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7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
1/22
Cprwo
III
SEALEs
ACSTICAS
PERIDICAS.
SERIEDEFOURIER
Anlisis
espectral
.
En
este
capfulo
vamos
a presentar
el
Teorema
de
Fourier,
la
ms
importante
de
las
herramientas
estinadas
l anlisi,"."i". p"i_cas' comenzaremoscon una aproximacin
ntuitiva
p*u
tu"go.;u*,
gradualmente,
a
formulacin
del
teorema
ropiamente
icho.
Examina_
remos
despus
rgunas
encillas
apricaciones
ncticas
con
et
n ,
a"
apreia.
la
utilidad
del
mtodo.
Al
final
del
captulo
se
agrega
na
ampliacin
que
e permitir
profun_
dizar
en
el
tema
al
rector
con
conocimientos
ormales
de
matemtica.
Al
igual
que
el
resto
de
las
ampriaciones
o
es
mprescindible;;;;
""--
rensin
del
texto
y puede
ser
obviada
por
quienes
a
consideren
xcesi-
vamente
ardua.
Suvra
DE
oNDAs
srtusorDAlEs
DE
DrsrrNTa
FREcIIENCTA
En
el
captulo
1
estudiamos
o que
ocurre
cuando
se
suman
dos
sea-
les
sinusoidales
de
iguar
frecuencia:
el
resultado
es
una
nueva
sear
sinusoidal
peridica)
que
conserva
a
frecuencia
de
las
componentes.
i
en
cambio
se
toman
dos
funciones
sinusoidales
peridicasj
o.
air*.u
;
el
resultado
de
la
suma
sr
em_
amospor ejemploque assinrsoides
?=
.
f,
=
282,842...
FIz.
AI
ser
a
r
=
,
=
1,414...,
cada
vez
que
la
quier
vento
arricurar,
omo
l
"*"5;"'fftr
:hT:J
F#;ffi
f)
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
2/22
Seales
peridicas.Serie
de Fourier
Frcune
3.1
Gustavo Basso
de
abscisas, no volver a ocurrir en el futuro: la onda resultante no
es
peridica porque no existe un patrn de forma que se repita tal como lo
exige la
definicin dada en
el captulo 1
(este
comportamiento se debe a
que
la relacin
de
frecuencias est
determinada
por
un
nmero
irracio-
nal
como
,
).t
El fenmeno es muy comn en los instrumentos de
teclado afinados
con
temperamento igual.
Si elegimos en cambio dos ondas cuyas frecuencias mantengan una
relacin
de
3 a
1
observamos
que
a
cada ciclo de la
seal de
menor
frecuencia
le corresponden exactamente tres ciclos de la de mayor fre-
cuencia, retornando
ambas
luego de
un
tiempo
a
la
situacin
inicial.
La
onda resultante en este caso es peridica, y se la puede ver en la figura
3 .1 .
La
relacin 3 a 1 no tiene
nada
especial. Lo importante es
que
cada
una de las
dos seales completan una
cantidad
entera de ciclos en el
I
I-os
nmeros
irracionales son
aquellos
que
no se
pueden
expresar
por
medio
del
cociente
entre dos nmeos
enteros
(p/q,
si
p y q
son enteros). Sus
expanslones
decimales son
necesariamente
infinitas y no
peridicas.
Ejemplos
de nmeros
irracionales son
,,
{3
y n .
56
f,(t)
f '=100Hz
Tiempo
ms]
30\
f,=3oo
z
f *=100
z
Suma
de dos sinusoides
de
lAO
y
300 Hz.
La resultante
posee
un
perodo
de 100 Hz
-
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3/22
2
Un
nmero
racional
se puede
expesar
por
medio
del cociente ene
dos
nmeos
enteos
4y
b
La
expresin
decimal
de
un
nmero
racional
contiene
una
cantidad
finita
de
dgitos
o
una
extensin
decimal
peridica.
por
ejemplo
2/3
=
0,6666666...
o
O, 6
peridico.
3
Tomamos
en
cuenta
slo
el
meno
de
los
perodos
(que
corresponde
a
la
mayor
frecuencia).
Siempre
es
posible
encontraf
otos
perodos
mayores
que
lo
incluyan.
a
La
sucesin
armnica
es
un
caso
paficular
de
sucesin
aritmtica
en.la
que
la
base
a,
corncrcle
con
la
razn
k
(an =
ao+n
k
con
k=a).
Anlisis
espectral
mismo
tiempo,
y
esa
condicin
se
cumple
para
a
relacin
3
a r,
o
3
a
5,
:r :
U
El
caso
general.esr
uOo
o.
o,
ondas
de
frecuencias
y
:
rempre
que
el
cociente
alb
tengapor
resultado
unnmero)llonal,la
suma
de
ambas
seares
riginar
una
sear
peridica.2Mir;;;la
pri_
era
onda
recorre
4
cicros
ra
segunda
ompreta "i"rr., vlr"lven anconrrarse uevrmenren la
siruacin
ehva
i"i".
i;;;Jor"rouo
de
la
resultante
est
determinada
or
er
;ximo
comn
diviso
(MCD)
enrre
as
frecuencias
fry
f,
Veamts
algunos
ejemplos:3
1.
fr=
lO0
Hz
_
fr=
3OO
z
=
3
fl
Periodicidad
P) =
MC
de
100
y
30OHz=
100
gz.
