UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE

INGENIERÍA HIDRAULICA

MODELOS MODELOS

HIDRÁULICOS IHIDRÁULICOS I

DOCENTE: Ing. Luis Vásquez Ramírez.

INTRODUCCIÓNEsencialmente el análisis dimensional es una técnica que

permite reducir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado.

La caracterización de cualquier problema mediante grupos adimensionales, se lleva a cabo mediante un método denominado análisis dimensional.

Cuando el número de variables o magnitudes físicas son cuatro o más, el Teorema de pi de Buc kingham constituye una excelente herramienta, mediante la cual pueden agruparse estas magnitudes en un número menor de grupos adimensionales significativos.

Con las herramientas del análisis dimensional pueden establecerse criterios de semejanza, muy útiles a la hora de realizar experimentos. Para ello, la condición de semejanza es que los números adimensionales que gobiernan las leyes del fenómeno en estudio de un prototipo deberían ser los mismos que en un modelo de laboratorio.

Números adimensionales: Son de Reynolds. de Euler, de Froude, de Mach, de Weber, etc.

ANÁLISIS DIMENSIONALEs conocido que en Física las magnitudes

tienen dimensiones. Así decimos que [v]= LT-1 y [F]=MLT-2.

El concepto de dimensión se debe a Fourier según en su obra “Theorie analytique de la chaleur”.

Es decir, las ecuaciones deben de ser homogéneas dimensionalmente hablando. Esta es la idea que subyace en el fondo de todo el Análisis Dimensional.

Del concepto de magnitud, dimensión y homogeneidad de las ecuaciones físicas se ocupa el llamado Análisis Dimensional.

Principio de homogeneidad dimensional

En toda suma o resta correcta de magnitudes físicas, cada uno de los términos deben tener las mismas dimensiones al igual que la suma total o la diferencia.

Ejemplo: 3 Kg/m3 + 8 Kg/m3 =11kg/m3

9m + 6m =15m 5kg/m3+14 Seg =??? (incorrecto)

En conclusión AX2 + BY= CD [AX2]= [BY]= [CD]

Parámetro AdimensionalSi se considera la ecuación de la densidad

cuya expresión dimensional equivalente es:

Ahora si agrupamos todas las variables implicadas en la ecuación, en un solo miembro, por ejemplo en el segundo, se obtiene:

v

m

33

L

MML

33 L

M

L

M

vm

1

La expresión dimensional resultante, de esta nueva expresión será:

Entonces se puede decir, en general, que un parámetro adimensional es un conjunto de variables agrupadas de tal forma que su expresión dimensional mas simple es 1.

11

3

3

LMLM

Constantes numéricasConstantes numéricas

Constantes físicasConstantes físicasFórmulas dimensionales Fórmulas dimensionales

importantesimportantes

El Análisis Dimensional tiene aplicaciones en:

Conversión de un sistema de unidades en otro.Desarrollo de ecuaciones.Reducción del número de variables requeridas

en un programa experimental.Resolución de problemas cuya solución directa

conlleva dificultades matemáticas insalvables. Consideraciones sobre la influencia de posibles

cambios en los modelos, tanto cambios reales como imaginarios.

¿ Cómo determinar experimentalmente la fuerza de arrastre F sobre una esfera lisa de diámetro De que se mueve en un medio fluido de densidad ρ y viscosidad u con velocidad uniforme V?

Desarrollo

Impulsar una corriente fluida uniforme sobre un cuerpo esférico estacionario, utilizando para ello un túnel de viento.

Se puede escribir la siguiente relación funcional,

Entonces se trata de determinar la relación funcional anterior experimentalmente.

Una forma de planificar el trabajo experimental puede ser la siguiente:

• Determinar la influencia de cada una de las cuatro variables en el valor de la fuerza de arrastre, manteniendo fijos los valores de las tres variables restantes.

• Repetir cada prueba cuando menos para 10 valores distintos de la variable independiente. Valor mínimo para fines de análisis estadístico.

El procedimiento anterior se puede explicar mejor con ayuda del siguiente gráfico:

Se necesita repetir la prueba para 10 diámetros diferentes.Para cada diámetro se necesita repetir la prueba para: 10 valores distintos de la velocidad 10 valores diferentes de la densidad y 10 valores distintos de la viscosidadEs decir que se deben realizar cuando menos 10000 pruebas experimentales. Y realizando 10 pruebas por día....Y si aumenta el número de variables implicadas, por ejemplo, la rugosidad de la esfera, se tendrían que realizar 100000 pruebas y si…

Una buena alternativa es utilizar el análisis dimensional del las variables implicadas en el problema como paso previo a la planificación del experimento. Esta técnica, como ya se mencionó, permite agrupar las variables en parámetros adimensionales y formular el problema en términos de la relación funcional de estos grupos de variables. Así, en este caso se tiene sólo dos parámetros adimensionales independientes, como se vera más adelante, que son:

Entonces se puede escribir la siguiente relación:

La forma de la función f debe ser determinada experimentalmente. Este proceso experimental exige un número menor de pruebas al ser necesario solo una curva para explicar la naturaleza del proceso.

Para variar el parámetro independiente, es suficiente variar la velocidad de la corriente de fluido. Y basta utilizar un solo fluido por ejemplo el aire, y solo un tamaño de esfera.

EjemploDesarrollar por el método del análisis dimensional

la ecuación de la distancia recorrida por un cuerpo que cae libremente durante el tiempo T, asumiendo que la distancia depende del peso del cuerpo, de la aceleración de la gravedad y del tiempo.

Solución

Como la distancia (s) depende del peso (P), aceleración (g) y tiempo (T) se puede escribir:

s= f (P,g,T) ó s=K PxgyTz …………….(1) donde k es una constante de proporcionalidad.

Pero dimensionalmente: s =L p = F g = LT-2

Luego: L =Fx(LT2)yTz

LF0T0=FxLyT-2y+z

Identificando exponentes: y =1 x =0 -2y+z=0, o sea que: z=2En consecuencia la expresión (1) queda s=KP0gT

s=KgTs=KgT-2-2