Analisis Dimensional

2012 Ing. Luis Colombo-FT-A.Dimensional 1

ANALISIS DIMENSIONAL

Nmero adimensionales relevantes a partir de las ecuaciones de variacin cuando no se conocen las ecuaciones gobernantes

Teorema pipipipi

Teora de la semejanza


MAGNITUDES, DIMENSIONES Y UNIDADES

3,1 CM DE LONGITUD

MAGNITUD: Cualquier propiedad que puede ser medida (Longitud)DIMENSION: El valor numrico correspondiente a esa magnitud (3,1)UNIDAD: Es la referencia que permite la comparacin de valores (cm)

HOMOGENEIDAD DIMENSIONALToda ecuacin debe ser dimensionalmente consistente, es decir debe tener las mismas unidades a ambos lados de la igualdad,

F = m aEn un sistema MLT: [MLT-2 ] = [M] [LT-2]Cualquier ecuacin puede transformarse en adimensional: F/F = (m a)/FEn un sistema MLT: [1] = [1]

+ =


MTODO ANALTICO - DESARROLLO MATEMTICO FORMALResolucin de las ecuaciones gobernantes:La Ecuacin de ContinuidadLa Ecuacin de Movimiento

A mayor complejidad en la geometra del sistema, mayor dificultad en la resolucin de las ecuaciones diferenciales . Las alternativas posibles:

Diseo por Similitud Balances Macroscpicos

MTODO EMPRICO - DISEO POR SIMILITUDConsiste en usar los datos obtenidos a partir de un modelo experimental de laboratorio para disear un prototipo a escala real.

El Anlisis Dimensional es la tcnica que nos permite hacerlo.

Supongamos que necesitamos: Calcular la fuerza de arrastre F sobre una esfera lisa de dimetro D que se mueve en un fluido de densidad y viscosidad con velocidad V. Determinar la prdida de carga por rozamiento en una caera lisa de dimetro D por la que fluye un fluido de densidad y viscosidad


EL ANALISIS DIMENSIONAL

Requiere de estudios experimentales que debemos realizar nosotros o apoyarnos en otros ya hechos. En ambos casos estas experiencias consisten en:Plantear un modelo terico con las variables involucradasValidar este modelo experimentalmenteEncontrar una ecuacin matemtica que describa el comportamiento del modelo propuesto.

Modelo es el equipo construido para estudio en el laboratorio, generalmente de menor tamao que el equipo real, el prototipo.

Por ejemplo podremos predecir el comportamiento de un tanque agitado a travs de un modelo ms pequeo construido en laboratorio. O tambin podramos estudiar el flujo en un carburador a travs de un modelo de laboratorio ms grande.

No es necesario utilizar el mismo fluido en modelo y prototipo Este mtodo consiste entonces en poder trasladar la informacin de un equipo a otro de distinto tamao, es decir hacer un "cambio de escala". Permite correlacionar el comportamiento del proceso en sus tres etapas ms frecuentes:Desarrollo en laboratorioEstudio en planta pilotoConstruccin en escala industrial

Antes debemos entender el concepto de "similitudo semejanza.


Dos tringulos son semejantes si sus ngulos son, respectivamente, iguales y sus lados

homlogos son proporcionales.

SIMILITUD El trmino semejanza surge de la geometra

Por ejemplo podemos determinar la altura de una torre midiendo la sombra que produce una varilla. Como se trata de cuerpos que no se mueven solo es preciso considerar la similitud geomtrica, es decir la escala.

Si en el flujo de un fluido en un conducto existe similitud entre modelo y prototipo, midiendo una variable en el modelo de laboratorio va a ser posible calcular el valor de esa misma variable en el prototipo utilizando una ecuacin lineal y homognea.

Para poder realizar este cambio de escala se debe contar con funciones que vinculen las variables en modelo y prototipo

Primero debemos analizar los distintos tipos de similitud y que requisitos deben cumplirse para que entre dos sistemas fsicos exista similitud.

b1a2

a1b2=

a1

b1

a2

b2


TIPOS DE SEMEJANZAGeomtrica Mecnica Trmica Qumica

Esttica Cinemtica DinmicaSemejanza geomtricaTodas las longitudes L, superficies A y volmenes V del prototipo y el modelo deben estar relacionadas por un factor de escala :Implica que el modelo y el prototipo tienen la misma forma y que se conservan todos los ngulos, todas las direcciones de flujo, y orientacin..La similitud geomtrica se extiende a la rugosidad del modelo y el prototipo. Semejanza trmicaEs relevante cuando hay intercambio de calor. Semejanza qumicaEs relevante cuando hay reaccin qumica. Semejanza Mecnica

Semejanza estticaCuando sometidos a tensiones de deformacin constantes, sufren alteraciones en su forma tales que una vez deformados siguen siendo geomtricamente semejantes. Semejanza cinemticaLas velocidades y aceleraciones en el modelo y prototipo tienen, en puntos homlogos, la misma direccin y sentido y sus mdulos son proporcionales. Semejanza dinmica

Las fuerzas aplicadas en el modelo y prototipo en puntos homlogos son proporcionales.


REQUISITOS PARA LOGRAR LA SIMILITUDSe obtienen adimensionalizando las ecuaciones gobernantes.

Para el caso de un fluido newtoniano son:

Balance microscpico de materia (ecuacin de continuidad). Balance microscpico de cantidad de movimiento.

Ley de Newton (vincula el esfuerzo de corte con el gradiente de velocidad). Ecuacin de estado (vincula la densidad con la presin). Condiciones de Contorno

Adimensionalizar las ecuaciones significa:

1) Seleccionar magnitudes caractersticas que sean representativas del sistema con las cuales adimensionalizar las variables, por ej.

