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MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Ejercicios de Refuerzo.

I.E.S. Margarita Salas Seseña (Toledo) Curso 2010/2011

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Margarita Salas

Seseña (Toledo)

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Tema 1 NÚMEROS ENTEROS

Lee y Reflexiona

Juan tenía el cinco de septiembre 187 € en su cuenta bancaria. Después de realizar varios pagos, de extraer dinero del cajero o de que le abonaran su nómina, la cuenta ha quedado así:

FECHA CONCEPTO DEBE HABER 10 - IX Extracción cajero 18 € 13 - IX Abono intereses cuenta 3 € 1 - X Abono nómina 1084 € 5 - X Recibo compañía telefónica 93 € 15 - X Gasto comercio 53 € 15 - X Préstamo hipotecario 520 €

a. ¿Cuánto dinero ha gastado Juan? b. ¿Cuánto dinero ha cobrado Juan? c. ¿Cuál es su saldo el día 15 de octubre? d. ¿Cuánto dinero ha ahorrado Juan hasta el 15 de octubre?

Repasa Números Enteros

1. Resuelve:

a) ( ) ( )[ ]31493-46-53-8 +−++++

b) ( ) ( )[ ]56182231546 −−+−+−++−

c) ( )[ ] ( ) ( )[ ]73486536134 −+−+−+−+−+−+−

d) ( ) ( )[ ] ( )[ ]48653157696710 −+−++−++−+−+−+−

e) ( ) ( ) ( )364)2(32:486 ++−⋅−+−−−+−

f) ( )[ ] ( )[ ])2(2492115 −⋅−−−−⋅−−

g) ( )[ ] ( )[ ])3(3732135423 −⋅+−−−+−−−⋅

h) ( ) ( ) ( )914)3(224724233 +−−⋅−⋅⋅+−⋅−⋅+−

i) ( ) ( )[ ]4134534263 +−⋅+−−⋅−⋅

j) ( ) ( ) ( )[ ]2:474386 −+−−−



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k) ( )[ ] ( ) ( )[ ]71294356332 −−+−−+−−−− l) ( ) ( ) ( ) 2:4329:183318 −−+−−−−

2. Nerón nació en el año 10 antes de Cristo y murió en el año 65. ¿Qué edad tenía Nerón cuando falleció? 3. Un globo está en el aire. Desciende 50 metros, luego 70 metros y después sube

80. Al final está a una altura de 800 metros. ¿Cuál era la altura inicial del globo? 4. En Ávila, un día a las 6 de la mañana el termómetro marcaba -6º C: a las 12 de la

mañana fue de 4º C. ¿Cuál fue en grados la variación de temperatura? 5. Leopoldo sale de compras con 20 euros y gasta 20. Cuando vuelve, su madre le da

10 euros de paga y su abuela 12 euros. Por la tarde se compra una revista por 3 euros y un refresco por 1 euro. ¿Cuánto dinero tiene Leopoldo al final del día?

6. Hace dos años una empresa obtuvo unos beneficios por valor de 200.000 euros. El año pasado tuvo pérdidas de 52.000 euros. ¿Cuál es el balance de la empresa en los dos últimos años?



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Tema 2 FRACCIONES Lee y Reflexiona A casa de Adrián vinieron a jugar 11 amigos. El padre de Adrián quiso invitar a los 12 niños a chocolatinas, pero resultó que solamente tenía 11. ¿Qué podría hacer? Como no quería disgustar a ningún niño, tendría que repartirlas a partes iguales entre todos. Ésta claro que tenía que trocear las 11 chocolatinas, pero si las cortaba en 12 trozos iban a resultar trozos muy pequeños. Al final consiguió hacer el reparto sin tener que partir ninguna chocolatina en más de cuatro trozos.

1. Calcula a qué cantidad de chocolatina debe tocar a cada niño. Expresa el resultado en forma de fracción:

2. Descompón 12

11 en dos sumandos de denominador 12. Escribe todas las

posibilidades.

3. Como se quiere dividir cada chocolatina en 4 trozos como máximo, vuelve a escribir las sumas del reparto anterior pero simplificando al máximo, cuando sea posible, los sumandos. Después, contesta ¿Cuál de las sumas que has escrito sugiere un reparto en el que las chocolatinas no hay que dividirlas en más de cuatro partes?

