Analisis Dimensional 2013

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DEL ESTADO DE MORELOS

ANÁLISIS DIMENSIONALSEPTIEMBRE 2013

Donde se llevan a cabo las transformaciones que involucran organismos vivos (inóculo) o sustancias bioquímicamente activas derivadas de organismos vivos

Es un recipiente o sistema AISLADO que mantiene un ambiente

biológicamente activo.

Es la unidad central de operación y producción de un BIOPROCESO

RECORDEMOS QUE…

Construido de materiales específicos para cada objetivo específico

SIEMPRE se busca satisfacer algún interés para el ser humano

Comercial:

Antibióticos, alcohol, hormonas, ácidos orgánicos, biomasa (inoculantes, proteínas), polímeros.

Social:

Depuración de aguas contaminadas, limpieza de gases o suelos contaminados

La operación de un biorreactor siempre se realiza bajo condiciones ESTRICTAMENTE controladas

Biorreactores

Inmovilizadas

En suspensión

L fijo

TCGL

L fluidizado

RAM

AL

CB

LE

CD

TC

Por atrapamiento

Biopelícula

Ranurado

Malla

Convencional

Clasificación de los Biorreactores

Criterio:Ubicación

de las células

FLC

FGC

Homogéneos

Heterogéneos

Opera bajo un régimen específico (lotes, continuo, semicontinuo)

INGENIERÍA DE BIORREACTORES

t, h0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10| | | | | | | | | | |

X,

gL-1

t, h0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10| | | | | | | | | | |

S o

P,

gL-1

Xmax

XdtdX

S0

Pmax

SKS

S max

La respuesta de un biorreactor depende del régimen de operación, no depende de la configuración


En síntesis:

El sistema de estudio es un biorreactor con MOVIMIENTO generado externamente desde un motor eléctrico.El movimiento interno del biorreactor se llama AGITACIÓN. Pone en contacto a las fases reactivas.

La agitación de un biorreactor GENERA GRADIENTES DE CONCENTRACIÓN entre las especies reactivas

La agitación de un biorreactor representa una ingreso de calor que GENERA GRADIENTES DE TEMPERATURA en el fluido.

La agitación de un biorreactor GENERA GRADIENTES DE VELOCIDAD en el fluido en movimiento.

VARIABLE SÍMBOLO UNIDADES fundamentales

1 Densidad M/L3

2 Viscosidad M/LT3 Constante gravitacional g L/T2

4 Potencia P ML2/T3

5 Velocidad de agitación N 1/T6 Diámetro del impulsor Dim L

7 Diámetro del tanque DT L8 Altura del líquido H L9 Altura del impulsor C L10 Ancho de mamparas (baffles) J L11 Pitch del impulsor S L12 Largo de aspa L L13 Ancho de aspa W L14 Caudal de aire Q L3/T


P

g

r

µ

C

Dim

H

N

DT

J

W

Q

L

Para responder a la pregunta se recurre al análisis dimensional


¿Cómo se vinculan TODAS estas variables entre sí?

¿Qué depende de qué?

¿Qué es el análisis dimensional?

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Método para relacionar cierto número de variables EN UNA

SOLA ECUACIÓN, que describa un efecto.

Útil para deducir información, a partir de la simple premisa de que EL FENÓMENO PUEDE SER DESCRITO POR UNA ECUACIÓN

DIMENSIONALMENTE HOMOGÉNEA, hecha de ciertas variables.

El resultado del análisis dimensional es un CONJUNTO DE NÚMEROS ADIMENSIONALES, que son cocientes de las variables originales y que constituyen a su vez nuevas variables por si mismas………

pero sus magnitudes tienen un claro sentido físico para el ingeniero

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Nuevas variables adimensionales

Variables originales

En el análisis dimensional se utiliza el método conocido como:

Teorema “” (pi) de Buckingham

Al final se obtendrán “i” números adimensionales “” :

i = n - r

1. POSTULADO: si se conocen:

n = número de variables del sistema

Y se establecen:

r = dimensiones fundamentales (M, L, T) o (F, L, T)


13

VARIABLE SÍMBOLO DIMENSIONES fundamentales

1 Densidad M/L3


4 Potencia P ML2/T3




2. POSTULADO: En todo SISTEMA existen tres variables centrales, es decir, las que mas inciden sobre un fenómeno específico:

(i) Una longitud característica, diámetro del impulsor, Dim [=] L

(ii) Una densidad característica, la del fluido, [=] ML-3

(iii) Una velocidad característica, la del impulsor, N [=] T-1

Estas tres variables centrales, estarán presentes en todos los números adimensionales a generar, además de una cuarta variable por aislar, así:

i = f (Dim, , N, i-ésima variable)


A partir del POSTULADO 2 resulta que cada grupo , esta definido por el producto de las 4 variables elevadas a un

exponente distinto, así:


1)var( iableésimaiNDim iii cbai

3. POSTULADO. Cuando cada variable se expresa en las dimensiones

fundamentales correspondientes (M, L, T), para que el grupo i resulte

adimensional debe cumplir con:

13

000 )var(1

1)(

iableésimai

LM

TLTLM

ii

i

cba

i

La condición de adimensionalidad se cumple al sumar los cuatro exponentes de la misma base y que el resultado sea cero

METODOLOGÍA


13

000 )var(1

1)(

iableésimai

LM

TLTLM

ii

i

cba

i

Condición Adimensional

Expresada en las dimensiones fundamentales correspondientes

Ejemplo

Como se sabe:

La forma elemental propuesta para cada número P incluye

1. Una longitud característica (L)

2. Una velocidad característica (V)

3. Una densidad característica ( )r y

4. La variable a aislar (vn).

Pn = La1Vb1rc1vn

Pn = (L)a1(1/t)b1(M/L3)c1(MaLbtc)

L: a1+b1-3c1+b = 0

t: -b1+c = 0

M: c1+a = 0

Condición necesaria para laadimensionalidad

18

VARIABLE SÍMBOLO DIMENSIONES fundamentales

1 Densidad M/L3


4 Potencia P ML2/T3




19


EJEMPLO:

Si la i-ésima variable por aislar fuera el DT[=] L, 7a variable…..i = 7

137

000 )(1

1)(77

7

L

LM

TLTLM

cba

Por la ley de los exponentes, el álgebra para las mismas bases será:

Para la base M: 0 = c7

Para la base L: 0 = a7 – 3c7 – 1

Para la base T: 0 = – b7

c7 = 0

a7 = 1

b7 = 0

Sustituyendo

20


10

3

01

7000 )(

11)(

L

LM

TLTLM

EJEMPLO:

Para la i-ésima variable DT[=] L, 7a variable…..i = 7, resulta:

Sustituyendo con las variables originales, para i = 7

TT D

DimDNDim 1001

7 ¡Es adimensional!


EJEMPLO 2:

Si la i-ésima variable por aislar fuera la viscosidad µ [=] M L-1 T-1, 2a variable…..i = 2

Demostrar que

11122

NDim

Se sigue el mismo procedimiento con otras variables y se obtiene:

Los “adimensionales geométricos” son relaciones entre longitudes involucradas en el reactor, como el número aislado en el ejemplo.

VARIABLE AISLADA ADIMENSIONAL OBTENIDO

1 Densidad -2 Viscosidad Número de Reynolds

3 Constante gravitacional Número de Froude

4 Potencia Número de Potencia

5 Velocidad de agitación -6 Diámetro del impulsor -7 Diámetro del tanque Adimensional geométrico 1

8 Altura del líquido Adimensional geométrico 29 Altura del impulsor Adimensional geométrico 310 Ancho de mamparas Adimensional geométrico 411 Pitch del impulsor Adimensional geométrico 512 Largo de aspa Adimensional geométrico 613 Ancho de aspa Adimensional geométrico 714 Caudal de aire Número de Aireación


Con el Teorema Pi de Buckingham se obtienen los número adimensionales siguientes:

NDim

N2

Re Número de Reynolds

Es una relación de las fuerzas inerciales / fuerzas viscosas


Fuerzas inerciales

Fuerzas viscosas

NRe es una medida de…..

gDimN

NFr

2

Número de Froude

Es una relación de las fuerzas inerciales / fuerzas gravitacionales


Fuerzas inerciales

Vórtice

g

NFr es una medida de…..

cP Pg

NDimN

35

Número de Potencia


35NDimPg

N cP

Fuerzas inerciales

Fuerzas externas

NP es una medida de…..

Es una relación de las fuerzas externas / fuerzas inerciales

En los libros aparece como:

QNDim

Na3

Número de Aireación

Es una relación de…


Caudal del fluido manejado por el impulsor / caudal de aire que recibe el impulsor

27

Cuando las relaciones geométricas del reactor son constantes, todos los números adimensionales geométricos también son constantes, así:

utsrqp

L

o

T

nFr

mP S

Dim

W

Dim

L

Dim

J

Dim

C

Dim

H

Dim

D

DimNNKN

Re'

Por lo tanto, K es ahora una constante de carácter geométrico


4. POSTULADO. Al menos uno de los grupos adimensionales generados es DEPENDIENTE de TODOS los demás. El resto son números adimensionales INDEPENDIENTES.

Lo que pretendemos es asociar el consumo de potencia con todas las demás variables. Por lo tanto Np es la variable dependiente.

nFrm

P NNKN Re

K

Geometría recomendada para cuando hay un solo impulsor acoplado a la flecha

Relación geométrica

Tipo de impulsor

De aspas planas 1/3 1 1/4 1/5 1 4 1/10De paletas 1/3 1 1/2 1/4 1 4 1/10De propela marina 1/3 1 - - 1 4 1/10

C/ Dim # de Baffles

J/ DTDim/ DT H/ DT W/ Dim L/ Dim

W

J

C

Dim

DT

L

Se le considera “recomendada” o estándar a la distribución geométrica siguiente:


Fondo plano en el biorreactor

Geometría recomendada para cuando hay 2 ó 3 impulsores acoplados a la flecha

Relacion geometrica 2 imp 3 impH/ DT 1.38 1.38

Dim/ DT 0.3 0.3HA/ Dim 1.3 1

HB/ Dim - 1.3

HC/ Dim 2 1.3

HF/ Dim 1.3 1

HL/ Dim 3 3

H

A

DT

Dim

HF

HC

HB HL



nFrm

P NNKN Re

Modelo matemático que asocia a TODAS las variables implicadas en la AGITACIÓN

… y ¿Qué ocurre si?

Tomamos otra velocidad característica (de sedimentación de las células) Tomamos otra longitud característica (diámetro del tanque)

Tomamos la viscosidad y no la densidad Aplicamos AD a un ALTC

…¿Qué pretendemos conocer?

Velocidad mínima del impulsor que mantenga estable la suspensión celular

Mínima velocidad de sedimentación Máxima OTR

FIN DE LA SECCIÓN “ANÁLISIS DIMENSIONAL”

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