Álgebra 3º ESO - Ejercicios Resueltos 2

5/13/2018 Álgebra 3º ESO - Ejercicios Resueltos 2 - slidepdf.com

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Página 97

PRACTICA

Traducc ión a lenguaje algebraico

1 Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones alge-braicas:

a) A un número se le quita 7. 0,2 x

b)El doble de un número más su cuadrado. 2 x + 1

c) Un múltiplo de 3 menos 1. 2 x + x 2

d)El 20% de un número. 1,1 x

e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios. 4 x –

f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%. 3 x – 1

g) Un número impar. x – 7

a) x – 7 b) 2 x + x 2 c) 3 x – 1 d) 0,2 x

e) 4 x – f ) 1,1 x g) 2 x + 1

2 Llama x al ancho de la pizarra y expresa su altura en cada caso:

a) La altura es la mitad del ancho.

b)La altura es 20 cm me-nos que el ancho.

c) La altura es los tres cuartos del ancho.

d)La altura es un 20% menor de su ancho.

a) b) x – 20 c) d) 0,8 x

3 Expresa con un monomio:

a) El perímetro de esta figura.

b)El área de la misma.

c) El volumen del cubo que se puede formar con

esos seis cuadrados.a) 14 x b) 6 x 2 c) x 3

3 x 4

x 2

2 x 3

2 x 3

Pág. 1

1SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOS

DE LA UNIDAD

Unidad 4. El lenguaje algebraico

4

x

x



4 Traduce al lenguaje algebraico, empleando una sola incógnita:

a) Los tres quintos de un número menos 1.b)La suma de tres números consecutivos.

c) Un múltiplo de 3 más su doble.

d)La suma de un número y su cuadrado.

e) El producto de un número por su siguiente.

a) x – 1

b) x + ( x + 1) + ( x + 2) = 3 x + 3

c) 3 x + 2 · (3 x ) = 3 x + 6 x = 9 x

d) x + x 2

e) x ( x + 1) = x 2 + x

5 (ESTÁ RES UELTO EN EL LIBRO).

6 Traduce al lenguaje algebraico, utilizando dos incógnitas:

a) Un número más la mitad de otro.

b)El cuadrado de la suma de dos números.

c) La diferencia de los cuadrados de dos números.

d)El doble del producto de dos números.

e) La semisuma de dos números.

a) x + b) ( x + y )2 c) x 2 – y 2 d) 2 xy e)

Operac iones con po l inomios

7 Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes:

a) –7 x 2 b) x c) ( x )2

d) –6 x

e) 7 x 3 f ) x 2 g) x · 4 x 2

a) grado 2 b) grado 1 c) grado 2 d) grado 1

e) grado 3 f ) grado 2 g) grado 3

Son semejantes:

a) c) y f )

b) y d)e) y g)

23

53

12

53

x + y

2 y

2

35

Pág. 2


DE LA UNIDAD


4



Página 98

8 Efectúa:

a) 5 x 2 – 3 x 2 – x 2 b) –2 x + 7 x – 10 x c) – x 3 – 2 x 3 + 3 x 3

d) x – – x e) 3 x – x – f) x 2 – x 2 +

a) 5 x 2 – 3 x 2 – x 2 = x 2

b)–2 x + 7 x – 10 x = –5 x

c) – x 3 – 2 x 3 + 3 x 3 = 0

d) x – – x = (1 – – ) x = x

e) 3 x – x – = (3 – – ) x = x

f ) x 2 – x 2 + = ( – 1 + ) x 2 = x 2

9 Simplifica estas expresiones:

a) 2 x 3 – 5 x + 3 – 1 – 2 x 3 + x 2 b) (2 x 2 + 5 x – 7) – ( x 2 – 6 x + 1)

c) 3 x – (2 x + 8) – ( x 2 – 3 x ) d) 7 – 2( x 2 + 3) + x ( x – 3)

a) 2 x 3 – 5 x + 3 – 1 – 2 x 3 + x 2 = x 2 – 5 x + 2

b)(2 x 2 + 5 x – 7) – ( x 2 – 6 x + 1) = 2 x 2 + 5 x – 7 – x 2 + 6 x – 1 = x 2 + 11 x – 8