Para flujo en un tubo: Dtubo y Vmedia Para flujo alrededor de objetos; Dcuerpo y Vaproximacin


REQUISITOS PARA LOGRAR LA SIMILITUD2) La adimensionalizacin se realiza dividiendo las magnitudes por algn valor

caracterstico de la misma v* = v/V siendo: v* : velocidad adimensional

v : velocidad instantnea (variable)V : valor caracterstico de la velocidad

o por una agrupacin de parmetros que tengan las mismas magnitudes que la variable en consideracin.

t* = t V/D siendo: t* : tiempo adimensionalV : valor caracterstico de la velocidadD : valor caracterstico de la longitud

3) Las variables adimensionales quedan as definidasx* = x/D y* = y/D z* = z/D

v* = v/V p* = (p-po) / V2 t* = t V/D*= D = ( i /x* + j /y* + k /z*)

D/ D t* = (D/V) (D / D t)

*2= 2 D2 = ( 2/x*2 + 2/y*2 + 2/z*2)


ADIMENSIONALIZACIN DE LAS ECUACIONES DE CAMBIO

*. v* = 0

D v*/ D t* = - *p* + ( / / / /Dv) *2 v* + (gD/V2)

((((V/D)))) D / D t* (v* V) = -(1/D * . p* V2) + (1/D2) *2 ( v* V) + g D v / D t = - p + 2 v + g

ECUACIN DE MOVIMIENTO

(1/D *. v* V ) = 0

( .v) = 0

ECUACIN DE CONTINUIDAD

Los factores de escala, velocidad del sistema y propiedades fsica forman dos grupos que son adimensionales:

D v

= Nmero de Reynolds

v2

g D= Nmero de Froude


CRITERIOS DE SIMILITUDDe la adimensionalizacion de las Ecuaciones de Cambio sacamos las siguientes conclusiones:

A partir del conjunto de variables involucradas en las ecuaciones gobernantes es posible obtener un conjunto de grupos adimensionales. Como conocemos el mecanismo involucrado en el proceso fsico, se puede predecir quvariables son importantes y en consecuencia cual es el significado fsico de los grupos adimensionales obtenidos:

aporte circulatorio o inercialaporte viscoso al movimiento

De la adimensionalizacin de las condiciones de contorno, que dependen de cada sistema en particular pueden surgir otros grupos adimensionales.

Por ejemplo en interfases con pequeo radio de curvatura, son importantes las fuerzas de tensin superficial y ser relevante el nmero de Weber.

D v

Re = =

aporte circulatorio o inercialaporte gravitatorio al movimiento

v 2

g DFr = =


Para fluidos compresibles ser relevante el nmero de Ma. Para fluidos no newtonianos aparecern agrupaciones adimensionales relacionadas a su comportamiento reolgico. Sin necesidad de resolver estas ecuaciones adimensionales se puede ver que:

v* = v* (x*. y*, z*. t*, Re, Fr)p* = p* (x*. y*, z*. t*, Re, Fr)

Como para lograr la similitud se debe tener igual distribucin de presin y velocidades en puntos y tiempos homlogos:

ReM = RePFrM = FrP

Estas sern las herramientas necesarias para disear, llevar a cabo y analizar los resultados de ensayos con modelos y predecir a travs de ellos el comportamiento en escala real. A mayor cantidad de variables involucradas en el modelo propuesto, mayor dificultad en la evaluacin experimental de los resultados observados. La semejanza completa implica la igualdad de todos los adimensionales involucrados. Muchas veces es ms conveniente trabajar con una semejanza restringida despreciando los adimensionales menos relevantes.


SIGNIFICADO FSICO DE LOS GRUPOS ADIMENSIONALESLos grupos adimensionales relacionan parmetros vinculados con la transferencia de

cantidad de movimiento, es decir son relaciones entre las fuerzas actuantes. F = m . a

Las fuerzas inerciales estn dadas por la variacin de la cantidad de movimiento en el tiempo:

Fi = d(mv)/dt = (L3) (L/T) / (T) = L2 v2Las fuerzas que componen la sumatoria de fuerzas pueden ser:

Fuerzas msicas:

Fuerzas debido a la gravedad Fg = mg = gL3 Fuerzas superficiales:

Fuerzas normales o de presin Fp = pL2

Fuerzas tangenciales de friccin debido a la viscosidad F = (v/L) L2 = vLFuerzas tangenciales debido a la tensin superficial Fs = LFuerzas normales debido a la compresibilidad Fe = KL2 = a2L2


EL NUMERO DE REYNOLDS ReOsborne Reynolds (1842-1912) realiz estudios experimentales para determinar cuando el flujo era laminar o turbulento en un conducto.

Re = v L

v L=

densidad del fluido coeficiente de viscosidad viscosidad cinemtica v velocidad caractersticaL longitud caracterstica

El Re es importante al estudiar cualquier tipo de fluido cuando hay un cambio sustancial en el gradiente de velocidad.Considerando que el predominio de fuerzas inerciales est asociado a la turbulencia y el de fuerzas viscosas al flujo laminar, es de esperar que un alto Re sea la caracterstica de un flujo turbulento.Por lo contrario, un bajo Reynolds estar asociado con un flujo laminar. La transicin de flujo laminar a turbulento ocurre entre Re 2000 y 4000.

Reynolds =[fuerzas inerciales][fuerzas viscosas]


Distribucin de Velocidad en

Flujo LaminarCoordenadas Cilndricas

Flujo Laminar y Flujo Turbulento

Partcula de fluido

Partcula de fluido

Camino de la partcula de fluido

Camino de la partcula de fluido

Rgimen Turbulento

En Rgimen Turbulento la velocidad local flucta en el tiempo, aun en estado estacionario.

