Apuntes de Matematicas II

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CORRESPONDENCIA.

Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B.

Se denota por Bf : A →

A es el conjunto inicial de la correspondencia.

B es el conjunto final de la correspondencia. Los elementos de A que se transforman mediante la correspondencia forman el CONJUNTO ORIGINAL: Or(f)

Los elementos de B que son transformados de los de A forman el CONJUNTO IMAGEN: Im( )f

Se llama GRAFO de una correspondencia a un subconjunto G del producto cartesiano A × B formado por los pares (a, b) tal que b = f(a).

APLICACION. Se llama APLICACION entre dos conjuntos A y B a toda correspondencia que verifica las siguientes condiciones:

Todos los elementos del conjunto A se transforman en elementos del conjunto B: )Or( fA ≡

La imagen de cada elemento es única. Tipos de aplicaciones. Si a la aplicación le exigimos algunas cosas más, tendremos distintos tipos de aplicaciones: • INYECTIVA: cada imagen lo es de un sólo original, es decir, si

' )'()( xxxfxf =⇒=

• SOBREYECTIVA, SOBRE o EXHAUSTIVA: todo elemento del conjunto final tiene un original: .)( / decir, es )Im( yxfAxByfB =∈∃∈∀≡

• BIYECTIVA: cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, es decir, es una aplicación uno a uno, por lo que los conjuntos inicial y final tienen el mismo número de elementos.

FUNCIONES. Se llama FUNCION a toda aplicación entre conjuntos numéricos.

1

Nuestro objetivo es estudiar funciones reales de variable real, es decir, funciones donde el conjunto final es el conjunto de números reales (funciones reales) y el conjunto inicial también es o un subconjunto D de (variable real).

Se representan por: ( )f : D / x D y = f x → ∈ → ∈

“x” representa la variable independiente y toma valores en el conjunto original D

“y” representa la variable dependiente y toma valores en el conjunto imagen

Una función se puede definir de varias maneras:

• Por medio de un cuadro de valores: FUNCIONES TABULADAS.

• Por medio de una expresión o fórmula matemática.

• Por medio de su gráfica. En toda función debemos distinguir:

• DOMINIO: Se llama dominio o campo de existencia de una función al conjunto de valores x para los cuales está definida la ecuación ),(xfy = es decir, al conjunto de valores que tienen imagen; se representa por ( ).D Dom f=

( ) { / ( ) }fDom f D x f x y= = ∈ = ∈

• RECORRIDO: Se llama “recorrido” de una función al conjunto de valores reales que son imagen de algún original, es decir, al conjunto de valores de la variable y.

Se representa por Im( )f .

Im( ) { / ( ) siendo }ff y y f x x D= ∈ = ∈

Ejemplos:

La función : definida de la forma 2( )f → f x x= (función cuadrática) tiene por dominio puesto que cualquier número real tiene cuadrado y su recorrido es + ya que el cuadrado de cualquier número real es positivo.

La función : definida de la forma f D → 2( )1

xf xx

=−

tiene sentido para

todos los valores que no anulan el denominador, es decir, todos los valores x tales que 2 1 0 . Como los únicos valores que anulan el denominador son

1x = − y 1x − ≠x = , el dominio máximo de la función será { }1,1 . D = − −

La función : definida de la forma f D → 2( ) 1f x x− tiene sentido para todos los valores que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero, es decir,

= +

2 21 0 1x x− ≥ ⇔ ≥ de donde | | 1x ≤ . En consecuencia, el dominio máximo de nuestra función será [ 1,1 ]D = − .

2

Puesto que una función es una aplicación f de D en , podemos decir que una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva, cuando lo sea la aplicación que la define.

La función lineal ( )f x ax b= + es una función biyectiva ya que es

Inyectiva: Si ( ) ( ') ' 'f x f x ax b ax b x x= ⇔ + = + ⇔ =

Sobreyectiva ya que para cualquier valor real y podemos encontrar el original

correspondiente que tenga a y por imagen: y by ax b xa−

= + ⇒ =

En consecuencia, puesto que es inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva.

La función 2( )f x x= no es inyectiva ya que si

2 2 '( ) ( ') ( ')

'x x

f x f x x xx x=⎧

= ⇔ = ⇔ ⎨ = −⎩

La correspondencia : definida por f D → ( )f x x= no es una función para ningún dominio D ya que cualquier valor real positivo de x tendrá dos imágenes, una positiva y otra negativa. Si x la entendemos como x+ , entonces si es función.

El dominio D puede ser un subconjunto no vacío cualquiera del conjunto de números reales .

Si D = la funciones reciben el nombre de sucesiones de números reales.

Si D = las funciones se llaman funciones reales de variable entera.

Si D = las funciones se llaman funciones reales de variable racional.

IGUALDAD DE FUNCIONES. Sean y dos funciones. Se dice que f es igual a g , y se escribe 1:f D → 2:g D →

f g= , cuando se verifican las dos condiciones siguientes:

a) Tienen el mismo dominio: 1 2D D=

b) ( ) ( )f x g x= para cualquier x del dominio 1 2D D= .

Ejemplos:

Las funciones 2 y ( ) ( 1)f x x= − 2( ) 2 1g x x x= − + son iguales ya que tienen el mismo dominio máximo y además se verifica que ( ) ( )f x g x x= ∀ ∈ .

Las funciones ( ) 1f x x= − y 2 1( )

1xg xx−

=+

no son iguales ya que no tienen el mismo

dominio máximo: la función f tiene por dominio y la función g tiene por dominio máximo { }1− − .

3

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. La representación gráfica de una función pretende visualizar la correspondencia entre las variables x e y de forma que se vean fácilmente sus propiedades. De aquí la gran importancia de la gráfica de una función: da una información rápida y amplia de la función.

GRAFO DE UNA FUNCIÓN Sea una función real de variable real. A cada :f D → x D∈ le hace corresponder

un valor numérico que es la imagen de x por f. ( )y f x=

Se llama GRAFO de la función a un subconjunto fG del producto cartesiano D× formado por los pares ( , )x y tal que ( )y f x= .

{ }( , ( )) /fG x f x x D= ∈

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN:

Si consideramos un sistema de referencia afín, p.e. { }; ,R O i j= , podemos

representar los puntos del grafo fG en el plano afín.

La figura del plano afín determinada por los puntos correspondientes a los elementos del grafo, recibe el nombre de GRÁFICA de la función. Es decir, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas verifican la ecuación ).(xfy =

Si el dominio de la función f es finito podemos representar todos los pares del grafo y obtener la gráfica completa.

Si el dominio de la función f es infinito es imposible representar todos los pares del grafo. En la práctica, se representan los puntos necesarios de forma que al unirlos por un trazo continuo, se obtenga una gráfica que se aproxime a la real.

Para comprobar si un punto pertenece o no a la gráfica de la función f, basta comprobar si se verifica la igualdad

),( baP).(afb = Si se verifica pertenece y si no se verifica,

no pertenece.

Dada la abscisa x = a de un punto de la gráfica de una función, para hallar la ordenada correspondiente, sólo tendremos que sustituir x por a en la definición de la función y así obtener y = f(a). La solución es única y existe, por tanto, un único punto de la gráfica con esa abscisa.

El problema inverso sería: Dada la ordenada y = b de un punto de la gráfica, obtener la abscisa correspondiente.

Para ello, se resuelve la ecuación b = f(x) que puede tener una, varias o infinitas soluciones que corresponderán con uno, varios o infinitos puntos de la gráfica de la función.

Para representar una función utilizamos unos ejes cartesianos que no son más que dos rectas que se cortan perpendicularmente en un punto que llamaremos ORIGEN de coordenadas y sus coordenadas serán . La recta horizontal recibe el nombre de EJE DE ABSCISAS y la vertical, EJE DE ORDENADAS.

(0, 0)

En el eje de abscisas representaremos los originales (variable independiente): desde el origen hacia la derecha, los positivos y hacia la izquierda, los negativos.

4

En el eje de ordenadas representaremos las imágenes (variable dependiente): desde el origen hacia arriba, las positivas y hacia abajo, las negativas.

Los cortes de la gráfica de la función con el eje OX de abscisas reciben el nombre de CEROS DE UNA FUNCION. Son los originales que tienen por imagen el cero.

{ }( ) ( ) ( ) 0C f = x Dom f / f x = ∈

Para calcular los ceros de una función no tendremos más que tomar la propia definición de la función y después de igualar a cero, resolver la ecuación que nos resulta.

Ejemplos:

1. Representar la función : donde f D → [ ] [ ]6, 1 1, 6D = − − ∪ definida por 6( )f xx

= .

Calculamos la tabla de valores correspondientes:

y su gráfica nos quedaría de la forma:

2. Representar la función : definida por f →si 2

( )3 si 2x x

f xx<⎧

= ⎨ ≥⎩La gráfica de esta función se compone de dos semirrectas: una para valores menores que 2, donde representaremos la función ( )f x x= que corresponde a la bisectriz del tercer cuadrante y del primero hasta el 2; otra, la ( ) 3f x = , función constante, que son los puntos de la forma ( , 3)x . Con ello, la gráfica nos quedaría de la forma:

x y = f(x) ( , ( ))P x f x

–6 –1 ( 6, 1)− −

–3 –2 ( 3, 2)− −

–2 –3 ( 2, 3)− −

–1 –6 ( 1, 6)− −

- - -

1 6 (1, 6)

2 3 (2, 3)

3 2 (3, 2)

6 1 (6,1)

5

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

FUNCIONES CONOCIDAS.

FUNCIONES LINEALES.

Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su expresión en forma explícita es .)( baxxfy +==

En sentido más estricto, se llaman funciones lineales sólo a las funciones que se representan mediante rectas que pasan por el origen de coordenadas y su forma explícita será axy = .

Las de la forma baxy += recibirían el nombre de funciones afines.

Nosotros seguiremos llamando funciones lineales a las primeras, dejando para las del tipo axy = el nombre de funciones de proporcionalidad ya que ,a

xy = es decir, la relación entre

la imagen y el original es constante.

El dominio y el recorrido de cualquier función lineal es el conjunto de números reales:( )Dom f = ¡ Im( )f = ¡

La gran importancia de las funciones lineales nos viene dada por la gran cantidad de aplicaciones de ella:

El alargamiento de un muelle es proporcional al peso que colguemos: pkA .=

La relación entre la dilatación y la temperatura de un cuerpo.

Dosis de un medicamento-peso del enfermo.

FUNCIONES CUADRÁTICAS (PARÁBOLAS).

Son funciones en las que la imagen nos viene dada mediante un polinomio de segundo grado: cbxaxxfy ++== 2)( y su gráfica es una parábola.

El dominio de la función cuadrática es el conjunto de números reales.

Partiendo de la gráfica de la función cuadrática más elemental ( )2xy = el efecto de cada uno de los coeficientes es el siguiente:

El coeficiente “a” de x2 determina que la curva sea más o menos estirada y su signo, que la parábola tenga las ramas hacia arriba (a positivo) o hacia abajo (a negativo).

Si a > 1, las ramas se cierran respecto de .2xy =

Si 0 < a < 1, las ramas se abren respecto de .2xy =

El coeficiente c hace que la curva suba o baje.

El coeficiente b” desplaza la gráfica hacia la derecha (b negativo) o hacia la izquierda (b positivo).

El vértice de la parábola lo podemos calcular fácilmente mediante derivación, resolviendo

la ecuación a

bxbaxy2

020' −=→=+⇒= .

F U N C I O N E S C O N O C I D A S 6 6


FUNCIONES POLINÓMICAS (de grado superior a dos).

Están definidas de la forma: nn xaxaxaxaaxfy +++++== 3

32

210)(

Todas ellas tienen en común las siguientes características:

Su dominio es el conjunto de números reales y son continuas en él.

No tienen asíntotas, es decir: ± ∞=± ∞→

)(lím xfx según sea el coeficiente del término de

mayor grado y la paridad de éste. Los puntos de corte con el eje OX (ceros de la función) los obtenemos resolviendo la

ecuación f(x) = 0. Los puntos críticos los obtenemos de la siguiente manera:

* ⇒= 0)(' xf máximos y mínimos relativos.* ⇒= 0)('' xf puntos de inflexión.

Una vez que hayamos obtenido las abscisas de los puntos críticos, sustituimos en la función para calcular las ordenadas correspondientes y poder representarlos.

FUNCIONES RACIONALES.

Son funciones definidas mediante el cociente de dos funciones polinómicas: )()()(

xQxPxf = ,

donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas.

El dominio de una función racional del tipo )()()(

xQxPxf = donde P(x) y Q(x) son dos

polinomios, es menos los puntos que anulan el denominador, ya que tanto P(x) como Q(x) tienen existencia para cualquier valor real pero al dividirlos encontramos el inconveniente de no poder dividir por cero. En consecuencia, los valores de x que anulen el denominador no tendrán imagen y no pertenecerán al dominio de la función.

( ) { / ( ) 0 } { / ( ) 0 }Dom f x Q x x Q x= ∈ ≠ = − ∈ =¡ ¡ ¡

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSAHay multitud de fenómenos que ligan dos variables cuya relación es de proporcionalidad inversa (una es inversa de la otra) como sucede con la presión y el volumen a temperatura constante, con la frecuencia de un sonido y su longitud de onda.

Veamos como está definida la función de proporcionalidad inversa y cual es su gráfica.

Se llama función de proporcionalidad inversa a la función definida de la forma:

xk

xkxfy 1)( ⋅===

Si tratamos de calcular su gráfica, podemos observar que la función x1

no está definida en el

punto 0=x y además

− ∞=−→ xx

1lim0

+ ∞=+→ xx

1lim0

Estudiando el comportamiento de la función en los extremos de la recta real, tenemos:



−

− ∞→= 01lim

xx

+

+ ∞→= 01lim

xx

En consecuencia, la gráfica será tangente a la recta 0=y (eje OX) en el infinito (+ o –). Este tipo de rectas reciben el nombre de asíntotas (las estudiaremos posteriormente) y como

es paralela al eje OX se denominan horizontales. Con ello la gráfica de la función x

xf 1)( =

será de la forma:

Esta gráfica recibe el nombre de HIPÉRBOLA.

Si queremos representar xkxf =)( , las características que hemos estudiado son las

mismas; únicamente debemos tener en cuenta lo siguiente:

Si 0>k podemos establecer:

⇒> 1k la gráfica se aleja del origen de coordenadas. Por ejemplo, si 2=k , la

función nos queda x

xf 2)( = y su gráfica sería

F U N C I O N E S C O N O C I D A S 8

xxf 1)( =

xxf 1)( =

xxf 2)( =

8


⇒<< 10 k la gráfica se aproxima al origen de coordenadas. Por ejemplo, si

2/1=k , la función nos queda x

xf21)( = y su gráfica sería

Si 0<k , los límites cambian de signo y obtenemos la función opuesta de la anterior:

Podemos observar que las funciones de proporcionalidad inversa son funciones impares o simétricas respecto del origen.

Otras funciones relacionadas con la función de proporcionalidad inversa son:

⇒±

=rx

kxf )( el r± desplaza la gráfica de la función xk

hacia la izquierda (

r+ ) o hacia la derecha ( r− ). Por ejemplo, las gráficas de

las funciones 1

1)(+

=x

xf y 1

1)(−

=x

xg serían:


xxf 1)( =

xxf

21)( =

xxf 1)( −=

9


⇒++=

dcxbaxxf )( las funciones de este tipo se pueden convertir, efectuando la

división, en rx

qpxf±

+=)( : rx

q±

es del tipo anterior y

“p” sube o baja la gráfica de la función según sea positivo o negativo.

Ejemplo: La función 2354)(

−+=

xxxf se puede expresar de la forma :

32

32

923

323 1

923

34

34

2334

2354)(

−⋅+=

−+=

−+=

−+=

xxxxxxf

Entonces, la gráfica de f partiendo de x1

:

Las gráficas de estas funciones también son HIPÉRBOLAS.

FUNCIONES RADICALES.

Son funciones donde la variable se encuentra bajo el signo radical (dentro de una raíz).

El dominio de estas funciones dependerá del índice de dicha raíz:

• Si el índice es par, el dominio es el conjunto de puntos que hace el radicando positivo.

• Si el índice es impar, el dominio de nuestra función será el mismo de la función que tengamos en el radicando.

FUNCIÓN EXPONENCIAL.

Definimos la función exponencial en base 0>a y 0≠a como una función real de variable real tal que a cada x ∈ ¡ le hacemos corresponder otro número real dado por xa , es decir:

exp *a+ →¡ ¡

x ∈ ¡ → xay =Propiedades:

El dominio de la función exponencial es ¡ y su recorrido es *+¡


x/1 32

1−x

32

1923

−⋅x

32

1923

34

−⋅+

x

10


Es continua en todo su dominio.

Se verifica que f(0) = 1 y f(1) = a para cualquier a > 0.

Si a > 1, f es estrictamente creciente.

Si a < 1, f es estrictamente decreciente.

Esto nos indica que la función exponencial es inyectiva, cualquiera que sea la base.

Si a > 1, se verifica que:+ ∞=

+ ∞→

x

xalím +

− ∞→= 0lím x

xa

Si a < 1, se verifica que:+

+ ∞→= 0lím x

xa + ∞=

− ∞→

x

xalím

Si a = 1, tenemos 11)( == xxf : nos queda la función unidad (constante). Su gráfica nos quedaría de la forma:

Si 1>a Si 10 << a

Las gráficas de xaxf =)( y ( ) xaxf /1)( = son simétricas respecto del eje OY.Si dibujáramos las gráficas de dos funciones exponenciales cuyas bases sean inversas obtendríamos


xy 2=

xy 3=

xy )2/3(=

xy )3/1(=

xy )2/1(=

xy )3/2(=

xey =xey −=

11


FUNCIONES CIRCULARES.

Son funciones que están definidas mediante las razones trigonométricas de los ángulos:⇒= xxf sen )( función seno

⇒= xxf cos)( función coseno

⇒= xxf tg)( función tangente

Son funciones periódicas de período π2=T salvo las funciones tangente y cotangente que tienen de período π. Son continuas y derivables en todo su dominio. Las gráficas de estas funciones ya se estudiaron en el curso anterior:

Podríamos generalizar estas funciones a

)(cos)()(sen )(

baxxfbaxxf

+=+=


xxf sen )( =

xxf cos)( =

xxf tg)( =

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teniendo ellas las siguientes características:

Están definidas y son continuas en ¡ .

Su recorrido es el intervalo cerrado [−1,1], por lo que están acotadas.

Su período es a

T π2= : el efecto que produce el coeficiente a es el de comprimir o estirar

la gráfica de dichas funciones.

El coeficiente b desplaza la gráfica a izquierda o derecha.

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.Son funciones en las que en cada tramo (intervalo) están definidas mediante una función cualquiera.

Para definir este tipo de funciones es imprescindible indicar el tramo o intervalo que corresponde a cada función.

Para representar gráficamente las funciones definidas a trozos, tendremos que representar en cada trozo la función mediante la que esté definida.

Ejemplos:

a) 2 1 si 2 1

( ) si 1 33 2 si 3 5

x xf x x x

x x

+ − ≤ <= ≤ < − ≤ ≤

Su dominio será el intervalo cerrado [ ]5,2− y su gráfica sería

b)

≥<

=0 si sen0 si

)(2

xxxx

xf Dom( )f⇒ = ¡ y su gráfica:



Veamos algunas funciones conocidas definidas a trozos:

Función PARTE ENTERA de un número.

Es una función entera de variable real definida de la siguiente forma:

[ ]xxEntxfy === )()(

parte entera de un número real x es el mayor entero menor o igual que x.Su gráfica, teniendo en cuenta la definición, es la siguiente:

• Función PARTE DECIMAL o MANTISA.

Está definida por [ ]xxxMantxDecxfy −==== )()()(Su gráfica nos viene dada por:

Como podemos observar en la gráfica, se trata de una función periódica, de período T=1. Esta función parte decimal nos da la distancia de un número al entero más próximo.

Función VALOR ABSOLUTO.

El valor absoluto de un número real se define como el máximo entre dicho número y su opuesto:

},{máx || xxx −=

De esta manera el valor absoluto de un número siempre será positivo: si el número es negativo, su valor absoluto es igual a su opuesto y si es positivo, el valor absoluto coincide con el propio número.

La función valor absoluto es una función real de variable real en la que a cada número le hacemos corresponder su valor absoluto. Nos queda definida de la siguiente forma:

≥<−

===0 0

||)(xsixxsix

xxfy


1−

14


Su gráfica será:

La gráfica de una función |)(| xfy = es fácil de construir si conocemos la gráfica de la función y = f(x), pues bastaría considerar la función opuesta donde f(x) fuese negativa.

Para obtener la expresión analítica de |)(| xfy = debemos conocer las abscisas de los puntos en donde f(x) cambia de signo, es decir, donde f(x) = 0.

Ejemplo:

•

≥−<−

=⇒

≥−−<−−−

=−==2 si 22 si 2

)( 02 202 )2(

|2|)(xxxx

xfxsixxsix

xxfy

•

≥−<<−−

−≤−=−==

1 si 111 si 1

1 si 1|1|)(

2

2

2

2

xxxx

xxxxfy

ya que la función 12 −x se anula en los puntos −1 y 1 siendo negativa en los valores comprendidos entre ellos.Gráficamente:


12 −x|1| 2 −x

15

OPERACIONES CON FUNCIONES. Sean f y g dos funciones reales de variable real, cuyos dominios nos vengan dados por:

.)(y )( 21 DgDomDfDom ==

SUMA DE FUNCIONES: )() ( La imagen mediante la función suma es igual a la suma de las imágenes )

())(( x + gx = fxf + g

El dominio de la función suma será la intersección de los dominios ya que para tener definida la función suma en un punto, éste debe pertenecer a los dominios de las dos funciones para asegurarnos de la existencia de f(x) y de g(x):

21)( DDgfDom ∩=+

Conocidas las gráficas de las funciones f y g, para hallar la gráfica de f g+ basta sumar en cada punto del dominio de definición de f g+ los valores de

( )f x y de . ( )g x

Esta suma, así definida, verifica las siguientes propiedades:

a. Asociativa: )()( hgfhgf ++=++

b. Conmutativa: fggf +=+

c. Elemento neutro o nulo: función cero 0( ) = 0 = 0 x x y x∀ ∈ ⇒ ∀ ∈

d. Elemento simétrico u opuesto: Función opuesta )( = ))(( xfxf −−

Con todo esto, el conjunto de funciones reales de variable real con la operación suma tiene estructura de Grupo conmutativo.

La existencia de elemento opuesto respecto de la suma de funciones nos permite definir la

DIFERENCIA DE FUNCIONES: se suma a la función minuendo la opuesta de la función sustraendo

)()())(( xgx = fxgf −−

PRODUCTO: )()())(( xgx= fxgf ⋅⋅ (la imagen mediante la función producto es igual al producto de las imágenes).

El dominio de la función producto será la intersección de los dominios ya que para tener definida la función producto en un punto, éste debe pertenecer a los dominios de las dos funciones para asegurarnos de la existencia de f(x) y de g(x): 21)( DDgfDom ∩=⋅

Propiedades: a. Asociativa: )()( hgfhgf ⋅⋅=⋅⋅

16

b. Conmutativa: f ggf ⋅=⋅

c. Elemento neutro. Función unidad: ( ) 1 1g x = x y = x∀ ∈ ⇒ ∀ ∈

d. Elemento inverso. Función inversa (no existe en general)

Este elemento inverso, de existir, debe verificar que 1f g⋅ = . Si esta relación fuese cierta, tendríamos:

1( )( ) 1( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )

f g x x f x g x g x x Df x

⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ∀ ∈

Estas relaciones serán ciertas si 0)( ≠xf , cosa que no tiene por qué suceder.

• Si f(x) = 0 en algún punto del dominio, no existirá la función g.

• Si 0)( ≠xf en todos los puntos del dominio, existe la función g.

En este segundo caso, la función g recibe el nombre de función inversa de f y se designa

por 1f

.

Función inversa: )(

1)(1xf

= xf ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

En la práctica, cuando se escribe 1f

, se trata de una función definida en el

conjunto de puntos donde no se anula f. Este conjunto recibe el nombre de dominio de inversión de f.

Si tenemos en cuenta esta función inversa, en el dominio de inversión del denominador, es posible definir el cociente de dos funciones de la siguiente manera:

COCIENTE: g(x)f(x)

xgxfx

gf=x

gf

=⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)(

1)()(1)(

Las operaciones suma y producto se relacionan mediante la propiedad Distributiva:

hfgfhgf ⋅+⋅=+⋅ )(

En consecuencia, con todo lo anterior, el conjunto de funciones reales de variable real con las operaciones suma y producto tiene estructura de Anillo conmutativo y unitario.

MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO REAL: ( )( ) ( )k f x = k f x⋅ ⋅

Teniendo en cuenta la definición se verifica que ( ) ( ).Dom k f Dom f⋅ =

Propiedades: a. b. ( )( )k f g k f k g⋅ + = ⋅ + ⋅ a b f a f b f+ ⋅ = ⋅ + ⋅

c. d. 1( ) (a b f a b f⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ f f⋅ =

17

Con ello, el conjunto de funciones reales de variable real con las operaciones suma y producto por un número real verificando las propiedades enumeradas anteriormente tiene estructura de Espacio vectorial real.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Sean y dos funciones con Se llama función compuesta de f y g, y la representaremos por a la función de D1 en , dada por

1:f D → 2:g D → .)( 21 DDf ⊂,fg

( ) [ ]g f x g f x( ) ( )=

La imagen de x por es única, por serlo la imagen de x por f y la imagen de fg ( )f x por g. En consecuencia, se trata de una función.

Esquemáticamente:

El dominio máximo de no coincide, en general, con el dominio máximo de f:

tenemos la relación fg

)()( fDomfgDom ⊆

EJEMPLOS:

Dadas las funciones 1) y ( += xxf4

1)( 2 −=

xxg , calcular los dominios máximos de

gf y de fg

• Calculamos la expresión de g f

431

41

41))(())(( 2

2

22 −−

=+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−==

xx

xxfxgfxgf

Tendremos ( ) { 2, 2} ( )Dom f g Dom g= − − =

• Calculamos la expresión de fg

)1)(3(1

321

4)1(1)1())(())(( 22 −+

=−+

=−+

=+==xxxxx

xgxfgxfg

En este caso tendremos: )(}1 ,3{)( fDomRRfgDom =⊂−−=

18

Dadas las funciones 1(

1)(−

=xx

xf y 1

)( 2

2

+=

xxxg , calcular las funciones gf y

fg

• =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

=+

==

1)1(

1

1

111

1)1

())(())((

2

22

2

2

2

2

2

22

2

xxx

xx

xx

xxx

xfxgfxgf

2

2

2

2

22

2

22

2

1

1

1

)1(

1

11

1

1x

x

xx

xx

xxx −

+=

+−

=

+−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+

=

La función compuesta tiene como dominio el conjunto vacío, puesto que en el denominador tenemos la raíz cuadrada de un número negativo que no tiene existencia en .

gf

=+

−

−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−==

1)1(

1)1(

1

1)1(

1

)1(1

)1(1))(())(( 2

2

xx

xx

xx

xx

xxgxfgxfg

11

)1()1(1

)1(1

2 +−=

−−+

−=

xxxx

xxxx

El denominador de esta función no se anula en ningún punto, con lo que podría pensarse que el dominio de la función sería y, sin embargo, el dominio es el dominio de la función f.

fg

Propiedades de la composición de funciones. a. Asociativa: fg hfgh )()( =

b. Conmutativa: No se verifica como puede verse en los ejemplos anteriores.

c. Función Identidad: es una función Ι definida de D en mediante ,)( xx es decir, cada número real se transforma en sí mismo.

I =

d. Si f es una función cualquiera de D en , se verifica que ffIIf ==

e. Función inversa o recíproca: Dada una función f, se llama función inversa o recíproca de f y se representa por ,1−f a aquella función que verifica:

Iffff == −− 11

xxIxffxffxxIxffxff

===

===−−

−−

)())(())(()())(())((

11

11

19

Puesto que al componer las dos funciones obtenemos la función identidad, las gráficas de

una función y su inversa (recíproca) serán simétricas respecto de la recta y = x (gráfica de la función identidad).

Para que una función tenga inversa o recíproca es necesario que sea inyectiva (cada imagen tiene un solo original). Si una función no es inyectiva, puede descomponerse en trozos de forma que en cada uno de ellos sí lo sea y, entonces, en cada uno de esos trozos tendrá su función inversa. EJEMPLO.

• La función 2)( xx no es una función inyectiva, pero si la descomponemos en trozos de forma que en cada uno de ellos sí lo sea, nos quedará:

f =

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥=

<==

0 si )(

0 si )()(

22

21

xxxf

xxxfxf

y en cada uno de ellos la función tendrá su función inversa: 2)( xxf =

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥=+=

<=−=−

−

0 si )( de inversa es )(

0 si )( de inversa es )(2

21

2

21

11

xxxfxxf

xxxfxxf

¿Cómo calculamos la inversa de una función?

Gráficamente, la inversa de una función f la obtenemos dibujando su simétrica respecto de la recta y = x.

f

1−f),( xy

),( yx

xy =

Podemos observar que a cada punto de la gráfica de f le corresponde en el punto que resulta de intercambiar sus coordenadas, es decir,

),( yx 1−f).,( xy

Teniendo en cuenta esto, podremos obtener la expresión analítica de f procederemos de la siguiente forma:

1. Estudiaremos si f es inyectiva y si no lo es, descomponemos en trozos de forma que sí lo sea en cada uno de ellos.

2. En la función f, procederemos a cambiar el original a imagen y la imagen a original: )( )( yfxxfy =⇒=

3. Despejando y en la expresión obtenida nos queda:

)( )())(( 111 xfyxfyff −−− =⇒=

que es la función que buscamos.

20

EJEMPLOS: • Calcular la función inversa de .53)( −= xxf a) Estudiamos si la función dada es inyectiva:

Para que la función f sea inyectiva se debe verificar que si ' )'()( xxxfxf =⇒= En nuestro caso:

' 5'353 )'()( xxxxxfxf =⇒−=−⇒= lo que significa que f es inyectiva.

b) Puesto que la función f es inyectiva, pasamos a calcular su inversa:

53 53 −=⇒−= yxxy

Despejando y obtenemos: 3

5)(1 +== − xxfy

que es la función inversa de la dada. Esto podemos comprobarlo sin más que componer f con la obtenida: 1−f

xxxfxffxff =+−

=−== −−−

35)53()53())(())(( 111

Gráficamente:

y x=

1 5( )3

xf x− +=

( ) 3 5f x x= −

• Calcular la función inversa de 4 )( 2 −= xxf

La función cuadrática no es inyectiva, pero si descomponemos su dominio en dos trozos separados por el vértice de la parábola:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−=

<−==−=

0 si 4)(

0 si 4)(4)(

22

212

xxxf

xxxfxxf

en cada uno de ellos, la función si es inyectiva y podremos calcular su inversa:

4 4 4 22 +±=⇒−=⇒−= xyyxxy

y, hablando con mayor propiedad, la inversa será:

4 si 4)(

4)(1

2

11 ≥

⎪⎭

⎪⎬⎫

++=

+−=−

−

xxxf

xxf

21

Gráficamente:

2f

1f 1

2−f

1

1−f

• Encontrar la función inversa de El vértice de la parábola es el punto de abscisa x = 3 que será el que nos descompone el dominio en trozos de forma que en cada uno de ellos la función es inyectiva:

.46)( 2 +−= xxxf

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+−=

<+−==+−=

3 si 46)(

3 si 46)(46)(

22

212

xxxxf

xxxxfxxxf

Calculamos su inversa:

0)4(6 46 46 222 =−+−⇒+−=⇒+−= xyyyyxxxy

y, despejando:

xxx

y +±=−−±

=−−±

= 532

)4(9262

)4(4366

En consecuencia,

5 si 53)(

53)(1

2

11 −≥

⎪⎭

⎪⎬⎫

++=

+−=−

−

xxxf

xxf

Gráficamente:

1

2f−

2f

11f−

1f

22

EJERCICIOS. Calcular la función inversa o recíproca de las siguientes funciones:

• • 37)( −= xxf7523)(

++

=xxxf • 12)( 2 −+= xxxf

• 2)( −= xxf • • 3)( xxf = 3)( xxf = LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

Recordemos que la función exponencial f es una aplicación biyectiva de en *+ tal

que a cada le hacemos corresponder siendo a un número real positivo distinto de uno.

x∈ ,xa

Por ser f biyectiva (cada punto de está asociado con uno y sólo uno de *+ y

recíprocamente), su recíproca es también biyectiva, pero ahora de en . 1−f *+

Se llama función logarítmica de base )1y 0( ≠> aaa a la función recíproca de la

función exponencial en base a, es decir: 1 * *: tal que a cada log ( 0 y 1) af x x a−

+ +→ ∈ → ∈ > a ≠

La expresión se lee "logaritmo en base a de x" y se verifica que: xalogxayx y

a =⇔= log Observaciones:

1. Si la base es el número "e", se escribe ln x o Ln(x), en vez de y se lee "logaritmo neperiano o logaritmo natural de x".

xelog

Se verifica, pues que xe yx y =⇔= ln

2. Si la base es 10 se escribe log x, sin indicar la base, y se lee "logaritmo decimal de x" o simplemente "logaritmo de x"

x yx y =⇔= 10 log Cuando la base toma otros valores, se escriben éstos como subíndices de la

abreviatura log PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

1. Los números negativos no tienen logaritmo, ya que nunca adquiere valores negativos, de ahí que su dominio sea

xa*+

2. El logaritmo de la unidad es cero: a aa ∀== 1 que ya 01log 0

3. El logaritmo de la base es uno: aa aaa ∀== que ya 1log 1

4. x axa xxa

a == logy log

5. La función logarítmica es continua.

23

6. Si la base a > 1, la función logarítmica es estrictamente creciente y se verifica

loglímy loglím10 si 0log

1 si 0log

0+∞=−∞=

<<<>>

+∞→→ +xx

xxxx

axax

a

a

7. Si la base a es tal que 0 < a < 1, es estrictamente decreciente y se verifica

loglímy loglím10 si 0log

1 si 0log

0−∞=+∞=

<<>><

+∞→→ +xx

xxxx

axax

a

a

Su gráfica sería En general,

En particular, la exponencial y la logarítmica más utilizada es la de base el número “e”,

( ) xf x e= y 1( ) Ln( )f x− = x (logaritmo neperiano de x), y sus gráficas nos quedarían de la forma:

1log>a

xa10

log<< a

xa1

xaa >

0 1

xaa< <

y x=

y x=

2log x

3log x

3/ 2log x

2/3log x 1/ 2log x

1/3log x

24

8. Logaritmo del producto.

El logaritmo de un producto de dos factores es igual a la suma de los logaritmos de cada factor, esto es: *, : log ( . ) log loga a ax y x y x y∀ ∈ + + =

9. Logaritmo del cociente.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del

divisor, es decir: *, : log log loga a axx y xy+ =

.log : * =∈∀ +

y∀ ∈ −

10. Logaritmo de una potencia.

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base: bx log bRx a

xa

11. Logaritmo de una raíz.

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la

raíz: xalog⋅ n

xRx na

1log : * =∈∀ +

De todo lo dicho, podemos concluir que la función logarítmica de base "a" es la función inversa de la función exponencial a. Esta nueva función nos permitirá bajar el exponente en la función exponencial a la hora de calcular su inversa.

LAS FUNCIONES ARCO.

Son las funciones inversas de las funciones trigonométricas o circulares.

Teniendo en cuenta que la función xxf sen)( = no es inyectiva, para poder definir su

función inversa nos quedaremos con un tramo en el que sí lo sea: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2,

2ππ

Él quedarnos con este intervalo es puramente convencional, puesto que podíamos tomar cualquier otro donde la función seno fuese inyectiva.

La función inversa de la función seno recibe el nombre de "arco seno" y se pone arcsen.

( ) xf x e= 1( ) Ln( )f x x− =

y x=

25

Está definida de la forma:

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−→

2,

2 1,1- : arcsen ππ

donde a cada valor del seno se le hace corresponder el arco correspondiente.

Se verifica que xxxx == )arcsen(seny )sen(arcsen

De análoga manera se definirían las funciones arco coseno (inversa del coseno) y la función arco tangente (inversa de la tangente). EJERCICIOS.

Calcular las funciones inversas o recíprocas de las siguientes funciones:

• 53)( += xxf • )1( • )3 )( 2 += xLxf sen()( += xexf

• )1 • 1 • arccos()( 2 −= xxf )( sen −= xexf 1)( −= xexf

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES A PARTIR DE OTRAS CONOCIDAS

Sean y dos funciones con Se llama función compuesta de f y g, y la representaremos por a la función de D1 en , dada por

1:f D → 2:g D → .)( 21 DDf ⊂,fg

( ) [ ]g f x g f x( ) ( )=

Podemos observar que componer dos funciones es hacer actuar una de ellas sobre las imágenes de la otra.

EJEMPLO.

Sean las funciones senfx x⎯⎯→ y 2gx x⎯⎯→ según se realice la composición tendremos: 2( )( ) ( ( )) (sen ) seng f x g f x g x x= = =

2 2( )( ) ( ( )) ( ) sen( )f g x f g x f x x= = =

Podemos observar, nuevamente, que la composición de funciones no verifica la propiedad conmutativa, es decir, g f f g≠ .

26

Sin embargo, el conocimiento de las gráficas de las gráficas de las funciones componentes es de gran ayuda para la representación de la función compuesta.

Ejemplo. Para realizar la gráfica de la función del ejemplo anterior debemos tener en cuenta

que g f

1 sen 1x− ≤ ≤ y, por tanto, se verifica que 20 sen 1x .≤ ≤

Por otra parte, cuando | sen | 1x ≤ se verifica que 2sen | sen | 1.x x≤ ≤

Teniendo en cuenta que los máximos y mínimos de esta función son evidentes, la gráfica de esta función nos queda de la forma:

Si f y g son funciones reales de variable real, entonces la gráfica de la función f g puede construirse a partir de las gráficas de f y g de la siguiente forma:

Tomamos un punto cualquiera ( )x Dom g∈ y trazamos la recta vertical que pasa por el punto ( , 0)x . Esta recta intersecta a la gráfica de f en el punto ( , ( ))x g x .

Si ( )x Dom f g∈ , entonces ( ) ( )g x Dom f∈ y la recta vertical que pasa por cortará a la gráfica de f en el punto ( ( . Entonces, el punto (

( ( ), ( ))g x g x), ( ( )))g x f g x , ( ( )))x f g x que

buscamos se obtiene como intersección de la reta horizontal que pasa por y la vertical que pasa por ( , 0)

( ( ), ( ( )))g x f g xx .

seny x=

2seny x=

27

Considerando que la primera transformación sea elemental, veamos como podemos

representar la gráfica de la función compuesta Diferenciaremos las operaciones que realizaremos

a la función ( )f x de las operaciones que realizaremos a la variables x. En realidad no se debiera

hacer tal distinción si tuviésemos en cuenta el orden de composición, recuérdese que no es

conmutativa..

Supongamos que conocemos la representación de f(x) veremos:

TRANSFORMACIONES A LA FUNCIÓN TRANSFORMACIONES A LA VARIABLE

( )f x− ( )f x−

( )f x k+ ( )f x k+

( )k f x⋅ ( )f k x⋅

(| |)f x )(xf

)(xf 1−

)(xf1

A) REPRESENTACIÓN DE A PARTIR DE ( )y f x= − ( )y f x= (FUNCIÓN OPUESTA)

La gráfica de –f(x), función opuesta, será simétrica a f(x) respecto al eje x o de abscisas.

28

Ejemplos:

29

B) REPRESENTACIÓN DE A PARTIR DE ( )y f x= − ( )y f x=

La gráfica de ( )f x− será simétrica a ( )f x respecto al eje y o de ordenadas

Ejemplos:

30

C) REPRESENTACIÓN DE A PARTIR DE ( )y f x k= + ( )y f x= Si sumamos un número a la función la gráfica de f(x)+k se obtiene trasladando, a lo largo del

eje y o de ordenadas, la gráfica de f(x) k unidades hacia arriba.

Si restamos un número a la función la gráfica de f(x)-k se obtiene de trasladando, a lo largo

del eje y o de ordenadas, la gráfica de f(x) k unidades hacia abajo.

Ejemplos:

32

D) REPRESENTACIÓN DE A PARTIR DE (y f x k= + ) ( )y f x=

Si sumamos un número a la variable, la gráfica de ( )f x k+ se obtiene trasladando k unidades hacia la izquierda, a lo largo del eje x o de abscisas, la gráfica de ( )f x .

Si restamos un número a la variable, la gráfica de ( )f x k− se obtiene trasladando k unidades hacia la derecha, a lo largo del eje x o de abscisas, la gráfica de ( )f x .

Ejemplos:

33

E) REPRESENTACIÓN DE A PARTIR DE ( )y k f x= ⋅ ( )y f x=

DILATACIÓN O CONTRACCIÓN VERTICAL

Si multiplicamos por un número mayor que 1, la función, la gráfica de se

obtiene

( )y k f x= ⋅

dilatando, a lo largo del eje y o de ordenadas, la gráfica de . ( )y f x=

Si multiplicamos por un número mayor que 0 y menor que 1, la función, la gráfica de

se obtiene ( )y k f x= ⋅ contrayendo, a lo largo del eje y o de ordenadas, la gráfica de

. ( )y f x=

35

Ejemplos:

36

F) REPRESENTACIÓN DE A PARTIR DE (y f k x= ⋅ ) ( )y f x=

DILATACIÓN O CONTRACCIÓN HORIZONTAL

Si multiplicamos por un número mayor que 1, la variable, la gráfica de kf(x) se obtiene

contrayendo, a lo largo del eje x o de abcisas, la gráfica de f(x).

Si multiplicamos por un número mayor que 0 y menor que 1, la variable, la gráfica de kf(x)

se obtiene dilatando, a lo largo del eje x o de abcisas, la gráfica de f(x).

Ejemplos:

37

G) REPRESENTACIÓN DE y = A PARTIR DE | ( ) |y f x= ( )y f x=

Para representar el valor absoluto de una función distinguimos:

• los trozos en los que la curva es positiva

(están por encima del eje x) se dejan igual.

• Los trozos en los que la curva es negativa

(están por debajo del eje x) se sustituyen por

trozos simétricos de aquellos respecto al eje

x o de abscisas

Ejemplos:

39

H) REPRESENTACIÓN DE A PARTIR DE (| |)y f x= ( )y f x=

Para representar una función valor absoluto de la variable procederemos del siguiente modo:

• se dibuja primero la función ( )f x sin valor

absoluto para los valores de x positivos (x > 0)

• Para los valores negativos de x , la gráfica es la

simétrica respecto al eje y o de ordenadas de

la parte anterior dibujada

Ejemplos:

41

I) REPRESENTACIÓN DE 1( )y f x−= A PARTIR DE ( )y f x= Para que una función tenga inversa o recíproca ha de ser inyectiva, es decir, cada valor

de y ha de corresponder de un único valor de x. Si no es así ha de descomponerse en tramos

en los que sea inyectiva, cada uno de los cuales tendrá su función inversa. Esto le ocurre por

ejemplo a 2xy =

Para representar a partir de )(xf 1− ( )f x trazaremos la bisectriz del primer y tercer

cuadrante y la inversa o recíproca será simétrica a ( )f x respecto de esta bisectriz ya que si

por ejemplo pasa por (2, 4) la inversa o recíproca pasará por (4, 2) ( )y f x=

42

Ejemplos:

43

J) REPRESENTACIÓN DE 1( )

yf x

= A PARTIR DE ( )y f x=

Para la construcción gráfica de )(xf

1 a partir de f(x) tendremos en cuenta:

• Tanto f(x) como )( xf

1 tienen el mismo signo, esto significa que si una es

positiva (está por encima del eje x) la otra también lo es y si una es negativa (está por debajo del eje x) la otra también lo es.

• Si f(x)=1 entonces 11=

)(xf Si f(x)=-1 entonces 11

−=)(xf

esto se traduce

diciendo que las dos gráficas pasan por (x,1) y (x,-1)

• Si entonces ( ) 0f x +→ ∞→)(xf

1 . Si ( ) 0f x −→ entonces −∞→)(xf

1 .

44

• ∞→)(x entonces f 1 0( )f x

+→ . Si −∞→) entonces (xf 1 0( )f x

−→ .

• Si f(x) crece )( xf

1 es decreciente; si ( )f x decrece 1( )f x

es creciente.

Ejemplos:

45

K) EJEMPLOS Combinemos ahora los casos anteriores, para ello tendremos que tener muy en cuenta el orden de operaciones a realizar para construir correctamente la gráfica

234 2 −+= )()( xxf1. En este caso partimos de la función

cuadrática 2. Sumamos 3 unidades a la variable:

trasladamos a lo largo del eje x 3 unidades a la izquierda.

3. Multiplicamos por 4 la función: dilatamos a lo largo del eje y.

4. Restamos 2 unidades a la función: trasladamos a lo largo del eje y 2 unidades hacia abajo

46

2341 3 −−−= )()( xxf

1. En este caso partimos de la función cúbica

2. Restamos 3 unidades a la variable: trasladamos a lo largo del eje x 3 unidades a la derecha.

3. Multiplicamos por 1/4 la función: contraemos a lo largo del eje y.

4. Multiplicamos por –1: calculamos la simétrica respecto del eje x

5. restamos 2 unidades a la función: trasladamos a lo largo del eje y 2 unidades hacia abajo.

6. Calculamos el valor absoluto.

47

Tipo dcxbaxxf

++

=)( ; 52

178−−

=xxxf )( . Podemos realizar el cociente y se tiene que

5234

52178

−+=

−−

xxx Por lo tanto se trata de representar

521

234

.)(

−⋅+=

xxf

1. Partimos de x

xf 1=)(

2. Restamos 2.5 unidades a la variable: trasladamos a lo largo del eje x 2.5 unidades a la derecha.

3. Multiplicamos por 3/2 la función: dilatamos a lo largo del eje y.

4. Sumamos 4 unidades a la función: trasladamos a lo largo del eje y 4 unidades hacia arriba.

48

• 53

1812+−−

=x

xxf )( . Se trata de representar 53

24+−

+−=x

xf )(

35

1324

+−⋅+−=

xxf )( a partir de

xxf 1=)(

1. Partimos de x

xf 1=)(

2. Multiplicamos la variable por 1− : calculamos la simétrica respecto del eje y

3. Sumamos 53

unidades a la variable: trasladamos 53

unidades a lo largo del eje x a la

izquierda. 4. Multiplicamos por 2/3 la función: contraemos a lo largo del eje y. 5. Restamos 4 unidades a la función: trasladamos a lo largo del eje y 4 unidades hacia abajo.

Tipo qpxcxf +=)( ; 232)( +−= xxf

1. Partimos de xxf =)(

2. Multiplicamos por –1 la variable:

simetría respecto al eje y

3. Multiplicamos por 3 la variable:

contraemos el eje x

4. RESTAMOS 2 a la variable:

trasladamos lo largo del eje x (a

la derecha) 2 unidades.

5. Multiplicamos por 2 la función:

dilatamos a lo largo del eje y.

49

Tipo qpxca ; 422 xf +=)( 4 −⋅= xxf )(

1. Partimos de xxf 2=)(

2. Multiplicamos por 2 la variable:

contraemos el eje x

3. Restamos 4 a la variable: trasladamos

lo largo del eje x (a la derecha) 4

unidades.

4. Multiplicamos por 4 la función:

dilatamos a lo largo del eje y.

Tipo ; )(log)( kxcxf a⋅= )(log)( xxf 23 3−=

1. Partimos de xxf 3log)( =

2. Multiplicamos por 2 la variable: contraemos el eje x

3. .Multiplicamos por 3 la función: dilatamos a lo largo del eje y.

4. Multiplicamos por –1 la función: simetría respecto al eje x

50

SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES:

Una función es simétrica respecto del origen cuando todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de O en la misma gráfica.

(0, 0)O

Si es un punto de la gráfica, su simétrico pertenece también a la misma gráfica:

Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y ' son simétricos respecto del origen y sus coordenadas

verifican que

( , ( ))P x f x'( ', ( '))P x f x

P

'( ') ( )

x xf x f= −⎧

⎨ = −⎩ x

Por tanto,

Una función es simétrica respecto del origen

cuando para todo punto x del dominio D se tiene que

(0, 0)O

x− pertenece a D y ( ) ( )f x f x− = − .

Las funciones simétricas respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES. Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del origen, éstas tienen todos sus exponentes impares.

Ejemplos de funciones simétricas respecto del origen:

La función 1( )f xx

= ya que 1 1( ) ( )f x fx x

− = = − = −−

x

Su gráfica como sabemos es (hipérbola equilátera) :

La función 3( )f x x= ya que 3 3( ) ( ) ( )f x x x f x= − − = − = −

La función ( ) | |f x x x= ⋅ ya que ( ) ( ) | | | | ( )f x x x x x f x− = − ⋅ − = − ⋅ = −

( , ( ))P x f x

'( ', ( '))P x f x

xx− ( )f x

( )f x−

1( )f xx

=3( )f x x=

51

SIMETRIA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS (OY). FUNCIONES PARES:

Sea . Se dice que f es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) cuando todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de OY en la misma gráfica.

:f D →

Si es un punto de la gráfica, su simétrico pertenece también a la misma gráfica: Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y son simétricos respecto del eje OY y sus coordenadas verifican que

( , ( ))P x f x'( ', ( '))P x f x

'P

'( ') ( )

x xf x f x=⎧

⎨ =⎩

Una función es simétrica respecto del eje de

ordenadas (OY) cuando para todo punto x del

dominio D se tiene que x− pertenece a D y

( ) ( )f x f x− = .

Geométricamente significa que si doblamos el papel por el eje OY, las dos partes de la gráfica coinciden.

Estas funciones reciben también el nombre de FUNCIONES PARES. Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del eje OY, éstas tienen todos sus exponentes pares.

Ejemplos de funciones simétricas respecto del eje de ordenadas:

La función cuadrática 2( )f x x= ya que 2 2( ) ( ) ( )f x x x f x= . − = − =

La función valor absoluto ( ) | |f x x= ya que ( ) | | | | ( )f x x x f x− = − = =

La función 2 | |( )f x x= − x ya que | ( )2 2( ) ( ) | | |f x x x x x− = − − − = − = f x

Sus respectivas gráficas serían:

( , ( ))P x f x'( ', ( '))P x f x

( )f x

( )f x

x− x

2( )f x x= ( ) | |f x x=2( ) | |f x x x= −

52

FUNCIÓN PERIÓDICA:

Sea . Se dice que f es periódica si existe un número real, no nulo, T, llamado PERIODO, tal que para todo

:f D →x D∈ , x T D+ ∈ y se verifica que ( ) ( )f x + T = f x .

De la propia definición se deduce que si T es un periodo de la función f, también lo es 2T, 3T,..., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T, que recibe el nombre de periodo principal o propio.

El conocimiento de la gráfica de una función en un periodo nos permite construir por periodicidad toda la gráfica. Ejemplos de funciones periódicas:

Todas las funciones circulares:

Las funciones seno y coseno tienen por periodo T 2= π , mientras que la función tangente y la cotangente tienen por periodo T = π .

La función decimal o mantisa: su periodo principal es 1.

FUNCIONES ACOTADAS. Funciones acotadas superiormente. Una función f se dice que está acotada

superiormente si existe un número real M tal que

)()( fDom xM xf ∈∀≤

Este número real M recibe el nombre de

COTA SUPERIOR de la función f.

Geométricamente significa que ninguna imagen es

superior al valor M y, por tanto, la gráfica de la

función f estará por debajo de la recta y = M.

NOTA: Si M es una cota superior de la función f, cualquier otro número real M’ mayor que M,

también es cota superior de f. En consecuencia, si una función está acotada superiormente siempre tendrá un conjunto de cotas superiores.

( )f x

M

'M

53

Funciones acotadas inferiormente.

Una función f se dice que está acotada inferiormente si existe un número real m tal que

( ) ( )f x m x Dom f≥ ∀ ∈

( )

Este número real m recibe el nombre de COTA INFERIOR de la función f. Geométricamente significa que ninguna imagen es inferior al valor m y, por tanto, la gráfica de la función f estará por encima de la recta y = m.

NOTA: Si m es una cota superior de la función f, cualquier otro número real m’ menor que m, también es cota inferior de f. En consecuencia, si una función está acotada inferiormente siempre tendrá un conjunto de cotas inferiores. Funciones acotadas. Una función se dice que está acotada si lo está inferior y superiormente.

Por estar acotada superiormente, existirá un número real M que es mayor o igual que todas las imágenes de la función y por estar acotada inferiormente, existirá otro número real m que es menor o igual que todas las imágenes de la función. En consecuencia,

, ( )m M / m f x M x Dom f∃ ≤ ≤ ∀ ∈

lo cual significa que todas las imágenes de nuestra función estarían comprendidas entre m y M y, por tanto, geométricamente, la gráfica de la función f estaría en la banda comprendida entre las rectas y = m e y = M.

Ejemplo: La función ( ) sen( )f x = x es una función acotada ya que está acotada superiormente por 1M = e inferiormente por . 1m = −

Una definición equivalente de función acotada sería la siguiente:

* está acotada / | ( ) | ( )f k R f x k x Dom f+⇔ ∃ ∈ ≤ ∀ ∈

( )f x

m

'm

( ) sen( )f x x=

1y =

1y = −

54

Podríamos demostrar que la suma y el producto de funciones acotadas es otra función acotada y, en consecuencia, el conjunto de funciones acotadas tendría la misma estructura que el conjunto de funciones reales de variable real.

Funciones acotadas en un punto. Sea f una función definida de D en y sea a un punto perteneciente a D ( ). a D∈

• Se dice que f está acotada superiormente en el punto a D∈ si existe un entorno ),,( raV en el cual la función está acotada superiormente.

• Se dice que f está acotada inferiormente en el punto a D∈ si existe un entorno ),,( raV en el cual la función está acotada inferiormente.

• Se dice que f está acotada en el punto a D∈ si está acotada superior e inferiormente en el punto a D∈

Resulta evidente que si una función f está acotada en su dominio D estará acotada en cada uno de los puntos de D, pero el recíproco no tiene por qué verificarse: una función puede estar acotada en cada uno de los puntos de su dominio y, sin embargo, no estar acotada en su dominio. Es lo que le ocurre, por ejemplo, a la función cuadrática : está acotada en todos sus puntos y no está acotada en su dominio.

2)( xxf =

Extremo superior. Máximo absoluto. Se llama extremo superior de una función f a la menor de las cotas superiores de dicha función. Se representa por ).sup( f

Si este valor lo alcanza la función en algún punto de su dominio, recibe el nombre de máximo absoluto.

Por tanto, se dice que una función f tiene un máximo absoluto o global en un punto si se verifica que Da∈ . )()( Dxafxf ∈∀≤

Extremo inferior. Mínimo absoluto.

Se llama extremo inferior de una función f a la mayor de las cotas inferiores de dicha función. Se representa por ).inf( f

Si este valor lo alcanza la función en algún punto de su dominio, recibe el nombre de mínimo absoluto.

Por tanto, se dice que una función f tiene un mínimo absoluto o global en un punto Da∈ si se verifica que . )()( Dxafxf ∈∀≥

55

Ejemplos: La función 2( )f x x= está acotada inferiormente por

el cero y cualquier valor negativo. La mayor de las cotas inferiores sería el cero, por lo que nuestra función tiene extremo inferior y como existe un punto en el dominio en el que se alcanza este extremo inferior, diremos que nuestra función tiene un mínimo absoluto en el punto 0x = .

2( )f x x=

2

1( )f xx

=

La función 2

1( )f xx

= también tiene como

cota inferior máxima el valor 0k = ; sin

embargo, esta función no alcanza el valor

cero en ningún punto de su dominio, por lo

que tiene extremo inferior y no tiene máximo

absoluto.

Máximos y mínimos relativos de una función. Sea f una función definida de D en y sea a un punto perteneciente a D. Se dice que una función f tiene un máximo relativo en un punto si existe un entorno de a, , en el cual se verifica que

Da∈( , )V a r .),( )()( DraVxafxf ∩∈∀≤

Se dice que una función f tiene un mínimo relativo en un punto si existe un entorno de a, , en el cual se verifica que

Da∈( , )V a r .),( )()( DraVxafxf ∩∈∀≥

La palabra relativo nos indica que estamos

comparando la imagen de f en el punto a con la

imagen de puntos próximos al punto a. En

consecuencia, no debemos confundir los máximos

y mínimos absolutos de una función con los

máximos y mínimos relativos de la misma:

mientras que los primeros son únicos, los

segundos no tienen por qué serlos (puede haber

más de uno).

56

También debemos tener en cuenta que los máximos y mínimos absolutos son al mismo tiempo relativos, pero la recíproca no siempre es cierta: un máximo o mínimo relativo no tiene por qué ser absoluto. En el ejemplo cuya gráfica se adjunta vemos que la función tiene un máximo y un mínimo relativos, pero no tiene extremos absolutos. FUNCIONES MONÓTONAS. Una función f se dice que es monótona en un punto a cuando sea creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente en ese punto. Funciones crecientes en un punto.

Una función es creciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que:

si ( ) ( )( , ) :

si ( ) ( )x a f x f

x V a ra

x a f x f< ⇒ ≤⎧

∀ ∈ ⎨ > ⇒ ≥⎩ a

Esta relación también puede expresarse en función de la tasa de variación de la siguiente forma: pasando todo al primer miembro de las desigualdades obtenemos

si x a f x f asi x a f x f a

− < ⇒ − ≤− > ⇒ − ≥

⎧⎨⎩

0 00 0

( ) ( )( ) ( )

Por tanto, si dividimos la variación de la imagen entre la variación del original, tanto si el punto x está a la izquierda como si está a la derecha del punto a, el cociente (tasa de variación media) será mayor o igual que cero:

f x f ax a

( ) ( )−−

≥ 0

Funciones estrictamente crecientes en un punto. Una función es estrictamente creciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que:

⎩⎨⎧

>⇒><⇒<

∈∀)()( )()(

:),(afxfaxsiafxfaxsi

raVx



− < ⇒ − <− > ⇒ − >

⎧⎨⎩

0 00 0

( ) ( )( ) ( )


f x f ax a

( ) ( )−−

> 0

57

Funciones decrecientes en un punto. Una función es decreciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que:

⎩⎨⎧

≤⇒>≥⇒<

∈∀)()( )()(


raVx

Podemos observar como a medida que va aumentando el original, las imágenes van disminuyendo.



− < ⇒ − ≥− > ⇒ − ≤

⎧⎨⎩

0 00 0

( ) ( )( ) ( )


f x f ax a

( ) ( )−−

≤ 0

Funciones estrictamente decrecientes en un punto. Una función es decreciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que:

⎩⎨⎧

<⇒>>⇒<

∈∀)()( )()(


raVx

Podemos observar como a medida que va aumentando el original, las imágenes van disminuyendo.


⎩⎨⎧

<−⇒>−>−⇒<−

0)()( 0 0)()( 0

afxfaxsiafxfaxsi


0)()(<

−−

axafxf

58

En resumen: Sea f una función definida de D en y sea a un punto perteneciente a D.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤>≥

−−

∈∀⇔∈

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

0000

)()(:),( en

es ax

afxfraVxDa

ientente decrecestrictameedecrecient

ntente crecieestrictamecreciente

f

Ejemplos: • Estudiar la monotonía de la función 3)( xx en el punto de abscisa x = 0. f =

Para ello calculamos la tasa de variación media de la función en el punto de abscisa cero:

),0( 000

0)0()( 2

33

rVxxxx

xx

xfxf

∈∀>==−−

=−−

En consecuencia, al ser la tasa de variación media estrictamente positiva en cualquier entorno de cero, la función cúbica es estrictamente creciente en el punto de abscisa .0=x

• Estudiar la monotonía de la función 23 en el punto de abscisa x = 1. )( 2 +−= xxxf

Para ello calculamos la tasa de variación media de la función en el punto de abscisa uno:

),1( 021

)2).(1(1

0)23(1

)1()( 2

rVxxx

xxxxx

xfxf

∈∀<−=−

−−=

−−+−

=−−

En consecuencia, al ser la tasa de variación media estrictamente negativa en cualquier entorno de uno, la función dada es estrictamente decreciente en el punto de abscisa .1=x

• Demostrar que la función x

xf 1)( = es estrictamente decreciente en todo punto.

),( 01)(

11)()( raVx

axaxaxxa

axax

xa

axax

axafxf

∈∀<−=−−

=−

−

=−

−=

−− que no contenga al

punto cero.

Funciones monótonas en un intervalo.

Sea f una función definida de D en .

Se dice que f es en un intervalo

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

••••

edecrecientnteestrictameedecrecient

creciententeestrictamecreciente

IxxDI ∈∀⊆ ', si , se

verifica la siguiente relación

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>⇒<•≥⇒<•<⇒<•≤⇒<•

)'()(')'()(')'()(')'()('

xfxfxxxfxfxxxfxfxxxfxfxx

59

Es evidente que si una función es monótona en D, lo es en cada uno de sus puntos. Sin embargo, el recíproco es falso: una función puede ser monótona en todos sus puntos y no serlo en su dominio.

En la práctica, el método más cómodo para estudiar la monotonía de una función es mediante la tasa de variación media. Operando igual que en la monotonía de una función en un punto llegamos a la siguiente definición de función monótona en un intervalo (equivalente a la anterior):

• Sea f una función definida de D en .

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤>≥

−−

∈∀⇔⊆

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

0000

')'()(:', en

es xx

xfxfIxxDI



f

Ejemplos: • Estudiar la monotonía de la función lineal baxxf +=)( según los distintos valores de a

Calculamos el cociente incremental:

axxxxa

xxaxax

xxbaxbax

xxxfxf

=−−

=−−

=−

+−+=

−−

')'(

''

')'()(

')'()(

Al ser el cociente incremental igual a “a”, tendremos:

• Si a > 0, entonces la función será estrictamente creciente.

• Si a < 0, entonces la función será estrictamente decreciente. • Demostrar que la función 3)( xx es estrictamente creciente en R. f =

Calculamos el cociente incremental:

Rxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxfxf

∈∀>++=−

++−=

−−

=−− ', 0''

')'')('(

''

')'()( 22

2233

Por tanto, la función cúbica es estrictamente creciente en R. EJERCICIOS. 1. Calcular el dominio, ceros y simetrías de las siguientes funciones:

• 12)( 2 −

−=

xxxf

Al ser una función racional su dominio será el conjunto de números reales salvo los puntos que anulan el denominador. Por tanto:

}1,1{)( +−−= RfDom

Para calcular los ceros de la función igualamos a cero:

60

}2{)( 2 02 012 0)( 2 =⇒=⇒=−⇒=−−

⇒= fCxxxxxf

Simetría: calculamos para compararlo con f(x) )( xf −

⎩⎨⎧

−≠−≠−

⇒−+

−=−−−

=−−−−

=−)()(

)()(

12

12

1)(2)()( 222 xfxf

xfxfxx

xx

xxxf

Por tanto, no tiene simetría respecto del eje OY ni respecto del origen.