c) 3 x – (2 x + 8) – ( x 2 – 3 x ) = 3 x – 2 x – 8 – x 2 + 3 x = – x 2 + 4 x – 8

d)7 – 2( x 2 + 3) + x ( x – 3) = 7 – 2 x 2 – 6 + x 2 – 3 x = – x 2 – 3 x + 1

10 Efectúa y reduce:

a) 3 x 2 · 5 x + 2 x (–3 x 2) b) x 2

(– x 3

)c) – x 2 d) –

a) 3 x 2 · 5 x + 2 x (–3 x 2) = 15 x 3 – 6 x 3 = 9 x 3

b) x 2 (– x 3) = – x 5

c) – x 2 = – = ( – ) x 3 = – x 3

d) – = 2 x 2 – x 2 = x 2 x 4

x 26 x 33 x

13

23

13

2 x 3

3 x 3

32 x 3

x 3

3

25

23

35

x 4

x 26 x 3

3 x 2 x 3

x 3

3

2

3

3

5

76

12

53

x 2

253

2110

12

25

x 2

25

4151325132 x 5

x 2

253

x 2

25

13

2 x 5

Pág. 3


DE LA UNIDAD


4



11 Opera y simplifica:

a)(2 x )3 – (3 x )2 x – 5 x 2(–3 x + 1) b) ( x ) (–4 x ) – (4 x 2 – 5)

c) (2 x 2 – x + 3)( x – 3) d) (– x 2 + 3 x – 5)(2 x – 1)

a) (2 x )3 – (3 x )2 x – 5 x 2 (–3 x + 1) = 8 x 3 – 9 x 3 + 15 x 3 – 5 x 2 = 14 x 3 – 5 x 2

b) ( x ) (–4 x ) – (4 x 2 – 5) = –5 x 2 – 2 x 2 + = –7 x 2 +

c) (2 x 2 – x + 3) ( x – 3) = 2 x 3 – x 2 + 3 x – 6 x 2 + 3 x – 9 = 2 x 3 – 7 x 2 + 6 x – 9

d)(– x 2 + 3 x – 5) (2 x – 1) = –2 x 3 + x 2 + 6 x 2 – 3 x – 10 x + 5 =

= –2 x 3 + 7 x 2 – 13 x + 5

12 Considera estos polinomios: A = x 4 – 3 x 2 + 5 x – 1; B = 2 x 2 – 6 x + 3;C = 2 x 4 + x 3 – x – 4. Calcula: A + B , A + C , A + B + C , A – B , C – B.

A = x 4 – 3 x 2 + 5 x – 1 A = x 4 – 3 x 2 + 5 x – 1

+ B = 2 x 2 – 6 x + 3 + C = 2 x 4 + x 3 – x – 4

A + B = x 4 – x 2 – x + 2 A + C = 3 x 4 + x 3 – 3 x 2 + 4 x – 5

A + B = x 4

– x 2

– x + 2 A = x 4

– 3 x 2

+ 5 x – 1+ C = 2 x 4 + x 3 – x – 4 – B = – 2 x 2 + 6 x – 3

A + B + C = 3 x 4 + x 3 – x 2 – 2 x – 2 A – B = x 4 – 5 x 2 + 11 x – 4

C = 2 x 4 + x 3 – x – 4

– B = – 2 x 2 + 6 x – 3

C – B = 2 x 4 + x 3 – 2 x 2 + 5 x – 7

13 Multiplica:

a) ( x 2 – 5 x – 1) · ( x – 2)

b)(3 x 3 – 5 x 2 + 6) · (2 x + 1)

c) (2 x 2 + x – 3) · ( x 2 – 2)