Rgimen Laminar

Laminar

Transicin

Turbulento

Suave, alisado Movimiento longitudinal Predecible

Catico, fluctuante Movimiento transversal Impredecible Es el ms frecuente

{{

Coordenadas Rectangulares


EL NUMERO DE FROUDE FrWilliam Froude (1810-1879), junto con su hijo Robert Edmund, estudiaron el efecto dela fuerza de gravedad en el movimiento de los fluidos.

densidad del fluido L longitud caractersticag gravedadt tiempo

Fr = L4 / t2 g L3

v2

g L=

El Fr es importante al estudiar cualquier tipo de flujo con superficie libre o cuando la gravedad juega un papel importante en el movimiento de los fluidos.En flujo en conductos totalmente llenos, las fuerzas de inercia son mayores que las fuerzas

gravitacionales, esto implica Fr altos, y por lo tanto efectos gravitacionales despreciables.En flujo con superficie libre, el Fr es del orden de la unidad; y las perturbaciones superficiales

dependern de su valor.El Fr es relevante en el diseo de estructuras hidrulicas y de barcos (por ejemplo para evaluar

la resistencia al avance de un barco debido al oleaje).

Froude = [fuerzas inerciales][fuerzas gravitacionales]


El nmero de Froude es la relacin entre la velocidad del flujo y la velocidad de las perturbaciones en la superficie libre. Pudiendo tener tres tipos de flujos:Fr < 1: flujo subcrtico o tranquilo o de ro (la alteracin viaja corriente arriba afectando las condiciones corriente arriba)Fr = 1: flujo crticoFr > 1: flujo supercrtico o rpido o de torrente (la alteracin no puede viajar corriente arriba y las condiciones corriente arriba no pueden ser las mismas que corriente abajo)

y0 profundidad caractersticag gravedadv velocidad caracterstica

Fr =v

(g yo)1/2

El Fr es relevante para determinar la naturaleza del flujo en canales abiertos, se utiliza preferentemente como:

EL NUMERO DE FROUDE (cont.)


EL NUMERO DE EULER

El Eu es relevante cuando la variacin de presin en el flujo es importante.

Este nmero es de gran importancia cuando se estudian las prdidas de energa en conducciones con base en la diferencia de presiones entre dos puntos determinados.El estudio de cualquier fenmeno fsico consistira bsicamente en encontrar la forma de

la funcin:

Euler =[fuerzas de presin][fuerzas inerciales]

densidad del fluido P variacin de presinv velocidad

Eu = p v2

Eu = f (Re, Fr, Ma, We)


EL NUMERO DE EULER

En flujo externo el coeficientes de sustentacin (CS ) y el coeficiente de arrastre (CD) se derivan del nmero de Euler

Por la variedad de flujos, se tienen distintos parmetros derivados del nmero de Euler:Cuando P es la presin de vapor del fluido (Pv) a la temperatura de operacin es el

denominado nmero de cavitacin (Ca).

Ca = Pv v2

CD =FARRASTRE1/2 A v2

CS =FSUSTENTACIN1/2 A v2


EL NUMERO DE WEBER We

Debe su nombre a Moritz Weber (1871-1951), del Instituto Politcnico de Berln, que desarrollo las leyes de semejanza en su forma actual. Curiosamente fue Weber quien puso nombre a los nmeros de Re y Fr.

We = v2 L

densidad del fluido coeficiente de viscosidad v velocidad caractersticaL longitud caracterstica

El We relaciona las fuerzas inerciales que ejerce el gas sobre una pelcula delgada de lquido y las fuerzas de tensin que actan en la superficie del mismo.

El We requiere la presencia de superficies libres, pero no es relevante para cuerpos grandes como puede ser un barco. En fluidos viscosos a bajas velocidades sin superficie libre el nico parmetro adimensional importante es el nmero de Re.

Weber =[fuerzas inerciales]

[fuerzas de tensin superficial]


EL NUMERO DE WEBER We

Una gota mantiene su forma debido a la tensin superficial. Pero si se la somete a la accin de un chorro de aire, las fuerzas inerciales debido a dicha fuerza hacen que la gotita se deforme. El We es relevante para estudiar la atomizacin de lquidos, formacin de gotas, flujos

capilares, ondas de pequeas longitud y modelos hidrulicos en pequeas dimensiones.

El We es relevante solo si el orden es la unidad o menor y esto ocurre cuando la curvatura de la superficie es comparable en tamao a la profundidad del liquido como por ejemplo en interfases gas-lquido o lquido-lquido que estn en contacto con una superficie slida.Si el We es pequeo el liquido experimenta separacin subcrtica, es decir que la tensin

superficial tira de la capa lquida que se separa para formar gotas relativamente grandes.

Si el We es demasiado grande, las fuerzas inerciales superan a las fuerzas de tensin superficial, hasta el punto en que la gotita se desintegra en gotas aun ms pequeas.Por lo tanto, el We es til para pronosticar el tamao esperado de la gotita en la

atomizacin de un lquido.


EL NUMERO DE MACH Ma

En 1870, el fsico Ernst Mach (1838-1916) fue quien realiz en la Universidad de Pragalos primeros estudios relacionados con el vuelo supersnico. Es una medida de la relacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas elsticas por

compresibilidad. densidad del fluido Ev mdulo de elasticidadv velocidad caractersticac velocidad del sonido en el fluido

Mach =[fuerzas inerciales]

[fuerzas de compresibilidad]

Ma2 =v2L2

EvL2v

=> Ma = (Ev/)1/2v

c=

Es relevante cuando las velocidades estn prximas a la velocidad local del sonido. Es fundamental para caracterizar los efectos de compresibilidad en un flujo o cuando las variaciones de densidad, debidas a la presin, son de gran importancia en los flujos de alta velocidad.


