70

701

70

...tan

tan..

.

tanx.

.

q

q

q

4237403776461 ..tanq

4. Al realizar una prctica de campo varios alumnos de la asignatura de Ecologa observaron dos guilasque salan de su nido y uno de ellos reto a los dems para que calcularan la distancia entre el nido delguila y la cima del risco. Podra hacerlo t? Para ello toma en consideracin que ests colocado a 30metros de la base del risco y que los ngulos de elevacin son 40 y 47 al nido y cima del riscorespectivamente.

30

4047

30

4047


52/95

20

Matemticas II

En la figura proporcionada puedes generar dos tringulos que te permitirn determinar la distancia del nidoa la cima por lo que te recomendamos lo siguiente:


Lee cuidadosamente el problema e identifica losdatos.

Conocemos la medida de la base de ambos tringulosy los ngulos que forman el primero con el nido y elsegundo con la cima del risco.

Ahora dibuja los dos tringulos rectngulos.

Tomemos el primer tringulo y calculemos ladistancia del piso al nido.

40tan30

CO.

25.17(30)0.8390)()30(40tanCO

Como segunda actividad consideremos elsegundo tringulo y calculemos la distancia delpiso a la cima del risco.

47tan30

CO.

32.16(30)1.0723()30(47tanCO

Recordemos que el problema nos solicita ladistancia del nido a la cima del risco por lo que,

es necesario calcular la diferencia entre ladistancia del piso a la cima del risco y ladistancia del piso al nido.

m6,9917.2516.32

riscodelcimalaanidodelciatandis

5. Dos jvenes fueron de excursin y visitaron el Pico de Potos en el municipio de Galeana en MonterreyNuevo Len, ambos discutan sobre la altura que tiene. Para argumentar su respuesta se colocaron a unadistancia de 2500 m entre ellos y con un ngulo de elevacin con respecto a su cima de 35 y 59;llegando a la conclusin de que es aproximadamente igual a 3021 m. Tienen razn? Argumenta turespuesta.

Para resolver este tipo de problemas debes tener en cuenta tus capacidades para ordenar, interpretar yclasificar informacin. En principio es necesario que te preguntes, los datos que me proporcionan sonsuficientes para resolverlo?

4747

30 m

4747

30 m

5935

A CD x

y

5935

A CD x

y

4040

30 m


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21

Matemticas II

UNIDAD 2


Lee cuidadosamente el problema e identificalos datos.

Conocemos la medida de la base del tringuloABD , los ngulos A y D.

Observa que este tringulo no es rectngulo.

La teora desarrollada hasta el momento solote permite trabajar con tringulos rectngulos.Tienes tringulos rectngulos? Observa lafigura cuidadosamente y la respuesta esafirmativa ya que ABC y DBC lo son, ahoradibjalos.

Tomemos el primer tringulo y determinemos laexpresin que nos permite calcular el valor dela altura.

x

y

ca

co 59tantan q

)6642.1(x59tanxy x6642.1y

Como segunda actividad considera el segundotringulo y obtn la ecuacin que te permitecalcular la altura.

250035tantan

x

y

ca

coq

35tan)2500x(y )7002(.)2500x(y

5.1750x7002.0)7002)(.2500(x7002.0y

5.1750x7002.0y

Recordemos que el problema nos solicita laaltura del Pico de Potos, por lo queindependiente de la colocacin de ambos

jvenes la altura siempre ser la misma.Entonces puedes igualar las dos ecuacionesanteriores:

87.1815x

964.0

5.1750x

5.1750x964.0

5.1750x7002.0x6642.1

5.1750x7002.0yx6642.1

B

A D35

B

CD

59

x

y

A

B

C

35

x + 2500

Y


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22

Matemticas II

Sin embargo, en el problema nos solicitan laaltura, por lo tanto, es necesario que realices lasustitucin del valor de x en alguna de las dosecuaciones obtenidas al inicio del problema.

97.021,3y

5.175047.1271y

5.1750)87.1815(7002.0y

5.1750x7002.0y

Tambin lo puedes hacer de la siguientemanera:

97.3021)87.1815(6642.1x6642.1y


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23

Matemticas II

UNIDAD 2

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atencin los siguientes reactivos y escribe en el parntesis de laizquierda la letra que corresponda a la respuesta correcta. Realiza tus operaciones en hojas aparte

1. ( ) Observa cuidadosamente la imagen.

