Ejemplos resueltos de Álgebra 2

BORR

ADO

REjemplos de Algebra II

Margarito Soriano Montero

10 de mayo de 2015

1

BORR

ADO

R

Indice

1. Sistemas de dos ecuaciones lineales 31.1. Metodo de suma o resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Metodo de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Metodo de igualacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Metodo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Sistemas de tres ecuaciones lineales 232.1. Metodo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Ecuaciones cuadraticas incompletas 333.1. Ecuaciones cuadraticas incompletas ax2 + bx = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Ecuaciones cuadraticas incompletas ax2 + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1. Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2. Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4. Ecuaciones cuadraticas 454.1. Metodo de factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Metodo de completar un trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . 524.3. Metodo de la formula general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4. Ecuaciones cuadraticas literales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5. Ecuaciones de forma cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.6. Ecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.7. Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5. Funcion cuadratica 90

6. Desigualdad cuadratica 93

2

BORR

ADO

R

1 SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES

1. Sistemas de dos ecuaciones lineales

1.1. Metodo de suma o resta

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de suma o resta

2x+ 2 y = 4

15x+ 5 y = 10Solucion:

Expresando el sistema en su forma estandar se tiene

2x+ 2 y = 4

15x+ 5 y = 10Igualando coeficientes de x

15(2x+ 2 y) = 15(4)2(15x+ 5 y) = 2(10)

30x 30 y = 6030x 10 y = 20

Sumando las ecuaciones anteriores y resolviendo la ecuacion

40 y = 40y = 1

Sustituyendo el valor de y en la primera ecuacion y resolviendo para x

2 + 2 x = 4

x = 1

Solucion [x = 1, y = 1]


3x+ 3 y = 15

2x+ 2 y = 2Solucion:

M. Soriano M.Area de MatematicasPreparatoria AgrcolaUniversidad Autonoma Chapingo

3 de 100

BORR

ADO

R

1.1 Metodo de suma o resta 1 SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES


3x+ 3 y = 15

2x+ 2 y = 2Igualando coeficientes de x

2(3x+ 3 y) = 2(15)3(2x+ 2 y) = 3(2)

6x 6 y = 306x 6 y = 6


12 y = 36y = 3


9 + 3 x = 15

x = 2



13 + 2 y = x9x+ 3 y = 12

Solucion:


x+ 2 y = 139x+ 3 y = 12

Igualando coeficientes de x

9(x+ 2 y) = 9(13)1(9x+ 3 y) = 1(12)


4 de 100

BORR

ADO

R


9x 18 y = 1179x 3 y = 12


21 y = 105y = 5


3 = xx = 3

Solucion [x = 3, y = 5]4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de suma o resta

103

+ 2 y = 2x15x+ 5 y = 5

Solucion:


2x+ 2 y =10

315x+ 5 y = 5


15(2x+ 2 y) = 15(103

)

2(15x+ 5 y) = 2(5)

30x 30 y = 5030x 10 y = 10


40 y = 40y = 1


5 de 100

BORR

ADO

R



43

= 2x

x =2

3

Solucion [x =2

3, y = 1]


2 y = 32

+ 4x

10x+ 5 y =5

4

Solucion:


4x+ 2 y = 32

10x+ 5 y =5

4


5(4x+ 2 y) = 5(32

)

2(10x+ 5 y) = 2(5

4)

20x+ 10 y = 152

20x+ 10 y =5

2


20 y = 5y = 1

4


6 de 100

BORR

ADO

R



12

= 32

+ 4x

x =1

4

Solucion [x =1

4, y = 1

4]


2x5

= 1 y5

x = 5 y3

Solucion:


2x5

+y

5= 1

x+ y3

= 5Igualando coeficientes de x

5(2x5

+y

5) = 5(1)

2(x+ y3

) = 2(5)

2x y = 52x+ 2 y

3= 10


y3

= 5y = 15


2x5

= 4x = 10



7 de 100

BORR

ADO

R

1.2 Metodo de sustitucion 1 SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES


y = 10 + 4x

2 y = 26 + 10x

Solucion:


4x+ y = 1010x+ 2 y = 26


5(4x+ y) = 5(10)2(10x+ 2 y) = 2(26)

20x 5 y = 5020x+ 4 y = 52


y = 2y = 2


2 = 10 + 4xx = 3


1.2. Metodo de sustitucion

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de sustitucion

6x+ 3 y = 3

2x+ y = 3Solucion:

Despejando x de la primera ecuacion


8 de 100

BORR

ADO

R


x = 1 + y2

Sustituyendo en la segunda ecuacion y resolviendo

2x+ y = 31 + 2 y = 3

y = 1Sustituyendo el valor de y en la tercera ecuacion para calcular x

x = 1 + y2

= 1

Solucion [x = 1, y = 1]2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de sustitucion

3x+ 3 y = 63x+ y = 8

Solucion:


x = 2 + ySustituyendo en la segunda ecuacion y resolviendo

3x+ y = 83 (2 + y) + y = 8

y = 1Sustituyendo el valor de y en la tercera ecuacion para calcular x

x = 2 + y= 3


18 + 3 y = 3x

10x+ 5 y = 45


9 de 100

BORR

ADO

R


Solucion:


x = 6 + y


10x+ 5 y = 45

5 y + 10 (6 + y) = 45

y = 1

Sustituyendo el valor de y en la tercera ecuacion para calcular x

x = 6 + y

= 5


y = 34 x2x+ y = 48

Solucion:


x = 34 y


2x+ y = 48

2 (34 y) + y = 48y = 20


x = 34 y= 14



10 de 100

BORR

ADO

R

1.3 Metodo de igualacion 1 SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES

5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de sustitucion

x = 25 y5x = 375 5 y

Solucion:


x = 25 + y


5x = 375 5 y5 (25 + y) = 375 5 y

y = 25


x = 25 + y

= 50


1.3. Metodo de igualacion

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de igualacion

9 + 3 y = 6x

9x+ 3 y = 12

Solucion:

Despejando x de ambas ecuaciones

x =3 + y

2

x =4 + y

3


11 de 100

BORR

ADO

R


Igualando los valores las ecuaciones anteriores y resolviendo la ecuacion lineal queresulta

3 + y

2=

4 + y

3

6(3 + y

2) = 6(

4 + y

3)

9 + 3 y = 8 + 2 y

y = 1


x =3 + y

2= 1

Solucion [x = 1, y = 1]2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de igualacion

6x+ 2 y = 1312x+ 2 y = 23

Solucion:


x =13 + 2 y

6

x = 23 + 2 y12


13 + 2 y

6= 23 + 2 y

12

12(13 + 2 y

6) = 12(23 + 2 y

12)

26 + 4 y = 23 2 yy = 1

2


12 de 100

BORR

ADO

R



x =13 + 2 y

6= 2

Solucion [x = 2, y = 12

]


4x+ 4 y = 7

40x+ 8 y = 22

Solucion:


x = 7 + 4 y4

x = 11 + 4 y20


7 + 4 y4

= 11 + 4 y20

20(7 + 4 y4

) = 20(11 + 4 y20

)

35 20 y = 11 4 yy =

3

2


x = 7 + 4 y4

=1

4

Solucion [x =1

4, y =

3

2]


13 de 100

BORR

ADO

R



3x+ 6 y = 336x+ 8 y = 50

Solucion:


x = 11 + 2 yx =25 + 4 y

3


11 + 2 y = 25 + 4 y3

3(11 + 2 y) = 3(25 + 4 y3

)

33 + 6 y = 25 + 4 yy = 4


x = 11 + 2 y= 3

Solucion [x = 3, y = 4]5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de igualacion

x+y

2= 27

2x+ y = 26Solucion:


x = 54 + y2

x =26 + y

2


14 de 100

BORR

ADO

R



54 + y2

=26 + y

2

2(54 + y2

) = 2(26 + y

2)

54 y = 26 + yy = 14


x = 54 + y2

= 20



2x+ y = 80

x+ y = 55

Solucion:


x = 80 + y2

x = 55 yIgualando los valores las ecuaciones anteriores y resolviendo la ecuacion lineal queresulta

