Trabajo de Analisis Matematico TERMINADO

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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“Año de la Inversión para el Desarrollo

Rural y la Seguridad Alimentaria“

¨FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS¨

CURSO: ANÁLISIS MATEMÁTICO II

TEMA: “INTEGRALES DOBLES, TRIPLES, DE LINEA Y

DE SUPERFICIE”

DOCENTE: ARAMBULO OSTOS, CARLOS EDUARDO

CICLO: III

ALUMNOS: MACHUCA IPARRAGUIRRE, ISAC 1220602

SIMON INZA, FREDD GANDHI 1220926

TURNO: NOCHE

LIMA – PERU

OCTUBRE – 2013

http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=ehrp3XAh3Cc-wM&tbnid=quAa9uA68vKj3M:&ved=0CAUQjRw&url=http://worlderlenmeyer.blogspot.com/2013/01/4-el-teologo-alquimista.html&ei=565iUoCgO4Tu8QTijoAg&psig=AFQjCNE79AJHPy_uJ5L7qhF7VymjK1KmjA&ust=1382285390989058


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INTEGRALES DOBLES

Definición:

Sea R una región y acotada del plano en .

Sea f: R una función definida sobre la región R.

Los pasos que conducen a la definición de integral doble son:

Consideramos una cuadrilla que contenga a R siendo i=1,…n rectángulos de la cuadrilla, de

áreas respectivas , totalmente contenidos en R.

Escogemos ( punto arbitrario de i=1,…n.

Calculamos la suma ∑

Consideramos cuadrillas cada vez más finas que contengan a R, de modo que las dimensiones de

cada rectángulo tiendan a 0(cero), y el número de rectángulo contenidos en R sea cada vez mayor.

Entonces definimos:


3

FUNCIONES INTEGRALES

La función escalar de dos variables f definida en la región R cerrada y acotada se dice que es integrable

sobre R si solo si verifica la existencia del límite anterior y su valor es finito. El valor del límite recibe el

nombre de integral doble de f sobre R.

Condición suficiente de integrabilidad

Si la función f es continua en la región R cerrada y acotada entonces f es integrable sobre R.

Interpretación de la Integral Doble

1. Si f(x,y)= 1 en R, Área =∬

2. Si f(x,y) 0 en R, ∬

Representa el volumen del solidoide paredes laterales rectas limitado arriba por la superficie z=f(x,y)y

abajo por la región R en el plano z=0

3. Si R= es a lo sumo una curva.


4

Calculo de integrales dobles sobre rectángulos

Si es una función continua sobre el rectángulo R= (a,b)*(c,d) entonces:

FR=

Regiones de tipo I y regiones de tipo II en el plano

La región R del tipo I en el plano si existen dos funciones continúas de manera que

los puntos de R pueden expresar se en la forma:

La región R es del tipo II en el plano si existen dos funciones continuas se expresa:


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Teoremas

a) Si R es una región de tipo I, y f(x,y) es continua en R:

b) Si R es una región de tipo II, y f(x,y)es continua en R:

Cambio de variable

En coordenadas rectangulares cartesianas dA= dx dy, Sea ahora el cambio de coordenadas dado por la

aplicación:

Siendo t la región del plano uv que se aplica en la región del plano xy.

Si se cumplen las condiciones siguientes:

Las funciones X,Y,

son continuas en T.

La aplicación de T sobre R es biyectiva.

El jacoblano de la aplicación J(u,v)≠ 0

Entonces:


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Cambios de variable usuales

1°Coordenadas polares:

2°Coordenadas polares descentradas:

3° Coordenadas elípticas:

4° Transformaciones lineales:


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Aplicaciones de la integral doble

Supongamos que tenemos un plano acotado (lamina delgada). De forma que su masa total esta

distribuida en forma conocida siguiendo una función de densidad superficial µ=µ(x,y).

Entonces:

1° Centro de masas de un cuerpo plano:

Si denotamos por ( las coordenadas del centro de masa:

2° Momentos de inercia de un cuerpo plano:

Sea r una recta y denotamos por d(x,y) la distancia de la recta r de la región R, el momento de inercia del

cuerpo respecto a la recta r resulta ser:

En particular, los momentos de inercia respecto a los ejes de coordenadas son:

El momento polar de inercia o momento respecto al origen es:


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EJERCICIOS RESUELTOS

I. Calcular la siguiente integrales dobles, sobre el rectángulo R.

a)

Solución:

b)

Solución:


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II. Calcular la integral doble:

Solución:

III. Calcular las integrales dobles ∬

para las funciones f y los rectángulos R que se indican.

a)

Solución:


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b)

Solución:


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IV. Calcular el volumen de los sólidos

Solución:

V. Calcular la integral donde R es la región del plano xy interior a la cardiode r=1- cos

Solución


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Problemas Propuestos

I Calcular la siguiente integrales dobles, sobre el rectángulo R.

a)

b)

2 Calcular el volumen de los sólidos

a)

b)

3 Una pirámide está delimitada por los tres planos de coordenadas y el plano x+2y+ 3z=6

Representar el sólido y calcular su volumen.