Este
resultado
se puede
"o.p.ob*
en
la
figura
3.1
2.
f,=
60OHz
.4=
gOO
Hz
=
+3
,
Periodicidad
P) =
MC
de
600
y
800
Hz
=
200
Hz.
3 . . f ,=5 .230H2
f
=7.550H2
Periodicirtad
p) =
MC
de
5.230
y
7.550
Hz
=
1g
1".
S"ma
de
ondas
sinusoidales
armnicas
Si
se
suma
una
sinusoide
de
perodo
p
con
ofta
que
en
el
mismo
rempo
P
complera
dos
ciclos,
uegt
con
o,.a
que
completa
3
ciclos,
y
as
odas
as
que
deseemos,
e
obtendn
un
resurtado
muy
particula.
Las
frecuencias
e
estas
seales
on,
de menora mayor:
fr
fr=
2.f,
fr=
3
.ft
fo=
+
ft
,
...
l=
o
,
La
suma
esultante
e
estas
unciones
s
amhin"r,." ,-^r^- -
.-
dica
su
r"*;-",;ue
correspon"
-'*iff::";;iff:lT"i;:;
las
frecuencias
nteriores,
oincide
con{,
la
fiecuencia
de
a primera
de
as
seales
el
perodo
de
a
suma
",
I
J
ffi
El
valor
de
as
frecuencias
de
as
seales
igue
exactamente.rnu
""u"n"ia
armnica
y
se
denomina
sucesin
de
sinusoides
armnic,as
I
conjunto
de
sinusoies
""v".
t"
uencias
cumplan
con
esa
condicin.
Recordemos
ue
una
sucesin
es
rmnicacuandopresentaunabasey todossusmltiplos.
Por
ejemplo,
una
sucesin
armnica
de
base
5
ser:
5,
10,
15,
20,25, . . .
n
x
5
y
de
base
00:
300,
600,
900,
1200,...
n x
300
La
diferencia
entre
dos
valores
sucesivos,
o
raznde
la
sucesin
armnica'
es
guar
al varor
de
la
base.
As
en
er
ltimo
de
los
ejemplos
.200
900
=
300,
900
-
600
=
:00,
etc.i
Podemos
apreciar
el
resultado
de
la
suma
de
las
primeras
cuatro
inusoides
rmnicas on basef, = 100Hz en la figara3.2.La
base
o.fundamental
e
a
rie
es
a la
u",
,,,
primer
armnico.
Los
rmnicos
superiores
oman
diferentes
nombres
en
ra
liteatura
especia_
izada
(parciales,
arciares
armnicos,
oi."io.ror,
etc.)
que
muchas
ve-
es
levan
a
confusin
y
que
emplearemos,
e
ser
,"""r*i",
l
"
efinir
el
mbito
de pertinncia
de
cada
rn
"
"Io..
57
-
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Seales
peridicas.Serie
de Fourien
Frcune .2
f,
(t)+f,(t)+f,(t)
P
=
10 ms
(f. =
100
Hz)
Tiempo
ms]
f
,
t)+f
,(t)+f
(t)
+f
.(t)
i
Suma de
las
primeras
cuatro sinusodes armnicas
cuya
frecuencia
base es de
f
,
=
100 Hz
58
-
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5
En realidad
existen
ciertas
restricciones
matemticas:
las
funciones
deben
ser
seccionalmente
continuas adems
de
peridicas.
Afortunadamente
las
que
intervienen
en acstica musical
cumplen con
estos
requisitos.
AruiJisk
spectral
Estamos
ahora en
condiciones
de
enuncia
el Teorema
de Fourier.
una
de
las
principales
henarnientas
matemtisas
'liz.adas
en acstica
(y
en
toda
disciplina
que
tenga que
ver con fenmenos
peridicos).
Tnonrurn
DE
FouRrER
Hemos
isto
que
una suma
de sinusoides
rmnicas enera
na
onda peridica
cuyo
perodo
coincide
con el
perodo
de la sinusoide
de
menor
frecuencia,
llamado primer
armnico
o fundamental
de la
serie.
Aunque parezca
increble
toda
funcin
peridica
puede
reducirse
a
una
suma
de
esta
clase, sin
que
importe
el
grado
de complejidad
presente.
Eso
es
lo
que
establece,
precisamente,
el Teorema
de
Fourier:5
As
como
este teorema
permite
descomponer
y
analizar
cualquier
fun-
cin peridica
tambin habfita
la
posibilidad
de construir
seales
peridi-
cas
complejas
a
partir
de una
suma de
sinusoides puras.
Se
puede
enton-
ces
reescribir
el teorema de la
siguiente
forma:
La
disposicin
de las
amplitudes
y
frecuencias
de las
sinusoides
involucradas
en la
suma se denomina
espectro
de Fourier,
y
cada
una
de
ellas
toma
el nombre
de componente
de Fourier.