4. Ahora ya sabes que cada niño toco a un cuarto de chocolatina más dos tercios

de chocolatina, por tanto completa:

Total de cuartos repartidos: �� , que son __________chocolatinas.

Total de tercios repartidos: �� , que son __________chocolatinas.

5. Ya puedes describir como lo hizo el padre de Adrián:

Partió ____________chocolatinas en _______trozos cada una, obtuvo ______ trozos y dio ____ trozo a cada niño. Después, partió las otras ______________chocolatinas en _________ trozos cada una, obtuvo ________ trozos y dio ________trozos a cada niño. Repasa Fracciones

1. ¿Son equivalentes los siguientes pares de fracciones?

� 34 � 68 � 15

9 � 53 � 13 � 2

4 � 22 � 33

2. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones

24 , 3

6 , 59 � 15

27

3. Opera y reduce

� 24 � 4

3 � 52 � 34



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� 12 � 16 � 3

4 � 18 � 1

6 � 15 � 1

� 24 � 4

3 � 23 � 17

� 24 : 43 � 2

3 : 17

4. Opera y simplifica:

� 52 � �1

3 � ��5 � 13

� 25 � 15

3 � �16 � 2

3 � 2

3 � 34! : 1

2 � 25 � 3

6 � 1

3 � 24 � 1

2! � 18 : 1

5 � 13! � �� 3

4 � 12

� " 22 � 1! : 1

3 � 14# : 1

3 � 5 � �34 � 1

2 � ��2

5. Escribe estas fracciones en forma de potencia:

��34� ��3

6$ ��14%

6. Simplifica:

� 3�5�

5�2� � 3�4�3$2�

7. Juan vende fruta en un mercado. Del total que compra al por mayor se le

estropean 3 de cada 10 kg. Si esta mañana compró en Mercamadrid 6.000Kg de fruta, ¿qué cantidad le quedó para la venta?

8. Andrea ha ido el sábado con una amigas al cine con 15 €, si el cine le ha

costado un tercio de lo que llevaba, otro tercio se lo ha gastado en una hamburguesería y resto en un regalo para su hermana, ¿Cuál ha sido el coste de cada una de las cosas?



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Tema 3 NÚMEROS DECIMALES. SISTEMA SEXAGESIMAL Lee y reflexiona Mariano comienza hoy a trabajar en una fábrica de muebles. Tras firmar el contrato, el encargado le ha enseñado la fábrica y le ha presentado a sus compañeros. Según las condiciones del contrato que ha firmado, trabajará 8 horas diarias, de lunes a viernes. Por ese trabajo recibirá un sueldo fijo mensual de 600 €, al que habrá que añadir:

• Por cada silla terminada, 2’75 €. • Por cada mesa, 4’50 €.

Lo primero que ha hecho Mariano ha sido cronometrar el tiempo que tarda en elaborar una silla y una mesa: “tardo 1hora 20 minutos en montar una silla y 2 horas 15 minutos en terminar una mesa” El encargado le ha dicho que puede fabricar mesas o sillas según su elección, pero que no podrá ampliar su horario de trabajo ni un solo minuto, pues las máquinas de montaje funcionan exactamente 8 horas diarias.

1. ¿Cuántas mesas y sillas deberá terminar diariamente para que su trabajo sea lo más rentable posible?

2. ¿Cuál será su sueldo mensual si elige esa opción?

Repasa Números Decimales

1. El alumno más alto de la clase mide 172 cm y el más bajo 148 cm. Calcula la diferencia entre ambos y exprésala en metros.

2. Tengo que pagar 192’75 € en tres plazos: • En el primer plazo pago la mitad. • En el segundo plazo, la tercera parte. • Y en el tercero, el resto. Calcula cuánto pagaré en cada plazo.

3. Sabiendo que una milla terrestre son 1’6093 km, ¿cuántos metros son 2’35 millas?¿Y 0’6 millas?

4. Encuentra el número decimal que corresponde a cada una de las siguientes fracciones, indicando: la parte entera, la parte decimal y el tipo de número decimal que es cada uno de ellos.