80 + y2

= 55 y

2(80 + y2

) = 2(55 y)80 y = 110 2 y

y = 30


x = 80 + y2

= 25



15 de 100

BORR

ADO

R



12x+ 4 y = 512x+ 2 y =

7

2

Solucion:


x =5 + 4 y

12

x = 7 + 4 y24


5 + 4 y

12= 7 + 4 y

24

24(5 + 4 y

12) = 24(7 + 4 y

24)

10 + 8 y = 7 4 yy = 1

4


x =5 + 4 y

12

=1

3

Solucion [x =1

3, y = 1

4]


x50

+y

50= 6

x10

+y

30=

10

3

Solucion:



16 de 100

BORR

ADO

R

1.4 Metodo de determinantes 1 SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES

x = 300 + yx =100 + y

3


300 + y = 100 + y3

3(300 + y) = 3(100 + y3

)

900 + 3 y = 100 + yy = 400


x = 300 + y= 100

Solucion [x = 100, y = 400]

1.4. Metodo de determinantes

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de determinantes

2x+ 5 y = 13x 3 y = 8

Solucion:

Calculando , x y y

=

2 51 3 = (2 3) (1 5) = 6 (5) = 1

x =

13 58 3 = (13 3) (8 5) = 39 (40) = 1

y =

2 131 8 = (2 8) (1 13) = 16 (13) = 3

Se calcula el valor de las incognitas

x =x

=11

= 1, y = y

=31

= 3


17 de 100

BORR

ADO

R



2x 5 y = 123x 3 y = 9

Solucion:

Calculando , x y y

=

2 53 3 = (2 3) (3 5) = 6 (15) = 9

x =

12 59 3 = (12 3) (9 5) = 36 (45) = 9

y =

2 123 9 = (2 9) (3 12) = 18 (36) = 18


x =x

=9

9= 1, y =

y

=18

9= 2


x2

+y

3= 1

2x

3+ y = 10

3

Solucion:

Calculando , x y y

=

12 1313

1

= (12 1) (13 13) = 12 (19) = 1118x =

12 13103

1

= (12 1) (103 13) = 12 (109 ) = 1118M. Soriano M.Area de MatematicasPreparatoria AgrcolaUniversidad Autonoma Chapingo

18 de 100

BORR

ADO

R


y =

12 121310

3

= (12 103 ) (13 12) = 53 (16) = 116Se calcula el valor de las incognitas

x =x

=1118

1118

= 1, y = y

=116

1118

= 3


6x+ 12 y = 14x+ 6 y = 0

Solucion:

Calculando , x y y

=

6 124 6 = (6 6) (4 12) = 36 (48) = 12

x =

1 120 6 = (1 6) (0 12) = 6 (0) = 6

y =

6 14 0 = (6 0) (4 1) = 0 (4) = 4


x =x

=612 =

1

2, y =

y

=4

12 = 1

3


3x = 3 8 y4 y = 5 12x

Solucion:



19 de 100

BORR

ADO

R


3x+ 8 y = 3

12x+ 4 y = 5

Calculando , x y y

=

3 812 4 = (3 4) (12 8) = 12 (96) = 84

x =

3 85 4 = (3 4) (5 8) = 12 (40) = 28

y =

3 312 5 = (3 5) (12 3) = 15 (36) = 21


x =x

=2884 =

1

3, y =

y

=2184 =

1

4


2x = 13 5 y3 y = 8 x

Solucion:


2x+ 5 y = 13x 3 y = 8

Calculando , x y y

=

2 51 3 = (2 3) (1 5) = 6 (5) = 1

x =

13 58 3 = (13 3) (8 5) = 39 (40) = 1


20 de 100

BORR

ADO

R


y =

2 131 8 = (2 8) (1 13) = 16 (13) = 3


x =x

=1

1= 1, y =

y

=3

1= 3


130 2x+ 6 y = 05 3x+ y = 0

Solucion:


2x+ 6 y = 1303x+ y = 5

Calculando , x y y

=

2 63 1 = (2 1) (3 6) = 2 (18) = 16

x =

130 65 1 = (130 1) (5 6) = 130 (30) = 160

y =

2 1303 5 = (2 5) (3 130) = 10 (390) = 400


x =x

=160

16= 10, y =

y

=400

16= 25


4x+ 6 y = 110

60 3x+ 5 y = 0


21 de 100

BORR

ADO

R


Solucion:


4x+ 6 y = 110

3x+ 5 y = 60

Calculando , x y y

=

4 63 5 = (4 5) (3 6) = 20 (18) = 38

x =

110 660 5 = (110 5) (60 6) = 550 (360) = 190

y =

4 1103 60 = (4 60) (3 110) = 240 (330) = 570


x =x

=190

38= 5, y =

y

=570

38= 15


3x+ 5 y = 46

34 + 2 x+ 4 y = 0

Solucion:


3x+ 5 y = 46

2x+ 4 y = 34

Calculando , x y y

=

3 52 4 = (3 4) (2 5) = 12 (10) = 2


22 de 100

BORR

ADO

R

2 SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES

x =

46 534 4 = (46 4) (34 5) = 184 (170) = 14

y =

3 462 34 = (3 34) (2 46) = 102 (92) = 10


x =x

=14

2= 7, y =

y

=10

2= 5

2. Sistemas de tres ecuaciones lineales

2.1. Metodo de determinantes


2x 2 y + 2 z = 8x+ 5 y + 4 z = 1x 2 y 3 z = 6

Solucion:

Calculando , x, y y z

=

2 2 21 5 41 2 32 2 21 5 4

= (2 5 3) + (1 2 2) + (1 2 4) (1 5 2) (2 2 4) (1 2 3)= (30) + (4) + (8) (10) (16) (6)= 42


23 de 100

BORR

ADO

R

2.1 Metodo de determinantes 2 SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES

x =

8 2 21 5 46 2 38 2 21 5 4

= (8 5 3) + (1 2 2) + (6 2 4) (6 5 2) (8 2 4) (1 2 3)= (120) + (4) + (48) (60) (64) (6)= 42

y =

2 8 21 1 41 6 32 8 21 1 4

= (2 1 3) + (1 6 2) + (1 8 4) (1 1 2) (2 6 4) (1 8 3)= (6) + (12) + (32) (2) (48) (24)= 84

z =

2 2 81 5 11 2 62 2 81 5 1

= (2 5 6) + (1 2 8) + (1 2 1) (1 5 8) (2 2 1) (1 2 6)= (60) + (16) + (2) (40) (4) (12)= 126


x =x

=4242 = 1, y =

y

=8442 = 2, z =

z

=126

42 = 3


x y + 2 z = 5x+ 2 y + 3 z = 14x 2 y 3 z = 12


24 de 100

BORR

ADO

R


Solucion:


=

1 1 21 2 31 2 31 1 21 2 3

= (1 2 3) + (1 2 2) + (1 1 3) (1 2 2) (1 2 3) (1 1 3)= (6) + (4) + (3) (4) (6) (3)= 14

x =

5 1 214 2 312 2 35 1 214 2 3

= (5 2 3) + (14 2 2) + (12 1 3) (12 2 2) (5 2 3) (14 1 3)= (30) + (56) + (36) (48) (30) (42)= 14

y =

1 5 21 14 31 12 31 5 21 14 3

= (1 14 3) + (1 12 2) + (1 5 3) (1 14 2) (1 12 3) (1 5 3)= (42) + (24) + (15) (28) (36) (15)= 28

z =

1 1 51 2 141 2 121 1 51 2 14

= (1 2 12) + (1 2 5) + (1 1 14) (1 2 5) (1 2 14) (1 1 12)= (24) + (10) + (14) (10) (28) (12)= 42


25 de 100

BORR

ADO

R



x =x

=14

14 = 1, y =y

=28

14 = 2, z =z

=42

14 = 3


3x+ y 2 z = 0x 2 y + z = 8

x 2 y + 2 z = 10

Solucion:


=

3 1 21 2 11 2 23 1 21 2 1

= (3 2 2) + (1 2 2) + (1 1 1) (1 2 2) (3 2 1) (1 1 2)= (12) + (4) + (1) (4) (6) (2)= 7

x =

0 1 28 2 110 2 20 1 28 2 1

= (0 2 2) + (8 2 2) + (10 1 1) (10 2 2) (0 2 1) (8 1 2)= (0) + (32) + (10) (40) (0) (16)= 14


26 de 100

BORR

ADO

R


y =

3 0 21 8 11 10 23 0 21 8 1

= (3 8 2) + (1 10 2) + (1 0 1) (1 8 2) (3 10 1) (1 0 2)= (48) + (20) + (0) (16) (30) (0)= 14

z =

3 1 01 2 81 2 103 1 01 2 8

= (3 2 10) + (1 2 0) + (1 1 8) (1 2 0) (3 2 8) (1 1 10)= (60) + (0) + (8) (0) (48) (10)= 14


x =x

=147 = 2, y =

y

=14

7 = 2, z =z

=147 = 2


2x y + 2 z = 32

x+ 2 y + 3 z = 4

3x 2 y 3 z = 6

Solucion:



27 de 100

BORR

ADO

R


=

2 1 21 2 33 2 32 1 21 2 3

= (2 2 3) + (1 2 2) + (3 1 3) (3 2 2) (2 2 3) (1 1 3)= (12) + (4) + (9) (12) (12) (3)= 28

x =

3

21 2

4 2 36 2 33

21 2

4 2 3

= (3

2 2 3) + (4 2 2) + (6 1 3) (6 2 2) (3

2 2 3) (4 1 3)

= (9) + (16) + (18) (24) (9) (12)= 14

y =

2 3

22

1 4 33 6 32 3

22

1 4 3

= (2 4 3) + (1 6 2) + (3 3

2 3) (3 4 2) (2 6 3) (1 3

2 3)

= (24) + (12) + (272

) (24) (36) (92

)

= 42

z =

2 1 3

2

1 2 43 2 62 1 3

2

1 2 4

= (2 2 6) + (1 2 3

2) + (3 1 4) (3 2 3

2) (2 2 4) (1 1 6)

= (24) + (3) + (12) (9) (16) (6)= 14


28 de 100

BORR

ADO

R



x =x

=14

28 = 1

2, y =

y

=4228 =

3

2, z =

z

=1428 =

1

2


2x y + 2 z = 5x+ 2 y + 3 z = 12

x+ 4 y 3 z = 12

Solucion:


=

2 1 21 2 31 4 32 1 21 2 3

= (2 2 3) + (1 4 2) + (1 1 3) (1 2 2) (2 4 3) (1 1 3)= (12) + (8) + (3) (4) (24) (3)= 38

x =

5 1 212 2 312 4 35 1 212 2 3

= (5 2 3) + (12 4 2) + (12 1 3) (12 2 2) (5 4 3) (12 1 3)= (30) + (96) + (36) (48) (60) (36)= 114


29 de 100

BORR

ADO

R


y =

2 5 21 12 31 12 32 5 21 12 3

= (2 12 3) + (1 12 2) + (1 5 3) (1 12 2) (2 12 3) (1 5 3)= (72) + (24) + (15) (24) (72) (15)= 114

z =

2 1 51 2 121 4 122 1 51 2 12

= (2 2 12) + (1 4 5) + (1 1 12) (1 2 5) (2 4 12) (1 1 12)= (48) + (20) + (12) (10) (96) (12)= 38


x =x

=11438 = 3, y =

y

=11438 = 3, z =

z

=3838 = 1


2x 3 y + 2 z = 33x+ 4 y + 6 z =

7

44x+ y 3 z = 1

Solucion:



30 de 100

BORR

ADO

R


=

2 3 23 4 64 1 32 3 23 4 6

= (2 4 3) + (3 1 2) + (4 3 6) (4 4 2) (2 1 6) (3 3 3)= (24) + (6) + (72) (32) (12) (27)= 161

x =

3 3 274

4 61 1 33 3 274

4 6

= (3 4 3) + (7

4 1 2) + (1 3 6) (1 4 2) (3 1 6) (7

4 3 3)

= (36) + (72

) + (18) (8) (18) (634

)

= 1614

y =

2 3 23 7

46

4 1 32 3 23 7

46

= (2 7

4 3) + (3 1 2) + (4 3 6) (4 7

4 2) (2 1 6) (3 3 3)

= (212

) + (6) + (72) (14) (12) (27)

=161

2


31 de 100

BORR

ADO

R


z =

2 3 33 4 7

4

4 1 12 3 33 4 7

4

= (2 4 1) + (3 1 3) + (4 3 7

4) (4 4 3) (2 1 7

4) (3 3 1)

= (8) + (9) + (21) (48) (72

) (9)

= 1612


x =x

=161

4

161 =1

4, y =

y

=1612

161 = 1

2, z =

z

=161

2

161 =1

2


3x 3 y + 3 z = 62x 2 y 4 z = 103x+ 4 y 3 z = 2

Solucion:


=

3 3 32 2 43 4 33 3 32 2 4

= (3 2 3) + (2 4 3) + (3 3 4) (3 2 3) (3 4 4) (2 3 3)= (18) + (24) + (36) (18) (48) (18)= 126


32 de 100

BORR

ADO

R

3 ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS

x =

6 3 310 2 4

2 4 36 3 310 2 4

= (6 2 3) + (10 4 3) + (2 3 4) (2 2 3) (6 4 4) (10 3 3)= (36) + (120) + (24) (12) (96) (90)= 126

y =

3 6 32 10 43 2 33 6 32 10 4

= (3 10 3) + (2 2 3) + (3 6 4) (3 10 3) (3 2 4) (2 6 3)= (90) + (12) + (72) (90) (24) (36)= 252

z =

3 3 62 2 103 4 23 3 62 2 10

= (3 2 2) + (2 4 6) + (3 3 10) (3 2 6) (3 4 10) (2 3 2)= (12) + (48) + (90) (36) (120) (12)= 126


x =x

=126126

= 1, y = y

=252

126= 2, z =

z

=126

126= 1

3. Ecuaciones cuadraticas incompletas

3.1. Ecuaciones cuadraticas incompletas ax2 + bx = 0

Propiedad del producto cero. Si a y b son expresiones y a b = 0 entonces a = 0 o b = 0.En esta propiedad o significa que a = 0 es verdadera, b = 0 es verdadera o ambasson verdaderas.


33 de 100

BORR

ADO

R

3.1 Ecuaciones cuadraticas incompletas ax2 + bx = 03 ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS

1. Resolver la siguiente ecuacion cuadratica incompleta por el metodo de factorizacion

2x2 + 7x = 0

Solucion:

Factorizando la ecuacion

x (2x+ 7) = 0

por la propiedad del producto cero se tiene

2x+ 7 = 0 o x = 0

x = 72

por lo tanto las soluciones son [x = 72, x = 0]


9x2 + 7x = 0

Solucion:


x (9x+ 7) = 0


9x+ 7 = 0 o x = 0

x = 79



6x2 = 8x

Solucion:

Expresando la ecuacion en la forma ax2 + bx = 0


34 de 100

BORR

ADO

R


6x2 + 8x = 0


2x (3x+ 4) = 0


3x+ 4 = 0 o 2x = 0

x = 43

x = 0



85x2 = 55x

Solucion:


85x2 55x = 0


5x (17x 11) = 0


17x 11 = 0 o 5x = 0x =

11

17x = 0

por lo tanto las soluciones son [x =11

17, x = 0]


3x2 +

5x = 0

Solucion:



35 de 100

BORR

ADO

R


x(

3x+

5)

= 0


3x+

5 = 0 o x = 0

x =

5

3

por lo tanto las soluciones son [x =

5

3, x = 0]


3x2 + 4x = 0

Solucion:


x(

3x+ 4)

= 0


3x+ 4 = 0 o x = 0

x = 43



x2 + x = 0

Solucion:


x (x+ ) = 0


x+ = 0 o x = 0

x =

por lo tanto las soluciones son [x = , x = 0]