La altura h de la torre Eiffel es:

a) 301.99 mb) 312.5 mc) 309.60 m

d) 391 m

2. ( ) Analiza la figura

La altura h del helicptero es:a) 16.7 kmb) 167 kmc) 1.67 kmd) 1.677 km

12 km

80h

h

400 m

38


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24

Matemticas II

3. ( ) Si t y un amigo en estas vacaciones fueron a Loreto Baja California y se ubican en una de las

dos estaciones de rastreo que estn separadas 4 kilmetros sobre una lnea costera recta de dondedetectan un barco como se muestra en la figura cul es el valor de y?

a) 1.713 kmb) 171.3 kmc) 1713 kmd) 17.13 km

4. ( ) Observa cuidadosamente la siguiente figura y expresa la longitud total de la escaleraconsiderando la distancia a la que se encuentra de la cerca de la casa, la altura de la cerca, y donde q es

el ngulo que forma la escalera con el piso (Considera que L es la longitud de la escalera).

a) L = 1.5 sen q+ cos qb) L = 1.5 cos q+ cos 1.5 (q)c) L = 3 sen q+ cos qd) L = 1.5 sen q+ 1.5 cos q

1.5 m1.5 m

1.5 m1.5 m

Estacin A Estacin B

47 55 4 km

y


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25

Matemticas II

UNIDAD 2

5. ( ) A los estudiantes con 9.5 de promedio se les otorga un viaje a una isla ubicada en Quintana Roo.La persona que los acompaa los reta a que calculen el ancho de la isla para lo cual les proporciona los

datos que se indican en la figura.

El ancho de la isla es de:

a) 4120.22b) 412.02c) 4121.22d) 412.122

INSTRUCCIONES:Lee con atencin los siguientes reactivos y realiza lo que se solicita en cada caso.

Analiza el siguiente tringulo6.

Con base en la figura, relaciona la funcin trigonomtrica de la columna de la derecha con el valor que lecorresponde de la columna izquierda, anotando en el parntesis la letra de la respuesta correcta.

20

351500 m

20

351500 m

6

A

10

8

( ) 6/8 A) csc A( ) 10/6 B) cos A( ) 6/10 C) tan A( ) 8/10 D) cot A( ) 10/8 E) sec A

F) sen A


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26

Matemticas II

7. En la funcin f(x) = 2 sen (x) desde 00a 360olas coordenadas de los puntos mximos son

__________________


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27

Matemticas II

UNIDAD 2


Nmero de pregunta Respuesta correcta

1 b

2 c

3 d

4 d

5 a

6 CAFBE

7 (90o, 2)


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Matemticas II

AUTOEVALUACIN

A continuacin se te presentan una serie de ejercicios, con la finalidad de que reafirmes tus conocimientosy habilidades para la solucin de problemas, utiliza hojas aparte. Cuentas con noventa minutos pararesolver.

INSTRUCCIONES: Lee con atencin los siguientes reactivos y realiza lo que se solicita en cada caso.

1. Si en un tringulo rectngulo la hipotenusa mide 27.38 y un cateto 14.63, la longitud del otro lado es:________________

2. Los catetos de un tringulo miden 134.12 y 89.03, entonces la medida de la hipotenusa es:__________________.

3. La hipotenusa de un tringulo mide 25 m. si el tringulo es issceles entonces la longitud de los lados

es: ________________________

4. Observa la siguiente figura donde una escalera de 6 m de largo recargada contra la pared de un edificioforma un tringulo.

I Cul de los tres elementos corresponde a la hipotenusa?______________________________

II La altura a la que llega la escalera mide

5. Si en un tringulo rectngulo uno de sus ngulos agudos mide 28, cunto mide el otro ngulo agudo(utiliza calculadora cientfica) _______________________________

6. Si en un tringulo rectngulo uno de sus ngulos agudos mide 82, cunto mide el otro ngulo agudo(utiliza calculadora cientfica) ______________________________

7. Si en un tringulo rectngulo uno de sus ngulos agudos mide 3214 16, cunto mide el otro nguloagudo (utiliza calculadora cientfica) _________________________________

8. Si en un tringulo rectngulo uno de sus ngulos agudos mide 8 65 28, cun to mide el otro nguloagudo (utiliza calculadora cientfica) _________________________________

6 m6 m

62


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29

Matemticas II

UNIDAD 2

9. ( ) Analiza la siguiente figura que representa el reabastecimiento en el aire que usan algunascompaas areas con la finalidad de ahorrar tiempo. Calcula la longitud x de la manguera que surte elcombustible.