36

100

198

1

900

29

180

26

11

8

9

2

5. Resuelve las siguientes operaciones:

a. 17’94 · 100 – 8’05 : 0’6 b. 9’8 · 10 + 41’96 : 1000 c. 100’15 : 100 – 3’995 · 0’05 d. (8’72 – 7’85) · 0’1 – 0’2 e. 18’9654 : (1’35 + 1’05) f. 9’025 – 2’46 : (1’3 + 0’01)



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6. Halla la raíz cuadrada, con un decimal, de los siguientes números:

a. 657 b. 8271 c. 1778

7. Trunca y redondea a las centésimas el número 0’397

8. ¿Qué error se comete al aproximar 2’506 + 13’007 por 15’5?¿Y por 15’52?

Repasa Sistema Sexagesimal

1. Calcula: a. 16h 15min = ______________ h =______________ min b. 1h 36min 45s = ___________________ min c. 35min 54s = _____________________ min d. 24º 24’ 27’’ = ___________________º = __________________ ‘ e. 3º 9’ 18’’ = ____________________º = _________________’ f. 54’ 30’’ = ___________________’ = _____________________’’

2. A las 11h 12 min comienza la proyección de una película que dura 1h 56min.

¿A qué hora acabará si hay una intermedio de 13 minutos?

3. Indica si los tres ángulos de cada apartado pueden ser los ángulos de un triángulo.

a. 54' 100º C 12' 30ºB '54 º48A ===

b. 46' 60º C 14' 10º B '18' 100º A ===

4. Un avión inicia su viaje a las 16h 42min y llega a su destino a las 18h 38min. a. ¿Cuál es la duración del vuelo? b. Si el vuelo de regreso dura lo mismo que el de ida y el avión sale a las 23h

25min, ¿a qué hora llega?

5. Uno de los dos ángulos iguales de un triángulo isósceles mide 31º 26’, ¿cuánto mide el ángulo desigual?

6. Un corredor tarda 24min 18s en recorrer 3 km. Si corre al mismo ritmo, ¿cuánto tardará en recorrer 8 km?



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Tema 4 PROPORCIONALIDAD. PROBLEMAS ARITMÉTICOS Lee y Reflexiona FIESTA DE CUMPLEAÑOS. El día 9 de abril es el cumpleaños de Ana y le haremos una fiesta sorpresa. Queremos preparar comida para 15 personas, y necesitamos comprar pierna de cordero, para cocinarla al horno. Necesitamos 425 gr de cordero para cada persona y en caso de duda mejor que sobre que no que falte. Vamos al supermercado y en la carnicería nos encontramos la siguiente nota: Precio especial del cordero: 8 euros el Kg Presentación : pieza pequeña: aprox. 4,5 kg pieza mediana : aprox. 5,5 kg pieza grande : aprox. 6,5 kg Oferta del día: llévese 3kg de cordero y page 2 kg. Belén, María y Javier se ofrecen voluntariamente para comprar los regalos y van primero a una tienda de deportes que está en rebajas. Piensan comprarle un balón de baloncesto, una camiseta deportiva y unos patines. El precio del balón es 47 €, pero ahora tiene un 10 % de descuento. La camiseta vale 22 € y los patines 52 €. Las dos cosas tienen un descuento de 15 %. Además en la tienda hacen un 20 % de descuento a los menores de 18 años. Preguntas:

a) ¿Qué tipo de pierna de cordero compraremos: pequeña, mediana o grande?

b) ¿Cuánto nos costará con la oferta del día?

c) ¿Qué porcentaje de descuento supone?

d) Si la oferta del día hubiese sido: “lleve dos kg y page el segundo a la mitad”. ¿Por cuál te hubieras decidido?

e) El tiempo de cocción del cordero es de 15 minutos cada medio kg. Si queremos tener el cordero listo a las 14:00 horas. ¿A qué hora debemos empezar a cocinar?

f) ¿Cuánto costarán los regalos, aplicándoles solo el descuento de las rebajas?

g) Ellos se preguntan que será mejor aplicar primero el descuento de las rebajas y luego el de menores de 18 años o al revés. Calcúlalo y razona la respuesta.

Repasa Proporcionalidad y Problemas Aritméticos

1. Calcula los siguientes porcentajes: a) 28 % de 325= b) 80 % de 37=

c)3% de 18= d) 15 % de 500=



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2. En una papelería hacen una rebaja del 30 % en todos los artículos. ¿Cuál será el precio que hemos de pagar por una cartera de 24 € y una calculadora de 18 €?