• 86)( 2 +−= xxxf

Dominio: Veamos cuales son estos puntos: }086/{)( 2 ≥+−∈= xxRxfDom

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤

⇒⎭⎬⎫

≤−≤−

≥⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥≥

⇒⎭⎬⎫

≥−≥−

⇒≥−−⇒≥+−

242

0402

442

0402

0)4)(2( 0862

xxx

xx

xxx

xx

xxxx

Por tanto, ] ] [ [ ] [( ) , 2 4, 2, 4 Dom f = −∞ ∪ +∞ = −

Ceros:

⎩⎨⎧

==

⇒=+−⇒=+−=42

086 086)( 22

xx

xxxxxf

• )1( )( 2 += xLxf

Dominio: el dominio de la función logarítmica es el conjunto de puntos que hacen el argumento estrictamente positivo. Entonces:

2( ) { / 1 0}Dom f x x= ∈ + > =

0

puesto que siempre es estrictamente mayor que cero.

12 +x

Ceros: 11 0)1( 0)( 22 =⇒=+⇒=+⇒= xxxLxf

Simetría:

)() 1()1)(()( 22 xfxLxLxf =+=+−=−

Por tanto, es una función par y es simétrica respecto del eje OY. 2. Dada la función decimal )( razona si: )( xdecxf =

a. Es periódica o no.

La parte decimal de un número real es una función que toma siempre valores comprendidos entre 0 y 1: cada vez que incrementamos un número real en una unidad, se repite la misma imagen (sólo varía su parte entera). Es, por tanto, una función periódica de período T = 1.

b. Está acotada superiormente e inferiormente.

Al tomar siempre valores comprendidos entre 0 y 1, la función estará acotada superior e inferiormente; luego, estará acotada:

)()( xdecxf =

61

Cotas superiores = {valores mayores o iguales que 1}

Cotas inferiores = {valores menores o iguales que 0}

c. Tiene extremo superior y extremo inferior.

=)sup( f {menor cota superior} = 1

=)inf( f {mayor cota inferior} = 0

d. Tiene máximo y mínimo.

No tiene máximo puesto que el valor 1 no lo alcanza en ningún punto mientras que si tiene mínimo ya que el valor cero se alcanza en cualquier punto de abscisa entera.

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Calcular dominio, ceros y simetrías de las siguientes funciones:

2( ) | |f x x x= ⋅ 1

1)( 2 +=

xxf

11)(+−

=x

xxf xxf sen1)( −= )1()( 2xLxf −=

2. Hallar razonadamente el máximo o el mínimo de las siguientes funciones:

2)( xxf = 2

1)(x

xf = ( ) | |f x x= 2( ) | |f x x x= ⋅ 1

1)( 2 +=

xxf

3. Demuestra la veracidad o no de las siguientes proposiciones: a. La suma de dos funciones pares es una función par. b. El producto de dos funciones pares es una función par. c. La suma de dos funciones impares es una función impar. d. El producto de dos funciones impares es una función impar.

4. Calcular la expresión analítica de las siguientes funciones:

• 65)( 2 +−= xxxf • xxxf .)( 2= • 21)( ++−= xxxf

• 32)( −+++= xxxxf • 21)( +−−= xxxf • 21)( +−−= xxxf

5. Sean las funciones dadas por 1 y )( 2 −= xxf11)(

+−

=xxxg

Calcular: fffggfffggfgfgfgf , , , , , , , ⋅+

• Sus dominios máximos. 6. Una función es tal que el máximo y el mínimo coinciden, ¿qué se puede decir de ella? Si

existe alguna representarla. 7. Demuestra que la suma y el producto de funciones acotadas en un dominio D es otra función

acotada. 8. ¿Qué diferencia existe entre extremo superior (inferior) y máximo (mínimo) de una función?

¿Pueden coincidir? Poner un ejemplo que aclare la respuesta. 9. Demuestra que si f(x) es creciente, también lo es f(x) + k, siendo k una constante. 10. Demostrar que si f y g son crecientes en un dominio D, también lo es f + g. 11. Estudiar el sentido de variación de f y 1/ f

62

LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

Sea y = f(x) una función real de variable real. De una manera intuitiva y poco precisa, diremos que el límite de f(x) es L, cuando x se aproxima a p, si ocurre que cuanto más próximo esté x a p, más se aproxima los valores de la función f(x) a L.

Es importante comprender que el concepto de límite se refiere a las proximidades del punto y nada tiene que ver con el punto, donde la función puede o no existir, o tomar un valor distinto que el del límite. DEFINICION 1.

Se dice que el límite de la función y = f(x), cuando x tiende a p, es igual a L, y escribiremos ,)(lím Lxf

px=

→ sí y sólo sí, dado cualquier ε positivo, siempre es posible encontrar al

menos un δ, también positivo y dependiente de él, tal que, si la diferencia de la variable al punto, en valor absoluto, es menor que δ, entonces la diferencia entre los valores de la función en dichos puntos y el límite, en valor absoluto, se mantiene menor que el ε dado.

De una forma simbólica:

εδδε <−⇒<−>∃>∀⇔=→

LxfpxLxfpx

)( / 0 0 )(lím

A los extremos de la recta real tan sólo nos podemos aproximar por uno de sus lados, es decir, que a +∞ sólo nos podemos acercar por su izquierda, mientras que a −∞ sólo nos podemos acercar por su derecha. Sin embargo, a cualquier otro punto p de la recta real nos podemos aproximar por ambos lados: por su izquierda (mediante valores menores que p) p− o por su derecha (mediante valores mayores que p) p+.

Puede resultar interesante ver que ocurre en la función al aproximarnos a p por cada lado: aparecen de esta manera los límites laterales de una función en un punto p.

DEFINICION 2: Límite por la izquierda.

Se dice que el límite por la izquierda de una función f(x) es L1, cuando x tiende hacia p, y se escribe , si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que si 1)(lím Lxf

px=

−→

δ<−< xp0 , entonces se verifica que .)( 1 ε<− Lxf

DEFINICION 3: Límite por la derecha.

Se dice que el límite por la derecha de una función f(x) es L2, cuando x tiende hacia p, y se escribe , si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que si 2)(lím Lxf

px=

+→δ<−< px0 ,

entonces se verifica que .)( 2 ε<− Lxf

LÍMITES DE FUNCIONES 25

63

Cuando ambos límites laterales existan y sean iguales, entonces existirá límite de la función en el punto p.

⇔==⇔=+− →→→

)(límy )(lím )(lím LxfLxfLxfpxpxpx

εδδε <−⇒<−>∃>∀⇔ Lxfpx )( / 0 0

Podemos deducir que el límite de una función en un punto no existe cuando alguno de

los límites laterales en dicho punto no existe, o bien aún existiendo ambos, no toman el mismo valor. PROPIEDADES DE LOS LIMITES. 1. Unicidad del límite: El límite de una función en un punto, si existe, es único. 2. Si una función tiene límite en un punto, está acotada en dicho punto. 3. Si una función tiene límite en un punto, entonces existe un entorno de dicho punto en el cual

la función tiene el mismo signo que el límite. 4. Si una función toma infinitos valores positivos e infinitos valores negativos en un entorno

de un punto y tiene límite en dicho punto, entonces su límite es igual a cero. 5. Si y L < L', entonces ')(lím ,)(lím LxgLxf

pxpx==

→→)()( xgxf < en un entorno reducido de p

6. Si y en un entorno reducido de p se verifica que ')(lím ,)(lím LxgLxf

pxpx==

→→)()( xgxf < ,

entonces L < L'. 7. Si ' y )(lím ,)(lím LxgLxf

pxpx==

→→)()()( xgxhxf << en un cierto entorno reducido de p,

entonces .)(lím Lxhpx

=→

LÍMITES INFINITOS. • Se dice que +∞= cuando dado un número K, podemos encontrar otro número

0>

−→)(lím xf

px

δ tal que si .)( 0 Kxfxp >⇒<−< δ • Se dice que cuando dado un número K, podemos encontrar otro número +∞=

+→)(lím xf

px

0>δ tal que si .)( 0 Kxfpx >⇒<−< δ • Se dice que −∞= cuando dado un número K, podemos encontrar otro número

0>

−→)(lím xf

px

δ tal que si .)( 0 Kxfxp <⇒<−< δ


64

• Se dice que cuando dado un número K, podemos encontrar otro número −∞=+→

)(lím xfpx

0>δ tal que si .)( 0 Kxfpx <⇒<−< δ LÍMITES EN EL INFINITO.

El estudio de límites de funciones cuando ∞→x es similar al de sucesiones. • Diremos que la función f(x) tiene por límite L cuando ∞→x y lo representaremos por

si dado un ε > 0 existe un h tal que si x > h entonces ,)(lím Lxfx

=∞→

.)( ε<− Lxf

Cuando no exista ningún L que verifique esta condición, la función no tiene límite finito

cuando ∞→x . En este caso podría suceder que −∞→+∞→ )( o )( xfxf o ninguna de estas cosas.

• Se dice que ) cuando ( +∞→xf ∞→x , y se escribe ,)(lím +∞=

+∞→xf

x si dado un número

arbitrario K, podemos encontrar otro, h, tal que si .)( Kxfhx >⇒> • Análogamente:

)(lím ⇔−∞=

+∞→xf

xDado un K arbitrario, podemos encontrar otro número h, tal que si

.)( Kxfhx <⇒>

De forma similar se definen los límites de f(x) cuando .−∞→x • Se dice que ,) si dado un número K, podemos encontrar otro número h, tal

que si

(lím +∞=−∞→

xfx

.)( Kxfhx >⇒< • Se dice que ,) si dado un número K, podemos encontrar otro número h, tal

que si

(lím −∞=−∞→

xfx

.)( Kxfhx <⇒< OPERACIONES CON LÍMITES. 1. Si ,')( entonces límy )(lím LxgLxf

pxpx==

→→[ ] ')()(lím LLxgxf

px+=+

→

es decir, el límite de la suma es igual a la suma de los límites. 2. Si entonces ,')(límy )(lím LxgLxf

pxpx==

→→[ ] ')()(lím LLxgxf

px⋅=⋅

→

es decir, el límite del producto es igual al producto de los límites.

3. Si ,0')(límy )(lím ≠==→→

LxgLxfpxpx

entonces ')(

)(límLL

xgxf

px=

→ es decir, el límite del

cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.


65

4. Si ,)(lím Lx entonces fpx

=→

[ ] nn

pxLxf =

→)(lím

5. Si entonces ,)(lím Lxf

px=

→N ,)(lím ∈=

→nLxf nn

px

6. Si entonces ,')(límy )(lím LxgLxf

pxpx==

→→[ ] ')()(lím Lxg

pxLxf =

→

CÁLCULO DE LÍMITES.

Para calcular el límite de una función cuando px → se sustituirá x por p y calcularemos el valor de f(p) sin más.

Se tendrán en cuenta las siguientes consideraciones:

a) Si al efectuar las operaciones que resulten, obtenemos expresiones del tipo a∞ se dará

directamente el valor del límite: si ⎪⎩

⎪⎨⎧

→

+∞→>

+∞−

+∞

0 1

aa

a

⎪⎩

⎪⎨⎧

+∞→

→<<

∞−

++∞

aa

asi0

10

b) En el caso de expresiones de la forma 0a se calcularán los límites laterales de la función en

el punto. c) En el cálculo de límites pueden aparecer las indeterminaciones siguientes:

00 ,0 ,0 ,1 , , ,00

∞∞⋅∞−∞∞∞ ∞

Cuando al sustituir x por p lleguemos a una expresión indeterminada, para calcular dicho límite tendremos que quitar previamente dicha indeterminación.

Recordemos algunos procedimientos:

c.1 En las indeterminaciones del tipo 00 conviene distinguir el tipo de función que tengamos:

• Si se trata de funciones racionales, esta indeterminación desaparece descomponiendo en factores el numerador y el denominador y simplificando.

Ejemplo:


00

4482.64

486lím 2

2

2=

−+−

=−+−

→ xxx

x

Entonces:

21

42

2242

24lím

)2).(2()4).(2(lím

486lím

222

2

2−=

−=

+−

=+−

=+−−−

=−+−

→→→ xx

xxxx

xxx

xxx

66

• Si se trata de funciones con radicales, se multiplica y se divide la función por la expresión radical conjugada: simplificando el resultado desaparecerá la indeterminación.

Ejemplo:

00

022

33213

321lím

3=

−=

−−+

=−−+

→ xx

x

Entonces:

41

2131

211lím

)21)(3(3lím

)21)(3(41lím

)21)(3(2)1(lím

)21)(3()21).(21(lím

321lím

333

22

333

=++

=++

=++−

−=

++−−+

=

=++−

−+=

++−++−+

=−−+

→→→

→→→

xxxx

xxx

xxx

xxxx

xx

xxx

xxx

c.2 En las indeterminaciones ∞ − ∞ conviene efectuar la operación (suma o diferencia) con

lo que la indeterminación se transformará en la del tipo 00

Ejemplo:

∞−∞=−=−−+

−−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+

−−+

→ 03

05

44214

2214

22

21lím 2

22

2 xxxx

xx

x

00

)2)(2()2)(2()2)(1(lím

22

21lím 2

222

22

22

2=

−−−+−−−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+

−−+

→→ xxxxxxxxx

xxxx

xx

xx

[ ]±∞==

+=

−+

=−−

−+−+−=

=−−

−+−−−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+

−−+

→→

→→

010

0.228

)2(2lím

)2)(2()2()1()2(lím

)2)(2()2)(2()2)(1(lím

22

21lím

3

2

22

2

2

222

22

22

2

xxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxx

xx

xx

xx

Al quedarnos un número dividido por cero, tendremos que calcular los límites laterales de la función en dicho punto:

−∞==−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+

−−+

−→→ −− 0.210

)2(2lím

22

21lím

3

22

22

2 xxx

xxxx

xx

xx

+∞==−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+

−−+

+→→ ++ 0.210

)2(2lím

22

21lím

3

22

22

2 xxx

xxxx

xx

xx

c.3 En las indeterminaciones del tipo aplicaremos la regla siguiente ∞1

Si y 1)(lím =→

xfpx

∞=→

)(lím xgpx

, entonces [ ] )()1)((lím)()(límxgxfxg

px

pxexf−

→

→=

para quitar dicha indeterminación. LÍMITES DE FUNCIONES 29

67

• Ejemplo:

∞−−

−−

→==−=− 11)23()2(lím 0

23313

31

3xx

xx

213)1(lím3

)1)(3(lím31).12(lím

31

3333)2(lím eeeeex

xx

xxxxx

xx

xxxx =====− −−

−−−

−−

−−−−

→

→→→

c.4 Cálculo de límites cuando . o −∞→+∞→ xx

El cálculo de límites cuando +∞→x se realiza de igual forma que en los límites de sucesiones. Recordando:

• La indeterminación ∞∞ de funciones racionales desaparece dividiendo numerador y

denominador por la mayor potencia de la variable. En este caso, el límite sería equivalente al límite de la función que nos quedaría tomando los términos de mayor grado en numerador y denominador.

Ejemplo:

∞∞

=−+

+∞→ 2

2 1)1(límxx

x

=+

=+

=−++

=−+

+∞→+∞→+∞→+∞→

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

lím2lím1)21(lím1)1(lím

xx

xx

xx

xxx

xxx

xx

xxxx

11

101

12

lím =+

=+

=+∞→

xx

De otra manera: tomamos los términos de mayor grado en numerador y denominador

• 11límlím2lím1)21(lím1)1(lím 2

2

2

2

2

2

2

2

===+

=−++

=−+

+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→ xxxxx xx

xxx

xxx

xx

• La indeterminación ∞∞ de funciones con radicales desaparece dividiendo numerador y

denominador por la mayor potencia de la variable.

Ejemplo:

• ∞∞

=+

+∞→ xx

x

14lím2


68

.241

04

1

14lím

1

14

lím1

14

lím

14

lím14lím222

2

2

22

2

==+

=

=+

=+

=

+

=

+

=+

+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→

xxxx

xx

xxx

x

xx

xxxxx

• En las indeterminaciones ∞ − ∞ de funciones con radicales, multiplicando y dividiendo por

la expresión radical conjugada, pasamos a la indeterminación ∞∞ y operamos de la misma

forma anterior.

Ejemplo:

( ) ∞−∞=−++∞→

xxxx

2lím 2

( ) ( ) ( ) ( )=

++

−+=

++

++⋅−+=−+

+∞→+∞→+∞→ xxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxx 22lím

222lím2lím

2

22

2

2

222

∞∞

=++

=++

−+=

+∞→+∞→ xxx

x

xxx

xxxxx 2

2lím2

)2(lím22

22

Entonces:

111

2101

2

121

2lím2

2

lím2

2lím

22

22=

+=

++=

++=

++

=++ +∞→+∞→+∞→

xxx

xx

xx

xx

xxx

xxxx

• En las indeterminaciones del tipo aplicamos la misma regla anterior para límites cuando

la variable tiende a un valor finito. ∞1

Ejemplo:

(


) ∞

+∞→+∞→+∞→+∞→==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+∞→

+∞→+∞→

11lím44lím

3454lím

3454lím lím

límlímx

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

=====⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++ +

⋅+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

+∞→

+∞→+∞→+∞→+∞→ 342lím

342lím34

)34()54(lím13454lím

3454lím x

xxx

xx

xxxxxx

xxxxx eeee

xx

21

42

lím42

límeee xx x

x

=== +∞→+∞→

69

• En el caso de que ,−∞→x los límites se calcularán de igual manera que cuando ,+∞→x sin más que hacer el cambio de x por −x.

)(lím)(lím xfxfxx

−=+∞→−∞→

Ejemplo: −

=+

−=

+

=+

−=

+−

−=

+ +∞→+∞→+∞→+∞→−∞→

222

2222 11

1lím1

lím1

lím1)(

lím1

lím

xxxx

xx

x

x

x

x

x

xxxxxx

111

011

−=−

=+−

=

FUNCIONES EQUIVALENTES.

• Cálculo de x

xx

senlím0→

El seno, el arco y la tangente de un ángulo x verifican la relación:

xxx tgsen << Dividiendo la doble desigualdad entre sen x

obtenemos

xxx

xx

xx

cos1

sen1

sentg

sen1 <<⇒<<

xsenx xtg

y sus inversos verificarán: 1sencos <<x

xx .

Tomando límites cuando x → 0, nos queda:

1senlím1 1senlím0cos 1límsenlímcoslím00000

<<⇒<<⇒<<→→→→→ x

xx

xx

xxxxxxx

En consecuencia, 1senlím0

=→ x

xx

• Cálculo de xx

x

tglím0→

Si en dividimos por xtg obtenemos: 1tg

cos tgtg

tgtgsen

<<⇒<<x

xxxx

xx

xx

y sus inversos verificarán: 1tgcos

1>>

xx

x.

Tomando límites cuando x → 0, nos queda:

1tglím1 1tglím0cos

1 1límtglímcos

1lím00000

>>⇒>>⇒>>→→→→→ x

xxx

xx

x xxxxx

En consecuencia, .1tglím0

=→ x

xx


70

Dos funciones )(xf y )(xg se dice que son equivalentes en un punto x = p si el límite de su cociente en dicho punto es igual a 1.

1)()(lím )(y )( =⇔

→ xgxflentesson equivaxgxf

px

Esto nos quiere decir que las funciones y toman valores prácticamente iguales en un entorno de ese punto.

)(xf )(xg

• Este resultado es muy interesante en el cálculo de límites ya que nos permitirá sustituir

una función por otra equivalente con la que nos resultará más fácil quitar indeterminaciones. Son funciones equivalentes

En x = 0: En x = 1:

xxLxe

xx

xxxxxxxx

x

≈+≈−

≈−

≈≈≈≈

)1( 1

2 cos1

arctg arcsen

tg sen

2

1 )1sen(1 −≈−−≈

xxxLx

Ejemplos:

• 248lím1

48lím

88senlím

48

88senlím

48senlím

00000=⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

→→→→→ xxxxx xx

xx

xx

xx

xx

• 54

54lím

54lím

5arctg4lím

000===

→→→ xxx xx

xx

• 21

63

63lím

63lím

6sen3tglím

000====

→→→ xxx xx

xx


71

EJERCICIOS PROPUESTOS. • Calcular los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

3

4

0

2límx

xx

−→

4

86lím2

4 −+−

→ xxx

x

12432lím

2

0 −−−

→ xxx

x

xx

x1

0)1(lím +

→

32

2

3 12432lím

−

→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−− x

x xxx

2)3(

3)2(lím −

→− x

x

xx

31

3)2(lím −

−

→− x

x

xx

1111lím

1 −−+++−

→ xxxx

x

321lím

3 −−+

→ xx

x

41639lím

0 −+−+

→ xx

x

11lím

1 −−

→ xx

x

xxx

x

+−−→

11lím0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+

−−−

→ 3231316

38lím 2

223

3 xxxx

xxx

x 21 )3)(1(

52lím−−

−→ xx

xx

xx

x 5tg3senlím

0→ 20

cos1límx

xx

−→

x

xxx 30 sen

)cos1(lím −→

20 )2sen(.cosarctglím

xxxx

x→

1lím

1 −→ xLx

x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−→ Lxxx

x

11

lím1

• Calcular los límites de las siguientes funciones cuando +∞→x

35)(

23

+−

=x

xxxf 11)( 2

4

−−

=xxxf

323433)( 24

3

−++−

=xxxxxf

xxxxf 2)( 2 −−= xxxf −+= 1)( xxxxf −−+= 23)( 2

x

xxxf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=4323)(

3

2

22

5232)(

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=xx

xxxxf x

xxxf

5252)(

−+

=


72

RAMAS INFINITAS. ASINTOTAS.

Se dice que una función tiene una RAMA INFINITA cuando x, f(x) o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto se aleja infinitamente.

)(xfy =))(,( xfx

Podríamos distinguir tres posibilidades de ramas infinitas: a) = (infinito, finito) ))(,( xfx

Es el caso de la función 1

1)( 2 +=

xxf que cuando ∞→x , entonces .0)( →xf

b) = (finito, infinito) ))(,( xfx

Tenemos la función 1

1)(−

=x

xf que cuando y cuando

+∞→⇒→ + )( 1 xfx

.)( 1 −∞→⇒→ − xfxc) = (infinito, infinito) ))(,( xfx

Es el caso de la función 14)(

2

−−

=x

xxf

Algunas de estas ramas infinitas se aproximan a unas rectas determinadas que reciben el nombre de ASÍNTOTAS.

En consecuencia, podemos decir que las asíntotas son rectas tangentes a la gráfica de la función en el infinito, son rectas cuya distancia a la curva tiende a cero cuando la distancia al origen tiende a infinito.

Existen tres tipos de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas. ASÍNTOTAS HORIZONTALES.

Si ,)(lím lxfx

=±∞→

la recta y = l es asíntota, pues la distancia de la curva a la

recta tiende a cero cuando nos alejamos del origen.

lxf −)(

La situación de la curva respecto de la asíntota la podemos estudiar calculando los

límites

[ ] [ ]lxflxfxx

−−+∞→−∞→

)(límy )(lím

que nos dicen si la curva está por encima (0+) o por debajo (0−).

Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales, correspondientes a cada uno de los límites en +∞ y en −∞: tendríamos una asíntota hacia la izquierda y otra hacia la derecha aunque frecuentemente la misma recta es asíntota por la izquierda y por la derecha.

En funciones racionales, si hay asíntota para +∞→x , la misma recta es asíntota para .−∞→x Sin embargo, en funciones con radicales suelen ser distintas.


73

La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o varios puntos, aunque en la mayoría de las funciones elementales la gráfica está por encima o por debajo de la asíntota. Ejemplos.

• Calcular las asíntotas horizontales, si existen, de la función 1

15)( 2

2

−+−

=x

xxxf

Veamos si existe el límite de la función cuando ±∞→x

11límlím1

15lím 2

2

2

2

===−+−

±∞→±∞→±∞→ xxx xx

xxx

Al existir el límite de la función cuando ±∞→x y ser finito, existe asíntota horizontal. Ésta será la recta y = 1. Para estudiar la posición de la gráfica de la función respecto de la asíntota horizontal, calculamos la diferencia 1)( −xf

125

1)1()15(1

1151)( 22

22

2

2

−+−

=−

−−+−=−

−+−

=−x

xx

xxxx

xxxf

• Entonces:

• Si −→ 02−+−

⇒>>1

5 0 2xxx ya que el

denominador crece más rápidamente que el numerador y éste es negativo. Esto nos indica que en +∞ la gráfica de la función está por debajo de la asíntota horizontal.

1=y← →

• Si +→−+−

⇒<< 0125 0 2x

xx ya que el denominador crece más rápidamente que el

numerador y éste es positivo. Esto nos indica que en −∞ la gráfica de la función está por encima de la asíntota horizontal.

ASÍNTOTAS VERTICALES.

La recta x = a es una asíntota vertical de la función y = f(x) si se verifica que

±∞=±∞=+− →→

)(lím o )(lím xfxfaxax

Así pues, para calcular las asíntotas verticales de una función, si es que tiene, hay que localizar los valores finitos de la variable x que hacen tender la función a +∞ o a −∞. Podríamos establecer las siguientes observaciones sobre las asíntotas verticales:

• Una función puede tener infinitas asíntotas verticales, como la función tangente. • La gráfica de la función no corta nunca a la asíntota vertical, ya que en los puntos donde

existe asíntota no está definida la función. • En las funciones racionales, las asíntotas verticales se hallan tomando los puntos que

anulan el denominador.


74

• La situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical x = a se obtiene calculando los límites laterales en x = a y viendo si valen +∞ o −∞. También puede hacerse estudiando el signo de la función en las regiones en las que existe.

Ejemplo.

• Encontrar las asíntotas verticales de la función: 1

)( 2

3

−=

xxxf

Para encontrar las asíntotas verticales de una función, buscaremos aquellos puntos donde la función tienda a infinito: por tratarse, en nuestro caso, de una función racional, para que la imagen tienda a infinito tendremos que anular el denominador.

1 01 1

lím 22

3

±=⇒=−⇒±∞=−→

xxx

xax

Por tanto, tendremos dos asíntotas verticales: .1y 1 −=+= xx Veamos la posición de la gráfica de la función respecto a cada una de las asíntotas: para

ello calcularemos los límites laterales de la función en cada una de los puntos.


• En x = 1:

+∞==+−

=−

−∞==+−

=−

+→→

−→→

++

−−

2.01

)1)(1(lím

1lím

2.01

)1)(1(lím

1lím

3

12

3

1

3

12

3

1

xxx

xx

xxx

xx

xx

xx

• En x = −1:

ASÍNTOTAS OBLICUAS.

La recta es una asíntota oblicua de la función si existe alguno de los límites siguientes:

0, ,, ≠+= mnmxy )(xfy =

[ ][ ] 0)()(lím .2

0)()(lím .1

=+−

=+−

+∞→

+∞→

nmxxf

nmxxf

x

x

En el primer caso se dice que la función tiene asíntota en +∞, y en el segundo en −∞.

Una determinada función puede tener asíntotas oblicuas de ambos tipos, de alguno o de ninguno de ellos, dependiendo de que existan los dos límites, sólo uno o ninguno.

↑ ↑

−∞=−−

=+−

=− −−→−→ −− 0.2

1)1)(1(1

3

12

3

1 xxxlím

xxlím

x↓ ↓

x

+∞=−−

=+−

=− +−→−→ ++ 0.2

1)1)(1(1

3

12

3

1 xxxlím

xxlím

xx

75

La asíntota oblicua 0, ,, ≠+= mnmxy quedará completamente determinada cuando conozcamos los valores de m y n. Cálculo de la pendiente.

Para obtener la pendiente m de la recta, se calcula el valor hacia el que tiende el cociente de f(x) por x cuando :±∞→x

xxfm

x

)(lím±∞→

=

Según el valor de m obtenido al calcular el límite en ±∞ pueden darse los siguientes casos:

a) Si m es un número real no nulo, la función tiene una asíntota oblicua en +∞ (−∞). b) Si la función no tiene asíntota oblicua en +∞ (−∞) y la rama

correspondiente de la misma tiene la forma de la parábola vertical ,±∞=m

.2xy =c) Si m = 0, la función no tiene asíntota oblicua en +∞ (−∞). La rama correspondiente tiene

la forma de la parábola .xy = Cálculo de la ordenada en el origen n.

Si m es un número real no nulo, se calcula n de la forma: [ ]mxxfnx

−=±∞→

)(lím

• Si n es finito, existe asíntota oblicua de ecuación .nmxy += • Si n no es finito, hay una rama parabólica en la dirección .mxy =

En las funciones racionales no es necesario utilizar límites para calcular los valores de m y n ya que se puede calcular directamente la asíntota mediante el siguiente procedimiento:

Las funciones racionales, si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, pueden expresarse de la forma:

)()()(

)()()(

xQxRxC

xQxPxf +==

sin más que hacer la división entera. Para que el grado de C(x) sea uno, la diferencia de grados entre numerador y denominador debe ser uno.

Al tender ,±∞→x la fracción 0)()(→

xQxR y tendríamos que la asíntota oblicua sería

).( xCy =

Debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

• Una función puede tener como máximo dos asíntotas oblicuas correspondientes a cada uno de los límites.

• Las asíntotas horizontales y las oblicuas son mutuamente excluyentes.

• La gráfica de una función puede cortar a la asíntota oblicua en uno o varios puntos.

• La situación de la gráfica respecto de la asíntota oblicua se hace estudiando el signo de para valores grandes de x. )()( nmxxf +−


76

EJEMPLO

• Retomamos la función 1

)( 2

3

−=

xxxf y vamos a calcular sus asíntotas oblicuas, si existen.

Primeramente, calculamos el límite de la función en ∞± para estudiar la existencia o no de asíntotas horizontales:

±∞==− ±∞→±∞→±∞→

xxx

xx

xxxlímlím

1lím 2

3

2

3

Al ser este límite infinito, no existen asíntotas horizontales. Veamos si existen oblicuas: • Calculamos el valor de la pendiente m:

1lím)1(

lím1lím)(lím 3

3

2

32

3

==−

−==±∞→±∞→±∞→±∞→ x

xxxx

xx

x

xxfm

xxxx

• Calculamos el valor de la pendiente n:

[ ] 01límlím1

lím1

)1(lím1

lím)(lím 222

23

2

3

===−

=−

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−=

±∞→±∞→±∞→±∞→±∞→±∞→ xxx

xx

xxxxx

xxmxxfn

xxxxxx

Por tanto, existe asíntota oblicua para nuestra función que sería la recta de ecuación y = x.

• Veamos la posición de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical: Calculamos la diferencia entre la función y la asíntota, y estudiamos el signo para valores grandes de x, tanto positivos como negativos.

11)()( 22

3

−=−

−=+−

xxx

xxnmxxf

• +→−

⇒>> 01

0 2xxxSi ya que tanto el numerador como el denominador son

positivos, pero el denominador crece más rápidamente que el numerador.

• −→−

⇒<< 01

0 2xxxSi ya que tanto el numerador es negativo y el

denominador es positivo, pero el denominador crece más rápidamente que el numerador.

• Gráficamente la situación de la curva (con las asíntotas verticales incluidas) sería:

↑

↓↓

↑


77

EJERCICIOS PROPUESTOS.

• Calcular las asíntotas de la función 1

15)( 2

2

−+−

=x

xxxf y estudiar la posición de la curva

respecto a ellas.


)(2 +

=x

xxf y estudiar la posición de la curva

respecto a ellas.


2)( 2

2

+−−−

=xxxxxf y estudiar la posición de la curva

respecto a ellas.

• Calcular las asíntotas de la función 1)( 2 −= xxf y estudiar la posición de la curva respecto a ellas.

• Se considera en el plano la recta x = 2. Encontrara dos funciones cuyas gráficas admitan a dicha recta como asíntota y tengan distintas posiciones respecto a ella. Representar dichas posiciones.


33)( 2

2

−+−

=x

xxxf y estudiar la posición de la curva

respecto a ellas.

• Calcular las asíntotas de la función x

xxxf 434)(2 ++

= y estudiar la posición de la curva

respecto a ellas.

• Determinar el valor de la constante k sabiendo que la curva de ecuación 1

12

23

+++

=x

kxxy

posee una asíntota que pasa por el punto (1,3).

• Se considera la función f definida para x ≠ 1 por .132)(

−−

=xxxf Calcula los límites de f(x)

cuando x tiende a +∞ y cuando x tiende a −∞ ¿Tiene la gráfica de la función f asíntotas horizontales? ¿Cuáles son?

• Se considera la función f definida por

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−=

1 si ,1

1 si ,11)(

x

xLxx

xxf

donde Lx denota el logaritmo neperiano de x. 1. Determinar el dominio de definición de f. 2. Determinar las asíntotas de f.


78

FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad.

La continuidad de una función definida en un intervalo significa que pequeñas variaciones en el original x ocasionan pequeñas variaciones en la imagen y y no un salto brusco de su valor.

Intuitivamente esto significa una variación suave de la función sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la misma. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO. Una función es continua en un punto x = a si existe límite de la función en él y coincide con el valor que toma la función en dicho punto, es decir:

f es continua en x a lim f x f a

x a = ⇔ =

→( ) ( )

La continuidad de una función f en el punto x = a implica que se cumplan las tres condiciones siguientes:

1. Existe el límite de la función f(x) en x = a. 2. La función está definida en x = a; es decir, existe f(a) 3. Los dos valores anteriores coinciden.

Por tanto, una función puede dejar de ser continua en un punto por no cumplir alguna de estas tres condiciones. En este caso (si no se cumple alguna de las condiciones) diremos que la función es discontinua en dicho punto. En caso de que no se cumpla la segunda condición, la función no estaría definida en el punto x = a y no podríamos hablar ni de continuidad ni discontinuidad en dicho punto.

axf

=en definida está no

axf

=en límite tieneno )()(lím afxf

ax≠

→

79

Ejemplos:

• La función f x xx

( ) = +−

22

¿es continua en el punto x = 3?

Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores:

1. lim f x limxxx x→ →

=+−

=+−

=3 3

22

3 23 2

5 ( )

2. f ( )3 3 23 2

5=+−

=

3. lim f x fx→

=3

3 ( ) ( )

Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3.

• Dada la función f xxx x

−−2

1, estudiar la continuidad de dicha función en x = 1. ( ) =

2

Veamos si se cumplen las condiciones necesarias:

1. limxx x

limx x

x xlim

xxx x x→ → →

−−

=+ ⋅ −⋅ −

=+

=+

=1

2

2 1 1

1 1 11

1 1 11

2( ) ( )

( )

2. f ( )11 11 1

2

2=−−

⇒ no existe, pues se anula el denominador.

3. El no son iguales porque f(1) no existe y, en consecuencia, no

se pueden comparar.

lim f x fx→1

1( ) ( ) y

Por tanto, al no estar definida la función en el punto x = 1 no podemos hablar de la continuidad en dicho punto.

• Dada la función = −1 , estudiar la continuidad de dicha función en

x = −1

f xx si x

si xx si x

( ) =+ <

−−

+ > −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

3 5 12

3 1

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:

1. Estudiamos la existencia del ).( 1

xflimx −→

Como en el punto x = −1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto:

lim f x lim xx x→− →−− −

= + =1 1

3 5( ) ( ) 2

lim f x lim xx x→− →−+ +

= + =1 1

3 2( ) ( )

En consecuencia, existe lim f xx→−

=1

2 ( ) pues los límites laterales son iguales.

2. f (−1) = −2 3. lim f x f

x→−≠ −

11 ( ) ( )

Luego la función es discontinua en el punto x = −1.

80

• Dada la función 2 , estudiar la continuidad de dicha función en

x = 2.

f xx si x

si xx si x

( ) =− <

=− >

⎧

⎨⎪

⎩⎪

3 25

2

3 2

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:

1. Estudiamos la existencia del )( 2

xflimx→

Como en el punto x = 2 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto:

lim f x lim xx x→ →− −

= − =2 2

3 2 4( ) ( )

lim f x lim xx x→ →+ +

= − =2 2

3 1( ) ( )

En consecuencia, no existe lim pues los límites laterales son distintos. f xx→2

( )

2. f (2) = 5 Luego la función es discontinua en el punto x = 2. Si tenemos en cuenta la definición métrica de límite podemos escribir:

f x a x a f x f es continua en = ⇔ ∀ > ∃ > − < ⇒ − <ε δ δ0 0 / ( ) ( )a ε

CONTINUIDAD LATERAL. Si nos restringimos a los valores que la función toma a la derecha o a la izquierda del punto x = a, se habla entonces de continuidad lateral a la derecha o a la izquierda del punto a. Continuidad a la izquierda: La función f (x) es continua a la izquierda en el punto x = a cuando el límite a la izquierda en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.

f es continua en x a lim f x f ax a

= ⇔ =−

→ −( ) ( )

Continuidad a la derecha: La función f (x) es continua a la derecha en el punto x = a cuando el límite a la derecha en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.

f es continua en x a lim f x f ax a

= ⇔ =+

→ +( ) ( )

Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, entonces es continua en dicho punto.

81

EJEMPLOS. Estudiar la continuidad de la función [ ]f x Ent x x( ) ( )= = (función parte entera de un

número) en cualquier punto de abscisa entera. Si tenemos en cuenta la gráfica de la función parte entera

podemos observar que en cualquier punto de abscisa entera “n” se verifica

1. [ ]f n Ent n n n( ) ( )= = =

2. lim f x lim Ent x nx n x n→ →− −

= = −( ) ( ) 1

lim f x lim Ent x nx n x n→ →+ +

= =( ) ( )

Por tanto, no existe lim por ser los límites laterales distintos. Ent xx n→

( )

En consecuencia, la función [ ]f x Ent x x( ) ( )= = no es continua en ningún punto de abscisa entera. Estudiar la continuidad de la función f x Dec x Mant x( ) ( ) ( )= = (función decimal) en

cualquier punto de abscisa entera. Si tenemos en cuenta la gráfica de la función decimal

podemos observar que :

lim f x lim Dec xx n x n→ →− −

= =( ) ( ) 1

lim f x lim Dec xx n x n→ →+ +

= =( ) ( ) 0

Por tanto, no existe lim por ser los límites laterales distintos. Dec x

x n→( )

En consecuencia, la función f x Dec x Mant x( ) ( ) ( )= = no es continua en ningún punto de abscisa entera.

82

CONSECUENCIAS DE LA CONTINUIDAD EN UN PUNTO. 1. Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en dicho punto.

Esta propiedad es consecuencia directa de la definición de la continuidad.

2. Continuidad y acotación.

Si una función es continua en un punto x = a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x = a en el que la función está acotada.

3. Continuidad y signo de una función.

Si f es continua en un punto x = a y f(a) ≠ 0, entonces existe un entorno de x = a en el cual los valores de f tienen el mismo signo que f(a).

4. Continuidad y anulación de una función.

Si una función es continua en un punto x = a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico de x = a, la función se anula en él.

DISCONTINUIDADES.

Una función es continua en un punto x = a si, y solo si, ).()( afxflimax

=→

Si esto no se cumple por alguno de los motivos apuntados anteriormente, diremos que la función es discontinua en dicho punto.

Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor que toma la función en el punto.

ε+)(af)(af

ε−)(af)(afε+)(af

ε−)(af

O δ−a a δ+a

O δ−a a δ+a

O

O

aa

(( )

)

)(

)(

83

Para la clasificación de las discontinuidades tendremos en cuenta la existencia o no de los límites laterales en el mismo. Discontinuidad evitable.

Para evitar la discontinuidad de la función definimos una nueva a partir de la que

tenemos, de la siguiente manera:

g xf x si x aL si x( )

( )=

≠=

⎧⎨⎩

a

es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en todos los puntos donde no hay problema y en el punto donde presenta la discontinuidad le asignamos el valor del límite. Ejemplo:

• Hallar el verdadero valor de la función f xx x

x −5 6

3 en el punto x = 3. ( ) =

− +2

Si observamos la función, resulta que no está definida en el punto x = 3 pero si calculamos el límite de la función en ese punto, obtenemos:

limx x

xlim

x xx

lim xx x x→ → →

− +−

=− ⋅ −

−= − = −

3

2

3 3

5 63

3 23

2 3 2( ) ( )

( ) = 1

que sería el verdadero valor de la función en ese punto. La nueva función

g xx x

xsi x

si x( ) =

− +−

≠

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 5 63

3

1 3

sería continua en el punto x = 3. Discontinuidad inevitable.

Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando no existe límite de la función en dicho punto.

Podemos distinguir dos casos: • Que existiendo los límites laterales, éstos son finitos y distintos.

En este caso la discontinuidad evitable se denomina de salto finito, siendo el salto la diferencia entre los límites laterales de la función en el punto.

Salto = lim f x lim f xx a x a→ →+ −

−( ) ( )

)(af

L

O a

Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.

El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el punto.

84

Geométricamente, el salto es la altura que hay que subir (salto positivo) o bajar (salto negativo) en el punto x = a al recorrer la gráfica de la función de izquierda a derecha.

• Que alguno o los dos límites laterales sea infinito.

En este caso la discontinuidad inevitable se denomina de salto infinito. Ejemplo

• Estudiar la continuidad de la función en el punto x = 1. f xx si x

x si x( ) =+ ≤−

⎧⎨⎩

3 13 2 1

>

1

Para estudiar la continuidad en el punto x = 1, analizamos si se verifican los tres puntos de los que hablamos con anterioridad:

1. La función está definida en el punto x = 1: f ( )1 4=

2. Estudiamos la existencia del límite en x = 1, para lo cual tenemos que recurrir a calcular los límites laterales en él puesto que en dicho punto existe un cambio de definición de la función

lim f x lim xx x→ →− −

= + =1 1

3 1( ) ( ) 4 lim f x lim xx x→ →+ +

= − =1 1

3 2 1( ) ( )

Al ser los límites laterales distintos, la función no tiene límite en dicho punto.

En consecuencia, en x = 1, la función presenta una discontinuidad inevitable de salto finito:

salto = lim f x lim f xx x→ →+ −

− = − =1 1

4 1 3( ) ( )

Si observamos los valores de los límites laterales, vemos que el límite a la izquierda coincide con el valor que toma la función en el punto, por lo que la función tiene una continuidad lateral a la izquierda en el punto x = 1. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.

Una función es continua en un intervalo abierto si es continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo.

( , )a b

Una función es continua en un intervalo cerrado [ ]a b, si es continua en todos los puntos

del intervalo abierto y, además, es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. ( , )a b Igualmente podemos definir la continuidad en los intervalos semiabiertos: Una función es continua en un intervalo ( ]a b, si es continua en todos los puntos del

intervalo abierto y, además, es continua a la izquierda en b. ( , )a b Una función es continua en un intervalo [ )a b, si es continua en todos los puntos del

intervalo abierto y, además, es continua a la derecha en a. ( , )a b

85

Ejemplo. 1. La función es continua en todo su dominio R y, por tanto, en cualquier intervalo

abierto de R. f x x( ) = 2

2. La función f xx

( ) =1

no está definida en el punto x = 0: su dominio de definición es *}0{)( RRfDom =−=

Para cualquier intervalo abierto que no contenga el 0, f(x) es continua en todos sus puntos y diremos que la función es continua en el intervalo abierto , p.e. (3,5). Sin embargo, no será continua en cualquier intervalo que contenga a dicho punto, p.e.,

),( ba),( ba

( )− a a, . Continuidad y operaciones. Teniendo en cuenta las propiedades de las funciones y de los límites, podemos deducir las siguientes propiedades:

- Si f x g x( ) ( ) y son funciones continuas en [ ]a b, , entonces la función (f + g)(x) es continua en [ ]a b, .

- Si f x g x( ) ( ) y son funciones continuas en [ ]a b, , entonces la función (f⋅g)(x) es continua en [ ]a b, .

- Si f x g x( ) ( ) y son funciones continuas en [ ]a b, , y g(x) no se anula en [ ]a b, , entonces la

función fg

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ( ) es continua en [ ]a b, .

- Si f(x) es continua en [ ]a b, , entonces (α⋅f)(x) es continua en [ ]a b, , para todo α∈ R.

- Si f(x) es continua en [ ]a b, y g(x) es continua en [ ]( )f a b, , entonces la función ( )( )g f x es continua en [ ]a b, .

- La función “valor absoluto” es continua en todo ℜ

En resumen: Las operaciones con funciones continuas tienen como resultado otra función continua,

siempre que tenga sentido la operación.

Ejemplo.-

Las funciones y f x x( ) = +2 1 g x x( ) = +3 2 son funciones continuas en todo el conjunto de números reales R; en consecuencia, las funciones:

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x x x+ = + = + +2 3 3

( )( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x x x⋅ = ⋅ = ⋅ +2 3 2

86

son continuas en R. Sin embargo, la función fg

xf xg x

xx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

++

( )( )( )

2 13 2

no es continua en R ya

que en el punto x = −23

no está definida.

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES MÁS USUALES. 1. La función constante f(x) = k es continua en R.

En efecto, sea un número cualquiera a∈ R y estudiemos la continuidad de la función constante en dicho punto:

lim f x limk k f ax a x a→ →

= = =( ) ( )

Por tanto, la función es continua en el punto a∈ R y como “a” es un número real cualquiera, la función es continua para cualquier valor real, es decir, es continua en R.

2. La función identidad f(x) = x es continua en R.

En efecto, sea un número cualquiera a∈ R y estudiemos la continuidad de la función identidad en dicho punto:

lim f x lim x a f ax a x a→ →

= = =( ) ( )

Por tanto, la función es continua en el punto a∈ R y como “a” es un número real cualquiera, la función es continua para cualquier valor real, es decir, es continua en R.

3. La función potencial f(x) = xn, n∈N, es continua en R.

Si tenemos en cuenta que , la función potencial es un

producto de n funciones continuas y, por tanto, será otra función continua. f x x x x xn n( ) ( )= = ⋅ ⋅ ⋅

4. La función polinómica 0 , ai∈R, es una función

continua en R. f x a x a x a x an

nn

n( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ +−−

11

1 +

La función polinómica está formada por la suma de un número finito de productos de una función constante por una función potencial: si tenemos en cuenta que el producto de funciones continuas es otra función continua y la suma de funciones continuas también es continua, la función polinómica será continua en todo R.

5. La función racional f xP xQ x

( )( )( )

= es continua en todo su dominio, es decir, en todo R

menos en aquellos valores que anulen el denominador.

El dominio de la función racional está formado por todos los números reales que no anulan el denominador de la fracción:

}0)(/{)( =∈−= xQRxRfDom

Entonces, ∀a∈Dom(f) se verifica que:

lim f x limP xQ x

P aQ a

f ax a x a→ →

= = =( )( )( )

( )( )

( )

87

y la función es continua en a∈Dom(f) y como a es un punto cualquiera del dominio, será continua en éste.

EJERCICIOS.

1. Representar la función siguiente e indicar si tiene algún punto de discontinuidad:

f xx xx x

x( ) =

+ <

≤≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 3

0 4

2

si si 3 < 4

si

2. Estudiar la continuidad de la función f x sig xxxx

( ) ( )= =− <

=+ >

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 00 0

1 0

si si

si 3. Representar la siguiente función e indicar si tiene algún punto de discontinuidad:

f xx xx xx x

( ) =− ≤

− ≤

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 11

2

2

2

si si 1< 2

si

4. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

f xx

x( ) =

−−112 f x

x xx

( ) =− +−

2 5 62

f xx si xx si x( ) =− <+ ≥

⎧⎨⎩

1 01 0

f x x( ) = −4 2 f xx si x

x si x( ) =

− ≤− >

⎧⎨⎩

2 22 6

2 2

f x xsi x

x si x( ) =

<

+ ≥

⎧⎨⎪

⎩⎪

11

1 1

] [[ ]] ]

f x

x x

x x

x x

( )

,

,

,

=

− ∈ −

+ ∈ −

∈

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 1 4 2

1 3 2 1

1 52

si

si

si

−

f x x( ) = −2 1 f x x x( ) = ⋅

5. Probar que la función f xx

x x( ) =

−+ −

2

3

17 8

no es continua en x = 1 e indicar que tipo de

discontinuidad presenta en dicho punto. 6. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro:

f xx ax xa x x

( ) =+ ≤

− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

22

si si

f xx x

ax x( ) =

+ ≤

− >

⎧⎨⎩

1 23 22

si si

88

f xe xx a x

ax

( ) =≤

+

⎧⎨⎩

si si

02 0>

< f xx x xax b x

x( ) =

+ + <+ ≤

≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 2 1 01

2 1

si si 0

si

7. Hallar los puntos de discontinuidad de la función f x xx

xx x

( ) = −−

−−

12 2 y decir si en

alguno de ellos la discontinuidad es evitable. 8. Dada la función RR definida por f →:

f xx x

xx

x( )

( ) cos( ),sen( )

,=

− + − ≤−

−>

⎧⎨⎪

⎩⎪

1 11

11

si

si

x 1

Determinar los puntos en los que la función f es continua.

9. Estudiar la continuidad de la función f : R → R definida por

f x x x( ) = − −2 3 2

y representarla gráficamente.

10. Consideremos la función f definida por

f xx

x Ln xx

x( ) ( )

,= −

− ≠

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

si

si 1

11

1 1

donde Ln(x) denota el logaritmo neperiano de x, a) Determinar el dominio de definición de la función f. b) Determinar el conjunto de puntos en el que f es continua. c) Determinar las asíntotas de f.

11. Una función continua definida para todo x real en el intervalo (−1,1) está definida por

.0 si )(cos)( 21

≠= xxxf x Hallar, razonadamente, el valor de f(0).

89

Del conocimiento de la continuidad en un intervalo cerrado se obtienen

importantes resultados. Las hipótesis de los teoremas que veremos más adelante exigen la continuidad de la función en un intervalo cerrado [ ]; ,ba si esta continuidad deja de cumplirse en un sólo punto del intervalo, las tesis de los teoremas pueden no ser ciertas.

EJEMPLO: 1. La función f x x( ) sen( )= es continua en toda la recta real y, en consecuencia, en cualquier

intervalo abierto o cerrado de la misma.

2. La función f xx

( ) =1

no es continua en cualquier intervalo que contenga al cero, ya que en

dicho punto la función no está definida.

3. La función definida por no es continua en el intervalo f xx x

x x( ) =

− <

− ≥

⎧⎨⎩

3 11 12

si si

1[ ]0 3, ya

que los límites laterales en x = 1 son distintos. PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. 1. TEOREMA DE BOLZANO. (Teorema de las raíces)

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [ ]a b, y toma valores de signo opuesto en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c) = 0.

[ ] ( )f a b

f a f bc a b f c

continua en

,

( ) ( ), / ( )

⋅ <

⎫⎬⎭

⇒ ∃ ∈ =0

0

Geométricamente este teorema nos viene a decir que la gráfica de la función f corta en

algún punto al eje de abscisas ya que pasa de un punto situado por encima de él a otro que se encuentra debajo o recíprocamente.

La demostración de este teorema sería la siguiente:

O a c b O a b1c 2c 3c

90

Supongamos que f(a) <0 y f(b)>0, y consideremos el punto medio del intervalo [ ] :,ba

20bax +

= .

Si la función se anula en este punto, el teorema estará demostrado. En caso contrario, en uno de los dos intervalos en que se descompone el inicial, la función toma valores de signo opuesto en los extremos. Sea I1 este intervalo. Si la función f no se anula en el punto medio de este intervalo, se construye otro intervalo I2 tal que la función tome valores de signo opuesto en los extremos.

Repitiendo sucesivamente esta operación, obtenemos una sucesión {In} de intervalos encajados

[ ]a b I I I n, ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃1 2 tales que la amplitud de cada uno es la mitad del anterior y en los extremos de cada intervalo la función f toma valores de signo opuesto. Cuando “n” crece indefinidamente, la amplitud de los intervalos convergerá a cero y nos definirá un punto que llamaremos “c”.

Veamos que f c( ) = 0 :

Si por ser f continua en el punto c habría un entorno de c en el cual la función tomaría el mismo signo que Sin embargo dentro de ese entorno habría intervalos

, para los cuales se estaría verificando que la función toma valores de signo opuesto en los extremos, en contra de que la función tiene el mismo signo que .

,0)( ≠cf).(cf

[I a bn n= , ]n

f c( )

En consecuencia, f se anula en el punto x = c.

El teorema de Bolzano nos sirve de gran ayuda en la comprobación de la existencia de ceros en una función y en su localización: Si la función f es continua y conseguimos encontrar dos puntos en los cuales la función toma valores de signo opuesto, por el teorema de Bolzano podemos afirmar que en el intervalo que dichos puntos determinan existe al menos un cero de la función. 2. Teorema de los valores intermedios.(Darboux)

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [ ]a b, ⊂R y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c) = k.

[ ] ( )f a bf a k f b

c a b f c k continua en

,( ) ( )

, / ( )< <

⎫⎬⎭

⇒ ∃ ∈ =

Este teorema es consecuencia del anterior y lo podríamos demostrar sin más que considerar una nueva función g x f x k( ) ( )= − que cumpliría las condiciones del teorema de Bolzano:

• g(x) es continua en [ ]a b, por ser diferencia de dos funciones continuas en [ ]a b, .

• Supuesto que f(a) < f(b), entonces:

g a f a k( ) ( )= − < 0 g b f b k( ) ( )= − > 0

Se verifican, por tanto, las hipótesis del teorema de Bolzano y, en consecuencia, también se verificará la tesis, es decir:

91

∃ ∈ = ⇒ = − = ⇒ = c a b g c g c f c k f c k( , ) / ( ) ( ) ( ) ( )0 0

El teorema de los valores intermedios nos viene a decir que si la función f es continua en , entonces f toma cualquier valor comprendido entre f(a) y f(b). [a b, ]

Otra consecuencia del teorema de Bolzano sería la siguiente:

3. Si f y g son funciones continuas en el intervalo [ ]a b, y se verifica que f a g a( ) ( )< y , entonces existe un número f b g b( ) ( )> c a b∈( , ) tal que f c g c( ) ( )= .

Geométricamente esto significaría que las gráficas de las funciones f y g se cortan en el

punto ).,( bac∈

4. Continuidad y acotación.

Una función puede ser continua en un intervalo abierto o semiabierto y no estar acotada,

como ocurre en el caso de la función f xx

( ) =1

en el intervalo (0,1].

Sin embargo, si el intervalo es cerrado, la función estará acotada y existirá una banda

limitada por dos rectas y k y k= = e ' que contendrá la gráfica de la función.

Este resultado podemos enunciarlo de la siguiente forma: Teorema.

Si f es continua en [ entonces está acotada en dicho intervalo. ]a b, Demostración. Para demostrar este teorema utilizaremos el método de los intervalos encajados y procederemos por reducción al absurdo, es decir, supondremos que la función no está acotada en el intervalo [ y llegaremos a una contradicción. Por tanto, llegaremos a la conclusión de que la función f tiene que estar acotada en el intervalo

]a b,[ ]a b, .

En efecto, si f no está acotada en [ ]a b, , tampoco lo estará en una de sus dos mitades :

O

fg

ba c

92

aa b a b

b, ,+⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥2 2

o

Vamos a llamar [ al subintervalo en el que se verifica esto y procedamos, en él, de la misma forma que en

]a b1 1,[ ]a b, . Repitiendo la operación sucesivamente obtenemos una sucesión de

intervalos encajados

[ ] [ ] [ ] [ ]a b a b a b a bn n, , , ,⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃1 1 2 2

donde cada uno de ellos tiene de amplitud la mitad del anterior y en cada uno de los cuales la función no está acotada. Cuando n crece indefinidamente, la amplitud de los intervalos convergerá a cero y esta familia de intervalos encajados nos definirá un punto c:

a a a a c b b bn n≤ ≤ ≤ b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤1 2 2 1

En un entorno de este punto c se produce la contradicción: Por ser f continua en dicho punto c debe estar acotada en E(c,δ) para algún valor de δ y, dentro de ese entorno habrá algún intervalo [ en los que habíamos supuesto que f no estaba acotada. ]

]

a bn n,

La única forma de que no se produzca esta contradicción es que f esté acotada en el intervalo [ . a b,

Este teorema se utilizaría para demostrar el siguiente Teorema de Weierstrass. "Una función f continua en un intervalo cerrado [ ]a b, alcanza su máximo y su mínimo en dicho intervalo"

Esto significa que existen sendos números c y d del intervalo para los cuales se cumple que:

[ ]f d f x f c x a b( ) ( ) ( ) ,≤ ≤ ∀ ∈ Gráficamente:

Demostración.

O O d

máximo

a ab bcmínimo

93

Sea el recorrido de la función. Por ser f una función continua definida en un cerrado, la función estará acotada en él y, por tanto, existirán el extremo inferior m y el extremo superior M del conjunto A.

[ ]A f a b= ( , )

Si M es un valor de la función f en el intervalo [ ],,ba el teorema estaría demostrado y M sería el máximo de la función en dicho intervalo.

Si M no es un valor de la función f en el intervalo [ ],,ba el valor para

todo valor x del intervalo [ y la función auxiliar

0)( ≠− xfM

],,ba)(

1)(xfM

xg−

= definida en el intervalo

sería continua en él y, en consecuencia, acotada en dicho intervalo, es decir: [ ],,ba

[ ] [ ] ⇒∈∀≤−

⇒∈∀≤∈∃ , )(

1 , )(/ baxKxfM

baxKxgRK

[ ]baxK

Mxf , 1)( ∈∀−≤⇒

Esto nos indicaría que M no sería extremo superior de f, en contra de lo que habíamos supuesto.

Por tanto, existe al menos un valor c del intervalo [ ],,ba en el cual f(c) = M y, en consecuencia, M sería máximo absoluto de la función en dicho intervalo.

De análoga manera podríamos demostrar la existencia del mínimo absoluto.

94

EJERCICIOS RESUELTOS. • Si g(x) es una función polinómica, ¿qué se puede afirmar sobre la continuidad de la

función ?1)()( 2 −

=x

xgxf

La función f(x) dada es un cociente de dos funciones polinómicas, continuas ambas en todo el conjunto de números reales. Por tanto, f(x) será una función continua en todos los puntos en los cuales la operación cociente tenga sentido.

Teniendo en cuenta que el polinomio denominador se anula en los puntos , la función f(x) es continua en R salvo los puntos 1y 1 −== xx 1y 1 −== xx

Dominio de continuidad de f = }1,1{ +−−R • ¡¡¡NO!!! Sea f una función de la que se sabe que

2222

11 , ,41

41 ,

31

31 ,

21

21

nnffff =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

para todo número natural n. Si f es continua en el origen, ¿qué puede asegurarse del valor de f en el origen, f(0)?

Si f es continua en el origen, se verificará que :)0()(lím0

fxfx

=→

el límite de la función

en el punto debe coincidir con el valor que toma la función en dicho punto. En consecuencia,

calculando el límite de la función cuando ,0 que ya , →+∞→n

n 1 tenemos:

01lím)1(lím 2 ==+∞→+∞→ nn

fnn

En consecuencia, podemos afirmar que f(0) = 0.

• Demostrar que la ecuación 03 tiene una solución en el intervalo [ ] 53 =+− xx .2,1

La función es una función continua en todo R y, por tanto, en el intervalo [ por ser polinómica.

35)( 3 +−= xxxf],2,1

Además, se verifica que: 1)2(y 01)1( +=<−= ff

En consecuencia, se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano (tenemos una función continua en un cerrado que toma valores de signo opuesto en los extremos del mismo) y, por tanto, también se cumplirá la tesis:

[ ] 0)(/2,1 =∈∃ cfc

y nuestra ecuación tiene una solución en el intervalo [ ].2,1

95

• La función xx toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo f tg)( =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

43,

4ππ y, sin embargo, no se anula en él. ¿Contradice esto el teorema de Bolzano?

La función xxxxf

cossentg)( == es continua en todo R menos en los puntos en los que se

anula la función coseno y, dentro del intervalo dado, existe un punto en el que se anula

.4

3,42 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈=

πππx

En consecuencia, la función tangente no es continua en el intervalo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

43,

4ππ

Se verifica que: 14

3tg4

3y 14

tg4

−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππππ ff

No se cumplen las hipótesis de Bolzano y, por tanto, tampoco se cumplirá la tesis.

En consecuencia, no se contradice el teorema ya que si no se cumplen las hipótesis, no se cumplirá la tesis.

• Sea la función . ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el intervalo (1,2) tal que 2

)( 23 xxxxf +−==)(cf ?

Consideremos la función auxiliar y veamos si cumple las hipótesis del teorema de Bolzano:

22 23 −+−=−= xxxxfxg )()(

• g(x) es continua en el intervalo [1,2] ya que al ser polinómica es continua en R y, en consecuencia, en el intervalo [1,2].

• ⇒ toma valores de signo opuesto en los extremos del intervalo. ⎭⎬⎫

=−=

4)2(1)1(

gg

Por tanto, g(x) cumple las hipótesis del teorema de Bolzano. Entonces: 02)( 0)( / )2,1( =−⇒=∈∃ cfxgc

De donde se deduce que .2)( =cf

96

EJERCICIOS.

1. Estudiar la continuidad de la función xxf cos)( = en el intervalo [ ].,0 π

2. Probar que la ecuación 040 tiene alguna raíz real y localizarla. 33 =+− xx

3. ¿Es cierto que la ecuación 13 tiene al menos una raíz comprendida entre 1 y 2? Razónese la respuesta y enúnciese el resultado que se utiliza en su resolución.

5 =− xx

4. Si el término independiente de un polinomio en x es igual a −5 y el valor que toma el polinomio para x = 3 es 7, razonar que hay algún punto del intervalo [0,3] en el que el polinomio toma el valor 2.

5. Se puede afirmar que la ecuación 012sen =−+ xx tiene al menos una raíz real? Si la respuesta es afirmativa, hallar un intervalo en el cual se encuentre dicha raíz.

6. Si f(x) es una función definida en [ ],,ba continua en x = a y x = b y tal que ,0)( ¿podemos asegurar que existe un c del intervalo abierto (a,b) tal que f(c) =

0? Razonar la respuesta. )( <⋅ bfaf

7. Si f(x) es continua en [1,9] y es tal que f(1) = −5 y f(9) > 0 ¿podemos asegurar que en estas condiciones la función g(x) = f(x) + 3 tiene al menos un cero en [1,9]? Razonar la respuesta.

8. Consideremos la función 1

1)(−

=x

xf

a) ¿Es f continua en (1,2]?

b) ¿Está acotada en dicho intervalo?

c) ¿Tiene algún máximo o mínimo absolutos?

d) ¿Se contradice el Teorema de Weierstrass?

9. Probar que las gráficas de las funciones xex se cortan en algún punto y localizarlo aproximadamente.

gLxxf −== )(y )(

10. Para cada una de las funciones siguientes, indicar si está acotada superior o inferiormente dando una cota. Decid si alcanza su máximo o su mínimo:

• [ ]1,1 en 1)( 2 −−= xxf

• [ ]2,5en 1

1)(−

=x

xg

• [ ]0,2en 1

1)(−

=x

xg

• ),(en 1

1)( 2 +∞−∞+

=x

xh

97

FUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES. TASA DE VARIACION MEDIA.