Las coordenadas en que se ubica una mosca son (1,3) y una araa tiene posicin en (6,0), como se ve en

la figura

I Cul es la longitud de la perpendicular al eje horizontal?II Cul es la distancia de la base de la perpendicular al lugar donde se encuentra la araa?III A qu distancia se encuentra la mosca de la araa?

60 m32

x60 m

32

x

0 1 2 3 4 5 6 7

T(t)

t (segundos)

(metros)


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30

Matemticas II

11. Analiza la informacin que se reproporciona a continuacin.

I. Completa la tabla

ngulo -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 - 90 - 60 - 30

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5

f(x) = sen (x-

90)

ngulo 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5 0

f(x) = sen (x-

90)

II. Traza, con colores diferentes, las grficas de las funciones anteriores en el mismo planocartesiano,

1

.5

-.5

-1

-360 -330 300 -270 240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180. 210 240 270 300


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31

Matemticas II

UNIDAD 2

12. Analiza la informacin que se proporciona a continuacin.


ngulo -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 - 90 - 60 - 30

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5

f(x) =sen

(x+90)

ngulo 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5 0

f(x) =sen

(x+90)


1

.5

-.5

-1

-360 -330 300 -270 240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180. 210 240 270 300


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32

Matemticas II



ngulo -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 - 90 - 60 - 30

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5

f( x ) = cos (x -90)

ngulo 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5 0

f( x ) = cos (x -90)


1

.5

-.5

-1

-360 -330 300 -270 240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180. 210 240 270 300


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Matemticas II

UNIDAD 2



ngulo -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 - 90 - 60 - 30

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5

f(x) =

cos(x +90)

ngulo 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5 0

f(x) =cos

(x+90)


|

1

.5

-.5

-1

-360 -330 300 -270 240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180. 210 240 270 300


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34

Matemticas II

CLAVE DE RESPUESTAS


1 23.14

2 160.97

3 17.67

4I. La longitude de la escalera

II. 5.29 m

5 62

6 8

7 57 4544

8 24 32

9 longitud de la manguera 113 m

10I. 3II. 5

III. 5.83

11.I.

ngulo -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 - 90 - 60 - 30

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5

f(x) = sen (x-90)

-1 -.86 -.5 0 .5 .86 1 .86 .5 0 -.5 -.86

ngulo 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5 0

f(x) = sen (x-90)

-1 -.86 -.5 0 .5 .86 1 .86 .5 0 -.5 -.86 -1

II.

1

0.5

-0.5

-1

x

y

-360 -330 300 -270 240 -210 -180 -150-120-90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180. 210 240 270 300

sen x

sen (x90)


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35

Matemticas II

UNIDAD 2

1

0.5

-0.5

-1

y

x

y

sen x

sen (x + 90)

1

0.5

-0.5

-1

x

y

-360 -330 300 -270 240 -210 -180 -150-120-90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180. 210 240 270 300

sen x = cos (x90)

12.I

ngulo -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 - 90 - 60 - 30

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5

f(x) = sen(x+90)

1 .86 .5 0 .-5 .-86 -1 -.86 -.5 0 .5 .86

ngulo 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5 0

f(x) = sen

(x+90)1 .86 .5 0 .-5 .-86 -1 -.86 -.5 0 .5 .86 1

II.

13.I.

ngulo -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 - 90 - 60 - 30

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5

f(x) = cos (x-90)

0 .5 .86 1 .86 .5 0 -.5 -.86 -1 -.86 -.5

ngulo 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5 0

f(x) = cos (x-

90)0 .5 .86 1 .86 .5 0 -.5 -.86 -1 -.86 -.5 0

II.

sen x

-360 -330 300 -270 240 -210 -180 -150-120-90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180. 210 240 270 300


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36

Matemticas II

1

0.5

-0.5

-1

x

y

sen x

cos (x + 90)

-360 -330 300 -270 240 -210 -180 -150-120-90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180. 210 240 270 300

14.

