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ÀLGEBRA–5AÑO

5 ÁLGEBRA

Profesor: Robert André Vega Catón

I BIMESTRE

2

ÀLGEBRA–5AÑO

Tabla de contenido SESIÒN 01: .................................................................................................................................................................... 3

SITUACION 01: CUADRADO PERFECTO ............................................................................................................................. 3 teorìa de exponentes ......................................................................................................................................... 3 ejercicios de aplicaciòn ..................................................................................................................................... 4

SESIÒN 02: .................................................................................................................................................................... 5 SITUACION 02: ¿BINOMIO O TRINOMIO? .......................................................................................................................... 5

polinomios I .......................................................................................................................................................... 7 ejercicios de aplicaciòn ..................................................................................................................................... 8 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................... 8

SESIÒN 03: .................................................................................................................................................................... 9 polinomios II ......................................................................................................................................................... 9 ejercicios de aplicaciòn ..................................................................................................................................... 9 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................. 10

SESIÒN 04: .................................................................................................................................................................. 11 SITUACION 03: CALCULAMOS EL AREA DE UN TERRENO .................................................................................................... 11

productos notables I ......................................................................................................................................... 11 ejercicios de aplicaciòn ................................................................................................................................... 12 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................. 14

SESIÒN 05: .................................................................................................................................................................. 14 SITUACION 04: CUADRADO PERFECTO ........................................................................................................................... 14

division algebraica ........................................................................................................................................... 15 ejercicios de aplicaciòn ................................................................................................................................... 16 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................. 17

SESIÒN 06: .................................................................................................................................................................. 18 SITUACION 05: PRODUCTO O COCIENTE ......................................................................................................................... 18

cocientes notables .......................................................................................................................................... 18 ejercicios de aplicaciòn ................................................................................................................................... 19 ejercicios de aplicaciòn ................................................................................................................................... 20

3

ÀLGEBRA–5AÑOSituación 01: cuadrado perfecto

Durante la edad media era costumbre competir por equipos en la resolución de problemas matemáticos. Aquellos concursos eran algo así como los acontecimientos deportivos de nuestros tiempos. Un match famoso de este tipo ocurrió en el año 1225. Se enfrentaron el equipo encabezado por el Emperador Federico II contra Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci). Este último era autor del célebre libro ‘‘Liber Abaci’’, probablemente el primer libro europeo que describió de manera amplia y clara los principios que rigen el sistema de numeración decimal y dejó entrever sus enormes ventajas sobre el sistema romano de numeración que se usaba en la época. La autoridad de Fibonacci era tan grande que el Emperador Federico II hizo escala en Pisa con la intención de organizar este torneo matemático y poner a prueba la pericia de Leonardo, de la cual había oído tantos relatos maravillosos.

Uno de los problemas propuestos a Fibonacci fue el siguiente:

Hallar un cuadrado perfecto que permanezca un cuadrado perfecto, cuando se le sume o se le reste cinco.

Fibonacci halló como solución el número:

1681/144

¿Comprueba la respuesta de Fibonacci?

¿Calculamos otro cuadrado perfecto que cumpla con la condición dada? ¿Cómo lo harías?

SESIÓN 01: TEORÍA DE EXPONENTES Son definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de operaciones de potenciación y radicación.

POTENCIACIÓN

an = P a: base, a Î R

n: exponente n Î Z

P: potencia P Î R

DEFINICIONES 1. Exponente Natural

; " x Î R Ù n Î Z+

2. Exponente Cero

x0 = 1 ; " x Î R – { 0 }

3. Exponente Negativo

; ; " x Î R – {0} Ù n Î Z+

TEOREMAS

I) BASES IGUALES 1. Multiplicación

am . an = am+n

1. División

; " a ¹ 0

II) EXPONENTES IGUALES

2. Multiplicación an . bn = (ab)n

3. División

; b ¹ 0

!! "!! #$vecesn

n x.................x.xx =

nn

x1x =-

nmn

ma

aa -=

n

n

n

ba

ba

÷øö

çèæ=

IBIMESTRE

4

III) EXPONENTE DE EXPONENTE

RADICACIÓN

n: es el índice; n Î N Ù n ³ 2

a: es el radicando

b: es la raíz enésima

DEFINICIONES 1.

; n Î N Ù n ³ 2

(x Î R, además, cuando n es par, x ³ 0)

2.

; n ¹ 0

3.