Dada una función se llama TASA DE VARIACIÓN o INCREMENTO de f a la variación que experimenta f cuando la variable independiente pasa de "a" a "a + h".

)(xfy =

)()(),( afhafhaf −+=Δ

Por el mismo motivo h recibe el nombre de incremento de x o variación de x.

Esta tasa de variación o incremento de una función nos da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece la función en un intervalo, aunque no es lo suficientemente precisa.

Para tener una idea más exacta necesitaríamos conocer cuanto crece la función por cada unidad que crece la variable x. Este dato más preciso es la tasa de variación media.

La TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M.) nos viene dada por el cociente incremental siguiente:

hafhaf

hfMVT )()(... −+==

Δ

y significa la variación relativa de f con relación a x en el intervalo [ ] ., haa +

Gráficamente:

La tasa de variación media es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y P’.

DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 61

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.

El límite

hafhaf

hhaf

hh

)()(lím),(lím −+=

→→ 00

Δ

si existe y es finito, recibe el nombre de DERIVADA de la función en el punto "a" y representa la variación de la función f en el punto x = a. Se representa por ).(' af

Si en la definición anterior hacemos : axhxha −=⇒=+ cuando h tiende a cero, entonces x tiende a y la derivada de la función en el punto a nos queda de la forma: ""a

axafxfaf

ax −−

=→

)()(lím)('

fP

0PfΔ

αh

aO a + h

98

Geométricamente, si vamos acercando el punto P hacia el punto P0 (h tiende a cero), la recta

secante se transforma en tangente a la gráfica de la función. En consecuencia, la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = a.

)(' afmt =


La ecuación de la recta tangente en el punto nos viene dada por: ))(,( afaP

)).((')( axafafy −=−

NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente: ).( 11 xxmyy −=−

La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en dicho

punto.

Si la pendiente de la tangente es ),(' afmt = la pendiente de la normal será

)(' afm N

1−= y la ecuación de la normal nos viene dada por:

)()('

)( axaf

afy −⋅−=−1

EJEMPLOS. 1. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por 3)( xx en el punto

de abscisa x = 2. f =

Calculamos la derivada de la función dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia definición tendremos:

122.3)2.32.3(lím)2.32.3.(lím2.32.3lím

2)2.32.32(lím2)2(lím)2()2(lím)2('

222

0

22

0

322

0

33223

0

33

00

==++=++

=++

=

=−+++

=−+

=−+

=

→→→

→→→

hhh

hhhh

hhhh

hhhh

hh

fhff

hhh

hhh

En consecuencia, 121

)2('1y 12)2(' 12)2(' −=−===⇒=

fmfmf Nt

Una vez que hemos obtenido las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva, podemos escribir sus ecuaciones, utilizando la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente: Si tenemos en cuenta que el punto de tangencia tiene por coordenadas , las ecuaciones de las rectas pedidas son:

)8,2())2(,2( ≡f

fP

0PfΔ

αh

aO a + h

99

Ecuación de la recta tangente: 162 )2.(128 −=⇒−=− x yxy

Ecuación de la recta normal: 649

121 )2(

1218 +⋅−=⇒−⋅−=− x yxy

2. Dada la parábola de ecuación ,128 hallar el punto donde la tangente es

paralela al eje de abscisas.

2 +−= xxy

Calculamos la derivada de la función dada en un punto cualquiera x:

82)82(lím)82.(lím

82lím)128()12882(lím

)128()128)((lím)()(lím)('

00

2

0

222

0

22

00

−=−+=−+

=

=−+

=+−−+−−++

=

=+−−+−+

=−+

=

→→

→→

→→

xhxh

hxhh

hhxhh

xxhxhxhx

hxxxhx

hxfhxfxf

hh

hh

hh

Como la tangente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán igual pendiente: si tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es igual a cero, al igualar la derivada a cero nos queda:

4 082 0)(' =⇒=−⇒== xxxfmt

Obtenida la abscisa del punto de tangencia, la ordenada correspondiente del punto la obtenemos sustituyendo en la función: 4124.84)4( 2 −=+−=f

En consecuencia, el punto de tangencia tiene por coordenadas (4, −4). DERIVADAS LATERALES.

Puesto que la derivada de una función en un punto la definimos mediante el límite de una función (TVM) en un punto x = a, podemos considerar la existencia de límites laterales en dicho punto. Aparece así el concepto de derivadas laterales. Derivada por la izquierda.

Se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es que existe:

hafhaf

h

)()(lim0

−+−→

o ax

afxflímax −

−−→

)()(

La derivada por la izquierda en el punto x = a se representa por )(' −af

Derivada por la derecha: Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es que existe:

hafhaflim

h

)()(0

−++→

o ax

afxfax −

−+→

)()(lím

La derivada por la derecha en el punto x = a se representa por ).(' +af


100

Evidentemente, una función es derivable en un punto sí, y sólo sí, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales son iguales.

Si las derivadas laterales existen pero no coinciden, se debe a que la función tiene un punto anguloso. Este es el caso de la función xxf =)( que en el punto x = 0 tiene por

derivadas laterales .1)0('y 1)0(' +=−= +− ff DERIVABILIDAD EN UN INTERVALO.

Una función es derivable en un intervalo abierto si es derivable en cada uno de sus puntos.

),( ba

Una función es derivable en un intervalo cerrado [ ]ba, si es derivable en cada uno de los puntos del intervalo abierto y derivable por la derecha en ),( ba ax = y por la izquierda en

.bx = CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.

La derivabilidad es una propiedad de las funciones más restrictiva que la continuidad, ya que existen funciones continuas que no son derivables.

La implicación de que una función derivable es continua se demuestra en el siguiente TEOREMA.

"Si una función es derivable en un punto (derivada finita), entonces es continua en dicho punto" Demostración:

Sabemos que una función es continua en un punto a si

[ ] 0)()(lím )()(lím00

=−+⇔=+→→

afhafafhafhh

En nuestro caso, tendremos que demostrar cualquiera de estos resultados:

[ ] 00)('lím)()(lím)()(lím)()(lím0000

=⋅=⋅−+

=⋅−+

=−+→→→→

afhh

afhafhh

afhafafhafhhhh

Sin embargo, el recíproco de este teorema no es cierto: Una función continua en un punto no es necesariamente derivable en dicho punto.

Esto podemos verlo fácilmente estudiando la función xxf =)( en el punto x = 0.

En efecto, esta función es continua en x = 0

0)(lím 0)(lím)(lím

0)(lím)(lím

000

00 =∃⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

==

=−=

→→→

→→

++

−−

xfxxf

xxf

xxx

xx

Como f(0) = 0, entonces f es continua en x = 0.


101

Veamos ahora la derivabilidad en x = 0:

)0(')0(' 1lím)0()0(lím)0('

1lím)0()0(lím)0('

00

00 +−

→→

+

→→

−

≠⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+==−+

=

−=−

=−+

=

++

−−

ff

hh

hfhff

hh

hfhff

hh

hh

Por tanto, la función xxf =)( no es derivable en el punto x = 0.

En consecuencia, las funciones derivables forman un subconjunto de las funciones continuas. LA FUNCION DERIVADA.

Hasta ahora sólo hemos estudiado la derivada de una función en un punto y el resultado es un número real por tratarse de un límite.

Si una función f es derivable en un subconjunto D' de su dominio D (D' ⊆ D), podemos definir una nueva función que asocie a cada elemento de D' su derivada en ese punto:

RxfDxRD ff ∈⎯→⎯∈⎯→⎯ )(' ' / ' ''

Esta nueva función así definida recibe el nombre de FUNCIÓN DERIVADA o, simplemente, DERIVADA y se representa por '.f

A partir de la función derivada primera se puede definir, si existe, también su derivada que recibe el nombre de derivada segunda y se representa por '.'f

Análogamente se definirían la derivada tercera, cuarta, quinta,..., n-ésima, y se representarían por )( , ),( ),( ),(''' ((( xfxfxfxf n…54

Otras formas de representar las derivadas son:

nn

n

n

fdx

fdfdx

fdfdxdf

fDfDfDDf

(2

2

32

, , '' ,'

, , , ,

=== …

…

REGLAS DE DERIVACION.

Aplicando la definición de derivada a las cuatro operaciones definidas entre funciones (adición, multiplicación, producto por un número y composición) obtenemos las reglas de derivación de ellas. Aplicando la misma definición a algunas funciones elementales obtenemos también fórmulas de derivación para ellas.

Estos resultados, de todos conocidos, los reunimos en la siguiente tabla:


102

• Reglas de Derivación:

OPERACIONES REGLA

'')'( gfgf ±=± SUMA Y DIFERENCIA


PRODUCTO '')'( gfgfgf ⋅+⋅=⋅

COCIENTE 2ggfgf

gf '.'.)'( −

=

'.)'.( fkfk = Producto por un número

)(')).((')'( xfxfgfg = COMPOSICIÓN

A modo de ejemplo, podríamos comprobarlas con la suma y diferencia: Suponiendo que las funciones f y g sean derivables, tenemos:

=±−+±

=±→ h

xgfhxgfxgfh

))(())((lím)()'(0

[ ] [ ] [ ] [ ]

)(')('

)()()()()()()()(

)()()()()()()()(

000

00

xgxf

hxghxglím

hxfhxflím

hxghxg

hxfhxflím

hxghxgxfhxflím

hxgxfhxghxflím

hhh

hh

±=

=−+

±−+

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

±−+

=

=−+±−+

=±−+±+

=

→→→

→→

103

Derivadas de Funciones Elementales:

F O R M A S T I P O S S I M P L E S COMPUESTAS

Constante: kxf =)( 0)(' =xf


F. Identidad: xxf =)( 1)(' =xf

Potencial 1. −= nn xnDx '.. 1 ffnDf nn −=

Potencial RxnDx ∈α= −αα ,. 1 RffnDf ∈α= −αα ,'.. 1

xLxD 1)( =

ffLfD ')( =

Logarítmico e

xxD aa log1log ⋅= e

fffD aa log'log ⋅=

xx eeD =)( ff efeD '.)( = Exponencial

LaaaD xx .)( = LaafaD ff .'.)( = Potencial-exponencial LffgffgfD ggg .'.'.. 1 += −

xxD

21

= f

ffD2

'= Raíz Cuadrada

Seno xxD cossen = fffD cos'sen ⋅=

Coseno xxD sen cos −= fffD sen 'cos ⋅−=

xxD 2tg1 tg += )tg1'.( tg 2 fffD += xxD 2sec tg = fffD 2sec'. tg =

Tangente

xxD 2cos

1 tg = f

ffD 2cos' tg =

)ctg1( ctg 2 xxD +−= )ctg1'.( ctg 2 fffD +−= xxD 2cosec ctg −= fffD 2cosec' ctg ⋅−=

Cotangente

xxD 2sen

1 ctg −= f

ffD 2sen' ctg −=

Arco seno 211arcsen

xxD

−=

21'arcsen f

ffD−

=

Arco coseno 211arccos

xxD

−−=

21'arccos f

ffD−

−=

Arco tangente 211 arctg x

xD+

= 21' arctg f

ffD+

=

Arco cotangente 211 arcctg x

xD+

−= 21' arcctgf

ffD+

−=

104

EJERCICIOS RESUELTOS. • Dada la función definida por RRf ⎯→⎯:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤≤

<−=

xxxx

xxxf

3 si ,630 si ,

0 si ,)( 2

2

Determina los puntos en los que la función f es derivable y en cada uno de ellos calcula su derivada.

Nuestra función f es una función definida a trozos en cada uno de los cuales está definida como una función cuadrática o como función lineal. Tanto una como la otra son funciones continuas y derivables en todo R y, por tanto, en el trozo en el que están definidas. En consecuencia, la función f es continua y derivable en }3,0{−R por serlo las funciones mediante las que está definida. Estudiemos la continuidad y la derivabilidad de la función f en los puntos x = 0 y x = 3.

En x = 0: Como en este punto hay un cambio de definición de la función, para estudiar la existencia de límite en él tendremos que calcular los límites laterales de la función:

0)(lím0)(lím)(lím

0)(lím)(lím

02

00

2

00 =∃⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

==

=−=

→

→→

→→

++

−−

xfxxf

xxf

xxx

xx

Por otra parte, y la función sería continua en el punto x = 0. 0)0( =f

Estudiemos la derivabilidad: tendremos que calcular las derivadas laterales

0)0('0)(

00

0)0()()0('

0)(0

00

)0()()0('

0

2

00

0

2

00=∃⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==−−

=−−

=

=−=−−−

=−−

=

−++

−−−

→→→

+

→→→

−

fxlím

xxlím

xfxflímf

xlímxxlím

xfxflímf

xxx

xxx

En x = 3.

Continuidad: operamos de igual manera que en x = 0.

)(lím existe no )(lím)(lím18)6(lím)(lím

9)(lím)(lím333

33

2

33 xfxfxfxxf

xxfxxx

xx

xx

→→→→→

→→ ⇒≠⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

==

==+−

++

−−

Por tanto, la función no es continua en x = 3 (presenta en este punto una discontinuidad inevitable de salto finito) y, en consecuencia, será no derivable en él.

La derivada de la función f nos vendría dada por:


105

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

<<

=

<−

=

xxx

xxx

xf

3 si ,630 si ,2

0 si ,00 si ,2

)('

• Dada la función RR definida por f →:⎪⎩

⎪⎨⎧

>−−

≤−+−=

1 si 1

)1( sen1 si )1cos()1(

)(x

xx

xxxxf

Determinar los puntos en los que f es continua y los puntos en los que f es derivable.

Continuidad:

Para valores menores y mayores que 1, la función es continua pues está definida mediante funciones continuas en todo el conjunto de números reales y tienen sentido las operaciones.

Estudiamos la continuidad en el punto x = 1, empezando por calcular los límites laterales de la función en dicho punto:

[ ]

11lím11lím

1)1sen(lím)(lím

10cos)11cos()11()1cos()1(lím)(lím

1111

11

==−−

=−−

=

==−+−=−+−=

++++

−−

→→→→

→→

xxxx

xx

xx

xxxf

xxxf

Al ser los límites laterales iguales, la función tiene límite en el punto x = 1 y es igual a 1. Por otra parte, 10cos)11cos()11()1( ==−+−=f Entonces, se verifica que )1()(lím

1fxf

x=

→ y la función es continua en el punto x=1.

Por tanto, el dominio de continuidad de la función f es R.

Derivabilidad:

Para valores menores y mayores que 1, la función es derivable pues está definida mediante funciones derivables en todo el conjunto de números reales.

La derivada de la función para valores distintos de 1 es

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

−−−−<−−

= 1 si )1(

)1sen()1cos()1(1 si )1sen(1

)('2 x

xxxx

xxxf

Estudiamos la derivabilidad de la función en el punto x = 1 calculando los límites laterales de en x = 1: )(' xf

[ ] 10sen1)11sen(1)1sen(1lím)('lím)1('11

=−=−−=−−==−− →→

− xxffxx

=−

−−−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−−−−

==+++ →→→

+21211 )1(

)1()1cos()1(lím00

)1()1sen()1cos()1(lím)('lím)1('

xxxx

xxxxxff

xxx

[ ]=

−

−−

=−

−−=

−−−−

=+++ →→→ 1

21sen2

lím1

1)1cos(lím)1(

1)1cos()1(lím2

1121 x

x

xx

xxx

xxx


106

02

1lím14

)1(2lím

12

12lím

1

2

1

2

1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

−

−⋅−

=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−

=+++ →→→

xx

x

x

x

xxx

En consecuencia, las derivadas laterales en el punto x = 1 son distintas y la función no sería derivable en dicho punto.

El dominio de derivabilidad de la función f sería R − {1}. • Estudia, según los valores del parámetro a, la continuidad y derivabilidad de la función

definida por RRf →:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤+=

2 si

2 si )(

2

2

xxa

xaxxxf

Para cualquier valor distinto de 2, la función f está definida como función cuadrática en cada uno de los segmentos, para cualquier valor del parámetro a. Como las funciones cuadráticas son continuas y derivables en todo R, también lo serán en cualquier intervalo abierto de R y, por tanto, la función f será continua y derivable, para cualquier valor del parámetro a, en R − {2}.

Estudiemos la continuidad de f en el punto 2:

Para que sea continua tiene que existir límite en el punto 2 y, para ello, los límites laterales tienen que ser iguales:

4)(lím)(lím

24)(lím)(lím2

22

2

22

−=−=

+=+=

++

−−

→→

→→

axaxf

aaxxxf

xx

xx

Igualando estos límites laterales obtenemos: 8 424 −=⇒−=+ aaa

En consecuencia, la función sería continua en el punto 2 si .8−=a Para este valor del parámetro la función nos queda de la forma:

⎩⎨⎧

>−−≤−

=2 si 82 si 8

)(2

2

xxxxx

xf

y su derivada, salvo en el punto 2, es:

⎩⎨⎧

>−<−

=2 si 22 si 82

)('xxxx

xf

Calculamos la derivada en el punto 2:

4)2(')2(')2('4)2(lím)('lím)2('

4)82(lím)('lím)2('

22

22 −=∃⇒=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

−=−==

−=−==−−

→→

+→→

−

++

−−

fffxxff

xxff

xx

xx

La función es derivable en el punto x = 2. • En resumen:


107

Si la función es continua y derivable en R − {2}. ,8−≠a

Si la función es continua y derivable en R. ,8−=a


108

RELACIÓN DE PROBLEMAS. 1. Hallar la ecuación de la tangente a las curvas en los puntos que se indican:

83)( 2 += xxf en el punto P(1,11). 1)( 5 += xxf en el punto P(0,1) 12 2

3)( += xxf en el punto de abscisa x = 0. xexxf .)( = en el punto de abscisa x = 0.

2. Escribid la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 1=⋅ yx en el punto de abscisa x = 3.

3. ¿En qué punto de la gráfica de la función la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante?

86)( 2 +−= xxxf

4. Determinar los puntos de la curva 159 en los cuales la tangente es paralela a la recta

9 23 +−+= xxxy.512 += xy

5. Buscar los puntos de la curva que tienen la tangente formando un ángulo de 45º con el eje de abscisas.

1137 234 +++−= xxxxy

6. Estudiar la derivabilidad de la función Dibujar la gráfica. ⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

1 si 2

1 si 1)(

x

xxf

7. Demostrar que la función 2)( −= xxf no puede tener tangente en el punto de abscisa 2=x

8. Dada la función ,)( xxxf ⋅= hallar Representar gráficamente los resultados.

).(''y )(' xfxf

9. Estudia la derivabilidad de la función 2)1()( xxf −= en el intervalo [ ] .1,1−

10. Estudia la derivabilidad de la función xxf cos)( = en el intervalo [ ] .,0 π

11. Halla la derivada de la función

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠⋅=

0 si 0

0 si 1sen)(2

x

xx

xxf

¿Es 'f continua en ?0=x ¿Es 'f derivable en ?0=x 12. Calcula m y n para que la función

⎩⎨⎧

>+−≤+−

=1 si 1 si 5

)(2

2

xnxxxmxx

xf

sea derivable en todo R. 13. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones y, en caso de no sean derivables en

algún punto, dar el valor de sus derivadas laterales:

⎩⎨⎧

≥+−<−

=3 si 33 si 13

)( 2 xxxxx

xf ⎩⎨⎧

>−≤−

=1 si 221 si 1)(

2

xxxxxf

14. Consideremos la función ).()( xgxxf ⋅= Sabiendo que g(x) es continua en 0, probar que f(x) es derivable en 0 y calcular su derivada. (No se puede suponer que g es derivable; puede no serlo).


109

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES.

Una serie de aspectos de la gráfica de una función vistos anteriormente (monotonía, máximos y mínimos) y otros que veremos posteriormente, pueden estudiarse fácilmente mediante derivadas. La mayor parte de las funciones elementales con las que trabajamos son derivables en casi todos los puntos de su dominio; es por esto por lo que en el presente tema trataremos de caracterizar dichos conceptos mediante derivadas. FUNCIONES MONÓTONAS.

Recordemos que una función es monótona cuando es creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente.

Sea f una función definida de D en R y sea a un punto perteneciente a D.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤>≥

−−

∈∀⇔∈

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

0000

)()(:),( en

es ax

afxfraVxDa



f

Tratemos ahora de caracterizar esta monotonía para funciones derivables. De la tasa de variación media (T.V.M.) que aparece en la definición de la monotonía,

podemos pasar a la derivada sólo con tomar límites. A partir de aquí, podemos enunciar el siguiente TEOREMA.

Sea f una función derivable en un punto .Da∈ Si entonces f es estrictamente creciente en el punto a.

,0)(' >af

Demostración.

Puesto que existe y es positiva, entonces existirá el límite de la tasa de variación media y también será positivo:

)(' af

0)()(lím)(' >−−

=→ ax

afxfafax

Teniendo en cuenta la relación entre el límite y el signo de una función: "Si una función tiene límite en un punto y es distinto de cero, entonces existe un entorno del punto en el que los valores que toma la función tienen el mismo signo que el límite". Entonces:

0)()( que elen ),( >−−

∃ax

afxfraV

y, por tanto, la función f es estrictamente creciente en a.

Un teorema análogo podríamos enunciar para el decrecimiento estricto. Sea f una función derivable en un punto .Da∈ Si entonces f es

estrictamente decreciente en el punto a. ,0)(' <af

110

La demostración de este teorema se haría de forma similar a la del anterior para

funciones estrictamente crecientes.

Teniendo en cuenta los teoremas anteriores, para estudiar la monotonía de una función sólo tendremos que calcular su derivada y buscar los intervalos dónde ésta sea positiva (función estrictamente creciente) y dónde sea negativa (función estrictamente decreciente).

Si en un intervalo ⇒ f es estrictamente creciente en el intervalo. 0'>f

Si en un intervalo ⇒ f es estrictamente decreciente en el intervalo. 0'<f

En los puntos cuya derivada es nula no se puede afirmar nada, ya que la función puede ser creciente, decreciente o ninguna de las dos cosas. El siguiente criterio nos ayuda a estudiar este caso:

Sea x = a un punto donde una función f tiene derivadas hasta el orden 12 +n

(orden impar) en un entorno de dicho punto y que .0)()('')(' 2( ==== afafaf n

Si entonces la función es estrictamente creciente en x = a. ,0)(12( >+ af n

Si entonces la función es estrictamente decreciente en x = a. ,0)(12( <+ af n

EJEMPLOS. 1. Estudiar la monotonía de la función .4)( 2 −= xxf

Calculamos la derivada de la función dada: .2)(' xxf = Entonces: • Si f es estrictamente decreciente en el intervalo ).0,(−∞ xfx ⇒<⇒< 0)('0• Si f es estrictamente creciente en el intervalo ).,0( +∞ xfx ⇒>⇒> 0)('0• Si x = 0 no se puede afirmar nada.

2. Estudiar los intervalos de monotonía de la función .) ( xexf =

La derivada de la función dada es .)(' xexf =Para cualquier valor se verifica que Luego, en toda la recta real y nuestra función será creciente en todo su dominio.

Rx∈ .0>xe 0)(' >xf

3. Estudiar la monotonía de la función .)( Lxxf =

Calculamos su derivada: .1)('x

xf =

Como la función logarítmica sólo está definida para valores de tendremos que y la función será estrictamente creciente en todo su dominio.

,0>x0)(' >xf

4. Estudiar los intervalos de monotonía de la función .) ( 3xxf =

111

Su derivada es Por tanto, la función es estrictamente creciente para cualquier En x = 0 no se puede aplicar el criterio anterior y tendremos que ver cual es la

primera derivada que no se anula en él.

.3)(' 2xxf =.0≠x

Tenemos que .6)0('''y 0)0('')0(' === fff Aplicando el criterio segundo, como la primera derivada que no se anula en el punto x = 0 es de orden impar y es positiva, la función es estrictamente creciente en dicho punto y, por tanto, en todo R.

5. Estudiar los intervalos de monotonía de la función .2

)(2

+=

xxxf

Calculamos la derivada de la función: 22

2

2

2

)2()4(

)2(4

)2()2(2)('

++

=++

=+

−+=

xxx

xxx

xxxxxf

Puesto que el denominador siempre es positivo, el signo de la derivada depende

exclusivamente del signo del numerador. Como éste se anula en los puntos , el

dominio se nos divide en los siguientes trozos: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−=0

4xx

).,0( )0,2( ),2,4( ),4,( +∞−−−−−∞ y Estudiemos el signo de la función derivada en cada uno de los intervalos obtenidos:

fxfx ⇒>−−∞∈∀ 0)(':)4,( es estrictamente creciente en el intervalo ).4,( −−∞

fxfx ⇒<−−∈∀ 0)(': )2,4( es estrictamente decreciente en el intervalo ).2,4( −−

fxfx ⇒<−∈∀ 0)(': )0,2( es estrictamente decreciente en el intervalo ).0,2(−fxfx ⇒>+∞∈∀ 0)(': ),0( es estrictamente creciente en el intervalo ).,0( +∞

TEOREMA DE ROLLE.

Si una función f verifica que: • continua en un intervalo cerrado [ ]ba, • derivable en el intervalo abierto ),( ba • )() : toma valores iguales en los extremos del intervalo ( bfaf =

entonces existe al menos un punto ),( bac∈ tal que .0)(' =cf

En el caso particular en que ,0)()( == bfaf el teorema de Rolle podría enunciarse

como sigue: Entre cada dos raíces de una función derivable existe al menos una raíz de la

función derivada.

A partir de este enunciado se podrá deducir cierta información sobre el número de raíces reales de una función f cuando conozcamos las de :'f

a b

Geométricamente, este teorema expresa la existencia de un punto ),( bac∈ tal que la recta tangente en ( es paralela al eje OX. ))(, cfc

112

• Si 'f no tiene raíces reales, el número máximo de raíces de f será uno. • Si 'f tiene una raíz real, el número máximo de raíces de f será dos. • Y así sucesivamente.

EJEMPLOS. 1. Dada la función ,)( xxf = comprobar que condiciones del teorema de Rolle se

verifican en el intervalo [ ] ., aa−

Sabemos que la función valor absoluto es continua en todo su dominio R y, por tanto, también será continua en el intervalo [ ]., aa− Por otra parte, también sabemos que la función valor absoluto no es derivable en el punto

ya que sus derivadas laterales son En consecuencia, no será derivable en cualquier intervalo que contenga al punto

,0=x .1)0('y 1)0(' =−= +− ff,0=x en particular, en nuestro

intervalo ).,( aa−Además, se verifica que )()( afaf =− ya que dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto.

Se cumplen las hipótesis primera y tercera (continuidad en el cerrado y toma valores iguales en los extremos del intervalo) y no se cumple la segunda (derivabilidad en el abierto). Al no cumplirse todas las hipótesis, no se cumplirá la tesis.

2. Dada la función 14 ¿verifica las condiciones del Teorema de Rolle en el

intervalo [1,3]? En caso afirmativo, encontrar el valor c∈(1,3) donde se anula la derivada.

)( 2 +−= xxxf

Como la función dada es una función polinómica, será continua y derivable en todo el conjunto de números reales y, en particular, será continua en el cerrado [1,3] y derivable en el abierto (1,3). Además, :2)3( y 2)1( −=−= ff toma valores iguales en los extremos del intervalo.

Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle y, en consecuencia, se cumplirá también la tesis:

)3,1(2 042)(' 0)('/)3,1( ∈=⇒=−=⇒=∈∃ cccfcfc

Luego el punto intermedio donde se anula la derivada de nuestra función es c = 2.

3. Demuestra que la función 1 tiene como máximo una raíz real. )( 3 ++= xxxf

Supongamos lo contrario de lo que queremos demostrar, es decir, nuestra función tiene más de una raíz real (por ejemplo, dos: a y b, tales que a < b).

Estas dos raíces determinan un intervalo [ ],,ba en el cual es continua nuestra función al ser polinómica. Por el mismo motivo será derivable en el abierto ).,( ba

Además, como hemos considerado que a y b son raíces de nuestra función se cumple que .0)()( == bfaf

En consecuencia, se estarían cumpliendo las hipótesis de Rolle y, por tanto, se tendrá que cumplir la tesis: deberá existir un punto 0)('/),( =∈ cfbac

Si intentamos calcular el punto intermedio, tendremos:

113

⇒−=⇒=+⇒=310130)(' 22 cccf no podremos encontrarlo, lo que supone una

contradicción. Por tanto, la suposición hecha inicialmente es falsa y nuestra función no puede tener más de una raíz real.

4. Demuestra que la ecuación 1+= x tiene únicamente una raíz real en x = 0. e x

Consideremos la función asociada a nuestra ecuación y supongamos que, además de la raíz dada, tiene otra raíz

1)( −−= xexf x

.0xx = Estas dos raíces nos determinan un intervalo [ ] [ ].0, o 0, 00 xx

En cualquiera de estos intervalos, la función f es continua en el cerrado y derivable en el abierto, respectivamente, puesto que es suma de funciones continuas y derivables en todo R.

Además, toma valores iguales en los extremos del intervalo: 0)()0( 0 == xffEn consecuencia, se estarían cumpliendo las hipótesis de Rolle y, por tanto, se tendrá que

cumplir la tesis: deberá existir un punto 0)('/),0( 0 =∈ cfxc Si intentamos calcular el punto intermedio, tendremos:

01010)(' =⇒=⇒=−⇒= ceecf cc ⇒ lo que supone una contradicción, ya que el punto cero no pertenece al intervalo abierto Por tanto, la suposición hecha inicialmente es falsa y nuestra función no puede tener más que una raíz real, x = 0.

).,0( 0x

5. Demostrar que la derivada de la función ))()(()( cxbxaxxxf −−−= tiene al menos

tres raíces reales y encontrar los intervalos en que se encuentran. (Sin calcular la derivada de f).

La función f dada es una función continua y derivable en todo el conjunto de números reales y, por tanto, será continua en cualquier intervalo cerrado de R y derivable en el abierto de los mismos extremos.

Si consideramos los ceros de la función f [ ], , , ,0 cxbxaxx ==== éstos nos determinarán tres intervalos: [ ] [ ] [ ]cbybaa , , ,,0 siendo f continua en cada uno de ellos y derivable en el abierto correspondiente. Como se verifica que toma valores iguales en los extremos de cada intervalo, pues todos ellos son ceros de la función, se estarían cumpliendo en cada intervalo las hipótesis de Rolle y, en consecuencia, se cumpliría también la tesis: en cada intervalo tendríamos un cero para la función derivada de f (tres ceros).

6. Indica si es aplicable el Teorema de Rolle a la función

⎩⎨⎧

≤≤−<≤+

=53 si 731 si 1

)(xxxx

xf

• Continuidad en el cerrado [1,5].

La función f está definida en los intervalos (1,3) y (3,5) mediante funciones afines, continuas en R y, en consecuencia, en dichos intervalos. Por tanto la función f será continua en ellos.

Estudiamos la continuidad en el punto x = 3 donde existe un cambio de definición de f:

114

)3(4)(lím4)7(lím)(lím

4)1(lím)(lím

333

33 fxfxxf

xxf

xxx

xx ==∃⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−=

=+=

→→→

→→

++

−−

Por tanto, la función f es continua en (1,5) y nos faltaría por estudiar la continuidad lateral en los extremos:

⇒==+=++ →→

)1(2)1(lím)(lím11

fxxfxx

f es continua a la derecha en x = 1.

⇒==−=−− →→

)5(2)7(lím)(lím55

fxxfxx

f es continua a la izquierda en x = 5.

Por tanto, la función f es continua en el cerrado [1,5].

• Derivabilidad en el abierto (1,5).

La función f es derivable en los intervalos (1,3) y (3,5) por estar definida mediante funciones afines, derivables en R. Estudiamos la derivabilidad en el punto x = 3:

1)1(lím3

3lím3

4)7(lím)3('

11lím33lím

34)1(lím)3('

333

333

−=−=−−

=−−−

=

==−−

=−−+

=

+++

−−−

→→→

+

→→→

−

xxx

xxx

xx

xxf

xx

xxf

Por tanto, las derivadas laterales en el punto x = 3 son distintas y la función no sería derivable en ese punto ⇒ f no es derivable en el abierto (1,5).

• Toma valores iguales en los extremos: 2)5()1( == ff Al no cumplirse todas las hipótesis (no es derivable en el abierto), tampoco se cumplirá la tesis y no existirá ningún punto en el abierto donde se anule la derivada de la función.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LAGRANGE (DE LOS INCREMENTOS

FINITOS)

Este teorema generaliza el teorema de Rolle. Su enunciado es el siguiente:

Si f es una función • continua en un intervalo cerrado [ ]ba, • derivable en el intervalo abierto ),( ba

entonces existe al menos un punto ),( bac∈ tal que )()(')()( abcfafbf −⋅=−

o también )(')()( cfab

afbf=

−−

)(af

Geométricamente podemos interpretarlo de la siguiente forma: a

)(bf

)(af)(bf

a b2c1c bc

115

• ab

afbf−− )()( es la pendiente de la recta que une los puntos ))(, con ))( ( afa ,( bfb

• ),(' cf teniendo en cuenta la interpretación geométrica de la derivada, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto )).( ,( cfc

Si se verifica el teorema del valor medio, estos dos valores serán iguales y las dos rectas serán paralelas por tener la misma pendiente.

También podemos justificar el teorema del valor medio por la siguiente interpretación física:

• Si f(t) es el espacio recorrido por un móvil, entonces

[ ]2112

12 ,con )(')()( ttttftt

tftf∈=

−−

el primer miembro representa la velocidad media con que se ha desplazado el móvil entre los instantes t1 y t2. El teorema del valor medio nos viene a decir que en algún momento, la velocidad instantánea es igual a la velocidad media.

EJEMPLOS.

1. Aplicar el teorema del valor medio, si es posible, a la función 23 en [ ].1,2 −− Calcular el valor correspondiente de c.

)( 2 +−= xxxf

Puesto que la función f es una función cuadrática será continua en [ ]1,2 −− y derivable en el abierto Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Lagrange y, en consecuencia, se debe cumplir la tesis; es decir:

).1,2( −−

23 326 32

21126 )('

)2(1)2()1(/)1,2( −=⇒−=−⇒−=

+−−

⇒=−−−−−−

−−∈∃ ccc cfffc

Podemos observar como el punto ).1,2(23

−−∈−=c

2. Comprueba si la función 2)( −= xxf verifica las condiciones del teorema de Lagrange en el intervalo [ ]3,0 y en caso afirmativo, encuentra el punto intermedio. La expresión analítica de la función dada será:

⎩⎨⎧

≥−<−

=−=2 si 22 si 2

2)(xxxx

xxf

La función f es continua para valores mayores y menores que 2, puesto que está definida mediante funciones afines, continuas en R. Veamos si es continua en el punto :2=x

)2(0)(lím0)2(lím)(lím

0)2(lím)(lím

222

22 fxfxxf

xxf

xxx

xx ==⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−=

=−=

→→→

→→

++

−−

Por tanto, f es continua en R y, en consecuencia, en el intervalo [ ].3,0 La función f es derivable para valores mayores y menores que 2, puesto que está

definida mediante funciones afines, derivables en R. Veamos si es derivable en el punto :2=x

1)1(lím2

02lím2

)2()(lím)2('222

−=−=−−−

=−−

=−−− →→→

−

xxx xx

xfxff

116

1)1(lím2

02lím2

)2()(lím)2('222

+=+=−−−

=−−

=−++ →→→

+

xxx xx

xfxff

Como las derivadas laterales en el punto 2=x son distintas la función no es derivable en dicho punto ni en cualquier intervalo abierto que lo contenga, en particular, en el intervalo (0,3). En consecuencia, la función f no verifica las condiciones del teorema de Lagrange en el intervalo y, por tanto, no se verificará la tesis de dicho teorema (no existirá punto intermedio donde se cumpla la tesis).

[ 3,0 ]

]

3. Calcula a y b para que

⎩⎨⎧

≥−+−<−

=4 si 10

4 si 3)( 2 xbxx

xaxxf

cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo ¿Dónde cumplirá la tesis?

[ 6,2

La función f es continua y derivable para valores menores que 4 por estar definida como función afín y para valores mayores que 4 por estar definida como función cuadrática.

Para que sea continua en el punto 4 se tendrá que verificar:

274243424)10(lím)(lím

34)3(lím)(lím2

44

44 =+⇒−=−⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

−=−+−=

−=−=

++

−−

→→

→→ bababbxxxf

aaxxf

xx

xx

La función derivada de f será:

⎩⎨⎧

>+−<

=4 1024

)('xsixxsia

xf

Para que sea derivable en el punto 4 se tendrá que verificar:

22108)102(lím)('lím

lím)('lím

44

44 =⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=+−=+−=

==

++

−−

→→

→→ axxf

aaxf

xx

xx

Como para que sea derivable en x = 4, antes debe ser continua en él, las dos condiciones deben verificarse simultáneamente: resolviendo el sistema formado por ellas obtendremos los valores de los parámetros.

⎩⎨⎧

==

⇒⎭⎬⎫

==+

192

2274

ba

aba

Para estos valores de los parámetros, la función

⎩⎨⎧

≥−+−<−

=4 si 19104 si 32

)( 2 xxxxx

xf ⎩⎨⎧

≥+−<

=⇒4 1024 2

)(' xsixxsi

xf

es continua y derivable en todo R y, en consecuencia, continua en [2,6] y derivable en (2,6). Se cumplen las condiciones del teorema del valor medio y, por tanto, también se cumplirá la tesis:

1)(')('4

15)(26

)2()6(/)6,2( =⇒=−

⇒=−−

∈∃ cfcfcfffc

117

Si c no puede ser menor que 4, puesto que para estos puntos la derivada de la función es constante y es igual a 2. En consecuencia, deberá estar en los mayores que 4:

,1)(' =cf

)6,2(29 1102 1)(' ∈=⇒=+−⇒= cc cf

que es el punto buscado.

OBSERVACIÓN. • Si en la tesis del teorema del valor medio hacemos: habhab +=⇒=− y como

ha donde θ es un número comprendido entre 0 y 1. chaca ⋅θ+=⇒+<<

La fórmula de Lagrange se escribe entonces de la forma:

10 )(')()( )(')()( <θ<⋅⋅θ++=+⇒⋅⋅θ+=−+ hhafafhafhhafafhaf

y recibe el nombre de Fórmula de los Incrementos Finitos. Esta fórmula nos da el valor de la función en un entorno del punto x = a.

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO.

• FUNCIONES CONSTANTES. Sea una función f continua en [ y derivable en Si en todos los puntos de entonces f es constante en

]ba, ).,( ba 0)(' =xf),,( ba [ ].,ba

Demostración. Si tomamos dos puntos cualesquiera 21 xx < de [ ],,ba se cumplen las hipótesis del

teorema del valor medio en [ y, por tanto, su tesis: ]21 , xx

)).((')()(/),( 121221 xxcfxfxfxxc −=−∈∃

Como el punto entonces ),,(),( 21 baxxc ⊆∈ 0)(' =cf y, en consecuencia,

)()( 0)()( 1212 xfxfxfxf =⇒=−

Luego la función toma el mismo valor en dos puntos cualesquiera del intervalo [ ]ba, y, por tanto, es constante en [ ].,ba

• FUNCIONES CRECIENTES.

Sea una función f continua en [ y derivable en Si en todos los puntos de ( entonces f es creciente en el intervalo

]),,ba

ba, ).,( ba 0)(' >xf[ ].,ba

Demostración. Si tomamos dos puntos cualesquiera 21 xx < de [ ],,ba se cumplen las hipótesis del

teorema del valor medio en [ y, por tanto, su tesis: ]21 , xx

)(')()( / ),( 12

1221 cf

xxxfxfxxc =

−−

∈∃

Como el punto entonces y, en consecuencia, ),,(),( 21 baxxc ⊆∈ 0)(' >cf

118

0)()( 0)()(12

12

12 >−⇒>−− xfxf

xxxfxf ya que 21 xx <

Como los puntos son dos puntos cualesquiera del intervalo [ la función f es creciente en el intervalo [ ]

21 , xx ],,ba.,ba

TEOREMA DE CAUCHY.

Este teorema es una generalización del Teorema del Valor Medio y tiene gran interés por sus aplicaciones.

Si f y g son dos funciones

• continuas en el intervalo cerrado [ ],,ba • derivables en el intervalo abierto ),,( ba • y )( )( bgag ≠• ),( 0)(' baxxg ∈∀≠

entonces, existe al menos un punto ),( bac∈ tal que )(')('

)()()()(

cgcf

agbgafbf

=−−

NOTA: Se puede observar que cuando ,)( xxg = el teorema de Cauchy se reduce al teorema del valor medio. EJEMPLOS. 1. Comprueba si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones

3)( xx y 3) en el intervalo f = ( −= xxg [ ]3,0 y, en caso afirmativo, hallar el valor del punto intermedio c.

Tanto la función cúbica como la función afín son continuas y derivables en todo R y, por tanto, continuas en [0,3] y derivables en (0,3).

Se cumplen las hipótesis del Teorema de Cauchy y, en consecuencia, se cumplirá la tesis:

3 3 93 1

3)3(0

027 )(')('

)0()3()0()3(/)3,0( 22

2

±=⇒=⇒=⇒=−−−

⇒=−−

∈∃ cccccgcf

ggffc

De los dos valores obtenidos, el que verifica la tesis (pertenece al intervalo (0,3)) es el punto .3+=c

2. Repetir el ejercicio anterior para las funciones xxf sen)( = y x en el

intervalo

xg cos)( =

.3

,6 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ππ

Las funciones seno y coseno son continuas y derivables en todo R y, por tanto, continuas en

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

3,

6y derivables en .

3,

6⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

Se cumplen las hipótesis del Teorema de Cauchy y, en consecuencia, se cumplirá la tesis:

119

41 ctg ctg1

ctg

23

21

21

23

sencos

6cos

3cos

6sen

3sen

)(')('

)6

()3

(

)6

()3

(/

3,

6

π=⇒=⇒−=−⇒

⇒−=−

−⇒

−=

π−

π

π−

π

⇒=π

−π

π−

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

∈∃

ccc

cc

ccgcf

gg

ffc

REGLA DE L'HÔPITAL. DEFINICION.- Se dice que una función presenta en x = a una forma indeterminada, cuando no se puede saber si tiene límite en dicho punto sin hacer un estudio especial de ese límite.

)(xfy =

Los casos de límite indeterminado que se nos pueden presentar son:

00 0 , ,1 ,0 , , ,00

∞∞⋅∞−∞∞∞ ∞

Al presentarse alguna de estas situaciones, es conveniente transformar la expresión de la función en otra equivalente a la que puedan aplicarse las reglas conocidas, o en caso contrario, calcularlo directamente.

Para funciones derivables el Teorema de L'Hôpital nos facilita el cálculo de límites indeterminados. REGLA DE L'HÔPITAL. Si las funciones son derivables en un entorno de a y tales que

entonces, si existe

)( y )( xgxf

,0)()( == agaf)(')('lím

xgxf

ax→ se verifica que

)(')('lím

)()(lím

xgxf

xgxf

axax →→=

La demostración de este teorema tiene su fundamento en el Teorema de Cauchy. La regla de L'Hôpital también se puede aplicar cuando ,∞→x pues haciendo el cambio

de variable y

x 1= estaríamos en el caso anterior.

Es válida la misma regla cuando tienden a ∞ cuando )( y )( xgxf .ax →

EJEMPLOS.

• 00

21623lím 2

2

2=

−−−+

→ xxxx

x

Aplicamos L’Hôpital:

314

12.222.6

1226lím

21623lím

22

2

2=

−+

=−+

=−−−+

→→ xx

xxxx

xx

A veces es necesario aplicar más de una vez la regla de L’Hôpital para quitar la indeterminación:

120

• 00

020)02(2)2(lím 3

0

30=

−−−=

−−−→

ex

xex x

x

Entonces:

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

−−+−==

−−−→→ 0

03

1)2(lím}' {2)2(lím 2030 xexeHôpitalLaplicando

xxex xx

x

x

x

Nuevamente aplicaríamos la regla de L’Hôpital:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

−=

−−=

−−→→→ 0

06

lím6

lím3

1lím0020 x

xex

xeeexxee x

x

xxx

x

xx

x

Aplicamos, otra vez, la regla de L’Hôpital:

61

6.0

6lím

6lím

00

00−=

−−=

−−=

−→→

eexeex

xe xx

x

x

x

Para las otras indeterminaciones tendríamos:

• Límites de la forma ∞⋅0

Suponiendo que y 0→f ,∞→g se efectúa el cambio g

fgf1

=⋅ con el que

pasaríamos a la indeterminación 00 y, entonces, aplicaríamos la regla de L'Hôpital.

También se puede hacer f

ggf1

=⋅ y nos quedaría la indeterminación .∞∞

Ejemplo:

∞==→

.00.0.lím0

LLxxx

Efectuando cualquiera de las transformaciones anteriores, nos queda:

∞∞

==→→

x

LxLxxxx 1lím.lím

00

Aplicando L’Hôpital:

0límlím1

1

lím1

lím.lím0

2

0

2

000=−=−=

−==

→→→→→x

xx

x

x

x

LxLxxxxxxx

• Límite de la forma .∞−∞

Si suponemos que f y g tienden a ∞ para estudiar el límite de f − g podemos hacer el

cambio: )1(fgfgf −⋅=− que suele ser un límite más fácil de calcular.

Ejemplo:

∞−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→ xxx sen11lím

0

121

En este caso, nos resulta más cómodo efectuar la diferencia para pasar a la

indeterminación 00 y aplicar la regla de L’Hôpital:

00

sen.senlím

sen11lím

00=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→→ xxxx

xx xx

.020

0sen.00cos.20sen

sencoscossenlím

00

cossen1coslím

sen.senlím

sen11lím

0000

==−

−=

=−+

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

+−

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→→→→ xxxxx

xxxx

xxxx

xx xxxx

• Límites de la forma .0 , ,1 00∞∞

Para quitar este tipo de indeterminación se suele utilizar la expresión: pasando así a alguna de las indeterminaciones anteriores.

Lfgg ef ⋅=

Ejemplo:

• ∞

→= 1)2(coslím 2

3

0x

xx

62)01(2.6

2)2tg1(2.6lím

00

22tg6lím

22cos

2sen23lím0

0)2(cos.3lím)2(cos.3lím3

0

2

0

0020202)2(coslím

−+−+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

−⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

→

===

=======

→

→→→→

eee

eeeeeex

x

xx

xx

x

xxLxL

xxx

x

xxxx

• 0tg

0

1lím ∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→

x

x x

.1

1lím

01 cossen2lím0

0

senlím

sen1

1

lím

ctglím

tg1

lím)(tglím

1tglímtg

0

0

2

020

00

00

======

======⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→→

→

→→

→→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞−

−

−⋅⋅

→

eeeee

eeeeex

xxx

xx

x

xLx

x

LxLxx

xLx

x

x

xx

x

xx

xx

EJERCICIOS.

xx

xx

x tg31

lím

34

0 −

−

→ 20 sen

senlímx

xxx

−→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→ xLxx

11lím0

xex

Lx1

)(lím∞→

)(tgcoslím2

xxLx π→

x

xx cos

2

)(tglímπ

→

x

x x

tg

0

1lím ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→ xxLx

x

1.lím

( )x

xax 1lím −⋅

∞→ ( )xxx

x−++

∞→2lím 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→ xxx

1sen

1lím0

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

π−

−π

→ xx

xx 41

tg2cos

1lím2

122

PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS).

Consideremos una función .)( / : RxfDxRDf ∈⎯→⎯∈⎯→⎯

• Decimos que f tiene un máximo absoluto en Dx ∈0 si se verifica que . )()( 0 Dxxfxf ∈∀≤

• Decimos que f tiene un mínimo absoluto en Dx ∈0 si se verifica que . )()( 0 Dxxfxf ∈∀≥

• Decimos que f tiene un máximo relativo en Dx ∈0 si se verifica que .)( )()( 00 DxVxxfxf ∩∈∀≤

• Decimos que f tiene un mínimo relativo en Dx ∈0 si se verifica que .)( )()( 00 DxVxxfxf ∩∈∀≥

Una función puede tener varios máximos o mínimos relativos o carecer de ellos. Todo máximo (mínimo) absoluto es al mismo tiempo relativo, pero no al contrario.

La palabra relativo indica que se compara el valor f(x) con los valores que toma la función en un entorno de mientras que los máximos y mínimos absolutos se refieren a todo el dominio.

,0x

Los máximos y mínimos relativos reciben el nombre de PUNTOS CRÍTICOS, PUNTOS ESTACIONARIOS o EXTREMOS.

El estudio de los extremos de una función es, en general, un problema complicado ya que no existen métodos generales para calcularlos. Sin embargo, para funciones derivables podemos hallarlos mediante un procedimiento bastante sencillo como veremos a continuación:

TEOREMA.

Sea Si f alcanza un extremo en .: RDf ⎯→⎯ Dx ∈0 y f es derivable en entonces

,0x.0)(' 0 =xf

En efecto, si no se anula en ,)(' 0xf ,0x 0)(' 0 ≠xf entonces la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en el punto y no podría cumplirse la condición de máximo o mínimo.

0x

Geométricamente, esta condición expresa que la tangente en el punto a la gráfica de la función f es paralela al eje de abscisas, aunque puede suceder que exista tangente horizontal en un punto sin que exista máximo o mínimo.

))(,( 00 xfx

Este teorema nos permite calcular los puntos donde puede haber un máximo o un mínimo, sin más que resolver la ecuación .0)(' 0 =xf Obtenidos estos puntos, los siguientes criterios nos ayudan a decidir si en ellos existe un máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas.

CRITERIO 1: Variación de la función en un entorno del punto.

Sea un punto donde puede existir un máximo o un mínimo relativo. Se trata de estudiar el comportamiento de la función en un entorno del punto:

0x

123

Consideremos un valor suficientemente pequeño. Si se verifica que 0>h

• ),()( 00 xfhxf ≤± entonces la función tiene un máximo relativo en .0xx =

• ),()( 00 xfhxf ≤± entonces la función tiene un mínimo relativo en .0xx=

Este criterio es la aplicación directa de la definición de máximo y mínimo relativo y, dada su generalidad, puede aplicarse a puntos en los cuales no exista derivada de la función. CRITERIO 2: Variación de la derivada primera en el entorno del punto.

Sea un punto donde la función puede alcanzar un máximo o un mínimo y un valor suficientemente pequeño:

0x 0>h

• Si 0) (f creciente a la izquierda de )0x y 0)(' 0 >− hxf (' 0 <+ hxf (f decreciente a la derecha de ),0x entonces la función alcanza un máximo relativo en .0xx =

• Si 0) (f decreciente a la izquierda de )0x y 0)(' 0 <− hxf (' 0 >+ hxf (f creciente a la derecha de ),0x entonces la función alcanza un mínimo relativo en .0xx =

CRITERIO 3: Valor de la derivada segunda en el punto.

Sea y un punto de D. Si RDf ⎯→⎯: 0x 0)(' 0 =xf y entonces f posee en un máximo (mínimo) relativo.

0)('' 0 <xf ),0)(''( 0 >xf

0xx = En efecto, si ,0)('' 0 <xf la función es estrictamente decreciente en el punto y como en ese punto se anula a la izquierda será positiva y a la derecha, negativa. Por tanto, a la izquierda de la función f será estrictamente creciente y a la derecha de será estrictamente decreciente por ser negativa. En consecuencia, la función tendrá un máximo relativo en el punto

'f 0x,'f

0x 0x'f

.0xx =

Si la demostración es análoga. ,0)('' 0 <xf

Si no puede aplicarse el criterio anterior y debemos recurrir a criterios anteriores o aplicar el siguiente criterio general

,0)('' 0 =xf

CRITERIO 4: Criterio de Taylor.

Sea un punto del dominio de la función f. Consideremos que f es derivable hasta el orden 2n (orden par) en un entorno de dicho punto y, además, se verifica que

0x

0)()('')(' 012(

00 ==== − xfxfxf n Entonces,

• Si ,0) la función alcanza un máximo relativo en .0xx( 02( <xf n =

• Si ,0) la función alcanza un mínimo relativo en ( 02( <xf n .0xx =

124

EJEMPLOS. 1. Calcular los máximos y mínimos de la función .2)( 34 xxxf −=

Calculamos la derivada de la función: y vemos donde se anula 23 64)(' xxxf −=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒=−

=⇒=⇒=−⇒=−

23032

)(000)32(2064

2

223

xx

doblexxxxxx

Para estudiar cuales corresponden a máximos y cuales corresponden a mínimos aplicaremos el criterio de la derivada primera con lo que al mismo tiempo se estudian los intervalos de crecimiento o decrecimiento. El único punto donde la función derivada cambia de signo es

23

=x y este punto descompone el dominio en dos intervalos )23,(−∞ y ).,

23( +∞

En )23,(−∞ se verifica que ⇒< 0)(' xf f es estrictamente decreciente en dicho intervalo.

En ),23( +∞ se verifica que f es estrictamente creciente en dicho intervalo. ⇒> 0)(' xf

En consecuencia, en el punto 23

=x la función f tiene un mínimo relativo.

NOTA: Decimos que en el punto x = 0 la función derivada no cambia de signo porque en él tiene un cero doble con lo que cambiaría dos veces de signo y se quedaría con el mismo signo que tenía antes de 0.

2. Calcular los máximos y mínimos de la función ..)( Lxxxf =

Calculamos la derivada de la función: 11.1)(' +=⋅+= Lxx

xLxxf

Anulamos la función derivada para calcular donde la función tiene los posibles extremos: 1101 −=⇒−=⇒=+ exLxLx

Para determinar si este punto que anula la derivada corresponde con un máximo o un mínimo, aplicaremos en este caso el criterio de la derivada segunda. Empezaremos calculándola:

xxf 1)('' =

Si sustituimos el valor que anula la derivada primera nos encontraremos que:

01)('' 11 >== −− e

eef y, por tanto, la función tiene un mínimo en .1−= ex

3. Determina el parámetro k para que el mínimo de la función kx sea igual a 8.

xxf ++= 2)( 2

Calculamos el punto donde la función tendrá el extremo; este punto tendrá que anular la derivada de función: 102222)(' −=⇒=+⇒+= xxxxf

Como nos dicen que el valor mínimo es 8, tendremos: 98218)1( =⇒=+−⇒=− kkf

En consecuencia, nuestra función será: 92)( 2 ++= xxxf

125

4. Obtener los parámetros a y b para que la función bax alcance un mínimo en el punto ).

xxf ++= 2)(2,1(−P

Puesto que en el punto P la función alcanza un mínimo, el punto P pertenece a la gráfica de la función y se verificará que 1212)1( =+−⇒=+−⇒=− babaf Por otra parte, por ser un extremo de función (mínimo) se tendrá que anular la función derivada en él: { } 2022)('0)1(' =⇒=+−⇒+=⇒=− aaaxxff Resolviendo el sistema formado por las condiciones obtenidas, nos queda:

⎩⎨⎧

==

⇒⎭⎬⎫

==+−

32

2 1

ba

aba

Por tanto, la función buscada será: 32)( 2 ++= xxxf

5. Determina todas las funciones f de la forma ,0 y que verifican

)( 23 ≠+++= acondcxbxaxxf.0)1(')1(' ==− ff

¿Alguna de las funciones determinadas anteriormente verifica Razona las respuestas. ?0)1()0( == ff

Calculamos la derivada de la función dada y aplicamos las condiciones impuestas por el enunciado:

cbxaxxf ++= 23)(' 2

⎩⎨⎧

=++=+−

⇒⎭⎬⎫

++=+−=−

023023

23)1('23)1('

cbacba

cbafcbaf

Resolviendo el sistema obtenido:

⎩⎨⎧

=⇒=−⇒=−−−=⇒=+⇒=+

⇒⎭⎬⎫

=++=+−

002 0323303026

023023

bbabaaccaca

cbacba

Sustituyendo los valores obtenidos en la función dada, obtenemos:

,0 3)( 3 ≠+−= acondaxaxxf

que sería la expresión de todas las funciones que cumplen la condición impuesta.

• Veamos si alguna función de esta familia verifica que .0)1()0( == ff Podríamos tener un doble camino para comprobar esto:

• Aplicando directamente las condiciones obtenemos:

⎩⎨⎧

=⇒=−⇒=+−=

⇒⎭⎬⎫

+−==

002030

3)1()0(

aadaad

daafdf

Al obtener que a = 0, entramos en una contradicción ya que a era distinto de cero. Por tanto, no hay ninguna función de las encontradas que verifique que .0)1()0( == ff

• Aplicando el Teorema de Rolle: f es continua en [0,1] y derivable en (0,1). Además, 0)1( . Se cumplen las hipótesis de Rolle, luego se debe cumplir la tesis, es

decir, 0 )0( == ff

)('/)1,0( =∈∃ cfc

Esto no sería posible ya que los únicos puntos donde se anula la derivada de f son −1 y 1 y estos puntos no pertenecen a (0,1). En consecuencia, no existe ninguna función de las encontradas que verifique que .0)1()0( == ff

126

OPTIMIZACION DE FUNCIONES.

El cálculo de máximos y mínimos mediante derivadas permite resolver de una manera sencilla muchos problemas en los que se trata de optimizar una función.

Para resolverlos seguiremos el siguiente esquema general:

• Mediante los datos del problema se construye la función que hay que maximizar o minimizar. La mayor parte de las veces nos quedará en función de dos o más variables.

• Si la función tiene más de una variable debemos relacionar éstas dos ecuaciones a fin de conseguir expresar la función inicial utilizando una sola variable.

• Se calculan los máximos y mínimos de esta función.

• Se interpretan los resultados obtenidos rechazando aquellos que por la naturaleza del problema no sean posibles.

EJEMPLOS. 1. Hallar dos números cuya suma sea 20 y su producto el mayor posible.

Supongamos que los números buscados son x e y. Se tendrá que verificar que

⎭⎬⎫

===+

máximo.),(20

yxyxPyx

Entonces, despejamos una de las dos variables y sustituimos en la función a optimizar, quedándonos ésta en función de una sola variable:

⎩⎨⎧

−=⇒−=

−=⇒

⎭⎬⎫

===+

220)()20.()(20

máximo.),(20

xxxPxxxPxy

yxyxPyx

Obtenida la función a optimizar dependiendo de una sola variable, buscaremos los extremos de esta función:

102200220220)(' ==⇒=−⇒−= xxxxP

Por último, comprobamos si este valor corresponde con un máximo o con un mínimo:

02)10(''2)('' <−=⇒−= PxP

Luego, para el valor x = 10, la función alcanza un máximo y los dos números en los que se puede descomponer el número 20 de forma que el producto de ellos sea máximo serán x = 10 e y = 10.

2. Calcular las dimensiones del mayor rectángulo cuyo perímetro es de 40 m

El mayor rectángulo es el de mayor área. Si suponemos que las dimensiones del rectángulo son x e y, tendríamos:

⎩⎨⎧

==+

⇒⎭⎬⎫

=

=+yxyxS

yxyxyxSÁrea

yxPerímetro.),(

20.),( :

4022 :

Operando igual que en el ejercicio anterior, obtenemos: despejamos una de las dos variables y sustituimos en la función a optimizar, quedándonos ésta en función de una sola variable:

127

⎩⎨⎧

−=⇒−=

−=⇒

⎭⎬⎫

===+

220)()20.()(20

máximo.),(20

xxxPxxxSxy

yxyxSyx

Obtenida la función a optimizar dependiendo de una sola variable, buscaremos los extremos de esta función:

102200220220)(' ==⇒=−⇒−= xxxxS

Por último, comprobamos si este valor corresponde con un máximo o con un mínimo:

02)10(''2)('' <−=⇒−= SxS

Luego, para el valor x = 10, la función alcanza un máximo y el rectángulo buscado es un cuadrado de lado 10 m.

3. De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio R, calcular las dimensiones del que tenga área máxima. Razona el proceso.

x

y Rd 2=

Operaremos como en los casos anteriores: en la relación entre las dos variables despejaremos una de ellas para dejar la función a optimizar dependiendo de una sola variable:

Suponiendo que las dimensiones del rectángulo inscrito en la circunferencia son x e y, el área de dicho rectángulo nos vendrá dada por: yxyxS .),( =

La relación entre las dos variables habrá que buscarla a través del diámetro de la circunferencia, ya que éste con los lados del rectángulo forma un triángulo rectángulo:

222 4Ryx =+

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅=

−=⇒

⎭⎬⎫

==+

22

22222

4)(

4.),(

4

xRxxS

xRyyxyxSRyx

Calculamos la derivada primera y vemos donde se anula:

⇒−

−=

−

−−=

−

−⋅+−=

22

22

22

2222

22

22

424

4)4(

4224)('

xRxR

xRxxR

xRxxxRxS

220202404

24 22222

22

22

RRxxRxRxR

xR±=±=⇒=−⇒=−⇒=

−

−⇒

Veamos que valor corresponde con el máximo: calculamos la derivada segunda de la función:

)4(4

)2(244

)4(42

2)24(44)('' 22

22

2222

22

22

2222

xRxRxRxxRx

xRxR

xxRxRxxS

−−

−+−−

=−

−

−⋅−−−−

=

Sustituyendo en esta derivada los valores que anulaban la derivada primera obtenemos:

mínimo 0)2(''y máximo 0)2('' ⇒>−⇒< RSRS

128

Por tanto, para obtener área máxima el valor de x deberá ser 2Rx = que sustituido donde tenemos despejada la variable y obtenemos .2Ry =

4. Determina el punto de la curva cuya ecuación es 2xy = que está más cerca del punto ).0,3(= A

2xy = ),( yxP

Consideremos que el punto de la curva que está más cerca de A es el punto que por ser de la curva verificará su ecuación, es decir que .

),( yxP2xy =

Por otra parte, como es el que está más cerca de A, la distancia entre ellos tiene que ser mínima (la menor posible):

)0,3(A

2222 )3(),( mínima )0()3(),( yxPAdyxPAd +−=⇒≡−+−=

Teniendo en cuenta la relación entre las dos variables nos queda:

⇒+−=+−=+−= 4222222 )3()()3()3()( xxxxyxxd

42

3

42

3

)3(2)3(

)3(24)3(2)('

xxxx

xxxxxd

+−

+−=

+−

+−=⇒

Anulamos la derivada: ⇒=−+⇒=+−⇒=+−

+− 03202)3(0)3(

2)3( 33

42

3

xxxxxx

xx

⎩⎨⎧

⇒=++=⇒=−

⇒=++−⇒real.solución tieneno 0322

1010)322)(1( 2

2

xxxx

xxx

Calculamos la segunda derivada:

42

42

33422

)3()3(

2)3()32()3()61(

)(''xx

xxxxxxxxx

xd+−

+−

+−−+−+−+

=

En el punto x = 1: ⇒>= 05

57)1(''d corresponde con un mínimo.

En consecuencia, el punto de la curva dada que está más cerca de A es el punto P(1,1).