El
teorema
establece
que
-
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Seales
peridicas.Serie
de Fourier
Gustavo
Basso
La frecuencia
de las componentes
de
un espectro
determinan
algunas
de
las
caractersticas
de la onda
compleja resultante.
Si esta
ltima vara
lenta y
suavemente,
como la
que
se
observa en la
figura
3.3, es
probable
que
no
posea
ms
que
unos
pocos
armnicos
de baja frecuencia:
Pero
si la
onda compleja
posee
cambios
bruscos debe
tener necesa-
riamente
componentes
de
peso
que varen
rpidamente,
y
son
los arm-
nicos
de
mayor frecuencia
los
que
se comportan
de
esa manera.
En la
fi9.3.4 se grafica una seal peridica compleja de 5 ms de perodo que
tiene
un
pico
que
crece
y
decrece
en
apenas 0,1 ms.
Podemos
suponer
que
el
desarrollo
de Fourier
de esa seal va
a incluir
una componente
que
cambie
de sentido
en 0,1 ms,
y
eso lo hace recin
el
armnico 25
del
ejemplo
-que
posee
una
frecuencia
de
5.000 Hz.
Cuanto
ms
aguzado
(ms
rpido)
sea el
pico
mayor
ser el orden
del
armnico
involucrado.
Los
cambios bruscos
de direccin,
como
los de
la
onda diente
de siera
de la fig. 3.6 requieren,
tal
como veremos,
arm-
nicos
infinitamente
rpidos.
En la siguiente seccin analizaremos os resultados que seobtienen al
aplicar
el
Teorema
de Fourier a algunas
seales
de uso frecuente
en acs-
tica
musical.
Frcune
3.3
espacio
mm]
1.000 2.000
s.000
Anlisis
de
Fourier
de
unafuncin
peridica
que
no
presenta
cambios
bruscos
Amplitud
mm]
60
-
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espacio
mm]
2
n
ii, ,
J
,x'
'.+
i l ,
,
I
l.ntl.,
15
'l
t .41.
, l0v
.,
{
i
\,J
Amplitud
[mm]
Frcuna
3.4
Anlisis espectral
AN,{rJsrs
or ssALEs
pnnrorcEs
cARAcrEsrrcAs
Seal
sinusoidal
La primera
de
as
seales
eridicas
a las
que
aplicaremos l
teorema
es,por supuesto,a conocida
uncin
sinusoidal, que aqu repetimos
para
omarla
como
referencia.El
anilisis e
Fourier
nos dice
que
se
pue-
de
descomponer n una
serie armnica,
que
en estecasocontienesola-
mente
a fundamental e amplitudA
=
1 cm
y
frecuencial
=
1OO z.
Los
arrnnicos
uperiores,
resentes
n teora,
poseen
amplitud cero.
Onda
diente de sierra
Una
funcin
que
aparece abitualmente n acstica
es
a onda
diente
de sierra dibujadaen a figura 3.6.Laaplicacin del Teorema e Fourier
nos
muestra
que posee
odos os armnicos
posibles
desde a fundamen-
tal
hasta
el
infinito.
La amplitud de cadauno de ellos va decreciendo
medidaque
aumenta a frecuenciasegn a ley A,= At
/ n
siendo
n el
nmero
del armnico A, la amplitud de la fundamental A_ a
amplitud
Anlisis de Fourier
de una
funcin
peridica que presenta
variaciones rpidas
61
-
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8/22
Seales
peridicas.Serie
de Fourier.
FIcune3.5
Gustavo
Basso
del
armnico
nmero n. Por ejemplo,
el
quinto
armnico tendr una
am-
plitud
A,
=
Atls, cinco
veces
menor
que
la
fundamental.
Gnifico temporal
y
espectral
de
una
seal sinusoidal
En
teora
se deben
sumar todos los
infinitos armnicos
para
sintetizar
exactarnente
una
onda diente de sierra. Es
esta
gran
riqueza
armnica
uno de los
motivos de su empleo en
gran
cantidad de
aplicaciones
prc-
ticas.
La
voz
humana
y
algunos instrumentos,
como
el violn o el oboe,
generan
seales
que
se le aproximan.
Ondacuadrada
Otra funcin
caracterstica es
la
onda cuadrada
que
se observa en la
figura 3.7.
Conmuta enfre un
valor
mximo
y
uno mnimo con
velocidad
infinita
permaneciendo
el mismo tiempo
-la
mitad del
perodo-
en cada
uno de ellos.
El anlisis de Fourier establece
que
en su espectro estin
presentes
os
armnicos
impares,
pero
no
los pares.
La ley
que
siguen es:
A n = A r l n
A
= O
sl n es lmpar
si n es
par
As, el armnico7 tieneunaamplitud Ar= Ar/7, y el 8 A, = 0 por
ser
par.