36 de 100

BORR

ADO

R

3.2 Ecuaciones cuadraticas incompletas ax2 + c = 03 ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS


pi x2 = ln (2) x

Solucion:


pi x2 ln (2) x = 0Factorizando la ecuacion

x (pi x ln (2)) = 0por la propiedad del producto cero se tiene

pi x ln (2) = 0 o x = 0x =

ln (2)

pi

por lo tanto las soluciones son [x =ln (2)

pi, x = 0]

3.2. Ecuaciones cuadraticas incompletas ax2 + c = 0

3.2.1. Parte 1

1. Resolver la siguiente ecuacion cuadratica incompleta

4x2 49 = 0Solucion:


(2x 7) (2x+ 7) = 0la ecuacion anterior implica que

2x 7 = 0 o 2x+ 7 = 02x = 7 2x = 72x

2=

7

2

2x

2=72

x =7

2x = 7

2

Solucion [x = 72, x =

7

2]


37 de 100

BORR

ADO

R



25x2 36 = 0

Solucion:


(5x 6) (5x+ 6) = 0

la ecuacion anterior implica que

5x 6 = 0 o 5x+ 6 = 05x = 6 5x = 65x

5=

6

5

5x

5=65

x =6

5x = 6

5


6

5]


25x2 100 = 0

Solucion:


25 (x 2) (x+ 2) = 0


x 2 = 0 o x+ 2 = 0x = 2 x = 2x

1=

2

1

x

1=21

x = 2 x = 2

Solucion [x = 2, x = 2]


38 de 100

BORR

ADO

R



49x2 4 = 0

Solucion:


(7x 2) (7x+ 2) = 0


7x 2 = 0 o 7x+ 2 = 07x = 2 7x = 27x

7=

2

7

7x

7=27

x =2

7x = 2

7


2

7]


169x2 121 = 0

Solucion:


(13x 11) (13x+ 11) = 0


13x 11 = 0 o 13x+ 11 = 013x = 11 13 x = 1113x

13=

11

13

13x

13=1113

x =11

13x = 11

13


11

13]


39 de 100

BORR

ADO

R



m2 x2 n2 = 0

Solucion:


(mx n) (mx+ n) = 0


mx n = 0 o mx+ n = 0mx = n mx = nmx

m=

n

m

mx

m=nm

x =n

mx = n

m

Solucion [x = nm, x =

n

m]


169x2 529 = 0

Solucion:


(13x 23) (13x+ 23) = 0


13x 23 = 0 o 13x+ 23 = 013x = 23 13 x = 2313x

13=

23

13

13x

13=2313

x =23

13x = 23

13


23

13]


40 de 100

BORR

ADO

R



625x2 256 = 0

Solucion:


(25x 16) (25x+ 16) = 0


25x 16 = 0 o 25x+ 16 = 025x = 16 25 x = 1625x

25=

16

25

25x

25=1625

x =16

25x = 16

25


16

25]


36x2 225 = 0

Solucion:


9 (2 x 5) (2x+ 5) = 0


2x+ 5 = 0 o 2x 5 = 02x = 5 2x = 52x

2=52

2x

2=

5

2

x = 52

x =5

2


5

2]


41 de 100

BORR

ADO

R


3.2.2. Parte 1

1. Resolver la siguiente ecuacion incompleta

2x2 3 = 0

Solucion:

Se expresa la ecuacion en forma estandar

2x2 3 = 0

Despejando x, aplicando la propiedad de la raz cuadrada

2x2 3 = 02x2 3 + 3 = 0 + 3

2x2 = 3

2x2

2=

3

2

x2 =3

2

x =

3

2

x =

32

por lo tanto las soluciones de la ecuacion son [x =

32, x =

32

]


7x2 9 = 0

Solucion:

Despejando x, aplicando la propiedad de la raz cuadrada


42 de 100

BORR

ADO

R


7x2 9 = 07x2 9 + 9 = 0 + 9

7x2 = 9

7x2

7=

9

7

x2 =9

7

x =

9

7

x = 37

por lo tanto las soluciones de la ecuacion son [x = 37, x =

37

]


202 5 = 0

Solucion:

Despejando , aplicando la propiedad de la raz cuadrada

202 5 = 0202 5 + 5 = 0 + 5

202 = 5

202

20=

5

20

2 =1

4

=

1

4

= 12

por lo tanto las soluciones de la ecuacion son [ = 12, =

1

2]


121 2 22 = 0


43 de 100

BORR

ADO

R


Solucion:

Despejando , aplicando la propiedad de la raz cuadrada

121 2 22 = 0121 2 22 + 22 = 0 + 22

121 2 = 22

121 2

121=

22

121

2 =2

11

=

2

11

=

211

por lo tanto las soluciones de la ecuacion son [ =

211, =

211

]


6u2 21 = 0Solucion:

Despejando u , aplicando la propiedad de la raz cuadrada

6u2 21 = 06u2 21 + 21 = 0 + 21

6u2 = 21

6u2

6=

21

6

u2 =7

2

u =

7

2

u =

72

por lo tanto las soluciones de la ecuacion son [u =

72, u =

72

]


44 de 100

BORR

ADO

R

4 ECUACIONES CUADRATICAS


3x2 25 = 0Solucion:

Despejando x , aplicando la propiedad de la raz cuadrada

3x2 25 = 03x2 25 + 25 = 0 + 25

3x2 = 25

3x2

3=

25

3

x2 =25

3

x =

25

3

x = 53

por lo tanto las soluciones de la ecuacion son [x = 53, x =

53

]

4. Ecuaciones cuadraticas

4.1. Metodo de factorizacion

1. Resolver la siguiente ecuacion usando factorizacion

10x2 = 19x 6Solucion:


10x2 + 19x+ 6 = 0

Factorizando el trinomio

10(10x2 + 19x+ 6

)= 10 (0)

(10x)2 + 19 (10x) + 60 = 0

(10x+ 4) (10 x+ 15) = 0


45 de 100

BORR

ADO

R

4.1 Metodo de factorizacion 4 ECUACIONES CUADRATICAS


10x+ 4 = 0 10 x+ 15 = 0

10x = 4 10x = 1510x

10=410

10x

10=1510

x = 25

x = 32

Solucion

[x = 32, x = 2

5]


6x2 + 5 = 17x

Solucion:


6x2 + 17x+ 5 = 0


6(6x2 + 17x+ 5

)= 6 (0)

(6x)2 + 17 (6x) + 30 = 0

(6x+ 2) (6 x+ 15) = 0


6x+ 2 = 0 6x+ 15 = 0

6x = 2 6x = 156x

6=26

6x

6=15

6

x = 13

x = 52

Solucion

[x = 52, x = 1

3]


46 de 100

BORR

ADO

R



6x2 + 5 = 17x

Solucion:


6x2 17x+ 5 = 0Factorizando el trinomio

6(6x2 17x+ 5) = 6 (0)

(6x)2 17 (6x) + 30 = 0(6x 15) (6x 2) = 0


6x 15 = 0 6x 2 = 06x = 15 6x = 2

6x

6=

15

6

6x

6=

2

6

x =5

2x =

1

3

Solucion

[x =1

3, x =

5

2]


21x2 x = 2Solucion:


21x2 x 2 = 0Factorizando el trinomio

21(21x2 x 2) = 21 (0)

(21x)2 1 (21x) 42 = 0(21x 7) (21x+ 6) = 0


47 de 100

BORR

ADO

R



21x 7 = 0 21x+ 6 = 021x = 7 21x = 621x

21=

7

21

21x

21=621

x =1

3x = 2

7

Solucion

[x = 27, x =

1

3]


22x2 + 3 = 35x

Solucion:


22x2 + 35x+ 3 = 0


22(22x2 + 35x+ 3

)= 22 (0)

(22x)2 + 35 (22x) + 66 = 0

(22x+ 2) (22 x+ 33) = 0


22x+ 2 = 0 22x+ 33 = 0

22x = 2 22x = 3322x

22=222

22x

22=3322

x = 111

x = 32

Solucion

[x = 32, x = 1

11]


48 de 100

BORR

ADO

R



9x2 = 9x 2Solucion:


9x2 + 9x+ 2 = 0


9(9x2 + 9x+ 2

)= 9 (0)

