Análisis de Sistemas No Lineales -...

Herramientas Matemáticas

Análisis de Sistemas No Lineales

Existencia y Unicidad de Soluciones

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolas de HidalgoMorelia, Michoacán

DEP-FIE

Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 1/49

Herramientas MatemáticasNormasExistencia y UnicidadDerivadas y Corchetes de LieDifeomorfismo y Transformaciones de Estado

Contenido

1 Herramientas Matemáticas

Normas

Existencia y Unicidad

Derivadas y Corchetes de Lie

Difeomorfismo y Transformaciones de Estado



Outline


Normas






Norma p en Rn

Definiciones de normas de vectores:

kxkp

= (|x1|p+ . . .+ |xn

|p)1/p 1 p < •kxk• = max

i

|xi

|

Propiedades:

1 kxk � 0 8x 2 Rn, |xi

| kxk , i = 1,2, ...,n2 kx+ yk kxk+kyk 8x ,y 2 Rn

3 kaxk= |a|kxk 8a 2 R y x 2 Rn

4�

�

x

T

y

�

� kxkp

kykq

,1p

+1q

= 1. (Desigualdad de Holder)

5 |a+b| |a|+ |b| , |ab|= |a| |b| , ||a|� |b|| |a�b|6 kxk�kyk kx� yk (Desigualdad inversa del triángulo)



Norma de Matrices

Definición de normas de matrices:

Norma p inducida de 8 2 Rm⇥n

kAkp

= supx 6=0

kAxkp

kxkp

= m«axkxk

p

=1kAxk

p

la cual para p = 1, 2, • está definida como

kAk1 = m«ax1jn

Ân

i=1 |aij | (Sumatoria de filas)

kAk2 =⇥

lm«ax�

A

T

A

�⇤1/2

kAk• = m«ax1in

Ân

j=1 |aij | (Sumatoria de columnas)

donde lmax

es el máximo eigenvalor de A

T

A.



Sobre Funciones y sus Derivadas

Una función es continua si para cambios “pequeños” en la entradaproduce cambios “pequeños” en la salida. De otra forma es disconti-nua.

Considere un conjunto abierto sobre la linea de los reales y una fun-ción f definida sobre tal conjunto con valores reales. Sea k un enterono negativo. La función f se dice que es de clase C

k si las derivadasf

0, f 00, ..., f (k) existen y son continuas.

La clase C

1 consiste de todas las funciones diferenciables cuya deri-vada es continua; tales funciones son llamadas continuamente di-

ferenciables.

La función f se dice ser de clase C

• ó suave si ésta tiene derivadasde todos los ordenes.



Sobre Funciones y sus Derivadas

Una función f se dice ser de clase C

w ó analítica si f es suave yésta es igual a su expansión en series de Taylor alrededor de cualquierpunto en su dominio.

Funciones acotadas son funciones para las cuales existe un cotainferior y superior, es decir, una constante la cual es mayor que elvalor absoluto de cualquier valor de esta función.

Para campos vectoriales, si cada componente de f es continuo,entonces f es una función continua; de manera más general, f es uncampo vector de clase C

k si cada componente f es k veces conti-nuamente diferenciable.



Outline


Normas






Problema del Valor Inicial (PVI)

DefiniciónConsidere la siguiente ecuación diferencial de orden n como

d

n

y

d t

n

= f (y ,y 0, ...,y (n�1),u). (1)

El problema del valor inicial consiste en determinar la solución de(1), i.e., y(t) en un intervalo I , que satisfaga todas las condicionesiniciales dentro de I , esto es

y(t0) = y0

y

0(t0) = y1...

y

(n�1)(t0) = y

n�1.



Problema del Valor Inicial (PVI)

Considere un modelo matemático que representa un sistema dinámi-co mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales. Entonces, paradeterminar el estado futuro del sistema a partir de su condición inicialen el tiempo t0, el problema de valor inicial

x = f (y ,x), x(t0) = x0

debe tener solución única, misma que ha de depender continuamentede la condición inicial y los parámetros. Para tal fin, surge el análisisde la existencia y unicidad de la solución.