Como
la onda cuadradadebe conmutar
enfie el valor mximo
y
el
mnimo
con velocidad nfinita
su espectro
osee
ecesariamentenfinitos
armnicos
-todos
los impares. Algunos instrumentos,
como los tubos
espacio
mm]
1
0
- 1
Amplitud
=
1 mm
tiempo
Ims]
-,/
'.
:
P = 2 . 3 m s
I = 1 / P = 4 4 0 H 2
Ampl i tud
mm]
Amplitud
=
1 mm
Ampli iud
=
0
62
-
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9/22
Anlisisespecfial
tapados de rgano
o el clainete en
su registro inferior,
producen
seales
parecidas.
Gnifico temporal
y
espectral
de una
onda diente
de siena
Frcune
3.6
6
En laampliacin al
final del captulo se
presenta
a
expresin completa
que
permite
calcular
estas amplitudes.
Onda rectangular
IJn
caso
general a
partir del cual se obtiene
la onda cuadrada
es
la
onda rectangular
de la f igura
3.8. En ella difieren
los
tiempos de
perma-
nencia
en
el
valor mximo
(a)
y
en el
mnimo
(b
=
P-a). Al aplicarse el
Teorema
de
Fourier se
comprueba
que
si el tiempo
que
le
corresponde al
miximo,
llamado
tiempo
de conduccin
a, es de llp del
perodo
no
estarin
presentes
en
el desarrollo
de Fourier el armnicop
ni sus mltiplos.
En
el ejemplo
de
la figura 3.8 el tiempo
de conduccin es
de 1/6
del
peodo
(p
=
6), relacin
que
determina
una amplitud de
valor
cero
para
los armnicos 6, 12, 18, 24, ..., np.
Los valores
que
toman
las amplitudes de
los
diferentes
armnicos no
resultan de cilculo
sencillo.6
Las seales
rectangulares son de uso co-
rriente
en
generadoreselecffnicos
y
sirven
para
simular
la
excilacin de
espacio
mm]
2
1
0
-1
-2
tiempo
msl
P
=
0,01ms
Amplitud
[mm]
I
- a i
l - 1 0 0 H 2
f , f ,
f ,=569Ftr
f .
f ,o
=
1.000Hz
f . = 1 l P = 1 0 O H z
63
-
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10/22
S*daracor.,fla
dc Fm:icr
Frc,'ne3.7
Gwqm Boo
toc
insrrumentos
de ento controlados
ptrlresim-
Sm- demfs.
h\*{E
de
la tcnica
de muestreo de seales,
Frinra
t4a
dE he
cmrcrsqes
analfgigo'digtales.
trpo
[nr]
P
=
0,01ms
Ampl i tud
mml
f " = n f ,
t . =
1 l P 1 0 0
H z
o,64
A,
=
1,27mm
A r = 0
/
f IHz]
f,
=
100
Hz
f,
f.
f,
=
5Q[
u
L
fu
=
900
Hz f,"
Grfico
temporal
y
espectral
de
una onda cuadrada
Onda
triangular
Otra funcin muy usadaes la onda triangular de la figura 3.9. El
anilisis
de Fourier
establece
ue
su
espectro
posee
slo los
armnicos
impares,
omo
el de la ondacuadrada,
ero
a amplitud
de stos
decrece
ms
pidamente
medida
que
aumentaa frecuencia.Laley
que
sigue a
amplitud
de
os armnicoses:
An= A, / nt
si n es mpar
A.=
0 si
n es
Par
Por
ejemplo,
el
armnico 5
tiene
una amplitud
Ar= Arl5,
=
Atl25,
Y
el 6 Au
=
0
pues
es
pa.r.
Como odos os armnicosa excepcindel primero sonpequeos,a
onda riangular
esutilizada
paragenerr
lectrnicamente
inusoides or
filtrado
con
muy baja distorsin.
1 ,27
64
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
11/22
.ttrtrdr-{;'qt
Flcuna
3.8
espacio
mm]
tiempo
lnrsl
P= 0,01ms
Amplitud
mml
i
f , = 1 l P = 1 0 0 H 2
4 = 0
I
=
100
Hz f,
f.
f,
=
50O
Hz
f.
f*
f,
=
900
Hz
Gniftco
temporal
y
espectral
de
una onda
rectangular
Tren
de impulsos unifui6s
La
ltima
funcin que
veremos
en
esta
seccin
es
er tren
de
impulsos
unitarios,
igualmente
espaciados,
ue
se
observa
en la
figura
3.10.
El
espectro
de
Fourie que
le
corresponde
ontiene
a
serie
completa
de
armnicos,de ceroa infinito, con gual amplitud:el especfo de Fourier
de
un
tren
de impulsos
unitarios
en
el tiempo
es
un
tren
de impulsos
unitaios
en la
frecuencia.
Esta
seal
es la
piedra
angular
de
la
tcnica
de
muestreo
necesaria
para
convertir
una
seal
analgica
en
otra
digital,
y
ser
estudiada
on
mayor
detalle
en
el ltimo
captulo.