a) ( x 2 – 5 x – 1) · ( x – 2) = x 3 – 7 x 2 + 9 x + 2

x 2 – 5 x – 1

x – 2

–2 x 2 + 10 x + 2

x 3 – 5 x 2 – x

x 3 – 7 x 2 + 9 x + 2

52

52

12

34

53

123453

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DE LA UNIDAD


4



b)(3 x 3 – 5 x 2 + 6) · (2 x + 1) = 6 x 4 – 7 x 3 – 5 x 2 + 12 x + 6

3 x 3 – 5 x 2 + 62 x + 1

3 x 3 – 5 x 2 + 6

6 x 4 – 10 x 3 + 12 x

6 x 4 – 7 x 3 – 5 x 2 + 12 x + 6

c) (2 x 2 + x – 3) · ( x 2 – 2) = 2 x 4 + x 3 – 7 x 2 – 2 x + 6

2 x 2 + x – 3

x 2

– 2– 4 x 2 – 2 x + 6

2 x 4 + x 3 – 3 x 2

2 x 4 + x 3 – 7 x 2 – 2 x + 6

14 Desarrolla los siguientes cuadrados:

a) ( x + 7)2 b) ( x – 11)2 c) (2 x + 1)2

d) (3 x – 4)2 e)

(x – 5

)

2f)

(+ 4 x

)

2

a) ( x + 7)2 = x 2 + 14 x + 49 b) ( x – 11)2 = x 2 – 22 x + 121

c) (2 x + 1)2 = 4 x 2 – 4 x + 1 d) (3 x – 4)2 = 9 x 2 – 24 x + 16

e) ( x – 5)2

= x 2 – 4 x + 25 f ) ( + 4 x )2

= + x + 16 x 2

15 Extrae factor común:

a) 5 x + 10 x 2

b) – x

2

+ x – 3 x

3

c) 3 x 2 – 6 x + 9 x 2

d) 2 x 3 – x 2 + 2 x

e) a ( x – 1) + b ( x – 1) + c ( x – 1)

f) x 2( x – 1) + x 2( x – 2) + x 2( x – 3)

g) 2 x ( y – 1) + x ( y – 1) – x ( y – 1)

a) 5 x + 10 x 2 = 5 x (1 – 2 x )

b) – x 2 + x – 3 x 3 = x (– x + 1 – 3 x 2)c) 3 x 2 – 6 x + 9 x 2 = 12 x 2 – 6 x = 6 x (2 x – 1)

43

165

425

25

425

25

2

5

2

5

Pág. 5


DE LA UNIDAD


4



d)2 x 3 – x 2 + 2 x = 2 x

( x 2 – x + 1

)e) a ( x – 1) + b( x – 1) + c ( x – 1) = ( x – 1) (a + b + c )

f ) x 2( x – 1) + x 2( x – 2) + x 2( x – 3) = x 2( x – 1 + x – 2 + x – 3) = x 2(3 x – 6)

g) 2 x ( y – 1) + x ( y – 1) – x ( y – 1) = 2 x ( y – 1)

16 Desarrolla los siguientes productos notables:

a) ( x – 3 y )2 b) ( – )2

c) (3 x + 2 x 2)2

d) ( x – )2 e) ( + x 2)2 f) ( x – y )2

a) ( x – 3 y )2 = x 2 – 6 xy + 9 y 2 b) ( – )2

= – +

c) (3 x + 2 x 2)2 = 9 x 2 + 12 x 3 + 4 x 4 d) ( x – )2

= x 2 – 1 +

e) ( + x 2)2

= + 5 x 3 + x 4 f ) ( x – y )2

= x 2 – xy + y 2

17 Multiplica:

a) ( x + 7)( x – 7) b) (1 + x ) (1 – x ) c) (3 – 4 x )(3 + 4 x )

d) (2 x – 1)(2 x + 1) e) ( – 2 x 2) ( + 2 x 2) f) (1 – ) (1 + )a) ( x + 7) ( x – 7) = x 2 – 49 b) (1 + x ) (1 – x ) = 1 – x 2

c) (3 – 4 x ) (3 + 4 x ) = 9 – 16 x 2 d) (2 x – 1) (2 x + 1) = 4 x 2 – 1

e) ( – 2 x 2) ( + 2 x 2) = – 4 x 4 f ) (1 – ) (1 + ) = 1 –

18 Transforma en diferencia de cuadrados:

a) (3 x + ) (3 x – ) b) ( x 2 + 1)( x 2 – 1)