(9x)2 + 9 (9x) + 18 = 0

(9x+ 3) (9 x+ 6) = 0


9x+ 3 = 0 9x+ 6 = 0

9x = 3 9 x = 69x

9=39

9x

9=69

x = 13

x = 23

Solucion

[x = 23, x = 1

3]


9x2 = 2 3xSolucion:


9x2 + 3x 2 = 0Factorizando el trinomio

9(9x2 + 3x 2) = 9 (0)

(9x)2 + 3 (9x) 18 = 0(9x 3) (9x+ 6) = 0


49 de 100

BORR

ADO

R



9x 3 = 0 9x+ 6 = 09x = 3 9x = 69x

9=

3

9

9x

9=69

x =1

3x = 2

3

Solucion

[x = 23, x =

1

3]


6x2 = 11x 3

Solucion:


6x2 11x+ 3 = 0


6(6x2 11x+ 3) = 6 (0)

(6x)2 11 (6x) + 18 = 0(6x 9) (6x 2) = 0


6x 9 = 0 6x 2 = 06x = 9 6x = 2

6x

6=

9

6

6x

6=

2

6

x =3

2x =

1

3

Solucion

[x =1

3, x =

3

2]


50 de 100

BORR

ADO

R





35x2 + 17x+ 2 = 0


35(35x2 + 17x+ 2

)= 35 (0)

(35x)2 + 17 (35x) + 70 = 0

(35x+ 7) (35 x+ 10) = 0


35x+ 7 = 0 35 x+ 10 = 0

35x = 7 35x = 1035x

35=735

35x

35=1035

x = 15

x = 27

Solucion

[x = 27, x = 1

5]




9x2 + 45x+ 54 = 0


9(9x2 + 45x+ 54

)= 9 (0)

(9x)2 + 45 (9x) + 486 = 0

(9x+ 18) (9 x+ 27) = 0


51 de 100

BORR

ADO

R

4.2 Metodo de completar un trinomio cuadrado perfecto4 ECUACIONES CUADRATICAS


9x+ 18 = 0 9x+ 27 = 0

9x = 18 9x = 279x

9=18

9

9x

9=27

9x = 2 x = 3

Solucion

[x = 3, x = 2]

4.2. Metodo de completar un trinomio cuadrado perfecto

1. Resolver la siguiente ecuacion completando el trinomio cuadrado perfecto

10x2 = 12x 2

Solucion:

Se expresa la ecuacion en forma ax2 + bx = c

10x2 + 12x = 2

Completando el trinomio cuadrado perfecto

10x2 + 12x

10=210

x2 +6x

5= 1

5

sumando(

65

2

)2= 9

25a la ecuacion para completar el tcp

x2 +6x

5+

9

25= 1

5+

9

25(x+

3

5

)2=

4

25


52 de 100

BORR

ADO

R


de la ultima ecuacion se tiene que

x+3

5=

4

25o x+

3

5=

4

25

x+3

5=

2

5x+

3

5= 2

5

x+3

5 3

5=

2

5 3

5x+

3

5 3

5= 2

5 3

5

x = 15

x = 1

Solucion [x = 1, x = 15

]


6x2 = 8x 2Solucion:

Se expresa la ecuacion en forma ax2 + bx = c6x2 + 8x = 2


6x2 + 8x

6=26

x2 +4x

3= 1

3

sumando(

43

2

)2= 4


x2 +4x

3+

4

9= 1

3+

4

9(x+

2

3

)2=

1

9


x+2

3=

1

9o x+

2

3=

1

9

x+2

3=

1

3x+

2

3= 1

3

x+2

3 2

3=

1

3 2

3x+

2

3 2

3= 1

3 2

3

x = 13

x = 1


53 de 100

BORR

ADO

R



]


15x2 = 15x+ 90

Solucion:


15x2 15x = 90


15x2 15x15

=90

15x2 x = 6

sumando(1

2

)2= 1


x2 x+ 14

= 6 +1

4(x 1

2

)2=

25

4


x 12

=

25

4o x 1

2=

25

4

x 12

=5

2x 1

2= 5

2

x 12

+1

2=

5

2+

1

2x 1

2+

1

2= 5

2+

1

2x = 3 x = 2

Solucion [x = 2, x = 3]4. Resolver la siguiente ecuacion completando el trinomio cuadrado perfecto

6x2 + 120 = 54x

Solucion:


54 de 100

BORR

ADO

R



6x2 + 54x = 120Completando el trinomio cuadrado perfecto

6x2 + 54x

6=120

6x2 + 9x = 20

sumando(92

)2= 81


x2 + 9x+81

4= 20 + 81

4(x+

9

2

)2=

1

4


x+9

2=

1

4o x+

9

2=

1

4

x+9

2=

1

2x+

9

2= 1

2

x+9

2 9

2=

1

2 9

2x+

9

2 9

2= 1

2 9

2x = 4 x = 5


2x2 = 9x 9Solucion:



2x2 + 9x

2=92

x2 +9x

2= 9

2


55 de 100

BORR

ADO

R


sumando(

92

2

)2= 81


x2 +9x

2+

81

16= 9

2+

81

16(x+

9

4

)2=

9

16


x+9

4=

9

16o x+

9

4=

9

16

x+9

4=

3

4x+

9

4= 3

4

x+9

4 9

4=

3

4 9

4x+

9

4 9

4= 3

4 9

4

x = 32

x = 3


]





6x2 + 13x

6=66

x2 +13x

6= 1

sumando(

136

2

)2= 169


x2 +13x

6+

169

144= 1 + 169

144(x+

13

12

)2=

25

144


56 de 100

BORR

ADO

R



x+13

12=

25

144o x+

13

12=

25

144

x+13

12=

5

12x+

13

12= 5

12

x+13

12 13

12=

5

12 13

12x+

13

12 13

12= 5

12 13

12

x = 23

x = 32


3]


2x2 = x+ 1

Solucion:

Se expresa la ecuacion en forma ax2 + bx = c2x2 x = 1


2x2 x2

=1

2

x2 x2

=1

2

sumando( 1

2

2

)2= 1


x2 x2

+1

16=

1

2+

1

16(x 1

4

)2=

9

16


x 14

=

9

16o x 1

4=

9

16

x 14

=3

4x 1

4= 3

4

x 14

+1

4=

3

4+

1

4x 1

4+

1

4= 3

4+

1

4

x = 1 x = 12


57 de 100

BORR

ADO

R




6x2 = 36x 48

Solucion:


6x2 + 36x = 48


6x2 + 36x

6=48

6x2 + 6x = 8

sumando(62

)2= 9 a la ecuacion para completar el tcp

x2 + 6x+ 9 = 8 + 9(x+ 3)2 = 1


x+ 3 =

1 o x+ 3 =

1

x+ 3 = 1 x+ 3 = 1x+ 3 3 = 1 3 x+ 3 3 = 1 3

x = 2 x = 4


6x2 = 48 12x

Solucion:


6x2 + 12x = 48


58 de 100

BORR

ADO

R



6x2 + 12x

6=

48

6x2 + 2x = 8

sumando(22


x2 + 2x+ 1 = 8 + 1

(x+ 1)2 = 9


x+ 1 =

9 o x+ 1 =

9

x+ 1 = 3 x+ 1 = 3x+ 1 1 = 3 1 x+ 1 1 = 3 1

x = 2 x = 4


6x2 = 36x 48

Solucion:


6x2 36x = 48


6x2 36x6

=48

6x2 6x = 8

sumando(6

2


x2 6x+ 9 = 8 + 9(x 3)2 = 1


59 de 100

BORR

ADO

R



x 3 =

1 o x 3 =

1

x 3 = 1 x 3 = 1x 3 + 3 = 1 + 3 x 3 + 3 = 1 + 3

x = 4 x = 2


11. Resolver la siguiente ecuacion completando el trinomio cuadrado perfecto a x2 + b x =c

a x2 + b x = cSolucion:


a x2 + b x = cCompletando el trinomio cuadrado perfecto

a x2 + b x

a=ca

x2 +b x

a= c

a

sumando(

ba

2

)2= b

2

4 a2a la ecuacion para completar el tcp

x2 +b x

a+

b2

4 a2= c

a+

b2

4 a2(x+

b

2 a

)2=

b2

4 a2 ca


x+b

2 a=

b2

4 a2 ca

o x+b

2 a=

b2

4 a2 ca

x+b

2 a=

b2

4 a2 ca

x+b

2 a=

b2

4 a2 ca

x =

b2

4 a2 ca b

2 ax =

b2

4 a2 ca b

2 a

Solucion [x =

b2 4 a c b

2 a, x =

b2 4 a c+ b

2 a]