Aunque
as
seales
nteriores,
excepcin
de la
sinusoide,
equieran
infinitos
armnicos
para
su completa
econstruccin
tarea
mposible
de
llevar
a
cabo-,
afortunadamente
lo
es necesaio
legar
hasti
el lmite
superiorde audibilidaden frecuenciadel odo,unos20.000rlz. con la
tecnologa
de
audio
actual
ese mite
no
representa
roblema
alguno
para
el
anlisis,
a
sntesis
la
reproduccin
e seales
musicales.
65
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
12/22
Siilrr
p;ii*"r,"UU:
&
Fi4
Fnan3.9
G@ trt
fs
T "
f
. = 1 / P
=
1 0 0H z
0,81mm
A r = 0
A,
=
0,016 m
f , - 10OHz
f, f"
f,
=
500 Hz
fu
fu
+
Grfico
temporal
y
espectral
dc una
onda triangular
7
En
realidad, se
ha
conprobado
que
la
validez
perceptual
de
esta
ey es
aceptable slo a
partir
de
os 400 tlz
Por
debajo de
os
200 Hz seperciben
diferencias si cambia
la fase en una onda
permanente
(P a t te r son ,1987 )
66
Ley de
Ohm
En el
anilisis anterior
nos hemos detenido
en la frecuencia y amplitud
de
las
componentes de
Fourier, habiendo
dejado
de lado la fase de las
mismas.
La omisin fue adrede:
para
ondas estacionarias en el tiempo
nuestro odo responde a las amplitudes
y
frecuencias
de
los
armnicos,
siendo
prcticamente
indiferente a
las fases relativas de los mismos
-
afirmacin
conocida
comoley de
Ohm.1 Las dos sealesde la figura 3.11
son auditivamente
indistinguibles
debido a
que
sus espectros de
Fourier
coinciden. Sin embargo las formas
de onda temporales difieren aprecia-
blemente
a causa de
la
variacin
en
las fases de sus componentes. En
este
caso
particular
se comprueba
que
el espectro representa mejor
que
el
grfico
temporal
lo
que
efectivamente se oye.
La fase
de
los componentes es, sin
embargo, importante en otfirs
situaciones. La I-ny de Ohm es slo una aproximacin que no puede
extenderse demasiado.
En
especial,
no es
viflida
en los
procesos
de
gene-
racin de
seales acsticas
ni en
la
percepcin
de las ondas transitorias
que
serinestudiadas en los captulos
5
y
6.
Ampl i tud
mm]
t
A , =
| ,/-
0,8
0,4
f
[Hz]
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
13/22
Airiscryreal
Flcrna
3.10
Amplitud
mm]
f
[Hz]
l = 1 0 0 H 2
f ,
f,
=
50OHz f,
Grfico
temporal y
espectral
de un tren de impulsos
unitarios
Frcune
.11
Dos
ondas
con igual
espectro
de
Fourier pero
distintas
ases
relativas
entre las componen-
tes. Son auditivamente
indistinguibles
A= 2 n lP
67
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
14/22
fulcs
peridicas.Serie
de Fourier.
t
Pa-a
ser
ffas
fcrmas de
relnesearar seales
ccnsulael
iibro &
GiorzmiDePoli
Rryrescntaions
of
-Us'rcJ
Si,enaIs
r
1 9 9 1 1 -
68
Gustavo
Basso
Ahora bien
cul
de
las dos
representaciones,
temporal
o especfal,
conviene
utilizafl
lJnaaotra, segn
a situacin.
Cada una
de ellas
nos da
una
perspectiva distinta
del
mismo
fenmeno
y
por
lo tanto
van a ser
empleadas
en funcin
del aspecto
particular
que
se
desee examinar.
Si
bien existen otras
descripciones
posibles de una
seal acstica,8
as ante-
riores son especialmente adecuadaspara el anflisis de los procesos ca-
ractersticos de
la msica
pues
a la
vez omos,
en cierto
sentido,
de
manera temporal
y
espectral.
Rnco,rsrnuccrN
DE
PARcIALES
PoR
BATIDo
En el
primer captulo
vimos
que
dos sinusoides
de
distinta
frecuen-
cia baten a una
tasa
igual
a la
diferencia
de frecuencias
entre ambas.
Como
las componentes
de Fourier
son
sinusoides,
es
de esperar
que
este
fenmeno tenga
lugar
para
todo
par
de
componentes armnicos
que
se consideren.
Si
./.
y
;{'
son
las
frecuencias
de dos
armnicos
cualquiera,
la frecuencia
de batido
ser:
f .
= f
- f
r ' n
" m
Dadas
las caractersticas
de
la Serie
de
Fourier la
frecuencia
de
batido siempre
va a coincidir
con
la frecuencia
de algn
armnico.
En
particular,
dos
componentes
consecutivas
baten
a la frecuencia
de
la
fundamental.
As,
f r - f r = f r , " ' , f ^ - f n . ' = f ,r - f r = f t '
De esta manera
la
armonicidad
de un espectro
tefuerza
la
periodici
dad dada
por
su fundamental.
Y ms an,
pues
aunque
falte la
funda-
mental la frecuencia
que le corresponde
se
reconstruye
a
partir
del
batido de sus armnicos.