I

ngulo -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 - 90 - 60 - 30

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5

f(x) =

cos(x +90)0 -.5 -.86 -1 -.86 -.5 0 .5 .86 1 .86 .5

ngulo 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

f(x) = sen x 0 .5 .9 1 .9 .5 0 -.5 -.9 -1 -.9 -.5 0

f(x) =cos

(x+90)0 -.5 -.86 -1 -.86 -.5 0 .5 .86 1 .86 .5 0

II.


69/95

UUnniiddaaddIIIIII

FFuunncciioonneessEExxppoonneenncciiaalleessyyLLooggaarrttmmiiccaass


70/95

2

Matemticas II


71/95

3

Matemticas II

UNIDAD 3

3.1 FUNCIN EXPONENCIAL

Para iniciar el estudio de la funcin exponencial, analicemos la siguiente situacin.

La Profa. Buenaventura propuso a sus alumnos de quinto semestre en una de las prcticas de laboratoriode Biologa que elaborarn un cultivo de hongos de tal manera que bajo control de laboratorio duplique supoblacin cada da. Sabiendo que al inicio del cultivo se tenan 5 hongos, cuntos hongos tendr elcultivo en 7 das?

Como puedes observar en esta situacin el total de hongos depende del nmero de das que vayantranscurriendo por lo que la variable independiente son el nmero de das y la variable dependiente es elnmero de hongos.

Si sabemos que en el tiempo cero se tienen 5 hongos y que en el primer da se duplican sern 10,hagamos una tabla y su respectiva grfica.

d (das) N(d) (nmero de hongos)

0 5(2)0 = 5

1 5(2) = 5(2)1= 10

2 5(2)(2) = 5(2)2= 20

3 5(2)(2)(2) = 5(2)3= 40

4 5(2)(2)(2)(2) = 5(2)4= 80

5 5(2)(2)(2)(2)(2) = 5(2)5= 160

6 5(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 5(2)6= 320

7 5(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 5(2)7= 640

d 5(2)d; d es cualquier nmero de das.

APRENDIZAJES

Construir la grfica de la funcin exponencial. Conocer las caractersticas de la funcin exponencial. Resolver problemas cuyo modelo de solucin sea una

funcin exponencial.


72/95

4

Matemticas II

N (d)

(nmeros de hongos)

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Las funciones exponenciales, de acuerdo con lo anterior pueden ser expresadas como f(x) = cb xal igualque en las otras funciones al asignarle valores a la variable independiente se pueden obtener los valoresde la variable dependiente y con ellos construir su respectiva grfica.

Ahora resolvamos los siguientes problemas.

Al principio de 1987, la poblacin mundial era de alrededor de 5000 millones. Se dice que para el ao2000, alcanz 7700 millones con lo cual se estableci que su expresin algebraica est dada por:P(t)0=05000e0.019(t)Cul es el comportamiento de la poblacin hasta el ao 2011?

La poblacin mundial depende del tiempo t en aos a partir de 1987 al que consideraremos como t = 0,para al ao 2011 han transcurrido 24 aos, con lo cual elaboraremos una tabla y su respectiva grfica,realicemos el calculo para t = 4, el valor de ecorresponde a 2.718281

P(4)0=05000e0.019(4).

= 5000(2.718281)0.019(4)

= 5000(1.07896)= 5394.8

Cerrando al entero ms prximo P(4) = 5395millones.

d (das)


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Matemticas II

UNIDAD 3

t (aos) P(t) (millones)

0 50004 5395

8 5821

12 6280

16 6776

20 7311

24 7889

P(t) (millones)

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

8500

0 4 8 12 16 20 24

(aos)

t

El elemento 88 mejor conocido como radio, es radioactivo. Esto significa que los tomos de radio sedesintegran espontneamente, emitiendo una radiacin en forma de partcula alfa, beta o rayos gama.Cuando un tomo se desintegra de esta manera, su ncleo se transforma en el ncleo de otro elemento. Elncleo de un tomo de radio en desintegracin est dado por la expresinC(t) = C0e-0.000418t.

