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MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA. 3º ESO

Temas 3 y 4 1

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1 a) Define lo que es un monomio. b) ¿A qué llamamos grado de un monomio? c) En cada uno de los siguientes casos, indica si son monomios y di cuál es su grado:

= − = = =2 4 2 33A 5 B 2 C D5

x y x x y z

Solución: a) Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras. b) Se llama grado de un monomio al número de factores que forman su parte literal. c) A → es un monomio de grado 3.

B → es un monomio de grado 0. C → es un monomio de grado 4. D → es un monomio de grado 6.

Ejercicio nº 2 a) ¿Qué diferencia hay entre una identidad y una ecuación? b) Entre las siguientes igualdades, razona cuáles son identidades y cuáles son

ecuaciones:

( )

2

2

I) 3 II) 6III) 7 2 7 IV) 2 2

x x x x x xa a a x x x x+ + = + =

+ + = + + = +

Solución: a) Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para valores cualesquiera de las

letras que intervienen. Una ecuación es una igualdad algebraica que solo es cierta para algún valor (o algunos valores) de la incógnita.

b) I, III y IV son identidades, el segundo miembro se obtiene operando el primero, las

igualdades son ciertas para cualquier valor de x. II es una ecuación; solo es cierta para x = 2 y para x = −3.


Temas 3 y 4 2

Ejercicio nº 3 Dados los polinomios A = −3x2 + 2x − 1 y B = x2 + 3x + 1 calcula:

a) 2A − B b) A · B Solución: a) 2A − B = 2(−3x2 + 2x − 1) − (x2 + 3x + 1) =

= −6x2 + 4x − 2 − x2 − 3x − 1 = −7x2 + x − 3

b) − 3x2 + 2x − 1

x2 + 3x + 1 − 3x2 + 2x − 1

− 9x3 + 6x2 − 3x −3x4 + 2x3 − x2 −3x4 − 7x3 + 2x2 − x −1 A · B = −3x4 – 7x3 + 2x2 – x − 1

Ejercicio nº 4 Efectúa y simplifica el resultado:

( ) ( )⋅2a) 3 2 1 2 3x x x− + − +

( ) ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

3 1 1b) 24 2 2 3 2

x xx − + − +

Solución: ( ) ( )− + ⋅ − + = − + + − − + =

= − + − +

2 3 2 2

3 2

a) 3 2 1 2 3 6 9 4 6 2 3

6 13 8 3

x x x x x x x x

x x x

( ) ⎡ ⎤− + − + = − + − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

= − + − + = − = −

3 1 1 3 3 1b) 24 2 2 3 2 4 2 4 6 4

9 18 3 2 3 10 15 5 512 12 12 12 12 12 12 6 4

x x x x xx

x x x x x


Temas 3 y 4 3

Ejercicio 5 a) Extrae factor común en cada caso:

P = 9x4 − 6x3 + 3x2 Q = 3x2y2 − 3x2y + 3xy2

b) Efectúa y reduce:

( ) ( ) ( )2 21 11 2 3 22 3

x x x x− + − + −

Solución: a) P = 9x4 − 6x3 + 3x2 = 3x2 (3x2 − 2x + 1)

Q = 3x2y2 − 3x2y + 3xy2 = 3xy (xy − x + y)

( ) ( )( ) ( )− + − + − = − + + − − =

= − + + − − = − + + − − =

= − + − = − + −

22 2 2 2

2 2 2 2 22

2 2

1 1 1 1b) 1 2 3 2 6 22 3 2 2 3

1 3 3 2 2 12 122 22 2 3 3 6 6 6 6 6 67 2 15 7 56 6 6 6 3 2

xx x x x x x x

x x x x x x xx

x x x x

Ejercicio 6 a) Desarrolla:

P = (x2 − 2) (x2 + 2) Q = (2x + 1)2

b) Reduce:

(x − 2)2 + (x − 2) (x + 2) − x (x + 2) Solución: a) P = (x2 − 2) (x2 + 2) = x4 − 4

Q = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1

b) (x − 2)2 + (x − 2) (x + 2) − x (x + 2) = x2 − 4x + 4 + x2 − 4 − x2 − 2x = x2 − 6x


Temas 3 y 4 4

Ejercicio 7 Aplica las identidades notables y reduce las siguientes expresiones:

( ) ( )( )2a) 2 3 2 3 2 3 2x x x− + − +

( )⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

22b) 3 1

2x x+ − +

Solución:

( ) ( )( ) ( )2 2 2

2 2 2

a) 2 3 2 3 2 3 2 2 9 12 4 9 4

18 24 8 9 4 27 24 4

x x x x x x

x x x x x

− + − + = − + + − =

= − + + − = − +

( ) ( )2 2

2 2

2 22

b) 3 1 3 9 2 12 4

33 9 2 1 84 4

x xx x x x

x xx x x x

⎛ ⎞+ − + = + + − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + − − − = − + +

Ejercicio 8 Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) El triple del resultado de sumar un número con su inverso. b) El doble de la edad que tendré dentro de cinco años. c) El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x. d) El área de un triángulo del que se sabe que su base es la mitad de su altura. Solución:

1 3a) 3 3x xx x

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )b) 2 5 2 10x x+ = +

2c) 5x

22d)

2 4

xx x⋅=


Temas 3 y 4 5

Ejercicio 9 Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados: a) El 30% de un número. b) El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida. c) El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida. d) El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente. Solución: a) 0,3x

b) 3x

c) 6 + 2x

d) 2[x + (x + 1)] = 2(2x + 1) = 4x + 2


Temas 3 y 4 6

Ejercicio 10 a) ¿Qué es una ecuación? b) Dada la ecuación:

1 12 5 3 72 2

x xx x− +− + + + = +

responde razonadamente: I) ¿Qué valor obtienes si sustituyes x = 3 en el primer miembro? II) ¿Qué obtienes si sustituyes x = 3 en el segundo miembro? III) ¿Es x = 3 solución de la ecuación propuesta? IV) ¿Es x = 1 solución de la ecuación?

Solución: a) Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene una letra (o más) llamada

incógnita (o incógnitas).

3 1b) I) 2 3 5 3 3 6 5 1 9 92−

− ⋅ + + + ⋅ = − + + + =

3 1 II) 7 2 7 92+

+ = + =

III) Sí, puesto que cumple la igualdad según acabamos de ver.

IV) Sustituimos x = 1 en la ecuación y vemos que no la cumple:

− ⎫− + + + = ⎪⎪

⎬+ ⎪+ =

⎪⎭

1 12 5 3 62

1 1 7 82

No coinciden.

Además, sabemos que una ecuación de primer grado solo tiene una solución. En este

caso era x = 3.


Temas 3 y 4 7

Ejercicio 11 Resuelve las siguientes ecuaciones:

2 5 1 3a) 23 15 5

x x x− +− + =

( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 5b) 2 5 7 33

x x x x x+ − + = − −

Solución:

2 5 1 3a) 23 15 5

10 25 1 9 3015 15 15 15

x x x

x x x

− +− + =

− +− + =

10x − 25 − x − 1 + 9x = 30

10x − x + 9x = 30 + 25 + 1

18x = 56

= = → =56 28 2818 9 9

x x

( ) ⎛ ⎞+ − + = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ − + = − +

+ = −

= −

= −

2 2

2 2 2

5b) 2 5 7 33

52 10 7 33

510 3 73

16133

1639

x x x x x

x x x x x

x x

x

x


Temas 3 y 4 8

Ejercicio 12 Resuelve las ecuaciones siguientes:

( )2 3 1 3a) 2 45 2 5

x x x x− +− + = −

( ) ( )5 1 3 1b) 3 2 62 5 10

xx x −+ − − =

Solución:

( )− +− + = −

− +− + = −

− +− + = −

2 3 1 3a) 2 45 2 5

2 3 1 3 2 85 2 5

4 6 5 5 6 20 8010 10 10 10 10

x x x x

x x x x

x x x x

4x − 6 − 5x − 5 + 6x = 20x − 80

4x − 5x + 6x − 20x = 6 + 5 − 80

−15x = −69

69 23 2315 5 5

x x= = → =

( ) ( )5 1 3 1b) 3 2 62 5 105 15 2 6 3 1

2 5 1025 75 4 12 3 1

10 10 10

xx x

x x x

x x x

−+ − − =

+ − −− =

+ − −− =

25x + 75 − 4x + 12 = 3x − 1

25x − 4x − 3x = −1 − 75 − 12

18x = −88

88 44 4418 9 9

x x= − = − → = −


Temas 3 y 4 9

Ejercicio 13 a) Busca dos pares de valores que sean solución de la ecuación 5x − 4y = 1. b) Representa gráficamente la recta 5x − 4y = 1. c) ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación? Solución:

5 1a) 5 4 1 5 1 44

xx y x y y −− = → − = → =

Le damos valores a x y obtenemos, por ejemplo, los puntos:

x = 1 → y = 1 → Punto (1, 1)

x = −3 → y = −4 → Punto (−3, −4)

b) Utilizamos los dos puntos obtenidos en a):

c) Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.