; n ¹ 0

TEOREMAS

I) RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN INDICADA

II) RAÍZ DE UNA DIVISIÓN

; y ¹ 0

III) RAÍZ DE RAÍZ

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

01. Simplificar:

A) 2 B) 3 C) 1 D) 22 E) 33

02. Efectuar:

E =

A) -27/64 B)-1 C) 8/27 D) -27/8 E) 125/8

03. Reducir:

; x 0

A) x2 B) xx C) D) 1 E) x

04. Simplifique:

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 5

05. A) 5 B) 1 C) 25 D) 625 E) -25

06. Reducir:

A) 1 B) x C) y D) x/y E) y/x

{ } mnpPnm a)]a([ =

ban=

xyyx nn=Û=

nn1

x)x( =

n mmnnm

x)x()x( ==

nnn y.xxy =

n

nn

yx

yx=

p.n.mm n p xx =

294

336

30.14.1580.35.21

=S

13

22

94

254)75.0(

25

32 ---

÷øö

çèæ-+--+÷

øö

çèæ-+÷

øö

çèæ

111

122

)(+-

-

úúû

ù

êêë

é=

-xx

x xxxE ¹

x x

mmm

mmmm

E55.25.25.2

3

2121

+-

=++

422162 )5()5(51412

5691

-+=E

nmmn

nm

yxyx

yxF +

-

--

÷÷ø

öççè

æ=

1

5

ÀLGEBRA–5AÑO07. Si: , hallar el valor numérico de:

a) 9 b) 343 c) 81 d) 27 e) 25 08. Calcular “x” en: a) 1/5 b) 4/5 c) 3/5 d) 6/5 e) 7/5 09. Calcular aproximadamente:

a) 2 b) c) d) 16 e) 10. Determinar el valor de “x” en la ecuación:

a) b) c) d) e) 11. Calcular el valor numérico de:

a) 6 b) 9 c) -5 d) 8 e) 5 12. Reducir la expresión:

a) 8 b) 128 c) 4 d) 64 e) 16 13. Calcular el valor de:

a) 18 b) 16 c) 15 d) 12 e) 20 14. Simplificar: X +

a) 5/6 b) 1/5 c) 2 d) 3 e) 5

15. Reducir: a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6 d) 1 e) 0 Situación 2: ¿binomio o trinomio?

SESIÓN 02: POLINOMIOS I

Se caracterizan fundamentalmente porque la incógnita se encuentra como base y su criterio de solución establece el empleo de algunas propiedades: NOTACIÓN POLINÓMICA Permite diferenciar constantes de variables. Se tiene:

Dónde: x, y ® Variables. 4, 3 ® Exponentes. 8m ® Coeficientes. EXPRESIÓN ALGEBRAICA. – Es aquel conjunto de números y letras relacionados por las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de ellas en un número limitado de veces. Ejemplos: P(x,y) = 1 + x + x3 – x6 + x2 E. A. Racional Entera

xx 3=x 1xx+

x 4 2x 13 27+ -=

A 2 4 2 4...=

32 2 24 52

12 73 x(0.5) (0.125)- -- -=

5 2 7 73143 147

= - - ¥E 30 30 30......

2 a a2 2b 2 b2 2

+÷ +

é ù é ùê ú ê úê ú ë ûë û

3 3 360 60 60....K

5 5 5......

16 16 16

+ + ¥=

- - ¥

" ZÎ

x x x xx x2 3 2 3E xx6 1

- -+ + +=

+

1 12 235 4 4E 243 . 27- -- -- -=

34 y . x. 8m )y ,(x P =

IBIMESTRE

6

P(x,y) = x5 y-7 + 2x3 + x 6 y4 E.A. Racional fraccionar P(x,y) = 3 6xy4 + x2/5 y3 - 12y5 E.A. Irracional POLINOMIO. – Es aquella expresión racional entera que consta de uno, dos o más términos. Ejemplos:

® Polinomio de 4 términos.

® Binomio

® Monomio

REPRESENTACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO DE UNA VARIABLE

Donde: X®Variable. a0 ; a1 ;a2 ;…; an ® Coeficientes. Grado de P(x) ® Gdo(P) = n; nÎN. a0 ® Coeficiente principal. an ® Término independiente.

Ejemplo: Grado (W) = 3; Coeficiente principal = 5; Coeficiente de término cuadrático = 7; Coeficiente de término lineal = 3; y Término independiente = 11. DEFINICIÓN. – En todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio mónico”. Ejemplos: * P(x)= 5x + x4 + 3x2 + 7. Gdo (P) = 4; Coeficiente principal = 1 ® P(x) es Mónico.

* Q(x) = 3x2 – x5 + 2. Grado (Q) = 5; Coeficiente principal = – 1 ® Q(x) no es mónico.

