Universidad Católica Redemptoris MatersUNICA

I año SabatinoEnseñanza-Aprendizaje de la Matemática

Educación Secundaria

Catedrático: Lic. Francisco S. Hernández Mendoza. Carrera: Matemática.

Algunas Reflexiones sobre las Demostraciones en Matemática

La importancia de las demostraciones en la enseñanza de la Matemática en la educación secundaria, radica en que, ayuda al estudiante al desarrollo y aprendizaje de estrategias, formas de pensamientos y métodos vinculados a la verificación de los teoremas.

Demostrar es una acción mental que tiene un trasfondo pedagógico muy valioso, en la medida en que, ésta se considere como un método diseñado para comprobar verdades matemáticas ya probadas, con el fin de generar comprensión de éstas por parte de quién hace la demostración.

Las demostraciones se aceptan como pruebas en tanto y cuanto éstas se traten como un conjunto de explicaciones que, toman una forma y estructura particular, por tal efecto son una secuencia de enunciados organizados según reglas determinadas. Dichos enunciados se reconocen como verdaderos cuando son deducidos a partir de los que proceden con ayuda de una regla de deducción tomada a su vez de un conjunto de reglas bien definidas.

En el desarrollo de las demostraciones juegan un papel muy determinante, una actividad intelectual que se denomina razonamiento, la cual consiste en la manipulación de informaciones para, a partir de ciertos datos, producir nuevas informaciones, a esta manera de razonar se le conoce con el nombre de razonamiento deductivo.

En el proceso de una demostración siempre se conocen (aunque no se comprendan completamente) el principio (Hipótesis) y el fin (Tesis), sin embargo no se sabe cuál es el camino para ir de uno a otro. Para descubrir este camino es necesario planificarlo antes de recorrerlo, lo que obliga a pensar recursivamente.

El pensamiento recursivo presenta como principal dificultad, la necesidad de presentar las causas o consecuencias de una proposición matemática, sin conocer a fondo aún de donde vienen o hacia donde van respectivamente. Para comprender esto, conviene hacer uso de la siguiente analogía: “La construcción de un puente, es un proceso en donde siempre hay dos terrenos por conectar, en ese sentido la elaboración del mismo se puede comenzar en ambos sentidos; desde el inicio hacia el fin y desde el fin al inicio, con el fin de encontrarse en el medio con el avance en las dos vías”.

En algunos entornos en donde se enseña matemática en el nivel superior, se ha promovido la idea de que, las demostraciones se deben escribir con rigor.

Es cierto que, esta ciencia es de carácter deductivo y exacto; sin embargo, no quien sabe escribir rigurosamente, necesariamente sabe demostrar proposiciones matemáticas. No, el orden de la causalidad no es ese. Se debe más bien proponer, que el orden de causalidad se dé a partir de la comprensión de la prueba. Es decir, la escritura rigurosa debe ser consecuencia de haber entendido la estructuración y elementos asociados a la demostración.

Tratando de seguir esta línea reflexiva, se puede afirmar que, la demostración de una proposición matemática implica convencer a otras personas, mediante el recurso de la argumentación, de la veracidad de dicha proposición.

Es decir, demostrar es construir verdades que, se constituyen como tal por la aceptación de una comunidad matemática o, de manera contraria, una comunidad matemática se construye porque cree en las mismas verdades demostradas bajo las mismas reglas.

Lograr esta aceptación por parte de la comunidad matemática, depende de algunos factores que son inherentes a la demostración.

En primer lugar, la persona que convence y las personas que se pretenden convencer deben hablar el mismo idioma. Y esto está más allá de que sólo compartan el mismo lenguaje verbal, sino que ambas partes deben compartir los mismos lenguajes lógico y conceptual, todo esto para poder llevar la argumentación sobre las mismas bases, por caminos conocidos y aceptados por toda la comunidad.

De acuerdo a lo anterior, para que ocurra la demostración matemática debe suceder que en la comunidad matemática se compartan tres tipos de lenguaje, a saber:

1. Lenguaje verbal: se trata del lenguaje en el que están escritas las palabras por medio de las cuales se comunica la prueba.

2. Lenguaje lógico: se trata de la estructura que subyace a la argumentación y que depende de la teoría lógica usada para probar.

3. Lenguaje conceptual: se trata de los significados de los términos (verbales y matemáticos) que se usan para construir la prueba.

Compartir estos tres tipos de lenguajes, es lo que permitirá construir y comunicar las argumentaciones matemáticas que luego se constituirán en una demostración.

En términos procedimentales, una demostración matemática es una serie de proposiciones, cada una de las cuales se sigue lógicamente de las anteriores; que empieza desde algunas proposiciones que se asume (o se conoce) que son ciertas; y que termina con la proposición que contiene el hecho que se busca probar. De esto se puede deducir que una demostración matemática tiene tres parte secuenciadas en su escritura: un inicio, un desarrollo y un cierre; sin embargo, estas partes no están necesariamente secuenciadas así en el proceso de pensamiento para la construcción de la prueba.