Temas 3 y 4 10

Ejercicio 14 a) Representa en los mismos ejes el siguiente par de rectas e indica el punto en el que

se cortan:

⎧⎨⎩

2 21

+ =

− =

x yx y

b) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior? Solución: a) Representamos las dos rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas:

+ = → = − − = → = −

−

2 2 2 2 1 1

0 2 0 11 0 1 0

x y y x x y y xx y x y

b) Hay una solución: (1, 0), es decir, x = 1 ; y = 0.


Temas 3 y 4 11

Ejercicio 15 a) Representa en los mismos ejes las rectas:

⎧⎨⎩

2 12 2− + =

− =

x yx y

b) ¿Qué dirías acerca de la solución del sistema anterior? Solución: a) Obtenemos dos puntos de cada una de las rectas para representarlas:

2 1 2 1 2 2 2 2

0 1 0 21 3 1 0

x y y x x y x yx y x y− + = → = + − = → − =

−

Son paralelas. b) El sistema no tiene solución, es incompatible.


Temas 3 y 4 12

Ejercicio 16 a) Resuelve por sustitución:

⎧⎨

−⎩

3 5 152 3 9

+ =

− =

x yx y

b) Resuelve por reducción:

⎧⎨⎩

4 6 26 5 1

+ =

+ =

x yx y

Solución:

+ = ⎫⎬

− = − ⎭

a) 3 5 152 3 9x yx y

15 53

15 52 3 93

yx

y y

−=

−⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

30 10 3 9 30 10 9 273

5719 57 3 019

y y y y

y y x

−− = − → − − = −

−− = − → = = → =

−

Solución: x = 0 ; y = 3

+ = ⎫

⎬+ = ⎭

b) 4 6 26 5 1x yx y ( )

×

× −

⎯⎯⎯→ + =

− − = −⎯⎯⎯→

5

6

20 30 1036 30 6x yx y

4 1Sumando : 16 416 4

x x− = → = − = −

+ = → − + = → = → = =3 14 6 2 1 6 2 6 36 2

x y y y y

1 1: ;4 2

Solución x y= − =


Temas 3 y 4 13

Ejercicio 17 a) Resuelve por igualación:

⎧⎨⎩

5 2 112 3 12

+ =

− =

x yx y

b) Resuelve por reducción:

⎧⎨⎩

2 4 73 5 4

− + =

− =

x yx y

Solución:

a) 5 2 112 3 12

x yx y+ = ⎫

⎬− = ⎭

− ⎫= ⎪ − +⎪

=⎬+ ⎪=

⎪⎭

11 211 2 12 35

5 212 32

yx y yyx

3822 4 60 15 38 19 2 319

y y y y x− = + → − = → = − = − → =

Solución: x = 3 ; y = −2

− + = ⎫

⎬− = ⎭

b) 2 4 73 5 4

x yx y

×

×

⎯⎯→− + =

⎯⎯→ − =

3

2

6 12 216 10 8

x yx y

= → =29Sumando : 2 292

y y

− + = → − + = → − = − → =512 4 7 2 58 7 2 512

x y x x x

= =51 29: ;2 2

Solución x y


Temas 3 y 4 14

EJERCICIOS PARA RESOLVER Y ENTREGAR EL DÍA DEL EXAMEN

EXPRESIONES POLINÓMICAS

1º. Reduce. a) 555 723 xxx −+− b) 4545 23 xxxx −−+ c) ( )26 3xx ⋅ d) )4()8( 32 xyyx −⋅−

e) ( )325 )2( x f) 3

7

530xx g) 223 9:)54( xyyx− h)

22

34

5481

yxyx

2º. ¿Cuál es el polinomio de grado 2, con término independiente igual a -3 y con los coeficientes de grado

1 y 2 iguales a 7?

3º. Contesta: a) ¿Qué grado tiene el polinomio 753)( 34 −+−= xxxxP ? b) ¿De cuantos términos está compuesto? c) ¿Es completo? Justifícalo.