4 Calcular el volumen del solido limado por la superficie y lo planos

5 Calcular el volumen el volumen comprendido entre los cilindros y

6


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7

8

9

10 Calcular el volumen del solido por el paraboloide

y el plano


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INTEGRALES TRIPLES

En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones del tipo 3 f :B ⊆

→ \ \, tal como se hizo en la sección anterior para las integrales dobles. Así como se define la integral

triple a partir de una triple suma de Riemann y se ilustra el proceso de resolución de la misma, de

manera similar se puede esbozar la definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo n f

:Q ⊆ → \ \.

INTEGRAL TRIPLE SOBRE UNA CAJA

RECTANGULAR

Sea f una función definida sobre la caja rectangular B, esto es 3 f :B ⊆ → \ \, donde B está definida

como: B a,b c,d r,s =×× [a,b ], [c,d], [rs ] …………………..(I)

o también: (x,y,z ) 3B = x,y,z a x b c y d r z s ∈ ≤≤ ∧ ≤≤ ∧ ≤≤ …………(2)

Sea P una partición del paralelepípedo B, la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones Px

, Py y Pz y de los intervalos [a,b], [c,d] y [r,s], respectivamente, como se muestra a continuación:

Px =x0 , x1, x2 ,…, xi−1, xi ,…, xn−1, xn ………….. (3)

Py =y0 , y1, y2 ,…, y j−1, y j ,…, ym−1, ym………… (4)

P z ,z ,z , ,z ,z , ,z ,z z kk ll = 012 1 1 … … − − ……(.5)

Entonces

PPPP = xyz . …..……………………………………………………..(6)


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La partición P del paralelepípedo B, entonces se obtiene al dividirla en pequeñas cajas rectangulares tal

como se muestra en la siguiente figura.

TEOREMA DE FUBINI

El teorema de Fubini proporciona un método práctico para evaluar una integral triple por medio de

integrales iteradas, tal como se mostró para las integrales dobles en el capítulo anterior.


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INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

Así como en el capítulo anterior se definió la integral doble sobre regiones generales, en esta

sección se amplía la definición de la:

Integral triple de una función f sobre una región general B acotada del espacio

tridimensional.

Por ejemplo, considere una región B, más general que un paralelepípedo, del espacio

tridimensional, tal como se ilustra en:

La integral es:


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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE

A continuación se presentan las propiedades de la integral triple de una función 3 f :\ \ → real de tres

variables sobre una región general B del espacio tridimensional. Estas propiedades son similares a las

propiedades de las integrales dobles.

Propiedad de linealidad

Sean 3 f: \ \ → y 3 g :\ \ → dos funciones reales y continuas definidas en una región tridimensional B, y

sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces:

Propiedad de orden

Sean 3 f :\ \ → y 3 g :\ \ → dos funciones reales y continuas definidas en una región tridimensional B,

tales que f (x,y,z ) ≥ g(x,y,z ) ∀(x,y,z B )∈ , entonces:

Propiedad aditiva respecto a la región de integración

Sea 3 f: \ \ → una función real y continua definida en una región general tridimensional B. Si la región B

está dividida en dos subregiones B1 y B2 (es decir BB B = 1 2 ∪ ), entonces:


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1 Dada la integral ∫ ∫ ∫

dibujar la región de integración y escribirla integral

de todas las formas posibles.

Solución:

2 Calcular ∭ dxdydz, donde S es el tetraedro limitado por los tres plano

coordenados y la ecuación x+y+z=1


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3


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4 Calcular el momento de inercia de un sólido en forma de cono circular recto con densidad

constante respecto su eje.

Solución:

Supóngannos que el cono de altura h y radio en la base r tiene vértice en el rigen y eje vertical, Entonces

su ecuación es

Si la densidad en cada punto del solido es k, el momento de inercia respecto a l eje z viene por formula

Para resolver la integral


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EJERCICIOS PROPUESTOS


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INTEGRALES DE LINEA

Definición:

Sea f: Ω → R un campo escalar continuo, con Ω ⊆ Rn, y sea γ : [a,b] → Ω un camino regular a trozos.

La integral de línea de f a lo largo de γ es, por definición:

Existencia de la integral. Está asegurada, ya que el integrando es una función acotada en [a,b] y continua

salvo, a lo sumo, en un número finito de puntos para los que ni siquiera concretamos el valor que toma en

ellos dicha función. De hecho, si hacemos una partición a = t0 < t1 < ... < tn = b del intervalo [a,b] de

forma que, para k = 1,2,...,n, la restricción de γ al subintervalo [tk−1,tk] sea de clase C1, podemos escribir.