VALOR NUMÉRICO. – Es aquel valor que se obtiene al reemplazar las variables por constantes. Ejemplo: P(x)= x2 +3, halla: P (1), T (-2) Solución: x = 1; P (1) = 12 +3 = 4 x = -2; P (-2) = (-2)2 + 3 = 7 VALORES NUMÉRICOS NOTABLES Si P(x) es un polinomio, se cumple: P (0) = Término independiente y P (1) = Suma de coeficientes. Ejemplo: P(x+3)=5x+16. Calcular T. independiente + åcoefic. Solución: Se pide: P (0) + P (1). P (0): I. x+3=0 II. x = – 3 III. Reemplazando:

P (– 3+3)= 5(–3)+16 Þ P (0)=1. P (1): I. x+3=1. II. x = – 2 III. Reemplazando:

P (–2+3)=5(– 2) + 16 Þ P (1)=6. Nos piden: P (0) + P (1) = 1 + 6 = 7. POLINOMIO CONSTANTE: P (x) = m ; (m¹0). Su grado por definición es cero. Ejemplo: P(x) = 10 Þ P (1)=10; P (236)=10, P(n+3)=10. NOTITA: Si P(x) = 0 es un polinomio cuyo grado no está definido.

GRADOS GRADO. – Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay dos tipos de grados y son: 1. GRADO DE MONOMIOS

El grado o grado absoluto de un monomio se halla sumando todos los exponentes de todas sus variables y el grado relativo de una variable está dado por el exponente de dicha variable. Ejemplo:

752 5x3x x 1 (x) Q +-+=

25yx6x (x) R += 6

27x (x) Q =

0)(a ,nax1na...2nx2a1nx1anx0aP(x) ¹+-++-+-+=

1127x35x3xW(x) +++=

7

ÀLGEBRA–5AÑOM(x,y) = 26x5y9®G.A(M) = 5 + 9 = 14.

GR. (x) = 5. GR. (y) = 9.

Sólo en monomios se cumple que el grado absoluto siempre es igual a la suma de todos sus grados relativos.

2. GRADO DE POLINOMIOS

El grado o grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos o monomios y el grado relativo de una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable en todo el polinomio. Ejemplo: P(x,y) = 3x3y7 + 5x5y6 + 7x4y8 G.A(T1)=3+7=10 ; G.A(T2)=5+6=11 ; G.A(T3)=4+8=12. Entonces: G.A(P) = 12.

Asimismo: GR. (x) = 5; GR. (y) = 8

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Sea el polinomio: P(x) = 12 x7 –3x4 + 3x2 –x +1

I. El polinomio es de grado 8 II. El término independiente es

1. III. El coeficiente del término

lineal es 1 IV. El coeficiente del término

cuadrático es 3

V. Suma de coeficientes es 12 ¿Cuántos enunciados son verdaderos? a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

2. Sea el polinomio: Calcular:

a) b) c) 2 d) 1

e) ½

3. Hallar la suma de coeficientes del polinomio homogéneo:

a) 17 b)16 c) 20 d) 21 e) 22

4. Hallar la suma de coeficientes de la

expresión:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 5. El grado del polinomio:

es: a) 17 b) 16 c) 15 d) 10 e) 20 6. Dados los polinomios P(x) y Q(x) tales

que; los grados de los polinomios:

P2(x) . Q(x) y , son 27 y 23

respectivamente. Hallar el grado de:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 4 e) 9 7. Sea , un

polinomio mónico; . Hallar el término que no depende de la variable

a) 2 b) 5 c) 10 d) 17 e) 26 8. Con: , la siguiente expresión se

puede reducir a monomio:

El coeficiente del monomio reducido es: a) -4 b) -5 c) 2 d) 3 e) 4

3576)( 23 -+-= xxxxF

å++

=).()(

)()(FCoefFGrado

FTIFCPM

23

23

bannn yxnyxbayxyxP )1()(),( 12123 -+++= -+

( )232 52x 3x 1 x 2- + +é ùë û

( ) ( ) ( ) ( )2 56 3 3 2P(x) 10 x 1 x 1 100 x 1 x 3= + + - - +

3P (x)

Q(x)

2Q (x)

P(x)

( )3 5 2 2P(x) a 7 x ax a 1= - + + +

( )a Î Â

n 0¹

22 2n(n+1)a -a+22 3 a -a+1 a +a-1n(n -1) x -2x +(n-2)x

IBIMESTRE

8

9. Hallar el grado absoluto del monomio:

a) 1260 b) 1600 c) 1770 d) 2000 e) 1360 10. Calcular: f(2) si:

a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 1/4 e) 2

11. Hallar “n” para que la expresión:

, sea de grado 6 a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1 12. Se tiene ; además:

Hallar el valor de “n” a) -1 b) -1/2 c) -1/3 d) 1/4 e) 1/2

TAREA DOMICILIARIA I

1. El valor de “n” si:

Es de 4to Grado. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Calcular el valor de “n”, si:

Es de grado 13. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Si: G.A. = 45

Además:

P(x) = abx2a-bya-2b Halle el coeficiente del monomio: a) 8 b) 18 c) 30

d) -36 e) 40

4. En el polinomio: P(x; y) º 2xn+3ym-2z6-n + xn+2ym+3 el G.A. = 16 y G.R.(x) – GR(y) = 5. Calcular el valor de: 2m + n + 1 a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

5. Dado el polinomio: P(x; y) = xa-2yb+5 + 2xa-3yb + 7xa-1yb+6

Dónde: G.A. = 17 Ù G.R.(x) = 4 Calcular: (a - b)2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 9 e) 16

“SI ESTUDIAS POCO SERÁS COMO

MUCHOS, PERO SI ESTUDIAS MUCHO SERÁS COMO POCOS “.

