Analisis en El Dominio Del Tiempo Terminado

8/3/2019 Analisis en El Dominio Del Tiempo Terminado

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE ORIZABA INGENIERIA ELECTRICA

LA RESPUESTA TRANSITORIA.En muchos casos prcticos, las caractersticas de diseo deseadas de los

sistemas de control, sean en tiempo continuo o en tiempo discreto, se

especifican en trminos de cantidades en el dominio del tiempo. Esto ocurre

debido a que los sistemas con almacenamiento de energa no pueden responder

de forma instantnea, y siempre que estn sujetos a entradas o

perturbaciones mostrarn algunas respuestas transitorias.

Con frecuencia, las caractersticas de diseo de un sistema de control estn

especificadas en trminos de su respuesta transitoria a una entrada escaln

unitario, ya que dicha entrada es fcil de generar, y sirve para proporcionar

informacin til de las caractersticas de la respuesta transitoria.

La respuesta transitoria de un sistema a una entrada escaln unitario depende

de las condiciones iniciales. Por comodidad, al comparar respuestas transitorias

de varios sistemas, es frecuente utilizar la condicin inicial estndar: el

sistema est inicialmente en reposo, y la salida y todas sus derivadas con

respecto al tiempo son cero. Las caractersticas de respuesta pueden entoncescompararse sin dificultad.

La respuesta transitoria de un sistema de control, donde la seal de salida es

en tiempo continuo, a menudo muestra oscilaciones amortiguadas antes de

llegar al estado permanente. Igual que en el caso de los sistemas de control en

tiempo continuo, la respuesta transitoria de un sistema de control digital

puede caracterizarse no slo por el factor de amortiguamiento relativo y lafrecuencia natural amortiguada.

Primero definimos expr, que es la funcin con la que vamos a trabajar ahora.

BLANCO LOPEZ ELLIUD Pgina 1


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LA RESPUESTA DE ERROR DE ESTADOESTACIONARIO

El error e(t) de un sistema lo definimos como la referencia menos la salida del

sistema. En la figura 12 mostramos dos diagramas de bloques equivalentes, con

la definicin del error. Observemos del segundo diagrama de bloques que si

H/I = 1, e(t) = a(t).

Dicho error tendr un transitorio, y luego llegar a un estacionario al cual se lo

denomina error de estado estacionario.

Figura 12. Diagrama de bloques para la definicin del error

Sistema tipo:

Es una clasificacin til que se realiza en control por sus respuestas segn la

entrada de referencia polinomiales.

Llamemos F(s) a la funcin de transferencia desde la entrada al error:

E(s) = F(s) . R(s)



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Supongamos que el sistema sea estable (que F(s) tenga polos en el semiplano

izquierdo de s), y r(t) es un polinomio.

Por el teorema del valor final, tenemos que el error de estado estacionario

vale:

Este lmite puede valer cero, ser

finito o infinito. La habilidad del sistema de control para seguir funciones

polinomiales est dada por el grado ms alto, k, del polinomio para el cual el

error es finito, pero distinto de cero. Entonces a dicho sistema lo

denominaremos de sistema de tipo k.

Por ejemplo, un sistema de tipo 0 tiene un error de estado estacionario finito,

no cero, a una entrada polinomial de grado 0 (o sea a un escaln). Un sistema de

tipo 1 tendr un error de estado estacionario finito distinto de cero para una

rampa de entrada.

Analicemos cuando vale el error de estado estacionario para un escaln y una

rampa a la entrada:

Escaln:

Rampa: utilizand

o LHospital

El tipo de sistema se fija entonces en el comportamiento de F(s) alrededor delcero: expandiendo en serie de Taylor la funcin F(s)

entonces el valor del error en estado estacionario ser:



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Pero , para el polinomio de grado k

Y este lmite existir, si y solo si, C0 = 0, ......, Ck-1 = 0, Ck distinto de cero; y

ste es el valor del lmite.

A los Ci los denominamos coeficientes de error y nuestro sistema es de tipo k

si el primer coeficiente distinto de cero es Ck.

Caso especial: Retroalimentacin unitaria y constantes de error

Si H = I, podemos modelar el sistema con retroalimentacin unitaria como

muestra la figura 13.

Figura 13. Diagrama de bloques de la retroalimentacin unitaria

Donde G(s) = I(s).D(s).Gp(s).

Entonces tendremos:

Para un sistema de tipo 0:

Y para un sistema de tipo k (k 1):



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Se define entonces constante de error del sistema retroalimentado unitario de

tipo k a:

A las constantes de error para los tipos 0, 1 y 2; los denominamos

respectivamente: constante de error de posicin (Kp = K0), de velocidad (Kv = K1)

y de aceleracin (Ka = K2).

Para la retroalimentacin unitaria, el tipo de sistema nos da un grado de la

robustez de nuestro sistema (nos da el grado del polinomio que el sistema

puede seguir).