De acuerdo al valor del Ma los flujos se clasifican en:Ma < 0,3 flujo incompresible, el Ma es insignificanteMa < 1 rgimen subsnico las perturbaciones se mueven ms rpidas que el flujoMa = 1 rgimen snico las perturbaciones se mueven a igual velocidad que el flujoMa > 1 rgimen supersnico las perturbaciones se mueven ms lentas que el flujoMa >> 1 rgimen hipersnico

A medida que la velocidad de un avin se aproxima a Ma = 1 el flujo de aire sobre las alas se modifica radicalmente. A velocidad subsnica las ondas de presin se propagan en todas direcciones a la velocidad del sonido. Cuando se aproxima a la velocidad transnica la velocidad de las ondas que se propagan por delante del avin no es mucho mayor que la velocidad del avin.Cuando alcanza Ma = 1 el frente de ondas acsticas y el avin viajan a la misma

velocidad.Cuando el avin supera la barrera del sonido, las ondas se comprimen y forman una

especie de cono alrededor del avin. La corriente de aire delante del avin no cambia hasta que el avin pasa ah y solo el aire dentro de este cono es afectado por el avin

EL NUMERO DE MACH (cont.)


Avin rompiendo la barrera del

sonido

EL NUMERO DE MACH (cont.)

A 1 atm y 20C: Agua: Ev = 2185,7 MPa c = 1480 m/s

aire : Ev = 0,14 MPa c = 341 m/s.

La velocidad del sonido disminuye a medida que aumenta la altura.


Caractersticas del flujo Adimensionales relevantes

Fuerzas predominantes

IncompresibleEstacionarioSin superficie libre

Re

/D

Inerciales - ViscosasEj.: flujo en tuberas lisas/ rugosas

IncompresibleEstacionarioCon superficie libre

Re y Fr Inerciales Viscosas - GravitacionalesNo es posible utilizar el mismo fluido.Por lo general el Fr es el gobernante pero se debe analizar cada caso en particular.Ej.: tanque agitado abierto - embarcaciones

CompresibleEstacionarioSin superficie libre

Re y Ma En caso de no poder mantener ambas igualdades el que predomina es el Ma, pero se debe analizar cada caso en particular

Flujo altamente turbulento Ma o Fr dependiendo de si es compresible o no y de si hay superficie libre

La influencia del Re es prcticamente constante

Flujo invscido (Fluido ideal)

La inexistencia de fuerzas viscosas motiva que el Re sea elevado. Por lo tanto podr conseguirse similitud sin necesidad de igualar el Re.

Flujo en regiones con superficies curvas con pequeo radio de curvatura

We Ej,: atomizacin de lquidosflujo capilar


EJEMPLO:A travs de una tubera de 60 cm de dimetro fluye aceite con velocidad media 2,0 m/s.

aceite= 1,286 g cm-3 aceite = 56,7 cpPor otra tubera se transporta agua a una velocidad de 1,22 m/s.

agua= 0,998 g cm-3 agua = 1,009 cpCul debe ser el dimetro de esta ltima para tener un flujo dinmicamente semejante?

SOLUCINSe requiere:1) Semejanza geomtrica2) Semejanza dinmica: Dado que se trata de flujo estacionario, incompresible sinsuperficie libre y tubo liso, solo debe cumplirse la igualdad de los nmeros de Re

D = 2,26 cm

agua

agua Dagua vagua aceite

aceite Daceite vaceite

1,009 cp

1,286 g/cm3 x 60 cm x 2,0 m/s0,998 g/cm3 x D x 1,22 m/s

56,7 cp

=

=

= 22,5 = 60 cm/2,26 cm


EJEMPLO:Para estudiar el flujo de un aceite en una caera de 30,5 cm de dimetro interno se decide experimentar sobre un modelo en escala 1:5, a la misma velocidad. La viscosidad cinemtica del aceite es 4,70x10-5 m2/s a) Cules son las fuerzas relevantes?b) Qu viscosidad cinemtica debe tener el lquido del modelo ?c) Cul debe ser su dimetro del modelo para poder utilizar agua y una relacin de velocidades: vM= 0,25 vP

SOLUCINa) Son relevantes las fuerzas viscosas e inerciales. Para lograr la similitud dinmica se requiere igualdad del Re b) De la igualdad de los Re

modelo

Dmodelo vmodelo aceite

Daceite vaceite =

= 1/5 ;DmodeloDaceite

= 1vmodelovaceite X 4,70x10

-5 m2/s

=

modelo1/5

modelo = 0,94x10-5 m2/s Se debe buscar que fluido con esta y que sea factible de usar.


c) Utilizando agua en el modelo: agua = 1,01x10-6 m2/s.

De la igualdad de los Re:

agua

Dagua vagua aceite

Daceite vaceite

1,01x10-6 m2/s

30,5 cm vaceite Dagua (0,25 vaceite ) =

=

4,70x10-5 m2/s

= 2,6 cmDmodelo

= 1/12


EJEMPLO:La resistencia al avance de una barcaza de ro de 1 ton de peso que navega a 20 km/h es

funcin de la gravedad g, longitud caracterstica L, densidad del fluido , viscosidad , y de la velocidad V. ro = 9,5 x 10-7 m2/sa) Cules son las fuerzas relevantes y los grupos pi necesarios para realizar un diseo por similitud.b) En un primer intento para realizar el diseo por similitud se planea utilizar el mismo fluido en un modelo a escala . Cul ser la velocidad en el modelo?c) En un nuevo intento se decide cambiar el fluido y usar el mismo modelo a escala . Es posible realizar un diseo por similitud? Qu fluido deber usarse en el modelo?