SESIÓN 03: POLINOMIOS II

POLINOMIOS ESPECIALES 1. POLINOMIO HOMOGÉNEO

Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto. Ejemplo: P(x,y) = x7y - 5x4y4 + 2x2y6 -z4y8

Es un polinomio de grado 8, a este grado también se le llama grado de homogeneidad.

2. POLINOMIO ORDENADO Un polinomio es ordenado respecto a una variable si los exponentes de ella aumentan o disminuyen. Ejemplo: P(x,y) = 5x9y2 + 7x6y3 + 8x4y5 “x” está ordenado descendentemente. “y” está ordenado ascendentemente.

1(2) 2(3) 3(4) 15(16)M=x .y .z ....w

1+2m 1+mm mmm -mm mf(m )= mm +1

2n n43M(x)= x x

( )nF x 1 x 1+ = -

( )F 3 7 / 8= -

n12

1n n)x(

x

xP-

=

)x)(x)(x(P n1nn)x(

-=

32

GRGR

)y(

)x( =

9

ÀLGEBRA–5AÑO3. POLINOMIO COMPLETO

Un polinomio es completo respecto a una de sus variables si dicha variable aparece en todos los términos desde el mayor exponente hasta el término independiente inclusive. Ejemplo: P(x)= x4+ x3-2x2-9+7x PROPIEDAD: Si P(x) es un polinomio completo se cumple que su número de términos es igual al número de su grado aumentado en uno, es decir:

# Términos = Gdo. (P) + 1

Ejemplo: P(x)= x5+x4+6x3+x2+3x+8 Gdo. (P) = 5 Þ # términos = 5 + 1 = 6.

4. POLINOMIOS IDÉNTICOS

Dos polinomios son idénticos si y solo sí sus términos semejantes en ambos miembros son iguales. Ejemplo: ax2 + bx + c º 7x2 + 4x – 6 Þ a=7 Ù b=4 Ù c=– 6 NOTA: Si dos polinomios son idénticos entonces tienen el mismo valor numérico para cualquier valor de su variable, es decir: Si: P(x) º Q(x) Þ P(a) = Q(a); "aÎR.

5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Un polinomio reducido es idénticamente nulo si todos sus coeficientes son iguales a cero, es decir, si: ax2 + bx + c º 0 Þ a=b=c=0. Ejemplo: (a – 2)x5 + (b+3)x3 + (c – 7) º 0 a – 2 = 0 Þ a = 2; b + 3 = 0 Þ b = –3; c – 7 = 0 Þ c = 7. NOTA: Si un polinomio de grado “n” se anula para más valores de “n” diferentes entre sí, entonces dicho polinomio es idénticamente nulo. Si: P(x) º 0 Þ P(a)=P (b)=P(c)=0; Donde a, b Ù c son constantes numéricos.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. El polinomio: ; Posee

18 términos, hallar el término

independiente, si es un polinomio completo y ordenado

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 2. El polinomio: ,

es homogéneo hallar: m + n a) 5 b) 3 c) 1 d) 0 e) 4 3. El polinomio: , es

ordenado y completo ¿Cuántos términos tiene?

a) 3n-2 b) 3n-1 c) 3n d) n3 e) n3n 4. Si el polinomio Q(x) es idénticamente

nulo ,

Hallar: abc; si a >0, b> 0 y c >0 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5 5. En el polinomio completo y ordenado:

;

Calcular

a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 3/2 e) 5/3 6. Dar la suma de coeficientes del

siguiente polinomio entero completo y ordenado

a) 2 b) c) 4 d) e) 7. Si m, n Î N y además el polinomio:

, es homogéneo, Hallar: m + n a) 2 b) 4 c) 6

2n 1 2n 2x x .... 3x (n 1)- -+ + + + +

m m 1 n 4P(a,b) a a b b-= + +

3n 1 3n 2x x .... 1- -+ + +

3a 2 2 2b 3 3 cQ(x)=(ab-1)x +(a c -4)x +(b c -8)x

n a b cP(x)= x +........+x +x +x +.....+abc

a+c

3b

( ) ( ) ( ) ( )26 3 a b6 a a -b 3 aP x = a +b x + b -a x - b -a

2 2

3 2 2 3

4m(m-1) 3 m-1 m n -4P(x,y)=x y-(x ) y +x y

IBIMESTRE

10

d) 8 e) 10 8. Calcular la suma de los coeficientes del

polinomio homogéneo:

a) 12 b) 14 c) 16 d) 15 e) 17 9. Determine: (a+b) si el polinomio

, es homogéneo

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

10. Hallar: a + b + c.

Si el polinomio es idénticamente nulo. P(x) = a(3x2 – x + 2) + b(2x - 1) - c(x2 -

x) – 6x a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

11. Determinar el valor de “n” en el polinomio.

, Sabiendo que la suma de sus coeficientes es 153

a) 1 b) 9 c) 17 d) 8 e) 10 12. Hallar: (a + b), si el polinomio es

homogéneo: P(x, y) = 3x2a-5y4b + 5x2a-4by3 + x4y9

a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 5

13. En el polinomio homogéneo: P(x, y, z) = 5xm+n – 7xny2m-3 + 8xmy2nzn-10 +

11z3n-7 Calcular: (m - n)m a) 16 b) -16 c) 9 d) -8 e) -4

TAREA DOMICILIARIA

1. En el polinomio completo y ordenado en forma descendente:

P(x) = xa+b-6 + (a - b)x + 3xa-b Calcular: “ab” a) 16 b) 8 c) 12 d) 10 e) 4

2. Si el polinomio:

Es homogéneo. Calcular:

a) 71/9 b) 55 c) 14 d) 5 e) 8

3. Si el polinomio: P(x) = (a-2b+3)x5 + (b-2c-1)x4 + (c-

2a+2)x7 Se anula para cualquier valor de las variables. Calcular: (a + b + c)2 a) 4 b) 81 c) 16 d) 21 e) 36

4. Si los polinomios: P(x, y) = xayb+1 + xcyd-3

Q(x, y) = xa+1yb + x4-ay3-b Son idénticas, calcular: (a + b + c + d) a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

5. Hallar el grado de homogeneidad de : P(x, y) = 8xa+byb + 3bxa+byb+4

Si: GR(x) es menor en 2 unidades que G.R.(y) a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26

Situación 3: calculamos el área del terreno Se tiene un terreno de forma cuadrada que está dividido como se muestra en la figura.

b a a-b2 a 3 b aP(x,y,z)=a x -b y +abz

a+3 b aa 8 a b +8 20 20P(x,y)=ax y +bx y -abx y

2 3 nP(x)=nx+(n-1)x +(n-2)x +....+x

822ab7ba)z,y,x( )zy(yxxP ++=

ba6ba 22

+++

11

ÀLGEBRA–5AÑO

¿Cuánto mide cada lado? ¿Es verdadera la siguiente afirmación? Demuéstralo (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)? SESIÓN 04:

PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables, también denominada identidades algebraicas, son un conjunto de fórmulas que permiten calcular los productos sin necesidad de aplicar los criterios generales de la multiplicación algebraica. Los principales son: 01. Cuadrado de un binomio o Trinomio

cuadrado perfecto:

02. Identidades de Legendre:

03. Cubo de un binomio:

04. Suma por diferencia o diferencia de cuadrados:

05. Producto de binomios con término común:

06. Producto de binomios con igual

variable:

07. Suma de cubos:

Diferencia de cubos:

08. Cuadrado de un trinomio:

09. Cubo de un trinomio:

10. Identidades trinómicas o de Argand:

( ) 222 b2ababa ++=+•( ) 222 b2ababa +-=-•( ) ( ) ( )222 abbaba -=-=+-•

( ) ( ) ( )222 ab +=+=--• baba

( ) ( ) ( )2222 2ba baba +=-++•

( ) ( ) abba 4ba 22 =--+•

( )).(3 b3b3aaba

33

32233

baabbaab+++=

+++=+•

( )).(3 b3b3aaba

33

32233

baabbaab---=

-+-=-•

( )( ) 22aba bba -=-+•

( )( ) ( ) abxbaxbxax +++=++• 2

( )( )( )( ) ( )3 2

x a x b x c

x a b c x ab ac bc x abc

+ + + =

+ + + + + + +

( )( ) ( ) bdxbcadacxdcxbax nnn +++=++• 2n

( )( ) 3322 babababa +=+-+•

( )( ) 3322 babababa -=++-•

( ) ( )bcacabcba +++++=++• 2cba 2222

( )abcbcaccb

abcabac623233

333bacba2

2223333

+++

++++++=++•

( ) ( )( )( )( )( )

3 3 3 3

3 3 3a b c a b c 3 a b a c b ca b c 3 a b c ab ac bc 3abc+ + = + + + + + +

= + + + + + + + -

IBIMESTRE

12

11. Identidades auxiliares:

12. Identidades condicionales:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Para . Simplificar:

a) ab b) 4 ab c) 4(ab)-1 d) 2 ab e) 2 (ab)-1

2. Si:

Hallar: . (a > b)

a) -1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 3. Hallar: , para:

a) -1 b) 1 c) 2 d) 6 e) 20 4. Simplifica

a) 2x b) -2x c) x d) –x e) 0 5. Sabiendo que a > b.