5. Demuestra que la suma de un número real positivo no nulo y su inverso es mayor o igual que 2.

Sea x un número real positivo no nulo y sea f la función definida de la forma x

xxf 1)( +=

Si queremos demostrar que los valores que toma esta función son mayores o iguales que 2, quiere decir que el valor mínimo que toma la función es 2. Veamos que verdaderamente es así y para ello calcularemos, primeramente, donde alcanza el valor mínimo y si éste es igual a 2:

129

10101111)(' 222 ±=⇒=−⇒=−⇒−= xx

xxxf

Hemos encontrado dos valores que anulan la derivada de la función de los cuales eliminamos el valor negativo ya que x era un número real positivo. Para el valor veamos que signo tiene la derivada segunda:

1=x

⇒>=⇒= 02)1(''2)('' 3 fx

xf tiene un mínimo.

El valor que toma la función para 1=x será: 2111)1( =+=f que es el valor mínimo que

toma la función.

Ejercicios. 1. Descompón el número 25 en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del primero más

el triple del cuadrado del segundo sea mínimo.

2. Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3.600 m de superficie para poderlo cercar mediante una valla de longitud mínima.

3. Un jardinero quiere construir un parterre en forma de sector circular con perímetro de 20 m ¿Cuál será el radio que da el parterre de área máxima? ¿Cuál será la amplitud en radianes del sector?

4. La curva tty −+= 21 representa un río. En el punto )0,2(P hay una ciudad desde la que se desea construir una tubería rectilínea hasta el río. ¿En qué punto Q del río debe terminar la tubería para que ésta sea lo más corta posible? Comprueba que en dicho punto Q la tubería es perpendicular al río.

5. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima?

6. Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. Cuál debe ser el radio de la base?

7. Hallar el punto de la parábola xy 62 = cuya distancia al punto )0,4(P sea mínima. Máximos y mínimos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado, sin ramas infinitas. El problema general suele adoptar la siguiente forma:

¿Para qué valor de x la función f(x) definida en el intervalo [ ]ba, toma el valor máximo o mínimo?

Un aspecto a tener en cuenta es si f tiene alguna rama infinita en es decir, si hay algún punto para el cual se verifica que

[ ],,ba[ bac ,∈ ] .)(lím ±∞=

→xf

cx En este caso, lógicamente, no

hay máximo o mínimo.

Consideremos que no se da este caso. Entonces el máximo absoluto estará entre los máximos relativos y éstos sabemos que son puntos donde se anula la derivada de la función, puntos sin derivada o los extremos del intervalo.

130

En consecuencia, para obtener el máximo absoluto de una función en )(xfy = [ ],,ba comprobaremos primeramente que no existen ramas infinitas de la función en dicho intervalo y después obtendremos:

• Puntos donde se anule la derivada resolviendo la ecuación .0)(' =x f• Puntos donde la función no es derivable o no es continua. • Extremos a y b del intervalo.

Una vez obtenidos todos estos puntos, calculamos el valor de la función en cada uno de ellos. El mayor será el máximo absoluto de la función en el intervalo.

Para el mínimo absoluto procederemos de forma análoga.

EJEMPLOS.

1. Determina el máximo y el mínimo de la función 1 en el intervalo [0,2]. )( 2 ++= xxxf2. Calcula los máximos y mínimos de la función xxxf 3sensen3)( −= en el intervalo [0,2π]. 3. Sea la función R definida por Rf ⎯→⎯: 22)( −⋅+= xxxf

Determina los puntos donde f es derivable y halla sus máximos y mínimos locales. 4. Sea la función R definida por Rf ⎯→⎯:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−≤<

≤⋅=

.2 si ,4;21 si ,

;1 si ,)(

xxxx

xxxxf

Halla los puntos en los que f es derivable. Estudia si existen los máximos y mínimos relativos de f y, si existen, determínalos.

CURVATURA. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.

La idea de lo que, en la vida real, llamamos cóncavo o convexo es muy clara: hueco cóncavo ⎯→← abultado convexo ⎯→←

En el momento de aplicar estos conceptos a una curva, habrá que adoptar algún criterio para mirar la curva: adoptaremos el criterio de mirar la curva desde abajo, desde la parte inferior del eje de ordenadas OY.

Para caracterizar la concavidad o la convexidad de una función en un punto, a, vamos a estudiar el comportamiento de la curva con respecto a las tangentes en cada uno de los puntos del dominio de la función.

cóncavaconvexa

cóncavaconvexa

131

Podemos observar que las curvas cóncavas están por debajo de la tangente, mientras que las convexas están por encima. Esto quiere decir que la concavidad o convexidad de una función dependerá del signo de la diferencia

ordenada de la curva − ordenada de la tangente en las proximidades de a; es decir,

[ ]))((')()( axafafxf −+− A partir de aquí podemos dar la siguiente definición:

Una función derivable en a, es cóncava en a, si se verifica que )(xfy =

[ ] 0))((')()( <−+− axafafxf

En caso de que la diferencia sea positiva se dice que la función es convexa. La derivada primera y segunda de la función f, si es que existen, nos permiten estudiar la

concavidad o convexidad de la función f, tal como se indica en los siguientes criterios:

CRITERIO 1. Derivada primera.

Sea f una función derivable en el intervalo I: • Si 'f es creciente en el intervalo I, la función f es convexa en I. • Si 'f es decreciente en el intervalo I, la función f es cóncava en I.

Utilizando el criterio para que sea creciente o decreciente, obtenemos el siguiente 'f

CRITERIO 2: Derivada segunda.

Sea f una función con derivada segunda en el intervalo I. • Si 0'' <f en el intervalo I, la función f es cóncava en I. • Si 0'' >f en el intervalo I, la función f es convexa en I.

En los puntos en los que la derivada segunda es 0 no se puede afirmar nada del comportamiento de la función.

Si se utiliza el criterio de Taylor para máximos y mínimos, y si 0)(' =xf 0)(' ≠xf el criterio siguiente:


Sea a un punto donde la función f puede ser cóncava o convexa. Supongamos que f es derivable hasta el orden 2n (orden par) en un entorno de a y, además, que

0)(' ≠xf y 0)()(''')('' 12( ==== − afafaf n

• Si ,0)( entonces la función es cóncava en a. 2( <af n

• Si ,0)( entonces la función es convexa en a. 2( >af n

EJEMPLOS.

Estudia la curvatura de las siguientes funciones:

1)( 2 −= xxf 24)( xxf −= 24 6)( xxxf −= 5)( xxf =

11)( 2 +

=x

xf 1

)( 2 −=

xxxf

1)( 2

3

−=

xxxf

xxxf 1)(

2 +=

132

Lxxxf ⋅=)( x

Lxxf =)( xexxf .)( = xxxf cossen)( +=

PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Los puntos de inflexión tienen un comportamiento similar respecto de la curvatura que los máximos y mínimos relativos respecto de la monotonía de una función.

Una función f tiene un punto de inflexión en a si en dicho punto la función pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa.

• Si la función pasa de convexa a cóncava diremos que a es un punto de inflexión convexo-cóncavo.

• Si la función pasa de cóncava a convexa diremos que a es un punto de inflexión cóncavo-convexo.

Si la función es derivable en a, la tangente en “a” a la gráfica de la función deja una

parte de la gráfica por encima y otra por debajo. Con esto podríamos dar otra definición equivalente para el caso de funciones derivables:

Se dice que una función f tiene un punto de inflexión en a, si la tangente en el punto atraviesa la gráfica de la función. ))(,( afa

En el caso de que la función f sea derivable al menos dos veces, los valores candidatos a puntos de inflexión son aquellos que anulan la segunda derivada, como nos indica el siguiente: TEOREMA.

Sea Si f tiene un punto de inflexión en .: RDf ⎯→⎯ Da∈ y f es derivable al menos dos veces en a, entonces .0)('' =af

En efecto, si 0)('' ≠af entonces la función sería estrictamente cóncava o estrictamente convexa en el punto a y no podría cumplirse la condición de punto de inflexión.

Este teorema nos permite hallar los puntos en los que la función f puede tener un punto de inflexión. Las abscisas de estos puntos son las raíces o ceros de la ecuación .0)('' =xf

La condición es necesaria para la existencia de un punto de inflexión, pero no es suficiente. Puede ocurrir que

0)('' =af0)('' =af y que, sin embargo, ese punto no sea de inflexión,

como ocurre en la función que tiene derivada segunda nula en x = 0, y en ese punto la función tiene un mínimo.

4)( xxf =

Obtenidos los puntos en donde se anula veamos algunos criterios que nos permitirán decidir si se trata de un punto de inflexión cóncavo-convexo o convexo-cóncavo o ninguna de las dos cosas.

,''f

CRITERIO 1: Variación del signo de la derivada segunda.

Sea tal que RDf ⎯→⎯: .0)('' =af

133

Si a la izquierda de x = a es 0'' <f (función cóncava) y a la derecha de x = a es (función convexa), entonces x = a es un punto de inflexión cóncavo-convexo. 0'' >f

CRITERIO 2: Valor de la derivada tercera.

Sea una función derivable al menos hasta el orden tres en RDf ⎯→⎯: .Da∈

• Si ,0)(' entonces la función tiene en x = a un punto de inflexión cóncavo-convexo.

''y 0)('' >= afaf

• Si ,0)(' entonces la función tiene en x = a un punto de inflexión convexo-cóncavo.

''y 0)('' <= afaf

Si no puede aplicarse este criterio y tendríamos que aplicar el criterio de la

derivada segunda o utilizar una generalización del criterio de la derivada tercera que nos queda como sigue:

,0)(''' =af


Sea a un punto donde la función f puede tener un punto de inflexión. Supongamos que f es derivable hasta el orden 2n +1 (orden impar) en un entorno de a y, además, que 0)(' ≠af y

.0)()(''')('' 2( ==== afafaf n

• Si ,0)(1 entonces la función tiene un punto de inflexión cóncavo-convexo en a. 2( >+ af n

• Si ,0)(1 entonces la función tiene un punto de inflexión convexo-cóncavo en a. 2( <+ af n

EJERCICIOS. 1. Calcular los puntos inflexión de las funciones propuestas para estudiar su curvatura. 2. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación 46 en su

punto de inflexión. 2 23 +−= xxy

3. ¿Es el punto x = 0 un punto de inflexión de la función ?) Razonar la contestación. ( 11xxf =4. Determina a, b, c, d y e de modo que la curva edx tenga un punto

crítico en (1,3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0,0). cxbxaxy ++++= 234

5. Calcula los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las funciones: 1 y

2

) 6)( 23 −−+= xxxxf ( xexf −=6. Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de xxxf ⋅=)( y comprueba que existe

un punto de inflexión en x = 0, a pesar de que no existe ). 0(''f CONSTRUCCIÓN APROXIMADA DE CURVAS.

Aunque la gráfica de una función f es un conjunto de puntos, no es un buen método para representarla obtener indiscriminadamente las coordenadas de muchos puntos de la misma, por los siguientes motivos:

1. Se emplearía mucho tiempo.

2. Los puntos calculados serían insuficientes para dar una idea global de la curva, ya que las partes más interesantes de la misma es probable que se encuentren intercaladas entre ellos o más allá del tramo que hemos estudiado.

134

Las curvas, en general, presentan algunos detalles interesantes (puntos críticos, ramas infinitas, saltos, inflexiones, simetrías,...) y fuera de ellos se comporta de forma anodina. En consecuencia, para representarlas de una manera eficaz habrá que saber localizar todas las peculiaridades que las caracterizan.

Con todo lo visto anteriormente tenemos los suficientes instrumentos matemáticos para representar cualquier curva dada por su ecuación en forma explícita y = f(x). Poniendo un poco de orden en estos conocimientos para sistematizar la representación de la curva, podemos elaborar el siguiente esquema a seguir: ESQUEMA A SEGUIR PARA LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Propiedades de f obtenidas directamente: 1. Dominio y Recorrido de la función.

2. Simetrías: a) Simetría respecto del eje OY (función par): )( )()( fDomxxfxf ∈∀=− b) Simetría respecto del origen O (función impar): )( )()( fDomxxfxf ∈∀−=−

3. Periodicidad: )( )()( fDomxxfTxf ∈∀=+ donde T = periodo

4. Puntos de corte con los ejes: a) Con el eje OX: hacemos y = 0 (son los ceros de la función) b) Con el eje OY: hacemos x = 0 y obtenemos un punto único ))0(,0( f

5. Regiones de existencia (zonas) de la función: a) Intervalos de positividad: 0>f b) Intervalos de negatividad: 0<f

6. Ramas infinitas: (puntos en el infinito) a) Punto de partida de la gráfica: ?),(−∞ b) Punto de llegada de la gráfica: ?),(+∞

7. Asíntotas: a) Horizontales b) Verticales c) Oblicuas

8. Puntos de discontinuidad.

Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas. 9. Monotonía:

a) Intervalos de crecimiento........................ 0'>f b) Intervalos de decrecimiento.................... 0'<f c) Puntos críticos (máximos y mínimos)...... 0'=f y 0'' ≠f

10. Curvatura: a) Intervalos de concavidad......................... 0'' <f b) Intervalos de convexidad......................... 0'' >f

135

c) Puntos de inflexión.................................. 0'' =f y 0''' ≠f EJERCICIOS. Representa las siguientes funciones:

• 23 )( 23 +−= xxxf

• 24 2 )( xxxf +−=

• 24 4)( xxxf −=

• 1

1)( 2 +=

xxf

• 1

)( 2 −=

xxxf

• 1

)( 2

3

−=

xxxf

• x

xxf 1)(2 +

=

• Lxxxf ⋅=)(

• x

Lxxf =)(

• xexx f .)( =

• xexxf .)( 31

=

• xxxf cossen)( +=

136

• PUNTO MÍNIMO.

Sea derivable al menos dos veces en un punto RDf ⎯→⎯: .Da∈ Si entonces f tiene un mínimo relativo en ,0)(''y 0)(' >= afaf .Da∈Demostración:

Aplicando la definición de derivada tenemos:

0)('lím)(')('lím)(''00

>+

=−+

=→→ h

hafh

afhafafhh

Entonces,

Si f es decreciente a la izquierda de a. ⇒<+⇒< 0)(' 0 hafh

Si f es creciente a la derecha de a. ⇒>+⇒> 0)(' 0 hafh

En consecuencia, f tiene un mínimo en .Da∈

137

INTEGRACIÓN. INTEGRALES INDEFINIDAS. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. INTEGRAL INDEFINIDA.

Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. Diremos que F es una función primitiva de f, o simplemente una primitiva de F, si F tiene por derivada f.

F es primitiva de f )()(' xfxF =⇔

En notación diferencial:

F es primitiva de f dxxfxFd ⋅=⇔ )()(

EJEMPLOS: • Si ,2) entonces puede ser 2)( xx ( xxf = F =• Si ,cos entonces puede ser x)( xxf = xF sen)( =

La operación que permite obtener una primitiva F a partir de una función f recibe el nombre de INTEGRACIÓN. Si existe la función F se dice que la función f es integrable.

Una función puede tener varias primitivas, por ejemplo, la función podría tener como primitivas las funciones

,2)( xxf =

,)( 21 xxF = ,2)( 2

2 += xxF ,7)( 23 −= xxF

ya que )()()()( '

3'

2'

1 xfxFxFxF ====

Teniendo en cuenta esto, podríamos demostrar la siguiente

Proposición. Sean f, F, G tres funciones definidas de D en R, tal que F y G son dos primitivas de

f. Entonces, la función es otra función de D en R y además es constante. GF −

De otro modo:

Dos primitivas de una misma función se diferencian a lo sumo en una constante.

En efecto, si F y G son primitivas de la misma función f, quiere decir que )()(' xfxF = y ).()(' xfxG =

Restando, miembro a miembro, ambas igualdades, tendremos:

⇒=−⇒=−⇒=−⇒=− .)()( .))(( 0)()'( 0)(')(' ctexGxFctexGFxGFxGxF

.)()( ctexGxF +=⇒

DEFINICIÓN.

Dada una función f, se llama integral indefinida de f al conjunto de sus infinitas primitivas { } .KF +

138

La integral indefinida se representa por ∫ dxxf ).(

El símbolo se lee «integral de...» y se llama integrando. El número real K recibe el nombre de «constante de integración».

∫ dxxf ).(

EJEMPLOS:

1. ya que la derivada del seno es el coseno. ∫ += Kxdxx sen.cos

2. ∫ += Kxdxx 434

3. ∫ += Kxxdx 22

La integral indefinida es una familia de funciones dependiente de un parámetro cuyas gráficas se obtienen por traslación de una primitiva.

Para la determinación de una primitiva es necesario conocer la constante de integración; para ello necesitamos alguna otra condición, como puede ser el valor que toma la función primitiva en un punto del dominio o un punto por el que pasa la gráfica de la función.

Ejemplo:

1. Halla una primitiva de la función ,2)( xxf = cuya gráfica pasa por el punto P(1,3). Las primitivas de f son de la forma Kx xF += 2)(

Puesto que la gráfica pasa por P(1,3), tendremos

2 13 3)1( =⇔+=⇔= KKF

Por tanto, la primitiva pedida será .2)( 2 += xxF

2. Hallar la ecuación de la primitiva de la función xex que pasa por el punto P(0,4). f =)(

Las primitivas de f son de la forma KexF x +=)(

Puesto que la gráfica pasa por P(0,4), tendremos

3 14 4 4)0( 0 =⇔+=⇔+=⇔= KKKeF

Por tanto, la primitiva buscada será .3)( += xexF

Siendo ),()(' xfxF = para cualquier primitiva se verificará que

En consecuencia, la expresión es la diferencial de cualquier primitiva de f(x) y, por tanto, podemos escribir

),( de )( xfxF.).().(')( dxxfdxxFxdF == dxxf ).(

∫ += KxFxdF )()( en particular ∫ += Kxdx

o también: ∫ =+= dxxfKxFddxxfd ).())(().(

139

Estas expresiones nos establecen que las operaciones “diferenciar” e “integrar” son operaciones inversas o recíprocas. PROPIEDADES LINEALES DE LA INTEGRACIÓN. 1. Integral de la suma o diferencia.

La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de la integrales de dichas funciones.

∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgf ).().().)((

Ejemplo:

Kxx

kkxxkxkxdxxdxxdxxx

++=

=+++=+++=+=+∫ ∫ ∫sen

)(sen)(sen)(.cos.2).cos2(2

212

212

2. Integral del producto de un número real por una función.

La integral del producto de un número real por una función es igual al número real por la integral de la función.

∫ ∫= dxxfkdxxfk ).().(.

Ejemplo:

∫ ∫ +== Kedxedxe xxx 33.3

La utilización de estas dos propiedades constituye el método de descomposición: conviene descomponer lo más posible el integrando aplicando la propiedad distributiva, sustituyendo la expresión de la función por otra equivalente, sumando o restando una misma cantidad, multiplicando y dividiendo por un mismo número.

Ejemplos:

•

KxLxx

dxx

dxxdxdxx

xdxxx

xxxdx

xxx

+++=

=⋅++=++=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⋅

++∫ ∫ ∫∫∫∫

2

22 1.12).112(1212

• Kxxdxdxxdxxdxx +−=−+=−+= ∫∫∫∫ tg.1).tg1().1tg1(.tg 222

TIPOS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN.

La integración es el proceso recíproco de la derivación; por eso, la lectura de la tabla de derivadas de derecha a izquierda nos proporciona las primitivas de las funciones elementales tanto en la forma simple como en la forma compuesta.

Estas primitivas que se obtienen directamente de la tabla de derivadas se llaman inmediatas, y el conjunto de ellas, integrales inmediatas.

140

Todas las técnicas de integración consisten en transformar el integrando hasta obtener una función que reconozcamos como inmediata. Por ello, el conocimiento y memorización de los siguientes tipos es imprescindible para iniciarse en la integración.

INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES:

F O R M A S T I P O S S I M P L E S COMPUESTAS

Potencial α≠−1 ∫ ++α

=+α

α Kxdxx1

.1

∫ ++α

=+α

α Kfdxff1

'..1

Logarítmico ∫ +=⋅ KxLdxx1 ∫ +=⋅ KfLdx

ff '

∫ += Kedxe xx ∫ += Kedxef ff'.

Exponencial ∫ +⋅= Ka

Ladxa xx 1 ∫ +⋅= Ka

Ladxaf ff 1'.

Seno ∫ += Kxdxx sen.cos ∫ += Kfdxff sen.cos'.

Coseno ∫ +−= Kxdxx cos.sen ∫ +−= Kfdxff cos.sen'.

∫ += Kxdxx tg.sec2 ∫ += Kfdxff tg.sec' 2

∫ +=+ Kxdxx tg)tg1( 2 ∫ +=+ Kfdxff tg')tg1( 2

Tangente

Kxdxx

+=⋅∫ tgcos

12 Kfdx

ff

+=⋅∫ tgcos

'2

∫ +−= Kxdxx ctg.cosec2 ∫ +−= Kfdxff ctg..cosec' 2

∫ +−=+ Kxdxx ctg)ctg1( 2 ∫ +=+ Kfdxff tg')tg1( 2

Cotangente

Kxdxx

+−=⋅∫ ctgsen

12 Kfdx

ff

+−=⋅∫ ctgsen

'2

=+=⋅−

∫ Kxdxx

arcsen1

12

Kx +−= arccos Kf

Kfdxf

f

+−=

=+=⋅−

∫arccos

arcsen1

'2

Arco seno (= −arco coseno)

Kaxdx

xa+=⋅

−∫ arcsen1

22

Kax+−= arccos K

af

Kafdx

faf

+−=

+=⋅−

∫

arccos

arcsen'22

∫ +=⋅+

Kxdxx

arctg1

12

Kx +−= arcctg ∫ +=⋅

+Kfdx

ff arctg

1'

2

Kf +−= arcctg

Arco tangente = −Arco cotangente. ∫ +⋅=⋅

+K

ax

adx

xaarctg11

22

Kax

a+⋅−= arcctg1

∫ +⋅=⋅+

Kaf

adx

faf arctg1'

22

Kaf

a+⋅−= arcctg1

141

EJEMPLOS: Tipo potencial: forma simple

• KxKxdxx +=++

=+

∫ 615

6155

• KxKxKxdxx +=+=++

=+

∫ 53

351

32

.35

35

132

32

• KxxKxKxKxdxxdxx +=+=+=++

==+

∫∫ 52

52

251

23

.252

5123

23

3

• KxKxKxKxdxxdxx

dxx

+=+=+=++−

==⋅=⋅+−

−

∫∫∫ 4 34 34

3141

41

414 3

43

4

431

41

.11

• KxxKxKxKxdxxdxxxdxx

x+=+=+=+

+===⋅

+−

∫∫∫ 52

52

251

23

...252

5123

23

21

22

• Combinando la integral inmediata de tipo potencial con las propiedades lineales de la integral indefinida, podemos integrar funciones de tipo polinómico:

KxxxxKxxxx

Kxxxx

dxdxxdxxdxx

dxdxxdxxdxxdxxxx

++−+=++⋅−⋅+⋅=

=+++

⋅−+

⋅++

⋅=

=+−+=

=+−+=+−+

+++

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

32

73

52

32

73

54

2

311

712

513

2

3.7.5.2

.3.7.5.2).3752(

234234

111213

23

2323

Vemos que el proceso de integración lo hemos aplicado a las funciones potenciales dejando los coeficientes al margen del proceso. Sin embargo, no hace falta dar todos los pasos como en el ejemplo anterior, sino que se puede y se debe integrar directamente como en el siguiente ejemplo:

142

Kxxxx

Kxxxxdxxxx

+−⋅+⋅−⋅=

=+−⋅+⋅−⋅=−+−∫

723

92

31

72

333

26

2).73322(

236

23625

• =++

++

=+=+=+++

∫∫∫∫ Kxxdxxdxxdxxxdxxx1

2111

..).().(1

21

1121

21

KxxKxx++=++=

32

2232

23

223

2

• =++⋅+=++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∫∫∫

−−Kxxxdxxxxdxxxdx

xx

31

38

25

).2(1 31

38

532

35

4

2

31

22

32

Kxxxx

KxxxKxxx

++⋅+⋅=

=++⋅+⋅=++⋅+⋅=

33 225

33 8531

38

5

.3.43

51

.343

51.3

43

51

• Kxxx

Kxxxdxxxdxxxx

++−−=++−⋅+

−=++=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−−−−∫∫ 2812

21

41

).24(241 21

123

22

Tipo potencial: forma compuesta.

• { } Kxffdxx ++

==+ ∫∫ 4)2( '. .)2(

433

• { } Kxxffdxxxx +++

==+++∫ ∫ 31)1( '. .)1).(12(

31230302

• KxKxdxxxdxxxdxxxff

++

=++

⋅=+=+⋅=+ ∫∫∫ 4)1(

2)1(

21.)1(.2

21).1.(2

21).1.(

22222

'

22

• { } Kxffdxxx +== ∫∫ 4sen '. .cos.sen

433

• { } Kxffdxxx +== ∫∫ 3tg'..sec.tg

3222

• Kxdxxxdxxxff

+=+⋅=+ ∫∫ 4tg.)tg1(tg).tg(tg

4

'

2353

3

• ∫∫∫ ∫ =−=−⋅=−=− dxxxdxxxdxxxdxxxfffff

.)1.(331)1.(3

31.)1.(.1. 2

13

'

221

3

'

221

3232

143

KxxKxKx+−−⋅=+−=+

−⋅= 1)1(

92)1(

92

23

)1(31 3333

23

3

Tipo logarítmico:

• K++ 2 xLdxx

dxx

⋅=⋅+

=⋅+ ∫∫ 3

213

23

• KxLdxx

xdxx

x++⋅=⋅

+⋅=⋅

+ ∫∫ )1(21

12

21

12

22

• ∫∫ ∫ +−=⋅−

−=⋅=⋅ KxLdxxxdx

xxdxx cos

cossen

cossentg

• KxLdxxxdxx +=⋅=⋅∫ ∫ sen

sencos ctg

• KxLdxx

xxdxx

x++=⋅

+=⋅

+ ∫∫ )sen1(sen1

cos.sen2sen1

2sen 222

• ∫ ∫ +=⋅+=⋅+

KxLdxx

xdxxx

arctgarctg1

1

arctg).1(1 2

2

• KxLdxx

xdxxx

+=⋅−=⋅−

⋅ ∫∫ arcsenarcsen

11

11

arcsen1 2

2

Tipo exponencial:

• Kx +⋅ L

dxLL

dx xx =⋅⋅⋅= ∫∫ 33

1333

1.3

• Ke dxedxe xxx +=⋅⋅=⋅ +++ ∫∫ 111 1

• Kedxedxe xxx +=⋅⋅=⋅ +++ ∫∫ 121212

212

21

• KL

dxLL

dxdx xxxxx +⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅ ∫∫∫ )32()32(

1)32()32()3.2(

1.)32(.32

• Kedxexdxex xxx +=⋅⋅=⋅⋅ +++ ∫∫ 111 222

212

21

• K edxxe xx +=⋅⋅∫ sensen cos

• K edxxxedxxe xxx +=⋅⋅=⋅⋅ ∫∫222 sensensen cos.sen22sen

• Kedxex

dxx

e xxx

+=⋅⋅−

=⋅−

∫∫ arcsenarcsen

22

arcsen

1

1

1

• Kedxex

dxx

e xxx

+=⋅+

=⋅+ ∫∫ arctgarctg

22

arctg

11

1

144

Tipo trigonométrico (seno, coseno, tangente,....).

• Kxdxxdxx +−⋅=⋅−⋅⋅=⋅− ∫∫ )12sen(21)12cos(2

21)12cos(

• Kxdxxdxxx +⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅ ∫∫ 222 sen21cos2

21cos

• Kxdxxx

dxx

x+⋅=⋅⋅=⋅ ∫∫ sen2cos

212cos

• KLxdxLxx

dxxLx

+=⋅⋅=⋅ ∫∫ )sen()cos(1)cos(

• Kxdxxdxx +⋅−=⋅⋅⋅=⋅ ∫∫ 2cos212sen2

212sen

• KxKxdxxxdxxxdxxff

+=+⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅ ∫∫∫ 22

'

sen2

sen2cossen2cossen22sen

• Kxdxxxdxxx ++⋅−=⋅+⋅⋅=⋅+⋅ ∫∫ )3cos(21)3sen(2

21)3sen( 222

• Kxdxxx

dxx

x+⋅−=⋅⋅=⋅ ∫∫ cos2sen

212sen

• K edxee xxx ++−=⋅+⋅∫ )3cos()3sen(

• Kxxdxdxxdxxdxx +−=−+=−+= ∫∫∫∫ tg.1).tg1().1tg1(.tg 222

• =−⋅=−=⋅= ∫∫∫∫ dxxxxdxxxdxxxdxx ).tgsec(tg).1(sectg.tgtg.tg 2223

KxLxKxLx

dxxxxdxxdxxx

++=+−−=

=⋅−=−⋅= ∫∫∫

cos2

tg)cos(2

tg

cossen

2tg.tg.sectg

22

22

• Kxdxxdxx +−⋅=⋅−⋅=⋅− ∫∫ )13tg(31)13(sec3

31)13(sec 22

• Kxdxx

dxx

+⋅−=⋅⋅=⋅ ∫∫ 7 ctg71

7sen7

71

7sen1

22

• ∫∫ +⋅=⋅⋅⋅=⋅ Kxdxx

xdxx

x 22222 2tg

43

2cos4

413

2cos3

• Kxxdxdxxdxxdxx +−−=−+=−+= ∫∫∫∫ ctg.1).ctg1().1ctg1(.ctg 222

145

Tipo arco seno, arco tangente,....

• Kxdxx

dxx

dxx

+⋅=⋅−

⋅=⋅−

=⋅−

∫∫∫ 2arcsen21

)2(12

21

)2(11

411

222

• Kxdxx

xdxx

xdxx

x+⋅=⋅

−⋅=⋅

−=⋅

− ∫∫∫ 2

22224arcsen

21

)(1

221

)(11

• Kedxe

edxe

e x

x

x

x

x

+=⋅−

=⋅− ∫∫ arcsen

)(11 22

• Kxdxx

dxx

dxx

dxx

+=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⋅

−

=⋅− ∫∫∫∫ 2

arcsen

21

21

212

1

)4

1(4

14

12222

• =⋅−

=⋅−

=⋅−

=⋅− ∫∫∫ ∫ dx

xxdx

xxdx

xxdx

xx 111

11

)1(11

2

Kxdxxx

+=⋅−

⋅⋅= ∫ arcsen2)(1

12

122

• Kxdxx

dxx

dxx

+⋅=⋅+

⋅=⋅+

=⋅+ ∫∫∫ 3arctg

31

)3(13

31

)3(11

911

222

• Kxdxxxdx

xxdx

xx

+⋅=⋅+

⋅=⋅+

=⋅+ ∫∫∫ 3

23

2

23

2

6

2

arctg31

)(13

31

)(11

• Kxdxx

dxx

dxx

dxx

+⋅=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=⋅+ ∫∫∫∫ 3

arctg31

31

31

391

31

191

319

19

12222

• KaLa

dxaLaa

Ladx

aadx

aa x

x

x

x

x

x

x

+⋅=⋅+

⋅=⋅+

=⋅+ ∫∫∫ arctg1

)(11

)(11 222

• Kxdxx

xdxx

x+=⋅

+=⋅

+ ∫∫ )arctg(sen)(sen1

cossen1

cos22

• =⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⋅+

=⋅+ ∫∫∫∫ dx

x

xdxx

xdxx

xdxx

x24

3

24

3

24

3

8

3

51

51

5)(15

)(55

• Kxdxx

x+⋅=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅= ∫ 5arctg

205

51

54

45

51 4

24

3

146

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.

Dada una integral se debe reconocer primero si se adapta a uno de los tipos fundamentales o si se puede reducir a alguno de ellos haciendo transformaciones elementales; en caso contrario, habrá que aplicar otros procedimientos para su cálculo que reciben el nombre de MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.

Es una consecuencia directa de la derivación de funciones compuestas. Como su nombre indica, se trata de sustituir la variable "x" por una función de otra

variable "t", x = g(t), de forma que el integrando se transforme en otro más sencillo.

Este proceso puede hacerse de dos formas:

• FORMA DIRECTA

Se hace de donde ),(tgx = .)(' dttgdx ⋅= Sustituyendo en la integral, nos queda: [ ]∫∫ ⋅= dxtgtgfdxxf ).(')().(

• FORMA RECÍPROCA

Se hace de donde ),(xut = ,).(' dxxudt = y se despeja a continuación x y dx para sustituirlos en la integral. Para terminar el proceso se calcula la integral en la nueva variable y después se deshace el cambio. Es evidente que si la integral resultante del cambio es más complicada que la de partida, el cambio realizado no es el adecuado y debemos buscar otro.

NOTA: Siempre que se pueda debemos de evitar emplear este método y utilizar los tipos

fundamentales. EJEMPLOS.

• Calcula ∫ ⋅−

= dxxx

I1

1

Hacemos la sustitución 1 1 22 +=⇒=− txtxCalculamos la diferencial de x: dttdx .2= y sustituimos en la integral que deseamos calcular. Tendremos:

Kxde el cambio odeshaciend

Ktdtt

dtttt

dtttt

dxxx

I

+−==

=+=⋅+

=⋅+

=⋅+

=⋅−

= ∫∫∫∫1arctg2variable} {

arctg2)1(

12.2).1(

1.2).1(

11

12222

147

• Calcula ∫ −=

25xdxI

Hacemos el cambio )2(5125 +⋅=⇒=− txtx

Calculamos la diferencial de x: dtdx ⋅=51 y sustituimos

Kxcambioelodeshaciend

KtKtdttdttx

dxI

+−==

=+=+⋅==⋅=−

= ∫ ∫∫−

2552} {

52

215

1.51.

511

25

21

21

Se podría resolver la integral directamente, sin necesidad de utilizar el método de sustitución, empleando la fórmula de integración de funciones potenciales en su forma compuesta:

∫∫ ∫∫ =−⋅⋅=−=⋅−

=−

=−−

dxxdxxdxxx

dxIf

.)25(551.)25(

)25(1

2521

21

21

KxKxdxxff

+−=+−

⋅=−= ∫−

2552

21

)25(51.)25.(5

51 2

1

21

'

• ∫ ⋅+

= dxxxI 2

3

1)(arctg

Hacemos el cambio tx =arctg y calculamos la diferencial de x. Tendremos:

dtxdxdtdxx

).1( 1

1 22 +=⇒=⋅

+

Sustituyendo en la integral nos queda:

KxKtdttdtxx

tdxxxI +=+==+⋅

+=⋅

+= ∫ ∫∫ 4

)(arctg4

.).1(11

)(arctg 4432

2

3

2

3

Directamente:

Kxdxx

xdxxxI

ff

+=⋅+

⋅=⋅+

= ∫∫ 4)(arctg

11)arctg(

1)(arctg 4

'

23

2

3

• ∫ ⋅− dxxx 1.

Hacemos la sustitución 1 1 22 +=⇒=− txtxCalculamos la diferencial de x: dttdx .2= y sustituimos en la integral que deseamos calcular. Tendremos:

KxxKtt

Kttdtttdttttdtttdxxx

+−⋅+−⋅=+⋅+⋅=

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=+=⋅+=⋅− ∫∫ ∫∫

23

25

35

35242222

)1(32)1(

52

32

52

352).(2.).1(22).1(1.

148

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.

El método de integración por partes se basa en la derivada del producto de funciones. A partir de él trataremos de buscar una regla que nos permita calcular la integral de un producto de funciones.

Consideremos dos funciones )(xuu = y )(xvv = de variable x, ambas derivables. La diferencial del producto será: vu.

duvvuddvuduvdvuvud ⋅−⋅=⋅⇒⋅+⋅=⋅ )( )( Integrando ambos miembros, obtenemos:

⇒⋅−⋅=⋅ ∫∫∫ )( duvvuddvu ∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu que es la fórmula de integración por partes.

En el momento de aplicar esta fórmula de integración por partes deberemos de tener cuidado en el momento de elegir a qué llamamos "u" y a qué "dv". Si la integral que queda, después de aplicar dicha fórmula, es más complicada que la de partida, significa que habrá que cambiar nuestra elección.

En algunas ocasiones la integral que queda después de aplicar la fórmula de integración por partes, es del mismo tipo que la de partida y tendríamos que volver a aplicar el método. En otras ocasiones, después de aplicar la integración por partes una o dos veces, puede ocurrir que obtengamos la misma integral de partida. En este caso, basta despejar la integral para obtener la primitiva. EJEMPLOS: • ∫= dxLxI .

Si hacemos obtenemos: dxdvLxu == y xvdxx

du =⋅= y 1

Aplicando la fórmula de integración por partes, resulta:

∫ ∫∫ +−=−=⋅⋅−== KxLxxdxLxxdxx

xLxxdxLxI ..1..

• En ocasiones el método de integración por partes no es tan directo como podría parecer observando el ejemplo anterior, sino que llegamos al resultado final después de aplicar dos o más veces dicho método:

I = ∫ dxxx .sen.2

Hacemos el cambio ⎩⎨⎧

−==

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

xvdxxdu

dxxdvxu

cos.2

.sen

2

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes nos queda:

∫∫∫ ⋅⋅+−=⋅−−−= dxxxxxdxxxxxdxxx cos2cos.).2(coscos..sen. 222

En la nueva integral que nos ha resultado, volvemos a aplicar el método de partes; hacemos:

149

⎩⎨⎧

==

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

xvdxdu

dxxdvxu

sen.cos

y sustituimos

[ ][ ] KxxxxxKxxxxx

dxxxxxxdxxxxxdxxx

+++−=+−−⋅+−=

=−⋅+−=⋅⋅+−= ∫∫∫cos2sen.2cos.)cos(sen.2cos.

.sensen.2cos.cos2cos..sen.

22

222

• ∫ ⋅ dxLx)sen(

Hacemos ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⋅⋅=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

xv

dxx

Lxdudxdv

Lxu 1)cos( )sen(

y sustituimos en la fórmula de integración por partes:

∫∫∫ ⋅−=⋅⋅−=⋅ dxLxLxxdxx

LxxLxxdxLx )cos()sen(.1)cos(.)sen(.)sen(

La integral que nos queda, después de aplicar partes, es del mismo tipo que la que queremos calcular. En consecuencia, volvemos a aplicar el mismo procedimiento.

En ella hacemos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⋅⋅−=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

xv

dxx

Lxdudxdv

Lxu 1)sen( )cos(

y sustituimos nuevamente:

∫

∫∫∫

−−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅−−−=⋅−=⋅

dxLxLxxLxx

dxx

LxxLxxLxxdxLxLxxdxLx

).sen()cos(.)sen(.

1)sen(.)cos(.)sen(.)cos()sen(.)sen(

Nos ha vuelto ha quedar la misma integral del principio. Entonces, pasando al primer miembro nos queda:

[ ] KLxxLxxdxLxLxxLxxdxLx +−⋅=⋅⇒−=⋅ ∫∫ )cos(.)sen(.21)sen()cos(.)sen(.)sen(2

• ∫ dxx.arcsen

Hacemos el siguiente cambio: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⋅−

=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

xv

dxx

dudxdv

xu21

1arcsen

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:

150

Kxxx

Kxxxdxxxxx

dxxxxxdxx

xxxdxx

+−+=

=+−

⋅+=−−+=

=−−=⋅−

⋅−=

∫

∫∫∫−

−

2

21

221

2

21

2

2

1arcsen.21

)1(21arcsen..)1.(2

21arcsen.

.)1.(arcsen.1

1arcsen..arcsen

EJERCICIOS PROPUESTOS. • Calcula las integrales indefinidas de las siguientes funciones:

• ∫ dxe x x ..

• ∫ dxxx .cos.

• ∫ dxLxx ..2

• ∫ dxLxxn ..

• ∫ dxxe x .cos.

• ∫ dxx.arctg

• ∫ − dxex x ..2

• ∫ dxxx .sen.2

• ∫ dxxx .arctg.

• ∫ dxxx .cos.3

• ∫ dxxx .3cos.

• ∫ ⋅− dxex x.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.

Una función racional es un cociente de dos polinomios, es decir, es de la forma:

,)()()(

xQxPxf = donde son dos polinomios en x. )( )( xQyxP

Las funciones racionales están definidas en todo el conjunto de números reales salvo en los que se anula el denominador.

Ante la integral de una función racional, lo primero que debemos comprobar es que no se puedan aplicar los tipos fundamentales que contengan funciones de este tipo, a saber:

Kfn

Kn

fdxffdxff

n

nn

n +−

−=++−

==⋅ ∫∫ −

+−−

1

1

)1(1

1.'.'

∫ +=⋅ KfLdxff '

Kaf

adx

faf

+⋅=⋅+∫ arctg1'

22

Cuando no se puedan aplicar los tipos anteriores, las funciones racionales se integran por el método de transformación en fracciones simples que tendrán por denominador polinomios de primer o segundo grado irreducibles.

151

En todo el proceso de integración racional mediante fracciones simples supondremos que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, pues en caso contrario podemos dividir y obtendríamos

)()()()( xRxQxCxP +⋅=

dividiendo entre Q(x) nos queda:

)()()(

)()(

xQxRxC

xQxP

+=

y la integración se reduce a integrar un polinomio C(x) (que será inmediata) y a la función

racional ,)()(

xQxR con el grado del numerador menor que el del denominador.

Para integrar una función de este tipo utilizaremos el MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES.

Este método consta de tres partes bien diferenciadas:

a) Cálculo de las raíces del denominador (descomposición en factores del denominador).

b) Descomposición de la función en suma de fracciones simples. c) Integración de los sumandos.

Consideremos la función ,)()()(

xQxPxf = donde el grado del numerador es menor que el

grado del denominador y sigamos los pasos indicados anteriormente:

a) La descomposición en factores del denominador se efectuará por los métodos conocidos en cursos anteriores (Regla de Ruffini, si el polinomio es de grado mayor que dos).

Supongamos que el polinomio Q(x) tiene las siguientes raíces (k raíces reales y 2s raíces complejas, que serán conjugadas dos a dos)

Raíces reales:

veces presenta se 11 rx (grado de multiplicidad de la raíz) veces presenta se 22 rx

....................................... veces presenta se kk rx

Raíces complejas:

ibaz ⋅+= 111 ibaz ⋅−= 112 ibaz ⋅+= 223 ibaz ⋅−= 224

.............................................................. ibaz sss ⋅+=−12 ibaz sss ⋅−=2

b) En este caso la función racional )()()(

xQxPxf = se puede descomponer en fracciones simples

de la siguiente forma:

152

s

s

s

sr

k

r

kk

rr

rr

zxD

zxD

zxD

zxD

xxC

xxC

xxC

xxB

xxB

xxB

xxA

xxA

xxA

xQxP

k

k

2

2

12

12

2

2

1

12

21

22

2

2

2

1

12

1

2

1

1

)()(

)()()()()()(

2

2

1

1

−+

−++

−+

−+

−++

−+

−+

++−

++−

+−

+−

++−

+−

=

−

−

Sumando las fracciones en cuyos denominadores aparecen raíces complejas conjugadas, nos queda:

2221

21

112

21

22

2

2

2

1

12

1

2

1

1

)()()()(

)()()()()()(

2

2

1

1

ss

ssr

k

r

kk

rr

rr

baxNxM

baxNxM

xxC

xxC

xxC

xxB

xxB

xxB

xxA

xxA

xxA

xQxP

k

k

+−+

+++−

++

−++

−+

−+

++−

++−

+−

+−

++−

+−

=

Podemos observar que por cada raíz aparecen tantas fracciones como indica su grado de

multiplicidad (número de veces que se presenta una raíz): los numeradores de dichas fracciones son coeficientes indeterminados y los denominares son de la forma raízx − elevando dicha diferencia desde uno hasta el grado de multiplicidad.

El procedimiento para calcular los coeficientes indeterminados lo veremos con algunos ejemplos.

La integración de nuestra función racional será la suma de las integrales de cada una de las fracciones simples:

c) La integración de las fracciones simples en que se ha descompuesto la función racional se

hace mediante los tipos antes vistos:

• Las que tienen exponente unidad en el denominador son logaritmos neperianos

∫ ∫ −⋅=⋅−

=⋅−

)(1i

ii

xxLAdxxx

Adxxx

A

• Otras son de tipo potencial:

1

1

)()1(1)(

.)()( −

+−−

−⋅−−=

+−−

⋅=−⋅=⋅−∫ ∫ n

i

nin

ini xxn

Bnxx

BdxxxBdxxx

B

• Y un tercer tipo correspondiente a las raíces complejas de la forma

dxbax

NMx⋅

+−+∫ 22)(

en cuya resolución aparecerán, en general, un logaritmo y un arco tangente. Veamos como podemos resolver esta integral:

∫ ∫∫∫∫

=⋅+−

++⋅

+−−

=

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

++

+−−

=⋅+−

++−=⋅

+−+

dxbax

NMadxbax

axM

dxbax

NMabax

axMdxbax

NMaMaMxdxbax

NMx

2222

22222222

)()()(

)()()(

)()(

153

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]b

axb

NMabaxLM

dx

bax

bb

NMabaxLM

dx

baxb

NMabaxLM

dx

baxb

NMabaxLM

dxbax

NMadxbax

axM

−⋅

+++−⋅=

=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

⋅+

++−⋅=

=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

⋅+

++−⋅=

=⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⋅

⋅+++−⋅=

=⋅+−

⋅++⋅+−

−⋅=

∫

∫

∫∫ ∫

arctg)(2

1

1)(

2

1

1)(2

1

1)()(2

)(1)(

)()(2

2

22

222

2222

22

22

2222

EJEMPLOS:

• Calcular ∫ ⋅−

= dxx

I9

12

Resolución:

a) Calculamos las raíces del denominador, resolviendo la ecuación:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+=⇒±=⇒=−

3

33092

x

xxx

b) Descomponemos la función del integrando en fracciones simples, de la forma:

9)3()3(

91

3391

222 −−++

=−

⇒+

+−

=− x

xBxAxx

Bx

Ax

c) Puesto que los denominadores son iguales, para que las fracciones sean iguales tendrán que ser iguales los numeradores. Por tanto:

1)3()3( ≡−++ xBxA

d) Para calcular los coeficientes A y B se podrán emplear distintos métodos:

1. IDENTIFICACIÓN DE COEFICIENTES

Para aplicar este método, ordenamos el polinomio que aparece con coeficientes indeterminados:

1)33()( ≡−++ BAxBA e identificamos los coeficientes de igual potencia de x, resolviendo el sistema que nos resulta:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇒=⇒=−−

−=

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

=+

616

1161)(33033

0

B

AAAA

AB

BA

BA

154

2. VALORES NUMÉRICOS En la expresión 1)3()3( ≡−++ xBxA anterior, se le asignan valores a la

indeterminada x, tantos como coeficientes indeterminados tengamos, obteniéndose de esta manera un sistema de tantas ecuaciones como coeficientes tengamos que calcular. Resolviendo este sistema obtendríamos los coeficientes buscados.

El sistema que se obtiene por este procedimiento, se simplifica si los valores que damos a la indeterminada x son los mismos que los de las raíces del denominador. En el caso de que hubiese más coeficientes que raíces ya le asignamos los valores que queramos:

1)3()3( ≡−++ xBxA

• 61 16 3 =⇒=⇒= AAxSi

• 61 16 3 −=⇒=−⇒−= BBxSi

e) Obtenidos los coeficientes, podemos pasar a integrar la función dada:

[ ] KxxLKxLxLKxLxL

dxx

dxx

dxxx

dxx

I

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⋅=++−−⋅=++⋅−−⋅=

=⋅+

⋅−⋅−

⋅=⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+

−=⋅

−= ∫∫∫ ∫

33

61)3()3(

61)3(

61)3(

61

31

61

31

61

36

1

36

1

11

2

• Calcular: dxxx

xxxI ⋅−

−−−= ∫ 23

34 1

Puesto que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, debemos dividir numerador entre denominador obteniendo la siguiente descomposición:

)1(11

223

34

−+

−=−

−−−xx

xxxx

xxx

aplicando el método de integración racional a la fracción resultante: a) Descomponemos en fracciones simples:

)1()1()1(

)1(1

1)1(1

2

2

222 −+−+−

=−+

⇒−

++=−+

xxCxxBxAx

xxx

xC

xB

xA

xxx

de donde: 1)1()1( 2 +=+−+− xCxxBxAx

b) Dando valores a la indeterminada: • 1 1 0 −=⇒=−⇒= BBxPara • 2 2 1 =⇒=⇒= CCxPara • ⇒=++⇒= 342 2 CBAxPara

2 3812 −=⇒=+−⇒ AA c) Entonces, calculamos la integral:

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−+

−−=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=⋅−

−−−= ∫∫∫ dx

xxxxdx

xxxxdx

xxxxxI

1212

)1(11

2223

34

155

Kx

xLx

xKxLx

xLx

dxx

dxx

dxx

dxxdxxxx

x

+−

+−=+−−−+=

=⋅−

−⋅+⋅+=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−++= ∫ ∫ ∫ ∫∫

121

21212

2

112112.

1212

22

22

• Calcula: ∫ ⋅+−+−

= dxxx

xxI2562525

23

2

• Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, aplicamos directamente el método de descomposición en fracciones simples. a) Calculamos las raíces del denominador:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+=

=⇒=+−⇒=+−

ixix

xxxxxxx

4343

00)256(0256 223

b) Hemos obtenido una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. Por tanto, la descomposición en fracciones simples nos queda de la forma:

)256()()256(

4)3(2562525

2

2

2223

2

+−+++−

=+−

++=

+−+−

xxxNMxxxxA

xNMx

xA

xxxxx

Al ser los denominadores iguales, tendrán que serlo también los numeradores: 2525)()256( 22 +−=+++− xxNMxxxxA

Dando valores a la indeterminada, obtenemos: 1 2525 0 =⇒=⇒= AAxPara

40 32)(23 1 8 2820 1

==⇒⎭⎬⎫

=−⇒=+−−⇒−==+⇒=++⇒= NM

NMNMAxParaNMNMAxPara

c) Obtenido el valor de los parámetros, pasamos a calcular la integral:

∫∫∫∫

∫∫∫∫ ∫ ∫∫

=⋅

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

++−+=

=⋅+−

+⋅+−

−+=⋅

+−+

+⋅+−

−+=⋅

+−+−

+=⋅+−++−

+=

=⋅+−

++⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

++=⋅

+−+−

=

dxx

xxLxL

dxx

dxx

xxLdxx

dxx

xxLdxxxxLdx

xxxL

dxx

xdxx

dxx

xx

dxxx

xxI

2

22

2

222222

222222

222223

2

4)3(14

1162562

4)3(116

4)3(622

4)3(16

4)3(124

4)3(16124

4)3(412124

4)3(441

4)3(441

2562525

KxxxLxL

dxx

xxLxLdxx

xxLxL

+−

++−+=

=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

++−+=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

++−+= ∫∫

43arctg42562

431

41

42562

431

12562

2

22

22

156

EJERCICIOS.

• ∫ ⋅−

dxxx 5

12 • ∫ ⋅

+−+ dxxx

x65

122

• ∫ ⋅+−−− dx

xxxx

372182

2

2

• ∫ ⋅−−

−−− dxxxx

xxx2

23323

24

• ∫ ⋅−−+

+− dxxxx

xx)3)(2)(1(

762

• ∫ ⋅−+ dx

xx

112

• ∫ ⋅+−

− dxxx

x)3()1(

422 • ∫ ⋅

+−dx

xx 2)3)(1(1

• ∫ ⋅−

dxx 1

13 • ∫ ⋅

+++ dx

xxxx

)1(1

2

3

INTEGRACIÓN POR REDUCCIÓN DEL INTEGRANDO. La integración indefinida de algunas funciones puede resultar más fácil y cómoda si mediante un adecuado cambio de variable podemos reducirlas a funciones cuya integración ya conocemos. Veamos algunos casos interesantes: • Integración de funciones de .xa

Para integrar este tipo de funciones se hace el cambio de variable que transforma el integrando en una función de la variable t.

,ta x =

Ejemplos:

• ∫ ⋅+− dx

eeex

xx

13 2

Hacemos el cambio con lo que ,te x =tdtdxdtdxtdtdxe x =⇒=⇒= ..

Sustituyendo en la integral, nos queda de la forma:

KeLeKtLt

dtt

dtdtt

dttt

tdt

tttdx

eee

xx

x

xx

+++−=+++−=

=+

+−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−=⋅

+−

=⋅+−

=⋅+− ∫ ∫ ∫ ∫∫∫

)1(431431

1431

431

311

31

3 22

• ∫ ⋅− dxee xx 23

Hacemos el cambio con lo que ,te x =tdtdxdtdxtdtdxe x =⇒=⇒= ..

Sustituyendo en la integral, nos queda de la forma:

KeeKe

KeKt

dttdtttdttt

tdtttdxee

xxxx

xx

+−−

=+−

=+−

=+−

=

=⋅−=⋅−=⋅−⋅=⋅−=⋅− ∫∫∫∫∫

31)1(2

3)1(2

3)1(2

23

)1(

)1(11

323

23

212323

157

• Integración de funciones con potencias de exponente fraccionario.

• Para calcular integrales del tipo dxxxxR qp

dc

ba

).,,,(∫ se efectúa el cambio de variable mtx = donde ),,,.(.. qdamcmm …=

Ejemplo:

• ∫ + 3 xxdx

Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales: y hacemos el cambio Sustituyendo en nuestra

integral, nos queda: 6)3,2.(.. == mcmm dttdxtx .6 56 =⇒=

KtLtttdtt

tt

dtttdt

tttdt

ttt

tt

dttxx

dx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+−=

=⋅+

=⋅+

=⋅+

=+

=+

∫

∫∫∫∫∫1

236

1116

16

)1(666

232

3

2

5

23

5

3 66

5

3

Teniendo en cuenta que 66 xttx =⇒= con lo cual:

KxLxxxKxLxxxxx

dx++−⋅+⋅−=+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−=

+∫ 16632123

6 663666 26 3

3

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

La mayor parte de las integrales de funciones trigonométricas pueden resolverse haciendo transformaciones en el integrando teniendo en cuenta las identidades vistas en el curso anterior, algunas de las cuales recordamos a continuación: • 1 cossen 22 =+ xx• x x 22 sectg1 =+• x x 22 cosecctg1 =+

• )2cos1(21sen 2 xx −⋅=

• )2cos1(21cos2 xx +⋅=

• 2

sen2cos1 2 xx ⋅=−

• 2

cos2cos1 2 xx ⋅=+

• xxx 2sen21cossen ⋅=⋅

• [ ]sen()sen(2

cossen yyxyx −++⋅= )x 1⋅

• [ ])cos()cos(21coscos yxyxyx −++⋅=⋅

• [ ])cos()cos(21sensen yxyxyx −−+⋅−=⋅

EJEMPLOS. • ∫ ⋅dxx2sen

158

( )

Kxx

dxxdxdxxdxxdxx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=

=−⋅=−⋅=−⋅=⋅ ∫ ∫∫∫∫

2sen21

21

.2cos21).2cos1(

21).2cos1(

21sen 2

• ∫ ⋅dxx2cos

( )

Kxx

dxxdxdxxdxxdxx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅=

=+⋅=+⋅=+⋅=⋅ ∫ ∫∫∫∫

2sen21

21

.2cos21).2cos1(

21).2cos1(

21cos2

• ∫ ⋅ dxx3cos

Kxx

dxxxdxxdxxxdxxxdxx

+−=

=⋅⋅−⋅=⋅−⋅=⋅⋅=⋅ ∫ ∫∫∫∫

3sensen

sencoscos)sen1(coscoscoscos

3

2223

• ∫ ⋅dxx4sen

Kxxx

dxxdxxdxdxxx

dxxxdxxx

dxxdxxdxxdxx

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+−⋅=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅−⋅=⋅⋅+−=

=⋅+⋅+−=⋅+−=

=⋅−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⋅=⋅

∫∫∫∫

∫∫

∫∫ ∫∫

4sen812sen

23

41

4cos212cos2

23

41)4cos

212cos2

23(

41

))4cos1(212cos21(

41)2cos2cos21(

41

)2cos1(41)2cos1(

21)(sensen

2

22

224

• ∫ ⋅− dxxcos1

Kx

dxxdxxdxxdxx

+⋅−=

=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅− ∫∫∫∫

2cos22

2sen

212.2

2sen2

2sen2cos1 2

•

[ ] [ ]

Kxx

xdxxdxxdxxdx

dxxxdxxxxxdxxx

+⋅+⋅=

=⋅+⋅=+=

=⋅+⋅=⋅−++⋅=

∫∫∫∫∫∫∫

2sen416sen

121

2cos221

216cos6

61

212cos

216cos

21

2cos6cos21)24cos()24cos(

21.2cos.4cos

•

159

[ ] [ ]

Kxx

xdxxdxxdxxdx

dxxxdxxxxxdxxx

+⋅−⋅−=

=+⋅=+=

=⋅+⋅=⋅−++⋅=

∫∫∫∫∫∫∫

cos217cos

141

sen217sen7

71

21sen

217sen

21

sen7sen21)34sen()34sen(

21.3cos.4sen

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES: ∫ dxxxR ).cos,(sen

R designa una función racional en y Este tipo de integrales puede reducirse a racionales mediante un simple cambio de variable.

xsen .cos x

Las sustituciones más frecuentes son: • Si R es una función impar de ,cos x es decir: )(cos)cos( xRxR −=− realizaremos la

sustitución dtdxxtx =⇒= .sen cos

• Si R es una función impar en ,sen x es decir: )(sen)sen( xRxR −=− haremos la sustitución dtdx =. xtx −⇒= sencos

• Si )cos, no cambia cuando se cambia a la vez xsen por xsen− y xcos por

,cos x− se racionaliza mediante la sustitución

(sen xxR

dtdxx

tx = 2tg =⋅ ⇒cos

1

• En todos los casos la función )cos, se puede racionalizar mediante la sustitución (sen xxR

,2

tg tx= de donde 21

2senttx

+= 21

1cos2

ttx

+−

= dtt

dx ⋅+

= 212

Ejemplos.

• ∫ dxx.sen3

Haciendo el cambio dtdxxtx =−⇒= .sencos tendremos:

KxxKtt

dttdttdtxdxxxdxx

+−⋅=+−=

=−=−−=−⋅−== ∫∫ ∫ ∫∫

coscos31

3

).1()).(1()()cos1(.sen.sen.sen

33

22223

• ∫ dxxx .

sencos

4

3

Hacemos el cambio dtdxxtx =⇒= .cossen con lo que la integral nos queda:

160

Kxx

Ktt

Kttdttt

dttt

tdt

tt

tdtx

tdxxxdx

xx

+−=+−=+−

−−

=⋅−=

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅

−=

⋅−=

⋅⋅=

∫

∫ ∫∫∫∫−−

−−33

1324

4

2

44

2

4

2

4

2

4

3

sen31

sen1

311

13)(

11)sen1(coscos.sencos

• ∫ ⋅ dxx4cos

1

Hacemos el cambio dtdxx

tx =⋅⇒= 2cos1tg y la integral nos queda:

KxxKttdtt

dtxdtx

dtxx

dxx

+⋅+=++=+=

=⋅+=⋅=⋅⋅=⋅

∫

∫∫∫∫3

32

22

244

tg31tg

3).1(

)tg1(cos

1coscos

1cos

1

• ∫ ⋅+

dxx

xcos1

cos

Realizamos la sustitución general ,2

tg tx= de donde 21

2senttx

+= , 2

2

11cos

ttx

+−

= y

dtt

dx ⋅+

= 212 con lo que nos queda:

=⋅+

⋅

+

+−

=⋅+

⋅

+−++

+−

=⋅+

⋅

+−

+

+−

=⋅+ ∫∫∫∫ dt

tt

tt

dtt

ttt

tt

dtt

tt

tt

dxx

x2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

12

12

11

12

1)1()1(

11

12

111

11

cos1cos

KxxKxxKxx

Kttdtt

dtt

tdttt

+−=+−⋅=+−=

=+−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=⋅+

+−+=⋅

+−

= ∫∫∫2

tg2

tg2

22

tg)2

arctg(tg2

arctg211

21

)1(1111

22

2

2

2

Calcula: •

161

INTEGRAL DEFINIDA

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [ ].,ba La gráfica de la función f, y las rectas x = a, x = b e y = 0, determinan una región del plano que recibe el nombre de trapecio mixtilíneo.

PARTICIÓN DE UN INTERVALO.

Se llama PARTICIÓN de un intervalo [ ]ba, a una sucesión P de puntos del intervalo de los cuales el primero coincide con a y el último coincide con b; es decir, [ ba, ]

},,,,{ 210 nxxxxP = tal que bxxxxa n =<<<<= 210

Se llama DIÁMETRO de una partición P a la mayor de las diferencias tal que

1−− ii xx. , ,3 2, 1, ni =

},,3,2,1/máx{)( 1 nixxP ii =−=δ −

Sean dos particiones P y Q del mismo intervalo cerrado [ ].,ba Se dice que la partición Q es más fina que la partición P, si se verifica que todo punto de P pertenece a Q, es decir, Q tiene los mismos puntos que P y algunos más.

Esta relación así definida hace que el conjunto de particiones de un intervalo sea un conjunto ordenado. SUMA INFERIOR Y SUMA SUPERIOR.

Sea f(x) una función continua en [ ]ba, que supondremos que se mantiene positiva en dicho intervalo. Por el teorema de Weierstrass, la función f(x) alcanzará en dicho intervalo su valor máximo M y su valor mínimo m.

a bO

El problema que nos planteamos ahora es calcular el área de dicho trapecio mixtilíneo, área que dependerá de la función f y del intervalo [ ].,ba

Una vez que sepamos calcular el área de este tipo de recintos podremos hallar la superficie de recintos más complicados, descomponiendo la región en trapecios mixtilíneos. Veamos como desarrollamos el proceso:

f

0xa = 1x2x 3x bxn =

Dada una partición P del intervalo [ ]:,ba ,210 bxxxxa n =<<<<= es evidente que si f es

continua en [ ],,ba también lo será en cada uno de los intervalos [ ]ii xx ,1− tal que i . , ,3 2, 1, n=

162

Por tanto, f tendrá, en cada uno de estos intervalos, un máximo y un mínimo, que designaremos por:

im el mínimo de f en [ ]ii xx ,1−

iM el máximo de f en [ ]ii xx ,1−

Se llama SUMA INFERIOR de f asociada a la partición P, y la representaremos por al número real dado por ),,( Pfs

)()()()(),( 11122011 −− −⋅++−⋅++−⋅+−⋅= nnniii xxmxxmxxmxxmPfs

o más abreviadamente: ∑=

−−⋅=n

iiii xxmPfs

11 )(),(

Geométricamente, esta suma inferior corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos inferiores o inscritos a la gráfica de la función f. Es una aproximación por defecto del área del trapecio mixtilíneo limitado por la gráfica de la función f, el eje OX y las rectas x = a y x = b.

Se llama SUMA SUPERIOR de f asociada a la partición P, y la representaremos por al número real dado por ),,( PfS

)()()()(),( 11122011 −− −⋅++−⋅++−⋅+−⋅= nnniii xxMxxMxxMxxMPfS

o más abreviadamente ∑=

−−⋅=n

iiii xxMPfS

11 )(),(

Geométricamente, esta suma superior corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos superiores o circunscritos a la gráfica de la función f. Es una aproximación por exceso del área del trapecio mixtilíneo limitado por la gráfica de la función f, el eje OX y las rectas x = a y x = b.

