ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES

Introducción

Partiendo de un conjunto de variables, y mediante transformaciones lineales, queremos llegar a otro conjunto de variables, sustancialmente menor, de manera que éste conserve la máxima información del conjunto original. A este segundo y reducido grupo de variables se le denomina componentes principales.

provinciasvege_pr

ed zona conatosincendio

sSafectad

aSarbolada_

afect

precipitacion media julio agosto

humedad relativa media

tempmax

Alicante 1 centro 121 57 1341,78 690,2 3,6 63 33,6

Ávila 1 centro 109 118 1874,67 1311,95 7,05 62 33,8

Baleares 2 centro 112 38 1587,91 1237,01 6,6 66 34,8

Castellón 2 centro 130 32 869,53 613,69 9,2 66 34

Cuenca 1 centro 143 46 467,14 133,71 9,1 60 36,35

Guadalajara 1 centro 96 48 553,05 314,93 23,45 65 35,3

Madrid 1 centro 167 94 1102,05 660,49 11 61 37,25

Salamanca 1 centro 61 115 3595,32 2687,08 6,2 65 35,8

Segovia 2 centro 51 18 369,07 179,23 12,7 60 35,6

Teruel 1 centro 89 16 172,74 72,58 23,15 67 36,7

Valencia 1 centro 157 72 4145,19 653,47 8,3 66 33,65

Valladolid 1 centro 56 28 106,37 20,01 41,4 67  

Zamora 1 centro 155 374 8787 7524,14 12,3 65 36,2

Soria 2 norte 66 37 155,81 107,71 34,4 63 35,1

Álava 2 norte 36 19 85,06 68,31 66,8 78 35,35

Asturias 1 norte 411 1101 11679 8725,38 26,55 79 26

Barcelona 1 norte 310 61 219,63 84,05 7,25    

Burgos 1 norte 78 136 1478,91 655,17 42,25 71 35,4

Cantabria 1 norte 40 338 3961,68 3340,48 17,05 75 27,6

Gerona 1 norte 174 22 260,22 198,38 24,5   33,2

Siete variables cuantitativas….

Dificultades:

• Cuando se trabaja con muchas variables, “los árboles no dejan ver el bosque”.

• Muchas de las variables que registramos están relacio- nadas entre sí.

Queremos:

• Resumir lo que nos dicen los datos, en un número menor de variables.

• Que sean incorreladas.

• Sin perder demasiada información.

Cantidad de información proporcionada por los datos= Variabilidad

Cuando tenemos datos multivariantes, la variabilidad conjunta ó varianza conjunta puede definirse como la suma de las varianzas de cada una de las variables:

V(X1) + V(X2) + … + V(Xn)

La idea va a ser pasar de unas variables originales a otras (que vamos a crear artificialmente), manteniendo un porcentaje de varianza (= información) que sea significativo.

X1

X2

Estos datos vienen descritos por (X1,X2)…

X1

X2

Pero en realidad se pueden describir muy bien mediante UNA sóla variable Y

Y

Técnica de Componentes Principales (ACP):

X1, X2, …, XnY1, Y2, …, Yn

Variables iniciales(cuantitativas)

Componentes principales

1.- Número elevado de variables.2.- Existen correlaciones entre ellas (información redundante)3.- Tienen significación “clara”

Yj=a1,jX1+ a2,jX2+ … + an,jXn

pesos

1.- Mismo número de variables, pero ordenadas según % de varianza retenido.2.- Incorreladas.3.- En principio, son artificiales; se intenta interpretarlas (subjetivo).4.- La relación entre ellas y las variables iniciales es lineal:

Los pesos

Cuando los datos están estandarizados, cuanto más se acerque a 1 o -1 el peso, mayor influencia tendrá la variable original a la que corresponde, en el componente.

Matemáticamente los pesos de cada componente son el resultado de calcular el autovector del autovalor correspondiente de la matriz de correlaciones y de imponer que la suma de cuadrados de todos ellos sea 1.

• En la práctica, nos quedamos con unas cuántas componentes principales, no con todas; distintas reglas para seleccionar el número de componentes:

1.- Seleccionar componentes hasta cubrir un porcentaje determinado de varianza (70%, 80%, etc.)

2.- Excluir los componentes asociados a autovalores pequeños y aproximadamente del mismo tamaño.

Para interpretar las componentes principales, nos guiamos por los coeficientes más grandes (en valor absoluto), y por las variables cuyos coeficientes tienen el mismo signo.