SOLUCIN

a) Las Fuerzas involucradas son las inerciales, viscosas y gravitacionales.Los adimensionales necesarios para asegurar la semejanza son el Re y el Fr


vmodelo 2

g Dprototipo

vprototipo2

g Dmodelo

=

b) 2) Igualdad de Fr:

modelo

Dmodelo vmodelo prototipo

Dprototipo vprototipo

vmodelo =

=

Dprototipo modelo / Dmodelo prototipo x 20 km/h Vmodelo = 80 km/h

Vmodelo = Vprototipo g1/2 Dmodelo1/2 / g1/2 Dprototipo1/2 Vmodelo = 40 km/h

NO ES POSIBLE CUMPLIR CON AMBAS CONDICIONES

NO es posible utilizar el mismo fludo en modelo y prototipo cuando para mantener la semejanza se requiere la igualdad de Re y Fr,

b ) Diseo por similitud utilizando el mismo fluido1) Igualdad de Re:


c) 2) Igualdad de Re:

c) Diseo por similitud utilizando distintos fluidos1) Igualdad de Fr:

modelo

Dmodelo vmodelo prototipo

Dprototipo vprototipo =

4Dmodelo 20 km/hDmodelo vmodelo =

9,5x10-7 m2/smodelo

1,2x10-7 m2/s=modelo

vmodelo 2

g Dprototipo

vprototipo2

g Dmodelo

=

= 1/4Dmodelo

Dprototipo

= (1/4) 0,5vmodelo vprototipo

= 1/4DmodeloDprototipo

vmodelo = 0,5 vprototipo = 10 km/h

Y como de la igualdad de los Fr surge que vmodelo = 10 km/h

Buscando en una tabla de viscosidades cinemticas, encontramos que el fluido que tiene podra usarse es Mercurio


EL ANLISIS DIMENSIONAL CUANDO NO SE CONOCEN LAS ECUACIONES GOBERNANTES

CUANDO:No se conocen las ecuaciones gobernantes

DEBEMOS REALIZAR A UN ESTUDIO EXPERIMENTALLa bsqueda de una solucin puramente emprica es costosa en tiempo y dinero adems de ser una alternativa laboriosa porque los datos difcilmente se pueden correlacionar para obtener relaciones tiles para el clculo. Podemos sistematizar y simplificar este trabajo si recurrimos al

TEOREMA pipipipi DE BUCKINGHAMRequiere identificar perfectamente los parmetros aplicables a cada situacin.Manipularlos algebraicamente para obtener grupos adimensionalesApoyarse en datos experimentales y correlaciones existentes para encontrar la

funcionalidad entre ellos.


BSQUEDA EXPERIMENTAL DE UNA ECUACIN QUE DESCRIBA LA PRDIDA DE CARGA EN UN CONDUCTO

La prdida de carga P/L es una funcin desconocida de las variables P/L = f ( D, v, , , , , )En un modelo experimental de laboratorio deberemos encontrar esta funcionalidad modificando de a

una variable por vez :Mantenemos y constantes y graficamos P/L en funcin de D y v para 10 conductos de distintos

dimetros y para 10 velocidades de fluido distinta:

Esto implica que para un problema fsico elemental deberemos realizar una investigacin larga y costosa construyendo muchas grficas, usando tubos con diferentes dimetros y muchos fluidos con diferentes densidades y viscosidades y a diferentes velocidades .

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

P/L

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

P/LEstaramos realizando 10x10 =

100 mediciones distintas.

Modificando las 4 variables estaramos realizando 10x10x10x10 =10 000 mediciones !!!.


EL ANLISIS DIMENSIONAL Un resultado experimental exitoso consiste en encontrar cmo vara una variable

dependiente en funcin de las independientes.

Son variables independientes aquellas que estn bajo el control del experimentador y pueden variarse de a una por vez para ver su efecto en la variable dependiente.

En nuestro ejemplo la variable dependiente P/L. Las variables independientes sern D, v, , , , , .

El objetivo es buscar experimentalmente la forma de la funcionalidad: P/L = f ( D, v, , , , , )

El teorema Pi nos permite reducir el nmero de variables transformando esta funcionalidad en otra con menor cantidad de nuevas variables llamadas grupos Pi, que son grupos adimensionales:

pipipipi1 = f (pipipipi2, pipipipi3 ) Al tener menos variables es ms fcil encontrar la forma de esta funcionalidad

mediante un trabajo experimental en el laboratorio.


PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL TEOREMA pipipipi o TEOREMA DE BUCKINGHAM

Analizar el fenmeno fsico en estudio y determinar todas las variables implicadas en el mismo. Omitir una variable o incluir alguna que no est implicada en el proceso en estudio llevar a conclusiones errneas.

Se escriben las n variables fsicas q, que intervienen en el problema, anotando sus unidades y el nmero m de unidades fundamentales.

Seleccionar m de estas variables, sin que haya ninguna sin unidades, ni dos que tengan las mismas unidades. Todas las unidades fundamentales deben incluirse colectivamente en las variables seleccionadas.

El primer grupo pi puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas, elevada cada una de ellas a un exponente desconocido y una de las otras magnitudes elevada a una potencia conocida (normalmente = 1).

Mantener las magnitudes ya escogidas como variables repetidas y escoger una de las restantes variables para establecer un nuevo nmero pi. Repetir hasta obtener los sucesivos nmeros pi.

Se obtiene as una funcionalidad entre grupos pi. La forma de esta funcin deberobtenerse a partir de datos experimentales y correlaciones existentes.


Procedimiento para la aplicacin del teorema pipipipi

Sean q1....qn los n parmetros fsicos relacionados funcionalmente por F1(q1....qn)=0

La cantidad de unidades fundamentales que se presentan entre los n parmetros es m.

Puede expresarse F2(pi1...pi k) = 0

donde k = n-m , el nmero mximo de parmetros adimensionales obtenidos a partir de los parmetros originales qn.