c) ( + y ) ( – y ) d) ( x 2 – x ) ( x 2 + x )

a) (3 x + ) (3 x – ) = 9 x 2 – b) ( x 2 + 1) ( x 2 – 1) = x 4 – 1

c) ( + y ) ( – y ) = – y 2 d) ( x 2 – x ) ( x 2 + x ) = x 4 – x 2 x 2

4 x 2

x 2

14

12

12

x 2

x 2

12

12

1

x 2

1

x

1

x

1

9

1

3

1

3

1 x

1 x

13

13

116

34

94

14

32

25 x 2

45 x 2

14 x 2

12 x

y 2

4 xy

3 x 2

9 y

2 x 3

14

32

5 x 2

12 x

y

2 x 3

2

3

4

3

Pág. 6


DE LA UNIDAD


4



Página 99

19 Reduce la siguiente expresión: ( x – 1) – ( x + 1) +

• Quitamos paréntesis: – +

• Reducimos a común denominador:

• Efectuamos las operaciones indicadas: =

20Reduce las siguientes expresiones:a) – 2(2 – 3 x ) + 2(– x + 3)

b) – –

c) – –

a) – 2(2 – 3 x ) + 2(– x + 3) = – 4 + 6 x – 2 x + 6 =

= + 4 x + 2 = =

=

b) – – = – – =

= = =

= =

c) – – = – – =

= =

21 Reduce las siguientes expresiones:

a) ( x + 1) ( x – 1) – 3 ( x + 2) – x ( x + 2)

b)(2 x + 3)2 – (2 x – 3)2 – x ( x + 3)

c) – – 1 + x 4

5 – x 5

5 + x 4

47 x + 25984

42 x + 294 – 84 + 12 x – 7 x + 4984

7 x – 4984

84 – 12 x 84

42 x + 29484

x – 712

7 – x 7

x + 72

–2 x + 7

6

2(–2 x + 7)

12

–4 x + 1412

9 x + 9 – 12 x + 8 – x – 312

x + 312

12 x – 812

9 x + 912

x + 312

3 x – 23

3 x + 34

11 x + 132

3 x + 9 + 8 x + 423 x + 92

3 x + 92

3( x + 3)2

x – 712

7 – x 7

x + 72

x + 312

3 x – 23

3 x + 34

3( x + 3)2

8 x – 1330

18 x – 18 – 10 x – 10 + 1530

6(3 x – 3) – 10( x + 1) + 1530

12

x + 13

3 x – 35

12

13

35

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DE LA UNIDAD


4



d) ( x + 3) – ( x + 1) + ( x + 3)

e) ( x – ) ( x + ) – ( x 2 + 1)

f) ( x + 1)2 – ( x – 2)( x – 3) – x

g) + –

h) ( – 2)2

– +

i) + [ – ( + ) – ]a) ( x + 1)( x – 1) – 3( x + 2) – x ( x + 2) = x 2 – 1 – 3 x – 6 – x 2 – 2 x = –5 x – 7

b) (2 x + 3)2 – (2 x – 3)2 – x ( x + 3) = 4 x 2 + 12 x + 9 – (4 x 2 – 12 x + 9) – x 2 – 3 x =

= 4 x 2 + 12 x + 9 – 4 x 2 + 12 x – 9 – x 2 – 3 x =

= – x 2 + 21 x

c) – – = – – =

= = =

d) ( x + 3) – ( x + 1) + ( x + 3) = – + =

= – + =

= – + =

= =

e) ( x – ) ( x + ) – ( x 2 + 1) = x 2 – – x 2 – = x 2 –

f) ( x + 1)2 – ( x – 2) ( x – 3) – x = x 2 + 2 x + 1 – ( x 2 – 5 x + 6) – x =

= x 2 + 2 x + 1 – x 2 + 5 x – 6 – x = x – 5234

54

54

54

49

23

13

13

19

13

13

13

11 x + 4512

8 x + 24 – 6 x – 6 + 9 x + 2712

9 x + 2712

6 x + 612

8 x + 2412

3 x + 94

x + 12

2 x + 63

3( x + 3)4

( x + 1)2

2( x + 3)3

34

12

23

x 5

4 x 20

25 + 5 x – 20 + 4 x – 5 – 5 x 20

5 + 5 x 20

20 – 4 x 20

25 + 5 x 20

1 + x 4

5 – x 5

5 + x 4

52

16

x 4

x 2

32

58

x – 14

x + 18

x 2

32

(3 x – 2)2

8 x ( x – 2)