Es evidente que si f es una función continua en [ ],,ba para toda partición P del intervalo se verifica que:

),(),( PfSPfs ≤ ya que .ii Mm ≤ PROPIEDADES DE LAS SUMAS INFERIORES Y SUPERIORES. 1. Si tenemos dos particiones P y Q del intervalo [ ],,ba tales que P ⊂ Q, entonces se verifica

que ),(),( QfsPfs ≤ y ),(),( QfSPfS ≥

2. Dadas dos particiones cualesquiera P y Q del intervalo [ ],,ba se verifica que

),(),( QfSPfs ≤

es decir, cualquier suma inferior está acotada por cualquier suma superior o, de otra forma, toda suma inferior es menor que cualquier suma superior.

DEFINICIÓN DE ÁREA DEL TRAPECIO MIXTILÍNEO.

163

Si es una sucesión de particiones del intervalo tales que

se obtienen las sucesiones de sumas ,,,,, 321 nPPPP [ ba, ]

⊂⊂⊂⊂⊂ nPPPP 321

≤≤≤≤≤ ),(),(),(),( 321 nPfsPfsPfsPfs

≥≥≥≥≥ ),(),(),(),( 321 nPfSPfSPfSPfS

siendo la primera creciente y acotada superiormente por cualquier suma superior, la segunda es decreciente y acotada inferiormente por cualquier suma inferior y tendiendo su diferencia a cero, es decir

0),(),( ⎯⎯ →⎯− ∞→nnn PfsPfS

El límite común de estas sucesiones sería el área del trapecio mixtilíneo determinado por la gráfica de la función f y las rectas x = a, x = b e y = 0.

INTEGRAL DEFINIDA.

Este proceso que nos ha permitido obtener el área del trapecio mixtilíneo podemos generalizarlo para definir la integral definida en un intervalo [ ]ba, donde la función puede tomar valores positivos o negativos.

Las sumas superiores e inferiores se definen de la misma forma, pero ahora no representan, en general, áreas ya que la función puede tomar valores negativos en ciertos subintervalos.

Si f es una función continua en el intervalo [ ],,ba podríamos demostrar que si es una sucesión de particiones del intervalo [ tanto las sumas

superiores como las sumas inferiores se aproximan al mismo valor, siempre que ,,,,, 321 nPPPP ],,ba

a) ⊂⊂⊂⊂⊂ nPPPP 321

b) El diámetro de la partición nP tiende a 0 cuando ∞→n

En este caso los límites de las sucesiones de sumas superiores y de sumas inferiores existen y son iguales:

),(lím),(lím nnnnPfSPfs

∞→∞→=

Este límite común recibe el nombre de INTEGRAL DEFINIDA de la función f en [ ],,ba

y se representa por ∫ ⋅b

adxxf )(

Los números a y b se llaman límites inferior y superior de integración. La función f recibe el nombre de integrando.

Una función, sea o no continua, en la que se verifica la relación

),(lím),(lím nnnnPfSPfs

∞→∞→=

se dice que es integrable.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

164

1. 0 cualquiera que sea la función f. )( =⋅∫a

adxxf

2. Si [ ], , 0)( baxxf ∈∀> entonces .0 )( >⋅∫b

adxxf

Si [ ], , 0)( baxxf ∈∀< entonces .0)( <⋅∫b

adxxf

Por tanto, si f cambia de signo en [ ],,ba la nos da la suma algebraica de las áreas

que están por encima y por debajo del eje OX, cada una con su signo. ∫ ⋅

b

adxxf )(

Gráficamente:

Si quisiéramos calcular el área en términos absolutos, tendríamos que calcular la integral de cada recinto y, antes de sumar, cambiar de signo las negativas.

3. Si bca << y f es continua en [ ],,ba entonces ∫∫∫ ⋅+⋅=⋅b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()(

4. Si permutamos los límites de integración, la integral cambia de signo:

∫∫ ⋅−=⋅a

b

b

adxxfdxxf )()(

5. [ ] ∫∫∫ ⋅±⋅=⋅±b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

6. ∫∫ ⋅⋅=⋅⋅b

a

b

adxxfKdxxfK )()(

Estas dos últimas propiedades determinan la linealidad de la integral definida respecto de la suma y el producto por un número real.

7. Si f y g son dos funciones continuas en un intervalo [ ],,ba tales que )() para

todo punto x de [ ],,ba entonces:

( xgxf ≤

∫∫ ⋅≤⋅b

a

b

adxxgdxxf )()(

8. ∫∫ ⋅≤⋅b

a

b

adxxfdxxf )()(

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL.

f+

f

−

a

a b

b f

−+ +

a b

165

Si f es una función continua en [ ],,ba entonces existe un número tal que: [ ],,bac∈

)()()( abcfdxxfb

a−⋅=⋅∫

Demostración.

Por ser f continua en un cerrado [ ],,ba se verificará en él el teorema de Weierstrass y la función alcanza dentro de dicho intervalo su máximo y su mínimo, es decir:

[ ]baxMxfm , )( ∈∀≤≤

Aplicando las propiedades de la integral definida, tendremos:

∫∫∫ ≤≤b

a

b

a

b

adxMdxxfdxm .).(.

Si consideramos una partición del intervalo [ ]ba, con sólo los puntos extremos nos quedará:

el valor mínimo y el máximo. Por tanto, existirá un punto [ ]bac ,∈ para el cual se verifique que

∫⋅−=

b

adxxf

abcf ).(1)( y, en consecuencia, ).()().( abcfdxxf

b

a−⋅=∫

LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA.

Con la definición de la integral definida vista hasta este momento, tan sólo podemos calcular dicha integral para funciones sencillas. En el caso de otras funciones más complicadas deberemos buscar otros métodos para buscar dicha integral.

Cuanto mayor sea la ordenada de f más rápidamente crecerá el área bajo ella, es decir, F, y su derivada será positiva. Cuando f es negativa, lo es el área: F decrece y su derivada F’ es negativa.

)(cf

f

a bc

M

m

)().()( abMdxxfabmb

a−⋅≤≤−⋅ ∫

Dividiendo por obtenemos: )( ab −

Mdxxfab

mb

a≤⋅

−≤ ∫ ).(1

Como la función f es continua en el intervalo tomará todos los valores comprendidos entre [ ba, ]

∫=x

adttfxF ).()(

a x

Dada la función f, continua en a partir de

ella podríamos considerar la función

que nos da el área contenida bajo la función f entre "a", un punto variable x y el eje OX.

[ ],,ba

∫ ⋅=x

adttfxF )()(

166

Veamos que la derivada de esta función F coincide con la función f.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL.

Si f es una función continua en [ ],,ba la función definida para cada

es derivable y se verifica que ∫ ⋅=

x

adttfxF )()(

[ ],,bax∈ ).()(' xfxF = (F es una primitiva de f).

Demostración:

Para estudiar si F es derivable tratemos de calcular su derivada:

hxFhxFxF

h

)()(lím)('0

−+=

→

∫∫∫++

=+=hx

x

hx

a

a

xdttfdttfdttf )()()(

Por el teorema del valor medio del cálculo integral, al ser f continua en [ existirá un

]tal que

,, hxx +[ ]hxxc +∈ ,

hcfxhxcfdttfhx

x⋅=−+⋅=∫

+

)()()().(

Por tanto:

)(lím)(lím)(

lím)()(lím)('0000

cfh

cfhh

dttf

hxFhxFxF

hh

hx

x

hh →→

+

→→=

⋅=

⋅=

−+=

∫

Como y la función f es continua, entonces: [ hxxc +∈ , ] )()(lím0

xfcfh

=→

En consecuencia, la función F(x) es derivable y su derivada es f(x). Esto nos quiere decir que la función F(x) es una primitiva de la función f(x).

La consecuencia práctica más importante del teorema fundamental del cálculo integral es la siguiente regla:

REGLA DE BARROW.

Si f(x) es continua en [ y G(x) es una primitiva de f(x), entonces ]ba,

)()()( aGbGdttfb

a−=⋅∫

)()( xFhxF −+

a x hx +

El numerador

=+=

=−=−+

∫∫

∫∫+

+

a

x

hx

a

x

a

hx

a

dttfdttf

dttfdttfxFhxF

)()(

)()()()(

167

En efecto, por el teorema fundamental del cálculo integral sabemos que es

una primitiva de f(x). ∫ ⋅=

x

adttfxF )()(

Si G(x) es otra primitiva de f(x), F(x) y G(x) se diferenciarán en una constante, es decir, que F(x) = G(x) + K.

Por tanto, KxGdttfxFx

a+=⋅= ∫ )()()(

Si le damos a x el valor a, tendremos:

)( 0)()()( aGKKaGdttfaFa

a−=⇒=+=⋅= ∫

y nos queda que

)()()( aGxGdttfx

a−=⋅∫

Si ahora sustituimos x por b, obtenemos: como

queríamos demostrar.

[ ]bab

atGaGbGdttf )()()()( =−=⋅∫

EJEMPLOS:

• [ ] 2)2(0)31()99()131()333(3)32( 2231

23

1=−−=−−−=⋅−−⋅−=−=⋅−∫ xxdxx

• [ ] 101111

1=−=−==⋅∫ LLeLxdx

xe

e

• dxLxx

⋅∫3

24).(

1

Calculamos primeramente una primitiva:

3

34

4 )(31

3)()(1

).(1

LxLxdxLx

xdx

Lxx−=

−=⋅⋅=⋅

−−∫∫

Entonces:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⋅∫ 3333

3

23

3

24 )2(

1)3(

131

)2(31

)3(31

)(31

).(1

LLLLLxdx

Lxx

• Calcula la integral definida ∫π

⋅⋅2

0

43 cossen dxxx

Hallaremos primero una primitiva del integrando:

168

7cos

5cos

cossencossencos)cos1(sencossen

75

644243

xx

xdxxxdxxxdxxxxdxx

+−=

=−=−= ∫∫∫∫

Por tanto, la integral definida será:

352

71

51

70cos

50cos

72

cos

52

cos

7cos

5coscossen

7575

2

0

752

0

43

=−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ π

+

π

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

ππ

∫ xxxdxx

• Calcular G'(x) sabiendo que la función G es: ∫ ⋅+

=x

dtt

xG1

2 11)(

Por el teorema fundamental del cálculo integral, tenemos:

)()(' ).(1

1)(11

2 xfxGdttfdtt

xGxx

=⇒=⋅+

= ∫∫

Por tanto, 1

1)()(' 2 +==

xxfxG

• Calcular la derivada de la función ∫ ⋅= −x

x

t dtexF2

2

)(

Consideremos que es decir, G es una primitiva de f y, por tanto, ,).()( ∫= dxxfxG

2

)(' )()(' xexGxfxG −=⇒=

Aplicando la regla de Barrow, tendremos:

)()2()(2

2

xGxGdtexFx

x

t −=⋅= ∫ −

Calculamos la derivada de F(x):

2242)('2)2(')(' xx eexGxGxF −− −=−⋅=

• Determina los máximos y mínimos relativos de la función f definida por

∫ −=x

dtttxf0

3 ).4()(

Teniendo en cuenta el teorema fundamental del Cálculo Integral, la derivada de la función f nos viene dada por la función ya que la función que aparece en el integrando de f es continua. Para calcular los máximos y mínimos relativos de la función f anulamos esta derivada:

xxxf 4)(' 3 −=

2 ,2 ,0 0)4( 04)(' 23 −===⇒=−⇒=−= xxxxxxxxfPara estudiar si corresponden a máximos o a mínimos estudiamos el signo de la derivada segunda: en cada uno de estos puntos: 43)('' 2 −= xxf

169

⇒>=− 08)2(''f f tiene un mínimo relativo en x = −2. ⇒<−= 04)0(''f f tiene un máximo relativo en x = 0. ⇒>= 08)2(''f f tiene un mínimo relativo en x = 2.

170

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA AL CÁLCULO DE ÁREAS.

El problema que se nos plantea en este momento es calcular el área del recinto limitado por la gráfica de una función y determinadas rectas. Antes de aplicar la integral definida conviene, siempre que sea posible, representar el recinto correspondiente y después, por sumas o restas de integrales, hallaremos el área pedida. Podemos considerar las siguientes situaciones: 1. La función es positiva en el intervalo [ ].,ba

EJEMPLO. • Halla el área del recinto limitado por la parábola ,2xy = el eje OX, la recta 1=x y la

recta .3=x

Puesto que la función es positiva en todo su dominio, el área del recinto nos vendrá dada por:

u.s. 626

31

327

31

33

3.)(

333

1

33

1

2 =−=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫ xdxxRA

2. La función es negativa en el intervalo [ ].,ba

El área del recinto es la del trapecio mixtilíneo, pero ya no nos viene dada por la integral

f

+

a b

Sea f una función continua en [ ]ba, tal que en todo punto del intervalo. Las rectas

0)( ≥xf0 e , === ybxax con la

gráfica de la función determinan un recinto cuya área queremos calcular. Este recinto es un trapecio mixtilíneo cuya área nos viene dada por:

∫=b

adxxfRA ).()(

f

−

a b

a

Consideremos una función f continua en [ tal que ]ba,0)( ≤xf para todo valor x del intervalo. El recinto delimitado

por la gráfica de la función y las rectas 0 e , === ybxax queda situado por debajo del eje de abscisas.

b)(−R

)(+R

f

f−definida ∫

b

adxxf ).( puesto que al ser f negativa, la integral

definida es negativa.

Si consideramos la función opuesta el nuevo recinto limitado por esta función y las rectas dadas, es igual al anterior, por ser simétricos respecto del eje de abscisas.

),( f−

171

En consecuencia, sus áreas serán iguales y tendremos:

∫∫ −=−=+=−b

a

b

adxxfdxxfRARA ).().)(())(())((

que es el valor absoluto de la integral definida. EJEMPLO. • Halla el área del recinto limitado por la curva ,2xy −= el eje OX, y las rectas

.2y 2 =−= xx

u.s. 3

1638

38

3)2(

32

3).()(

332

2

32

2

2 =+=−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−−=

−−∫xdxxRA

3. La función toma valores positivos y negativos en el intervalo [ ] .,ba

Cuando una función continua f(x) no tiene signo constante en el intervalo [ su gráfica determina con el eje OX varias regiones

],,ba…,,, 321 RRR

EJEMPLO:

• Calcula el área limitada por la curva xx y el eje OX. xy 86 23 +−=

u.s. 8)4(4424

424

).86().86()()()(

4

2

342

0

34

4

2

232

0

2321

=−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

=+−−+−=+= ∫∫xxxxxx

dxxxxdxxxxRARARA

a1R

2R b3R

En este caso el área del recinto pedido será la suma de las áreas de cada uno de los recintos. No podemos calcular la integral definida entre a y b, sino que será necesario calcular las áreas de cada uno de los recintos y sumarlas después.

…,,, 321 RRR

21R

2R 40

Los puntos de corte de nuestra función con el eje OX son: 4 ,2 ,0 === xxx El recinto cuya área queremos calcular se descompone en dos recintos: uno situado por encima del eje y el otro por debajo. Por tanto:

172

4. Área del recinto donde intervienen dos funciones.

El problema que se nos plantea ahora es el de calcular el área del recinto limitado por las gráficas de dos funciones continuas y las rectas .y bxax == Si las gráficas se cortan en dos o más puntos pueden determinar un recinto cuya área es posible calcular. En este caso, hay que hallar los puntos de corte de las dos curvas.

• Las dos funciones son positivas en [ ]ba, y no se cortan.

• Las funciones son positivas o negativas en [ ]ba, y no se cortan.

En este caso es válida la expresión anterior ya que a partir de las funciones podemos obtener las funciones

gf y ,y kgkf ++ siendo y suficientemente grande,

que serían positivas; el recinto delimitado por las nuevas funciones tiene igual área que el recinto primitivo.

0>k

• Las dos funciones se cortan.

[ ] [ ]∫∫ −+−=+=b

c

c

a

dxxgxfdxxfxgRÁreaRÁreaRÁrea .)()(.)()()()()( 21

Ejemplos. • Halla el área del recinto limitado por las parábolas . e 22 xyxy ==

Dibujamos el recinto limitado por las curvas y calculamos los puntos de corte de ellas:

El área del recinto nos vendrá dada por:

f

g

a b

1R R

2R

En este caso, el área del recinto limitado por las dos funciones es igual a la diferencia de las áreas de los trapecios mixtilíneos determinados por las funciones.

[ ]∫∫∫ −=−=

=−=

b

a

b

a

b

adxxgxfdxxgdxxf

RÁreaRÁreaRÁrea

21

.)()().().(

)()()(

2R

1Rf

g

a bc

En este caso se consideran los subintervalos donde las funciones cumplen las condiciones de casos anteriores.

En este caso tendríamos:

2xy =

xy =

10

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒=−⇒=−⇒=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

1

00)1(0)( 3422

2

2

x

xxxxxxx

xy

xy

173

u.s. 310

31

32

332

323

)()()(

1

0

323

1

0

323

1

0

2211

0

21

0

21

0

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

=⋅−=⋅−=⋅−⋅= ∫∫∫∫

xxxx

dxxxdxxxdxxdxxRA

• El área de la región comprendida entre las gráficas de xy (mira el dibujo) no se

puede calcular mediante la integral

xy == e 3

∫−

−1

1

3 ).( dxxx

Explica por qué sucede eso y calcula dicha área.

La ∫ ⋅b

adxxf )( nos da la suma algebraica de las

áreas que están por encima y por debajo del eje OX, cada una con su signo. Si tenemos en cuenta que el recinto entre −1 y 0, está situado por debajo del eje, la integral definida en ese intervalo será negativa. En el intervalo comprendido entre 0 y 1, el recinto se encuentra por encima del eje OX y la integral definida entre 0 y 1 será positiva.

3xy =

101−

xy =

Al calcular la integral definida entre −1 y 1, se sumarían la positiva y la negativa y, en consecuencia, no nos daría el área de la región comprendida entre las dos funciones.

Si tenemos en cuenta que las dos funciones dadas son simétricas respecto del origen, el área que se encuentra por encima del eje OX es igual que el que se encuentra por debajo. Luego, la integral definida entre −1 y 1 daría cero y el área del recinto nos vendrá dada por:

u.s. 21

412

41

212

422).(2)(

1

0

421

0

3 =⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= ∫ xxdxxxRA

O también:

u.s. 21

41

41

41

21

21

410

4224).().()(

1

0

420

1

241

0

30

1

3

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−+−=

−− ∫∫ xxxxdxxxdxxxRA

174

VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN. Consideremos una función f continua definida en un intervalo [ ].,ba La gráfica de esta función con las rectas 0 e , === ybxax determina un recinto R que al girar alrededor del eje OX engendra un cuerpo de revolución.

la suma de los volúmenes de los cilindros asociados a nuestra partición será:

[ ]∑=

−−πn

i

iii xxcf1

12 ).()(.

donde: (punto intermedio del intervalo) [ iii xxc ,1−∈ ] altura de los cilindros ≡− −1ii xx ≡)( i radio de la base de los cilindros cfSi el número de puntos de la partición aumenta, aumentarán también los cilindros y la suma de sus volúmenes se aproximará cada vez más al volumen del cuerpo de revolución. Por tanto:

[ ]∑=

−∞→−π=

n

i

iiinxxcfbafV

1

12 ).()(.lím),,(

Si tenemos en cuenta la definición de integral definida, nos queda que:

∫∫ ⋅⋅π=⋅π=b

a

b

adxxfdxxfbafV

2

2 )().(),,(

EJEMPLO.

• Calcular el volumen engendrado al girar la parábola xy = alrededor del OX entre 0 y 4.

)(xfy =

ba

Vamos a tratar de calcular el volumen de este cuerpo de revolución: consideremos una partición del intervalo [ ]:,ba bxxxxxxa nii =<<<<<<<= −1210 Esta partición divide el cuerpo en n cilindros: la suma de los volúmenes de estos cilindros será una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que nos ocupa. Si tenemos en cuenta el volumen del cilindro

2

xy =

40

u.v. 8024

2)(

2

4

0

24

0

4

0

2

π=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅π=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅π=⋅π=⋅π= ∫∫ xdxxdxxV

175

• Utilizando el cálculo integral, determina el volumen de un cono circular recto de radio r y altura h.

hrhhrx

hrdxx

hrdxx

hrV

hhh2

3

2

2

0

3

2

2

0

22

2

0

2

31

33π=⋅⋅π=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅π=⋅⋅π=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅π= ∫∫

que es la fórmula del volumen del cono.

• Utilizando el cálculo integral, determina el volumen de una esfera de radio r.

3333

33

32

33

32

22

34

32

32

332

3)()(

33)(

rrrrrr

rrrrrxxrdxxrVr

r

r

r

π=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅⋅π=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−−⋅⋅π=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅π=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅π=⋅−π=

−−∫

h

r

La ecuación de la recta que gira alrededor del eje OX para generar en el intervalo ] un cono de

radio r y altura h es

[ h,0

xhry ⋅= Por tanto, el volumen

del cono nos vendrá dado por

xhry ⋅=

rr−

22 xry −= La esfera se engendra al girar una circunferencia de ecuación alrededor del eje OX.

En consecuencia, el volumen de la esfera nos

vendrá dado por

222 ryx =+

176

ESPACIOS VECTORIALES CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL. Sea V un conjunto cualquiera y R el conjunto de números reales. En V definimos dos leyes de composición:

una interna (suma) V respecto de la cual tiene estructura de GRUPO CONMUTATIVO, es decir que verifica las siguientes propiedades:

VV ⎯→⎯×

1. Asociativa: Vwvuwvuwvu ∈∀++=++ ,, )()( 2. Conmutativa: Vvuuvvu ∈∀+=+ , 3. Elemento neutro o nulo: Vuuuu =00 ∈∀+=+ 4. Elemento simétrico u opuesto: 0='' / ' uuuuVuVu +=+∈∃∈∀

otra externa (producto por un número real) V que verifica las siguientes propiedades:

VR ⎯→⎯×

1. Distributiva para la suma de V: RvuRvuvu ∈∀∈α∀⋅α+⋅α=+⋅α , , )(

2. Distributiva para la suma de números reales:

VuRuuu ∈∀∈βα∀⋅β+⋅α=⋅β+α , , )(

3. Pseudoasociativa o asociativa mixta:

, , )()( VuRuu ∈∀∈βα∀⋅β⋅α=⋅β⋅α

4. El elemento unidad de R es elemento unidad de la ley externa: 1 Vuuu ∈∀=⋅

Con todo esto, V tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL sobre el cuerpo de números reales.

A los elementos del conjunto V se les llama "vectores" y a los números reales "escalares".

El espacio vectorial es real porque en la ley de composición externa utilizamos elementos del conjunto de números reales. EJEMPLOS de conjuntos que tienen estructura de espacio vectorial.

EL CONJUNTO R2

En el conjunto definimos las operaciones: { RyxyxRRR ,)/ ,( = = 2 ∈× }SUMA: )','()','(),( yyxxyxyx ++=+

PRODUCTO: ),(),( ykxkyxk ⋅⋅=⋅

177

Vamos a probar que 2R con las operaciones definidas tiene estructura de espacio vectorial. Para ello tendremos que ver que se cumplen todas las propiedades enumeradas anteriormente:

RESPECTO DE LA SUMA:

1. Asociativa: [ ] [ ] )'',''()','(),()'',''()','(),( yxyxyxyxyxyx ++=++

[ ] =++++=+++=++ ))'''(),'''(()''','''(),()'',''()','(),( yyyxxxyyxxyxyxyxyx

por la propiedad asociativa de los números reales:

= )'')'(,'')'(( =++++ yyyxxx {por la definición de suma en 2R } =

= {por la definición de suma en = )'',''()','( yxyyxx +++ 2R } =

[ ] )'',''()','(),( yxyxyx ++= 2. Conmutativa: ),()','()','(),( yxyxyxyx +=+

= )','(),( yxyx + {por la definición de suma en 2R } =++= )','( yyxx

por la conmutatividad de los números reales:

= {por la definición de suma en =++ )','( yyxx 2R } ),()','(= yxyx +

3. Existencia del elemento neutro o nulo: ),(),()','()','(),( yxyxyxyxyx =+=+

Tratemos de buscar cual es el elemento neutro o nulo: ),()','(),( yxyxyx =+

Por la definición de la suma: )','(= )','(),( yyxxyxyx +++

Para que dos elementos de 2R sean iguales se tiene que verificar que sean iguales cada una de sus componentes. Así:

⎩⎨⎧

==

⇒⎭⎬⎫

=+=+

0'0'

''

yx

yyyxxx

En consecuencia, el elemento neutro de la suma de 2R es el elemento (0,0). 4. Existencia de elemento simétrico u opuesto:

)0,0()','(),( / )','( ),( 22 =+∈∃∈∀ yxyxRyxRyx (elemento neutro)

Tendremos:

⎩⎨⎧

−=−=

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+=+

⇒=++⇒=+yyxx

yyxx

yyxxyxyx' '

0' 0'

)0,0()','( )0,0()','(),(

En consecuencia, el elemento simétrico de será ),( yx ).,( yx −−

Con todo esto, 2R con la operación suma, tiene estructura de GRUPO CONMUTATIVO.

},,{ 2 +R

RESPECTO DEL PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL:

178

1. Distributiva respecto de la suma de :2R

[ ] 2)','(),,(y )','(),()','(),( RyxyxRkyxkyxkyxyxk ∈∀∈∀⋅+⋅=+⋅

En efecto:

[ =+⋅ )','(),( yxyxk ] {por la suma de }2R =++⋅= )','( yyxxk {por la ley externa

de }2R =+⋅+⋅= ))'(),'(( yykxxk {por la distributividad del producto de R}=

=++= )','( kykykxkx {por la ley interna} =+= )','(),( kykxkykx

={por la ley externa}= )','(),( yxkyxk ⋅+⋅

2. Distributiva respecto de la suma de números reales: 2),( ', ),('),(),()'( RyxyRkkyxkyxkyxkk ∈∀∈∀⋅+⋅=⋅+

En efecto: { } =⋅⋅==⋅ ))'+(,)'+(( R de externaley lapor ),()'+( 2 ykkxkkyxkk

={por la distributividad del producto de R} =++= )','( ykkyxkkx

={por la ley interna} =+= )','(),( ykxkkykx

={por la ley externa} ),('),( yxkyxk ⋅+⋅=

3. Pseudoasociativa o asociativa mixta:

[ ] 2 ),( y ', ),()'(),(' RyxRkkyxkkyxkk ∈∀∈∀⋅⋅=⋅⋅ En efecto:

[ =⋅⋅ ),(' yxkk ] {por la ley externa}= )','( =⋅ ykxkk {por la ley externa}=

=⋅⋅= ))'(),'(( ykkxkk {Por la asociatividad del producto de números reales}=

= ))'.(,)'.(( = ykkxkk {por la ley externa} ),()'.( = yxkk ⋅

4. Elemento neutro del producto externo: 2 ),( ),( = ),.(1 Ryxyxyx ∈∀

En efecto: { } ),( = ).1,.1( = externaley lapor = ),.(1 yxyxyx

puesto que el número real 1 es el elemento neutro del producto de números reales.

En consecuencia, tiene estructura de espacio vectorial real. } , ,{ 2 RR ⋅+

EL CONJUNTO R3.

Definimos el conjunto 3R de la siguiente forma:

{ }RzyxzyxRRRR ,, / ),,( = = 3 ∈××

Se definen en él las mismas operaciones que en R2:

SUMA: )',','()',','(),,( zzyyxxzyxzyx +++=+

PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL: 3RzyxRkkzkykxzyxk ),,( y ),,(),,(. ∈∀∈∀=

179

De análoga manera a como hemos trabajado en podríamos comprobar que se cumplen las mismas propiedades en

,2R.3R

En general, podemos demostrar que el conjunto nR tiene estructura de espacio vectorial real.

Otros conjuntos que también tienen estructura de espacio vectorial son: El conjunto de números complejos El conjunto de polinomios en una indeterminada. El conjunto de funciones reales.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES. Además de las propiedades necesarias para la estructura de espacio vectorial, las operaciones definidas en los mismos cumplen las siguientes:

,00 =⋅u cualquiera que sea el vector u de V. ,00 =⋅k cualquiera que sea el número real k. 0 o 0 0 ==⇔=⋅ kuk u

)()()( ukukuk ⋅−=⋅−=−⋅

SUBESPACIOS VECTORIALES.

Sea V un espacio vectorial real. Se llama subespacio vectorial de V a todo subconjunto W de V que, respecto de las leyes de composición de V, tenga estructura de espacio vectorial, es decir

},,{ RW ⋅+ es subespacio vectorial de V, si W ⊂ V y },,{ RW ⋅+ es un espacio vectorial.

Es evidente que todo espacio vectorial V admite siempre, al menos dos subespacios vectoriales: el propio espacio V y el subespacio formado exclusivamente por el vector nulo. Estos subespacios reciben el nombre de subespacios triviales o impropios. Cualquier otro, si existe, recibe el nombre de subespacio propio.

Caracterización de subespacios

“La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto W del espacio vectorial { sea un subespacio vectorial es que verifique },, RW ⋅+

", , WvuyRWvu ∈∀∈βα∀∈⋅β+⋅α

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.

Se dice que un vector u ∈V es “combinación lineal” de los vectores ,1u ,2u kuu ,,3 de V si existen unos escalares ,1λ ,2λ ,,3λ kλ que nos permitan

expresar el vector de la forma:

kk uuuuu ⋅λ++⋅λ+⋅λ+⋅λ= 332211 Sea S = { ,1u ,2u kuu ,,3 } un conjunto de vectores del espacio vectorial V y sea L(S) el conjunto de todas las combinaciones lineales que podamos formar con los vectores

180

de S. Se puede demostrar que L(S) con las operaciones de V es un espacio vectorial y, por tanto, sería un subespacio vectorial de V. A partir de la propia definición su deduce que:

Todo vector es combinación lineal de sí mismo, puesto que .1 uu ⋅=

El vector cero es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores puesto que siempre tendremos la posibilidad de que todos los escalares sean cero:

00 000 321 =⋅++⋅+⋅+⋅ kuuuu

El problema que se plantearía a continuación sería estudiar si aparte de esta existen otras combinaciones lineales del vector nulo. Este problema nos lleva a estudiar la DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. Se dice que los vectores ,1u ,2u kuu ,,3 de un espacio vectorial V son linealmente dependientes si existen k números reales ,1λ ,2λ ,,3λ kλ no todos simultáneamente nulos, tales que verifiquen que

0 332211 =⋅λ++⋅λ+⋅λ+⋅λ kk uuuu

En caso de que todos los escalares sean nulos, los vectores son linealmente independientes. PROPOSICIÓN

Si k vectores son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede obtener a partir de los restantes.

En efecto, consideremos que los vectores ,1u ,2u kuu ,,3 son linealmente dependientes.

Teniendo en cuenta esta hipótesis, existirán k escalares, no todos nulos, tales que

0 332211 =⋅λ++⋅λ+⋅λ+⋅λ kk uuuu

De entre todos los escalares, al menos hay uno que no es cero. Supongamos

que λ1≠0 y despejemos :1u kk uuuu ⋅

λλ

−−⋅λλ

−⋅λλ

−=1

31

32

1

21

con lo cual, por lo menos uno de ellos, ,1u queda expresado en función de los restantes.

Se dice, en este caso, que el vector ,1u es combinación lineal de los restantes vectores.

La recíproca de esta proposición también es cierta:

Si un vector es combinación lineal de otros, el conjunto formado por todos ellos es linealmente dependiente.

EJEMPLOS.

181

Comprobar la dependencia de los vectores (2,−1), (1,3) y (1,−4).

Para estudiar la dependencia o independencia de estos vectores, establecemos la c.l. de ellos: a.(2,−1) + b.(1,3) + c.(1,−4) = (0,0)

Operando e identificando, obtenemos el sistema:

⎭⎬⎫

=−+−=++

043 02

cbacba


cbcbcbcbcbcbcba =⇒=−⇒=++−⇒=++−⇒−= 077 086 0)43.(2 43

caccacba −=⇒−=⇒−= 4343 Como

Para cada valor que le diéramos a "c" obtendríamos otros valores para "a" y para "b" (podríamos tener valores para a, b, c distintos de cero). En consecuencia los vectores son linealmente dependientes.

Comprobar la dependencia de los vectores (2,−1) y (1,3).

Para estudiar la dependencia o independencia de estos vectores, establecemos la c.l. de ellos: a.(2,−1) + b.(1,3) = (0,0)


⎭⎬⎫

=+−=+

03 02

baba

Resolviendo el sistema obtenido: a b b b b b b b

a b a= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =3 2 3 0 6 0 7 0

3 0

Como .( ) 0

En consecuencia, los vectores son linealmente independientes.

Comprobar la dependencia de los vectores (1,2,3), (2,1,3) y (1,0,1).

Establecemos la combinación lineal de ellos:

)0,0,0()1,0,1()3,1,2()3,2,1( =⋅+⋅+⋅ cba

Operando e identificando componente a componente, obtenemos:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=+=++

0330 202

cbaba

cba

resolviendo, a continuación, el sistema resultante.

Despejamos c en la primera ecuación: bac 2−−= y sustituimos en la tercera, quedando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

⎩⎨⎧

⇒⎭⎬⎫

=−−++=+

0=+2 0=+2

0)2(3302

baba

bababa

Resulta que las dos ecuaciones del sistema son iguales, por lo que podemos quedarnos con una sola ecuación y despejar una incógnita en función de la otra:

182

2a + b = 0 ⇒ b = −2a

Llevando el valor obtenido donde teníamos despejada la "c" nos queda:

acaacaacbac 3= 4 )2(2 2 ⇒+−=⇒−−−=⇒−−=

Para cada valor que le diéramos a "a" obtendríamos otros valores para "b" y para "c" (podríamos tener valores para a,b,c distintos de cero). En consecuencia los vectores son linealmente dependientes.

SISTEMA GENERADOR DE UN ESPACIO VECTORIAL.

Sea V un espacio vectorial real y G = ,{ 1u ,2u },,3 puu un conjunto de vectores de V.

Se dice que G es un SISTEMA GENERADOR del espacio vectorial V si cualquier vector del espacio V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de G:

pp uuuuu ⋅λ++⋅λ+⋅λ+⋅λ= 332211

Sea G’= ,{ 1u ,2u },,, 13 +pp uuu un sistema generador de V. Si es combinación lineal de los restantes vectores de G’, el sistema resultante de suprimir

1+pu

,1+pu ,{ 1uG = ,2u },,3 puu es también un sistema generador de V.

EJEMPLOS. Sea C el conjunto de los números complejos y consideremos el espacio vectorial

}.,, Demostrar que el conjunto }1,{ RC ⋅+ 1{ iiG −+= forma un sistema generador del espacio vectorial }.,,{ RC ⋅+

Para demostrar que es un sistema generador de C, tendremos que probar que cualquier complejo de la forma a + bi se puede expresar como combinación lineal de los complejos de nuestro conjunto:

) 1.(+ ) + 1.( = + iibia −βα

Para que se cumpla la condición anterior tendremos que encontrar los escalares α y β que nos dan al vector como c.l. de los vectores de G.

Operando en C, tenemos:

⎩⎨⎧

β−αβα

⇒β−αβ+α =

+ = .)( + )( = +

ba

ibia

Resolviendo el sistema resultante, obtenemos:

Sumando las ecuaciones: 2

+ = + = .2 baba α⇒α

Restando las ecuaciones: 2

= = .2 baba −β⇒−β

En consecuencia, como hemos encontrado α y β dependiendo de a, b (los afijos del complejo), cualquier complejo lo podremos expresar como combinación lineal de los complejos de nuestro conjunto G y, por tanto, forma un sistema generador para C.

183

Demostrar que el conjunto de vectores {(1,2), (2,-1)} ⊂ R2 es un sistema generador de R2(R).

Consideremos un elemento cualquiera (x,y) perteneciente a R2 y veamos si lo podemos expresar como combinación lineal de los vectores de nuestro conjunto:

⎩⎨⎧

β−αβα

⇒β−αβα⇒−β+α .2 = .2 + =

),2.2.+( = ),( )1,2.()2,1.( = ),(yx

yxyx

Resolvemos el sistema resultante: Despejamos α en la primera ecuación y la sustituimos en la segunda:

5 2 = .5 2 = ).2.(2 = .2 yxxyxyx −

β⇒β−⇒β−β−⇒β−=α

Sustituyendo el valor obtenido en α nos queda:

52 + =

5) 2.(2 5 =

5 22 = .2 yxyxxyxxx α⇒

−−α⇒

−⋅−α⇒β−=α

En consecuencia, nuestro conjunto de vectores forma un sistema generador para R2. Demostrar que el conjunto de vectores {(1,2,0), (2,−1,1), (1,0,1)} ⊂ R3 es un

sistema generador de R3(R).

Consideremos un elemento cualquiera (x,y,z) perteneciente a R3 y veamos si lo podemos expresar como combinación lineal de los vectores de nuestro conjunto:

),2,2(),,( )1.0.1.()1,1,2.()0,2,1.(),,( cbbacbazyxcbazyx +−++=⇒+−+=

Identificando componente a componente, nos queda el sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−=

++=

cbzbay

cbax

22

Resolvemos el sistema obtenido:

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+=−−−

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−−−

−−=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=−=++

242

)2.(2 2

22

zcbybcbx

zcbybcbx

cbxa

zcbybaxcba

⎩⎨⎧

−=⇒−=−+−⇒−=−−−

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+−=−−

⇒czb

xycczxycczzcb

xycb

2255 22)5.(

225

352 523 zyxczyxc ++−

=⇒++−=⇒

Sustituyendo este valor de c en donde teníamos despejada b, nos queda:

322

3523

352 zyxbzyxzzyxzczb −−

=⇒−−+

=++−

−=−=

Sustituyendo en a los valores de b y c, obtenemos:

3

523

2222 =++−

−−−

⋅−=−−=zyxzyxxcbxa

184

3

3)52()22.(23 zyxazyxzyxx −+

=⇒++−−−−−

=

En consecuencia, como hemos podido encontrar los escalares que nos dan un vector cualquiera de R3 como c.l. de los vectores de nuestro conjunto, se deduce que éste forma un sistema generador de R3(R).

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.

Un conjunto de vectores },,,,{ 321 nuuuuB = ⊂ V es una BASE del espacio vectorial V si se verifica que:

B es un sistema generador de V.

Los vectores de B son linealmente independientes. EJEMPLOS. Demostrar que el conjunto de vectores {(1,2), (2,−1)} ⊂ R2 es una base de R2(R).

Como ya hemos demostrado en los ejemplos anteriores que este conjunto de vectores forman un sistema generador para R2, para probar que es una base tendremos que demostrar que los vectores son linealmente independientes:

Para estudiar la dependencia o independencia de estos vectores, establecemos la c.l. de ellos:

)0,0()1,2()2,1( =−⋅+⋅ ba


⎭⎬⎫

=−=+

0 2 02

baba


0 2 Como0 03 04 0)2.(2 2

=⇒−==⇒=−⇒=+−⇒=+−⇒−=

ababbbbbbba

En consecuencia, los vectores son linealmente independientes y, por tanto, nuestro conjunto de vectores es una base de R2.

En general, podríamos demostrar que cualquier pareja de elementos de R2 que no sean proporcionales, forman una base de dicho espacio vectorial. Por tanto, tendríamos infinitas bases para el espacio vectorial R2(R); la más sencilla de todas ellas es la formada por los vectores {(1,0), (0,1)} que recibe el nombre de BASE CANÓNICA de R2(R). Demostrar que el conjunto de vectores {(1,2,0), (2,−1,1), (1,0,1)} ⊂ R3 es una

base de R3(R).

Como ya hemos demostrado en los ejemplos anteriores que este conjunto de vectores forman un sistema generador para R3(R), para probar que es una base tenemos que demostrar que los vectores son linealmente independientes:

185

)0,0,0(),2,2( (0,0,0) = )1.0.1.()1,1,2.()0,2,1.( =+−++⇒+−+ cbbacbacba

Identificando componente a componente, nos queda el sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=++

0 0 202

cbbacba

Resolvemos el sistema obtenido:

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+=−−−

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−−−

−−=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=−=++

0024

0 0)2.(2

2

0 0 202

cbbcb

cbbcb

cba

cbbacba

⎩⎨⎧

−==⇒=⇒=−⇒=−−−

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+=−−

⇒cb

cccccccbcb

0 03 025 02)5.(

0 025

Sustituyendo en b obtenemos b = 0 y sustituyendo los dos valores obtenidos en a,

nos queda también que a = 0.

Por tanto, nuestro conjunto de vectores forma una base de R3(R). En general, podemos demostrar que toda terna de vectores de R3(R) que sean l.i. forman una base de dicho espacio vectorial. En consecuencia, tendríamos infinitas bases para el espacio vectorial R3(R); la más sencilla de todas es la formada por los vectores {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1} que recibe el nombre de BASE CANÓNICA de R3(R).

Por tanto, todo espacio vectorial V que esté generado por un número finito de vectores, tiene una base. TEOREMA DE LA BASE.

Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos.

Gracias a esto, podemos enunciar el siguiente resultado:

DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL. Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que tiene una cualquiera de sus bases.

A la dimensión del espacio V la designaremos por .dimV EJEMPLOS: 1. La dimensión del espacio R2(R) es dos puesto que la base está formada por dos

vectores. 2. La dimensión del espacio R3(R) es tres puesto que la base está formada por tres

vectores.

186

COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE. Sea V(R) un espacio vectorial real de dimensión n y consideremos una base

V },,,,{ 321 nuuuuB = ⊂

Se llaman coordenadas del vector u respecto de la base B, al conjunto de escalares que nos permiten expresar el vector como combinación lineal de los

vectores de la base, es decir, nαααα ,,,, 321

nn uuuuu ⋅α++⋅α+⋅α+⋅α= 332211 PROPOSICIÓN. "Las coordenadas de una vector respecto de una base son únicas".

En efecto: Supongamos que el vector u tiene dos coordenadas distintas respecto de la misma base B, es decir que, el vector lo podremos expresar mediante dos combinaciones lineales distintas de la misma base:

nn uuuuu ⋅α++⋅α+⋅α+⋅α= 332211

nn uuuuu ⋅β++⋅β+⋅β+⋅β= 332211

Restando ambas expresiones obtenemos:

nnn uuuu ⋅β−α++⋅β−α+⋅β−α+⋅β−α= )( )()()(0 333222111

Puesto que los vectores de la base son l.i. los escalares de la c.l. obtenida deben de ser nulos, por lo que:

0 0 0 0 332211 =β−α=β−α=β−α=β−α nn

y, en consecuencia,

nn β=αβ=αβ=αβ=α 332211

Por tanto, las coordenadas de un vector respecto de la base B son únicas. Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de la base

formada por los vectores {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}.

Para calcular las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de la base dada, tendremos que calcular los escalares que nos dan a cada uno de los vectores de la base canónica como c.l. de los vectores de la base {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}.

Tomemos el primer vector de la base canónica (1,0,0) y vamos a expresarlo como c.l. de la base propuesta. Tendremos:

),,()0,0,1( )1,1,0.()1,0,1.()0,1,1.()0,0,1( cbcabacba +++=⇒++=

Identificando, componente a componente, obtenemos:

187

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=+=+

001

cbcaba

Resolviendo el sistema (despejamos a y b en función de c):

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=−=

−=⇒=−⇒=−−

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=+=+

cbca

cccc

cbcaba 2

1 12 1

001

Por tanto, las coordenadas del vector (1,0,0) respecto de la base dada serán

).21,

21,

21( −

Operando de idéntica forma con los vectores (0,1,0) y (0,0,1) obtendríamos las coordenadas de ellos.

188

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Sea . Demostrar que W es un subespacio vectorial de

}.,, },),,0{( 2RWRxxW ⊂∈=

{ 2 RR ⋅+

2. Demostrar que la intersección de dos subespacios vectoriales de V es otro subespacio vectorial de V.

3. Comprobar si los vectores )2,1,3(=u y )2,1,4( −=v de R3 son linealmente

independientes. Comprobar si los vectores )0,1,1(−=u y )0,3,3( −=v de R3 son linealmente independientes.

4. Hallar el valor de k para que los vectores ),0,,1( ku = ),1,1( kv −= y )1,0,(k del

espacio vectorial },,{ 3 RR ⋅+ sean linealmente dependientes. w =

5. Sea un espacio vectorial }.,,{ RV ⋅+ Demostrar que si los vectores ,u v y w son

linealmente independientes, entonces },,{ uwwvvu +++ también son linealmente independientes.

6. Sea un espacio vectorial }.,,{ RV ⋅+ Demostrar que si los vectores ,u v y w son

linealmente independientes, entonces },,{ wvuvuu +++ también son linealmente independientes.

7. Hallar la condición que debe cumplir el vector 3), para formar una base de

3

,( Rzyx ∈R junto con los vectores )1,0,1( y ).0,2,1(−

8. Hallar un vector de },,{ 3 RR ⋅+ cuyas coordenadas respecto de la base B formada por

los vectores )}1,2,0(),3,0,0(),0,2,1{( −− sean: (a) )3,2,1( (b) ).0,5,1(−

9. ¿Pertenece el vector )7,3,1, al subespacio engendrado por )0,3,3,1( y ?)2,5,1,2( 2( −

10. Determina los valores de a y b para que el vector ),,4,1( ba sea combinación lineal de los vectores )2,1,2, y ). 1( − 1,2,1,0(

11. Determina b para que los vectores ),2,3,( −b ),3,2( b y )4,6,4( − formen un espacio

unidimensional.

12. Sean . ¿Pueden },,,,, 34321 Ruuuu ∈ ,{ 4321 uuuu formar una base de ?3R ¿Y un

sistema generador?

189


MATRICES Y DETERMINANTES.

INTRODUCCIÓN.Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1.850 introducidas por el inglés

James Joseph Silverton. El desarrollo de la teoría se debe al matemático y astrónomo irlandés Hamilton en 1.853 y al inglés Cayley. Este último introdujo la notación matricial para un sistema lineal de ecuaciones.

Además de su utilidad para estudiar sistemas aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, etc.

La utilización de las matrices constituye una parte esencial en los lenguajes de programación ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores en tablas organizadas en filas y columnas. La utilización de bases de datos implican el empleo de operaciones con matrices que estudiaremos en este tema.

DEFINICIÓN DE MATRIZ. TERMINOLOGÍA BÁSICA.

Una MATRIZ es un conjunto de números reales ordenados en filas y columnas de la forma

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

En forma abreviada se escribe ( )aij mientras que ija representa un elemento cualquiera de la matriz (el elemento que está en la fila i y la columna j).

EJEMPLO.

−−−

252502311434123

es una matriz que tiene tres filas y cuatro columnas: m = 3 y n = 4.

Llamamos DIMENSIÓN de una matriz al producto indicado del número de filas por el número de columnas: m × n y podemos escribir de forma abreviada ( )ijnm aA =×

En el ejemplo anterior, la dimensión es 3 × 4.

IGUALDAD DE MATRICES.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan igual posición son iguales.

==

⇔=ijij ba

BABA

)dim()dim(

MATRICES Y DETERMINANTES 14190


EJEMPLO.

Las matrices Ax

=

2 3 11 2

y Ba b

c=

34 2

serán iguales si a = 2, b = 1, x = 4 y

c = 1.

TIPOS DE MATRICES.Dependiendo de la forma que tengan las matrices o como son sus elementos, podemos

distinguir algunos tipos particulares de matrices:

MATRIZ FILA es aquella que tiene una sola fila: ( )a a a a n11 12 13 1

MATRIZ COLUMNA es aquella que tiene una sola columna:

aaa

am

11

21

31

1

MATRIZ CUADRADA es la que tiene igual número de filas que de columnas:a a aa a a

a a a

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

En caso contrario se llama RECTANGULAR:

a a aa a a

a a a

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

En una matriz cuadrada, el conjunto formado por los elementos aii se llama DIAGONAL PRINCIPAL y el conjunto de los elementos aij tal que ,1+=+ nji se llama DIAGONAL SECUNDARIA.

PRINCIPAL Diagonal

22

11

ΘΘΘ

ΘΘΘΘΘΘ

nna

aa

SECUNDARIA Diagonal1

1,2

1

ΘΘ

ΘΘΘΘΘ

−

n

n

n

a

aa

MATRIZ TRASPUESTA.

Dada una matriz A se llama traspuesta de A y se representa por ,tA a la matriz que se obtiene de A cambiando filas por columnas o viceversa.



Ejemplo: Si A A t=−

−

⇒ =

−−

3 2 11 5 7

3 12 5

1 7

Es evidente que si A es de dimensión m × n, tA es de dimensión n × m.

MATRIZ NULA. Es aquella en la que todos sus elementos son nulos. También se llama matriz cero y se representa por 0.

Para matrices cuadradas:

• MATRIZ DIAGONAL es aquella que tiene todos sus elementos nulos salvo los de la diagonal principal.

nna

aa

00

0000

22

11

• MATRIZ ESCALAR es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

a

aa

00

0000

• MATRIZ UNIDAD o IDENTIDAD es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

100

010001

• MATRIZ TRIANGULAR es aquella en la que todos los elementos por encima (o debajo) de la diagonal principal son nulos.

Triangular superior si son nulos los elementos situados por debajo de la diagonal principal.

nn

n

n

a

aaaaa

00

0 222

11211

Triangular inferior si son nulos los elementos situados por encima de la diagonal principal.

nnnn aaa

aaa

21

2221

11

000



Las matrices triangulares se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss.

• MATRIZ SIMÉTRICA: es una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir, jiaaAA jiij

t , ∀=⇒=

• MATRIZ ANTISIMÉTRICA: es una matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta, es decir, jiaaAA jiij

t , ∀−=⇒−=

OPERACIONES CON MATRICES.

SUMA DE MATRICES.

Dadas dos matrices )( ijaA = y )( ijbB = de la misma dimensión, se define la suma BA + como otra matriz )( ijcC = de igual dimensión que los sumandos y donde ijijij bac +=

PROPIEDADES:

1. Asociativa: CBACBA ++=++ )()(

2. Conmutativa: ABBA +=+

3. Elemento neutro o nulo: AAA =+=+ 00

4. Elemento simétrico u opuesto: Dada una matriz A se define la matriz opuesta (−A) como aquella que se obtiene de A cambiando el signo a todos sus elementos y se verifica que

.0)()( =+−=−+ AAAADos matrices son opuestas cuando su suma es la matriz nula.

Esta última propiedad nos permite definir la DIFERENCIA de matrices de la siguiente manera:

Dadas dos matrices ( )A aij= y ( )B bij= de igual dimensión, se define la diferencia

A−B como )( BABA −+=− y su término general será: d a bij ij ij= − .

NOTA: La suma y diferencia de matrices no se puede definir si sus dimensiones son distintas.

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO.

Dada una matriz ( )A aij= y un número real k, se define el producto Ak ⋅ como otra

matriz B de igual dimensión que A y cuyo término general nos viene dado por .ijij akb ⋅=

Esto nos quiere decir que para multiplicar un numero por una matriz se multiplican todos y cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

PROPIEDADES:

1. Distributiva para la suma de matrices: BkAkBAk ⋅+⋅=+⋅ )(

2. Distributiva para la suma de números reales: AhAkAhk ⋅+⋅=⋅+ )(

3. Pseudoasociativa: AhkAhk ⋅⋅=⋅⋅ )()(

4. Elemento neutro: AA =⋅1 (El 1 es el elemento unidad de los números reales).



Por tanto, el conjunto Mm×n() con las operaciones que acabamos de definir tiene estructura de espacio vectorial real.

PRODUCTO DE MATRICES.

El producto de matrices es un poco más complicado que las operaciones anteriores. Vamos a empezar multiplicando dos matrices particulares: una matriz fila de dimensión (1×n) y una matriz columna (n×1).

El producto de una matriz fila )1( n× por una matriz columna )1( ×n es un número que se obtiene multiplicándolas término a término y sumando los resultados de la siguiente manera:

( ) nn

n

n babababa

b

bbb

aaaa ⋅++⋅+⋅+⋅=

⋅ 3322113

2

1

321

Ejemplo:

( )− ⋅−

= − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ = − − + + =1 2 5 3

54

32

1 5 2 4 5 3 3 2 5 8 15 6 8( ) ( )

Observemos que si el número de columnas de la matriz fila no coincide con el número de filas de la matriz columna, estas matrices no podríamos multiplicarlas.

Este producto vamos a utilizarlo para definir el producto de dos matrices:

Sean dos matrices nmA × y ,pnB × se define el producto BA ⋅ como otra matriz C cuyos elementos se obtienen de la siguiente forma:

njinjijijiij babababac ⋅+⋅+⋅+⋅= + 332211

es decir, el elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B.

( ) njinjijiji

nj

j

j

j

iniiiij babababa

b

bbb

aaaac ⋅++⋅+⋅+⋅=

⋅= 3322113

2

1

321

Debemos observar que para poder multiplicar dos matrices el número de filas de la matriz A debe ser igual al número de columnas de la matriz B.

La matriz producto tiene tantas filas como la matriz A y tantas columnas como la matriz B.



PROPIEDADES.

1. Asociativa: CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ )()(

2. No verifica la propiedad conmutativa: en general, ABBA ⋅≠⋅

3. Si A es una matriz de orden n, se verifica que: AAIIA nn =⋅=⋅

4. Distributiva: CABACBA ⋅+⋅=+⋅ )(

Con estas propiedades y las vistas anteriormente para la suma, { Mn(), +, ⋅ } tiene estructura de anillo unitario no conmutativo.

Ejercicios.

• Dadas las matrices

−=

1243

A y

−

=13

02B

Calcular:

1.

−=

−

+

−=+

0545

1302

1243

BA

2.

−

−=

−

−

−=−

2141

1302

1243

BA

3.

−−

=

−

+

−=

−

⋅+

−⋅=⋅+⋅

113812

3906

2486

1302

31243

232 BA

4.

−

−=

−++−

=

−⋅+⋅⋅+⋅

−⋅−+⋅⋅−+⋅=

−

⋅

−=⋅

1746

103440126

)1(1023122)1()4(033)4(23

1302

1243

BA

5.

−−

=

⋅−+−⋅⋅−+⋅

⋅+−⋅⋅+⋅=

−⋅

−

=⋅13786

1)1()4(32)1(3310)4(22032

1243

1302

AB

Observando los resultados de los productos BA ⋅ y AB ⋅ podemos ver como el producto de matrices no es conmutativo.

6. La matriz X tal que BXA 23 =−

Operamos sin sustituir las matrices y despejando X nos queda: BAX ⋅−⋅= 23

Entonces, una vez despejada la matriz X, sustituyendo las matrices A y B y operando, nos queda:

−=

−

−

−=

−

⋅−

−⋅=

50125

2604

36129

1302

21243

3X



• Dadas las matrices:

A =

1 0 11 2 32 2 1

y B = −−

2 1 43 0 14 1 5

Calcular:

a) A B+ =

+ −−

=

1 0 11 2 32 2 1

2 1 43 0 14 1 5

3 1 54 2 26 1 6

b) 2 21 0 11 2 32 2 1

2 3 41 0 14 1 5

2 0 22 4 64 4 2

2 3 41 0 14 1 5

0 3 21 4 70 5 3

⋅ − = ⋅

− −−

=

− −−

=− −

−

A B t

c) A B. =

⋅ −−

=+ + + − + +

+ + + − − ++ + + − − +

= −

1 0 11 2 32 2 1

2 1 43 0 14 1 5

2 0 4 1 0 1 4 0 52 6 12 1 0 3 4 2 154 6 4 2 0 1 8 2 5

6 0 920 2 1714 1 11

d) B A⋅ = −−

⋅

=+ + + + + ++ − + − + −− + − + − +

= −

2 1 43 0 14 1 5

1 0 11 2 32 2 1

2 1 8 0 2 8 2 3 43 0 2 0 0 2 3 0 14 1 10 0 2 10 4 3 5

11 10 91 2 2

13 8 6

e) A Bt ⋅ =

⋅ −−

=+ + + − − ++ + + − − ++ + + − − +

=−−

1 1 20 2 21 3 1

2 1 43 0 14 1 5

2 3 8 1 0 2 4 1 100 6 8 0 0 2 0 2 102 9 4 1 0 1 4 3 5

13 1 1314 2 815 0 6

f) B At t⋅ = −−

⋅

=+ + + + + ++ − + − + −− + − + − +

= −

2 3 41 0 14 1 5

1 1 20 2 21 3 1

2 0 4 2 6 12 4 6 41 0 1 1 0 3 2 0 14 0 5 4 2 15 8 2 5

6 20 140 2 19 17 11

g) ( )A B t

t

⋅ = −

= −

6 0 920 2 1714 1 11

6 20 140 2 19 17 11

Si observamos los dos últimos resultados, veremos que son iguales y, en consecuencia, llegamos a la siguiente conclusión: ttt ABBA ⋅=⋅ )(

Además, es evidente que se verifica que AA tt =)(



DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.

El determinante de una matriz A cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz.

Se representa por A o det(A).Veamos como calculamos determinantes sencillos para después dar el salto a otros de

orden superior:

Determinante de orden dos.

Sea la matriz cuadrada de dimensión 2×2 dada por

=

2221

1211

aaaa

A

Definimos el determinante de A de la siguiente forma:

21122211 aaaaA ⋅−⋅=Ejemplo:

Si 11102125737253

=−=⋅−⋅=⇒

= AA

Determinante de orden tres.

Es un número asociado a una matriz 3×3 calculado de la siguiente forma:

332112322311312213

322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−

−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Podemos observar que en cada producto hay un factor por cada fila y columna; además la mitad de los productos tienen signo más y la otra mitad signo menos.

Para recordar estos productos que nos dan el valor del determinante de orden 3, se utiliza la siguiente regla:

PRODUCTOS CON PRODUCTOS CON SIGNO + SIGNO −

Esta regla se conoce con el nombre de Regla de SARRUS.

Otra forma de recordar los productos del desarrollo de un determinante de orden tres seria la siguiente:



1c 2c 3c 1c 2c

Ejemplo:

5 6 43 3 21 1 3

5 3 3 6 2 1 4 3 1 4 3 1 5 2 1 6 3 3

45 12 12 12 10 54 121

−− = ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ =

= + + − + + =

( ) ( ) ( ) ( )

Propiedades de los determinantes.

1. El determinante de una matriz cuadrada A es igual que el determinante de su traspuesta.A A t=

Esta propiedad nos indica que todo lo que pudiéramos decir para filas, también sería válido para las columnas.

2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo, sin variar su valor absoluto.

3. Si todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada son ceros, el determinante de dicha matriz es cero.

4. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) iguales, entonces su determinante vale cero.

5. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante vale cero.

6. Si los elementos de una fila (o columna) de un determinante se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

7. Si una fila (o columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más filas (o columnas), entonces el determinante de la matriz vale cero.

8. El determinante de una matriz cuadrada no cambia si se sustituye una fila (o columna) por una combinación lineal de ella con las restantes filas (o columnas).Aplicando esta propiedad de forma reiterada, el determinante de una matriz cuadrada se puede convertir en otro del mismo valor que el dado, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) elegida, sean cero, excepto uno de ellos.

9. El determinante de una matriz triangular o diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

10. Si cada elemento de una fila (o columna) de una matriz cuadrada se escribe como suma de dos sumandos, el determinante de dicha matriz es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (o columnas), salvo la que se haya descompuesto, en la que el


Diagonales de izquierda a derecha: +

Diagonales de derecha a izquierda: −

198


primer determinante tiene los primeros sumandos y el segundo determinante los segundos sumandos.

MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO DE UNA MATRIZ

CUADRADA.

Sea A una matriz cuadrada de orden n y ija uno cualquiera de sus elementos. Se llama MATRIZ COMPLEMENTARIA del elemento ija a la matriz que resulta de A al suprimir la fila i y la columna j (la fila y la columna en la que se encuentra dicho elemento).

Se designa por Mij y, evidentemente, será una matriz de orden n−1.

Se llama MENOR COMPLEMENTARIO del elemento Aa ij ∈ al determinante de la matriz complementaria.

Se llama ADJUNTO del elemento ,ija y lo representaremos por ,ijA al menor complementario del elemento ija multiplicado por ±1 según que la suma de los subíndices del

elemento sea par o impar, es decir ijji

ij MA ⋅−= +)1(

En consecuencia, el adjunto de un elemento es el menor complementario de ese elemento afectado del signo , ó −+ según la posición que ocupe el elemento en la matriz.

Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna.

Consideremos el desarrollo del determinante de orden 3:

A a a a a a a a a a a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33

Si sacamos factor común los elementos de una fila o columna (p.e. los elementos de la primera fila) nos queda:

A a a a a a a a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =11 22 33 23 32 12 23 31 21 33 13 21 32 22 31( ) ( ) ( ) (♣)

El contenido de cada uno de los paréntesis del desarrollo anterior coincide con el desarrollo de un determinante de orden 2 y podríamos expresarlo de la forma:

(♣) =⋅+⋅+⋅=3231

222113

3133

212312

3332

232211 aa

aaa

aaaa

aaaaa

a

=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= +++

3231

22213113

3331

23212112

3332

23221111 )1()1()1(

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

131312121111 AaAaAa ⋅+⋅+⋅=

Este resultado podemos generalizarlo para el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden de la siguiente forma:

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos correspondientes.

ininiiiiii AaAaAaAaA ⋅+⋅+⋅+⋅= + 332211

njnjjjjjjj AaAaAaAaA ⋅+⋅+⋅+⋅= + 332211



Con esta regla se rebaja el orden del determinante que se quiere calcular a una unidad menos. Para evitar muchos cálculos conviene que la fila o la columna por la que desarrollemos tenga el mayor número de ceros posibles y, si no es así, se pueden hacer por el método de reducción aplicando las propiedades de los determinantes.

EJEMPLO:

• Calcular el siguiente determinante desarrollando por los elementos de la primera fila:

156145)2(372510211

35211

25011

1

0211

)1(35211

)1(25011

)1(1502111

321312111

−=−−=−⋅+⋅−⋅=⋅+−

⋅−−

⋅=

=⋅−⋅+−

⋅−⋅+−

⋅−⋅=− +++

• Calcular los siguientes determinantes:

{ } =−

−−−

⋅=

−−−

−=⋅−←=

−−−

1211121111

1

1211612101110

0001

1244

011612101110

2001

CCC

Hemos reducido el determinante de orden 4 a otro de orden 3. Llegados aquí, tenemos dos posibilidades: desarrollar este determinante de orden 3 directamente, aplicando la regla de Sarrus o seguir la reducción igual que antes.