Para el caso de retroalimentacin unitaria, el sistema tipo est dado por la

cantidad de integradores puros (1/s) que posee el sistema.

Ejemplo:Sea la funcin de transferencia de nuestra planta:

Siendo H(s) = h, tendremos que nuestro error vale:

Entonces:

Y el error de estado estacionario a una entrada escaln ser:

Como vemos, el sistema es de tipo 0 a pesar que la planta tiene un integrador

puro. Si h = 1 (retroalimentacin unitaria), el error de estado estacionario a un

escaln es 0, y el sistema pasa a ser de tipo 1.

Funci n Impulso



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La funcin impulso es ms un concepto matemtico que una funcin, que se

define de la siguiente manera:

La funcin es cero para cualquier valor de t, excepto cero.

Cuando la t es cero el valor de la funcin es infinito

Por definicin el rea de esta funcin es igual a uno

La funcin impulso posee algunas propiedades que pueden resultar tiles.

Tambin es importante para posteriores desarrollos la propiedad de

desplazamiento o corrimiento.



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En el caso de la funcin escaln, fsicamente representa un cambio instantneo

que se produce a t=0, es una suposicin el hecho de representar una funcin

con tiempos negativos (lo cual no existe), en cambio sirve para representar el

caso de un interruptor que permanece abierto hasta que en un instante se

cierra, estableciendo el mximo voltaje a una carga.

FUNCI N RAMPABLANCO LOPEZ ELLIUD Pgina 8


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La funcin rampa es la integral de la funcin escaln. Si consideramos que

estamos sumando toda el rea bajo la funcin escaln a hasta un tiempo t. Si t

< 0 (cero), el valor de la integral ser 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero) ,

entonces el valor ser igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo

t, la cual tambin tiene el valor t, es decir:

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Estudio de la respuesta para una seal de excitacin tipo escaln

unitario

- Seal de excitacin:

- Respuesta del

sistema:



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-

Teorema del valor final:

En nuestro caso:

- Constante de tiempo:

Se hace una recta tangente a la curva (tal como se ve en el grfico) y cuando

corta el valor final, este es el tiempo .

La recta y = mx+n, se demuestra que la pendiente es



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Es el tiempo que tarda la respuesta en pasar del 10 % del valor final al 90 % de

este.

En nuestro caso:

Sistemas de segundo orden

Las races de D(s) (polos del sistema)

son:

Si



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Estudio de la respuesta para una seal de excitacin tipo escaln

unitario

- Seal de excitacin:

- Respuesta del sistema:

Segn sea el factor de amortiguamiento podemos clasificar las respuestas:

a) Sistema sin amortiguamiento

(races imaginarias puras)

b) Sistema sub amortiguado

-Valor final:



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-Localizacin de puntos extremos:

-Tiempo de respuesta:

c) Amortiguamiento critico

Races reales dobles

No existe sobrenivel

d) Sistema sobreamortiguado



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e)

Sistema inestable

- Grficas de Respuestas del sistema: K es el valor final de la respuesta

CUESTIONARIO

Qu es el dominio del tiempo?

R= es un trmino utilizado para describir el anlisis de funciones matemticas oseales respecto al tiempo.

En qu momento ocurre una respuesta transitoria?



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R=Ocurre debido a que los sistemas de con almacenamiento de energa no

pueden responder de forma instantnea, y siempre estn sujetas a entradas o

perturbaciones.

Cules son las seales estndar de estudio?

R= impulso, escaln y rampa.

Cundo un sistema es en equilibrio?

R=si en ausencia de cualquier perturbacin o entrada, la salida se mantieneconstante.

Defina un ejemplo de funcin de impulso.

R= Fsicamente existen efectos en la naturaleza a los que se puede asociar

esta funcin como por ejemplo la fuerza aplicada en un lapso muy corto, como

cuando un martillo golpea un clavo.

Para qu nos sirve la funcin de escaln unitario?

R=Sirve para representar el caso de un interruptor que permanece abierto

hasta que en un instante se cierra, estableciendo el mximo voltaje a una

carga.

Por cuantos polos est compuesto el sistema de primer orden?

R=est compuesto por un solo polo

Define que es un servosistema

R=es un sistema realimentado con un controlador proporcional y dos elementos

de carga, uno de inercia y otro de friccin.

Menciona 3 consideraciones que caracteriza a un sistema de segundo

orden?

R=#Cuanto menor es el coeficiente de amortiguamiento relativo mayor es la

sobreelongacion.

#Cuanto mayor es el coeficiente de amortiguamiento ms lento es la respuesta

transitoria.

#Unos buenos valores suelen ser 0:4 < < 0:8.



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Cundo un sistema de control lineal invariante es inestable?

R= si la salida oscila indefinidamente o si la salida diverge sin lmite de suestado de equilibrio cuando sometemos al sistema a una perturbacin.


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