3. Si el precio de un abono transporte de una ciudad subió un 12 %, ¿Cuál era el

precio anterior si ahora cuesta 35 €?

4. He pagado 185 € por un billete de avión que costaba 240 €. ¿Qué porcentaje de descuento me hicieron?

5. De los 524 alumnos de Bachillerato de un colegio, el 12 % repiten curso, el 15

% pasan con alguna materia pendiente. ¿Cuántos alumnos pasan con todas las materias aprobadas?

6. Entre Julio y Agosto de un cierto año, el número de infracciones graves que

denunció la Dirección General de Tráfico fueros 8100, de las que 7200 correspondieron a hombres. ¿Qué porcentaje de denuncias correspondieron a mujeres?

7. La información nutricional de una marca de leche dice que en un litro hay 160

mg de calcio, que es el 20 % de la cantidad diaria recomendada. Calcula la cantidad diaria de calcio que debe tomar una persona.

8. Los 1600 € de alquiler de un terreno se reparten entre tres ganaderos que

llevan allí a pastar sus ovejas. Como no tienen el mismo número de ovejas, deciden pagar proporcionalmente al número de ovejas de cada uno. Si el primero tiene 120 ovejas, el segundo 72 ovejas y el tercero 68 ovejas.

¿Cuánto debe pagar cada uno?

9. Tres clases de la ESO alquilan un autobús de 50 plazas para una excursión. De 1ºA van 16 alumnos, de 1ºB van 14 alumnos y de 1ºC van 20 alumnos. ¿Cuánto tiene que pagar cada clase?

10. Se mezclan 7 Kg de café natural de 8€/kg, con 3 Kg de café torrefacto a 7 €/kg.

¿Cuál es el precio de la mezcla?

11. El consumo de 10 bombillas iguales, encendidas durante 4h diarias, es de 16 Kw en 15 días. ¿Cuánto consumirán 3 bombillas encendidas 2h diarias durante 30 días?

12. Tres máquinas precintas 12 botellas en 5 segundos. ¿Cuántas botellas

precintarán 5 máquinas en un minuto?

13. Se mezclan 400 litros de vino de 4 €/l con 100 litros de vino de 6 €/l. ¿Cuál será el precio de la mezcla?

14. De las 15 preguntas de un examen, Juan no sabe responder al 20 %, así que

responde el resto. ¿Cuántas preguntas responde?

15. Un tonel lleno de vino pesa 65 kg. Si el peso del recipiente representa un 4 % del peso total, calcula el peso del vino.



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Tema 5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Lee y Reflexiona

Un agricultor planta manzanos en un terreno cuadrado. Con objeto de proteger los manzanos del viento planta coníferas alrededor de la totalidad del huerto. Aquí ves un esquema de esta situación donde se puede apreciar la colocación de los manzanos y de las coníferas para cualquier número (n) de filas de manzanos:

1. Completa la tabla

Filas de manzanos (n) Número de manzanos Número de coníferas 1 1 8 2 4 3 4 5

2. Se pueden utilizar dos fórmulas para calcular el número de manzanos y el de

coníferas dentro del planteamiento descrito anteriormente: a) Obtén la expresión algebraica que relaciona número de manzanos con el

número de filas de manzanos. b) Obtén la expresión algebraica que relaciona el número de coníferas con el

número de filas de manzanos. c) Halla este valor de n para el cual el número de manzanos coincide con el de

coníferas. Ayuda: Ayudándote de la tabla y llama n es el número de filas de manzanos

3. Supongamos que el agricultor quiere plantar un huerto mucho mayor, con

muchas filas de árboles. A medida que el agricultor vaya haciendo mayor el tamaño del huerto. ¿Qué aumentará más rápidamente: el número de manzanos o el de coníferas?



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Repasa Expresiones Algebraicas

1. Expresa algebraicamente los siguientes enunciados verbales:

El cubo de un número cualquiera. El doble de un número aumentado en 4. El triple de un número disminuido en 5. El cuádruplo del exceso de un número sobre 8. El exceso del cuádruplo de un número sobre 8. El doble del cubo de un número. El cubo del cuádruplo de un número. El cubo de la diferencia entre dos números cualesquiera. El triple del cuadrado de la diferencia entre un número y 13.