El nmero mximo de variables independientes es igual al nmero de unidades fundamentales

Estudio del flujo en un conducto debido a una diferencia de presin

P, L, D, , , v n = 6

F (P ,L, D, , , v ) = 0 Para un sistema de unidades FLT las unidades fundamentales son:m = 3

F2(pi1, pi2, pi3 ) = 0

Nota: Si bien este clculo casi siempre funciona, puede haber diferencias cuando se toman distintos sistemas de unidades.

= 3 (F, L y T)


Para encontrar el nmero de parmetros independientes se listan los q parmetros con las potencias apropiadas de las magnitudes

Se arma una matriz con los exponentes a que estn elevadas las magnitudes

Se elige una matriz cuadrada m x m. Si el determinante formado es igual a 0, los

parmetros NO son independientes.Debe seleccionarse un nuevo determinante

que no sea igual a 0. Entonces k = n - m Cantidad de grupos pi = cantidad de variables menos cantidad de variables independientes

P F1 L-2 T0

L F0 L1 T0

F1 L-2 T1

F1 L-4 T2

v F0 L1 T-1

D F0 L1 T0

1 -2 00 1 01 -2 11 -4 20 1 -10 1 0

El grupo P,L,D forma un determinante = 0NO son variables independientes.

El determinante [D,,v ] = 1El rango de la matriz es r=3

Luego D, , v son las 3 variables independientes.

n = 6 , r = 3 n - r = 3 grupos pi


q k+1 = q1 = D q2 = q3 = v

pi 1 = D1 b1. b2 .v b3.

(F0. L0. T0) = (F0. L1. T0) b1 x(F1. L-4. T2) b2 x (F0. L1. T-1) b3 x (F1. L-2.

T1)

(F0. L0. T0) = F 0b1 + b2 + 0b3 + 1 xx L b1 - 4b2 + b3 - 2 x

x T 0b1 + 2b2 - b3 + 1 b2 + 1 = 0

b1 - 4b2 + b3 - 2 = 02b2 - b3 + 1 = 0b1 = -1 ; b2 = -1 ; b3 = -1

pi 1 = D -1. -1 .v -1.

pipipipi 1 = .D.v /

Seleccionamos un qn de los n - m restantes,

por ejemplo q k+1 y formamos el primer grupo adimensional pi 1 = q1 b1. q2 b2. q k+1

Como ambos miembros deben ser dimensionalmente consistentes

D10 Dm0 = (D1a11 Dma1m )b1 xx (D1a21 Dma2m )b2 x

x (D1ak+1,1 Dmak+1,m )

Se forma un sistema de ecuaciones del que pueden despejarse las incgnitas y as obtener el primer grupo adimensional.


q k+1 = Pq1 = D q2 = q3 = v

pi 1 = D1 a1. a2 .v a3. P

(F0. L0. T0) = (F0. L1. T0) a1 x(F1. L-4. T2) a2 x (F0. L1. T-1) a3 x (F1. L-2. T0)

(F0. L0. T0) = F 0a1 + a2 + 0a3 + 1 xx L a1 4a2 + a3 - 2 xx T 0a1 + 2a2 - a3

a2 + 1 = 0a1 4a2 + a3 - 2 = 02a2 - a3 = 0

a1 = 0 ; a2 = -1 ; a3 = -2pi 1 = D 0. -1 .v -2. P

Se repiten los pasos para obtener los restantes grupos adimensionales seleccionando en cada caso un nuevo qn

pipipipi 2 = P / .v2

pipipipi 3 = L / D

Si dos magnitudes fsicas cualesquiera tienen las mismas unidades, su cociente ser un nmero adimensional pi


NUESTRA BSQUEDA EXPERIMENTAL DE UNA ECUACIN QUE DESCRIBA LA PRDIDA DE CARGA EN UN CONDUCTO

Que hasta ahora significaba encontrar experimentalmente la relacin entre las variables: P/L = f ( D, v, , , , , )Haciendo 10 000 corridas experimentales, queda reducida a una relacin entre 3 grupos pipipipi:pipipipi 1 = D v / pipipipi 2 = P / v2pipipipi 3 = L / DY si realizamos el producto entre pipipipi 2 y pipipipi 3 : pi: pi: pi: pi = D (P/L) / v2Podremos reducir nuestra relacin funcional a una relacin entre solo 2 grupos adimensionales:

As hemos reducido el nmero de corridas experimentales de 10 000 a solamente 10.

D (P/L) v2

Re

D (P/L) / v2 = f ( D v / )


CONSIDERACIONES SOBRE EL ANLISIS DIMENSIONAL

El empleo del Teorema pi NO da indicaciones sobre el mecanismo del proceso. Por lo tanto el significado fsico de un grupo adimensional obtenido a partir del Teorema pi no es evidente

Al emplear el Teorema pi cualquier conclusin ser errnea si se deja de incluir alguna variable significativa o si se incluyen variables no significativas

La cantidad de grupos adimensionales a que puede reducirse la funcin debe calcularse como k = m-r y no como k = m-n

Solo cuando se adimensionalizan las ecuaciones gobernantes es posible interpretar el significado fsico de los grupos adimensionales.

Solo nuestro criterio nos permitir seleccionar los grupos adimensionales relevantes Luego estos grupos adimensionales se pueden correlacionar experimentalmente o

buscar correlaciones ya existentes para encontrar la forma de la funcin

pipipipi1 = f (pipipipi2, pipipipi3 )


EJEMPLO: Calcular la fuerza de arrastre que sufre una pelota de golf y hacer el estudio extensivo a cualquier cuerpo esfrico que se mueve en un fluido.