60 de 100

BORR

ADO

R

4.3 Metodo de la formula general 4 ECUACIONES CUADRATICAS

4.3. Metodo de la formula general

1. Resolver la siguiente ecuacion usando la formula general


Se expresa la ecuacion en forma estandar ax2 + bx+ c = 0

150x2 + 40x+ 2 = 0

Se calcula el M.C.D. de a, b y c para determinar si es posible simplificar la ecuacionantes de aplicar la formula general

M.C.D(150, 40, 2) = 2

como el M.C.D. es mayor que 1 dividimos la ecuacion entre el M.C.D

150x2 + 40x+ 2

2=

0

275x2 + 20x+ 1 = 0

Aplicando la formula general a la ultima ecuacion

x =bb2 4 a c

2 a

=(20)

(20)2 4 (75) (1)2 (75)

=20400 300

150

=20100

150

=20 10

150

por lo tanto

x =20 + 10

150o x =

20 10150

x =10150

x =30150

x = 115

x = 15


61 de 100

BORR

ADO

R


Solucion

[x = 15, x = 1

15]


2x2 7x = 15Solucion:


2x2 7x 15 = 0Se calcula el M.C.D. de a, b y c para determinar si es posible simplificar la ecuacionantes de aplicar la formula general

M.C.D(2,7,15) = 1como el M.C.D. es igual a 1, los coeficientes de la ecuacion no se pueden simplificar.Aplicando la formula general a la ultima ecuacion

x =bb2 4 a c

2 a

=(7)

(7)2 4 (2) (15)

2 (2)=

749 + 1204

=7169

4

=7 13

4

por lo tanto

x =7 + 13

4o x =

7 134

x =20

4x =64

x = 5 x = 32

Solucion

[x = 32, x = 5]


62 de 100

BORR

ADO

R



6x2 = 36 6xSolucion:


6x2 + 6x 36 = 0Se calcula el M.C.D. de a, b y c para determinar si es posible simplificar la ecuacionantes de aplicar la formula general

M.C.D(6, 6,36) = 6como el M.C.D. es mayor que 1 dividimos la ecuacion entre el M.C.D

6x2 + 6x 366

=0

6x2 + x 6 = 0


x =bb2 4 a c

2 a

=(1)

(1)2 4 (1) (6)

2 (1)=11 + 24

2

=125

2

=1 5

2

por lo tanto

x =1 + 5

2o x =

1 52

x =4

2x =62

x = 2 x = 3Solucion

[x = 3, x = 2]


63 de 100

BORR

ADO

R



x2 =

2x+ 4

Solucion:


x2

2x 4 = 0


M.C.D(1,

2,4) = 1

como el M.C.D. es igual a 1, los coeficientes de la ecuacion no se pueden simplificar.Aplicando la formula general a la ultima ecuacion

x =bb2 4 a c

2 a

=(2)

(2)2 4 (1) (4)

2 (1)=

22 + 16

2

=

218

2

=

2 32

2

por lo tanto

x =

2 + 3

2

2o x =

2 32

2

x =2

52

2x =2 32

2

x = 232 x =

2

Solucion

[x =

2, x = 232 ]


64 de 100

BORR

ADO

R





6x2 + 28x+ 16 = 0


M.C.D(6, 28, 16) = 2

como el M.C.D. es mayor que 1 dividimos la ecuacion entre el M.C.D

6x2 + 28x+ 16

2=

0

23x2 + 14x+ 8 = 0


x =bb2 4 a c

2 a

=(14)

(14)2 4 (3) (8)2 (3)

=14196 96

6

=14100

6

=14 10

6

por lo tanto

x =14 + 10

6o x =

14 106

x =46

x =24

6

x = 23

x = 4Solucion

[x = 4, x = 23

]


65 de 100

BORR

ADO

R

4.4 Ecuaciones cuadraticas literales 4 ECUACIONES CUADRATICAS

4.4. Ecuaciones cuadraticas literales

1. Despejar x en terminos de y

y2 2 y + x2 + 8x+ 15 = 0

Solucion:


y2 2 y + x2 + 8x+ 15 = 0x2 + 8x = y2 + 2 y 15

x2 + 8x+ 16 = y2 + 2 y 15 + 16x2 + 8x+ 16 = y2 + 2 y + 1

(x+ 4)2 = (y + 1)2


x+ 4 =

(y + 1)2 o x+ 4 =

(y + 1)2

x+ 4 = y + 1 x+ 4 = y 1x+ 4 4 = y + 1 4 x+ 4 4 = y 1 4

x = y 3 x = y 5

Solucion [x = y 5, x = y 3]2. Despejar b en terminos de a

b2 2 b+ a2 + 8 a+ 15 = 0

Solucion:


b2 + 2 b a2 8 a 15 = 0b2 + 2 b = a2 + 8 a+ 15

b2 + 2 b+ 1 = a2 + 8 a+ 15 + 1

b2 + 2 b+ 1 = a2 + 8 a+ 16

(b+ 1)2 = (a+ 4)2


66 de 100

BORR

ADO

R



b+ 1 =

(a+ 4)2 o b+ 1 =

(a+ 4)2

b+ 1 = a+ 4 b+ 1 = a 4b+ 1 1 = a+ 4 1 b+ 1 1 = a 4 1

b = a+ 3 b = a 5

Solucion [b = a 5, b = a+ 3]3. Despejar y en terminos de x

9 y2 12 y + 4x2 + 12x+ 5 = 0

Solucion:


y2 +4 y

3 4x

2

9 4x

3 5

9= 0

y2 +4 y

3=

4x2

9+

4x

3+

5

9

y2 +4 y

3+

4

9=

4x2

9+

4x

3+

5

9+

4

9

y2 +4 y

3+

4

9=

4x2

9+

4x

3+ 1(

y +2

3

)2=

(2x+ 3)2

9


y +2

3=

(2x+ 3)2

9o y +

2

3=

(2x+ 3)2

9

y +2

3=

2x+ 3

3y +

2

3= 2x+ 3

3

y +2

3 2

3=

2x+ 3

3 2

3y +

2

3 2

3= 2x+ 3

3 2

3

y =2x+ 1

3y = 2x+ 5

3

Solucion [y =2x+ 1

3, y = 2x+ 5

3]


67 de 100

BORR

ADO

R


4. Despejar en terminos de

4 2 4 + 92 + 6 = 0

Solucion:


4 2

9 4

9+ 2 +

2

3= 0

2 +2

3=

4 2

9+

4

9

2 +2

3+

1

9=

4 2

9+

4

9+

1

9

2 +2

3+

1

9=

4 2

9+

4

9+

1

9( +

1

3

)2=

(2 + 1)2

9


+1

3=

(2 + 1)2

9o +

1

3=

(2 + 1)2

9

+1

3=

2 + 1

3 +

1

3= 2 + 1

3

+1

3 1

3=

2 + 1

3 1

3 +

1

3 1

3= 2 + 1

3 1

3

=2

3 = 2 + 2

3

Solucion [ =2

3, = 2 + 2

3]

5. Despejar x en terminos de y

36 y2 60 y + 25x2 + 20x 21 = 0

Solucion:



68 de 100

BORR

ADO

R


36 y2

25 12 y

5+ x2 +

4x

5 21

25= 0

x2 +4x

5=

36 y2

25+

12 y

5+

21

25

x2 +4x

5+

4

25=

36 y2

25+

12 y

5+

21

25+

4

25

x2 +4x

5+

4

25=

36 y2

25+

12 y

5+ 1(

x+2

5

)2=

(6 y + 5)2

25


x+2

5=

(6 y + 5)2

25o x+

2

5=

(6 y + 5)2

25

x+2

5=

6 y + 5

5x+

2

5= 6 y + 5

5

x+2

5 2

5=

6 y + 5

5 2

5x+

2

5 2

5= 6 y + 5

5 2

5

x =6 y + 3

5x = 6 y + 7

5

Solucion [x =6 y + 3

5, x = 6 y + 7

5]