2. Pasa del lenguaje algebraico al verbal:

2x ; x + 3; 2x + 5; 2x3 ; x - 3y

3. Sean los polinomios:

A(x) = 6x5 - 4x4 - 4x3 - 2x2 + 3x + 8

B(x) = 5x5 + 4x4 - 3x3 - 2x2 + 5x - 8

C(x) = - 8x6 + 4x5 + 3x4 - 3x3 + 4

Hallar:

a. A(x) + B(x) b. A(x) - C(x) c. A(x) - B(x) + C(x)

d. A(x) + B(x) - C(x) e. A(x) - B(x) - C(x) f. A(x) + B(x) - C(x)

4. Sean los polinomios:

A(x) = 3/5 x5 - 1/6 x4 + 2x3 + 1/3 x + 8

B(x) = 2/3 x4 + 1/5 x3 - 3/5 x2 + 1/4 x - 2/3

C(x) = 1/4 x5 - 3x3 - 1/2 x2 - 3/4 x + 1/2

Hallar:

a. A(x) + B(x) + C(x) b. A(x) - B(x) + C(x) c. A(x) - B(x) - C(x)

d. 2A(x) + 3B(x) - 2C(x) e. 3A(x) - 2B(x) + C(x) f. 4A(x) - B(x) + 2C(x)

5. Efectúa las siguientes multiplicaciones de polinomios:

Sean los polinomios:

A(x) = x7 - 2/3 x6 + 1/4 x5 + 2/3 x4 - 2/3 x2 + 5x - 1/4

B(x) = x2 - 2x - 3

C(x) = x2 + 1/2 x - 5/3

D(x) = 1/3 x3 - 1/2 x2 + 2/5 x - 4



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Hallar:

1.- [A(x)] [B(x)]

2.- [A(x)] [C(x)]

3.- [A(x)] [D(x)]

4.- [A(x)] [B(x) + C(x)]

5.- [A(x)] [B(x) - C(x) + D(x)]

6. Efectúa las siguientes divisiones de polinomios:

Sean los polinomios:

A(x) = 4x5 - 3x4 + 2x3 - 5x

B(x) = -2x

C(x) = -5x

Hallar:

1.- [A(x)] / [B(x)] 2.- [A(x)] / [B(x) - C(x)]

7. Realiza los siguientes productos notables.

a) (x + 4)2 b) (x + 3) (x – 3) c) (y – 9)2 d) (3 + xy)2

e) (x2 – 2)2 f) (4x3 – 5) (4x3 + 5) g) (2y – 7) (2y + 7)

h) 2

3

1

+y

i)

−

−2

3

5

2

2

1

5

2 22 xx

j) ( )( )5,05,35,05,3 −− xx

8. Expresa como un producto de tantos factores como sea posible:

a) 3b – 6x = b) 5x – 5 =

c) 20u2 – 55u = d) 16x – 12 =

e) 6x –12y + 18= f) 15x + 20y – 30=



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g) 14c – 21d – 30= h) 152x2yz – 114xyz2=

i) 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 = j) 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx=

k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq = l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =

m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by= n) 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =

ñ) 10abx2 + 4ab2x2 – 40aby2 – 16ab2y2 = o) 4g2 + 2gh =

p) 25a – 30ab + 15ab2 = q) m2 – 64 =

r) 144y2 – 256 = s) 144 – 9x2=

v) 25x6 – 4y4 = w) ap + aq + bm + bn=

x) xy – x + 3z – 6 = y) x2 + xy + xz + yz=

z) 15 + 5x + 3b + xb = z’) ab + a – b – 1 =



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Tema 6 ECUACIONES y SISTEMAS Lee y Reflexiona Se está construyendo un pabellón deportivo con forma ortoédrica (o de caja de zapatos) en mi barrio. Se quiere conocer una serie de gastos a los que habrá de hacer frente, en función de las dimensiones del recinto deportivo.

Los costes previstos son:

• Suelo de tarima: 30 € el metro cuadrado. • Mantenimiento del suelo: 15 € el metro cuadrado. • Una lámpara de 2 metros cuadrados: cada lámpara 80 €. • Climatizador: 3 € por metro cúbico

Escribe la expresión algebraica que permitirá calcular dichos gastos

1) Lee el problema y nombra las incógnitas. Si la expresión algebraica va a estar en dimensiones del recinto, ¿cuáles deberían ser las incógnitas?

2) Organiza los datos y realiza los cálculos por partes:

-¿Cuál es el coste de instalación del suelo de la tarima?