PVI para un Sistema Lineal

Cualquier sistema lineal

x = Ax , x(t0) = x0

tiene una única solución para cada punto x0 en el espacio Rn; lasolución esta dada como x(t) = e

At

x0 y está definida para todot 2R.



Solución al PVI

Considere la ecuación diferencial

x = f (t,x) (2)

donde f : [t0, t1]⇥Rn !Rn bajo la condición inicial

x(t0) = x0.

Se llama solución del sistema (2) en un intervalo t 2 [t0, t1], a unafunción continua x(t) 2 C 1 en t 2 [t0, t1] tal que x esté definida yse satisfaga x = f (t,x(t)), 8t 2 [t0, t1].



Condiciones para la Existencia de la Solución

Sea f (t,x) continua en x y seccionalmente continua en t.

Ejemplo: Considere la existencia de la solución de [4, 1]

x = x

1/3, con x(0) = 0.

La ecuación tiene por soluciones:

El punto de equilibrio, x(t) = 0.Otra solución se encuentra por variables separables comoR

x

�1/3dx =

R

dt, entonces 32x

2/3 = t+C . Con

x(0) = 0 ) C = 0. Así, x(t) =✓

2 t3

◆3/2

es también una

solución.

Conclusión: La condición de continuidad de f (t,x) garantiza la exis-tencia pero no la unicidad de la solución.



Condiciones para la Existencia y Unicidad de la Solución

Otro ejemplo:

x = 1+ x

2, con x(0) = 0.

La ecuación tiene la solución x(t) = tan t.

Note que

1 La solución existe en el intervalo �p/2 < t < p/22

x(t)! • cuando t !±p/2 (escape en tiempo finito)

Conclusión: Aunque hay solución e incluso única, no hay garantíaque ésta exista para todo tiempo.



Condiciones para la Existencia y Unicidad de la Solución

Ahora se derivarán las condiciones suficientes para la existencia yunicidad de la solución del problema de valor inicial

x = f (x , t), x(t0) = x0

La existencia y unicidad de la solución del sistema previo dependeráde las restricciones que se impongan sobre f (x , t).



Condición Localmente Lipschitz

DefiniciónUna función f : D !Rn es localmente Lipschitz en x sobre undominio D ⇢Rn si para cada punto x0 2 D hay una vecindadalrededor de e dada como De(x0)⇢ D y una constante L0 tal quepara todo x , y 2 De(x0)

kf (x)� f (y)k L0 kx� yk

–DefiniciónLa función f (x) es globalmente Lipschitz si ésta es Lipschitz en Rn.

Usualmente se dice que una función es Lipschitz en x, si ésta satisfaceque kf (t,x)� f (t,y)k Lkx� yk, y se usan los términos local oglobal para indicar el dominio sobre el cual se cumple la desigualdad.



Condición Lipschitz

Cuando f :R!R, la condición Lipschitz puede ser presentada como

|f (x)� f (y)||x� y | L

La condición anterior implica que una línea recta uniendo cualquierpar de puntos en la gráfica de f (x) debe tener pendiente menor queL. Dicho de otra forma, la cota de la derivada de f es la constantede Lipschitz.

Cualquier función discontinua NO es localmente Lipschitz en elpunto de la discontinuidad, p.e., el escalón.



Conjunto Convexo

Los conjuntos considerados en esta unidad son generalmente conve-xos de la forma

D = {(t,x)|a t b y �• < x < •}

para valores constantes de a y b.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 18/49


Condición Lipschitz para una Función VectorTeoremaSea f : [a,b]⇥D !Rn una función continua para algún dominioD ⇢Rn. Suponga que:

1.∂ f∂x (t,x) existe y es continua sobre [a,b]⇥D

2.�

�

�

�

∂ f∂x (t,x)

�

�

�

�

L sobre [a,b]⇥W , donde W ⇢ D es un

subconjunto convexo, entonces se satisface la condición Lipschitz

kf (t,x)� f (t,y)k Lkx� yk , 8t 2 [a,b] y 8x ,y 2W

La propiedad Lipschitz es más fuerte que la de continuidad [1], esdecir, se podría derivar pero no satisfacer la condición Lipschitz. Porotro lado, la propiedad Lipschitz es mas débil que continuamentediferenciable1 [1].