Este fenmeno,
de
gran importancia
musical,
se
puede
observar
en
la
figura
3.12 en
la
que
apa:rece
una
seal
de
espectro armnico
a la cual
se
le ha
filtrado electrnicamente
la
funda-
mental. Sin embargo,
sta
reaparece
como
producto del batido
de
los
armnicos
y
define
la
periodicidad de
la seal
completa'
Es comn
referirse a esta fundamental reconstruida como la
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
15/22
Arrlisir.A'rct
rl
to neural superior.
Frcune .12
NPs
dB]
Periodicidad 0,01
ms
frundamentat 1/P
=
100 Hz
f
undamental
reconstruida
///-"..-.------
fi
=
100Hz f,
f" fu=5)Hz
f"
flo=
1.000 z
Reconstruccin de la
fundamental
por
batido
entre armnicos
Podemos
einterpretar
ahora el
batido entre dos
sinusoidesde fre-
cuencias ercanas
a
analizado
en el captulo
1. Se as
puede
considera
como dos armnicos
consecutivos
e
una Seriede
Fourier
que
tiene
1nr
fundamental
a frecuencia
e batido,
siendo
el restode os armnicosde
amplitud cero.
Dicha
situacin
se
puede
observaren la
figura 3.13.
Frcun,3.13
Gnifico espectral de la serie armnica
formada
por
slo dos
componentes
Las
relaciones
entre
la
periodicidad
de una
seal, el desarollo
de Fouier
de la misma
y la reconstruccin
por
batido
son
mprescindibles
para
com-
prender el proceso de percepcin de la altura
de un sonido, de la sonmi-
dad resultante
de un conjunto
instrumentl,
y para
dar cuenta de numero-
sas estrategias
de composicin
e instrumentacin.
En especial,
la
percep
cin de la
llamada
altura tonal.
virtual o
residual est fuertemente rel,a-
c ionada con la
per iodic idad,
y
es la
que
nos
permi te
asignar
F,
=
900
Hz
f,
=
1.000
Hz
ftuno"-"nrar f*,'oo
=
f,
-
ft
=
IQQ l-'12
foorioo f:- fr
:100
Hz
69
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
16/22
Seales
peridicas.Serie
de Fourier
e
Para
tener un
panorama
completo
de
la
gran
cantidad
de operaciones
que
se
pueden
realizar a
partir
del
procesamiento
digital del sonido
ver el libro de
Ken
Pohlman
(Pohhnn,
19%).
roGentileza
de
Eduardo Rodrguez.
t
Se
puede
ampliar
sobre esta tcnica
en los bros de
Davis
y
Davis
(1997)
y
de
Davis
y
Jones
1989).
70
Gustavo Basso
perceptualmente
un solo valor de
altura
a
un estmulo complejo como el
generado
por
la
voz
humana o
los instrumentos musicales usuales. En el
captulo
que
sigue analizaremos
algunos de estos
puntos
con
ms detalle.
Aplicaciones
del anlisis espectral
De las
muchas consecuencias
prcticas
derivadas del Teorema de
Fourier
(y
de la Transformada de
Fourier
que
ver en
el
captulo 5)
se
destacantidamente
el anilisisespectral
de seales.Permite realizar
gran
cantidad de
operaciones
tales como el filtrado de
ruido, la eliminacin
de
ondas
parsitas,
la
ecualizacin
o compensacin de una toma de sonido
desbalanceada,
o,
si
se
es rabajando en el campo digital, cualquiera de
las
acciones
que
ofrece el
procesmiento digital del sonido
(DSP).'
Hoy
en da
se
lo usa en muchas ocasiones fuera del
laboratorio o
del
estudio de grabacin. El anlisis espectral en tiempo real permite ver la
composicin
de
Fourier
de una onda a
medida
que
se
va
desarrollando.
Se emplean
con este fin
programas
de computacin
adecuados o instru-
mentos
diseados especficamente
para
esa funcin.
Es usual
dividir el
eje del espectro
que
representa ala
frecuencia
en
segmentos
de un ancho de banda
constante
-que
pueden
corresponder
a
1
octava, Il3
de
octava o una fraccin
porcentual
fija.
Generalmente se
dispone a
intensidad
-o
del
nivel de intensidad en decibeles- de la seal
en
lugar
de la
amplitud como
variable en el eje de ordenadas.
El
grifico
se
denomin4
en
ese
caso,espectro de
potencia
de la seal. En la figura 3.14
se
puede
apreciar
la imagen de la
pantalla
de una computadora en
la
que
se
analiza el
espectro
de
potencia
de
la
seal acstica
generada por
un
fagot
barroco.lo
Un ejemplo
de aplicacin
tpico es el conffol del balance en
frecuen-
cias de un
sistema de amplificacin
elecfroacstico
para
msica
al aire
libre
(como
el
que
se
usa
para
un
recital
de
rock
en
un
estadio
de ftbol).
Es usual
disponer a los
lados
y
sobre el escenario una
gran
cantidad de
altoparlantes que
radian hacia, en
tenra, todos los sitios
ocupados
por
el
pblico.