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INTEGRAL DE LINEA DE UN CAMPO VECTORIAL

Definición.:

Sea ahora F : Ω → Rn un campo vectorial continuo en un conjunto Ω ⊆ Rny γ : [a,b] → Ω un camino

regular a trozos. La integral de línea de F a lo largo de γ es, por definición.

Interpretación.

Supongamos que el campo vectorial F es un campo de fuerzas en el plano o en el espacio, pongamos por

caso un campo gravitatorio o un campo eléctrico. Ello significa que una unidad de masa o de carga

eléctrica positiva situada en un punto x está sometida a una fuerza F(x).

Relación entre las integrales de línea.

Si γ : [a,b] → Rn es un camino suave, es decir, es regular con γ 0 (t) 6= 0 para todo t ∈ [a,b], podemos

definir.

Que es un vector unitario tangente a la curva Γ recorrida por el camino γ en cada punto. Si ahora F es un

campo vectorial continuo sobre dicha curva tendremos:


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Expresión que recuerda la integral de línea de un campo escalar. Para definir correctamente dicho campo

escalar necesitamos hacer hipótesis adicionales sobre el camino γ que no vamos a comentar, aunque no

son difíciles de adivinar. Así pues, en ciertas condiciones existirá un campo escalar continuo f: Γ → R

que verifica:

Propiedades de las integrales de línea

Linealidad: Las integrales dependen linealmente del campo que se integra.

Continuidad.

Las integrales de línea también dependen de manera continua del campo que se integra; intuitivamente,

pequeñas perturbaciones del campo dan lugar a pequeñas variaciones en la integral. Ello es consecuencia

de las desigualdades que vamos a presentar.


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Aditividad.

Las integrales de línea son aditivas con respecto al camino de integración, en el sentido de que al

recorrer consecutivamente dos caminos, las integrales se suman.

Independencia de la parametrización.

Las integrales de línea no se alteran al sustituir el camino de integración por otro equivalente en el

sentido que vamos a explicar.

Integral de línea de un gradiente

Sea f : Ω → R un campo escalar de clase C1 en un abierto Ω ⊆ Rn y γ : [a,b] → Ω un camino regular a

trozos. Entonces:

En particular Y es cerrada, se tendrá:


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1 Recta que pasa por los puntos A=(2,0,4) y B=(1,0,6)

Solución:

2 Segmento que une los puntos A= (2,0,4) y B =(1,0,6)

Solución:

3 Circunferencia de centro (5,-7) y radio 3


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4 Curva de ecuaciones

Z=

Solución:

5 Curva de ecuaciones

Z=

Solución:


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1 Calcula las siguientes integrales

2 calcular las siguientes integrales de línea en campo vectoriales:


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INTEGRALES DE SUPERFICIE

Los conjuntos de IR3 que forman superficies no solo se obtienen de esta forma sino que el conjunto puede

venir definido de otras maneras. Aunque, para el estudio de la integral de superficie, las superficies van a

manejarse siempre mediante su representación paramétrica hay otras formas de representar superficies

en el espacio y que es conveniente conocer.

Expresión analítica de una superficie:

Representación implícita:

Dada una función real F que toma valores en IR3, el conjunto de puntos.

Representación explicita:

Dada una función real f que toma valores en IR2, el conjunto de puntos.

Superficies cuadráticas.

Una de las familias más importantes de superficies de IR3 son las llamadas cuadricas o superficies

cuadráticas, que se obtienen de igualar a cero una función polinomica de tres variables y grado 2, es decir,

una expresión de la forma.


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Elipsoide.

El elipsoide de semiejes a; b; c > 0 viene dado por la ecuación.

Una representación paramétrica se obtiene con una pequeña modificacion de las coordenadas esféricas

mediante k [0; 2¼] £ [0; ¼] ¡! IR3

con k(µ; α) = (a cosµ senα; b sen µ sen α; c cos α)

Hiperboloide de una hoja.

El hiperboloide elíptico de una hoja viene dado por la ecuación (a; b; c > 0)

Cono elíptico.

El cono elíptico viene dado por la ecuación (a; b; c > 0)


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Paraboloide elíptico.

El paraboloide elíptico viene dado por la ecuación (a; b; c > 0)

Paraboloide hiperbólico.

El paraboloide hiperbólico viene dado por la ecuación (a; b; c > 0)

Cilindros.

Los cilindros de obtienen cuando en la expresión de F(x; y; z) = 0 alguna de las variables no aparece, y

heredan el apelativo de la curva que en IR2 representa la expresión. Así, si F(x; y; z) = f(x; y) = 0 y la curva

f(x; y) = 0 es una elipse, hipérbola o par ábola, el cilindro es elíptico, hiperbólico o parabólico.

Integral de superficie de funciones reales

Sea A µ IR2 un conjunto conexo y acotado, kA IR3 una función de

clase 1, S = ·(A) y f: S IR acotada tal que la función compuesta f ± · es integrable en . La integral de la

superficie de f sobre S se define por:


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