SOLUCIN1) Determinar cules son los parmetros involucrados

F, D, , , v, n = 6 F (F, D, , , v , ) = 0

F M1 L1 T-2

D M0 L1 T0

M1 L-1 T-1 M1 L-3 T0 v M0 L1 T-1

M0 L1 T0

2) Seleccionar un sistema de unidades y listar los parmetros con las potencias apropiadas de las magnitudes.

En un sistema MLT m = 3

3) Armar la matriz con los exponentes a que estn elevadas las magnitudes y encontrar su rango1 1 -20 1 01 -1 -11 -3 00 1 -10 1 0

El rango de la matriz es r = 30 1 01 -3 0 0 1 -1

D, , v son las tres variables independientes. Siendo n = 6 y r = 3 se podrn formar n - r = 3 grupos pi

= 1

El determinante [D,,v ]


4) Para encontrar el 1er. Grupo pi seleccionamos 1 de las variables restantes y escribimos la ecuacin dimensionalpi 1 = D1 a1. a2 .v a3.

(M0. L0. T0) = (M0. L1. T0) a1 x (M1. L-3. T0) a2 x (M0. L1. T-1) a3 x (M1. L-1. T-1)M0 L0 T0 = M0a1 + a2 + 0b3 + 1 x L a1 3a2 + a3 - 1 x T 0a1 + 0a2 - a3 - 1

5) Para encontrar el 2do. Grupo pi seleccionamos otra de las variables restantes y escribimos la ecuacin dimensionalpi 1 = D1 a1. a2 .v a3. F

(M0. L0. T0) = (M0. L1. T0) b1 x (M1. L-3. T0) b2 x (M0. L1. T-1) b3 x (M1. L1. T-2)M0 L0 T0 = M0b1 + b2 + 0b3 + 1 x L b1 3b2 + b3 + 1 x T 0b1 + 0b2 - b3 - 2

pipipipi 2 = F / .v2.D2

a1 = -1 ; a2 = -1 ; a3 = -1

pi 1 = D -1. -1 .v -1.

M: a2 + 1 = 0

L: a1 3a2 + a3 - 1 = 0

T: - a3 - 1 = 0 pipipipi 1 = .D.v /

M: b2 + 1 = 0

L: b1 3b2 + b3 + 1 = 0

T: - b3 - 2 = 0

b1 = -2 ; b2 = -1 ; b3 = -2

pi 1 = D -2. -1 .v -2. F


8) El paso siguiente es encontrar la forma de esta funcin.8) 1) Realizando nuestra propia experiencia en laboratorio.

Es ms simple mantener el cuerpo fijo y hacer pasar una corriente de distintos fluidos (, ). alrededor de la esfera a distintas velocidades (v)Debemos tambin tener varios modelos de esferas con distintos dimetros (D) y

rugosidades (). Para cada cambio de fluido y esfera solo calcularemos el Re y /D y construimos

una tabla con los valores encontrados:

6) El ltimo Grupo pi seleccionamos es directamente la relacin entre las dos variables que tienen las mismas unidades

pipipipi 3 = / D

7) La funcin inicial con 6 variables F (F, D, , , v , ) = 0 Se transforma ahora en una funcionalidad entre 3 grupos pi :

F / .v2.D2 = f ( Re, /D)


Re /D CD = Fmedido/(1/2 v2A)2x103 lisa x6x103 0,05 x2x104 0,07 x7x104 0,9 x

xxx

Graficando estos valores:.

8) 2) Dado que llegamos a una solucin del Teorema pi con adimensionales conocidos, seguramente este trabajo ya ha realizado y publicado y podramos evitar el trabajo experimental.

CD

/D rugosidad relativa

/D=1,25x10-2

pelotade

golf

/D=5x10-3/D=1,5x10-3

/D=0 esfera lisa

4x104 105 4x105 106 4x106 Re


PROCEDIMIENTO DEL DISEO POR SIMITITUD Identificar las fuerzas significativas/predominantes y las propiedades del fluido. Seleccionar los nmeros adimensionales dominantes para asegurar la similitud dinmica. Plantear la igualdad de estos nmeros entre modelo y prototipo. A partir de estas igualdades, obtener la relacin de velocidades entre el modelo y el prototipo. Obtener tambin las relaciones para caudales, tiempos, fuerzas, presiones y potencia Para trabajar con el modelo hay dos alternativas:1) Fijar el tamao del modelo e introduciendo este l en las ecuaciones anteriores se obtiene cual es la viscosidad y densidad del fluido requerido para el modelo. De tablas se buscar cul es el fluido que cumple. Este es el camino a seguir cuando ya se dispone de un modelo. 2) Elegir un fluido de y conocidas y reemplazando estos valores en las ecuaciones anteriores se obtiene cual ser la escala del modelo a construir en laboratorio. Esta opcin permite trabajar con un fluido sin riesgos y fcil de obtener pero puede requerir un no conveniente.

Cualquier variable adimensional medida en el modelo ser idntica en el prototipo. Cuantas ms sean las fuerzas significativas ms difcil ser conseguir la similitud completa


Por lo general el prototipo trabaja en rgimen turbulento, entonces se debe evitar que la v en el modelo sea muy baja como para tener flujo laminar.

Si en el prototipo las fuerzas de tensin superficial no son relevantes, se debe evitar que el modelo generalmente ms pequeo, aparezcan esta fuerzas.

La rugosidad de un modelo se debera reducir en la misma proporcin que las otras dimensiones lineales, es decir que un modelo pequeo debera tener superficies mucho mas lisas que las de su prototipo.

El criterio propio es de suma importancia al momento de evaluar los resultados del modelo a transferir al prototipo.

RECOMENDACIONES ADICIONALES PARA EL DISEO POR SIMILITUD


RELACIONES TILES

No hay un conjunto nico de grupos pi para un problema dado. Hay ciertos grupos pi que tienen un significado fsico.