Unos reproducen bajas
frecuencias, otros frecuencias medias
y
ofros altas
frecuencias.
En la prctica resulta casi imposible predecir el
balance especffal
de la onda
que
recibir cada espectador. Si estjusto en
el eje de una
bocina de
alta frecuencia
lo ms
probable
es
que
el sonido le
resulte
estridente
y
desprovisto
de bajos. Un mtodo empleado
para
obte-
ner
una distribucin
pareja
en frecuencias consiste
en
colocar
micrfo-
nos
que
toman
muestras de
la onda en distintos
lugares
de
la
platea
du-
rante las
pruebas
de sonido. Se
genera
una seal de comportamiento
espectral
conocido
(que puede
ser ruido blanco o
rosa)
y
se analiza a
continuacin
el espectro
de
potencias
en cada
uno de los lugares. Para
conseguir un reparto espectral uniforme de la energa se reordena enton-
ces la
disposicin espacial
y
la
potencia
de salida del conjunto de alto-
parlantes.
Esta operacin
se monitorea desde una
nica
consola
y
un
equipo de tcnicos entrenados a
puede
completar
en un tiempo relatrva-
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
17/22
Anlisis
espectral
mente
breve.rr
Frcune
3.14
Espectro e
potencia
de la
seal
acstica
generada or
unfagot barroco.
A M P L I A C I N
Esta ampliacin requiere
conocmientos
formales
de
matemtica
y
puede pasarse
por
alto sin
perjuicio para
Ia comprensin
del resto de
los
temas.
Ser iede
Four ie r
Sif4
representa a amplitud
de una
seal
peridica
en
funcin del
tiempo,
por
el Teorema
de Fourieresperamos
ue
se
a
pueda
escribir
omo la sumade cierto nmero de funciones
armnicas
imples
ales como
cos
(kt),
una
para
cada
recuencia
rmnica.5i
la
periodici-
dad
de
f1t
es la misma
que
la de
fi,
el
primer
armnico
de Fourier
ser
(incluyendo
a
ampl i tudAl
y
la ase nic ia l {p1):
fu , ' ,=Arcos(2nf t t+Q)
( 1 )
Para no tener
que
tratar
con
amplitudes
y fases
a
la vez se hace
uso
de una conocida
identidad rigonomtrica
y
se
lega a una sumade senos cosenos
un
par para
cada
arm-
nico)
que permite
reconstruir otalmente
la funcin originalf4:
ililil1
lil
llt
lilrl
TlI ;
uii
ilrJI'I
ILil
,[il,q
h,
'ti
rEiirlEfB,'
if
g,
n:PtFFrlblrini1li
71
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
18/22
Seales
peridicas.Serie
de
Fourier
Gustavo Basso
f (D
=
ao+alcos(znt
rt)+\
sen(2/c
rt)+
+
a
z
cos
2n
2
f
,
t)
+
b, sen
2ir
2
f,
t) +
+ It
+a,cos(zntn
rt)+b^sen(2ttn
it)
c o n n = 1 , 2 , . . . @
o, de manera
ompacta:
- /
r . , )
"o*\(a,
cos
n2tr
,
t )+b^sen
n}t t
f
,
r
l
El
probf
ema
es,ahora,
determinar los
coeficienteany b*que
perrnita*
.ero*struir
sarta-
mente aflt. ta
tarea no
es sencilla
y
requiere, normalrnente"
gran
Eapaddaddre
hfo- El
trmino a, es
el
valor
medio
de la funcin
(que
en
las
seales
misticas es
-p
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
19/22
Amlisis.qlggtryl
c,= l l ,
r re- inr , ,
t
r / )
Es encil lo
ntenderel funcionamiento
del
mtodo
de
Fourier
a
partir
de estaecuacin.
i se
integra un fasor
sobre
un ciclo o un
perodo
completo
(un
recorrido
angular de
36(P)
el
resultado
sercero,
pues
para
cada
punto
existeotro en contrafase
que
lo anula.
Pero
el
fasor que corresponde la frecuenciaangular n(0, del armnico n-simo e "congela' al
multipl icarse
or
el trmino exponencial el
integrando:
- i n a , t
n
cnxeu
=
cnXT=
rn
(g)
l t l 0 ) 1 t
, f . - .
cn e
t'
es el
armnicon
deflt.
Losdemsarmnicosdesaparecen omo consecuencia
de
la
integracin
sobre
un
perodo
completo al como se apreciaen
las
iguras3.15
ay b.
Frcuna .15
a)
lntegracin
de
un fasor sobre
un
perodo
completo b)
integracin
de un fasor
"congelado" para
obtener el
valor
de
C n
que
Ie corresponde
c)
representacin
tridimensional del espectro de una funcin peridica.
r2
La forma compleja
de una
funcin sinusoidal se
vi en la
ampliacin del
captulo 1.
f r6 xe- i " ' t '
=
( r ,
" i na
)xe
imaginario
)
c)
b)
+f
rmagrnano
r fnagrnaf lo
73
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
20/22
Seales
peridicas.Serie
de Fourier
Gustavo Basso
En a figura 3.15
cse
puede
ver
una representacinridimensional el espectro ompleio
de
Fourier.Loscoeficientes
spectrales
n ndican a
porcin
de
la
seal(r)
que
ocupancada
uno de sus rmnicos.