-¿Cuál es el coste del mantenimiento del suelo?

-¿Cuál es el coste de la instalación de la iluminación?

-¿Cuál es el volumen del pabellón?¿Cuál es el coste del climatizador?

3) Reúne todos los datos y responde a la pregunta del problema

Repasa Ecuaciones 1. Marina, Elena y Marcos están haciendo una ruta de 27 km andando entre dos pueblos. Por la información que les han dado, saben que sólo van a encontrar dos fuentes en todo el camino. Al llegar a la primera fuente, se encuentran con un pastor al que le preguntan a qué distancia está la siguiente fuente. El pastor, que no entiende mucho de números pero sí del tiempo que se tarde en llegar de un sitio a otro les dice:

-Mirad, chicos, yo no sé qué distancia habrá, lo que si os digo es que, andando al mismo paso, de aquí a la siguiente fuente se tarde el doble delo que se tarde en llegar a esta fuente desde donde venís. Además en la siguiente fuente conviene que os refresquéis bien, pues desde allí al pueblo al que vais hay un buen trecho, se tarde el triple del tiempo que lleva ir de una fuente a otra.

La verdad es que ninguno de los muchachos se había fijado en cuánto tiempo habían empleado en llegar a la primera fuente, pero no tardaron mucho en calcular, con los datos que les había dado el pastor, la distancia entre las dos fuentes.

a) Piensa y marca la respuesta correcta. ¿Qué significa que <<andando al mismo paso>> se tarda en ir de un punto A a otro B el doble que de B a C?

a. Que hay la misma distancia de A a B que de B a C. b. Que hay el doble de distancia de A a B que de B a C.



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c. Que hay el doble de distancia de B a C que de A a B. b) Completa según la información que da el pastor: La distancia entre las dos fuentes tiene que ser________________de la distancia que hay entre el primer pueblo y la primera fuente.

La distancia de la segunda fuente al pueblo de destino tiene que ser _____________ de la distancia entre_________________

c) Haz un dibujo, situando en él los dos pueblos y las dos fuentes. d) Llama x a la distancia entre el pueblo de partida y la primera fuente y

completa: a. Distancia entre el primer pueblo y la fuente:_______________ b. Distancia entre las dos fuentes:_________________________ c. Distancia entre la segunda fuente y el pueblo de destino_____ d. Observa el dibujo y plantea una ecuación sabiendo que la suma de

los tres tramos tiene que ser ___________. Resuelve la ecuación planteada y calcula después la distancia entre las dos fuentes.

e) Comprueba que el resultado que has obtenido es correcto. Para ello, verifica que cumple:

Si la distancia entre las dos fuentes es de ___________km, la distancia del primer pueblo a la primera fuente es de _______km y la distancia de la segunda fuente al pueblo de destino es de ___________km. En ese caso, el recorrido total tiene____________km.

2. José tiene 30 años menos que su padre y 27 más que su hijo. Entre los tres suman 135 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

3. Marta tiene hoy 35 años, 20 años más que su hija, ¿Cuántos años han de transcurrir para que Marta le doble la edad a su hija?

4. Marta está poniendo sus libros en una estantería. Le faltan 7 para poner 12 en

cada estante; sin embargo, si pone 10 en cada estante le quedan 5 libros sin poner. ¿Cuántos estantes tiene la estantería?

5. Un coche sale de una ciudad en dirección a otra a 80 km/h. Dos horas más

tarde sale en su persecución otro coche a 100 km/h. Si las dos ciudades distan 750 km, ¿conseguirá el segundo coche dar alcance al primero antes de que llegue al destino?

6. El gavilán se encuentra con una bandada de palomas y le pregunta:

-¿Adónde vais, 100 palomas?

-No somos 100, gavilán-responde una de ellas.

-¿Cuántas sois, pues?

- Las que somos y tantas como las que somos y la mitad de las que somos y la mitad de la mitad de las que somos y contigo, gavilán , seríamos cien- contesta otra de las palomas.

Y mientras el gavilán se devana los sesos, intentando calcular el número de palomas de la bandada, éstas se alejan volando por si acaso.