Además: .

Calcular:

a) 18 b) 16 c) 9 d) 4 e) 3 6. Si:

Hallar:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 7. Si: a + b = 6; además:

Hallar:

a) 54 b) 27 c) 18 d) 9 e) -27 8. Siendo: El valor de: es: a) 1/4 b) 5/8 c) 3/2 d) 1/2 e) 7/3

( )( ) 111 2422 ++=+-++• aaaaaa

( )( ) 42242222 b bbaababaaba ++=+-++•

( )( ) 111 2422 ++=+-++• nnnnnn aaaaaa

( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 3 331) a b b c c a a b b c c a- + - + - = - - -

( )( ) ( )( )( )cbcababcacabcba +++=++++ )2

bc)ac2(abcba 2)3abccba 1)

:que cumple se 0,cba :Si

222

333

++-=++

=++

=++

÷øöç

èæ ++=÷

øöç

èæ ++ 4442

2222 )3 cbacba

÷øöç

èæ ++=÷

øöç

èæ ++ 2222224

2222 )4 cbcabacba

÷øöç

èæ ++=++ 2222222444 )5 cbcabacba

ab 0¹

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2 2 2a+b + a-b - 4 a -b

2 23 3 3 3a +b - a -b

é ùê úë û

a b 10+ =

19ab

4=

E a b= -

E=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

5 5x

2

-=

( ) ( ) ( ) ( )1/32 22 2E= x+1 x +2x -1 - x -1 x -2x -1é ù

ê úë û

a b3 3+ =3b a

a bE

b a= -

4 2x -3x +1=088 86 84x +x +x

E= 86x

2 2a +b =302 2a b+

b a

3 3 3a +b +c =30a+b+c=3abc= 4

-1 -1 -1a +b +c

13

ÀLGEBRA–5AÑO

9. Calcular: , Sabiendo que:

a) -2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 2 10. Si:

Calcular:

a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) 1/y 11. ¿Cuál es el valor de: , Si: ? a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 3 12. Al efectuar:

, resulta:

a) b) c) d) e)

13. Si:

Hallar: a) 0 b) c) 3 d) -1 e)

14. Si

Calcular

a) -1 b) 3 c) 0 d) -2 e) 2 15. Calcular el valor numérico:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16. Si: ;

Calcular el valor de:

a) 116 b) 110 c) 113 d) 120 e) 115 17. Si: xy + xz + yz = 0 Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Simplificar:

a) x b) x4 c) x2 – a2 d) x4 + a4 e) 0

TAREA DOMICILIARIA

1. Si: y Halle el valor de: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 2. Calcular: . Si: , además: a) -7 b) -8 c) -9 d) -10 e) -11

3. Si:

Hallar:

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

3 33E= a -3ab+b

( )( )a+b a+1 =b; a 0¹

1 1 4

x y x y+ =

+

x 2-3 x+yy

2r -2r -2

r= 2+1

( )( )( )4 2 2a+ b a +a b+b a- b

3 3a -b 6 3a -b 6 2a -b6 6a -b 6 4a -b

( )22 -2x +x =3

6 -6x +x

33 3

1n+ =1n

( )33 -3n -n

( )( )( )8 4 281+ 2 +1 2 +1 2 +1 3

1x + = 7

x13A = x + 3x

( )( ) ( )( ) ( )( )-1 -1 -1E=x x+z x+y +y z+y z+x +z z+x z+y

( )( )( )( )2 2 4 4 88E= x+a x -a x +a x +a +a ;x>0

( )ab a+b =420 3 3a +b =468

M=a+b+5

2(x - y)

x+y= 7 xy= 4

31

a+ =27a

æ öç ÷è ø

13a + 3a

IBIMESTRE

14

4. Si , entonces al simplificar la expresión:

, se obtiene:

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2 Situación 4: de compras Constantinito un día va al súper mercado a comparar sus frutas: Precio de manzanas = S/. X Precio de las naranjas S/. Y Cuando se dispone a realizar el pago por los productos comprados el cajero le indica que ha ganado una súper promoción. Es decir, únicamente deberá pagar por la diferencia de los cuadrados del costo de manzanas y naranjas, divida entre la diferencia de manzanas y naranjas respectivamente.

¿Cuál es la expresión algebraica que me permite saber el monto que se debe pagar?