Considerando que la cantidad inicial de radio es de 20 gramos cunto quedar despus de 0, 100, 500,1000, 1500 aos?

As, por ejemplo para t = 100aos, al sustituir el valor se tiene:

C(100) = C0e-0.000418(100)

=20(2.718281) -0.0418

= 20(0.95906)

= 19.1812


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Matemticas II

t

(aos

C(t)

(gramos0 20

100 19.18500 16.1

1000 13.171500 10.682000 8.67

C(t)

(gramos)

01.5

34.5

67.5

910.5

1213.5

1516.5

1819.5

21

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100

(aos)

t

Observa que en las dos primeras situaciones las funciones tienen un comportamiento creciente, y en laltima el comportamiento es decreciente. Es importante que recuerdes que al operar con exponentes,stos indican el nmero de veces que la base se multiplica; en caso de tener un exponente negativo la

regla de los exponentes que debes aplicar es mm

bb

1 .


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Matemticas II

UNIDAD 3

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atencin los siguientes reactivos y escribe en el parntesis de la izquierda la

letra que corresponda con la respuesta correcta

1. ( ) Cul es la representacin grafica de la funcin exponencialxxf 3)( ?

2. ( )Analiza la grafica de la siguiente funcin:

Cul es el modelo matemtico que la define?

a)xxf 4)(

b)xxf 2)(

c)xxf

4)(

d)x

xf 2)(

2

y

8

-2 1 o 1 2

x

4

a) b) c) d)

6

3 -2 -1 o 1 2

3

2

8

-2 -1 o 1 2

4

6

-3 -2 -1

O 1 2 3

3

16

-3 -2 -1 o 1 2

4


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Matemticas II

3) ( ) Analiza la grafica de la siguiente funcin.


a)xxf 5)(

b)xe

xf1

)(

c) x

xf4

1

d) xexf )(

4) ( )Sea la funcinxxf 5)( , Indica si es

a) Funcin linealb) Funcin crecientec) Funcin logartmicad) Funcin decreciente

5) ( ) Cules son las caractersticas de la funcin

x

bxf )( , siempre que b >1

a)Funcin decreciente, siempre intersecta al eje y en (0,1), el ejex es una asntota horizontalb)Funcin decreciente, siempre intersecta al eje y en (1,0) el eje x es una asntota vertical.c)Funcin creciente, siempre intersecta el eje y en el punto (0,1), el eje x siempre es una asntota

horizontal.d)Funcin creciente, siempre intersecta al eje y en (1,0) , el eje x es una asntota horizontal.

16

-3 -2 -1 o 1 2

4


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Matemticas II

UNIDAD 3

6) ( ) Cules son las caractersticas de la funcinxbxf )( , siempre que 1b

a) Funcin decreciente, siempre intersecta al eje y en (0,1), el ejex es una asntota horizontalb) Funcin decreciente, siempre intersecta al eje y en (1,0) el eje x es una asntota vertical.c) Funcin creciente, siempre intersecta al eje y en (1,0) , el eje x es una asntota horizontal.d) Funcin creciente, siempre intersecta el eje y en el punto (0,1), el eje x siempre es una asntota

horizontal.

7) ( ) La expresin para calcular la poblacin final est dada porrt

on ePP .Si una ciudad en el ao2003 tuvo 125,720 habitantes y la tasa de crecimiento promedio anual es de 3.5%, cul ser la poblacinesperada para el ao 2006?

a) 126000b) 130500c) 139639d) 142542

8. ( ) Si se empieza con 2C y se duplica la cantidad todos los das, al trmino de n das se tendrn 2nC, esto es. C(n)= 2n. Cunto se tendr para 4, 5 y 6 das?

a) 2, 4 y 6 Cb) 16, 32 y 64 Cc) 4, 8 y 16 Cd) 8, 10 y 12 C

9. ( ) La presin atmosfrica P, en libras entre pulgada cuadrada (lb/in2) se puede calcular con

aproximacin mediante la frmulaxeP 21.07.14 en la que x es la altura con respecto al nivel del mar.