Estandarización de los datos:

• Salvo que la variabilidad de alguna de las variables originales tenga una importancia especial, las componentes principales se calculan a partir de las variables originales estandarizadas.

• En particular, si en los datos tenemos diferentes unidades de medida, debemos estandarizar.

Las componentes principales son combinación lineal de las variables originales:

Cada coeficiente es el peso correspondiente yes el valor estandarizado

kmkmmm

kk

kk

XaXaXaY

XaXaXaY

XaXaXaY

2211

22221212

12121111

iX

Gráficos e interpretación:

1.- Gráfico de pesos:

Gráfica de Pesos del Componente

-0,39 -0,19 0,01 0,21 0,41 0,61

Componente 1

-0,47

-0,27

-0,07

0,13

0,33

0,53

Co

mp

on

en

te 2

conatos

incendios

SafectadaSarbolada_afect

precipitacion media julio agostohumedad relativa media

tempmax

2D

Gráfica de Pesos del Componente

-0,39 -0,19 0,01 0,21 0,41 0,61Componente 1

-0,47-0,27

-0,070,13

0,330,53

Componente 2

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

Com

pone

nte

3

conatos

incendios

SafectadaSarbolada_afect

precipitacion media julio agosto

humedad relativa media

tempmax

3D

• Variables vectores. El coseno del ángulo entre dos vectores es aproximadamente el coeficiente de correlación entre las variables.

• Por tanto, vectores con ángulos agudos o casi obtusos, sugieren correlaciones elevadas.

• Permite evaluar las relaciones entre las variables de forma global.

2.- Gráfico de dispersión:

Diagrama de Dispersión

-2,1 -0,1 1,9 3,9 5,9 7,9

Componente 1

-2,8

-0,8

1,2

3,2

5,2

Co

mp

on

en

te 2

Muestra cada observación según los valores de las componentes principales.

2D

2.- Gráfico de dispersión:

Diagrama de Dispersión

-2,1 -0,1 1,9 3,9 5,9 7,9

Componente 1

-2,8

-0,8

1,2

3,2

5,2

Co

mp

on

en

te 2

Permite detectar atípicos…

2.- Gráfico de dispersión:

Caracterizar grupos de comportamiento…

Zona=norte

Diagrama de Dispersión

-2,1 -0,1 1,9 3,9 5,9 7,9

Componente 1

-2,8

-0,8

1,2

3,2

5,2

Co

mp

on

en

te 2

Diagrama de Dispersión

-2,1 -0,1 1,9 3,9 5,9 7,9

Componente 1-2,8

-0,81,2

3,25,2

Componente 2

-3,6

-2,6

-1,6

-0,6

0,4

1,4

2,4

Co

mp

on

en

te 3

Y también en 3D…

3.- Biplot:

Bigráfica

-3,2 -1,2 0,8 2,8 4,8 6,8

Componente 1

-3

-1

1

3

5

Com

pone

nte

2

conatos

incendios

SafectadaSarbolada_afect

precipitacion media julio agostohumedad relativa media

tempmax

Incorpora los dos gráficos anteriores

2D

Bigráfica

-3,2 -1,2 0,8 2,8 4,8 6,8Componente 1

-3-1

13

5

Componente 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

Com

pone

nte

3

conatos

incendios

Safectada

Sarbolada_afect

precipitacion media julio agosto

humedad relativa media

tempmax

3D

Obtención de las cargas. Interpretación

• ¿Qué porcentaje de cada variable es explicado por los componentes principales seleccionados?

• Para contestar hay que considerar el concepto de carga.

En datos estandarizados, los pesos son proporcionales a las correlaciones, de tal forma que se cumple

A estas correlaciones se les denomina cargas.

( , )ij i j ij iCorrelación Y X a

Se puede comprobar que la suma de los cuadrados de todas las cargas de cada componente es el autovalor, es decir

Si consideramos una reformulación de las ecuaciones de los componentes en función de las variables originales, de manera que queden despejadas cada una de estas variables, se tendrá las expresiones:

22

2

2

1 ikiii

kmkmmm

kk

kk

YaYaYaX

YaYaYaX

YaYaYaX

2211

22221212

12121111

Obteniendo la varianza de cada miembro, se tiene que:

k

mmii

XVarianza1

2)(

• Si nos quedamos con los m primeros componentes el porcentaje de varianza explicada será

y el resto será porcentaje de no explicada.

m

kki

1

2