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Antes de resolver el problema, aproxímate al resultando contestando a las siguientes preguntas.

a) ¿Cómo tiene que ser el número de palomas? i. Superior a 100 ii. Entre 50 y 100 iii. Menor que 50

b) ¿Puede ser impar el número de palomas? Razona la respuesta. c) Teniendo en cuenta que <<la mitad de la mitad de las que son>> tiene que ser

un número entero de palomas, ¿por qué número tiene que ser divisible el número el número de palomas?

d) Traduce al lenguaje algebraico lo que dice la segunda paloma: Las que somos lo llamaremos __________, tantas como las que somos lo llamaremos ____________, la mitad de las que somos lo llamaremos_____, la mitad de la mitad de las que somos lo llamaremos_________y como con el gavilán suman 100, se plantea la siguiente ecuación_________. Resuélvela.

8. Averigua dos números consecutivos tales que la mitad y la quinta parte del primero sumen lo mismo que el tercio y la cuarta parte del segundo.

9. El producto de dos números que distan entre sí 3 es 180. Averigua cuáles son los dos números.

10. Calcula las dimensiones de una parcela rectangular de 750 m2, sabiendo que

es 5 m más larga que ancha.

11. Al aumentar en 4 cm de lado de un cuadrado, su área aumenta 56 cm2. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado inicial?

12. Lee y reflexiona: Un ciclista que acude a una cita avanza tranquilamente a 10 km/h. <<He de ir más de prisa>> piensa de pronto, <<pues a esta velocidad llegaría con una hora de retraso>>.

Se pone a pedalear con más energía, hasta que el velocímetro marca 15 km/.

<<Vaya ahora llegaré con una hora de adelanto>>, piensa el ciclista.

a) Antes de empezar a resolver el problema, tienes que tener muy clara la respuesta a la siguiente pregunta ¿con qué diferencia de tiempo llega el ciclista yendo a 10 km/h y yendo a 15 km/h?

b) Simboliza correctamente todas las variables Si llamas t al tiempo que tarda el ciclista en llegar al destino de 10 km/h ¿Cómo llamarías al tiempo que tarda yendo a 15 km/h? i. t ii. t+2 iii. t-2 iv. 2t c) Si llamas d a la distancia que tiene que recorrer el ciclista para llegar a su

destino yendo a 10 km/h, ¿cómo llamarás a la distancia que tiene que recorrer para llegar al destino a 15 km/h?

i. d+15 ii. d iii. d-5 iv. d+5

d) Elige una expresión que permite calcular la distancia que recorre un cuerpo a una determinada velocidad.

i. tiempo

velocidadciadis =tan



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ii.velocidad

tiempociadis =tan

iii. tiempovelocidadciadis ·tan =

e) Ahora completa Si el ciclista va a 10km/h, la distancia recorrida en un tiempo t se expresa:____

Si va a 15 km/h la distancia recorrida en un tiempo t-2 se expresa:________

f) Ahora contesta, ¿A qué velocidad debe ir el ciclista si quiere llegar a su destino exactamente a la hora convenida?

13. Resuelve las siguientes ecuaciones:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1. 4 1 7 11. 7 2 2 1 6

2. 2 5 12 12. 2 8 9 7 2 2

3. 4 3 4 13. 10 15 2 10 5 11

4. 5 3 3 14. 3 1 6 2 4

5. 11 5 4 15. 3 1 4 5 7

6. 0 21 7 16. 2 2 1 5 4 3 1

7. 13 5 6 9 17. 5 2 3 8 14 3 4 5

8. 6 3 4 18.

x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x

− = + = + +

− = + − = + −

− = − + = + −

+ = − − = +

= + − − = − +

= − − − + = − +

− − = − − = − +

− = − ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

3 2 5 2 1 2 3 4 10 0

9. 2 5 1 3 6 19. 5 2 3 4 25 3 5 1

10. 1 8 5 11 3 20. 3 4 1 2 5 3 11 2

x x x

x x x x x x

x x x x x

− − − − + + =

− + = + − − − = − +

− + = − − − − = −

14. Suprime los denominadores y resuelve:

2 7 2 11. 7.

3 3 3 2 5 5 2

5 1 4 52. 6 3 8. 2

2 2 3 9 3

3 9 1 2 13. 1 2 9.

5 5 6 3 2

114. 3 10.

2 4 2 3 5 6

3 1 45. 2 1 11.

3 5 4 10 5 2

4 2 1 16. 1 12.