1Una función la cual tiene derivadas que a su vez son funciones continuas.



Condición de Diferenciabilidad Continua

TeoremaSea f : [a,b]⇥D !Rm una función continua sobre D ⇢Rn. Siexiste ∂ f /∂x y es continua sobre [a,b]⇥D, entonces f eslocalmente Lipschitz en x sobre [a,b]⇥D.

Note que a diferencia del teorema previo, donde se estableció el re-sultado para continuidad en algún dominio dentro de D, ahora eneste teorema, se pide continuidad sobre todo D.



Ejemplo: Constante de Lipschitz

Considere el campo vector

f (x) =

�x1+ x1x2x2� x1x2

�

Diga si es continuamente diferenciable, ¿y si es el caso, es localmen-te Lipschitz? Determine la constante de Lipschitz usando la normainfinito para el conjunto W =

n

x 2R2�

�

�

|x1| a1, |x2| a2

o

.

Sol. L= 1+a1+a2.



Teorema de Existencia Local y Unicidad

TeoremaSea f (t,x) seccionalmente continua en t y suponga que se satisfacela condición de Lipschitz

kf (t,x)� f (t,y)k Lkx� yk

8x ,y 2 B

r

= {x 2 Rn : kx� x0k r} ,8t 2 [t0, t1] .Entonces 9d > 0 tal que el sistema

x = f (t,x)

x(t0) = x0

tiene una solución única en [t0, t0+d ] .



Observaciones sobre el Teorema de Existencia Local yUnicidad

El resultado del teorema anterior es local ya que sólo se garantizala existencia local y unicidad de la solución sobre el intervalo t 2[t0, t0 + d ], donde d puede ser tan pequeña como se requiera, perono se garantiza para el intervalo t 2 [t0, t1]. (Por ejemplo, es el casode la solución con el fenómeno de tiempo de escape finito).

Sin embargo, la existencia local y unicidad de la solución puede lle-varse acabo de manera repetida a fin de extender el intervalo mas alláde d , esto al reconsiderar como condición inicial x(t0+d ) y volver arevisar las condiciones de continuidad y Lipschitz. Realizar lo anteriorhasta que no lleguen a cumplirse las condiciones de existencia local yunicidad. (Usualmente, lo anterior se cumple para t1 arbitrariamentegrande)




Si f (x , t) es continua en t y x , entonces la solución x(t) será con-tinuamente diferenciable. La hipótesis de que f (x , t) sea seccional-mente continua en t permite que se incluya el caso cuando f (x , t)depende de una entrada variante con el tiempo, que puede expe-rimentar escalones con el tiempo, permitiendo tener una soluciónseccionalmente continuamente diferenciable [1].

La hipótesis crucial en el resultado de existencia y unicidad es lacondición de Lipschitz, donde L es la constante Lipschitz.




En vista del resultado de existencia local y unicidad, surge la siguientepregunta: ¿Bajo que condiciones se puede garantizar que la soluciónexista para un tiempo indefinido (un t1 arbitrariamente grande)?

La respuesta está en las condiciones que se le exijan a f (t,x), que seplantea en el siguiente teorema por medio de satisfacer la condiciónLipschitz global.



Teorema de Existencia Global y Unicidad

TeoremaSuponga que f (t,x) es seccionalmente continua en t y satisface

kf (t,x)� f (t,y)k Lkx� ykkf (t,x0)k h

para todo x ,y 2Rn, 8t 2 [t0, t1], donde L es la constante deLipschitz y h es una constante no negativa. Entonces, la ecuaciónde estado

x = f (x , t), x(t0) = x0

tiene una única solución sobre [t0, t1].

Note que t1 puede ser elegido arbitrariamente grande.