¿Cuánto se tiene que pagar si x=5 y Y=4?

SESIÓN 05: DIVISIÓN ALGEBRAICA División de Polinomios: Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada

cociente [q(x)] conociendo otras llamadas dividiendo [D(x)] y divisor [d(x)]. D(x) = d(x) . q(x) à División exacta D(x) = d(x) . q(x) + r(x) à División inexacta PROPIEDADES 1. El grado del cociente es igual al grado

del dividendo menos el grado del divisor Ósea oQ(x) = oD(x) - od(x)

2. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en uno Ósea o RMAX = o d(x) –1

3. Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo. Osea R 0

4. Si una expresión es divisible por otra al residuo de la división de ambos será nulo

CASOS QUE SE PRESENTAN 1. División de Monomios: En este caso

primero se dividen los coeficientes teniendo en cuenta la ley de signos y a continuación la parte literal de acuerdo con la ley de exponentes.

Ejemplo: Dividir

2. División de un Polinomio entre un monomio Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio

3. División de polinomios

Se desarrolla por cualquier método ordenando los polinomios en forma descendentes y completando con ceros en caso de faltar un término.

I. Método de Horner v Para este método sólo se utilizan los

coeficientes.

( ) ( )2x y z 3 xy xz yz+ + = + +

( ) ( )( )

x x+y +y y+z

z z+x

º

zyx3zyx81

129

61510-

34

6691058

ba7ba56ba35ba42M +-

=

MÉTODOS DE DIVISIÓN

15

ÀLGEBRA–5AÑOv En la linea horizontal escribir los

coeficientes del dividendo con su propio signo

v En la columna escribir los coeficientes

del divisor con signos cambiados excepto el primero, que conserva su signo.

v Separar de derecha a izquierda, tanto

coeficientes como unidades tenga el grado del divisor:

Ejemplo: Dividir:

II. Método de Ruffini

Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma ax+b. Al igual que en Horner, utilizaremos solo coeficientes.

Ejemplo: Dividir:

Observación: Si el divisor es ax + b , a 1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto Ejemplo:

Dividir

Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma ax + b y en algunos casos especiales.

Regla práctica: Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se despeja el valor de la variable y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto

Ejm. Calcular el resto en

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Hallar el cociente de dividir: , entre:

a) x – 1 b) x c) x + 1 d) x + 2 e) x + 4 2. Hallar el resto de dividir:

, donde

“w” es una constante: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

3. Si la división:

es exacta; calcular: AB a) 84 b) -84 c) 64 d) 48 e) 74 4. Calcular el residuo de dividir:

a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) 1 e) 0 5. Hallar “p” si la división:

; deja como resto 19

a) 2 b) 4 c) 10 d) 8 e) 6

4x2x211x5x6x8x4x10

2

2345

+-+-++-

2x1x5x11x7x2x3 2345

-++-+-

¹

1x37x8x17x5x3 234

-++-+

2x5x3x5

-++

3 5 2 4x+2x +x +2x +x +2 4x +2

2(x+y) +(x+y)(2w-1)+w(w-1)

x+y+w-3

4 3 2A x Bx 2x 3x 224x x 1

+ - - -

+ +

( ) ( )4 3 216x -24x +28x -5 ÷ 2x-1

4 26x +(p+1)x +6

x+1

TEOREMA DEL RESTO

IBIMESTRE

16

6. Hallar el resto de la división:

a) 2x b) 2x + 12 c) 2x + 5 d) 2x + 7 e) 2x – 12 7. Calcular el resto de dividir:

entre a) 2x + 1 b) 2x – 5 c) 2x d) 2x – 1 e) 3x – 1 8. Hallar el resto de dividir:

a) 2x b) 2x + 4 c) 2x – 4 d) – 2x – 4 e) – 2x+4 9. Hallar el resto en:

a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 10. Sean los polinomios:

el cociente y el residuo respectivamente

de la división de: .

Calcular a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Calcular “m+n” Si: es

divisible entre: x – 1 a) -1 b) -2 c) 0 d) 1 e) 3

12. Si el resto de dividir P(x) entre (x – 2)

es el mismo que el dividir P(x) entre (x

– 1) e igual a 8 ¿Cuál es el resto de dividir P(x) entre (x – 1) (x – 2)?

a) 16 b) 11 c) 3 d) 8 e) 64 13. ¿Qué relación cumplen “p” y “q” tal

que: sea divisible por:

?