Antes de proporcionar una metódica o procedimiento general a utilizar en la realización de una demostración matemática, es beneficioso destacar y comentar algunos de los errores lógicos más comunes que se cometen al momento de realizar demostraciones:

1. Usar la tesis como hipótesis y demostrar la hipótesis: Esto es un error porque la implicación p⇒q no necesariamente tiene el mismo valor de verdad de la implicación q⇒ p.

2. Demostrar dando saltos demasiado largos entre las proposiciones: Está relacionado a, no justificar una afirmación que no es obvia, no hacer explícitos demasiados pasos entre dos afirmaciones, usar un teorema sin demostrarlo, usar un teorema sin mencionarlo.

3. Usar proposiciones falsas como soporte de la demostración: Cada una de las afirmaciones que se hagan al demostrar una proposición matemática debe tener sustento en afirmaciones cuya veracidad ha sido demostrada, por eso es importante ir paso por paso verificando que así sea.

4. Demostración verbal: Aunque no es un error como tal, sí es una mala práctica escribir en palabras no matemáticas (o por lo menos no “muy matemáticas”) afirmaciones sobre una demostración; esto es señal común de que se tiene la idea sobre la demostración, pero hace falta depurarla aún más.

5. Usar una lógica incorrecta: Este error es muy común y es grave. En esta categoría se incluye, negar una afirmación incorrectamente, probar el recíproco de una proposición en vez de la proposición.

6. Hacer suposiciones incorrectas: Las suposiciones correctas aligeran el peso de una prueba y pueden ayudar a entender mejor el proceso de demostración, sin embargo, las suposiciones incorrectas pueden aligerar este peso demasiado y hacer que la demostración sea errónea.

7. Sobre las definiciones: Es normal que se usen definiciones correctas, pero mal empleadas, no obstante, es más normal que se usen malas definiciones. Pero este es un error muy evitable, pues sólo requiere de una cuidadosa lectura de las definiciones para hacer una justa correspondencia con las circunstancias de la demostración que se está llevando a cabo.

8. Asumir demasiado: En el caso de que, no se esté seguro de usar algo o no, porque no se ha confirmado que sea cierto, el consejo es hacer uso de prudencia y probarlo antes de usarlo.

En la realización o desarrollo de una demostración matemática, es muy ventajoso seguir este procedimiento generalizado:

1. Identificar la proposición de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha tesis tiene diversos casos).

2. Determinar las proposiciones que componen la hipótesis.3. Comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis.4. Comprender cada una de las proposiciones que componen la hipótesis.5. Escoger la estrategia de demostración más apropiada.6. Aplicar la estrategia escogida.7. Leer la demostración escrita para revisar que no se hayan cometido errores

lógicos o disciplinares, resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad.

Con el propósito de comprender este método se harán una serie de comentarios al respecto de cara a que, el mismo sea aprovechado de la mejor manera:

1. Antes de analizar la hipótesis, se analiza la proposición que compone la tesis, esto se debe a que, desde el punto de vista estratégico, la comprensión de la tesis permite tener posteriormente una “comprensión dirigida” de la hipótesis, es decir, permite leer la hipótesis con preguntas claras que le dan mayor significado a las proposiciones que la componen.

2. La debida comprensión de las proposiciones que están incluidas en la tesis y la hipótesis requiere que se entiendan los tres tipos de lenguaje en los que están escritas (verbal, lógico y conceptual). De esta comprensión dependen los tres mecanismos que se presentan como indispensables para llegar a demostrar una proposición: escoger la estrategia más adecuada, deducir progresivamente y abstraer regresivamente.

3. La re-lectura de la demostración es vital no sólo para la detección de errores, sino para profundizar en su comprensión. Esta profundización en la comprensión se evidencia cuando la persona que está demostrando la proposición es capaz de expresarse más claro y con menos palabras.

A manera de conclusión se puede decir que, es innegable que la demostración es el pilar de la construcción matemática, de hecho esto se puede ver en los diversos usos que tiene. Demostrar proposiciones, es tal vez la forma más eficiente de ganar profunda comprensión sobre éstas; a través de la demostración, los matemáticos en formación desarrollan los procesos de pensamiento matemático que les permitirán desenvolverse en su profesión; y, como es obvio, la demostración es la forma como las matemáticas se desarrollan, conjeturando y probando cada vez más y más útiles proposiciones que hacen avanzar no sólo a esta área del conocimiento, sino a todas aquellas que se nutren con su verdades.

Bibliografía Consultada:

J. Nápoles Valdés, La enseñanza de la demostración matemática: Tesis doctoral (2002).

D. Solow, Cómo entender y hacer demostraciones en matemáticas, México: Ed. Limusa (1993).