6. Despejar y en terminos de x

36 y2 60 y + 25x2 + 20x 21 = 0Solucion:


y2 +5 y

3 25x

2

36 5x

9+

7

12= 0

y2 +5 y

3=

25x2

36+

5x

9 7

12

y2 +5 y

3+

25

36=

25x2

36+

5x

9 7

12+

25

36

y2 +5 y

3+

25

36=

25x2

36+

5x

9+

1

9(y +

5

6

)2=

(5x+ 2)2

36


69 de 100

BORR

ADO

R

4.5 Ecuaciones de forma cuadratica 4 ECUACIONES CUADRATICAS


y +5

6=

(5x+ 2)2

36o y +

5

6=

(5x+ 2)2

36

y +5

6=

5x+ 2

6y +

5

6= 5x+ 2

6

y +5

6 5

6=

5x+ 2

6 5

6y +

5

6 5

6= 5x+ 2

6 5

6

y =5x 3

6y = 5x+ 7

6

Solucion [y =5x 3

6, y = 5x+ 7

6]

4.5. Ecuaciones de forma cuadratica

1. Reducir a la forma cuadratica y resolver la siguiente ecuacion

6x4 + 12 = 17x2

Solucion:

Dejando 0 en el segundo miembro de la ecuacion

6x4 17x2 + 12 = 0Se realiza el cambio de variable

u = x2

la ecuacion en terminos de la nueva variable es

6u2 17u+ 12 = 0Aplicando la formula general

u =bb2 4 a c

2 a

=(17)

(17)2 4 (6) (12)2 (6)

=17289 288

12

=171

12

=17 1

12


70 de 100

BORR

ADO

R



u =17 + 1

12o u =

17 112

u =18

12u =

16

12

u =3

2u =

4

3

Sustituyendo las soluciones anteriores en la ecuacion de cambio de variable

u = x2

para u =4

3se tiene la ecuacion

u = x2

4

3= x2

cuya solucion es

[x = 23, x =

23

]

para u =3


u = x2

3

2= x2

cuya solucion es

[x =

32, x =

32

]

por lo tanto la solucion de la ecuacion es: [x =

32, x =

32, x = 2

3, x =

23

]


6x4 = 18x2 12

Solucion:


71 de 100

BORR

ADO

R



6x4 18x2 + 12 = 0

Se realiza el cambio de variable

u = x2


6u2 18u+ 12 = 0

Aplicando la formula general

u =bb2 4 a c

2 a

=(18)

(18)2 4 (6) (12)2 (6)

=18324 288

12

=1836

12

=18 6

12


u =18 + 6

12o u =

18 612

u =24

12u =

12

12u = 2 u = 1


u = x2

para u = 1 se tiene la ecuacion

u = x2

1 = x2


72 de 100

BORR

ADO

R


cuya solucion es

[x = 1, x = 1]para u = 2 se tiene la ecuacion

u = x2

2 = x2

cuya solucion es

[x =

2, x =

2]


2, x =

2, x = 1, x = 1]3. Reducir a la forma cuadratica y resolver la siguiente ecuacion

x4 7x2 + 12 = 0Solucion:


x4 7x2 + 12 = 0Se realiza el cambio de variable

u = x2


u2 7u+ 12 = 0Aplicando la formula general

u =bb2 4 a c

2 a

=(7)

(7)2 4 (1) (12)2 (1)

=749 48

2

=71

2

=7 1

2


73 de 100

BORR

ADO

R



u =7 + 1

2o u =

7 12

u =8

2u =

6

2u = 4 u = 3


u = x2


u = x2

3 = x2

cuya solucion es

[x =

3, x =

3]


u = x2

4 = x2

cuya solucion es

[x = 2, x = 2]

por lo tanto la solucion de la ecuacion es: [x = 2, x = 2, x =

3, x =

3]


12x

+4

x2+ 9 = 0

Solucion:


12x

+4

x2+ 9 = 0


74 de 100

BORR

ADO

R



u =1

x


4u2 12u+ 9 = 0


u =bb2 4 a c

2 a

=(12)

(12)2 4 (4) (9)2 (4)

=12144 144

8

=120

8

=12 0

8


u =12 + 0

8o u =

12 08

u =12

8u =

12

8

u =3

2u =

3

2


u =1

x

para u =3


u =1

x3

2=

1

x


75 de 100

BORR

ADO

R


cuya solucion es

[x =2

3]

por lo tanto la solucion de la ecuacion es: [x =2

3]


3(x2 + x

)2 13 (x2 + x)+ 4 = 0Solucion:


3(x2 + x

)2 13 (x2 + x)+ 4 = 0Se realiza el cambio de variable

u = x2 + x


3u2 13u+ 4 = 0Aplicando la formula general

u =bb2 4 a c

2 a

=(13)

(13)2 4 (3) (4)2 (3)

=13169 48

6

=13121

6

=13 11

6


u =13 + 11

6o u =

13 116

u =24

6u =

2

6

u = 4 u =1

3


76 de 100

BORR

ADO

R



u = x2 + x

para u =1


u = x2 + x

1

3= x2 + x

cuya solucion es

[x =

21 + 3

6, x =

21 3

6]


u = x2 + x

4 = x2 + x

cuya solucion es

[x =

17 + 1

2, x =

17 1

2]


21 + 3

6, x =

21 3

6, x =

17 + 1

2, x =

17 12

]


10(2x2 3x)2 31 (2x2 3x) = 15

Solucion:


10(2x2 3x)2 31 (2x2 3x)+ 15 = 0


u = 2x2 3x


77 de 100

BORR

ADO

R



10u2 31u+ 15 = 0


u =bb2 4 a c

2 a

=(31)

(31)2 4 (10) (15)2 (10)

=31961 600

20

=31361

20

=31 19

20


u =31 + 19

20o u =

31 1920

u =50

20u =

12

20

u =5

2u =

3

5


u = 2x2 3x

para u =3


u = 2x2 3x3

5= 2x2 3x

cuya solucion es

[x =

345 1520

, x =

345 + 15

20]


78 de 100

BORR

ADO

R

4.6 Ecuaciones con radicales 4 ECUACIONES CUADRATICAS

para u =5


u = 2x2 3x5

2= 2x2 3x

cuya solucion es

[x =

29 34

, x =

29 + 3

4]


345 1520

, x =

345 + 15

20, x =

29 34

, x =

29 + 3

4]

4.6. Ecuaciones con radicales

1. Resolver la siguiente ecuacion que contiene radicales

3x+ 7 +

2x+ 5 =

x+ 6

Solucion:

Eliminando los radicales (3x+ 7 +

2x+ 5

)2=(

x+ 6)2

(3x+ 7

)2+ 2

3x+ 7

2x+ 5 +(

2x+ 5)2

= x+ 6

3x+ 7 + 2

3x+ 7

2x+ 5 + 2x+ 5 = x+ 6

2

2x+ 5

3x+ 7 + 5x+ 12 = x+ 6

2

2x+ 5

3x+ 7 = 4x 64 (2 x+ 5) (3 x+ 7) = (4x 6)224x2 + 116x+ 140 = 16x2 + 48x+ 36

8x2 + 68x+ 104 = 0


79 de 100

BORR

ADO

R


Resolviendo la ultima ecuacion por la formula general

x =bb2 4 a c

2 a

=(68)

(68)2 4 (8) (104)

2 (8)=684624 3328

16

=681296

16

=68 36

16

por lo tanto

x =68 + 36

16o x =

68 3616

x =3216

x =104

16

x = 2 x = 132

Sustituyendo estos valores la ecuacion original. Para x = 132

se obtiene9 i

2=

i2

.