1 1 11 2 1

1 1 122

3 1

1 1 10 1 00 0 11

11 0

0 111 1 11 11

−− −

−= ←

← −

=

−−

−= ⋅

−−

= ⋅ − ⋅ − = sustituimos: 2 +1 3

F F FF F F

( ) ( )

•1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

2 2 13 3 14 4 1

1 1 1 10 2 2 20 0 2 20 0 0 2

12 2 20 2 20 0 2

−− −− − −

=← +← +← +

= = ⋅ =

SustituimosF F FF F FF F F

:

Como nos ha quedado una matriz triangular, su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal y nos queda:

2 2 20 2 20 0 2

2 2 2 8= ⋅ ⋅ =



Calcular el siguiente determinante:3

33

3

x x xx x xx x xx x x

Aplicando las propiedades de los determinantes:

33

33

2 2 13 3 14 4 1

33 3 0 03 0 3 03 0 0 3

3

31 1 0 01 0 1 01 0 0 1

3

x x xx x xx x xx x x

SustituimosF F FF F FF F F

x x xx xx xx x

x

x x x

=← −← −← −

=− −− −− −

= − ⋅−

−−

=

:

( )

=← +

= − ⋅

+−

−= − ⋅ − ⋅

+−

−=

=← +

= − ⋅ − ⋅+ +

−= − ⋅ − ⋅ − ⋅

+−

=

SustituimosC C C

x

x x x

xx x x

SustituimosC C C

xx x x

xx x

:( ) ( ) ( )

:( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4 13

3 31 1 0 11 0 1 11 0 0 0

3 13

1 0 10 1 1

1 1 33 1

2 3 30 0 11 1 1

3 1 12 3

1 1

3 3

3 3

= − ⋅ − − − = − ⋅ − − = − ⋅ − ⋅ +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x3 2 3 3 3 3 3 3 13 3 3

• Calcular los siguientes determinantes:

a)

1 0 1 22 3 2 22 4 2 13 1 5 3

−−

−

b)

1 2 3 42 1 2 10 0 1 13 4 1 2

c)

1 1 2 02 1 3 10 1 1 20 0 4 1

−

−−

d )

1 1 0 01 0 0 10 1 1 00 1 0 1

• Calcular el valor del determinante:

10 10 105 5 5

2 2 2

a b ca b c

• Obtener, simplificando, el desarrollo del determinante:

abc ab ab c b ab

b c b c abc

−− −

−

2

2 2

2 2 2

23



• Calcular por transformaciones elementales (sin utilizar la regla de Sarrus) y justificando los pasos), el determinante

111

b c aa b cc a b

+++

• Hallar el valor del determinante

1 2 31 0 31 2 0

1 2 3

nnn

n

−− −

− − −

• Resolver la ecuación xx x

xx

− −− −

−−

=

1 1 01 1

1 1 11 1 0

0

• Resolver la ecuación 1 1 1 1

00 00 0

0x a ax bx c

=

• Sabiendo que a b cd e fg h i

= 1 y utilizando correctamente las propiedades de los

determinantes, calcular:

a d c f b ed f eg i h

+ + +− − −

3 3 3 f e dc b ai h g

DETERMINANTE DEL PRODUCTO DE MATRICES.

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. El determinante de la matriz producto A⋅B es igual al producto de los determinantes de ambas matrices:

A B A B⋅ = ⋅



MATRIZ INVERSA: CÁLCULO.

Matrices regulares y singulares.

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es REGULAR si su determinante es distinto de cero, es decir:

0 regular es ≠⇔ AA

Si su determinante es cero, se dice que es SINGULAR.

0 singular es =⇔ AAEjemplo :

Comprobar si son regulares o singulares las siguientes matrices:

3 1 12 0 11 3 0

−

1 2 34 5 67 8 9

1 2 31 4 91 1 0−

1 1 00 1 21 0 3

Matriz Adjunta.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama MATRIZ ADJUNTA de A, y se representa por (Adj A), a la matriz que se obtiene de A sustituyendo cada elemento por su adjunto:

Adj A

A A AA A A

A A A

n

n

n n nn

=

11 12 1

21 22 2

1 2

Como ya hemos visto, se verifica que la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus adjuntos es igual al determinante de la matriz.

Sin embargo, la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por los adjuntos de una fila (o columna) paralela a ella es igual a cero, ya que sería igual al desarrollo de un determinante que tendría dos filas (o columnas iguales).

Aplicando estas dos afirmaciones podríamos demostrar que el producto de una matriz cuadrada por la traspuesta de su adjunta es una matriz escalar con valor constante igual al determinante de la matriz.

Ejemplo:• Calcular las matrices adjuntas de las matrices del ejercicio anterior.

• Comprobar que A Adj A

AA

A

t⋅ =

( )

0 00 0

0 0



Matriz inversa.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se llama MATRIZ INVERSA de A a otra matriz de orden n, que representaremos por A−1, que verifica que .11 IAAAA =⋅=⋅ −−

No todas las matrices tienen inversa. Para que una matriz A admita inversa tiene que ser regular.

Existen varias formas de calcular, si existe, la inversa de una matriz:

Aplicando la propia definición y resolviendo el sistema que resulta.

Mediante transformaciones elementales aplicadas a una matriz: Método de Gauss-Jordan.

El método de Gauss-Jordan consiste en realizar operaciones elementales sobre una matriz formada por A y la matriz identidad I ),|( IA hasta transformarla en

).|( 1−AI

Por determinantes: Según hemos visto, el producto de una matriz cuadrada por la traspuesta de su adjunta es una matriz escalar con elemento constante igual a A. Podríamos escribir: IAAAdjA t ⋅=⋅ ) (

Luego, [ ] IAAdjAA

t =⋅⋅ ) (1

En consecuencia, por la definición de la matriz inversa de A, la obtenemos

mediante la expresión: tAAdj

AA ) (11 ⋅=−

.

Para calcular la matriz inversa por este método daremos los siguientes pasos:

1. Calculamos el determinante de la matriz A. Si éste es igual a cero no existirá matriz inversa.

2. Calculamos la matriz adjunta de A

3. Trasponemos la matriz anterior: (Adj A)t

4. Dividimos por | A | (dividimos cada uno de los elementos de la matriz).

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Calcula la matriz inversa, si existe, de las siguientes matrices:

A =

1 2 12 4 33 5 2

B =− −−

−

1 0 22 1 1

3 0 1 C =

1 2 50 1 20 0 1

D =

−−

−

1 0 0 12 0 1 30 0 0 12 1 2 1



MENOR DE UNA MATRIZ.

Dada una matriz ,nmA × se llama SUBMATRIZ de la matriz A a cualquier matriz que se obtenga de ella suprimiendo ciertas filas y ciertas columnas.

En la matriz A =−

− −

3 1 2 12 1 1 24 2 1 1

si suprimimos la primera fila y la tercera columna,

obtenemos B =−

2 1 24 2 1

matriz de dimensión 2×3 que es una submatriz de A.

Si suprimimos la tercera fila y la tercera y cuarta columnas, tenemos C =−

3 12 1

que es una

submatriz cuadrada de orden 2 de la matriz A.

En consecuencia, las submatrices de una matriz A podrán ser rectangulares o cuadradas dependiendo de las filas o columnas que suprimamos en la matriz.

Llamamos MENOR de orden h de una matriz A al determinante de una submatriz cuadrada de dimensión h×h de la matriz A.

Si dicha submatriz está formada por las h primeras filas y las h primeras columnas de la matriz A, el menor se llama MENOR PRINCIPAL de la matriz A.

En el ejemplo anterior de la submatriz C, su determinante es C =−

= − − =3 12 1

3 2 5( ) es un

menor de orden 2 y, además, principal.

RANGO DE UNA MATRIZ.

Se llama RANGO de una matriz al orden del mayor menor no nulo de la matriz dada.

Por tanto, si A es una matriz de dimensión m×n y h es el rango de A, quiere decir que existirá algún menor de orden h distinto de cero y todos los menores de orden superior

},2,1{ ++ hh serán nulos.

De otra forma: Si un menor de orden h de una matriz A es distinto de cero y todos los menores de orden )1( +h que se pueden formar añadiendo una fila p de la matriz y cada una de las columnas que no figuran en el menor son nulos, entonces dicha fila p es combinación lineal de las filas de la matriz que intervienen en el menor.

En consecuencia, el rango de una matriz es el número de filas (o columnas) de la matriz que son linealmente independientes.

CONSECUENCIAS:

Si en una matriz A se intercambian dos filas (o columnas) se obtiene otra matriz de igual rango que A.



Si una fila (o columna) de la matriz A está formada por ceros, el rango de A es igual al de la matriz que se obtiene de A suprimiendo dicha fila (o columna).

Si una fila (o columna) es combinación lineal de otras filas (o columnas) de la misma matriz, se puede suprimir dicha fila (o columna) ya que no afecta al rango de la matriz.

CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ.Teorema.

“La condición necesaria y suficiente para que una matriz A de dimensión m × n tenga rango r es que exista un menor de orden r, extraído de la matriz, distinto de cero y que todos los menores de orden r + 1 sean nulos”.

∀≠∃

⇔=+ 0=

0 )(

1r

r

MM

rArango

Teniendo en cuenta este teorema, para calcular el rango de una matriz podemos seguir los siguientes pasos:

1. La única matriz que tiene rango cero es la matriz nula; cualquier otra matriz tendrá un rango igual o mayor que 1.

2. Se observa a simple vista si existen filas o columnas que sean combinación lineal de otras paralelas a ellas, en cuyo caso se suprimen.

3. Se trata de encontrar, por ser fácil el cálculo, un menor de segundo orden no nulo. Si lo hubiese, podemos afirmar que rango(A) ≥ 2. Si no existe un menor de segundo orden distinto de cero y la matriz no es nula, entonces podemos concluir que rango(A) = 1.

4. Supuesto que rango(A) ≥ 2, añadiremos al menor de segundo orden no nulo que hemos obtenido las filas y columnas restantes para formar menores de tercer orden. Si todos fuesen nulos, podemos afirmar que rango(A) = 2. Si existe un menor de tercer orden distinto de cero, podemos afirmar que rango(A) ≥ 3.

5. De forma análoga se proseguiría hasta que se terminaran las filas y las columnas.

EJEMPLO:

Calcular el rango de la matriz

A =−−

5 0 11 3 02 6 03 6 14 3 1

Observando la matriz dada podemos lo siguiente:

a) La tercera fila es igual que la segunda multiplicada por 2.

b) También se verifica que 4F = 1F − 2.(2F) y 5F = 1F − 2F

Por tanto, el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz que resulta de A suprimiendo las filas tercera, cuarta y quinta:



r A r( ) =

=

5 0 11 3 0

2 puesto que el menor de orden 2, 5 01 3

0≠

Calcular el rango de la siguiente matriz:

A =

−−

−−

2 3 1 0 53 2 1 2 24 1 0 5 32 1 3 0 2

Puesto que no se trata de la matriz nula, su rango será mayor o igual a uno.

Tomamos un menor de orden dos (el formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas) y vemos si es distinto de cero o no:

−= − − = − ≠

2 33 2

4 9 13 0

y, por tanto, el rango(A) ≥ 2.Tomando este menor como base, añadimos la tercera fila y con las distintas columnas

vamos formando todos los menores de orden tres que podamos:

−−

−= − − − − − − = − ≠

2 3 13 2 14 1 0

0 12 3 8 0 2 21 0( )

y, por tanto, el rango(A) ≥ 3.

Pasamos a formar menores de orden cuatro y ver si hay alguno distinto de cero:

−−

−=

← +

← − ⋅

=

−

−−

= ⋅ −−

= ⋅ −−

=

=← +

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − = ⋅ ≠

2 3 1 03 2 1 24 1 0 52 1 3 0

2 2 1

4 4 3 1

2 3 1 01 5 0 24 1 0 58 8 0 0

11 5 24 1 58 8 0

81 5 24 1 51 1 0

2 2 18

1 6 24 3 51 0 0

8 16 23 5

8 30 6 8 24 0

SustituimosF F F

F F F

SustituimosC C C

:

( )

:( )

Como hemos encontrado un menor de orden 4 distinto de cero y no podemos formar menores de orden superior ya que no tenemos más filas, el rango de nuestra matriz será 4: rango(A) = 4.

Calcular el rango de las siguientes matrices:



−−−

−−

=

10311414342135112434

A

−−

=

4064236354321111

B

−−−−

=

325142132311512

20111

C



Matrices y determinantes: relacion de ejercicios.

1. Obtener las matrices A y B que verifique el sistema:

−−−−−

=−

−

=+

101234

3

012221

2

BA

BA

2. Demostrar que A A I2 2 0− − =. , siendo A I=

=

0 1 21 0 11 1 0

1 0 00 1 00 0 1

3. Resolver la siguiente ecuación matricial:1 13 2

11

32

−

⋅

=

−

⋅

xy

xy

4. Si A es una matriz cuadrada n×n, tal que ,2 AA = e I es la matriz unidad n×n, ¿qué matriz es B2, si ?2 IAB −=

5. Probar que ,2 1 AA nn ⋅= − siendo A la matriz 1 11 1

6. Calcular por inducción respecto de n:

1 11 1

n

1 1 10 1 10 0 1

n

7. Calcular los valores de t para los que el rango de la siguiente matriz es 2:

t33222111

8. Sea A una matriz de orden 3. Demostrar A A A At t⋅ ⋅ y son simétricas.Una matriz A se dice que es simétrica si es igual a su traspuesta.

9. Dada la matriz A =−

−

1 0 10 34 1

λλ

. Averiguar para que valores del parámetro λ, la matriz A

no tiene inversa. Calcular la inversa cuando λ = 2.

10. ¿Existe una matriz B tal que el producto A.B sea una matriz de tres filas, siendo

A =−

1 3 2 14 5 3 2

?



11. ¿Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuarse las multiplicaciones MN y NM? Razona la respuesta.

12. Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores de t∈R, siendo

At t

t tt t

= + −− − +

02 1 1

2 1 0 3Para que valores de t ∈R existe A−1?

13. Probar que la matriz A tiene inversa y calcularla:

A

mm

m=

1 0 00 1 00 0 10 0 0 1

14. Hallar los valores de x para los cuales la matriz A no tiene inversa:

Ax

x=

−

12 2

15. Dadas las matrices A =− −

− −

0 1 21 0 2

1 1 3 I =

1 0 00 1 00 0 1

determinar, si es posible, un valor de λ para el que la matriz (A −λ.I)2 sea la matriz nula.

16. Obtener un vector no nulo ),,,( cbau = de manera que las matrices siguientes tengan, simultáneamente, rango 2:

=

cba

A110111

−=

cba

B1310

02

17. (Selectividad - Junio 97)Dadas las matrices

−−

−=

021231

141A ,

−−

−−=

101211110

B e

=

100010001

I

se pide:(1) Estudia si existe y, si es así, calcula la inversa de A. (2) Estudia si existe y, si es así, calcula la inversa de B. (3) Determina una matriz X que verifique .)2( AXABBIA +=+


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:

a x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

n n

n n

i i i in n i

m m m mn n

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

m

m

( )

donde:

los son los COEFICIENTES (números o parámetros reales conocidos) aij

x x x xn1 2 3, , , , son las INCOGNITAS o valores que hay que determinar b b b bi1 2, , , , , son los TÉRMINOS INDEPENDIENTES del sistema. Son

números o parámetros conocidos. En el caso particular de que todos los términos independientes sean nulos, el sistema recibe el nombre de SISTEMA HOMOGÉNEO.

Cuando el número de incógnitas es pequeño se suelen utilizar nombres distintos para cada una: x,y,z,t,...

EJEMPLO.

Un sistema de ecuaciones lineales es de la forma: 2 2

2 03 2 5

x y zx y zx z

+ − =− + =

+ =

SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Un conjunto de n valores ( , es solución del sistema ( ) cuando al sustituir dichos valores en lugar de las incógnitas las ecuaciones se transforman en identidades.

, , )s s s sn1 2 3 ,

Ejemplo: En el sistema del ejemplo anterior, la terna (1,1,1) es decir x=1, y=1, z=1, es solución ya que

2 1 1 1 21 2 1 1 0

3 1 2 1 5

⋅ + − =− ⋅ + =

⋅ + ⋅ =

RESOLVER un sistema de ecuaciones es hallar el conjunto de todas las soluciones del sistema.

211

EXPRESION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES EN FORMA MATRICIAL.

Sea un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:

a x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

n n

n n

i i i in n i

m m m mn n

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

m

En este sistema podemos considerar las siguientes matrices:

A

a a a aa a a aa a a a

a a a a

A

n

n

n

m m m mn

m n=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= ×

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

llamada MATRIZ DE COEFICIENTES

A

aaa

a

j

j

j

j

mj

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1

2

3 ≡ MATRIZ COLUMNA DE COEFICIENTES

X

xxx

x

X

n

n=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= ×

1

2

3 1 ≡ MATRIZ DE INCÓGNITAS

B

bbb

b

B

m

m=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= ×

1

2

3 1 ≡ MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES

Como las matrices A y X se pueden multiplicar (el número de columnas de A coincide con el número de filas de X), el sistema anterior podemos expresarlo en forma matricial de la siguiente manera:

212

a a a aa a a aa a a a

a a a a

xxx

x

bbb

b

n

n

n

m m m mn n m

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

1

2

3

1

2

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

o de forma abreviada: A X B⋅ = . También podríamos expresarlo como combinación lineal de las matrices columna de los coeficientes, de la forma:

A x A x A x A x Bn n1 1 2 2 3 3⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + EJEMPLO: El sistema

2 22 5

3 1

x y zx yx y z

− + =+ =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

5

0

se expresaría en forma matricial de la siguiente manera: 2 1 21 2 03 1 1

55

10

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

xyz

o también 213

121

201

55

10

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅ +

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅ =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

x y z

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS. Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales nos podemos encontrar ante las siguientes situaciones:

a) El sistema no tiene solución. En este caso recibe el nombre de SISTEMA INCOMPATIBLE.

b) El sistema tiene solución y se llama SISTEMA COMPATIBLE

Dentro de los sistemas compatibles se distinguen dos casos:

DETERMINADOS: si tienen solución única.

INDETERMINADOS: si tienen infinitas soluciones dependiendo de uno o más parámetros.

Para resolver sistemas hasta ahora se han utilizado los métodos de SUSTITUCION, IGUALACION y REDUCCION. Veremos este curso otro método de resolución, el método de GAUSS, que nos viene a generalizar el método de reducción.

213

SISTEMAS EQUIVALENTES. Dos sistemas de ecuaciones se dice que son EQUIVALENTES si tienen el mismo conjunto solución, es decir, toda solución del primer sistema también lo es del segundo sistema y viceversa. Evidentemente, dos sistemas equivalentes deben tener el mismo número de incógnitas, pero no es necesario que tengan el mismo número de ecuaciones. Criterios de equivalencia.

1. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el de las incógnitas, el sistema que se obtiene es equivalente al primero (esencialmente es el mismo).

2. Si se multiplican o se dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al primero.

3. Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo sistema, se obtiene otro sistema equivalente al primero.

Si al sumar o restar ecuaciones resulta una ecuación incompatible del tipo 0 = k, siendo k ≠ 0, el sistema completo también lo es.

La utilización conjunta de los criterios 2 y 3 nos permitir eliminar incógnitas en las ecuaciones y pasar a otros sistemas equivalentes más fáciles de resolver. EJEMPLOS. a) Dado el sistema:

− + + =− + =+ − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y zx y zx y z

342

eliminar una incógnita en dos de las tres ecuaciones.

Si sumamos la primera ecuación a la segunda y tercera se obtiene el sistema

− + + ===

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y zz

y

32 7

2 5

que es equivalente al dado. La resolución del nuevo sistema es inmediata. b) Dado el sistema

x y zx y zx y z

+ + =+ + =− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

22 3 5 11

5 6 29

eliminar la incógnita x en las dos últimas ecuaciones. En el sistema resultante, eliminar la y en el sistema parcial con dos incógnitas y, z formado por las dos últimas ecuaciones.

Para eliminar la x en la segunda ecuación se le resta a ésta el doble de la primera, y para eliminarla de la tercera se le resta simplemente la primera. El sistema resultante es:

214

x y zy zy z

+ + =+ =

− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

23 7

6 5 27

Para eliminar y en la tercera ecuación basta sumar a ésta la segunda multiplicada por 6. El sistema final es:

x y zy z

z

+ + =+ =

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

23 7

23 69

Hemos obtenido un sistema triangular que es fácil de resolver. 4. Si en un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación se expresa en función de otras

ecuaciones del sistema, dicha ecuación se puede suprimir y el sistema resultante es equivalente al primero.

En el sistema

2 30

5 4 9

x yx yx y

− =+ =− =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

la tercera ecuación es tres veces la primera menos la segunda, y se dice que la tercera es función de las dos primeras. Por tanto, podemos suprimirla y el sistema que nos queda es

2 30

x yx y− =+ =

⎫⎬⎭

METODO DE REDUCCIÓN O DE GAUSS. El método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en transformar el sistema dado en otro de forma triangular equivalente. Para conseguir esta triangulación del sistema dado, se aplican los criterios de equivalencia de la siguiente forma: 1. Se fija una primera ecuación y se elimina una incógnita de todas las demás menos de la

primera. 2. A continuación se mantienen invariables las dos primeras ecuaciones y se sustituyen

las demás por las que resultan de eliminar una segunda incógnita. 3. El proceso se continua hasta obtener un sistema en forma triangular cuya resolución es

cómoda y fácil. EJEMPLO 1.

Resolver el siguiente sistema: − − + =

+ + =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y zx y zx y z

12 3 2

2 3 0

215

RESOLUCIÓN Eliminamos la incógnita x en la segunda y tercera ecuaciones, sumando a la segunda, la primera y a la tercera, la primera multiplicada por 2. El sistema equivalente que nos quedaría sería el siguiente:

− − + =+ =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y zy zy z

14 33 2

Restando a la tercera ecuación la segunda, obtenemos: − − + =

+ =− = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y zy z

z

14 3

1

A partir de la tercera ecuación obtenemos: z = 1. Sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando y se obtiene: y = −1 Llevando estos valores a la primera ecuación, tenemos: x = 1. En consecuencia, la solución del sistema es:

xyz

== −=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

11

1

y el sistema sería COMPATIBLE Y DETERMINADO. EJEMPLO 2.

Resolver el siguiente sistema: 8 45 2 4 6

1

x y zx y zx y

+ + =− + =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

9

RESOLUCIÓN:

Aplicando el método de Gauss pasamos este sistema a uno que sea triangular:

8 4 95 2 4 6

1

8 43 3

1

x y zx y zx y

x y zx yx y

+ + =− + =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔← −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⇔+ + =

− − = −+ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Sustituimos: 2ª E 2ª E 1ª E

93

9

Dividimos la segunda ecuación por −3, quedándonos:

8 4 911

8 41

x y zx yx y

x y zx y

+ + =+ =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⇔+ =

⎧⎨⎩

Al haber dos ecuaciones iguales suprimimos una de ellas

+ + =

Llegada esta situación damos por terminada la triangulización del sistema por no tener más ecuaciones para eliminar las incógnitas. Como no aparece ninguna ecuación del tipo 0 = k con k ≠ 0, el sistema será COMPATIBLE.

216

Por otra parte, no nos queda ninguna ecuación final en la que podamos despejar una incógnita (nos quedan más incógnitas que ecuaciones). Para obtener la solución del sistema hacemos lo siguiente:

Si asignamos a la incógnita z el valor de un parámetro λ cualquiera y lo pasamos al segundo miembro, podemos continuar la resolución del sistema quedando las posibles soluciones en función de dicho parámetro.

8 9 41

8 9 47 8 4

x yx y

x yx

+ = −+ =

⎫⎬⎭

⇔← −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⇔+ = −

− = − +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⇔λ λ

λ

Sustituimos:2ª E 2ª E 1ª E

⇔+ = −

=−

⎧⎨⎪

⎩⎪

8 98 4

7

x y

x

λλ

4

Sustituyendo el valor de x en la otra ecuación, nos queda:

x

y

z

=−

=− +

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

8 47

1 47

λ

λ

λ

Para cada valor que le demos al parámetro, obtendremos una solución para el sistema, es decir el sistema tiene infinitas soluciones dependiendo de un parámetro.

En consecuencia, podemos decir que es un sistema COMPATIBLE E INDETERMINADO.

Si nos fijamos en los ejemplos desarrollados anteriormente, podemos observar que lo único que cambia mediante las transformaciones elementales son los coeficientes del sistema. Por tanto, podemos introducir éstos en una matriz y, en ella, efectuar tranformaciones elementales sobre las filas y, de esta manera, trabajaremos más cómodamente.

Veamos cómo quedarían los ejemplos anteriores trabajando con la matriz del sistema:

EJEMPLO 1.

Resolver el siguiente sistema: − − + =

+ + =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y zx y zx y z

12 3 2

2 3 0

RESOLUCIÓN Escribimos la matriz del sistema ampliándola con la columna de términos independientes:

217

A =− − ⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

1 11 22 3

120

13

1

Sobre esta matriz vamos a efectuar las misma transformaciones que antes hicimos con las ecuaciones del sistema, únicamente que ahora trabajaremos con las filas de la matriz: − − ⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

≈ ←← ⋅

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪≈

− − ⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

≈1 1

1 22 3

120

1 10 10 1

132

13

1

Sustituimos: 2ª F 2ª F +1ª F 3ª F 3ª F + 2 1ª F

14

3

≈← −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭≈

− −

− −

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

≈− − ⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

Sustituimos: 3ª F 3ª F 2ª F

141

141

1 1

0 10 0

131

1 10 10 0

131

Una vez terminada la triangulización de la matriz, el sistema equivalente sería:

− − + =+ =

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y zy z

z

14 3

1

que resolveríamos igual que hemos hecho anteriormente. EJEMPLO 2.

Resolver el siguiente sistema: 8 45 2 4 6

1

x y zx y zx y

+ + =− + =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

9

RESOLUCIÓN Escribimos la matriz ampliada del sistema y pasamos a triangulizarla:

8 1 45 2 41 1 0

961

1

8 1 43 3 0

1 1 0

93

13

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟≈

← −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭≈ − − −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟≈

−⎧⎨⎩

⎫⎬⎭≈

Sustituimos: 2ª F 2ª F F

Dividimos la 2ª F por ª

≈⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟≈⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

8 1 41 1 01 1 0

911

8 1 41 1 0

91

con lo que habríamos terminado la triangulación del sistema, quedándonos:

218

8 41

x y zx y+ + =+ =

⎫⎬⎭

9

donde operaríamos igual que antes. DISCUSION DE UN SISTEMA LINEAL POR EL MÉTODO DE GAUSS. Consideremos un sistema general de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Mediante el método de Gauss podemos pasar a otro sistema equivalente triangular sobre el que podemos hacer las siguientes consideraciones: a) Si aparece alguna ecuación de la forma 0 = K, siendo K ≠ 0, el sistema dado es

INCOMPATIBLE, es decir, no tiene solución. b) Si no aparecen ecuaciones del tipo anterior, el sistema es COMPATIBLE. En este caso

podemos distinguir dos situaciones: 1.-Si el número de ecuaciones no triviales es igual al número de incógnitas, el sistema

es COMPATIBLE DETERMINADO, es decir, el sistema tiene solución única. 2.-Si el número de ecuaciones no triviales es menor que el número de incógnitas, el

sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO es decir, el sistema tiene infinitas soluciones dependiendo de uno o más parámetros.

Ejercicios propuestos: Discutir y resolver los siguientes sistemas:

x y zx y zx y z

− − =+ − = −

− + + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

02 4 4

3 4 4

x zy z

x y z

− =+ =

+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

78

2 3 19

2 34 5

1

x y zx y zx z

− + =− + =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

35

−4

3

x yx y zx y z

− =+ − =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 32 52 3 4

x y zx y zx y zx y z

− + =+ + =− + =− + =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

3 02 44 5 6 37 7 11 1

− + − = −− + − =

− − = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y zx y zx y z

2 3 28 27 0

1

SISTEMAS DE CRAMER. Se dice que un sistema de ecuaciones lineales A.X = B es un sistema de Cramer si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y además A ≠ 0 . Ejemplos:

219

1.-Comprobar si es de Cramer el sistema: 2 7

43 2 2

x y zx z

x y z

+ + =+ =

− + =

En principio, el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas. Nos faltaría por comprobar si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero:

2 1 11 0 13 2 1

0 3 2 0 4 1 4 0−

= + − − − − − = ≠( )

y, por tanto, el sistema es de Cramer. 2.-Idem el sistema:

1 2 35 6 79 10 11

48

12

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

xyz

El número de ecuaciones vuelve a coincidir con el número de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es:

1 2 35 6 79 10 11

66 150 126 162 70 110 0= + + − − − =

Por tanto, este sistema no es de Cramer. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE CRAMER. Consideremos que el sistema A.X = B sea un sistema de Cramer. Por ser A una matriz regular, tiene inversa y, por tanto,

A X B A A X A B X A B⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅− − 1 1 −1 Teniendo en cuenta la defición de la matriz inversa

AA

Adj A t− = ⋅1 1 ( )

y operando, nos queda:

X A BA

Adj A BA

A A AA A A

A A A

bb

b

t

n

n

n n nn n

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒−1

11 21 1

12 22 2

1 2

1

21 1( )

⇒

xx

xA

A b A b A bA b A b A b

A b A b A bn

n n

n n

n n nn

1

2

11 1 21 2 1

12 1 22 2 2

1 1 2 2

1⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟= ⋅

⋅ + ⋅ + + ⋅⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + + ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

n

220

Identificando término a término, obtenemos:

xA b A b A b

An n

111 1 21 2 1=⋅ + ⋅ + ⋅ +

xA b A b A b

An n

212 1 22 2 2=⋅ + ⋅ + ⋅ +

.............................................................

xA b A b A b

Ajj j nj= n⋅ + ⋅ + ⋅1 1 2 2 +

.............................................................

xA b A b A b

Ann n nn n=⋅ + ⋅ + ⋅1 1 2 2 +

Ahora bien, podemos observar que el numerador de cada fracción que nos da el valor de cada una de las incógnitas es la suma de los productos de los adjuntos de los elementos correspondientes a la columna que nos indica el subíndice de la incógnita por los términos independientes. Esto sería el desarrollo del determinante de la matriz de coeficientes A en la que habríamos sustituido la columna correspondiente al subíndice de la incógnita por la columna formada por los términos independientes. De esta forma, la resolución del sistema de Cramer nos quedaría:

x

b a a ab a a a

b a a aA

n

n

n n n nn1

1 12 13 1

2 22 23 2

2 3= x

a b a aa b a a

a b a aA

n

n

n n n nn2

11 1 13 1

21 2 23 2

1 3=

.....................................................................................................

x

a a a ba a a b

a a a bAn

n

n

n n n n=

−

−

−

11 12 1 1 1

21 22 2 1 2

1 2 1

,

,

, n

EJEMPLOS: Resolver: π

x y zx y zx y z

+ + =− + =+ − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

640

221

Debemos de comprobar, primeramente, que es un sistema de Cramer: el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es

1 1 11 1 11 1 1

1 1 1 1 1 1 4 0−−

= + + − − − − − = ≠( ) ( )

Por tanto, es un sistema de Cramer. Para resolverlo utilizamos el método que acabamos de obtener:

x =

−−

=+ + − − +

= =

6 1 14 1 10 1 1

46 0 4 0 6 4

484

2

y =−

=− + + − − +

= =

1 6 11 4 11 0 1

44 6 0 4 0 6

444

1

z =

−

=+ + + − −

= =

1 1 61 1 41 1 0

40 4 6 6 4 0

4124

3

En consecuencia, la solución de nuestro sistema es: x = 2, y = 1, z = 3. π

x y zx y zx y z

− + =+ − =+ − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 3 12 43 4 3

2

El número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es

1 2 32 1 43 4 1

1 24 24 9 16 4 50 0−

−−

= − + + − + − = ≠

y nuestro sistema es de Cramer. Resolvemos calculando, previamente, los determinantes correspondientes a cada una de las incógnitas:

Ax =−

−−

= − + + − + − =1 2 32 1 43 4 1

1 24 24 9 16 4 50

222

Ay = −−

=1 1 32 2 43 3 1

0 Az =−

=1 2 12 1 23 4 3

0

En consecuencia, la solución de nuestro sistema será:

x y z= = = = = =5050

1 050

0 050

0, ,

π Resolver: 2 32 3 7 73 2 1

x y zx y zx y z

− + = −+ − = −+ − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

− − + =− + =

− + − = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 4 19 35 3 2 1

x y zx y zx y z

0

x yx zy z

+ =+ =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

567

π Determinar los valores de a que hacen que el siguiente sistema sea un sistema de Cramer y resolverlo para esos valores:

x ay z aa x y az

x y z a

+ + = ++ + − =

+ − = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

11 0

2 11( )

CRITERIO DE COMPATIBILIDAD. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución (sea compatible) es que el rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz que se obtiene ampliando la matriz de coeficientes con la columna formada por los términos independientes.

SISTEMA COMPATIBLE ⇔ r(A) = r(A*) siendo:

A

a a aa a a

a a a

n

n

m m mn

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

11 12 1

21 22 2

1 2

A

a a a ba a a b

a a a b

n

n

m m mn m

* =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

DEMOSTRACION: 1.-Consideremos que el sistema sea compatible y supongamos que es una

solución del sistema. Utilizando la notación s s s sn( , , )1 2 ,

A x A x A x Bn n1 1 2 2⋅ + ⋅ + + ⋅ = se verificará

A s A s A s Bn n1 1 2 2⋅ + ⋅ + + ⋅ = por lo que la columna B es combinación lineal de las columnas y, en consecuencia,

A A An1 2, , ,

r A A A r A A A B r A r An n( , , ) ( , , , ) ( ) ( *1 2 1 2 , , = ⇒ )=

,

2.-Supongamos ahora que r A . Esto significa que r A( ) ( )*=r A A A r A A A Bn n( , , ) ( , , , )1 2 1 2 , =

223

y, por tanto, B es combinación lineal de las restantes columnas; es decir que existen unos números tales que s s sn1 2, , ,

A s A s A s Bn n1 1 2 2⋅ + ⋅ + ⋅ = + En consecuencia, s s es una solución del sistema y, entonces, éste será compatible.

s sn( , , )1 2 ,

OBSERVACIONES: Teniendo en cuenta la clasificación de los sistemas por el número de soluciones y el teorema de Rouché-Fröbenius, llegamos a las siguientes conclusiones: 1.-Si r A ⇒ el sistema es incompatible y no tiene solución. r A( ) ( )*≠ 2.-Si r A , tenemos dos posibilidades: r A r( ) ( )*= =

2.1 r = n (número de incógnitas), el sistema es compatible y determinado y tiene

solución única. El sistema se resuelve por el método de Cramer. 2.2 r < n, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones,

dependiendo de n − r parámetros. Para resolver este tipo de sistemas se procede de la siguiente manera: Sea r el rango de la matriz del sistema que coincide con el de la ampliada

por ser el sistema compatible. Se eligen r ecuaciones independientes (las correspondientes a las filas que nos dan el rango) y se pasan al segundo miembro las incógnitas que no intervienen en el rango, quedando un sistema de r ecuaciones con r incógnitas (sistema de Cramer). A las incógnitas que se pasan al segundo miembro se le asignan los valores de unos parámetros que pueden tomar cualquier valor real. De este modo, todas las incógnitas se pueden expresar en función de estos parámetros.

λ λ1 2, ,

4 Si la solución depende de un sólo parámetro, se dice que el sistema es

uniparamétrico. 4 Si la solución depende de dos parámetros, el sistema es biparamétrico.

EJEMPLOS. 1.-Resolver el sistema

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 12 23 3 3 3

2

2

Podemos observar que la tercera ecuación es suma de las dos primeras, con lo que el sistema queda reducido a

x y zx y z+ + =+ + =

⎫⎬⎭

2 12 2

224

Las matrices de coeficientes A y ampliada A correspondientes son:

A =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2 12 1 2

A* =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2 1 12 1 2 2

El r(A) = r(A* ) puesto que el menor formado por las dos primeras filas y

columnas es 1 22 1

0≠ ⇒

2

el sistema es compatible.

Como el rango es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado. La incógnita que no interviene en el menor que nos da el rango es la z y, a ésta, le asignamos el valor de un parámetro λ pasándola al segundo miembro. El sistema nos queda de la forma:

x yx y+ = −+ = −

⎫⎬⎭

2 12 2

λλ

que es un sistema de Cramer. Resolviendo:

x =

−−

=− − −

−=− +−

= −

1 22 2 1

1 22 1

1 2 2 23

3 33

1

λλ λ λ λ

λ( ) ( )

y =

−−

−=

− − −−

=

1 12 2 2

32 2 2 1

30

λλ λ λ( ) ( )

En consecuencia, la solución del sistema será:

xyz

= −==

⎧

⎨⎪

⎩⎪

10

λ

λ

y las infinitas soluciones del sistema depende de un parámetro. 2.-Resolver el sistema

x y zx y z

y z

− + =− + =− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

3 13 2 3

2 7 10

Las matrices de coeficientes y ampliada del sistema serán:

A =−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 33 1 20 2 7

A* =−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 3 13 1 2 30 2 7 10

225

Calculamos los rangos de ambas matrices: Rango(A):

1 13 1

1 3 2 0−−

= − + = ≠ ⇒ por lo menos r(A) = 2

Veamos si puede ser 3: Tomamos un menor de orden tres que coincide con la propia matriz y calculamos su valor

1 1 33 1 20 2 7

7 0 18 0 4 21 0−−−

= − + − − + + =

Por tanto, el r(A) = 2. Rango (A*): Puesto que al calcular el rango de A ya tenemos un menor de orden 2 distinto de cero, ampliamos al de orden 3. El que coincide con el determinante de la matriz A podemos evitarlo ya que sabemos que es nulo; entonces sustituimos la tercera columna por la de los términos independientes:

1 1 13 1 30 2 10

10 0 6 0 6 30 20 0−−−

= − + − − + + = ≠ ⇒ r(A*) = 3

En consecuencia, r(A) ≠ r(A*) ⇒ el sistema es incompatible y no tiene solución. 3.-Resolver el sistema

x y zx y zx y

− + = −− + = −+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

3 5 242 4

9

8

Las matrices del sistema serán:

A =−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 3 52 1 41 1 0

A* =− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 3 5 242 1 4 81 1 0 9

Estudiamos los rangos de las matrices asociadas al sistema: A simple vista podemos observar que el rango de la matriz A es, por lo menos, 2 ya que el menor principal de orden 2 es distinto de cero. Comprobamos el rango 3 calculando el determinante de la matriz de coeficientes:

226

1 3 52 1 41 1 0

0 12 10 5 4 0 1 0−− = − + + − − = − ≠

En consecuencia, el r(A) = 3. El rango de la matriz ampliada también sería tres, puesto que no podemos formar en ella menores de orden superior. En consecuencia, r(A) = r(A*) = 3 = número de incógnitas ⇒ el sistema es compatible y determinado y tiene solución única. Por tanto, es un sistema de Cramer que resolvemos directamente:

Ax =− −− − = −24 3 58 1 4

9 1 07 Ay =

−− =

1 24 52 8 41 9 0

2− Az =− −− − =

1 3 242 1 81 1 9

5

Entonces:

x = −−

=71

7 y = −−

=21

2 z =−

= −51

5

Ejercicios propuestos: Discutir y resolver los siguientes sistemas:

x y zx y zx y z

− − =+ − = −

− + + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

02 4 4

3 4 4

x zy z

x y z

− =+ =

+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

78

2 3 19

2 34 5

1

x y zx y zx z

− + =− + =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

35

−4

3

44

x yx y zx y z

− =+ − =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 32 52 3 4


− + =+ + =− + =− + =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

3 02 44 5 6 37 7 11 1

− + − = −− + − =

− − = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y zx y zx y z

2 3 28 27 0

1

2 3 4 12 0

3 22 5 9 7


+ − =− + =− + =+ − =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

x yx yx yx y

+ =− =+ =

− + =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

2 43 2 42 5

3 1

x y xx y zx y z

− + =+ − =− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 3 22 23 2

SISTEMAS DEPENDIENTES DE UNO O MAS PARÁMETROS

227

En determinadas ocasiones alguno de los coeficiente puede ser un parámetro “m” que toma valores en el conjunto de números reales. Según los valores que tome dicho parámetro el sistema puede ser compatible o no. La discusión de este tipo de sistemas está en determinar como es el sistema para cada valor del parámetro y podemos hacerla por cualquiera de los métodos de resolución vistos. Veamos algún ejemplo: π Discutir y resolver el sistema:

x yx yx my

+ =− =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 3

2 14 7

según los valores del parámetro m. Aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius: Consideremos las matrices del sistema:

Am

= −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 22 14

Am

* = −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 32 1 14 7

Puesto que la matriz A es de dimensión 3×2, su mayor rango podrá ser 2. La matriz A* es de dimensión 3×3 y su rango podrá ser 3. Los valores del parámetro "m" para los cuales el A* sea distinto de cero, harán que el sistema sea incompatible puesto que tendríamos r(A) = 2 y r(A* ) = 3. Para estudiar los valores que hacen A* ≠ 0 , es más cómodo ver cuales lo anulan:

Am

m m m* = − = − + + + − − = −1 2 32 1 14 7

7 8 6 12 28 5 15

Anulamos: 5m − 15 = 0 ⇒ m = 3. ¬ Si m ≠ 3 ⇒ r(A) = 2 y r(A* ) = 3 ⇒ el sistema será incompatible.

¬ Si m = 3 ⇒ r(A) = r(A* ) = 2 = número de incógnitas ⇒ el sistema es compatible y determinado.

Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones que nos dan el rango 2

y resolvemos el sistema resultante que será de Cramer:

x yx y+ =− =

⎫⎬⎭

2 32 1

228

x =−

−

=−−

=

3 22 11 22 1

55

1 y =−

=−−

=

1 32 1

555

1

y la solución sería x = 1 e y = 1.

Aplicando el método de Gauss, triangulizamos es sistema:

x yx yx my

x yy

m y

x yy

m y

+ =− =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇔ ← − ⋅

← − ⋅

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇔

+ =− = −

− = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇔

+ ==

− = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇔

2 32 14 7

2 35 5

8 5

2 31

8 5

Sustituimos: 2ª E 2ª E 2 1ª E 3ª E 3ª E 4 1ª E

( ) ( )

⇔← − − ⋅

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⇔+ =

=⋅ = − +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Sustituimos: 3ª E 3ª E (

m E

x yyy m

8 2

2 31

0 3) ª

Discusión: Observando el sistema triangulizado podemos ver que si (-m+3) es distinto de cero, tenemos una ecuación del tipo 0 = k, con k ≠ 0, y, por tanto, el sistema sería incompatible.

¬ Si −m + 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3 ⇒ Sistema incompatible. ¬ Si m = 3, no aparece ninguna ecuación del tipo anterior y el sistema es

COMPATIBLE; el sistema nos queda de la forma: x y

y+ =

=⎫⎬⎭

2 31

sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que es determinado y la solución única es x = 1 ; y = 1. En resumen:

¬ Si m ≠ 3 ⇒ Sistema incompatible ¬ Si m = 3 ⇒ Sistema compatible y determinado Solución única: x = 1 ; y = 1

Ejercicios. π Discutir los siguientes sistemas según los valores de los parámetros:

mx y zx y zx y z

+ + =− − =− − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

3 30

5 3 2 6

3 2 14 2

5 1

x y zx y zx y mz

− + =+ − =+ − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2

1

x y zmx y z m

x my z m

+ + =+ − = −+ + = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 02

3 2 ax y zx ay zx y az

+ + =+ + =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

111

x y z a

ax y a z ax ay z

+ + = −+ + − =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

11

1( )

( )( )

( ) ( )

a x y z aax a y z a

a x a z a

+ + + = −+ − + = −

+ + − = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 11 1

1 1

229

x y zx y z

mx y zx y z

+ + =+ − =− − =− + = −

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

22 3 8

12

x y zx y zx y mz

mx y m z m

+ − =+ − =+ − =

+ + + = −

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

33 4 5

32 2 2( ) 2

2 12 1

3

x yx y zx y mz n

+ =+ − =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

SISTEMAS HOMOGÉNEOS. PROPIEDADES MÁS IMPORTANTES. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es HOMOGÉNEO si todos sus términos independientes son nulos, es decir, tiene la forma:

a x a x a x a xa x a x a x a x

a x a x a x a x

a x a x a x a x

n n

n n

i i i in n

m m m mn n

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

00

0

0

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

En notación matricial nos queda A X⋅ = 0 y en forma vectorial

A x A x A xn n1 1 2 2 0⋅ + ⋅ + + ⋅ = PROPIEDADES. ∂ Los sistemas lineales homogéneos siempre tienen solución ya que siempre admiten

la solución llamada SOLUCION TRIVIAL o NULA porque es solución de todo sistema homogéneo.

( , ,0 0 ,0) R n∈

• De acuerdo con la discusión general de sistemas, un sistema homogéneo es siempre

compatible, ya que si aplicamos el teorema de Rouché-Fröbenius siempre se verifica que puesto que los términos independientes son todos nulos. Sin embargo, se suelen considerar compatibles, solamente, los sistemas homogéneos que tienen soluciones distintas de la trivial.

r A r A( ) ( )*=

Según esto, la discusión de un sistema homogéneo nos quedará de la siguiente forma:

¬ Si r(A) = n, el sistema será incompatible y sólo admite la solución trivial. ¬ Si r(A) < n, el sistema será compatible e indeterminado y, por tanto, admite infinitas

soluciones distintas de la trivial. Como consecuencia de esta discusión se deduce que: ÷ La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales

homogéneo tenga solución distinta de la trivial es que el rango de la matriz de coeficientes A sea menor que el número de incógnitas.

230

La condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal homogéneo, de igual número de ecuaciones que de incógnitas, tenga soluciones distintas de la trivial es que el determinante de la matriz de coeficientes sea nulo.

≠ Si "s" y "t" son soluciones del sistema homogéneo, entonces "s + t" también es solución

del mismo sistema. ≡ Si "s" es una solución del sistema homogéneo y k es un número real no nulo, entonces

"k.s" también es solución del sistema homogéneo. Ejemplo 1. Resolver el siguiente sistema homogéneo

x y zx y zx y z

+ − =− − =− − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 02 33 2 0

0

POR GAUSS: Triangulizamos el sistema

x y zx y zx y z

x y zy zy z

+ − =− − =− − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔ ← − ⋅← − ⋅

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔−

−− + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇔2 0

2 3 03 2 0

2 03 05 5 0

Sustituimos: 2ª E 2ª E 2 1ª E 3ª E 3ª E 3 1ª E

+ =

+ =

⇔ ← ⋅← ⋅

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇔

+ − =− + =− + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇔ ← −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇔

Sustituimos: 2ª E 5 2ª E 3ª E E

Sustituimos: 3ª E 3ª E 2ª E y simplificamos la 2ª E3 3

2 015 5 015 15 0ª

x y zy zy z

⇔+ − =− + =

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x y zy z

z

2 03 0

10 0

Nos quedan 3 ecuaciones no triviales y 3 incógnitas ⇒ el sistema es compatible y determinado y tiene solución única:

x = 0 y = 0 z = 0

POR ROUCHÉ-FRÖBENIUS: Escribimos la matriz de coeficientes del sistema

A =−

− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 22 1 33 2 1

A simple vista podemos observar que existen menores de orden dos distintos de cero, por lo que probamos el menor de orden tres:

231

A =−

− −− −

= − + − − + = − ≠1 1 22 1 33 2 1

1 9 8 6 6 2 10 0

Por tanto, el r(A) = 3 = número de incógnitas ⇒ el sistema es compatible y determinado: sólo tenemos la solución trivial:

x = 0 y = 0 z = 0

Ejemplo 2. Resolver el siguiente sistema homogéneo:

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

02 3 0

2 3 4 0

POR GAUSS: Triangulizamos el sistema

x y zx y zx y z

x y zy zy z

x y zy z

+ + =+ + =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇔ ← −

← − ⋅

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇔

+ + =+ =+ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇔

+ + =+ =

⎧⎨⎩

Sustituimos: 2ª E 2ª E 1ª E 3ª E 3ª E 2 1ª E

02 3 0

2 3 4 0

02 02 0

02 0

Nos quedan dos ecuaciones no triviales con tres incógnitas ⇒ el sistema es compatible e indeterminado. Para obtener la solución hacemos z = λ (un parámetro real) y nos queda:

yx y

yx x

+ =+ + =

⎫⎬⎭

⇔= −− + = ⇒ − = ⇒ =

⎧⎨⎩

2 00

22 0 0

λλ

λλ λ λ λ

x

Por tanto, la solución del sistema es xyz

== −=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

λλλ

2 donde λ ∈ R

POR ROUCHÉ-FRÖBENIUS: Matriz del sistema:

A =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 11 2 32 3 4

Rango de la matriz: el menor de orden dos formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas es distinto de cero, por lo que el rango de A por lo menos es dos. Probamos si puede ser tres:

A r= = + + − − − = ⇒1 1 11 2 32 3 4

8 6 3 4 9 4 0 2 ( )A =

232

En consecuencia nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y pasamos la tercera incógnita al segundo miembro, quedándonos:

{ }x y zx y z

zx yx y

+ = −+ = −

⎫⎬⎭⇔ = ⇔

+ = −+ = −

⎧⎨⎩

Haciendo

2 3 2 3

λλλ

que resolvemos por Cramer:

x =

−−

=− +

=

λλ λ λ

λ

13 21 11 2

2 31

y =

−−

= − + = −

11 3

13 2

λλ

λ λ λ

Por tanto, la solución del sistema será:

xyz

== −=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

λλλ

2 donde λ ∈ R

Observaciones sobre el conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo.

(Método de Gauss). ∂ Si al triangulizar un sistema lineal homogéneo por el método de Gauss obtenemos el

mismo número de ecuaciones que de incógnitas el sistema es imcompatible y sólo tiene la solución trivial.

• Si el número de ecuaciones es una unidad inferior al de incógnitas, el sistema es

compatible indeterminado. El conjunto de soluciones depende de un parámetro. ÷ Si el número de incógnitas es n y r el número de ecuaciones no triviales que nos quedan,

el sistema es compatible e indeterminado y el conjunto de soluciones depende de "n − r" parámetros.

EJERCICIOS

2 5 3 02 0

0

x y zx yx y z

− + =− =

− + − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x y zx y zx y z

+ − =− + =+ − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 3 02 23 0

0− − + =− − + =

− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 14 6 07 3 0

2 3 0

x y zx y zx y z

x yx zy z

+ =+ =+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

000

2 0

3 02 11 0

2 3 15 0

x y zx zx y zx y z

+ − =+ =

+ − =+ − =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

x y z tx y zx y z tx y z t

− + + =− − =+ − − =+ − − =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

2 03 04 2 2 0

0

x y z tx y z t+ − − =+ + + =

⎫⎬⎭

2 3 02 3 4 5 0

233

2 40

13 0

x ky zx y kz

kx y z

− + =+ + =− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

0

0 =

x ky kzx k y z

kx y z

+ − =− − − =− + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

012 2 2 0

2 0( )

6 11 2 07 2 4 04 10 6 0

x y kzx y zx y z

+ − =− − =+ − =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

ax y z

a x y azx a y

+ − =+ + − =

+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

01 0

1 0( )

( )

x y azx y azx y z

+ + =+ + =+ + =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

03 2 4 02 3

( )( )

a x y zx a y azx ay z

− − + =+ − − =+ −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 02 1 0

0

Veamos como podemos estudiar la dependencia e independencia lineal de un conjunto de vectores basándonos en los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, { }B u u un= 1 2, , , una base del mismo y { un conjunto de m vectores de los que tratamos de estudiar su dependencia lineal.

}v v vm1 2, , ,

Consideremos que las coordenadas de los vectores v v vm1 2, , , respecto de la base B sean:

v a a av a a a

v a a a

n

n

m m m mn

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

==

=

( , , )( , , )

( , ,

, ,

, )

Teniendo en cuenta las definiciones de dependencia e independencia lineal, si

λ λ λ λ λ λ1 1 2 2 1 20 0⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ = = =v v vm m m + = entonces los vectores son linealmente independientes, y en caso contrario, si alguno de los

es distinto de cero, los vectores serán linealmente dependientes. λ i

Operando con las coordenadas de los vectores, tendremos: λ λ λ1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 0 0 0⋅ + ⋅ + ⋅ =( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , )a a a a a a a a an n m m m mn , , + ,

de donde:

a a aa a a

a a a

m m

m m

n n mn m

11 1 21 2 1

12 1 22 2 2

1 1 2 2

00

0

⋅ + ⋅ + + ⋅ =⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

λ λ λλ λ λ

λ λ λ

que es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo de n ecuaciones con m incógnitas

. λ λ λ1 2, , , m

Aplicando la discusión de sistemas homogéneos, tendremos: a) Si tenemos soluciones distinta de la trivial ( , , ) ( , , )λ λ λ1 2 0 0 0 , m ,≠ , el rango de la matriz de coeficientes tiene que ser menor que el número de incógnitas

234

rango

a a aa a a

a a a

m

m

m

n n mn

11 21 1

12 22 2

1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟<

y los vectores serán linealmente dependientes. v v vm1 2, , , b) Si

rango

a a aa a a

a a a

m

m

m

n n mn

11 21 1

12 22 2

1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟=

entonces el sistema homogéneo será incompatible y sólo tendrá la solución trivial, es decir que λ λ y, por tanto, los vectores λ1 2 0= = = = m v v vm1 2, , , serán linealmente independientes. Volvemos a llegar al mismo resultado del tema de matrices dónde el rango de una matriz nos daba el número de vectores linealmente independientes: En consecuencia, para estudiar la dependencia e independencia lineal de un conjunto de vectores estudiamos el rango de la matriz formada con las coordenadas de los vectores: ¬ Si el rango es menor que el número de vectores, éstos serán linealmente dependientes. ¬ Si el rango es igual al número de vectores, éstos son linealmente independientes. Con todo esto simplificamos el proceso visto en el tema de espacios vectoriales. Ejemplo: π Estudiar la dependencia e independencia lineal de los vectores:

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )3 2 1 2 1 3 11 4 1 0 7− − Resolución: Formamos la matriz correspondiente con las coordenadas de los vectores y estudiamos su rango:

3 2 1 12 1 1 01 3 4 7− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Vemos a simple vista que el menor principal de orden dos es distinto de cero y, por tanto, por lo menos el rango de la matriz es dos. Veamos si puede ser tres:

3 2 12 1 11 3 4

12 2 6 1 9 16 0− −

= − − + + − + =

235

3 2 12 1 01 3 7

21 0 6 1 0 28 0−

= + + + − + =

Todos los menores de orden tres que hemos podido formar en la matriz son nulos y, por tanto, el rango de la matriz es dos y los vectores son linealmente dependientes. El ser dos el rango de la matriz, significa que sólo tenemos dos vectores linealmente independientes en nuestro conjunto: nos quedaremos con los vectores que nos han dado el menor de orden dos distinto de cero.

( , , ), ( , , )3 2 1 2 1 3−

ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS. Sabemos que un subespacio vectorial es un espacio vectorial dentro de otro espacio vectorial y como tal podrá tener su sistema generador, su base, etc. Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, { }B u u un= 1 2, , , una base del mismo y W el subespacio vectorial generado por los vectores cuyas coordenadas respecto de la base B son:

v v vm1 2, , ,

v a a av a a a

v a a a

n

n

m m m mn

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

==

=

( , , )( , , )

( , ,

, ,

, )

Cualquier vector x x x x Wn( , , )1 2 , ∈ podrá escribirse como combinación lineal de los vectores del sistema generador de W de la forma:

x v v m m= v⋅ + ⋅ + ⋅λ λ λ1 1 2 2 + Operando con las coordenadas de los vectores, tendremos: ( , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x x x a a a a a a a a an n n m m m1 2 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2= mn⋅ + ⋅ + ⋅λ λ λ, , + ,

m

λλ

λ

de donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

x a a ax a a a

x a a a

m m

m m

n n n mn

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

= ⋅ + ⋅ + + ⋅= ⋅ + ⋅ + + ⋅

= ⋅ + ⋅ + + ⋅

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

λ λλ λ

λ λ

que recibe el nombre de ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial W.

236

Si en estas ecuaciones fuésemos dando valores a los distintos parámetros, para cada uno de ellos obtendríamos en vector del subespacio W. El problema que se nos plantea en este momento es tratar de eliminar los parámetros del sistema anterior. Consideremos las matrices del sistema:

A

a a aa a a

a a a

m

m

n n mn

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

11 21 1

12 22 2

1 2

A

a a a xa a a x

a a a x

m

m

n n mn n

* =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

11 21 1 1

12 22 2 2

1 2

Si el subespacio W es no vacio, habrá algún vector x W∈ , lo que nos indicaría que el

sistema tendría que ser compatible y, por el teorema de Rouché-Fröbenius, se verificará que rango A rango A( ) ( )*=

Si rango A r( ) = entonces, tiene que existir un menor no nulo de orden r en la matriz A

Δ r

r

r

r r rr

a a aa a a

a a a

= ≠

11 21 1

12 22 2

1 2

0

y todos los de orden superior, r + 1, serán nulos. Para que el sistema sea compatible (tenga solución) se tendrá que verificar que el

, lo que podemos conseguir anulando todos los menores de orden r + 1 que se puedan formar añadiendo al menor de orden r distinto de cero las sucesivas filas y la columna de las xi:

rango A r( )* =

a a x

a a xa a x

r

r rr r

r r r r

11 1 1

1

1 1 1 1

0

, ,+ + +

= ...........

a a x

a a xa a x

r

r rr r

n rn n

11 1 1

1

1

0=

con lo que obtenemos un conjunto de n − r ecuaciones que recibe el nombre de ecuaciones implícitas o cartesianas del subespacio vectorial W. Desarrollando los determinantes anteriores, las ecuaciones pueden escribirse de la forma:

b x b x b xb x b x b x

b x b x b x

n n

n n

n r n r n r n n

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

00

0

⋅ + ⋅ + + ⋅ =⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪− − −

........................................................

, , ,

Ejemplo: • Eliminar los parámetros λ, μ y ν en el sistema de ecuaciones:

237

xyzt

= − += −= + + += − −

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

22

13

λ μλ μλ μ ν

μ ν

Dejamos el sistema en función de las incógnitas que son los parámetros:

− + = −− =+ + = −− − = −

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

λ μλ μλ μ ν

μ ν

xyzt

22

13

y escribimos las matrices del sistema:

A =

−−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 1 02 1 01 1 10 1 1

A

xy

zt

* =

− −−

−− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 1 0 22 1 01 1 1 10 1 1 3

Para que el sistema sea compatible se tendrá que verificar que , por lo que vamos a estudiar el rango de la matriz A: rango A rango A( ) ( )*=

Al ser −

−= − ≠

1 12 1

1 0 por lo menos el rango de A será 2, pasando a comprobar

si puede ser 3: −

− = − ≠1 1 0

2 1 01 1 1

1 0

Al ser distinto de cero, el rango(A) = 3 y no puede ser mayor puesto que no podemos formar menores de orden superior. En consecuencia, rango A( ) = 3 Para que rango sea 3, el único menor de orden cuatro que podemos formar en ella tiene que ser nulo. Por tanto:

A( * )

− −−

−− − −

=

1 1 0 22 1 01 1 1 10 1 1 3

0

xy

zt

Desarrollando este determinante, obtenemos:

− −−

−− − −

= ⇒← +

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

− −−

−+ −

= ⇒

1 1 0 22 1 01 1 1 10 1 1 3

04 4 3

1 1 0 22 1 01 1 1 11 0 0 4

0

xy

zt

SustituimosF F F

xy

zz t

ª ª ª

238

− −

−−

+ −

= ⋅− −

−+ −

=← +

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

1 1 0 22 1 01 1 1 11 0 0 4

11 1 2

2 11 0 4

2 2 1

xy

zz t

xy

z y

SustituimosF F F

:ª ª ª

=− −

+ −+ −

= − ⋅+ −+ −

= − + − − − + =1 1 2

1 0 21 0 4

11 21 4

4 2x

x yz t

x yz t

z t x y( ) 0

En consecuencia la ecuación implícita resultante de la eliminación de los parámetros es: x y z t+ − − + =2 0

239

ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO.

Definimos un VECTOR ORIENTADO (FIJO) del espacio como una pareja ordenada de puntos (A,B) y lo representaremos por AB .

A

B A recibe el nombre de ORIGEN del vector.

B recibe el nombre de EXTREMO del vector

Si los dos extremos coinciden se dice que el vector fijo es nulo: ,......,, CCBBAA El conjunto de vectores fijos lo representaremos por F3 .

Todo vector fijo queda determinado por:

MÓDULO: es la longitud del segmento determinado por los dos puntos. Lo representaremos por .

DIRECCION: es la línea que pasa por los dos puntos. Dos vectores tienen igual dirección si las rectas que los contienen son paralelas.

SENTIDO: es el recorrido de la recta cuando nos trasladamos del origen al extremo del vector.

Dos vectores tienen el mismo sentido cuando tienen la misma dirección y al unir los orígenes, los vectores quedan en el mismo semiplano.

Los vectores nulos tienen todos módulo cero y admitiremos que tienen la misma dirección y sentido.

VECTORES EQUIVALENTES O EQUIPOLENTES. Dos vectores fijos se dice que son equivalentes o equipolentes cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Si CDAB y son equivalentes, se escribe CDAB ≈ Geométricamente, si CDAB ≈ al unir los orígenes y los extremos entre sí, se forma un paralelogramo:

C

B

D

A

240

Esta relación de equivalencia permite clasificar el conjunto de vectores fijos en clases

de equivalencia que contienen todos los vectores equivalentes entre sí. Cada una de estas clases en que está clasificado el conjunto F3 recibe el nombre de VECTOR LIBRE.

En consecuencia, un vector libre es un conjunto de vectores fijos todos ellos

equivalentes entre sí y se representa por [ ]ABu = , indicando que AB es un representante de todos los vectores orientados de la clase.

Todos los vectores fijos nulos forman el vector libre cero (nulo). Un representante es AA y se designa por 0

El conjunto de vectores libres lo representamos por V3 . MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO DE UN VECTOR LIBRE.

Todos los vectores fijos que pertenecen a una misma clase son equivalentes entre sí¡, es decir que todos tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Teniendo en cuenta esto, se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre no

nulo al módulo, dirección y sentido de uno cualquiera de los vectores de la clase.

El vector libre 0 tiene por módulo 0 y carece de dirección y sentido. Los vectores BAAB y tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero los

sentidos son opuestos. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS VECTORES LIBRES.

Los vectores fijos del espacio tienen su origen y extremo en puntos fijos del espacio. A diferencia de éstos, los vectores libres se pueden aplicar en cualquier punto que se desee, simplemente con elegir el representante de la clase adecuado.

Esta propiedad podemos enunciarla de la siguiente forma:

Si [ ]ABu = es un vector libre del espacio y O un punto cualquiera del espacio, existe un único representante de este vector que tiene su origen en el punto O.

u

u

u

u

uO

O

'O

A

B

241

ESTRUCTURA DE V3.

En el conjunto de vectores libres se definen las siguientes operaciones: 1. SUMA DE VECTORES LIBRES.

Dados dos vectores libres u y v del espacio, se llama SUMA de u y v al vector libre que se obtiene de la siguiente forma: Se considera un punto arbitrario O del espacio y se toma un representante de con origen en O, u OA . A continuación, se toma AB como representante de ; el vector suma es el que tiene por representante el vector v OB , que resulta de unir el origen del primer vector con el xtremo del último vector sumando. e

[ ] [ ] [ ]OBABOAvu =+=+

B

O A

El vector suma de u y v se representa por u v+ .