5i
no
interesa a informacin
de
fase
es
posible
graficar
el espectro e
potencia
de
la
seal
en un
grfico
bidimensional
omo el
que
se
muestra en la figura
3.15a
(el
espectrode
potenciase obtienesobre a funcinfr) elevadaal cuadrado).
Fre ne 3 .15
Diferentes representaciones
del espectro de
potencia
de una seal
(usamos
en
lugar
de
a
para
el eje de
abscisas
pues
as
graficaremos
los
espectrosde ahora en
ms).
14
a)
amplitud2
spectrode
potencia
b)
ampl i tud2
An212
espectro
osit ivo
de
potencia
2
Ao
espectro e
potencia
RMS
ampl i tud
d)
20 log
[AnlA..]
nivel
de
potencia
espectral
en dB
20 log
lAlA,"l
\
A^121n
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
21/22
Atuilkis
eryctal
5i a funcin es
de tiempo
real
(sin
componentes
maginarios)
omo o
son
a mayora
de
las
sealesacsticas.
l
espectro
para
frecuencias egativas
es
igual
al complejo
conjugado
(igual
parte
real
y parte
maginaria
opuesta) e la
porcin
correspondiente las recuencias
positivas.
e
puede
reducir
entonces
la
mitad
positiva
sisemultipl ican
por
dos asamplitu-
desde todas as
componentes
menosA,
que
no
posee
contraparte
negativa
figura
3.15b).
Muchas veces
se cambia
la escala
para
representar
el espectrode
potencia
eficaz
de
una
seal
figura
3.16c)
el
espectro e amplitud en decibeles
figura
3.15d).Enacstica
e usan
las res ltimas
ormas
que
se escogen
de acuerdoa
las
caractersticase la
seala repre-
sentar.
En a
actualidad
se emplean
computadoras igitales
para
efectuar
estosclculos.Un
algo-
ritmo
(la
Transformada
Rpida
de Fouriero FFT) celeramucho el
proceso.
3
Coeficientes
e Fourier
de algunas eales
erdcas
aracterstcas
1)Siempleamosa Serie e Four ier araanal izar a onda dientede s ierra a vistaen la ig.
3.5se iene
que:
4 o = 0
a n = 0
Y
b n = k / n
k
=
h
/
?tr h esel mximo alor
que
alcanza
a seal .
2) Para
una onda
cuadrada
omo a de la gura3.7:
a o = 0
a n = 0
Y
b n = k / n s i n e s i m P a r
b n = 0 s i n e s P a r
k= 4h Il h esel valor positivode la onda cuadrada.
3)
Para
una onda rectangular
omo
la de la figura
3.8:
Cn
=
hp /P
fsen
n
),p12))
(n(D,p/2)
La funcin
(senx)lx
que
aqu aparecese denomina seno integral
y
es
la
que
describe
el
proceso
de
muestreo
de
seales
4) Parauna onda
riangular
omo
a
de
la igura
3.9:
? o = 0
a n = 0
Y
b n = k l n 2 s i n e s i m P a r
b n = o s i n e s P a r
k
=
4hl1l2
h esel mximo
de
la
onda triangular.
5)
Y
para
un tren
de impulsos
ni tar ios omoel de la igura 3.10:
an
=
2lllP
El
espectro e un
tren de impulsos
ni tar ios n e l t iempo es un tren
de
impulsos
n la re-
cuencia. medida
que
el espaciamiento
n el
iempo
(el
perodoP)
umenta, l espaciamiento
de los mpulsos n frecuencia isminuye la recuenciaundamental ) la ampl i tudde cada
uno de los armnicos
e
reducesegnel factor l /P.
1'
Una muy clara descripcin
del algoritrno
de
FFT se encuentra en el bro de Randall
y
Tech
(1977).
75
-
7/25/2019 Analisis Espectral - Basso
22/22
Ghlp
ffts
CovrnNmnros
BrBt,rocn,(rrcos
El
Teorema
de Fourier esti desarrollado casi sin frmulas
maEmti-
cas en los
libros de acstica musical de Arthur Benade
(1960
y
ln6|,,
Carleen Hutchins
(1978),
John Pierce
(1985),
Donald
Hall
(1991)
y
Juan Roederer
(1995
y
1997). De
todos ellos el de Hall es el
que
ms
se
aproxima
al enfoque aqu
propuesto.
Para
aquellos lectores
con conocimientos matemticos el tratado
de
A.
Papoulis
(Papoulis,
1962) sigue siendo el trabajo mis
claro
y
com-
pleto.
Tambin
se
pueden
consultar con
provecho
los libros de Hwei
Hsu (1973),de Randall y Tech (1977) y de Oppenheimy Young (1995).