Estos ya han sido estudiados y existen correlaciones y grficas de los mismos. Esto nos evitar el paso experimental.

Si una magnitud es adimensional, constituye un grupo pi sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior.

Si dos magnitudes fsicas cualesquiera tienen las mismas unidades, su cociente ser un nmero adimensional pi. Por ejemplo L/D es adimensional y, por lo tanto, un nmero pi.

Cualquier nmero pi puede ser sustituido por una potencia del mismo.

Cualquier nmero pi puede sustituirse por su producto por una constante numrica.

Cualquier nmero pi puede expresarse como funcin de otros nmeros pi


EJEMPLO:En la construccin de un tanque agitado se

desea predecir la altura del lquido en las paredes mediante el estudio de un modelo en escala reducida que utiliza agua a 20oC. Determinar las condiciones de operacin del modelo y sus dimensiones. Dimensiones del prototipo: N = 200 rpm, H =

100 m, D = 10 m, T = 75 m. Fluido del prototipo: = 60 cp, = 1,5 g/cm3

SOLUCIN Identificar las fuerzas significativas/predominantes y las propiedades del fluido.

Fuerzas inerciales, viscosas y gravitacionales

Seleccionar los nmeros adimensionales dominantes para asegurar la similitud dinmica.

Igualdad de Fr y de Re

D

T

N

z

rH


Plantear la igualdad de estos nmeros entre modelo y prototipo.En este caso ya se seleccion el fluido sin riegos de manipulacin, fcil de obtener y su

y son conocidas. Para el diseo por similitud debemos asegurar:

Similitud geomtricaSimilitud dinmica

Similitud geomtrica: = HP/HM = DP/DM = TP/TMSimilitud dinmica:

Igualdad de Fr:

(NM DM )2g DP

(NP DP ) 2g DM

=

NM / NP = 1/2


Igualdad de Re:

NM/NP = (P/ M) (DP /DM)2 (M/ P)NM/NP = (P/ M) (M/ P) 23/2 = (M/ P) (P/ M) = (1/1,5) (60/1) = 40

MM DM (NM DM )2

PP DP (NP DP ) 2

=

NM/NP = 1/2 (de la igualdad de Fr)

DM = DP / = 0,86 m

NM = NP 1/2 = 684 rpm

HM = HP / = 8,55 m

TM = TP / = 6,41 m

= 11,7

10 m

75 m

200 rpm

z

r

1

0

0

m

Prototipo

= 60 cp = 1,5 g/cm3


CONO DE CONTRACCIN

ZONA DE PRUEBA

CONO DIFUSORIMPULSOR

CMARA DE ESTABILIZACIN

La cmara de estabilizacin permite conseguir un flujo linealizado.El cono de contraccin toma un gran volumen de aire a baja velocidad y lo transforma en un menor volumen de aire a alta velocidad sin crear turbulenciaEn la zona de prueba se ubican el modelo y los sensores de medicin.En el cono difusor se reduce la velocidad del aire.El impulsor mueve el aire a travs del tnel de viento.

En la zona de prueba puede colocarse un perfil alar o un modelo de avin para su estudio. A medida que el flujo de aire adquiere la velocidad deseada, los sensores medirn el empuje ascensional y la fuerza de arrastre sobre el modelo de prueba.El empuje ascensional es la fuerza ejercida sobre el ala que se opone a la fuerza gravitatoria y sostiene al avin en el aire.El arrastre es la fuerza que se ejerce sobre el ala en la direccin del flujo de aire. sta es la resistencia que los motores deben vencer para mover al avin en el aire.En base a la medicin de estas fuerzas y de las relaciones conocidas entre el modelo y el prototipo se podrn determinar con precisin las condiciones reales de comportamiento del avin.

ESQUEMA DE UN TNEL DE VIENTO

EL TNEL DE VIENTO


Este tnel est preparado para medir arrastre y empuje ascensional. El sensor de velocidad es un tubo Pitot que puede moverse alrededor del modelo desde afuera. El ngulo de inclinacin del modelo tambin puede modificarse desde afuera.


Tnel de viento LA FORTALEZAde BERTA S.A.

en Alta Gracia Crdoba

En carrera, la potencia y la aerodinmica lo son todo. Una empuja el coche a travs del aire, la otra le permite un mejor uso de esa potencia. Y mientras que los mecnicos emplean su tiempo en el banco de pruebas, los especialistas en aerodinmica trabajan en el tnel de viento en la bsqueda del diseo ms efectivo.El tnel de viento simula el paso de un coche por la pista, pasando a travs del aire:El coche est representado por un modelo a escala sobre un piso que va dando vueltas, simulando la superficie de la pista real y el flujo de aire es simulado con unos enormes ventiladores. El modelo puede ser fcilmente modificado para proporcionar diferentes soluciones aerodinmicas y los sensores mostrarn a los especialistas en aerodinmica los efectos de esos cambios para luego ser aplicado en el prototipo de carrera.

Prototipo y Modelo a escala 1/4 del Escort TC 2000.


The Australian Maritime College: Tanque para estudio de arrastre

Al disear un barco se nos presentan muchas dudas: Cul ser su velocidad, su potencia de motor, los materiales de construccin, las condiciones ms seguras de operacin, etc. Muchas de estas respuestas pueden obtenerse en este tipo de tanque cuando el modelo se mueve arrastrado desde un puente-gra y se miden las fuerzas hidrodinmicas. Hasta pueden fabricarse olas en uno de sus extremos para simular la navegacin en el ocano. El costo de construccin de un modelo es irrelevante comparado con tener que corregir

el diseo del barco ya construido.

En este tipo de tanque, un modelo de barco de solo 30 cm permite estudiar el comportamiento de un petrolero de 240 m.

Analisis Dimensional

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