Esta suma así definida verifica las siguientes propiedades:

a. Asociativa: )( ) (u v w u+ v w+ = + + b. Conmutativa: u v v u+ = + c. Elemento neutro: u u+ = +0 0 d. Elemento simétrico: si [ ] [ ]BAuABu =−⇒=

Con todo esto, el conjunto de vectores libres respecto de la operación SUMA tiene

estructura de GRUPO CONMUTATIVO. 2. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR LIBRE

Sea un vector libre, no nulo, y k un número real no nulo. u Se llama producto de un número real por un vector, y se representa por , al vector

que tiene las siguientes características: k u⋅

Si o k = 0, el producto u = 0 k u⋅ es el vector 0 .

vu +

u

v

u

v

uu3

u2−

Módulo: k u k u⋅ = ⋅ Dirección: la misma que uSentido:

el mismo que , si es positivo el opuesto de , si es negativo

u ku k

⎧⎨⎩

242

Esta operación verifica las siguientes propiedades: a. Distributiva respecto de la suma de vectores: k u v k u k v⋅ + = ⋅ + ⋅( ) b. Distributiva respecto de la suma de números reales: ( ' ) 'k k u k u k u+ ⋅ = ⋅ + ⋅ c. Pseudoasociativa o asociativa mixta: k k u k k u⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ' ) ( ' ) d. El elemento unidad de R también es elemento unidad para esta operación:

1⋅ =u u .

El conjunto de vectores libres V3 con las dos operaciones definidas anteriormente, verificando las propiedades enunciadas, tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL

Puesto que V3 tiene estructura de espacio vectorial podemos hablar en él de conceptos como la dependencia e independencia lineal de vectores, sistema de generadores, base, dimensión, etc. BASE DE V3.

"Tres vectores libres u u u1 2 3, , , no nulos, que no estén en el mismo plano (no sean coplanarios) forman una base de V3 ". En efecto: • Son linealmente independientes ya que si fueran l.d. uno se podría expresar como

combinación lineal de los otros dos y, en consecuencia, sería coplanario con ellos, en contra de la hipótesis.

• Forman un sistema generador de V3 Hemos de ver que cualquier vector u de V3 lo podemos expresar como combinación

lineal de ellos. Tomemos representantes de cada uno de los vectores con origen en un punto

cualquiera O: 321 ,, OUOUOU respectivamente.

Z

Y

X

O

U

'U

1'U

2'U

3'U

243

Si proyectamos el vector sobre los ejes, obtenemos los puntos ; los

vectores

u U U U1 2' ', , 3

'

'3

'2

'1 ,, OUOUOU son proporcionales a los vectores u u u1 2 3, , por tener la misma

dirección que ellos y se podrán expresar de la forma:

1'1 uxOU ⋅= 2

'2 uyOU ⋅= 3

'3 uzOU ⋅=

Por otra parte, tenemos:

[ ] ⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡== '

3'2

'1

'3

''' OUOUOUOUOUUUOUOUu

⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ u x u y u z u1 2 3

En consecuencia, los vectores u u u1 2 3, , generan el espacio vectorial V3 y forman una

base del mismo. La dimensión de V3 será tres puesto que cualquier base del mismo está formada por

tres vectores. Los números reales x, y, z que nos permiten expresar el vector como c.l. de los

vectores de la base reciben el nombre de coordenadas del vector respecto de la base u

{B u u u= }1 2 3, , y éstas son únicas. Esto nos permite establecer una aplicación lineal entre los espacios vectoriales V3 y R3

identificando un vector libre con una terna de números reales (sus coordenadas) y transformando toda relación geométrica de V3 en una relación algebraica en R3.

V3 R3 u V∈ 3 (x,y,z)∈ R3 u v V+ ∈ 3 (x,y,z) +(x’,y’,z’)∈ R3 λ ⋅ ∈u V3 λ⋅(x,y,z)∈ R3

En física, y con frecuencia en matemáticas, se identifican los vectores numéricos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) con los vectores libres i j k, , respectivamente. Los primeros constituyen la BASE CANÓNICA en R3 y los segundos la BASE CANÓNICA en V3. ESPACIO AFÍN.

La propiedad fundamental de los vectores libres nos permite definir una aplicación biyectiva entre los puntos del espacio ordinario E3 y los vectores de V3 de la siguiente forma:

Fijado un punto O arbitrario de E3 que llamaremos ORIGEN, definimos una

aplicación de E3 en V3 (biyectiva) donde a cada punto P E∈ 3 le hacemos corresponder el

vector libre [ ]OPp = que llamaremos VECTOR DE POSICIÓN del punto P.

[ ] 3fijo

3

3)(biyectiva fijo

3

VOPpEP

VEO

O

∈=⎯⎯ →⎯∈

⎯⎯⎯⎯ →⎯

244

Llamamos ESPACIO AFÍN a la terna (E3 , V3 , f) donde: • E3 es el conjunto de puntos del espacio ordinario. • V3 es el espacio vectorial de los vectores libres. • f es la aplicación que asocia a cada par de puntos (P,Q) del espacio el

vector libre que tiene por representante el vector fijo PQ .

[ ]PQQP

VEE f

),(

333

→

⎯→⎯×

Esta aplicación f verifica las siguientes propiedades:

1. [ ] [ ]QPPQPQfQPf −=⇒−= ),(),(

2. Propiedad triangular: ∀ ∈P Q R E, , 3 se verifica que

[ ] [ ] [ ] 0 0),(),(),( =++⇒=++ RPQRPQPRfRQfQPf Esta relación recibe el nombre de RELACIÓN DE CHARLES.

3. Cualquiera que sea el punto P E∈ 3 , y cualquiera que sea el vector u V∈ 3 ,

existe un único punto Q E∈ 3 tal que [ ] uPQQPf ==);( .

El espacio V3 recibe el nombre de espacio vectorial asociado al espacio afín. La dimensión del espacio afín es la misma que la dimensión del espacio vectorial

asociado. En nuestro caso, la dimensión del espacio afín E3 es 3. COORDENADAS DE UN PUNTO EN EL PLANO AFIN.

Fijado un punto O arbitrariamente, que llamamos ORIGEN, tenemos definida una aplicación biyectiva entre E3 y V3 de la forma:

fijo (biyectiva)E VO

3 3⎯ →⎯⎯⎯⎯ [ ] 3tiva)fijo(biyec

3 VOPpEP O ∈=⎯⎯⎯⎯ →⎯∈

Este vector [ ]OPp = que le hacemos corresponder al punto P recibe el nombre de VECTOR DE POSICIÓN del punto.

Fijada la base de V3, tenemos otra aplicación biyectiva entre los vectores y sus

coordenadas:

{ }V3B fija⎯ →⎯⎯ R3 ⇔ { }p V x y z∈ ⎯ →⎯⎯ ∈3

B fija ( , , ) R3

Componiendo estas dos aplicaciones biyectivas, obtenemos otra aplicación biyectiva

de E3 en R3 de la forma:

245

fijo (biyectiva)E VO

3 3⎯ →⎯⎯⎯⎯ [ ] 3tiva)fijo(biyec

3 VOPpEP O ∈=⎯⎯⎯⎯ →⎯∈

R3 (x,y,z) ∈ R3

En consecuencia, a todo punto P E∈ 3 le podremos asociar unas coordenadas

(x,y,z)∈R3 tales que p x u y u z u= ⋅ + ⋅ + ⋅1 2 3 . Por tanto, un punto y su vector de posición tienen las mismas coordenadas.

El punto O y la base B fijados en las dos aplicaciones definidas anteriormente determinan las coordenadas de los puntos y los vectores, es decir nos sirven de referencia para fijar coordenadas en el espacio afín.

Se llama SISTEMA DE REFERENCIA AFÍN del espacio E3 al par R(O,B) donde O es un punto arbitrario que se elige como origen y B es una base del espacio vectorial asociado V3.

{ }321 ,, ; uuuOR = Las coordenadas de un punto P cualquiera respecto del sistema de referencia

considerado en E3 son las mismas que las de su vector de posición p respecto de la base de dicho sistema de referencia:

p x u y u z u= ⋅ + ⋅ + ⋅1 2 3 ⇔ P = (x,y,z)

De ahora en adelante, en el espacio afín E3, supondremos conocida la referencia R={O ; } salvo que se diga algo en contra. i j k, , COORDENADAS DE UN VECTOR DEFINIDO POR DOS PUNTOS.

Sean y dos puntos del espacio afín E3 referidos al sistema de referencia R.

A x y z( , , )1 1 1 B x y z( , , )2 2 2

Estos dos puntos junto con el origen O forman una terna de puntos del espacio afín y

aplicando la propiedad de Charles tenemos:

Si tenemos en cuenta que un punto y su vector de posición tienen las mismas

coordenadas, las coordenadas del vector AB nos vendrán dadas por:

OAOBABOBABOA −=⇒=+

o bien a b AB− =

en función de los vectores de posición de los puntos

A B

ab

O

246

),,(),,(),,( 121212111222 zzyyxxzyxzyxAB −−−=−= Ejemplos: • Hallar las coordenadas del vector determinado por los puntos A(1,2,3) y B(3,−2,4)

)1,4,2()3,2,1()4,2,3( −=−−=AB • Dados los puntos A(1,2,3), B(3,−2,5) y C(−1,0,1), hallar las coordenadas del punto D para que los vectores CDyAB sean equivalentes.

Suponiendo que las coordenadas del punto D son (x,y,z), calculamos las coordenadas

de los vectores CDyAB :

)2,4,2()3,2,1()5,2,3( −=−−=AB

)1,,1()1,0,1(),,( −+=−−= zyxzyxCD Para que sean equivalentes sus coordenadas tienen que ser iguales. Luego:

)3,4,1(),,(12

412

)1,,1()2,4,2( −=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==−

+=⇒−+=− zyxD

zyx

zyx

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.

El problema planteado es obtener las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las coordenadas de los extremos. Sean A y B los extremos de un segmento y M su punto medio.

Si las coordenadas de los puntos son ),,(y ),,( ),,,( 222111 mmm zyxMzyxBzyxArespectivamente, sustituyendo en la expresión vectorial anterior, tenemos:

[ ]),,(),,(21),,( 222111 zyxzyxzyx mmm +⋅= ⇒

)(21 )(

21 )(

21 212121 zzzyyyxxx mmm +⋅=+⋅=+⋅=⇒

Entonces se verifica que: ABAM ⋅=21

Si representamos por mba , , los vectores de posición de los puntos A, B y M, respectivamente, tenemos:

)(21

)(21 )(

21

abm

abamabam

+⋅=⇒

⇒−⋅+=⇒−⋅=−

A M

B

am

b

O

247

Por el mismo procedimiento podríamos dividir un segmento en n partes iguales. EJEMPLOS: • Calcular el punto medio del segmento determinado por los puntos A(1,2,3) y B(3,0,5).

[ ] Mm ≡=⋅=+⋅= )4,1,2()8,2,4(21)5,0,3()3,2,1(

21

• Sabiendo que las coordenadas del punto medio M del segmento son (1,2,3) y que las coordenadas B son (3,1,2), hallar las coordenadas de A. Suponiendo que las coordenadas del punto A son (x,y,z), tendremos:

[ ])2,1,3(),,(21)3,2,1( +⋅= zyx

de donde:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⇒+⋅=

=⇒+⋅=

−=⇒+⋅=

4 )2(213

3 )1(212

1 )3(211

zz

yy

xx

Por tanto, las coordenadas del punto A son (−1,3,4). LA RECTA: ECUACIONES DE LA RECTA.

Una recta en el espacio afín E3 nos viene determinada por:

•Un punto A y un vector u (vector director) no nulo. •Dos puntos A y B de la misma.

Se llama recta determinada por el punto A y el vector libre u , no nulo, al conjunto de puntos

tales que

3EX ∈

RuAX ∈⋅= λλ ,,

{ }RuAXEXuAr ∈⋅=∈= λλ ,,/),( 3 Teniendo en cuenta que axAX −= , la condición anterior nos queda de la siguiente forma:

R ,, ∈⋅+=⇒⋅=− λλλ uaxuax

A

Bu

X

x

O

a

b

que recibe el nombre de ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.

248

Si AB es un representante del vector libre u , la ecuación anterior nos queda de la siguiente manera:

R siendo )( ∈−⋅+= λλ abax que también es la ecuación vectorial de la recta (recta que pasa por los puntos A y B).

El punto A recibe el nombre de PUNTO BASE de la recta y el vector u , VECTOR

DIRECCIÓN (VECTOR DIRECTOR) de la recta.

Si las coordenadas de los puntos A y B son respectivamente y las del vector director

),,(y ),,( 222111 zyxzyx),,( 321 dddu , sustituyendo en la ecuación vectorial y operando,

obtenemos: Por una parte:

R

),,(),,(),,(

31

21

11

321111 ∈⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+=⋅+=⋅+=

⇒⋅+= λλλλ

λdzzdyydxx

dddzyxzyx (1)

que reciben el nombre de ECUACIONES PARAMÉTRICAS de la recta determinada por el punto A y el vector u .

Por otra:

(2) R )( )( )(

),,(),,(),,(

121

121

121

121212111 ∈⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⋅+=−⋅+=−⋅+=

⇒−−−⋅+= λλλλ

λzzzzyyyyxxxx

zzyyxxzyxzyx

que son las ECUACIONES PARAMÉTRICAS de la recta que pasa por dos puntos: A y B.

Si en las ecuaciones paramétricas (1), despejamos el parámetro λ, nos queda:

3

1

2

1

1

1

3

1

2

1

1

1

dzz

dyy

dxx

dzz

dyy

dxx

−=

−=

−⇒

⇒−

=−

=−

= λλλ

que recibe el nombre de ecuación de la recta en FORMA CONTINUA.

Operando de la misma forma en las ecuaciones paramétricas (2) obtenemos:

249

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

zzzz

yyyy

xxxx

−−

=−−

=−−

⇒

⇒−−

=−−

=−−

= λλλ

que recibe el nombre de ecuación de la recta que pasa por dos puntos en FORMA CONTINUA.

Estas expresiones de la ecuación de la recta en forma continua tienen sentido aún cuando uno o dos denominadores sean nulos.

Si en la ecuación continua de la recta consideramos el vector dirección variable, obtendremos el conjunto de rectas de E3 que pasan por el punto . Este conjunto de rectas de E3 que pasan por un punto A dado recibe el nombre de RADIACION DE RECTAS DE BASE EL PUNTO A.

),,( 111 zyxA

Un punto es incidente con una recta o una recta pasa por un punto cuando el punto

pertenece a la recta. La condición necesaria y suficiente para que un punto pertenezca a una recta es que

las coordenadas del punto verifiquen la ecuación de la recta. Alineación de puntos. Tres o más puntos están alineados cuando pertenecen a la misma recta. "Si los puntos están alineados, los vectores nAAAA ,,,, 321 … nAAAAAA 13121 ,,, … tienen la misma dirección, es decir, son proporcionales". EJEMPLOS: • Encontrar las ecuaciones de los ejes coordenados.

i

k

O j

Y

Z EJE OX: Recta que pasa por O y tiene por vector dirección )0,0,1(i : Forma vectorial:

)0,0,1()0,0,0(),,( ⋅+= λzyx F. Paramétrica: 0 , 0 , === zyx λ

F. continua: 001zyx

==

X

250

EJE OY: Recta que pasa por O y tiene por vector dirección )0,1,0(j :

Forma vectorial: )0,1,0()0,0,0(),,( ⋅+= λzyx F. Paramétrica: 0 , , 0 === zyx λ

F. continua: 010zyx

==

EJE OZ: Recta que pasa por O y tiene por vector dirección )1,0,0(k :

Forma vectorial: )1,0,0()0,0,0(),,( ⋅+= λzyx F. Paramétrica: λ=== zyx , 0 , 0

F. continua: 100zyx

==

• Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,2,3) y tiene por dirección el vector

. )3,1,2( −u Forma vectorial: )3,1,2()3,2,1(),,( −⋅+= λzyx

Forma paramétrica:

Rzyx

∈⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=−=+=

λλλλ

33

2 21

Forma continua: 3

312

21 −

=−−

=− zyx

• Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos . )1,1,3(y )3,2,1( −BA

El vector director de la recta nos viene determinado por los puntos A y B. Entonces:

)2,3,2()3,2,1()1,1,3( −−=−−== ABu

Las ecuaciones de la recta serán: F. vectorial: )2,3,2()3,2,1(),,( −−⋅+= λzyx Forma paramétrica:

R 2332

21∈

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−=+=

λλλλ

zyx

Forma continua: 23

32

21

−−

=−−

=− zyx

251

EL PLANO: ECUACIONES.

Consideremos un punto A y dos vectores libres vu y linealmente independientes.

Teniendo en cuenta los representantes de los vectores vu y , el plano afín es el

conjunto de puntos 3EX ∈ tales que el vector AX se puede expresar como combinación

lineal de los vectores ACAB y (plano determinado por tres puntos no alineados A, B y C).

{ }ACABAXEXCBA ⋅+⋅=∈= μλπ /),,( 3

Si consideramos los vectores de posición de los puntos, tendremos:

axAX −= abAB −= acAC −=

y sustituyendo en las condiciones anteriores, nos queda:

R, donde ∈⋅+⋅+=⇒⋅+⋅=− μλμλμλ vuaxvuax o bien : R, ,),()( )()( ∈−⋅+−⋅+=⇒−⋅+−⋅=− μλμλμλ acabaxacabax

Cualquiera de estas ecuaciones recibe el nombre de ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO. Si las coordenadas de los puntos son

y las de los vectores ),,(y ),,( ),,,( ),,,( 333222111 zyxCzyxBzyxAzyxX ),,( 321 uuuu y ),,( 321 vvvv respectivamente, entonces:

),,( 111 zzyyxxaxAX −−−=−=

),,( 121212 zzyyxxabAB −−−=−=

π ABC X

u

v

ab

x

O

Sean ACAB y dos representantes de vu y .

Se llama PLANO AFÍN determinado por el punto A y los vectores u vy al conjunto de puntos de E3 tales que el vector AX se pueda expresar como combinación lineal de los vectores u vy

{ }RvuAXEXvuA ∈⋅+⋅=∈= μλμλπ , ,, /),;( 3

252

),,( 131313 zzyyxxacAC −−−=−= Sustituyendo en las ecuaciones vectoriales nos queda:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅+⋅+=⋅+⋅+=⋅+⋅+=

331

221

111

vuzzvuyyvuxx

μλμλμλ

R, )()(

)()()()(

13121

13121

13121

∈⎪⎭

⎪⎬

⎫

−⋅+−⋅+=−⋅+−⋅+=−⋅+−⋅+=

μλμλμλμλ

zzzzzzyyyyyy

xxxxxx

que son las ECUACIONES PARAMÉTRICAS del plano determinado por un punto A y los vectores o por los puntos A, B y C no alineados. vu y

Para obtener la ecuación general o implícita del plano, eliminaremos los parámetros λ y μ en las ecuaciones paramétricas; esto equivale a expresar que si el punto X pertenece al plano, el sistema en λ y μ formado por las ecuaciones paramétricas posee solución ⇒

2

33

22

11

1

1

1

33

22

11

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

vuvuvu

zzyyxx

rvuvuvu

r

el rango no puede ser 1 ya que los vectores vu y son linealmente independientes. Por tanto:

0

331

221

111

=−−−

vuzzvuyyvuxx

y, desarrollando el determinante, obtenemos: 0=+++ DCzByAx que es la ECUACIÓN GENERAL o IMPLÍCITA del plano.

Si A = B = C = 0, la ecuación del plano carece de sentido.

Un punto se dice que es INCIDENTE con un plano cuando pertenece a dicho plano. Las ecuaciones del plano expresan la condición necesaria y suficiente para que un punto sea incidente con un plano. ♦ Dado un plano de E3: 0=+++ DCzByAx , para que un punto pertenezca al plano tendrá que verificar que

),,( 000 zyxP0000 =+++ DCzByAx

Restando ambas expresiones, obtenemos:

0)()()( 000 =−⋅+−⋅+−⋅ zzCyyBxxA

253

que, para A, B y C variables, representará el conjunto de planos de E3 que son incidentes con el punto P. Este conjunto de planos incidentes con el punto P recibe el nombre de RADIACIÓN DE PLANOS DE BASE EL PUNTO P. Puntos coplanarios.

Cuatro o más puntos del espacio E3 son coplanarios cuando pertenecen al mismo plano.

Sean , n puntos no alineados: la condición para que sean coplanarios

es que de los vectores nAAAA ,,,, 321 …

nAAAAAA 13121 ,,, … sólo haya dos linealmente independientes.

2),,,( 13121 =nAAAAAAr …

ECUACION SEGMENTARIA DEL PLANO.

Cualquier plano π no paralelo a ninguno de los tres ejes y que no pase por el origen, corta a los ejes en tres puntos de la forma . ),0,0(y )0,,0( ),0,0,( cCbBaA

abczabyacxbc

zabyacaxbccz

byaaax

ACABA

=++⇒

⇒=++−=−−−

≡

...

0..).(0

0),,(π

1A

2A3A

4A

5A

A

B

C

c

a b

Estos tres puntos determinan dos vectores:

),0,(y )0,,( caACbaAB −=−=

La ecuación del plano π determinado por estos tres puntos nos vendrá dada por

254

Dividiendo por a.b.c, obtenemos: 1=++cz

by

ax que recibe el nombre de ecuación

SEGMENTARIA del plano.

Los valores a, b, c reciben el nombre de ABSCISA, ORDENADA y COTA en el origen, respectivamente.

EJEMPLOS: 1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,0,1) y tiene por vectores directores

y . )0,1,2( −u )2,3,0(v2. Encontrar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(1,2,3), B(1,0,1) y C(0,1,1). 3. Hallar las ecuaciones de los planos cartesianos. 4. Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1,0,0), B(0,5,0) y C(0,0,2). 5. Hallar la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en puntos situados a distancia "a" del origen. Hallar el valor de a para que el plano sea 07 =−++ zyx . 6. Comprobar si los puntos )2,2,2(y )32,1( ),5,5,3( ),8,7,4( ),3,2,1( EDCBA −−− son coplanarios. 7. ¿Qué relación deben verificar los parámetros a, b y c para que los puntos A(1,0,1), B(1,1,0), C(0,1,1) y D(a,b,c) sean coplanarios? PLANO DETERMINADO POR UNA RECTA Y UN PUNTO EXTERIOR A ELLA.

Una recta r del espacio afín y un punto P exterior a ella determinan un único plano.

de la recta u y el formado por los puntos A y P ( AP ).

En consecuencia, la determinación lineal del plano buscado será: ),;( APuAπ

Si y ),,( ),,,( 222111 zyxPzyxA ),,( 321 dddu entonces los vectores:

),,( 111 zzyyxxAX −−−=

),,( 121212 zzyyxxAP −−−= ),,( 321 dddu

serán linealmente dependientes y, por tanto:

A

P X

uπ

Sea );( uAr la determinación lineal de una recta en el espacio afín y P un punto que no pertenece a dicha recta. Para determinar un plano necesitamos un punto y dos vectores linealmente indepen-dientes: el punto puede ser el punto base de la recta A y los dos vectores, el director de

255

0

1231

1221

1211

=−−−−−−

zzdzzyydyyxxdxx

Desarrollando este determinante obtenemos la ecuación general o implícita del plano

pedido. EJEMPLOS: 1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,2,3) y contiene a la recta dada por

la ecuación:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+−=

−=

λλλ

312

22

zyx

La recta dada tiene como punto base )1,2,2( −A y por vector dirección )3,1,2(−uEl vector AP tendrá por coordenadas )2,4,1()1,2,2()3,2,1( −=−−=AP

El plano pedido nos vendrá determinado por el punto A y los vectores APu y :

),;( APuAπ y su ecuación será:

0231412122=

−+

−−−

zyx

Desarrollando el determinante obtenemos:

029710 029710 0)1(7)2()2(10

=−+−⇒⇒=+−+−⇒=−⋅−++−⋅−

zyxzyxzyx

que es la ecuación del plano pedido.

2.-Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y por la recta 1

122

31 −

=−+

=−

≡zyxr

La recta dada tiene como punto base )1,2,1( −A y por vector dirección )1,2,3( −uEl punto P en este caso es el origen que tiene por coordenadas O(0,0,0). Por tanto, el

vector AO tendrá por coordenadas )1,2,1()1,2,1()0,0,0( −−=−−=AO

El plano pedido nos vendrá determinado por el punto O y los vectores AOu y :

),;( AOuOπ y su ecuación será:

011

2213=

−−

−

zyx

Desarrollando el determinante obtenemos:

02 042 0420 =−⇒=+−⇒=⋅+⋅−⋅ zyzyzyx que es la ecuación del plano pedido.

256

3.-Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta y por el punto P(2,−1,2). ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=

=≡

λλλ

13

2

zyx

r

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS.

Las posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: • SECANTES: tienen en común los puntos de una recta. • PARALELOS: no tienen ningún punto en común. • COINCIDENTES: tienen todos sus puntos en común.

Vamos a buscar las condiciones que nos ayuden a distinguir cada uno de estos casos

haciendo un estudio de los puntos comunes a dichos planos. Consideremos dos planos de E3 de ecuaciones:

0''''0

2

1

=+++≡=+++≡DzCyBxA

DCzByAxππ

Para estudiar los puntos 21 ππ ∩∈P bastar estudiar el sistema formado por las

ecuaciones de dichos planos. Para este estudio, vamos a considerar las matrices del sistema:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

''' CBACBA

M ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

''''*

DCBADCBA

M

Según sean los rangos de estas matrices podemos distinguir los siguientes casos: 1. Si rango(M) = rango(M *) = 2

Para obtener, a partir de ellas, las ecuaciones paramétricas de la recta sólo tendremos que resolver el sistema. 2. Si rango(M) = 1 y rango(M*) = 2

r1π

2π

El sistema formado por las ecuaciones de los planos es compatible e indeterminado y las soluciones dependen de un parámetro. En consecuencia, los dos planos son secantes y se cortan según una recta.

Esto nos permite expresar una recta

como intersección de dos planos: las ecuaciones de estos planos reciben el nombre de ECUACIONES IMPLÍCITAS de la recta.

El sistema formado por las ecuaciones de los planos es incompatible y no tiene solución: los dos planos no tienen ningún punto en común, es decir que son paralelos.

257

1π

2π

De rango(M) = 1 se deduce que:

''' )',','(),,(

CC

BB

AACBAkCBA ==⇒⋅=

lo que nos indica que los coeficientes de x, y, z son proporcionales.

De rango(M*) = 2 se deduce que existe un menor de orden 2 distinto de cero, por lo que los planos serán distintos, y además, si

'' 0'' 0

'' DD

AADADA

DADA

≠⇒≠⋅−⋅⇒≠

y enlazando con la condición anterior nos queda:

'''' DD

CC

BB

AA

≠==

que es la condición de paralelismo entre planos.

Esto nos lleva a la siguiente conclusión: Las ecuaciones implícitas de dos planos paralelos se diferencian en el término independiente, es decir, si la ecuación de un plano nos viene dada por Ax + By + Cz + D = 0, la ecuación de cualquier plano paralelo a él será de la forma

RKKCzByAx ∈=+++ ,0 donde K depende del punto por donde pase el plano. Para hallar el valor de K se sustituyen las coordenadas del punto por donde pasa en la ecuación del plano y se despeja el valor de K. 3. Si rango(M) = rango(M*) = 1 El sistema es compatible indeterminado y las soluciones dependen de dos par metros. Las ecuaciones de los dos planos son proporcionales y tienen todos sus puntos en común, es decir, los dos planos son COINCIDENTES.

La condición de coincidencia entre planos nos vendrá dada por:

'''' DD

CC

BB

AA

===

es decir, todos los coeficientes de las ecuaciones de los planos son proporcionales

21 ππ ≡

En resumen: 1. Si los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones de los planos no son

proporcionales, los planos se cortan según una recta de la que serían sus ecuaciones implícitas.

2. Si los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones de los planos son proporcionales, los planos son paralelos:

258

a. Si la proporcionalidad no se transmite a los términos independientes, los planos son paralelos y distintos.

b. Si la proporcionalidad se transmite a los términos independientes, los planos son coincidentes.

POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS.

Estudiemos el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos: 01 =+++≡ DCzByAxπ

0''''2 =+++≡ DzCyBxAπ 0''''''''3 =+++≡ DzCyBxAπ

Las matrices de coeficientes M y ampliada M* son:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

'''''''''

CBACBACBA

M ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

''''''''''''*

DCBADCBADCBA

M

Pueden presentarse los siguientes casos: 1. Si rango(M) = rango(M*) = 3

El sistema es compatible y determinado: tiene solución única. Los tres planos se cortan en un punto que se obtiene resolviendo el sistema.

2. Si rango(M) = 2 y rango(M*) = 3, el sistema es incompatible y los tres planos no tienen ningún punto en común.

Por ser rango(M*) = 3, los tres planos son distintos. Estudiando la posición relativa de los planos dos a dos, las situaciones que nos

podemos encontrar son: a) Los planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática. b) Dos de los planos son paralelos y el tercero los corta.

P1π

2π

3π

1π1π

2π 2π

3π3π

r r

s

t

s259

3. Si rango(M) = rango(M*) = 2. El sistema es compatible e indeterminado: Las infinitas soluciones del sistema

dependen de un parámetro y representan los puntos de una recta (los planos se cortan en una recta). Las situaciones posibles son:

a) Los tres planos son distintos y se cortan en una recta. b) Hay dos planos coincidentes y el tercero los corta.

Por ser el rango de las matrices igual a dos, tenemos dos planos independientes y otro que será combinación lineal de ellos:

0)''''()('''''''' =+++⋅++++⋅=+++ DzCyBxADCzByAxDzCyBxA μλ

Si consideramos λ y μ variables, tendremos el conjunto de planos que pasan por una recta, la recta intersección de .y 21 ππ

El conjunto de planos de E3 que pasan por una recta dada, recibe el nombre de HAZ DE PLANOS SECANTES cuya base es la recta dada (que llamaremos ARISTA del haz).

La expresión del haz de planos nos permite hallar la ecuación de cualquier plano que pase por un punto dado y por la intersección de otros dos planos: Partiendo de ‚éstos, escribimos la ecuación del haz donde sustituimos las coordenadas del punto, obteniendo as¡ una relación entre los parámetros λ y μ. Sustituyendo la relación obtenida en la ecuación del haz y dividiendo entre el par metro que nos queda, obtendremos la ecuación del plano pedido. Suponiendo que uno de los dos parámetros es distinto de cero, podríamos dividir la ecuación del haz por dicho parámetro y nos quedaría en función de uno sólo, de la siguiente forma:

0)''''()( =+++⋅++++ DzCyBxADCzByAx α

3. Si rango(M) = 1 y rango(M*) = 2 El sistema es incompatible y no existe ningún punto común a los tres planos. Por ser rango(M) = 1, los tres planos son paralelos, pero no son coincidentes ya que rango (M*) = 2.

Las dos posiciones posibles entre ellos son:

1π 2π

3π

3π

21 ππ ≡r r

260

a) Los tres planos son paralelos y distintos. b) Dos de los planos son coincidentes y el tercero paralelo a ellos y distinto.

5. Si rango(M) = rango(M*) = 1

El sistema es compatible e indeterminado. El sistema queda reducido a una sola ecuación: los tres planos son coincidentes.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y PLANO.

Las posiciones relativas que pueden tener una recta y un plano en el espacio son las siguientes:

a) Recta y plano se cortan: tienen un punto en común. b) Recta y plano son paralelos: no tienen ningún punto en común. c) Recta contenida en el plano: todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

Vamos a tratar de obtener las condiciones necesarias y suficientes para distinguir cada

uno de estos casos, según las distintas formas de expresar la recta y el plano.

Sea y ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

≡

31

21

11

....

dzzdyydxx

rλλλ

0=+++≡ DCzByAxπ

Si es tal que rzyxX ∈),,( ⇒∈ πX que satisface la ecuación del plano:

21 ππ ≡

3π3π

2π

1π

321 πππ ≡≡

1π2π

3π

261

⇒=++++++⇒⇒=++++++ 0)....()(

0)..()..()..(

321111

312111

dCdBdADCzByAxDdzCdyBdxA

λλλλ

de donde: a) Si , podemos despejar λ: 0... 321 ≠++ dCdBdA

321

111

... dCdBdADCzByAx

+++++

−=λ

y conociendo λ tendremos las coordenadas del punto tal que ),,( zyxX π∩∈ rX , lo cual implica que la recta y el plano son secantes (recta y plano se cortan en un punto).

b) Si y 0... 321 =++ dCdBdA 0111 ≠+++ DCzByAx

no podemos despejar λ ya que tendríamos que dividir por cero, lo cual no es posible y, por tanto, no existe ningún valor para λ. Esto implica que no hay ningún punto en común entre la recta y el plano. En consecuencia, la recta y el plano son paralelos: r ⎪⎪π.

c) Si y 0... 321 =++ dCdBdA 0111 =+++ DCzByAx

La igualdad se verificaría para cualquier valor de λ y el sistema tiene infinitas soluciones. Por tanto, todo punto de la recta es incidente con el plano y la recta r está contenida en el plano π.

Consideremos que la recta y el plano nos vienen dados por sus ecuaciones cartesianas:

0''''''''0''''

0

=+++≡⎩⎨⎧

=+++=+++

≡

DzCyBxADzCyBxA

DCzByAxr

π

Estudiar las posiciones relativas entre la recta y el plano equivale a discutir el sistema

formado por sus ecuaciones cartesianas. Para ello, formamos las matrices de coeficientes M y ampliada M*:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

'''''''''

CBACBACBA

M ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

''''''''''''*

DCBADCBADCBA

M

El rango mínimo de la matriz M es 2, puesto que los planos que determinan la recta

son secantes. En consecuencia, tenemos los siguientes casos: 1. Rango(M) = Rango(M*) = 3

El sistema es compatible y determinado: tendrá solución única y los tres planos se cortan en un punto. Por tanto, la recta y el plano tienen un punto en común cuyas coordenadas se obtienen resolviendo el sistema. En consecuencia, la recta y el plano son SECANTES.

262

2. Rango(M) = 2 y Rango(M*) = 3

El sistema es incompatible. Los tres planos no tienen ningún punto en común. Por tanto, la recta y el plano son PARALELOS.

3. Rango(M) = Rango(M*) = 2

El sistema es compatible e indeterminado: tiene infinitas soluciones dependiendo de un parámetro. Los tres planos tienen una recta en común: la recta está contenida en el plano.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS.

Dos rectas en el espacio pueden tener las siguientes posiciones entre sí:

a) RECTAS QUE SE CRUZAN: no tienen ningún punto en común y no est n situadas en el mismo plano.

b) RECTAS SECANTES: tienen un punto común (obligatoriamente deben estar en el mismo plano).

c) RECTAS PARALELAS: no tienen ningún punto en común y est n en el mismo plano.

d) RECTAS COINCIDENTES: tienen todos los puntos en común.

Vamos a tratar de obtener las condiciones que nos permitan distinguir cada uno de los casos. La forma más fácil de estudiar las posiciones de dos rectas es expresando las ecuaciones de las rectas forma continua o paramétrica.

Sean las rectas r y s dadas por sus ecuaciones continuas:

3

1

2

1

1

1

dzz

dyy

dxxr −

=−

=−

≡ '3

2'2

2'1

2

dzz

dyy

dxxs −

=−

=−

≡

Consideremos los siguientes vectores:

• Dirección de r: ),,( 321 dddd

• Dirección de s: ),,(' '3

'2

'1 dddd

• ),,( 121212 zzyyxxAB −−−= : vector determinado por un punto A∈r y otro B∈s.

Si r y s se cortan o son paralelas o son coincidentes, entonces tienen que ser

coplanarias y, por tanto, los vectores ABdd y ' , tienen que ser linealmente dependientes. Por tanto:

0

12'33

12'22

12'11

=−−−

=zzddyyddxxdd

D

En consecuencia, si:

263

• ⇒≠ 0D r y s se cruzan en E3.

• ⇒= 0D r y s son coplanarias (están en el mismo plano):

⇐ Si las rectas se cortan en un punto.

⇒⋅≠⇒≠ ),,(),,( '. '3

'2

'1321 dddkddddkd

⇐ Si las rectas son paralelas ⇒= '.dkd∑ Si r(D) = 2: son paralelas y distintas ∑ Si r(D) = 1: son coincidentes.

EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Determinar m y n para que sean paralelos los planos de ecuaciones:

0390946

2

1

=−+−≡=++−≡

nnzyxzmyx

ππ

Para que dos planos sean paralelos, se tiene que verificar que los coeficientes de x, y,

z, en sus ecuaciones cartesianas, sean proporcionales. Entonces:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=⇒=

−−

=6 366 4

96

2 189 39

6

439

6

nnn

mmm

nm

En consecuencia, las ecuaciones de los planos serán:

0663909426

2

1

=−+−≡=++−≡

zyxzyx

ππ

2. Estudiar la posición relativa de los planos según los valores del parámetro a:

0 )1(30 1 3520)1(23

=−−+=−+−=−−+−

zayxzyx

azayx

Estudiar la posición relativa de los planos equivale a estudiar las soluciones del sistema. Para ello, escribimos las matrices del sistema:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=)1(31

35223

a

aM

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−=

0)1(311352

123*

a

aaM

Calculamos el determinante de M para ver que valores de a lo anulan:

⎩⎨⎧

==

⇔=+−⇔=

−+−=

52

0107 0

20142

2

2

aa

aaM

aaM

264

ζ Si a ≠ 2 y a ≠ 5 ⇒ r(M) = r(M*) = 3 ⇒ el sistema es compatible y determinado ⇒ ⇒ tiene solución única ⇒ los planos se cortan en un punto.

ζ Si a = 2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=131

352223

M ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=013113521223

*M

Se verifica que: rango(M) = 2 y rango(M*) = 2 ya que la tercera fila es diferencia de

las dos primeras. El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones dependiendo de un parámetro. Por tanto, los tres planos se cortan en una recta.

ζ Si a = 5

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=431

352253

M ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=043113524253

*M

En este caso: rango(M) = 2 y rango(M*) = 3 ⇒ el sistema es incompatible ⇒

los planos no tienen ningún punto en común y como no hay dos planos que sean paralelos, entonces se cortan dos a dos formando una superficie prismática triangular.

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,2,3) y es paralelo al plano

π ≡ x − 2y + 4z + 2 = 0

La ecuación de cualquier plano paralelo al dado es de la forma: x − 2y + 4z + K = 0 Como tiene que pasar por el punto A(1,2,3), las coordenadas de este punto deben de

verificar la ecuación del plano: 1 − 2.2 + 4.3 + K = 0 ⇒ K = −9

Por tanto, la ecuación del plano pedido será: x − 2y + 4z − 9 = 0

4. Hallar la ecuación del plano determinado por las rectas:

r x y z≡

−=

+=

−11

12

23

y s x y z≡ =

−=

−1

12

33

Las determinaciones lineales de las rectas r y s son:

⎩⎨⎧ −

≡(1,2,3)

1,2)(1, uA

r⎩⎨⎧

)()(

:321320

,,v ,, B

s

Puesto que el vector dirección de las rectas es el mismo, las rectas son coplanarias. Debemos estudiar si son paralelas y distintas o son coincidentes. Para ello, calculamos el vector determinado por los puntos A y B:

)1,3,1()2,1,1()3,2(0, = −=−−AB y comprobamos si es independiente con el vector dirección de las rectas r y s:

265

y 2131321

u ABr ⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

son linealmente independientes

vendrá dada por el determinante siguiente: xyz

x y z x y z− −+−

= ⇒ − − − + + − = ⇒ − − + − =1 1 11 2 32 3 1

0 7 1 4 1 5 2 0 7 4 5 7 ( ) ( ) ( ) 0

0

En consecuencia, la ecuación del plano determinado por las rectas r y s será:

7 4 5 7x y z+ − + = 5. Hallar la ecuación de la recta s que pasa por el punto A(1,0,1) y es paralela a la recta r intersección de los planos x + y + z − 3 = 0 y 2x − 2y + z − 1 = 0. Primer método: Puesto que la recta r nos viene dada como intersección de dos planos, las ecuaciones de éstos serían las ecuaciones cartesianas de la recta r. Calculemos sus ecuaciones paramétricas resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos:

x y zx y z+ + − =− + − =

⎫⎬⎭

3 02 2 1 0

Hacemos y = λ pasando dicho parámetro al segundo miembro junto al término independiente. Nos queda:

x zx z

x zx z

+ + − =− + − =

⎫⎬⎭

⇒+ = −+ = +

⎧⎨⎩

λλ

λλ

3 02 2 1 0

32 1 2

Restando ambas ecuaciones tenemos:

−x = 2−3λ ⇒ x = −2+3λ Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones:

(−2+3λ) + z = 3 − λ ⇒ z = 3 + 2 −3λ − λ ⇒ z = 5 − 4λ y, en consecuencia, las ecuaciones paramétricas de la recta r serán:

rxyz

≡= − +== −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 3

5 4

λλλ

Por tanto, las rectas r y s son paralelas y distintas y, en consecuencia, determinan un plano. La determinación lineal de dicho plano será ),;( ABuAπ y su ecuación

266

El vector dirección de dicha recta es d ( , , )31 4− y ésta será la dirección de cualquier recta paralela a ella. Por tanto, la recta s pedida nos vendrá determinada por el punto A(1,0,1) y el vector . Su ecuación, en forma continua, nos vendrá dada por: d ( , , )31 4−

s x y z≡

−= =

−−

13 1

14

Segundo método: Como la recta r nos viene dada mediante la intersección de dos planos, la recta s podremos calcularla también como intersección de otros dos planos paralelos a los dados que pasen por el punto por donde tiene que pasar la recta s pedida:

rx y zx y z

≡≡ + + − =≡ − + − =

⎧⎨⎩

ππ

1

2

3 02 2 1

0

Calculamos los planos paralelos a π1 y π2 que pasen por el punto A(1,0,1): La ecuación de cualquier plano paralelo a π1 será de la forma:

π1⎟⎟ π ⇒ ≡ + + + = π x y z K 0 Como A ∈ π ⇒ 1 + 0 + 1 + K = 0 ⇒ K = −2 Por tanto: π ≡ + + − =x y z 2 0 La ecuación de cualquier plano paralelo a π2 será de la forma:

π2⎟⎟ π‘ ⇒ ≡ − + + = 2π' 'x y z K2 0 Como A ∈ π‘ ⇒ 2.1 −2.0 + 1 + K’ = 0 ⇒ K’ = −3 Por tanto: 2π' ≡ − + − =x y z2 3 0

0

4

En consecuencia, las ecuaciones cartesianas de la recta s nos vienen dadas por la intersección de los planos π y π‘:

sx y zx y z

≡≡ + + − =≡ − + − =

⎧⎨⎩

ππ

2 02 2 3'

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,1,2) y es paralelo a las rectas r y s siendo

rx yx z

sx y

y z: :

3 04 0

2 23

+ =+ =

⎧⎨⎩

− =− = −

⎧⎨⎩

y

Pasamos las rectas a su forma paramétrica:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=

=⇒=

⎩⎨⎧

=+=+

λλλ

λ43

:r Haciendo

0403

:zyx

xzxyx

r

267

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+==

+=⇒=

⎩⎨⎧

−=−=−

μμμ

μ3 2

: Haciendo 3

422:

zyx

syzy

yxs

Los vectores de dirección de estas rectas serán dr ( , , )1 3 4− − y ds ( , , )111 . El plano paralelo a dichas rectas contendrá a sus vectores de dirección y, puesto que tiene que pasar por el punto A(1,1,2), tendremos determinado el plano pedid mediante dos vectores linealmente independientes (no son proporcionales) y un punto: π(A; d , d )

o

r s

Su ecuación nos vendrá dada por:

π x -1 1 1y -1 -3 1z - 2 -4 1

≡ = ⇒ − − − + − = ⇒ − + −0 1 1 5 1 4 2 0 5 4 4.( ) ( ) ( )x y z x y z = 0

7. Determinar la posición relativa del plano π ≡ − + =3 2 0x y z y la recta

r x y z≡−

= = +1

3 23

Pasamos la ecuación de la recta a su forma paramétrica:

r x y zxyz

≡−

= = + = ⇒− +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

13 2

33

λλλλ

= 1+ 3= 2=

y resolvemos el sistema formado por las ecuaciones paramétricas de la recta y la ecuación cartesiana del plano: xyzx y z

= +== − +− + =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ + − + − + = ⇒ − − + =

⇒ = ⇒ =

3 + 9 4

6

1 32

33 2 0

3 1 3 2 2 3 0 3 0

0 0

λλλ

λ λ λ λ λ λ

λ λ

.( ) .( ) ( ) ⇒

0

Por tanto, la recta y el plano se cortan en un punto de coordenadas P(1,0,−3). 8. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(−1,2,0) y contiene a la recta

rx y z

y z≡

− + − =+ − =

⎧⎨⎩

2 33 5 0

Puesto que el plano pedido contiene a la recta r pertenecerá al haz de planos determinado por ella:

(x − 2y + z − 3) + λ(y + 3z − 5) = 0 De todos ellos, nos interesa el que pasa por el punto A(−1,2,0). Por tanto, las coordenadas de este punto verificarán la ecuación del haz de planos:

(−1 −2.2 + 0 − 3) + λ.(2 + 3.0 − 5) = 0 ⇒ −8 − 3λ = 0 ⇒ −3λ = 8 ⇒ λ = −83

268

Sustituyendo este valor en la ecuación del haz, obtenemos:

( ) ( )x y z y z− + − − ⋅ + − = ⇒2 3 83

3 5 0 3 2 3 8 3 5 0⋅ − + − − ⋅ + − = ⇒( ) ( )x y z y z

⇒ − − + = 3 14 21 31 0x y z

que es la ecuación del plano pedido. 9. Estudiar la posición relativa del plano 0252 =++−≡ azyxπ y la recta

⎩⎨⎧

=−++=−+−

≡0540123

zyxzyx

r

Para estudiar la posición relativa entre el plano y la recta, discutiremos el sistema formado por sus ecuaciones:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−++=−+−=++−

05401230252

zyxzyx

azyx

Para ello, consideramos las matrices de coeficientes y ampliada del sistema:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=141213

52 aM

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

51411213

252*

aM

Si , el sistema sería compatible y determinado: la recta y el plano se cortarían en un punto cuyas coordenadas serían las resultantes de resolver el sistema.

3)()( * == MrMr

Para que r(M) = 3, se tendrá que verificar que 0≠M ; calculamos el determinante de M

1313 151612102 −=⇒+−++−−= aMaaM Este determinante se anula para el valor de a = 1. Entonces: • Si a ≠ 1, se verificará que ⇒ el sistema es compatible y determinado: la recta y el plano se cortan en un punto.

3)()( * == MrMr

• Si a = 1, las matrices del sistema nos quedan de la forma:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=141213152

M⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

51411213

2152*M

Estudiamos el rango de estas matrices:

Puesto que 2)( 0131521352

=⇒≠=+−=−−

Mr

Comprobamos el rango de M*:

269

3)( 0267549758224510541113

252* =⇒≠−=−=−++++=

−−−

−Mr

Por tanto, r(M) = 2 y r(M*) = 3: los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada son distintos y el sistema será incompatible (no tiene solución). En consecuencia, la recta y el plano no tienen ningún punto en común: recta y plano son paralelos. 10. Estudiar la posición relativa de las rectas:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=+=

≡λλλ

4 2132

zyx

r ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−=+=

≡μμμ

824166

zyx

s

Consideremos las determinaciones lineales de ambas rectas:

⎩⎨⎧

−≡

)4,2,3()0,1,2(

uA

r ⎩⎨⎧

−≡

)8,4,6()2,1,6(

vB

s

y el vector formado por los puntos base de las dos rectas: )2,0,4()0,1,2()2,1,6( =−=AB

A continuación, formamos la matriz correspondiente con los vectores ABvu y ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=

284042463

D

Calculando el determinante de la matriz D obtenemos que vale cero puesto que las dos primeras columnas son proporcionales. En consecuencia, las rectas son coplanarias (están en el mismo plano). Puesto que los vectores de dirección de ambas rectas son proporcionales, en principio, serán paralelas. Para ver si son distintas o coincidentes estudiamos el rango de la matriz D, en la cual encontramos un menor de orden dos distinto de cero:

016)16(00446

≠=−−=−

por lo que las rectas serán paralelas y distintas.

11. Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta 12

31

21

−−

=+

=−

≡zyxr y es

paralelo a la recta 3

32

11

1 −=

−=

+≡

zyxs

La recta r nos viene determinada por el punto A(1,−1,2) y por el vector y el vector dirección de la recta s tiene por coordenadas

)1,3,2( −u)3,2,1(v .

El plano π que se nos pide por tener que contener a la recta r contendrá a su punto base A y su vector dirección y por tener que ser paralelo a s contendrá también a su vector dirección. Por tanto el plano π nos vendrá determinado por el punto A y los vectores .y vu Su ecuación nos vendrá dada por:

270

⇒=−++−−⇒=−−

+−

≡ 0)2.(1)1.(7)1.(11 0312231121

),;( zyxzyx

vuAπ

020711 =−+−⇒ zyx que es la ecuación del plano pedido. 12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1,2) y corta a las rectas:

11

231

−−

==−

≡zyxr

21

12+

==≡zyxs

La recta que se nos pide tiene que ser coplanaria con cada una de las rectas dadas para

que puedan cortarse, además de pasar por el punto P. En consecuencia, dicha recta estará contenida en un plano que contenga a la recta r y pase por el punto P, y también en el plano que contenga a la recta s y pase por el punto P. La intersección de ambos planos nos dará la recta pedida: las ecuaciones de los dos planos serán las ecuaciones implícitas de la recta. Pasemos a calcular las ecuaciones de dichos planos: • Plano que contiene a la recta r y pasa por P: el punto base de la recta es A(1,0,1) y su vector dirección )1,2,3( −u . El vector formado por los puntos A y P será:

)1,1,0()1,0,1()2,1,1( =−=AP

La ecuación del plano que vamos buscando será:

⇒=−+−−⇒=−−

−≡ 0)1(33)1(3 0

11112031

),;( zyxz

yx

APuAπ

02 06333 =−+−⇒=−+−⇒ zyxxyx

• Plano que contiene a la recta s y pasa por P: el punto base de la recta es B(0,0,−1) y su vector dirección . El vector formado por los puntos B y P será: )2,1,2(v

)3,1,1()1,0,0()2,1,1( =−−=BP

La ecuación del plano que vamos buscando será:

014 0)1.(141. 03211112

),;(' =++−⇒=++−⇒=+

≡ zyxzyxz

yx

BPvBπ

Las ecuaciones implícitas de la recta pedida nos vendrán dadas por las ecuaciones de los planos π y π’:

⎩⎨⎧

=++−=−+−

01402

zyxzyx

271

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determinar para que valores de a y b, los planos:

0106 : ,02 : ,0132: =+−+=+−+=−+− zayxbzyxzyx γβα I) Tienen un solo punto en común. II) Pasan por una recta III) Se cortan dos a dos en tres rectas paralelas y distintas.

Razónense las respuestas. 2. Un plano corta a los semiejes positivos de los ejes OX, OY y OZ del espacio en tres puntos

A, B y C, respectivamente. El triángulo ABC es equilátero y, además, se sabe que el plano pasa por el punto P(3,4,5). Hallar, razonadamente, su ecuación.

3. Se dan dos rectas en el espacio mediante las siguientes ecuaciones:

Recta primera: 11

21

32

−+

=−

=+ zyx

Recta segunda: 32

321 zyx

=−−

=−−

Hallar la ecuación del plano que pase por la primera y sea paralelo a la segunda.

4. Sean 4

13

12

1r1−

=−

=−

≡zyx y

23

32

41r2 −

−=

−=

+≡

zyx

a) Hallar la ecuación de la recta s que pasa por el origen de coordenadas y se apoya en r1 y r2.

b) Hallar los puntos de intersección de s con r1 y con r2.

5. Dado el plano π: 042 =+ y la recta r: x⎩⎨⎧

==−

03

yzx

a) Determinar su posición en el espacio. b) Calcular, si existe, el punto P intersección de π y r.

6. Estudiar la posición relativa de los planos

023y 0424 ,042 =++−=++−=++ zyxzyxzyx

7. ¿Son coplanarios los puntos A(1,1,0), B(1,0,−1), C(3,2,−1) y D(0,1,1)? Justificar la respuesta. Encontrar la ecuación del plano determinado por los tres primeros puntos. ¿Contiene este plano alguna recta que pase por el origen?

8. ¿Qué posición relativa tienen las siguientes rectas?

⎩⎨⎧

=−=+

12

:zyyx

r ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=

−=

tzty

txs 1

1:

9. Estudiar, según los valores del parámetro a, la posición relativa de las rectas:

272

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=+=

tztytx

r 21

: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

tzty

taxs

23

2:

10. Posición relativa de las rectas:

⎩⎨⎧

==+

192

:yzx

r ⎩⎨⎧

=++−=+

5220

:zyxyx

s

Hallar el plano que contiene a r paralelo a s. 11. Determinar la intersección P del plano 03: =−++ zyxβ con la recta zyxr −=−=− 1:

Calcular el plano π que pasa por P paralelo al 0132: =++− zyxα Sea s la recta en que se cortan π y β . Dar la ecuación general (implícita) del plano determinado por las rectas r y s.

12. Dadas las rectas r y s de ecuaciones

zyxr ==: 22

21

1: zyxs =−

=−

i) Estudiar su posición. ii) Hallar la recta que corta a r y s y es paralela a la recta

)1,2,1()3,2,1(),,(: −+= λzyxt 13. Hallar la ecuación continua de la recta que es paralela a los planos

03 =+− zyx y 0532 =−+− zyx y pasa por el punto P(2,−1,5). 14. Discutir, según los valores del parámetro a, la posición relativa de del plano y la recta

siguientes: α : 4232 =−+ zyx

r : ⎩⎨⎧

=−+=+−

azyxzyax356

2

15. Dados el plano π : nmzyx =++ , y la recta r :21

21

zyx=

−−

=

a) Calcular m y n para que π y r sean secantes. b) Calcular m y n para que π y r sean paralelos. c) Calcular m y n para que π contenga a r.

16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1,1), es paralela al plano α de

ecuación 0 y está en el mismo plano que la recta 2 =−− zyx

3211: zyxs ==

−

273

ESPACIO AFIN-EUCLIDEO TRIDIMENSIONAL. PRODUCTO ESCALAR. DEFINICION.

Sea el espacio vectorial V3 de los vectores libres asociado al espacio afín E3. Se llama PRODUCTO ESCALAR en E3 a la aplicación definida de V3 × V3 → R

que a cada pareja de vectores le asocia un número real de la forma ><⋅⋅=⋅→ vuvuvuvu ,cos),( siendo 0, ≠vu

siendo 0=⋅ vu 0 o 0 == vu

Este producto escalar así definido verifica las siguientes propiedades: 1. Conmutativa: uvvu ⋅=⋅ 3, Vvu ∈∀ 2. Distributiva respecto de la suma de vectores:

2.1 wvwuwvu ⋅+⋅=⋅+ )( 3,, Vwvu ∈∀ 2.2 wuvuwvu ⋅+⋅=+⋅ )( 3,, Vwvu ∈∀

3. Homogénea: )()()( vuvuvu ⋅=⋅=⋅ λλλ siendo 3, , VvuR ∈∈λ 4. Posibilidad: 3

2 0 Vuuuu ∈∀≥=⋅ Con estas propiedades se dice que el producto escalar es una "forma bilineal (propiedades 2 y 3) simétrica (propiedad 1) definida positiva (propiedad 4)".

Al espacio vectorial V3 con la aplicación producto escalar se le conoce con el nombre de ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO TRIDIMENSIONAL.

Se llama ESPACIO AFÍN-EUCLÍDEO a un espacio afín cuyo espacio vectorial asociado es un espacio vectorial euclídeo. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR.

El producto escalar de dos vectores es igual al producto escalar de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

ESPACIO AFÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL

101

Por otra parte, tenemos: 'º0cos.'.'.,cos.. vuvuvuvuvuvu ⋅==>=<=⋅

Sean 3, Vvu ∈ dos vectores no nulos y sea 'v la proyección de sobre u : vproyv u='

En el triángulo OAB se verifica que ><= vuvv ,cos.'

A

v

puesto que 'y vu tienen la misma dirección y sentido.

Esto mismo también se verificaría, si el ángulo que forman los dos vectores fuera mayor de 90º

O 'vα

uB

274

ORTOGONALIDAD ENTRE VECTORES.

Hemos definido el producto escalar de dos vectores como

><=⋅ vuvuvu ,cos..

Este producto es nulo cuando alguno de los vectores es nulo.

Sin embargo, existe otra posibilidad de que el producto escalar sea cero y es cuando el ángulo formado por los dos vectores sea de 90 (π/2), es decir que los vectores sean perpendiculares u ortogonales. "Dos vectores , no nulos, son ortogonales, sí y sólo sí, su producto escalar es nulo:

3, Vvu ∈0=⋅ vu "

3, Vvu ∈ , 0, ≠vu son ortogonales ⇔ 0=⋅ vu VECTORES UNITARIOS.

Se dice que un vector , no nulo, es unitario, si y sólo si, su módulo es la unidad. 3Vu ∈

0 ,3 ≠∈ uVu es unitario ⇔ 1=u PROPOSICION. Dado un vector cualquiera v no nulo, a partir de él podemos obtener un vector unitario en su misma dirección, simplemente dividiendo por su módulo.

En efecto: el vector vvu = tiene la misma dirección y sentido que el vector y,

además, es unitario ya que 111=⋅=⋅== v

vv

vvvu

También el vector vvu −=' tiene la misma dirección y sentido opuesto que v y es

unitario. SISTEMA DE REFERENCIA ORTONORMAL. Base Normada: Una base B = 3321 },,{ Vuuu ⊂ se dice que es normada si los vectores que la forma son vectores unitarios.

1321 === uuu

Base ortogonal: Una base B = 3321 },,{ Vuuu ⊂ se dice que es ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos.

0323121 =⋅=⋅=⋅ uuuuuu Base ortonormal: Una base B = 3321 },,{ Vuuu ⊂ se dice que es ortonormal si es normada y ortogonal al mismo tiempo, es decir,


102

275

1321 === uuu

0323121 =⋅=⋅=⋅ uuuuuu

"Decimos que un sistema de referencia R = { O; B } del espacio afín euclídeo es ortonormal si la base del espacio vectorial euclídeo asociado es una base ortonormal".

El sistema de referencia que venimos utilizando formado por el punto arbitrario O y la base canónica },,{ kji es un sistema de referencia ortonormal. EXPRESION ANALITICA DEL PRODUCTO ESCALAR.

Sea R = un sistema de referencia de E3 y B = una base del espacio vectorial asociado.

},,;{ 321 uuuO },,{ 321 uuu

Si los vectores vu y tienen por coordenadas respecto de la base B, se pueden expresar dichos vectores como combinación lineal de los vectores de la base de la siguiente forma:

),,(y ),,( 222111 zyxzyx

312111 uzuyuxu ++= 322212 uzuyuxv ++=

En consecuencia, el producto escalar de los vectores nos quedará:

=++⋅++=⋅ )()( 322212312111 uzuyuxuzuyuxvu

)(.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)(.

3321232113213221

22211221312121211121

uuzzuuyzuuxzuuzyuuyyuuxyuuzxuuyxuuxx

⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

Aplicando las propiedades del producto escalar nos queda:

)(.))(..()(.))(..())(..()(.

33213221212221

3121212121211121

uuzzuuyzzyuuyyuuxzzxuuxyyxuuxxvu

⋅+⋅++⋅++⋅++⋅++⋅=⋅

En el caso particular de que la base sea ortonormal, el producto escalar toma la expresión:

212121 ... zzyyxxvu ++=⋅

que es la FORMA CANÓNICA del producto escalar. EJEMPLO:

Si )1,2,3( −u y )2,1,2( −−v respecto de una base ortonormal, el producto escalar de ellos será:

6226)2).(1()1.(22.3 =+−=−−+−+=⋅ vu APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR.

},,;{ kjiOR = En todo lo que sigue utilizaremos el sistema de referencia ortonormal ESPACIO AFÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL

103

276

MÓDULO DE UN VECTOR.

Consideremos un vector, no nulo, 3),,( Vzyxu ∈ . El producto escalar del vector u por

sí mismo será: 22 .º0cos..,cos.. uuuuuuuuuuuu ==>=<==⋅

de donde uuu ⋅+=

es decir, el módulo de un vector se define como la raiz cuadrada positiva del producto escalar del vector por sí mismo. Teniendo en cuenta que el producto escalar de un vector por sí mismo es

222... zyxzzyyxxuu ++=++=⋅ resulta que

222 zyxu +++=

EJEMPLO.

Si )5,3,2( −u , entonces: 3825945)3(2 222 +=+++=+−++=u DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

Se define la distancia entre dos puntos A y B, como el módulo del vector AB

determinado por ellos. ABBAd =),(

Si , entonces ),,(y ),,( 222111 zyxBzyxA ),,( 121212 zzyyxxAB −−−= de donde

212

212

212 )()()(),( zzyyxxABBAd −+−+−+==

EJEMPLO. Calcular la distancia entre los puntos A(1,2,3) y B(−1,2,0).

Las coordenadas del vector AB son: )3,0,2()3,2,1()0,2,1( −−=−−=AB

Por tanto: 13904)3(0)2(),( 222 +=+++=−++−+=BAd ÁNGULO FORMADO POR DOS VECTORES.

De la definición del producto escalar de dos vectores

><=⋅ vuvuvu ,cos.. podemos deducir el >< vu,cos de la forma:

vuvuvu⋅⋅

>=< ,cos


104

277

Esto que nos dice que el coseno del ángulo determinado por dos vectores es igual al producto escalar de ambos vectores, dividido entre el producto de sus módulos.

Por tanto, el coseno del ángulo determinado por dos vectores tendrá el mismo signo que el producto escalar de ambos vectores, ya que los módulos de los vectores son siempre positivos. En consecuencia, si el producto escalar es positivo, el coseno también será positivo y el ángulo formado por los vectores será agudo (menor de 90º); si el producto escalar es negativo, el coseno también es negativo y el ángulo formado por los dos vectores será obtuso (comprendido entre 90º y 180º).

Si consideramos que son las coordenadas de los vectores ),,(y ),,( 222111 zyxzyxvu y respectivamente, nos queda que:

22

22

22

21

21

21

212121 ...,coszyxzyx

zzyyxxvu++⋅++

++>=<

EJEMPLO. Calcular el ángulo determinado por los vectores kjiu +−= 2 y kiv 23 +=

Tenemos los vectores expresados como combinación lineal de los vectores de la base del sistema de referencia en el que estamos trabajando. Por tanto, las coordenadas de los vectores son )2,0,3(y )1,2,1( vu − y, en consecuencia:

785arccos,

785

13.65

13.6203

203.1)2(12.10).2(3.1,cos

222222

>=<⇒

⇒==++

=+++−+

+−+>=<

vu

vu

VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO.