Ejemplo: Existencia Global y Unicidad

Considere el sistema lineal

x = A(t)x+g(t) = f (t,x), x(0) = x0

donde A(t) y g(t) son funciones seccionalmente continuas en t yacotadas para t 2 [t0, t1], lo que implica que kA(t)k a y kg(t)k b.(Dada cualquier norma)

Verificar las condiciones del Teorema anterior (Existencia Global yUnicidad).

Este ejemplo ilustra que el sistema lineal tiene una solución únicapara todo tiempo de acuerdo al teorema existencia global y unicidad.



Comentarios sobre Existencia Local y Global

Para un sistema lineal es razonable pedir la condición Lipschitz global,mientras que para sistemas no lineales esto es muy restrictivo. Noasí la condición de Lipschitz local, misma que es garantizada si lafunción del lado derecho es continuamente diferenciable (f 2 C 1).

Se puede considerar que los sistemas físicos cumplen con Lipschitzlocal, mientras que es muy difícil encontrar sistemas físicos que cum-plan con Lipschitz global.



Resumen sobre Existencia y Unicidad del PVI

Se puede decir que para que un sistema (o el PVI) tenga solución(local) y ésta sea única se debe de cumplir al menos que:

1 El lado derecho de la ecuación diferencial sea seccionalmentecontinua en t para garantizar la existencia de solución.

2 En lo que respecta al argumento x , se debe cumplir lacondición Lipschitz (condición más fuerte que continua conrespecto a x) para garantizar la unicidad en un intervalot 2 [t0, t0+d ]. (existencia local y unicidad)

3 Se puede garantizar existencia global y unicidad bajocondiciones muy restrictivas para f (t,x).



Principio de Comparación

El principio de comparación permite obtener cotas de la solución delsistema (2), sin necesidad de calcular la solución misma. Se aplicaa desigualdades diferenciales de la forma v f (t, v(t)), para todo t

en un cierto intervalo.

En el principio de comparación, justamente se compara la soluciónde la desigualdad diferencial v f (t, v(t)) con la solución de laecuación diferencial u = f (t, u(t)).



Principio de Comparación

TeoremaConsidere la ecuación diferencial escalar

u = f (t,u(t)), u(t0) = u0

donde f (t,u) es continua en t y localmente Lipschitz en u. Sea[t0,T ) el máximo intervalo de la existencia de la solución u(t). Seav(t) una función diferenciable que satisface

v f (t, v(t)), v(t0) = u0.

Entoncesv(t) u(t)

para todo t 2 [t0,T ).



Ejemplo: Principio de Comparación

Considere la ecuación diferencial escalar

x = f (x) =�(1+ x

2)x , x(0) = a

Dado que f (x) es localmente Lipschitz, entonces tiene una soluciónúnica en [0, t1], para t1 > 0. Determine la cota de la solución del PVI.

Considere ahora el sig. cambio de variable v(t) = [x(t)]2. Al tomarla derivada

v(t) = 2x(t)x(t) =�2 [x(t)]2�2 [x(t)]4 �2 [x(t)]2

Por lo tanto v(t) satisface la desigualdad diferencial

v(t)�2v(t), v(0) = [x(0)]2 = a

2.



Ejemplo: Principio de Comparación (cont.)

Sea u(t) la solución de la ecuación diferencial

u =�2u, u(0) = a

2 =) u(t) = a

2e

�2t

Por el principio de comparación v(t) u(t) y la solución x(t) satis-face

|x(t)|=p

v(t)p

u(t) = |a|e�t , 8t � 0.

El hecho importante para determinar la cota de la solución de laecuación diferencial original fue hacer un cambio de variable paraobtener una ecuación diferencial con solución conocida.



Outline


Normas






Derivada de Lie

Definición:

Sea h : Rn ! R una función escalar suave, y f : Rn ! R

n un campovectorial suave en Rn

, entonces la Derivada de Lie de h con respectoa f es una función escalar definida por

L

f

h = —hf

7! es la derivada direccional de h en la dirección del vector f



Derivadas de Lie-Recursividad

Las derivadas de Lie pueden definirse recursivamente

L

0

f

h = h

L

i

f

h = L

f

(Li�1

f

h) = —(Li�1

f

h)f

para i = 1,2 . . .