4 x ( x – 3)

2

54

13

13

13

3

4

1

2

2

3

Pág. 8


DE LA UNIDAD


4



g) + – = + – =

= + – =

= =

=

h) ( – 2)2

– + = ( – 2 x + 4) – + =

= – 3 x + 6 – + =

= – + – + =

= =

=

i) + [ – ( + ) – ] = + [ – – – ] =

= + – – – = + – – – =

Fracc iones a lgebra i cas

22 Suma estas fracciones algebraicas: +

• El denominador común será x ( x + 3)

• + = = = =

23 Reduce a denominador común, suma y simplifica si es posible:

a) + b) + –

c) – d) –

e) + f) 2 x +

g) – x h) + 5 x + 1

1 – x x

2 x x + 1

3 x – 1

x – 1 x 2

3 – x x

52( x – 1)

x x + 1

3 x 2

52 x

53 x

12 x

3 x

2 x 2

1 x

7 x + 6 x 2 + 3 x

2 x + 6 + 5 x x ( x + 3)

2( x + 3) + 5 x x ( x + 3)

2( x + 3) + 5 x x ( x + 3)

5 x + 3

2 x

5 x + 3

2 x

3 x – 278

308

28

3 x 8

6 x 8

58

154

14

3 x 8

3 x 4

58

5216 x 4 x 232585216 x 4 x 23258

3 x 2 – 23 x + 458

3 x 2 – 24 x + 48 – x – 1 + 2 x – 28

2 x – 28

x + 18

488

24 x 8

3 x 2

8

x – 14

x + 18

3 x 2

8

x – 14

x + 18

x 2

432

x – 14

x + 18

x 2

32

–3 x 2 – 4 x – 48

4 x 2 – 12 x + 2 x 2 – 4 x – 9 x 2 + 12 x – 48

9 x 2 – 12 x + 48

2 x 2 – 4 x 8

4 x 2 – 12 x 8

9 x 2 – 12 x + 4

8

x 2 – 2 x

4

x 2 – 3 x

2

(3 x – 2)2

8

x ( x – 2)

4

x ( x – 3)

2

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DE LA UNIDAD


4



a) + = + =

b) + – = + – =

c) – = – =

d) – = – = = x 2 – 1

e) + = + = =

f ) 2 x + = + = + =

g) – x = – = – = =

h) + = + = =

24Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:a) b) c)

d) e) f)

a) = b) =

c) = = x – 3 d) = =

e) = f ) = =

PIENSA Y RESUELVE

25 Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia:

a) x 2 + 4 x + 4 b) x 2 – 10 x + 25

c) x 2 + 9 + 6 x d) x 2 + 49 – 14 x

e) 4 x 2

+ 4 x + 1 f) 4 x 2

+ 9 – 12 x g) 9 x 2 – 12 x + 4 h) x 4 + 4 x 2 + 4

x + 2 x

x ( x + 2) x 2

x 2 + 2 x

x 21

x + 2 x + 2

( x + 2)2

x – 12

x ( x – 1)2 x

x 2 – x 2 x

x ( x – 3) x

x 2 – 3 x x

x 3

x ( x + 1)3( x + 1)

x 3

5 x 2

15 x

x 2 + 2 x

x 2 x + 2

( x + 2)2 x 2 – x

2 x

x 2 – 3 x x

x ( x + 1)3( x + 1)

5 x 2

15 x

– x 2 + 5 x + 1 x 2 + x

1 – x 2 + 5 x x ( x + 1)