Sea π el plano de ecuación cartesiana 0=+++ DCzByAx y un

punto perteneciente al plano π que, por tanto, verificará la ecuación de dicho plano:

),,( 111 zyxP

0111 =+++ DCzByAx

En consecuencia, tenemos: π : 0=+++ DCzByAx P ∈ π : 0111 =+++ DCzByAx Restando ambas igualdades, nos queda:

0),,).(,,( 0).().().( 111111 =−−−⇒=−+−+− zzyyxxCBAzzCyyBxxA

Esta igualdad expresa que los vectores ),,(y ),,( 111 zzyyxxPXCBAn −−− son

ortogonales.


105

278

Como el punto X es un punto cualquiera (arbitrario) del plano π, entonces el vector PX será un vector arbitrario del plano y el vector n será ortogonal a todos los vectores del plano; luego, n será ortogonal al plano π.

En consecuencia, los coeficientes de x, y, z en la ecuación general (cartesiana o implícita) del plano nos dan las coordenadas de un vector ortogonal a dicho plano. Ejemplo: El vector perpendicular al plano de ecuación 3x − 2y + z = 0 será el vector n (3,−2,1). EJERCICIOS RESUELTOS Hallar un vector unitario y perpendicular al plano π definido por los puntos A(1,2,3),

B(−1,2,1) y C(−3,0,0).

Los puntos A, B y C determinan dos vectores CBCA y de coordenadas:

)1,2,2()0,0,3()1,2,1(

)3,2,4()0,0,3()3,2,1(

=−−−=

=−−=

CB

CA

que son linealmente independientes ya que no son proporcionales.

En consecuencia, el plano π que buscamos nos viene determinado por un punto C y dos vectores linealmente independientes CBCA y : π ),;( CBCAC y su ecuación cartesiana nos viene dada por:

01322243=

+

zy

x

Desarrollando el determinante nos queda:

0622 012424 042)3(4 =−++−⇒=−++−⇒=+++− zyxzyxzyx que es la ecuación del plano determinado por los puntos A, B y C.

El vector perpendicular a dicho plano será )2,1,2(−n y el vector unitario que vamos buscando tendrá que llevar la dirección de n para ser perpendicular al plano. Por tanto:

)32,

31,

32()2,1,2(

31

9)2,1,2(

21)2()2,1,2(

222−=−⋅=

−=

++−

−==

nnu

es el vector buscado. Hallar la ecuación del plano incidente con el punto A(2,1,3) y perpendicular al vector

(3,−1,2).


106

279

Como el plano tiene que ser perpendicular al vector, éste será perpendicular al plano y nos dará, por tanto, los coeficientes de x, y, z en la ecuación cartesiana del plano.

En consecuencia, la ecuación del plano pedido será de la forma: 3x − y + 2z + D = 0

Como dicho plano tiene que ser incidente con el punto A, las coordenadas de A verificarán la

ecuación del plano y así podremos calcular el término independiente que nos falta: A ∈ π : 3.2 −1 + 2.3 + D = 0 ⇒ 11 + D = 0 ⇒ D = −11

y, en consecuencia, la ecuación del plano será: 3x − y + 2z − 11 = 0

Encontrar la ecuación del plano incidente con el punto P(−3,2,−1) y perpendicular a la

recta r de ecuación r : 43

22

1 zyx=

+=

−


107

por tanto, la ecuación de éste será: 0432 =+++≡ Dzyxπ

Ahora calculamos D con la condición de que sea incidente con el punto P:

4 04 0)1.(42.3)3.(2 : =⇒=+−⇒=+−++−∈ DDDP π y, por tanto,

04432 =+++≡ zyxπ es la ecuación del plano pedido.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )3,2,1( −A y es perpendicular al

plano 01432 =−+−≡ zyxπ

Cualquier recta perpendicular al plano tendrá por dirección el vector ortogonal al plano dn ≡− )4,3,2( y, como tiene que pasar por el punto )3,2,1( −A , la recta pedida, en su forma

continua, será:

43

32

21 −

=−+

=−

≡zyxr

Calcular la ecuación del plano que pasa por )4,1,2( −P y es perpendicular a la recta

141

32 zyxr =

−=

−≡

P∗π

Al ser la recta perpendicular al plano, su vector dirección d y el vector ortogonal al plano serán paralelos. En consecuencia, podremos utilizar el vector dirección de la recta como ortogonal al plano:

n

nd ≡ La dirección de la recta es )4,3,2(d que será

también el vector ortogonal al plano )4,3,2(n y,

d n

r

280

El vector dirección de la recta tiene por coordenadas nd ≡)1,4,3( y, por tanto, cualquier plano perpendicular a dicha recta tendrá por ecuación:

043 =+++≡ Dzyxπ

De todos estos planos perpendiculares a la recta sólo nos interesa el que pasa por el punto

; luego, este punto deberá verificar la ecuación del plano y calculamos D con la condición de que pase por él:

)4,1,2( −P

6 06 04)1.(42.3: −=⇒=+⇒=++−+∈ DDDP π

En consecuencia, la ecuación del plano pedido será: 0643 =−++ zyx

PLANO MEDIADOR DE UN SEGMENTO.

El plano mediador de un segmento es el plano perpendicular al segmento en su punto

medio.

Los pasos a seguir para calcular el plano

mediador de un segmento serán: a) Calcular el punto medio del segmento y el

vector determinado por los extremos del segmento, que es perpendicular al plano que buscamos.

b) Obtenemos el plano determinado por el vector calculado en el punto anterior y que pasa por el punto medio del segmento.

MB

A

EJEMPLO. Hallar el plano mediador del segmento de extremos A(1,2,3) y B(3,−1,2).

1. Calculamos el punto medio del segmento:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

==25,

21,2

223,

212,

231),( BAPMM

2. Vector determinado por los extremos del segmento:

)1,3,2()3,2,1()2,1,3( −−=−−=AB

3. Obtenemos el plano que pasa por M y tiene por vector perpendicular el vector AB

La ecuación del plano sería: 032 =+−− Dzyx y calculamos D con la condición de que el plano pase por M:


108

281

0 0284 0

25

234 0

25

2132.2 =⇒=+−⇒=+−−⇒=+−⋅− DDDD

En consecuencia, la ecuación del plano pedido será: 032 =−− zyx

El problema recíproco a calcular el plano mediador de un segmento lo podríamos

plantear de la siguiente forma: Conocido uno de los extremos del segmento y plano mediador, se trata de encontrar el otro extremo, dicho de otra forma, se trata de calcular el simétrico de un punto respecto de un plano.

Los puntos P, Q y P’ están alineados en la perpendicular al plano que pasa por P. Para poder calcular el punto P’, simétrico de P respecto del plano, necesitamos conocer el punto Q que es punto medio entre P y P’. Daremos los siguientes pasos hasta llegar a las coordenadas de P’:

P Q 'P

1. Calcularemos la recta perpendicular al plano que pasa por P. 2. Obtenida esta recta, resolveremos el sistema formado por la ecuación de ella y la

ecuación del plano, obteniendo así las coordenadas del punto Q (intersección de la recta y el plano).

3. El punto Q es punto medio entre P y P', o también PQPP ⋅= 2' . Resolviendo esta última condición obtendremos las coordenadas del punto P' buscado.

EJEMPLO.

Calcular el punto simétrico de P(3,−4,7) respecto del plano 01132 =−+−≡ zyxπ

1. Calculamos la recta r perpendicular al plano π que pasa por P. El vector )1,3,2( −n ortogonal al plano π es el vector dirección de la recta r buscada. Este vector con el punto nos determina la recta r cuyas ecuaciones en forma paramétrica son:

)7,4,3( −P

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=

+=

λλ

λ

734

23:

zyx

r

2. Calculamos la intersección de la recta r con el plano π para obtener el punto Q:

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la ecuación del plano:


109

282

⇒=−++−−−+⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−≡

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=

+=

011)7()34(3)23(2

011327

3423

:λλλ

πλλ

λ

zyxzyx

r

1 01414 −=⇒=+⇒ λλ

Sustituyendo el valor obtenido en las ecuaciones de la recta, obtenemos las coordenadas del punto Q, que nos quedan:

)6,1,1( 6 171 34

1 23

734

23: −⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒−=−=⇒+−=

=⇒−=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=

+=Q

zzyyxx

zyx

rλλ

λ

3. El punto Q es punto medio entre P y P':

Si asignamos a P' unas coordenadas genéricas tendremos: )',','( zyx

)6,1,1(2

'7,2

'4,2

'3)',( −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+

==zyxPPMedioPuntoQ

Por tanto:

5' 12'7 62

'7

2' 2'4 12

'4

1 23 12

'3

=⇒=+⇒=+

=⇒−=+−⇒−=+−

−=⇒=+⇒=+

zzz

yyy

x'x'x

En consecuencia, el punto P' buscado tiene por coordenadas ).5,12(' −P

2 Un problema similar al anterior es el cálculo del simétrico de un punto respecto de una recta: básicamente el problema se resuelve de la misma forma pero cambiando únicamente el primer punto.

Los puntos P, Q y P’ están alineados en el

plano perpendicular a la recta que pasa por P. Para poder calcular el punto P’, simétrico de P respecto de la recta, necesitamos conocer el punto Q que es punto medio entre P y P’. Daremos los siguientes pasos hasta llegar a las coordenadas de P’:


110

1. Calcularemos el plano perpendicular a la recta que pasa por P.

2. Obtenido este plano, resolveremos el sistema formado por la ecuación de la recta y la ecuación del plano, obteniendo así el punto Q (intersección de la recta y el plano).

P

Q

'P

r

283

3. El punto Q es punto medio entre P y P', o también ..2' PQPP = Resolviendo esta última condición obtendremos las coordenadas del punto P' buscado.

EJEMPLO.

Calcular el punto simétrico de ),,( 105 −P respecto de la recta 121

1−

==− zyxr :

Aplicando lo anterior a nuestro problema tenemos:

• Plano perpendicular a la recta r que pasa por P:

El vector dirección de la recta nd ≡− )1,2,1( es ortogonal al plano buscado. Por tanto, la ecuación de éste será de la forma: 02 =+−+ Dzyx y calculamos D para que dicho plano pase por el punto P (las coordenadas del punto verificarán la ecuación del plano):

6 06 0)1(0.25 −=⇒=+⇒=+−−+ DDD

y el plano tendrá por ecuación: .062 =−−+ zyx

• Calculamos el punto π∩= r Q

Para calcular la intersección de la recta con el plano, pasamos la ecuación de la recta a forma paramétrica:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

+=⇒=

−==

−

λλλ

λzyx

rzyxr 21

: 121

1:

resolviendo, posteriormente, el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la ecuación del plano:

65

056 06)()2(2)1(

062:

21

:

=⇒

⇒=−⇒=−−−++⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

+=

λ

λλλλ

πλλλ

zyxzyx

r

En consecuencia, las coordenadas del punto Q serán:


111

284

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=⇒−=

=⋅=⇒=

=+=⇒+=

65,

610,

611

65

6

10652 2

611

651 1

Q

zz

yy

xx

λ

λ

λ

• El punto Q es punto medio entre P y P':

Si asignamos a P' unas coordenadas tendremos: )'',`'( zyx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++

==65,

610,

611

2'1,

2'0,

2'5)',( zyxPPPuntoMedioQ

Por tanto:

32' 1

652'

65

2'1

310'

6102'

610

2'0

34' 5

6112'

611

2'5

−=⇒+⋅−=⇒−=+−

=⇒⋅=⇒=+

−=⇒−⋅=⇒=+

zzz

yyy

xxx

En consecuencia, el punto P' buscado tiene por coordenadas .32,

310,

34

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS.

El ángulo formado por dos rectas r y s que se cortan es el menor de los ángulos que

forman en el plano que determinan.

Si las rectas se cruzan, se define el ángulo como el determinado por dos rectas secantes paralelas a las dadas.

Sean dos rectas dadas por sus determinaciones lineales ).',(y ),( dBsdAr

sSe define el ángulo formado por dos

rectas como el ángulo formado por sus vectores de dirección 'y dd . Por tanto:

''',cos,cos

ddddddsr⋅

⋅>=<>=<

'dB


112

d rA

285

Si consideramos que los vectores de dirección de las rectas r y s tienen por coordenadas ),,( 321 dddd y ),,(' '

3'2

'1 dddd , el coseno del ángulo formado por las dos rectas será:

2'1

2'1

2'1

23

22

21

'33

'22

'11

2'1

2'1

2'1

23

22

21

'33

'22

'11

cos

,cos

dddddd

ddddddarcr,s

dddddd

ddddddsr

++⋅++

⋅+⋅+⋅>=<⇒

⇒++⋅++

⋅+⋅+⋅>=<

EJEMPLO:

• Calcular el ángulo que forman las rectas

11

12

21 −

=−

=−

≡zyxr y

11

25

13

−+

=−

=+

≡zyxs

Los vectores de dirección de las rectas son )1,2,1('y )1,1,2( −dd . Por tanto:

º6021arccossr,

21

63

663

)1(21112)1.(12.11.2

)1,2,1()1,1,2()1,2,1()1,1,2(',cos,cos

222222

=>=<⇒===

=−++⋅++

−++=

−⋅−⋅

>=<>=< ddsr

PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS.

Dadas las rectas )',(y ),( dBsdAr , diremos que son perpendiculares sí, y sólo sí, los vectores 'y dd son ortogonales.

0' =⋅⇔⊥ ddsr EJEMPLO.

• Hallar una recta perpendicular a zyxr 32 ==≡ que pase por el punto ).1,1,2( − A

La recta dada, en su forma continua, será: 3

12

1zyxr ==≡ con lo que su vector

dirección es )31,

21,1(d . Para calcular la recta perpendicular a ella, consideramos un

vector 'd de forma que sea ortogonal a .d Vamos a considerar que 'd = (−1,2,0):

'y dd son ortogonales, puesto que 00110312

21)1.(1' =++−=⋅+⋅+−=⋅ dd

Entonces, la ecuación de la recta pedida (en forma paramétrica) será:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=−=

121

2

zyx

λλ


113

286

Por tanto, dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales. Debemos observar que, en ningún momento, se nos impone condición alguna de que las rectas deban cortarse. Si esto ocurriera, el problema planteado y su resolución serían muy diferentes.

El problema a resolver es el siguiente:

Dados un punto y una recta, calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y corta perpendicularmente a la primera.

Podemos resolver este problema de dos formas diferentes: 1. Trazamos el plano perpendicular a la recta dada que pase por el punto P dado. Calculado este

plano, hallamos el punto de corte del plano y la recta y, finalmente, se calcula la recta que pasa por dos puntos.

2. Calculamos el plano perpendicular a la recta dada que pasa por P, igual que en el caso

anterior. Después calculamos la ecuación del plano que contiene a la recta y pasa por el mismo

punto. Las ecuaciones de los dos planos calculados forman las ecuaciones implícitas de la recta

pedida.

Con este segundo procedimiento obtendríamos las ecuaciones cartesianas de la recta perpendicular a la recta dada. EJEMPLO. • Hallar la ecuación de la recta que pase por P(1,−1,3) y corta perpendicularmente a la

recta r: ⎩⎨⎧

=+−+=++−

03012

zyxzyx

Utilizaremos el primer procedimiento: a) Calculamos las ecuaciones paramétricas de la recta r ya que nos han dado las ecuaciones

cartesianas de la misma.

Para ello hacemos z = λ y las ecuaciones cartesianas nos quedan de la forma:

⎩⎨⎧

+−=+−−=−λλ

312

yxyx

Resolviendo el sistema resultante, obtenemos x e y en función de λ y con ello las ecuaciones paramétricas de la recta:


114

287

(0,1,1)

3534

=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

+−=

−=

rd

z

y

x

λ

λ

b) Obtenidas las ecuaciones paramétricas de la recta, su vector dirección es el vector ortogonal

al plano perpendicular a la recta; con esto, el problema quedaría reducido a calcular la ecuación del plano que pasa por un punto P(1,−1,3) y tiene por vector ortogonal

.)1,1,0( rdn ≡

La ecuación de cualquier plano que tenga a n por vector ortogonal será:

0 0.1.1.0 =++⇒=+++ Dz yDzyx

Como tiene que pasar por el punto P(1,−1,3) nos queda:

202 031 −=⇒=+⇒=++− D D D

y, por tanto, el plano perpendicular a la recta tiene por ecuación

02 =−+ zy

c) Ahora calculamos la intersección de la recta dada con el plano que hemos calculado. Para ello utilizamos las ecuaciones paramétricas de la recta, sustituyendo en la ecuación del plano

611

3112 2

352 02)

35( =⇒=⇒+=⇒=−++− λλλλλ

En consecuencia, el punto de intersección de recta y plano será

)6

11,61,

34(

611

61

611

3534

−⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=+−=

−=

Q

z

y

x

d) Por último, sólo nos queda calcular la recta que pasa por el punto P(1,−1,3) y por el punto

:)6

11,61,

34(−Q

)1,1,2( )1,1,2(67)

67,

67,

37()3

611),1(

61,1

34( −≈⇒−⋅−=−−=−−−−−= PQPQ

Por tanto, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,−1,3) y

tiene por vector dirección el vector )1,1,2( −=d . En su forma continua será:

13

11

21 −

=−+

=− zyx

que es la ecuación de la recta pedida. ESPACIO AFÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL

115

288

ÁNGULO FORMADO POR DOS PLANOS. Sean π y π' dos planos

cualesquiera del espacio euclídeo tridimensional y sean 'y nn sus vectores ortogonales asociados.

Se verificará que: >>=<< ',', nnππ

y, por tanto,

''',cos',cos

nnnnnn⋅⋅

>=<>=< ππ

'n'π


116

Si consideramos que 'y nn tienen por coordenadas (A,B,C) y (A’,B’,C’) respectivamente, entonces

222222 ''''.'.'.

''',cos',cos

CBACBACCBBAA

nnnnnn

++++

++=

⋅⋅

>=<>=< ππ

EJEMPLO: ♦ Hallar el ángulo formado por los planos

0532'y 0132 =−+−≡=+−−≡ zyxzyx ππ

Los vectores ortogonales a los planos dados son: )3,1,2('y )1,3,2( −−− nn Por tanto:

'' ' º', 72cos arc',

)()()(

).()).((.',cos',cos

542373

72

144

1414334

312132311322

222222

>=ππ<⇒>=ππ<⇒

⇒==−+

=+−+−+−+

−+−−+>=<>=ππ< nn

PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS.

n

π

Sean π y π' dos planos cualesquiera del espacio afín-euclídeo tridimensional y sean 'y nn sus vectores ortogonales asociados.

Diremos que π y π' son ortogonales si, y sólo si, los vectores

'y nn son ortogonales:

0' ' =⋅⇔⊥ nnππ

n

'n

π

'π

289

♦ Ecuación del plano que pasa por una recta (contiene a una recta) dada y es perpendicular a otro plano.

Dada una recta r y un plano π, queremos calcular la ecuación del plano π' que

contiene a la recta r, siendo perpendicular al plano π. Por contener a la recta r, π' pertenecerá al haz de planos con base dicha recta y su

vector asociado será ortogonal al asociado al plano π.

EJEMPLO.

Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta r cuyas ecuaciones cartesianas son

y es perpendicular al plano ⎩⎨⎧

=++−=+−+

≡013022

zyxzyx

r 0323 =+−+≡ zyxπ

El plano π’ pedido pertenecerá al haz determinado por la recta r, cuya ecuación nos vendrá dada por

0)13.()22( =++−++−+ zyxzyx λ Ordenando, tendremos:

0)2()31()1()2( =+++−+−++ λλλλ zyx y el vector ortogonal asociado será )31,1,2(' λλλ +−−+n Por otra parte, el vector perpendicular asociado al plano π es el vector ).1,2,3( −n Como el plano que buscamos tiene que ser perpendicular a π, los vectores 'y nn tienen que ser perpendiculares, es decir,

⇒=λ+−λ−λ+⋅−⇒=⋅ ),,(),,( ' 031121230nn

2902903111223 =λ⇒=λ−⇒=λ+−−+λ−+λ+⇒ )).(()() (

Sustituyendo este valor de λ en la ecuación del haz de planos anterior obtendremos la ecuación del plano pedido:

⇒=++−++−+⇒=++−++−+ )()(2 )()( 0139220132922 zyxzyxzyxzyx

01325713 =++−⇒ zyx

que es la ecuación del plano pedido.

ÁNGULO FORMADO POR UNA RECTA Y UN PLANO.

Se define el ángulo formado por una recta y un plano como el ángulo formado por dicha recta y la proyección de ella sobre el plano: α>=>=<π< ',, rrr ESPACIO AFÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL

117

290

Si tenemos en cuenta que los ángulos ><>< ndr

r


118

En consecuencia,

ndndndr⋅

⋅>=<>=< ,cos,sen π

Si consideramos que nd y tienen por coordenadas respectivamente, obtendremos la siguiente expresión analítica:

),,(y ),,( 321 CBAddd

22223

22

21

321 ...,cos,sen

CBAddd

dCdBdAnd

ndndr++++

++=

⋅

⋅>=<>=< π

EJEMPLO: Hallar el ángulo formado por el plano 032 =−−+≡ zyxπ y la recta

11

12

21 +

=−

=−

≡zyxr

El vector ortogonal al plano es )1,2,1( −n y el vector dirección de la recta es ).1,1,2(d Entonces:

º3021arcsen,

21

63

66122

)1(21112)1.(12.11.2

)1,2,1()1,1,2()1,2,1()1,1,2(,cos,sen

222222

=>=<⇒==−+

=

=−++++

−++=

−⋅−⋅

>=<>=<

π

π

r

ndr

CASOS PARTICULARES: • PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO.

Si dr ⇒⊥π ⎜⎜ ndn y ⇒ son linealmente dependientes y, por tanto, proporcionales.

• PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO.

dn ,y ,π son complementarios, tendremos:

><>=< ndr ,cos,sen π donde d es el vector dirección de la recta y n es el vector ortogonal al plano π.

α 'r

π

291

Si r ⎜⎜ π 0 =⋅⇒⊥⇒ ndnd

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.

Se define la distancia de un punto P a un plano π como la distancia del punto P al punto Q, siendo Q la intersección del plano π con la recta perpendicular a él que pasa por el punto P.

),(),( QPdPd =π

siendo ππ con ⊥∩= rrQ

P


119

Qπ

Vamos a tratar de obtener una expresión para calcular la distancia de un punto a un plano basándonos en la propia definición.

r

Sea y π un plano de ecuación ),,( 111 zyxP 0=+++ DCzByAx . Los pasos a dar para calcular la distancia de un punto a un plano serán los siguientes: 1. Calculamos la ecuación de la recta r perpendicular al plano π que pasa por el punto P dado. El vector director de esta recta será el vector ortogonal al plano dado: dCBAn ≡),,(

Las ecuaciones paramétricas de esta recta serán: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

≡CzzByyAxx

rλλλ

1

1

1

2. Resolvemos el sistema formado por la ecuación del plano dado y la ecuación de la recta

calculada en el punto anterior, obteniendo el punto Q de intersección de ambos.

Para ello sustituimos los valores de x, y, z de las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano:

0).().().( 111 =++++++ DCzCByBAxA λλλ de donde despejamos λ:

222111

CBADCzByAx

+++++

−=λ

sustituyendo este valor de λ en las ecuaciones paramétricas de la recta, obtendríamos las coordenadas del punto Q.

3. Se calcula la distancia entre P y Q (distancia entre dos puntos):

El vector determinado por los dos puntos es:

),,(),,(),,( 111111 CBAzyxCzByAxPQ λλλλλλ =−+++= y como la distancia entre dos puntos es el módulo del vector que determinan, nos queda:

292

2222222222222 )(),(),( CBACBACBAPQQPdPd ++=++=++=== λλλλλπ

Sustituyendo el valor de λ obtenido anteriormente, nos queda:

),(222

111222222

111

CBA

DCzByAxCBACBA

DCzByAxPd++

+++=++⋅

+++++

−=π

lo cual nos dice que: "la distancia de un punto a un plano nos viene dada por el valor absoluto de la ecuación del plano particularizada para las coordenadas del punto dividida por el módulo del vector ortogonal al plano".

En el caso particular de que el punto P sea el origen de coordenadas nos queda:

222),(

CBA

DOd

++=π

EJEMPLO. • Calcular la distancia del punto )2,1,1( −−P al plano 01123 =+−+≡ zyxπ

Para resolver el problema seguiremos los pasos enumerados anteriormente:

1. Recta perpendicular al plano que pase por P:

El vector perpendicular al plano será )1,2,3( −n . Este vector y la recta que buscamos tienen la misma dirección porque son perpendiculares al plano dado. Por tanto, la recta buscada tendrá por dirección el vector )1,2,3( −n y pasa por el punto )2,1,1( −−P . Las ecuaciones paramétricas de dicha recta serán:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+−=

+=≡

λλ

λ

221

31),(

zyx

nPr

2. Intersección de la recta con el plano. Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la del plano:

11414 01414

011)2()21(2)31(3

01123

2

2131

−=−=⇒=+⇒

⇒=+−−−+−++⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−+≡

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+−=

+=≡

λλ

λλλ

πλλ

λ

zyxzyx

r

Por tanto el punto intersección será:


120

293

)1,3,2( 1 )1(2

3 )1.(212 )1.(31

−−−⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒−−−=−=⇒−+−=−=⇒−+=

Qzz

yyxx

3. Distancia entre P y Q:

Calculamos el vector determinado por los dos puntos: )1,2,3()1,3,2()2,1,1( −=−−−−−−=QP

y, por tanto: 14149)1(23),(),( 222 =++=−++=== QPQPdPd π

es la distancia pedida.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Se resuelve de forma análoga a la distancia de un punto a un plano:


121

3. La distancia entre los puntos P y Q será la distancia

entre el punto P y la recta dada.

Trazamos un plano perpendicular a la recta r que pase por P. Dicho plano corta a la recta en un punto Q y ).,(),( QPdrPd =

Los pasos a seguir son los siguientes: 1. Calculamos el plano perpendicular a la recta dada

que pase por P. 2. Calculamos el punto Q intersección entre la recta

dada y el plano calculado anteriormente. Q

P

r

EJEMPLO. • Calcular la distancia del punto )1,3,2( −P a la recta r cuyas ecuaciones paramétricas son

con λ∈R. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+=−=

≡λλλ

15

32

zyx

r

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Cálculo del plano perpendicular a la recta.

El vector dirección de la recta es )1,1,3( −−d y será al mismo tiempo el vector ortogonal al plano. Por tanto, la ecuación cartesiana del plano será:

03 =+−+−≡ Dzyxπ

y como tiene que pasar por el punto )1,3,2( −P se verificará que

2 02 0)1(32.3 =⇒=+−⇒=+−−+− DDD

294

En consecuencia, la ecuación del plano π perpendicular a la recta r dada, será:

023 =+−+−≡ zyxπ

2. Cálculo de la intersección de la recta y el plano:

Resolvemos el sistema formado por la recta y el plano:

112 0211

02)1()5()32(3

0231

532

−=⇒=+⇒

⇒=+−−−++−−⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−+−≡

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+=−=

≡

λλ

λλλ

πλλλ

zyxzyx

r

Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas de la recta, el valor de λ obtenido, nos queda:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=+−=−−−=

=−=−+=

=+=−−=

119,

1153,

1128

119

1121)

112(1

1153

1125)

112(5

1128

1162)

112.(32

Q

z

y

x

Por tanto, el punto intersección entre la recta y el plano tiene por coordenadas

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

119,

1153,

1128Q

3. La distancia entre los puntos P y Q será la distancia entre el punto P y la recta r dada.

Calculamos las coordenadas del vector determinado por los puntos P y Q:

)112,

1120,

116()1

119,3

1153,2

1128()1,3,2()

119,

1153,

1128( =+−−−=−−−=PQ

por lo que

111102

11440

11440036

112206

112

1120

116),(),( 2

222222

==++

=

=++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== PQQPdrPd

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS.

• Si son paralelas: basta tomar un punto de una recta y calcular la distancia a la

otra. ESPACIO AFÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL

122

295

• Si se cortan: la distancia es cero. • Si se cruzan: buscaremos la perpendicular común (más adelante) y los puntos

de corte con las rectas. La distancia entre ellos nos da la mínima distancia entre las rectas.

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO, SIENDO AMBOS PARALELOS

• Se toma un punto se la recta y calculamos la distancia del punto al plano. DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS.

• Tomamos un punto de uno de los planos y hallamos la distancia al otro plano. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.

Dados dos vectores 3, Vvu ∈ , se define el PRODUCTO VECTORIAL vu × como otro vector con las siguientes características:

1. Su módulo nos viene dado por: ><⋅⋅=× vuvuvu ,sen 2. Su dirección es ortogonal a vvuuvuvu y : ay ⊥×⊥× 3. Su sentido nos viene dado por la regla del sacacorchos que gira del primer vector al

segundo describiendo el menor ángulo (siguiendo el camino más corto).

• Si alguno de los vectores es nulo, el producto vectorial de ellos es el vector nulo: 000 =×=× vu

EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO VECTORIAL.

Sea },,;{ kjiOR = un sistema de referencia ortonormal de E3. Para este sistema de referencia tendremos:

0=×=×=× kkjjii puesto que el ángulo formado por un vector consigo mismo es de cero grados y el .0º0sen =

Los demás productos entre los vectores de la base serán:

ikj

jki

kji

Z


123

=×

−=×

=×

ijk

jik

kij

−=×

=×

−=×

Teniendo en cuenta los productos

vectoriales de los vectores de la base del sistema de referencia, veamos como nos queda el producto vectorial de dos vectores cualesquiera.

kj Y

i OX

296

Si los vectores vu y tienen por coordenadas respecto de la base B del sistema de referencia, se pueden expresar dichos vectores como combinación lineal de los vectores de la base de la siguiente forma:

),,(y ),,( 222111 zyxzyx

kzjyixu 111 ++= kzjyixv 222 ++=

En consecuencia, el producto vectorial de los vectores nos quedará:

=++×++=× )()( 222111 kzjyixkzjyixvu

)(.)(.)(.)(.

)(.)(.)(.)(.)(.

21212121

2121212121

kkzzjkyzikxzkjzy

jjyyijxykizxjiyxiixx

×+×+×+×+

+×+×+×+×+×=

Teniendo en cuenta los productos vectoriales de los vectores de la base, nos queda:

=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅+⋅=

=−+⋅−+⋅−=

=−+++−+−+=×

kyxyx

jzxzx

izyzy

kyxyx

jxzxz

izyzy

kxyyxjzxxziyzzy

iyzjxzizykxyjzxkyxvu

22

11

22

11

22

11

22

11

22

11

22

11

212121212121

212121212121

)..()..()..(

)(...)(.)(..

y, en consecuencia,

222

111

zyxzyxkji

vu =×

EJEMPLO. • Calcular el producto vectorial de los vectores )1,2,1(y )1,1,2( vu −

kjindodesarrollakji

vu 53)(121112 +−−==−=×

Por tanto, el vector )5,1,3(53 −−≡+−−=× kjivu

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL.

1. LINEALIDAD: ⎩⎨⎧

×⋅=⋅××⋅=×⋅

∈∀∈∀)()()()(

:y , 3 vukvkuvukvuk

RkVvu

2. )( :, 3 vuuvVvu ×−=×∈∀


124

297

3. DISTRIBUTIVA: )()()(:,, 3 wuvuwvuVwvu ×+×=+×∈∀ INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL

Para todo par de vectores no nulos ,, 3Vvu ∈ el módulo del producto vectorial vu × es igual al área del paralelogramo construido sobre esos vectores.

El área del paralelogramo nos viene dada por:

Área = Base × Altura

vh

u

En nuestro caso, la base del paralelogramo nos viene dada por el módulo del vector

)( uu y la altura por: ><⋅= vuvh ,sen En consecuencia,

Área vuvuvu ×>=<⋅⋅= ,sen APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL. 1. COORDENADAS DE UN VECTOR PERPENDICULAR A DOS RECTAS r Y s.

Si rd es el vector de dirección de la recta r y sd es el vector de dirección de la recta s,

el vector sr dd × será un vector perpendicular a rd y a sd . En consecuencia, el vector

sr dd × será perpendicular a r y a s. EJEMPLO:

• Si 4

23

12

+=

−=≡

zyxr y xyxs =−=+

≡ 22

1

Entonces: rd (2,3,4) y sd (2,1,1) y, por tanto, un vector perpendicular a r y a s será:

)4,6,1( 46112432 −−=×⇒−+−==× srsr ddkjikji

dd

COORDENADAS DE UN VECTOR PARALELO A UNA RECTA DADA COMO

INTERSECCION DE DOS PLANOS (ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA).

Consideremos una recta r dada por sus ecuaciones cartesianas: las ecuaciones de dos

planos π y π'


125

298

⎩⎨⎧

=+++=+++

≡0''''0

DzCyBxADCzByAx

r

Sabemos que ),,( CBAn⊥π y )',','(' ' CBAn⊥π . Por tanto, como r está contenida

tanto en π como en π', también será perpendicular a dichos vectores:

nr ⊥ y ' nr ⊥

Por otra parte, el producto vectorial 'nn × es perpendicular a ambos vectores y, en consecuencia, será paralelo a r, con lo que podremos utilizarlo como su vector dirección.

EJEMPLOS:

• Encontrar el vector dirección de la recta r dada por ⎩⎨⎧

=++=−+−

04 203

:zxzyx

r

Los vectores ortogonales a los planos que nos determinan la recta r son: )1,1,1( −n y

'n (2,0,1). El producto vectorial de estos vectores nos da un vector paralelo a la recta r:

)2,1,1( 2102111' −=×⇒++−=−=× nnkjikji

nn

y podremos considerarlo como dirección de la recta r.

• Hallar las coordenadas de un vector perpendicular a las rectas

⎩⎨⎧

=+−+=−+−

03201

:zyxzyx

r ⎩⎨⎧

=+=+++

0 0132

:zxzyx

s

Calculamos los vectores de dirección de las rectas igual que en el ejercicio anterior:

Dirección de la recta r: )1,1,1( −n y )1,1,2(' −n

)1,1,0()3,3,0(' 33112

111' ≅=×≈⇒+=−

−=× nndkjkji

nn

Dirección de la recta s: )3,1,2(n y )1,0,1('n

)1,1,1('' 101312' −=×≈⇒−+==× nndkjikji

nn

En consecuencia, el vector perpendicular a dichas rectas será


126

299

)1,1,2(' 2111

110' −−=×⇒−+−=−

=× ddkjikji

dd

• Hallar las coordenadas de un vector paralelo a los planos de ecuaciones 032y 0 =−+−=+ zyxzx

Los dos planos determinan una recta r cuyas ecuaciones cartesianas o implícitas son las ecuaciones de los mismos planos y, además, dicha recta está contenida en ambos planos. Calculando las coordenadas de un vector paralelo a la recta, tendremos las coordenadas del vector pedido. Por tanto:

)1,1,1(' 112101' −=×⇒−+=

−=× nnkji

kjinn

ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS

VÉRTICES.

Sea el triángulo de vértices . Estos tres puntos

determinan dos vectores

),,(y ),,( ),,,( 333222111 zyxCzyxBzyxA

.y ACAB

El área del triángulo nos viene dada por:

alturabaseABCArea ⋅⋅=Δ21)(

La base del triángulo es el módulo del vector , , ABAB y la altura nos viene dada por

><⋅= ACABACh ,sen


127

C

h

A B Entonces:

ACABACABACABalturabaseABCArea ×⋅>=<⋅⋅⋅=⋅⋅=Δ21,sen

21

21)(

EJEMPLO. ⎬ Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano

06 con los ejes de coordenadas. 32 =−++ zyx

1. Calculamos los puntos de intersección del plano con los ejes: Eje OX: sus ecuaciones cartesianas son

. ⎩⎨⎧

==

00

zy

Sustituyendo estos valores en la ecuación del plano, nos queda:

3 062 =⇒=− xx y el punto de intersección tiene por coordenadas A(3,0,0).

ZC

BO Y

AX

300

Eje OY: sus ecuaciones cartesianas son y sustituyendo en la ecuación del plano

nos queda ⎩⎨⎧

==

00

zx

.6 06 =⇒=− yy Por tanto, las coordenadas de B son (0,6,0).

Eje OZ: sus ecuaciones cartesianas son . De forma análoga a las

anteriores obtenemos: ⎩⎨⎧

==

00

yx

2 063 =⇒=− zz y el tercer vértice del triángulo será C(0,0,2).

3. Teniendo ya los vértices del triángulo, podemos calcular su área:

)2,0,3()0,0,3()2,0,0(

)0,6,3()0,0,3()0,6,0(

−=−=

−=−=

AC

AB

)18,6,12( 18612203063 =×⇒++=

−−=× ACABkji

kjiACAB

Por tanto,

143312621

)6.3(6)6.2(2118612

21

21)(

222

222222

=++⋅=

=++=++=×⋅=Δ ACABABCArea

Con el producto vectorial de dos vectores, podemos calcular de otra forma la

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Consideremos la recta r determinada por el punto A y el vector .d Queremos calcular la distancia del punto P a la recta r.

Con el vector d dirección de la recta y el

vector AP determinado por los puntos A y P, podemos formar un paralelogramo cuya base es d y su altura h es la ).,( rPd

Teniendo en cuenta que el área del paralelogramo es igual a base por altura y también, teniendo en cuenta la interpretación geométrica del producto vectorial de vectores, es

r

Ad

P

h

vectorial de los dos vectores que lo forman, obtenemos:

d

APdrPdrPddAPdArea

×=⇒⋅=×= ),( ),(


128

301

EJEMPLO.

• Calcular la distancia del punto P(2,3,−1) a la recta ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+=−=

≡λλλ

15

32

zyx

r

Un punto de la recta es A(2,5,−1) y su vector dirección es )1,1,3( −−d . El vector determinado por los puntos A y P tiene por coordenadas

)0,2,0()1,5,2()1,3,2( −=−−−=AP

El producto vectorial de dAP y será:

)6,0,2(62113

020 −≅−=−−

−=× kikji

dAP

y su módulo 40364)6(02 222 =+=−++=× dAP

Por otra parte: 11119)1(1)3( 222 =++=−++−=d

y, en consecuencia: u.l. 1140),( =

×=

d

dAPrPd

PRODUCTO MIXTO DE VECTORES.

Sean tres vectores 3,, Vwvu ∈ no nulos. Se define el PRODUCTO MIXTO de tres vectores no nulos como el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. Se representa por { }wvu ,, y el resultado es un número real:

{ } )(,, wvuwvu ×⋅= Si alguno de los vectores es nulo, el producto mixto es igual a cero.

EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO MIXTO. Sea },,{ kjiB = una base ortogonal de V3 y consideremos que las coordenadas de los vectores wvu ,, respecto de dicha base sean , y respectivamente.

),,( 111 zyx ),,( 222 zyx ),,( 333 zyx

Aplicando las expresiones analíticas de los productos escalar y vectorial, obtendremos la siguiente expresión para el producto mixto:


129

302

=⋅++=×⋅

333

222111 )()(zyxzyxkji

kzjyixwvu

333

222

111

33

221

33

221

33

221

33

22

33

22

33

22111 )(

zyxzyxzyx

yxyx

zzxzx

yzyzy

x

kyxyx

jzxzx

izyzy

kzjyix

=⋅+⋅−⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−⋅⋅++=

lo cual nos dice que "el producto mixto de tres vectores nos viene dado por el determinante formado por las coordenadas de los mismos". PROPIEDADES.

1. 3,, Vwvu ∈∀ se verifica que: { wvu ,, } = −{ vwu ,, } = { vuw ,, } = −{ uvw ,, } = { uwv ,, } = −{ wuv ,, }

2. },,.{..},,{ wvucbawcvbua =⋅⋅⋅

3. },,'{},,{},,'{ wvuwvuwvuu +=+

4. 0},,{ =wvu si, y sólo sí, wvu ,, son coplanarios (linealmente dependientes) o alguno de los vectores es nulo.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO MIXTO DE VECTORES.

Consideremos tres vectores 3,, Vwvu ∈ . El valor absoluto del producto mixto de ellos será:

>×<⋅×⋅= wvuwvuwvu ,cos},,{


130

wv × es el área de la base del paralelepípedo construido sobre los tres vectores y

hOHwvuu =>=×<⋅ ,cos es la altura del mismo.

Entonces:

=},,{ wvu (área de la base)×(altura)= Volumen del paralelepípedo

wv ×H

u

w

vO

303

En consecuencia, el valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual al

volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los tres vectores. APLICACIONES DEL PRODUCTO MIXTO. VOLUMEN DE UN TETRAEDRO

Sea el tetraedro de vértices A, B, C y D. Estos cuatro puntos determinan tres vectores

ADACAB y , sobre los cuales podemos construir un paralelepípedo y descomponerlo en dos prismas triangulares iguales de vértices ABCDEF y BCEHFG respectivamente. Cada uno de estos prismas se puede considerar formado por tres tetraedros todos ellos de igual volumen.


131

Para el primero de los prismas, los tetraedros serían: ABCD, DCEF y DCFB. En

consecuencia, el paralelepípedo construido sobre los tres vectores ADACAB y , estaría formado por seis tetraedros y teniendo en cuenta la interpretación geométrica del producto mixto nos quedará:

},,{61 },,{6 ADACABVADACABV tetraedrotetraedro ⋅=⇒=⋅

EJEMPLO. • Calcular el volumen del tetraedro cuyos vértices son A(3,5,7), B(1,0,−1), C(7,−1,4) y

D(11,4,−6).

Puesto que las coordenadas de B son más cómodas de utilizar que las de los otros puntos, consideramos B como origen y formamos los vectores:

)5,4,10()1,0,1()6,4,11(

)5,1,6()1,0,1()4,1,7(

)8,5,2()1,0,1()7,5,3(

−=−−−=

−=−−−=

=−−=

BD

BC

BA

En consecuencia,

u.l. 1076

6426

)150(40)80(19225010

5410516852

61

==−−−−−++

=−

−⋅=tetraedroV

D EF H

CA

B G

304

PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.

Se llama PERPENDICULAR COMÚN a dos rectas que se cruzan a la recta que corta perpendicularmente a cada una de ellas.

Consideremos las rectas ),( dAr y ).',( dBs Sabemos que el vector 'dd × es perpendicular a d y a 'd y, por tanto, perpendicular a las rectas r y s.

En consecuencia, la perpendicular común a ellas llevará la dirección del vector 'dd × . Cómo para tener determinada la recta nos faltaría conocer un punto de la misma, nos resulta más fácil y cómodo obtener la recta perpendicular común mediante sus ecuaciones cartesianas de la siguiente forma:

a. Calculamos el plano que contiene a la recta r y al vector 'dd × ; es decir, calculamos el plano determinado por el punto A, el vector d y el vector 'dd × :

)',;( dddA ×π b. Calculamos un segundo plano que contiene a la recta s y al vector 'dd × :

)',';(' dddB ×π La intersección de estos dos planos calculados π y π' es una recta que tiene por dirección

la común a ambos planos: 'dd × MÍNIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.

Se define la distancia entre dos rectas que se cruzan como la mínima distancia entre los puntos de las rectas, es decir, es la distancia de un punto de ellas al plano que contiene a la otra y es paralelo a la primera. También podemos definirla como la distancia entre los puntos de intersección de las rectas con la perpendicular común.

Estas definiciones nos están dando algunos procedimientos para calcular la mínima distancia entre dos rectas que se cruzan. Sin embargo, la forma más rápida de calcular la mínima distancia es la siguiente:

La altura del paralelepípedo construido con los dos vectores de dirección de las rectas y un tercer vector que une dos puntos A y B de las rectas r y s, es precisamente la mínima distancia entre las dos rectas:

alturaAreaVolumen basepedoparalelepí ×=

'},',{),( ),('},',{

ddABddsrdsrdddABdd

×=⇒⋅×=

EJEMPLO. • Hallar la perpendicular común y la mínima distancia entre las rectas:

zyxr =−=≡ 1 13 −==≡ zyxs

La recta r está determinada por el punto A(0,1,0) y su vector dirección ).1,1,1(rd Para determinar la recta s hacemos z = λ con lo que sus ecuaciones paramétricas serían:


132

305

⎩⎨⎧ −−

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−=

≡)1,3,3(

)0,1,1(

3131

sd

B

zyx

sλλλ

Obtenidos los elementos que determinan las dos rectas estudiamos la posición relativa de las mismas. Para ello, calculamos el determinante formado por los vectores :,, sr ddAB

)0,2,1()0,1,0()0,1,1( −−=−−−=AB

02)2()3(00)6()1(133111021

≠−=−−−−−+−+−=−−

En consecuencia, al ser el determinante distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes y las dos rectas se cruzan.

Vamos a calcular la perpendicular común a ambas rectas y para ello:

• Hallamos el producto vectorial :sr dd ×

)0,2,2( 22133111 −=×⇒+−==× srsr ddjikji

dd

• Plano que contiene a la recta r y al vector :sr dd ×

012 04)1(22 00121121

),( =−−+⇒=+−−−⇒=−−

≡× zyxzyxz

yx

ddr srπ

• Plano que contiene a la recta s y al vector :sr dd ×

026 012)1(2)1(2 001231231

),(' =+−+⇒=++−+−⇒=+−+

≡× zyxzyxz

yx

dds srπ

Por tanto, la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas dadas, en su forma cartesiana, nos viene dada por las ecuaciones de los planos calculados:

⎩⎨⎧

=+−+=−−+

026012

zyxzyx

• Mínima distancia entre las rectas:

Tenemos: ⎩⎨⎧

)1,1,1(

)0,1,0(:

rd

Ar )0,2,1()0,2,1(

)1,3,3(

)0,1,1(: ≈−−=⇒⎩⎨⎧ −−

ABd

Bs

s

)0,2,2(−=× sr dd 2},,{ =ABdd sr

y, en consecuencia:


133

306

u.l. 22

222

4.22

02)2(2}.,{

),(222

===++−

=×

=sr

sr

ddABdd

srd

EJERCICIOS RESUELTOS.

1. Hallar los planos que contienen a la recta y forman un ángulo de 60º

con el plano ⎩⎨⎧

=+=+

≡00

zxyx

r

.0=++≡ zyxπ

La ecuación de todos los planos que contienen a la recta r nos viene dada por la ecuación del haz: 0).1( 0).()( =+++⇒=+++ kzyxkzxkyx y su vector ortogonal nos vendrá dado por ),1,1(' kkn + .

El vector ortogonal al plano π es )1,1,1(n .

El ángulo formado por los dos planos es igual que el ángulo formado por sus vectores ortogonales. Entonces:

322222

1111)1(11',cos',cos

2222222 kkk

kkkknn

++

+=

+++++

+++>=<>=< ππ

Como el ángulo que tienen que formar los dos planos es de 60º tendremos:

21

322222

2=

++

+

kkk

Resolviendo la ecuación resultante, obtenemos:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−≅−−

=

−≅+−

=⇒

⇒±−

=−±−

=⇒=++⇒

⇒++=++⇒++=+⇒

⇒++=+⇒=++

+

13.210

6913

47.010

6913

10

691310

10016913 05135

)222(3)21(16 3222)1(4

3222)1(4 21

322222

2

222

222

2

2

k

k

kkk

kkkkkkk

kkkkk

k

Sustituyendo estos valores en la ecuación del haz de planos, nos queda:

013.213.1 13.2 047.053.0 47.0

=−+−⇒−==−+⇒−=

zyxkSizyxkSi

que son las ecuaciones de los planos pedidos.


134

307

2. Hallar la ecuación del plano paralelo a x + 2y − z + 1 = 0 y que diste 6 del origen.

La ecuación de cualquier plano paralelo al dado será de la forma:

02 =+−+ Dzyx

Como la distancia del origen a estos planos tiene que ser 6 , nos quedará:

( ) ⇒=⇒=++

⇒++

=π ),(2

22266

141D

D

CBA

DOd

⎩⎨⎧−

=⇒=⇒6

66 DD

En consecuencia, los planos buscados tienen por ecuación:

062 =+−+ zyx 062 =−−+ zyx

3. Dada la recta 22

21

1:−

=−−

=− zyxr y el plano .032 =++−≡ zyxπ

Encontrar la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π. Determinar el ángulo que forman r y π. • La proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π estará contenida en el plano π,

luego la ecuación de este plano será una ecuación cartesiana de la recta pedida.

La otra ecuación cartesiana será la ecuación de un plano que contenga a la recta r y sea perpendicular al plano π. Este plano nos vendrá determinado por el punto base de la recta r, su vector dirección y el vector ortogonal al plano π.

Entonces:

042 0)2()1(2

0)2(3)1(6 012222

111'

)1,2,1()2,2,1(

)0,2,1(:

'

=−+⇒=−+−⇒

⇒=−−−−⇒=−

−−−−

≡⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⎩⎨⎧

−−≡

yxyx

yxz

yx

nd

Ar

ππ

Por tanto, las ecuaciones cartesianas de la recta proyección de r sobre el plano π serán:

⎩⎨⎧

=−+=++−

04 2032

yxzyx

• Ángulo formado por la recta r y el plano π:

⇒==−+

=++++

−⋅−−=

⋅⋅

>=π< ),,(),,(,6

163

369241

141441121221

ndnd

rsenr

r

'' ' º, 415246

1=>=π<⇒ arcsenr


135

308

4. a) ¿Qué relación debe existir entre α β y para que los vectores ( )u1 = −α 3 1 ( )u2 = 3 β 5 ( )u3 = −1 4 3

sean linealmente independientes? b) Determinar, si es posible, un vector no nulo v que sea perpendicular a 1u y 2u y,

además, sea paralelo a .3u Consideremos la matriz A formada por los tres vectores dados u1 , u2 , u3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

34-15313-

= βα

A

Para que los tres vectores sean linealmente independientes, el rango de la matriz A debe de ser tres. Por tanto, si queremos que el rango de A sea tres, su determinante debe ser distinto de cero.

Vamos a calcular el determinante de A y hacerlo distinto de cero para que los vectores sean linealmente independientes:

ααβαβαβαβαβ 20+)13(=20+3=27+20+12153 = −−−−−A

Hacemos el determinante de A distinto de cero y despejamos β en función de α , obteniendo de esta forma la relación pedida para que los vectores sean independientes:

αα

ααβααβ

3120

1320 020+1)3(

−≠

−−≠⇒≠−

En consecuencia, para que los tres vectores sean linealmente independientes, se tiene que verificar que

ααβ31

20−

≠

b) Consideremos el vector v x y z( , , )

Si v u v u x y zSi v u v u x y z

Si v u v k u x y z k

⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ − + =⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ + + =

⇒ = ⋅ ⇒ = = =

1 1

2 2

3 3

0 30 3 5

1 4 3

00

αβ

Resolviendo el sistema resultante, obtenemos:

⎩⎨⎧

−⋅

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅−−−

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫−

0 = 418 0 = 15+

0 = 35+)4(+3 0=3+)4(3

3 = 4=

=

βα

βα

kkkk

kkkkkk

kzkykx

Como el vector que buscamos es distinto de cero, obligatoriamente k tiene que ser también distinto de cero. Dividiendo ambas ecuaciones por k, obtenemos:

v

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−⇒

⎭⎬⎫

−+

29

418=

15=

0 = 418 0 = 15

β

α

βα


136

309

En consecuencia, sólo podremos encontrar el vector v en las condiciones que nos piden

para los valores de .29 = y 15 βα −= Este vector v podría ser el mismo vector u3 o

cualquier otro proporcional a él. 5. (1) Dados los planos de ecuaciones respectivas x = 0 e y = 0, hallar la ecuación del

plano π que contiene al punto P(1,2,3) y a la recta común a los planos dados. (2) Determinar la recta que pasa por el punto P y corta perpendicularmente a la recta dada por las ecuaciones x = 3 e y = 3.

Las ecuaciones de los planos dados serán las ecuaciones cartesianas de la recta común a ambos. La ecuación de cualquier plano que contenga a dicha recta nos viene dada por la ecuación del haz:

0=+ yx λ Como el plano que nos interesa es el que contiene al punto P(1,2,3), las coordenadas de éste

tendrán que verificar la ecuación del haz: 1+ 2λ = 0 21 −=⇒ λ

Sustituyendo este valor en la ecuación del haz y operando, obtendremos el plano pedido:

x y x y− = ⇒ − =12

0 2 0

(2) Determinar la recta que pasa por el punto P y corta perpendicularmente a la recta dada por las ecuaciones x = 3 e y = 3.

Primer método:

Las ecuaciones paramétricas de la recta dada serán y, por tanto el punto de

corte Q con la recta pedida tendrá unas coordenadas de la forma Q(3,3,λ). Los puntos P y Q determinan la recta pedida que tendrá una dirección

xyz

===

⎧

⎨⎪

⎩⎪

33λ

)3,1,2()3,2,1(),3,3( −=−= λλPQ que debe ser perpendicular a la dirección de la recta dada d ( , , )0 0 1 . Por tanto:

3 03 0)1,0,0()3,1,2( 0 =⇒=−⇒=⋅−⇒=⋅ λλλdPQ En consecuencia, el punto de corte de ambas rectas será el punto Q(3,3,3) y la recta

pedida tendrá por ecuación x y z−=

−=

−12

21

30

.

Segundo método: Calculamos un plano que contenga a la recta dada y pase por P. Para ello operamos como en el apartado (1) tomando la ecuación del haz de planos que contiene a la recta dada:

( ) ( )x y− + − =3 3 0λ

quedándonos con el que pasa por P(1,2,3):

( ) ( )1 3 2 3 0 2 0 2− + − = ⇒ − − = ⇒ = −λ λ λ


137

310

y sustituyendo en la ecuación del haz, obtenemos: ( ) ( )x y x y− − − = ⇒ − + =3 2 3 0 2 3 0

Por otra parte, calculamos la ecuación de un plano perpendicular a la recta dada que pase por P:

Como el vector dirección de la recta es d ( , , )0 0 1 , la ecuación de cualquier plano perpendicular a ella será de la forma:

0 0 1 0. . .x y z k z k+ 0+ + = ⇒ + =

Como tiene que pasar por P(1,2,3), éste debe de verificar dicha ecuación: 3 + k = 0 ⇒ k = −3. La ecuación del plano buscado será z −3 = 0. Por tanto, la recta pedida dada por sus ecuaciones cartesianas será:

x yz− + =− =

⎧⎨⎩

2 33 0

0

6. Dado un punto arbitrario P de R3, sea Q el punto del plano 2x − 2y − z = 0 que está

más cerca de P. Construye una matriz A tal que si las coordenadas del punto

se escriben en un vector columna , entonces las coordenadas de Q

son las componentes del vector

),,( cbaP = vabc

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

.vA ⋅

El punto del plano dado más cercano al punto P será el pie de la perpendicular a dicho plano que pase por P. Para calcular el pie de la perpendicular calcularemos la recta perpendicular al plano que pasa por P y, después, buscaremos la intersección de la recta calculada con el plano dado. La recta perpendicular al plano dado tendrá por dirección la misma que la del vector ortogonal al plano; por tanto, como el vector ortogonal al plano tiene por coordenadas

la ecuación de la recta en su forma paramétrica será: ),1,2,2( −−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+=

λλλ

czbyax

r 22

:

Para buscar las coordenadas del punto Q, calculamos la intersección de la recta y el plano resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones:

922 0)144()22(

0)()2(2)2(2

022

22

cbacba

cba

zyxczbyax

−−−=⇒=+++−−⇒

⇒=−−−−+⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+=

λλ

λλλλλλ


138

311

Sustituyendo en las ecuaciones de la recta obtenemos las coordenadas del punto Q

x a a b c a a b c a b c

y b a b c b a b c a b c

z c a b c c a b c a b c

= + −− −

=− + +

=+ +

= + ⋅− −

=+ − −

=+ −

= +− −

=+ − −

=− +

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

2 2 29

9 4 4 29

5 4 29

2 2 29

9 4 4 29

4 5 29

2 29

9 2 29

2 2 89

( )

Teniendo las coordenadas de Q vamos a tratar de buscar la matriz A que verifica que las coordenadas de Q son las componentes de Av. Tendremos

Aabc

a b ca b ca b c

Aabc

abc

⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= ⋅

+ ++ −− +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⇒ ⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= ⋅ −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

19

5 4 24 5 22 2 8

19

5 4 24 5 22 2 8

En consecuencia,

A = ⋅ −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

19

5 4 24 5 22 2 8

7. De un paralelogramo ABCD se conocen el centro M(2,1,2) y dos vértices consecutivos

A(1,2,5) y B(0,1,4). Determina: (1) Las coordenadas de los otros dos vértices C y D. (2) El área del paralelogramo. (3) La ecuación del plano Π que lo contiene. (4) La ecuación del plano que es perpendicular a Π y contiene a la diagonal AC.

(1) Si tenemos en cuenta que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto

medio, tendremos que:


139

Si consideramos que las coordenadas de C son y las de D son , entonces: ( , , )x y z1 1 1 ( , , )x y z2 2 2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒−=−=⇒−=−=⇒=−

⇒−−=−−−=

−−=−=

165022

3 21 )3,1,1.(2)5,2,1(

)3,1,1()5,2,1()2,1,2(

11

11

11

111

zzyy

xxzyxAC

AM

CD AMAC .2= Vértice C:

Vértice D: BMBD .2= M

A B

312

Por otro lado,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒−=−=⇒=−=⇒=

⇒−=−−=

−=−=

0 441 014 4

)2,0,2.(2)4,1,(

)2,0,2()4,1,0()2,1,2(

22

22

22

222

zzyyxx

zyxBD

BM

Por tanto, las coordenadas de C son (3,0,−1) y las de D(4,1,0). (2) Teniendo en cuenta la interpretación geométrica del producto vectorial, el módulo de éste es

igual al área del paralelogramo construido con base los dos factores, vamos a calcular primero los vectores .y ADAB

)5,1,3()5,2,1()0,1,4(

)1,1,1()5,2,1()4,1,0(

−−=−=

−−−=−=

AD

AB

El producto vectorial de ellos será

)4,8,4(484513111 −≈+−=

−−−−−=× kjikji

ADAB

y su módulo: u.s. 646161664164)8(4 222 =⋅=++=+−+=× ADAB

(3) Teniendo en cuenta que el vector producto vectorial es ortogonal al plano determinado por

los vectores, el vector (4,−8,4) ≈ (1,−2,1) es un vector ortogonal al plano determinado por los vectores ADAB y y, en consecuencia, la ecuación del plano nos vendrá dada por

x y z k− + + =2 0y como tiene que pasar por cualquiera de los cuatro puntos que determinan el paralelogramo, las coordenadas de éstos tendrán que verificar su ecuación:

A k k∈ ⇒ − k⋅ + + = ⇒ + = ⇒ = −Π 1 2 2 5 0 2 0 2

Por tanto, la ecuación del plano que contiene al paralelogramo será: x y z− + − =2 2 0

(4) El plano perpendicular a Π que contiene a la diagonal AC nos vendrá determinado por el punto A y los vectores nAC y , siendo n el vector ortogonal al plano. La ecuación de este plano nos vendrá dada por:

02047

0)5.(1)2.(4)1.(7 0315122

111),,('

=−++⇒

⇒=−+−+−⇒=−−−−−

−≡Π

zyx

zyxzyx

nACA


140

313

8. ¿Existe alguna recta cuyas proyecciones ortogonales sobre los planos coordenados son, respectivamente,

4 1 1 3 5 2x XOY x z XOZ y z YOZ= − = − = sobre 3 sobre sobre , , ? Si existe, determinarla. Si no existe, explica por qué.

Para calcular la proyección de una recta sobre un plano, el método más fácil es encontrar sus ecuaciones cartesianas (recta dada como intersección de dos planos): uno de ellos es el plano sobre el que proyectamos y el segundo es un plano perpendicular al primero que contiene a la recta que proyectamos. En nuestro problema, las rectas proyección sobre cada uno de los planos cartesianos nos vienen dadas por sus ecuaciones cartesianas:

4 10

3 10

3 5 20

xz

x zy

y zx

==

⎫⎬⎭

− ==

⎫⎬⎭

− ==

⎫⎬⎭

Podemos comprobar fácilmente que los planos que determinan cada una de las rectas proyección son ortogonales entre sí. Para comprobar si existe una recta cuyas proyecciones sean las dadas, los planos perpendiculares a los planos cartesianos tendrían que tener una recta en común (la que estaríamos proyectando).

Veamos si es cierto: para ello estudiamos la posición relativa de los planos a ver si tienen una recta en común, resolviendo el sistema formado por los tres planos

4 13 1

3 5 2

xx z

y z

=− =− =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

Tomamos las matrices de coeficientes y ampliada del sistema y estudiamos sus rangos:

M M= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

4 0 03 0 10 3 5

4 0 0 13 0 1 10 3 5 2

*

Si tenemos en cuenta que M r M r M= ⇒ =12 3 3 y ( ) ( )* = , entonces el sistema es compatible y determinado: los tres planos se cortan en un punto y no en una recta. Por tanto, no existe ninguna recta cuyas proyecciones sobre los ejes son las rectas dadas.

9. Hallar de forma razonada un punto P del plano determinado por los puntos A(2,0,0),

B(0,4,0) y C(0,0,6) que esté a igual distancia de los tres (P se llama circuncentro del triángulo cuyos vértices son A, B y C).

La ecuación del plano determinado por los tres puntos será (en su forma segmentaria):

12236 1642

=++⇒=++ zyxzyx

14ESPACIO AFÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL

1

314

El punto P que se nos pide equidista de los vértices del triángulo, luego se encontrará en los planos mediadores de cada uno de los lados del triángulo. • Plano mediador del segmento :AB

Punto medio del segmento: M = (1,2,0) Vector determinado por los puntos: )0,2,1()0,4,2()0,0,2()0,4,0( −≈−=−=AB Plano mediador:

032 3 02.21 :por pasar que tieneComo

02

=−+−⇒−=⇒=++−

=++−

yxDDM

Dyx


142

315

4. Hallar el punto simétrico del punto P(2,0,1) respecto de la recta 1 1: +==− zyxr

5. Hallar el punto simétrico del punto P(2,3,1) respecto del plano .03 =+++≡ zyxπ

6. Hallar el área del triángulo de vértices A(1,3,0), B(4,2,1) y C(0,−3,2).

7. Hallar la ecuación del plano π que contiene a la recta r de ecuaciones y

es ortogonal al plano .01⎩⎨⎧

=++=+−+

0 201

zyxzyx

32 =++−≡ zyxα Obtener también las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por π y α.

8. Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al 5x + y + 4z = 0 y pasa por los puntos A(3,1,2) y B(3,4,4).

9. Hallar la ecuación del plano paralelo a x + 2y − z + 1 = 0 y que diste 6 del origen.

10. Hallar el volumen del tetraedro que determina el plano de ecuación 0422 =−++ zyx con los ejes coordenados.

10. Hallar la distancia entre los planos:

0533303

=−++=−++

zyxzyx

11. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular a

y ⎩⎨⎧

+=+−=

321

:yyzx

r .2

11

13

2: +=

−=

+ zyxs

12. Estudiar la posición relativa entre las rectas

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=−=

λλλ

214

32:

zyx

r ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+==

+=

μμμ

212 35

:zyx

s

y, en el caso de que se crucen, calcular la perpendicular común y la mínima distancia entre ellas.


143

316

Apuntes de Matematicas II

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