Análogamente, si g es otro campo vectorial,

L

g

L

f

h = —(Lf

h)g



¿Qué representan las derivadas de Lie?

Sea el sistema

x = f (x)

y = h(x)

Hallar las derivadas de la salida.



Corchete de Lie

Definición:

Sean f : Rn ! R

ny g : Rn ! R

n campos vectoriales suaves en Rn ,entonces el Corchete de Lie de f y g es un tercer campo vectorialdefinido por

[f ,g ] = —gf �—fg

El corchete de Lie se indica también adfg .



Corchete de Lie y Recursividad

Los Corchetes de Lie también pueden definirse recursivamente

ad

0

f

g = g

ad

i

f

=h

f ,adi�1

f

g

i

para i = 1,2 . . .



Ejemplo

Dado el sistema

x = f (x)+g(x)u

con

f (x) =

�2x1+ax2+ senx1�x2 cosx1

�

g(x) =

0cos(2x1)

�

,

Hallar [f ,g ] .



Propiedades del Corchete de Lie

i.- bilinealidad:

[a1f1+a2f2,g ] = a1 [f1.g ]+a2 [f2,g ]

[f ,a1g1+a2g2] = a1 [f ,g1]+a2 [f ,g2]

donde f , f1, f2,g ,g1,g2 son campos vectoriales suaves y a1,a2 cons-tantes escalares.



Propiedades del Corchete de Lie (cont.)

ii.- Anticonmutatividad

[f ,g ] =� [g , f ]

–iii.- Identidad de jacobi

L

adfg

h = L

f

L

g

h�L

g

L

f

h

donde h(x) es una función escalar suave de x .



La identidad de Jacobi puede usarse recursivamente. Por ejemplo:

L

ad

2f

g

h = L

ad

f

(adf

g)h�L

ad

f

g

L

f

h

= L

f

[Lf

L

g

h�L

g

L

f

h]� [Lf

L

g

�L

g

L

f

]Lf

h

= L

2

f

L

g

h�2Lf

L

g

L

f

h+L

g

L

2

f

h

Identidades análogas pueden obtenerse para corchetes de Lie de ma-yor orden.



Outline


Normas






Difeomorfismo

DefiniciónUna función f : Rn ! Rn,derivada de una región ⌦, se llamaDifeomorfismo si es suave, y su inversa ⌦

�1 existe y es suave. Si ⌦coincide con Rn =) difeomorfismo global



Sea f(x) una función suave definida en una región ⌦ en Rn. Sila matriz Jacobiana —f es no singular en un punto x = x0 de ⌦,entonces f(x) define un difeomorfismo local en una subregión de ⌦.

(Este lema es una consecuencia directa del teorema de la funciónimplícita)



Un difeomorfismo puede utilizarse para transformar un sistema nolineal en otro, tal como se hace con sistemas lineales.

Considere el sistema descrito por

x = f (x)+g(x)u

y = h(x)

y sea un nuevo conjunto de estados definido por

z = f(x)

Entonces

z =∂f∂x x

=∂f∂x (f (x)+g(x)u).



Puede escribirse la nueva representación en el espacio de estadoscomo

z = f

⇤(z)+g

⇤(z)u

y = h

⇤(z)

donde se ha utilizado x = f�1(z)


Appendix For Further Reading

[allowframebreaks]For Further Reading

H. Khalil,Nonlinear Systems,Prentice-Hall, 2002.

J-J. E. Slotine and W. Li,Applied Nonlinear Control,Prentice-Hall, 1991.

M. Vidyasagar,Nonlinear Systems Analysis,Prentice-Hall, 1993.

S. H. Strogatz,Nonlinear Dynamics and Chaos,Perseus Publishing, 2002.

S. Someone.On this and that.Journal on This and That. 2(1):50–100, 2000.


Análisis de Sistemas No Lineales -...

Documents

Transcript of Análisis de Sistemas No Lineales -...