a) b) c) d) e) 14. Hallar el residuo de dividir p(x) entre

si al dividir p(x) entre se obtiene como residuo

a) x + 1 b) x – 1 c) x + 2 d) 2x + 1 e) 2x – 1 15. Al multiplicar y dividir

el resultado entre: , se

obtiene como residuo: a) -4x – 2 b) 4x + 2 c) 2x + 4 d) x + 2 e) 4x – 2 16. Hallar “m + n” , sabiendo que la división

da un

residuo: 5x – 10 a) 11 b) 5 c) 1 d) 7 e) 4 17. Si la división:

deja

como residuo: 3x – 5. Según esa información, hallar: el valor de a + b

a) 2 b) 11 c) 33 d) 36 e) 7

35 28 17(x+1) +7(x+1) +3(x+1) +32x +2x+2

2 3(x -2) +(x -3) 2x -5x+6

2n 2n+1 3(x+3) +3(x+3) -5(x+3) +1

(x+2)(x+4)

425 42427x +81x -5x -19

x+3

2q(x)=ax +bx+c; r(x)=mx+n,

4 3 22x +3x -8x +1- 4x2x -(x+1)

2(a-b - c -m-n)

3 2x +mx +nx+1

3x -pqx+q2x +mx-1 ( )m +Î!

p+q=0 2pq= q +12q -1=pq p-q=12p -1=pq

2x +x+1 3x -12x +3x+2

( )( )22x - x -4 2x+1

( )22x - x -2

( ) ( )5 3 2 23x +mx +nx -x+2 ÷ x +3

( )4 3 2ax +bx +16x-25 ÷2x -x+4

17

ÀLGEBRA–5AÑO14. Hallar el término independiente del

cociente de:

a) 10 b) -15 c) -5

d) 5 e) 10

18. Calcular el residuo de la división

siguiente:

a) b) c)1 d)0 e)-1

19. Hallar “n” si la división es exacta:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

TAREA DOMICILIARIA 01. Halla el resto de:

a)1 b)2 c)3 d)6 e)9 02. Calcula “m+n+p” si el resto de la división:

,

es .

a)6 b)2 c)3 d) 4 e) 5

03. Indique el resto en:

a) b) c)0

d) e) 04. Determinar el valor de m y n para que el

polinomio: sea divisible por . Dé como respuesta:

a) 11 b) 1 c) 13 d) 10 e) 20 Situación 5: Se tiene un terreno rectangular con las medidas indicadas en la figura. Se desea calcular la superficie total de dicho terreno para lo cual se usa los productos notables.

El área de este terreno está representado por la expresión: a2 +2ab + b2

1. ¿Se podrá hallar el cociente de dos monomios de manera rápida?

2. ¿Cómo se hallará el cociente de un trinomio cuadrado perfecto?

3. ¿Cómo se hallará el cociente de la diferencia de un binomio?

( ) ( )3 2x + -2- m x +15 m+ 2 m-15 x

x- m

( ) ( )23

1212

77

+-----

xxxx

1-x 2-x

4391612 2930

++++

xnxxx

( ) ( )( ) ( )3

1122

+++-+-+++

zyxzzzyxyx

13x1x25x36nx8mx

+-+-+

327 -+ pxx

( ) ( )( )5

43

331

+++

xxx

( )438 +- x ( )438 +x( )33 +x ( )38 +x

( ) 11920 -+-= mxmxnxxP( )21-x

mn9

IBIMESTRE

18

SESIÓN 06: COCIENTES NOTABLES

Son aquellos cocientes exactos que se pueden obtener sin efectuar la división

Forma general :

Casos de cocientes notables

Forma Cociente Notable

Siempre es C.N

Si “n” es impar

Si “n” es par

Nunca es C.N

Características de un Cociente Notable:

1) El número de términos que tiene el desarrollo se obtienen

dividiendo los exponentes de una misma variable; se representa por “n”.

2) Si el denominador es de la forma “x-a” los signos de los términos en el desarrollo serán positivos.

3) Si el denominador es de la forma “x+a” los signos de los términos en el desarrollo serán alternados positivos y negativos.

4) La condición para que una fracción de la forma

Sea un C.N es

Donde “n”; número de términos TÉRMINO GENERAL

Si es un C.N y Tk es el término

que ocupa el lugar “K” en su desarrollo, entonces

El signo se coloca según el caso al que corresponda.

axax nn

±±

+ÎZn

axax nn

--

axax nn

++

axax nn

+-

axax nn

-+

sr

qp

axax

±±

nsq

rp

==

axax nn

±±

( ) 1. --= kknk axsignot

19

ÀLGEBRA–5AÑO

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

IBIMESTRE

20

21

ÀLGEBRA–5AÑO

IBIMESTRE

22

TAREA DOMICILIARIA I

01. Hallar el número de términos de la siguiente división notable

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8

02. Simplificar

A) x40 +1 B) x40 – 1 C) x20 + 1 D) x20 E) x4

6

150

yxyx

n

n

++

11

2343638

2747678

++++++++++

=xxxxxxxxE

!

!

23

ÀLGEBRA–5AÑO