Ahora, para x = 2 se tiene 2 = 2 . Por lo tanto la solucion de la ecuacion original esx = 2


3x+ 7 +

2x+ 3 =

15x+ 4

Solucion:

Eliminando los radicales


80 de 100

BORR

ADO

R


(3x+ 7 +

2x+ 3

)2=(

15x+ 4)2

(3x+ 7

)2+ 2

3x+ 7

2x+ 3 +(

2x+ 3)2

= 15x+ 4

3x+ 7 + 2

3x+ 7

2x+ 3 + 2x+ 3 = 15x+ 4

2

2x+ 3

3x+ 7 + 5x+ 10 = 15x+ 4

2

2x+ 3

3x+ 7 = 10x 64 (2 x+ 3) (3 x+ 7) = (10x 6)2

24x2 + 92x+ 84 = 100x2 120x+ 3676x2 + 212x+ 48 = 0


x =bb2 4 a c

2 a

=(212)

(212)2 4 (76) (48)2 (76)

=21244944 + 14592

152=21259536

152=212 244152

por lo tanto

x =212 + 244152 o x =

212 244152

x =32

152 x =456152

x = 419

x = 3

Sustituyendo estos valores la ecuacion original. Para x = 3 se obtiene 7 = 7 .

Ahora, para x = 419

se tiene1819

=419

. Por lo tanto la solucion de la ecuacion

original es x = 3

3. Resolver la siguiente ecuacion que contiene radicalesx 12x+ 6 = 2x 6


81 de 100

BORR

ADO

R


Solucion:

Eliminando los radicales (x 12x+ 6

)2=(2x 6)2(

x 1)2 2x 12x+ 6 + (2x+ 6)2 = 2x 6x 1 2x 12x+ 6 + 2x+ 6 = 2x 6

2x 12x+ 6 + 3x+ 5 = 2x 62x 12x+ 6 = x 11

4 (x 1) (2x+ 6) = (x 11)28x2 + 16x 24 = x2 + 22x+ 1217x2 6x 145 = 0


x =bb2 4 a c

2 a

=(6)

(6)2 4 (7) (145)

2 (7)=

636 + 406014

=64096

14

=6 64

14

por lo tanto

x =6 + 64

14o x =

6 6414

x =70

14x =5814

x = 5 x = 297


se obtiene2 i

7= 10 i

7.


82 de 100

BORR

ADO

R


Ahora, para x = 5 se tiene 2 = 2 . Por lo tanto la solucion de la ecuacion originales x = 5


x 12x+ 6 = 2x 6

Solucion:

Eliminando los radicales (x 12x+ 6

)2=(

2x 6)2(x 1)2 2x 12x+ 6 + (2x+ 6)2 = 2x 6

x 1 2x 12x+ 6 + 2x+ 6 = 2x 62x 12x+ 6 + 3x+ 5 = 2x 6

2x 12x+ 6 = x 114 (x 1) (2x+ 6) = (x 11)2

8x2 + 16x 24 = x2 + 22x+ 1217x2 6x 145 = 0


x =bb2 4 a c

2 a

=(6)

(6)2 4 (7) (145)

2 (7)=

636 + 406014

=64096

14

=6 64

14


83 de 100

BORR

ADO

R


por lo tanto

x =6 + 64

14o x =

6 6414

x =70

14x =5814

x = 5 x = 297


se obtiene2 i

7=

10 i7

.

Ahora, para x = 5 se tiene 2 = 2 . Por lo tanto la ecuacion original no tiene solucion.5. Resolver la siguiente ecuacion que contiene radicales

2x+ 5 +

x 1 = 6x+ 4

Solucion:

Eliminando los radicales (2x+ 5 +

x 1

)2=(

6x+ 4)2

(2x+ 5

)2+ 2

2x+ 5x 1 + (x 1)2 = 6x+ 4

2x+ 5 + 2

2x+ 5x 1 + x 1 = 6 x+ 4

2x 12x+ 5 + 3x+ 4 = 6x+ 4

2x 12x+ 5 = 3x

4 (x 1) (2x+ 5) = 9x28x2 + 12x 20 = 9 x2x2 + 12x 20 = 0


84 de 100

BORR

ADO

R

4.7 Discriminante 4 ECUACIONES CUADRATICAS


x =bb2 4 a c

2 a

=(12)

(12)2 4 (1) (20)

2 (1)=12144 80

2=12642

=12 82

por lo tanto

x =12 + 82 o x =

12 82

x =42 x =

202

x = 2 x = 10

Sustituyendo estos valores la ecuacion original. Para x = 10 se obtiene 8 = 8 .

Ahora, para x = 2 se tiene 4 = 4 . Por lo tanto la solucion de la ecuacion original es[x = 10, x = 2]

4.7. Discriminante

1. Usando el discriminante, determinar la naturaleza de las races de la ecuacion

5x2 + 2x 145

= 0

Solucion:

Calculando el discriminante

D = b2 4 a c= (2)2 4 (5) (14

5)

= 4 + 56

= 60


85 de 100

BORR

ADO

R


Como D > 0 la ecuacion cuadratica tiene dos races reales y distintas.

Las soluciones son: [x =

15 + 1

5, x =

15 1

5]


3x2 5x 39512

= 0

Solucion:


D = b2 4 a c= (5)2 4 (3) (395

12)

= 25 + 395

= 420


Las soluciones son: [x = 2

105 56

, x =2

105 + 5

6]


4x2 + 20x+ 25 = 0

Solucion:


D = b2 4 a c= (20)2 4 (4) (25)= 400 400= 0

Como D = 0 la ecuacion cuadratica tiene dos races reales e iguales.


]


25x2 + 10x+ 201 = 0


86 de 100

BORR

ADO

R


Solucion:


D = b2 4 a c= (10)2 4 (25) (201)= 100 20100= 20000

Como D < 0 la ecuacion cuadratica no tiene races reales, tiene races imaginarias.

Las soluciones son: [x = 5 232 i+ 1

5, x =

5 232 i 15

]


x2

2 3x

2+

1

8= 0

Solucion:


D = b2 4 a c

= (32

)2

4 (12

) (18

)

=9

4 1

4= 2


Las soluciones son: [x = 232 32

, x =2

32 + 3

2]


x2

3 2x+ 3 = 0

Solucion:



87 de 100

BORR

ADO

R


D = b2 4 a c= (2)2 4 (1

3) (3)

= 4 4= 0


Las soluciones son: [x = 3]


3x2

2 2x+ 32

3= 0

Solucion:


D = b2 4 a c= (2)2 4 (3

2) (32

3)

= 4 64= 60



15 i 23

, x =2

15 i+ 2

3]


16x2

3 8x 13 = 0

Solucion:


D = b2 4 a c= (8)2 4 (16

3) (13)

= 64 +832

3

=1024

3


88 de 100

BORR

ADO

R




3 34

, x =4

3 + 3

4]


x2

5+x

2+

5

16= 0

Solucion:


D = b2 4 a c

= (1

2)2

4 (15

) ( 516

)

=1

4 1

4= 0



]


36x2

7+ 12x+ 43 = 0

Solucion:


D = b2 4 a c= (12)2 4 (36

7) (43)

= 144 61927

= 51847



7 i+ 7

6, x =

6

7 i 76

]


89 de 100

BORR

ADO

R

5 FUNCION CUADRATICA

5. Funcion cuadratica

1. Determinar el vertice de la funcion cuadratica

y = 5x2 + 3x

Solucion:

y = 5x2 + 3x

y =5

5

(5x2 + 3x

)multiplicando y dividiendo por 5

y = 5

(5x2 + 3x

5

)y = 5

(x2 +

3x

5

)y = 5

(x2 +

3x

5+

9

100 9

100

)completando un trinomio cuadrado perfecto

y = 5

(x2 +

3x

5+

9

100

)+ 5

( 9

100

)y = 5

(x+

3

10

)2 9

20factorizando el tcp

Expresando la funcion en la forma y = a(x h)2 + k, donde (h, k) son las coordenadasdel vertice

y = 5

(x

( 3

10

))2+

( 9

20

)el vertice de la funcion es (

310, 9

Ejemplos resueltos de Álgebra 2

Documents

Transcript of Ejemplos resueltos de Álgebra 2