Qu presin atmosfrica se espera para 1, 2, y 5 millas de altura con respecto al nivel del mar?

a) 10, 15 y 500 libras entre pulgada cuadrada.b) 11.92, 9.66 y 5.144 libras entre pulgada cuadrada.c) -0.84,1 -42 libras entre pulgada cuadrada.d) 1, 2 y 5 libras entre pulgada cuadrada.


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Matemticas II


Nmero de reactivo Respuesta correcta

1 a

2 b

3 c

4 b

5 c

6 a

7 c8 b

9 b

Sugerencias

Repasa las leyes de los exponentes, y recuerda muy bien lajerarqua de operaciones para obtener correctamente el valornumrico de las funciones y ecuaciones exponenciales


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Matemticas II

UNIDAD 3

3.2 FUNCIN LOGARITMO

La Profa. Buenaventura propuso a sus alumnos de quinto semestre en una de las prcticas de laboratoriode Biologa, que elaborarn un cultivo de bacterias de tal manera que, bajo control de laboratorio, duplique

su poblacin cada da, as por ejemplo: se inicia con una bacteria, en el primer da existen 2 bacterias;para el cuarto da se tiene 16 bacterias, para el sexto da 64 bacterias, para el dcimo da 1024 bacterias.En cuntos das existirn 256 bacterias?

Para contestar la pregunta anterior, anotaremos estos datos en una tabla.

DasNmero debacterias

0 2 = 11 2 = 22 2 = 43 2 = 84 2 = 166 2 = 64d 2 = 25610 2 = 1024

APRENDIZAJES

Construir la grfica de la funcin logartmica.

Conocer las caractersticas de la funcin logartmica.


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Matemticas II

Nmero de

bacterias

0100200300400500600700800900

10001100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Das

Observa que en este caso podemos formar la ecuacin 2d = 256; la incgnita es el exponente. Comopuedes observar el valor de d est entre 6 y 10 das. Una forma de encontrar el valor de d sera buscarun nmero tal que al multiplicar el 2 tantas veces por si mismo nos diera como resultado 256 esto es:(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 256 por lo que d es igual a 8.

Sin embargo este mtodo es laborioso y se puede convertir en un procedimiento complicado, si d es unnmero decimal o grande. Lo anterior nos obliga a pensar en un procedimiento ms eficaz, ste es el usode la funcin logaritmo y sus propiedades.

Entre los siglos XVI y XVII Napier y Briggs crearon el concepto de logaritmo; de ah se deriv lo queactualmente se conoce como funciones exponenciales y logartmicas. La funcin exponencial ya fueestudiada cuando resolvimos el problema del cultivo de hongos en el laboratorio. La funcin logaritmo laempezamos a utilizar cuando resolvimos el caso del cultivo de bacterias; utilizamos para esto una tabla.

En ste caso desconocamos el nmero de das (d) de duracin del cultivo y conocamos el total debacterias que son 256, lo que podemos escribir 2d= 256; observa que el nmero de das d es la incgnitay adems es el exponente del nmero 2, que es la base.

Por lo tanto podemos decir que la funcin a la denominaremos como funcin logaritmo de base 2 y queenunciaremos como logaritmo de base dos de doscientos cincuenta y seis es igual al nmero d(das) y que

podemos escribir como: dlog2 ;lo anterior lo podemos generalizar como:

La funcin logaritmo de base b del nmero x es igual al nmero y que equivale a la funcin

exponencial de base b elevada a la y, es igual a xque podemos representar en lenguaje algebraicocomo: xlogy b equivale a

ybx

Se emplea la notacin logbpara denotar la funcin logartmica de base b. Los valores de la funcin logb sedenota por logb(x) de forma sencilla logbx (que se lee logaritmo de base b de x).


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Matemticas II

UNIDAD 3

Las siguientes tres propiedades o leyes de logaritmos son reformulaciones de las leyes de los exponentes.Para cualquier par de nmeros reales positivos M y N:

a) NcN bc

b loglog para cualquier nmero real c.

b) NlogMlogN

Mlog bbb

c) NlogMlogMNlog bbb

Entonces nuestro problema queda representado como:

256logd 2

equivale a

d

2256

Tomando el logaritmo a ambos lados de la ltima ecuacin tenemos:

d2log256log

Por la primer propiedad

2log256log d

d2log

256log

2log

256logd

83010.0

4082.2d


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Matemticas II

20151050

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

EJERCICIOS


letra que corresponda con la respuesta correcta.