5 x x ( x + 1)

(1 – x ) ( x + 1) x ( x + 1)

5 x + 1

1 – x x

–x 2 + x x + 1

2 x – x 2 – x x + 1

x 2 + x x + 1

2 x x + 1

x ( x + 1) x + 1

2 x x + 1

2 x x + 1

2 x 2 – 2 x + 3 x – 1

3 x – 1

2 x 2 – 2 x x – 1

3 x – 1

2 x ( x – 1) x – 1

3 x – 1

– x 2 + 4 x – 1

x 2

3 x – x 2 + x – 1

x 2

x – 1

x 2

3 x – x 2

x 2

x – 1

x 2

3 – x

x

4 x 2 – 7 x – 52

5( x + 1)2

2 x ( x – 1)2

52( x – 1)

x x + 1

5 x – 62 x 2

62 x 2

5 x

2 x 23

x 25

2 x

116 x

106 x

36 x

186 x

53 x

12 x

3 x

x + 2

x 2

2

x 2

x

x 2

2

x 2

1

x

Pág. 10


DE LA UNIDAD


4



a) x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2)2 b) x 2 – 10 x + 25 = ( x – 5)2

c) x 2 + 9 + 6 x = ( x + 3)2 d) x 2 + 49 – 14 x = ( x – 7)2

e) 4 x 2 + 4 x + 1 = (2 x + 1)2 f ) 4 x 2 + 9 – 12 x = (2 x – 3)2

g) 9 x 2 – 12 x + 4 = (3 x – 2)2 h) x 4 + 4 x 2 + 4 = ( x 2 + 2)2

26 Expresa como producto de una suma por una diferencia:

a) 9 x 2 – 25 b) 1 – x 2 c) 4 x 2 – 9

d) 16 x 2 – 1 e) x 4 – 16 f) 49 – 4 x 2

a) 9 x 2 – 25 = (3 x + 5)(3 x – 5) b) 1 – x 2 = (1 + x ) (1 – x )

c) 4 x 2 – 9 = (2 x + 3)(2 x – 3) d) 16 x 2 – 1 = (4 x + 1)(4 x – 1)e) x 4 – 16 = ( x 2 + 4)( x 2 – 4) f ) 49 – 4 x 2 = (7 + 2 x ) (7 – 2 x )

Página 100

27 Transforma en producto esta expresión: x 3 + 2 x 2 + x .

• Sacamos factor común: x ( x 2 + 2 x + 1)

• El polinomio x 2 + 2 x + 1 es el cuadrado de una suma.

Por tanto, x 3 + 2 x 2 + x = x ( x 2 + 2 x + 1) = x ( x + 1)2

28 Transforma en producto:

a) x 3 + 6 x 2 + 9 x b) x 4 – 16 x 2

c) 4 x 3 + 4 x 2 + x d) x ( x – 1) + x ( x + 2)

e) x 3 – x f ) 3 x 4 – 24 x 3 + 48 x 2

a) x 3 + 6 x 2 + 9 x = x ( x 2 + 6 x + 9) = x ( x + 3)2

b) x 4 – 16 x 2 = x 2( x 2 – 16) = x 2( x + 4)( x – 4)

c) 4 x 3 + 4 x 2 + x = x (4 x 2 + 4 x +1) = x (2 x + 1)2

d) x ( x – 1) + x ( x + 2) = x ( x – 1 + x + 2) = x (2 x + 1)e) x 3 – x = x ( x 2 – 1) = x ( x + 1)( x – 1)

f ) 3 x 4 – 24 x 3 + 48 x 2 = 3 x 2( x 2 – 8 x + 16) = 3 x 2( x – 4)2

29 Descompón en producto de dos factores:

a) x 2 – 9 b) 1 – a 2

c) 4 x 2 – 9 d) x 2 –

a) x 2 – 9 = ( x + 3)( x – 3) b) 1 – a 2 = (1 + a ) (1 – a )

c) 4 x 2 – 9 = (2 x + 3)(2 x – 3) d) x 2 – = ( x + ) ( x – )45

45

1625

1625

Pág. 11


DE LA UNIDAD


4



30 Simplifica:

a) b) c)

d) e) f)

a) = =

b) = =

c) = = x – 2

d) = =

e) = =

f ) = =

31 Expresa con un monomio el área de la parte coloreada en esta figura.

Es un triángulo de base x y de altura x .