4º. Halla el valor numérico de:

a) 22 −+ xx para x = 3.

b) r 2π para r = 2.

c) 3223 33 yxyyxx −+− para x = 2 e y = -1

d) )32()3()75()3(

2 xyxyxyx

+−⋅−

+⋅− para x = -1 e y = -2

5º. Sean: 33)( 23 +−= xxxP ; 754)( 23 −−+= xxxxQ . Calcula: a) )()( xQxP − . b) )()( xPxQ − . c) ¿Qué relación existe entre los resultados?

6º. Sean: 15)( 5 +−= xxxP ; 1)( 34 −−+= xxxxQ ; 372)( 2356 +++−+= xxxxxxR . Calcula:

a) )()( xQxP + b) )()( xQxP −

c) )(3)( xQxR − d) )()(3)( xRxQxP +−−

7º. Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a) )753(2 342 −+−⋅ xxxx b) )25()12( −⋅+ xx

c) )5()13( 22 −⋅+− xxx

d) )52()23()7( 2 +−⋅−−⋅− xxxx

8º. Saca factor común, factorizando los siguientes polinomios:

a) xx 39 2 − b) 4981 2 −x c) 2356 64816 xxxx +−+


Temas 3 y 4 15

d) 22 124 yxyx +− e) 3223 1218 yxyx −

f) 3224 3620 bacba +

9º. Desarrolla, sin operar, las siguientes igualdades notables:

a) 2)2( yx +

b) 2)23( −x c) )52()52( +⋅− xx d) 23 )73( −x

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1º. Clasifica las siguientes igualdades algebraicas en identidades o ecuaciones:

a) baba 55)(5 +=+ b) 352 =−x c) 428 −=+ aa

d) xxx ++=+ )1(223 e) 32264

+=+ xx

f) 8114)32( 22 ++=+ xxx

2º. Une con flechas las ecuaciones que sean equivalentes entre sí:

a) 013 =+x 1) xx 2115 −=+

b) xx 293 −=+ 2) 18592 −=− xx

c) 18693 −=− xx 3) 124 +=+ xx

3º. Halla la solución de las ecuaciones siguientes:

a) )312(4)213(7 xxx ++=−

b) )32(2)32(4)32(5 xxx +=−−+

c) 62

34

53

21 +

−=−− xx

d) 21

421

63

3−

+=+

−−

xxx

e) 152

43

531

+=+−

+xxx

f) 431

23

=+

−xx

g) 5)13(3

253 −=

− xx

h) xxxx 378)4(3

652 −=

+−

++


Temas 3 y 4 16

4º. ¿Tienen solución estas ecuaciones? Justifica tu respuesta:

a) xxx +=−− 62)8(3

b) 623

6)1(2

3−

=+

−xxx

SISTEMAS DE ECUACIONES 1º. Une con flechas cada pareja de números con el sistema del que es solución:

a) x = -8 e y = -5 1) ⎩⎨⎧

=−

=+

3632

yxyx

b) x = 3 e y = 0 2) ⎩⎨⎧

=+

=−

5156053

yxyx

c) x = 1/3 e y = 1/5 3) ⎩⎨⎧

−=+−

=−

73153

yxyx

2º. Halla 3 soluciones distintas de la ecuación de la ecuación de primer grado con 2 incógnitas:

053 =+ yx 3º. Une con flechas aquellos sistemas de ecuaciones que sean equivalentes entre sí:

a) ⎩⎨⎧

=−

=+

35253

yxyx

1) ⎩⎨⎧

−=−−

=+

3521864yxyx

b) ⎩⎨⎧

−=−

=+

61531066

yxyx

2) ⎩⎨⎧

−=+−

=+

1525101062yx

yx

c) ⎩⎨⎧

=+

=+

6104932

yxyx

3) ⎩⎨⎧

−=−

=+

25533

yxyx

4º. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:

⎩⎨⎧

=−

=+

35253

yxyx

5º. Resuelve el siguiente sistema por el método de igualación:

⎩⎨⎧

=−

=+

3553

yxyx


Temas 3 y 4 17

6º. Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción:

⎩⎨⎧

−=−

=+

13332

yxyx

7º. Resuelve los sistemas siguientes por el método que quieras o consideres más adecuado.

a) ⎩⎨⎧

=+

−=+

23132

yxyx

b) ⎩⎨⎧

−=−

=+

1332

yxyx

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

−=+−

42)(3

12xy

xyx

d) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−

=+

+−

3251

5213

32

yx

yx

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