1. ( ) Cul es la representacin grfica de la funcin logartmica xLogxf 2)( ?

2 ( ) Analiza la grfica de la siguiente funcin.


a) xLogxf 2)(

b) xLosxf 4)(

c) xLogxf2

3)(

d) xLogxf4

1)(

252015105

4

2

0

-2

-4

x

y

4321

4

2

0

-2

-4

y

x

y

252015105

2

0

-2

-4

x

y

107.552.52.5

0

-2.5

-5

-7.5

-10

x

x

y


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Matemticas II

UNIDAD 3

302520151050

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

3. ( ) Analiza la grfica de la siguiente funcin.


a) xLogxf 3)(

b) xLogxf 2)(

c) xLogxf 4 d) xLogxf 5)(

4. ( ) Sea la funcin xLogxf 6)( Indica si es:

a) Funcin cuadrtica.b) Funcin creciente.c) Funcin exponencial.d) Funcin decreciente.

5. ( ) Cules son las caractersticas de la funcin xLogxf b)( , siempre que b > 1

a) Funcin decreciente, siempre intersecta al eje y en (0,1), el ejex es una asntota horizontalb) Funcin decreciente, siempre intersecta al eje y en (1,0) el eje x es una asntota vertical. c) Funcin creciente, siempre intersecta el eje y en el punto (1,0), el eje x siempre es una

asntota horizontal.d) Funcin creciente, siempre intersecta al eje x en (1,0) , el eje y es una asntota vertical.

6. ( ) Cules son las caractersticas de la funcin xxf e lnlog)( , con x > 0

a) Funcin logaritmo natural, siempre intersecta al eje x en (1,0), el ejey es una asntota verticaly es una funcin creciente.

b) Funcin logaritmo de base 10, siempre intersecta al eje y en (1,0), el eje x es una asntotavertical y es una funcin decreciente

c) Funcin logaritmo natural, siempre intersecta el eje x en el punto (1,0), el eje y siempre esuna asntota vertical y es una funcin creciente.

d) Funcin logaritmo de base 10, siempre intersecta al eje x en (1,0), el eje y es una asntotavertical y es una funcin decreciente.


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Matemticas II

7. ( ) A un grupo de personas se les explican ciertos conocimientos e inmediatamente despus se lesaplica un examen para obtener la calificacin promedio del grupo. La expresin para calcular la capacidad

de memoria est definida por la ecuacin: )1ln(590)( ttC

, donde C(t) es la calificacin promedioy t es el tiempo en meses transcurridos en que se aplica de nuevo el examen original. Cul es lacalificacin promedio despus de 6 meses?

a) 90b) 86.5c) 83.1d) 80.2

8. ( ) El gerente de una compaa sabia por sus ingenieros que el costo total en la produccin decierto nmeros de artculos segua aproximadamente una funcin de

costos: )990ln(3.5)( xxf . De acuerdo con est funcin de costos, calcula los costos de

produccin para 1000 artculos.a) 10.30b) 11.50c) 12.20d) 24.91


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Matemticas II

UNIDAD 3


Nmero de reactivo Respuesta correcta

1 c

2 b

3 a

4 b

5 d

6 a

7 d

8 c

Sugerencias

Repasa el tema de funcin exponencial y las leyes de losexponentes, recuerda muy bien la jerarqua de operacionespara obtener correctamente el valor numrico de las funcionesy ecuaciones logartmicas.


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Matemticas II

AUTOEVALUACIN


letra que corresponda con la respuesta correctaCuentas con una hora y treinta minutos para contestar los reactivos.

1. ( ) Cul es la representacin grafica de la funcin exponencialxexf )( ?

Lee con atencin el siguiente reactivo y realiza lo que se solicita.

2. Relaciona la columna de la derecha con la de la izquierda y anota en el parntesis de la izquierda laletra correcta.

( ) xxf 2)(

A)

( ) xxf 2)(

B)

-3 -2 -1 o 1 2

4

- - -

4

y

-3 -2 -1 o 1 2 3

x

7

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Matematicas II (Plantel 17)

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