Su área es =

Podemos resolverlo de otra forma:

Dividimos el cuadrado en cuatro partes iguales.El área del triángulo es la mitad de la del cuadrado:

32 Expresa con un monomio el área de la parte coloreada en estas figuras:

a) b) c)

a) x 2 b) c) x 238

x 2

259

x 2

2

x 2

2 x · x

2

x – 1 x + 1

( x – 1)2

( x + 1)( x – 1) x 2 – 2 x + 1

x 2 – 1

x x + 3

x ( x – 3)( x + 3)( x – 3)

x 2 – 3 x

x 2 – 9

1 x + 5

x – 5( x + 5)( x – 5)

x – 5 x 2 – 25

( x + 2)( x – 2) x + 2

x 2 – 4 x + 2

x + 2 x + 3

2 x ( x + 2)2 x ( x + 3)

2 x 2 + 4 x

2 x 2 + 6 x

32

3( x – 2)2( x – 2)

3 x – 62 x – 4

x 2 – 2 x + 1 x 2 – 1

x 2 – 3 x

x 2 – 9 x – 5

x 2 – 25

x 2 – 4 x + 2

2 x 2 + 4 x 2 x 2 + 6 x

3 x – 62 x – 4

Pág. 12


DE LA UNIDAD


4

x

x

x

x

x

x

x

x



33 Escribe el área y el perímetro de estas figuras utilizando la x y los números

que aparezcan en ellas:a) b)

a) Perímetro = 5 + x + (5 – x ) + 2 + x + (2 + x ) = 2 x + 14

Área = 5 x + 2 x = 7 x

b)Perímetro = 7 + x + 7 + x + 3 + 3 x + 3 + x = 6 x + 20

Área = 7 x + 3 · 3 x = 7 x + 9 x = 16 x

34 Comprueba que el área de este trapecio es A = 2 xy .

• Sabemos que el área del trapecio es:

A = · h

En esta fórmula, sustituye B por 3 x , b por x , h por y , y simplifica para obtener la expresión dada.

A = · y = · y = 2 xy

Página 101

35 En el trapecio del problema anterior, expresa la diagonal mayor del trapecioutilizando x e y .

La diagonal, d , es la hipotenusa de untriángulo rectángulo de catetos 3 x e y .Por tanto, aplicando el teorema de Pitágo-ras, tenemos que:

d = = √9 x 2 + y 2√(3 x )2 + y 2

4 x 2

3 x + x 2

B + b2

Pág. 13


DE LA UNIDAD


4

x

2

5

x

x

3

7

x

y

3 x

x

y

3 x

d



36 Calcula el área y la diagonal mayor del trapecio anterior en estos casos:

a) x = 5, y = 3 b) x = 2,5; y = 4,2

a) Á rea = 2 xy = 2 · 5 · 3 = 30

Diagonal mayor = = = = ȃ 15,30

b) Á rea = 2 xy = 2 · 2,5 · 4,2 = 21

Diagonal mayor = = = =

= ȃ 8,60

37 Expresa cada enunciado con una identidad y pon ejemplos para comprobarlas:

a) La raíz cuadrada del producto de dos números es igual al producto de lasraíces cuadradas de los factores.

b) El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia con esa misma base, que tiene como exponente la diferencia de los exponentes deldividendo y del divisor.

c) La suma de dos números por su diferencia es igual a la diferencia de loscuadrados de los números.

a) = ·

Por ejemplo: x = 4, y = 25 →

b) = x m – n

Por ejemplo: m = 5, n = 3, x = 2 →

c) ( x + y )( x – y ) = x 2 – y 2

Por ejemplo: x = 3, y = 1 →

38 Halla, en cada caso, cuál es el polinomio Q ( x ) que hay que sumar a P ( x ) = 5 x 2 – 3 x + 2 para obtener como resultado R ( x ):

a) R ( x ) = 5 x – 1 b) R ( x ) = –4 x 2

c) R ( x ) = 10 d) R ( x ) = x 3 – 2 x 2

P ( x ) + Q ( x ) = R ( x ) → Q ( x ) = R ( x ) – P ( x )

a) Q ( x ) = (5 x – 1) – (5 x 2 – 3 x + 2) = 5 x – 1 – 5 x 2 + 3 x – 2 = –5 x 2 + 8 x – 3b)Q ( x ) = –4 x 2 – (5 x 2 – 3 x + 2) = –4 x 2 – 5 x 2 + 3 x – 2 = –9 x 2 + 3 x – 2

( x + y )( x – y ) = (3 + 1)(3 – 1) = 4 · 2 = 8

x 2 – y 2 = 32 – 12 = 9 – 1 = 8

25 32–– = –– = 423 8

25 – 3 = 22 = 4

x m

x n

√

—

x · y = √

—

4 · 25 = √

—

100 = 10√– x · √– y = √–4 · √––25 = 2 · 5 = 10

√ y √ x √ x · y

√73,89

√56,25 + 17,64√9 · 6,25 + 17,64√9 x 2 + y 2

√234√225 + 9√9 · 25 + 9√9 x 2 + y 2

Pág. 14


DE LA UNIDAD


4



c) Q ( x ) = 10 – (5 x 2 – 3 x + 2) = 10 – 5 x 2 + 3 x – 2 = –5 x 2 + 3 x + 8

d)Q ( x ) = ( x 3 – 2 x 2) – (5 x 2 – 3 x + 2) = x 3 – 2 x 2 – 5 x 2 + 3 x – 2 = x 3 – 7 x 2 + 3 x – 2

PROFUNDIZA

39 ¿Cuánto debe valer x para que al sustituirla en cada una de las casillas sea este uncuadrado mágico?

☛ La suma de las filas, de las columnas y de las diagonales debe ser la misma.

Las filas suman

Y han de valer todas lo mismo.

Por eso, debemos tener x = 3.Comprobando con las filas, con las columnas y con las diagonales, vemos quese cumple que su suma es siempre 15.

40 Expresa el área de estas figuras mediante un polinomio:

a)

b)

1ª-) 5 x

2ª-) 3 x + 6

3ª-) 6 x – 3

Pág. 15


DE LA UNIDAD


4

x – 1 3 x – 2 4 – (1 – x )

3 x 10 – ( x + 2) x – 2

x + 1 2 x – 3 3 x – 1

x

x

x

x

2 x

10

3



a)

El á rea del triá ngulo es:

El á rea del cuadrado es: x 2

Luego el á rea total es: A = + x 2

b)

El á rea de I es: · x =

El á rea de II es: 10 x

Por tanto, el á rea total será : A = + 10 x = =

41 Expresa el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos mediante un

polinomio:

a) Á rea = 2 · x 2 + 4 · x ( x + 3) = 2 x 2 + 4 x 2 + 12 x = 6 x 2 + 12 x

Volumen = x · x · ( x + 3) = x 2( x + 3) = x 3 + 3 x 2

b) Á rea = 2 · 2 x · ( x – 1) + 2 · 3 x · ( x – 1) + 2 · 2 x · 3 x =

= 4 x ( x – 1) + 6 x ( x – 1) + 12 x 2 = 4 x 2 – 4 x + 6 x 2 – 6 x + 12 x 2 =

= 22 x 2

– 10 x Volumen = 2 x · ( x – 1) · 3 x = 6 x 2( x – 1) = 6 x 3 – 6 x 2

x 2 + 30 x 2

10 x + x 2 + 202

10 x + x 2

2

10 x + x 2

210 + x 2

3 x 2

x · 32

Pág. 16


DE LA UNIDAD


4

x

x

3

x

x

x

2 x

10

II

I

2 x

3 x

x – 1

x

x

x + 3

Álgebra 3º ESO - Ejercicios Resueltos 2

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