5 3 2 4 6 2 3

x x x

x x x xx

x xx x

x x x x x

x x x x xx

x x x xx

− = − = −

+ = + − = +

− = + + = −

+ = − + =

− = − − + = −

− = − − + = −



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15. Resuelve estas ecuaciones:

( ) ( )

( ) ( )

2 1 51. 3 1 4 1 4. 3 2

3 2 4 2

12. 2 1 3 2 5. 3 1 5 3

2 2 2

1 13. 2 1 3 1 6. 4 2 1 9

2 3 3

xx x x

x xx x x

xx x x

− + = − + =

− − = + − = −

− = − + + = −

16. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

17. Resuelve :



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Repasa Sistemas

Resuelve los sistemas de ecuaciones por los tres métodos:

a.

−=−−

=+

5yx3

8y3x2 f.

=+

−=−

8y2x

6y4x3

b.

−=−−

=−

5yx3

69y3x11 g.

=−

=+

15y3x4

7y2x3

c.

=+

=−

38y5x

12y2x3 h.

=−

=+

4z6x5

80z4x7

d.

=+

=−

11x3y3

25y5x2 i.

=++

=−

01y5x6

y312x4

e.

=+−

=+

04000y2000x2000

66y12x6 j.

−=−

+=+

4y44x6

)3y2(2)4x(3



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Tema 7 FUNCIONES Lee y Reflexiona Este gráfico muestra cómo varía la velocidad de un coche de carreras a lo largo de una pista llana de 3 kilómetros durante su segunda vuelta.

a. ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de salida hasta el comienzo

del tramo recto más largo que hay en la pista?

b. ¿Dónde alcanzó el coche la velocidad más baja durante la segunda vuelta?

c. ¿Qué se puede decir sobre la velocidad del coche entre el kilómetro 2’6 y el 2’8?

Repasa Funciones

1. Representa en los ejes de coordenadas cartesianas los siguientes puntos:

A = (2, 2) ; B = (-5, -2) ; C = (1, 2) ; D=

5 ,

2

3 ; E = (-3, 6) ; F = (8, -6)

2. Representa en unos ejes cartesianos los puntos A = (2, 3), B = (0, 1) y C = (2, -1). Halla las coordenadas de otro punto que, junto con ellos, forme los vértices de un cuadrado.

3. Si en una cafetería hemos pagado 15 € por 6 cafés:

a. Haz una tabla de valores donde figuren el número de cafés y el precio. b. Señala cuál es cada variable.

4. Dada la función que asocia a cada número su mitad más 2 unidades:

a. Construye una tabla de valores. b. Encuentra su expresión algebraica. c. Halla f(-5) y f(4).

5. En cada apartado se describe la relación entre dos magnitudes. Expresa esta

relación mediante una expresión algebraica definiendo previamente, las variables x e y. a. El precio del kilo de café es 12’40 €.



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b. El precio de los artículos de una tienda está rebajado en un 30%. c. El valor de un coche se deprecia un 10% cada año. d. La distancia recorrida por un ciclista que circula a 20 km/h.

6. Esta tabla muestra las temperaturas de una localidad a lo largo de un día.

Horas 2 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 ºC -9 -6 -3 3 8 9 7 4 -3 -3 -5

a. Identifica las variables. b. Representa la gráfica. c. Halla los máximos relativos. d. Halla los mínimos relativos. e. ¿Es una función continua? f. ¿Durante cuántas horas la temperatura ha superado los 0 ºC? g. ¿A qué hora se midió la temperatura mínima? ¿Y la máxima? h. ¿A qué horas la temperatura fue de 0 ºC?

7. Determina la función de proporcionalidad directa que cumple f(3) = 1.

8. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a. y = -3x

b. y = 2

1x

c. y = x

6

d. y = -x

1

9. Dada la función y = -x

5:

a. ¿Para qué valores es decreciente la función? b. ¿Tienen máximos o mínimos? c. Haz una tabla de valores, dando valores a x de -1 a 0 y de 0 a 1, y tomando

valores cada vez más cercanos a 0. ¿A qué valores se acerca la función?

10. Los alumnos de 2º ESO quieren ir de viaje de estudios. Para obtener fondos acuerdan vender polvorones. Deciden comprar 360 cajas que venderán entre todos los que vayan de viaje. a. Haz una tabla que relacione el número de alumnos que van a viajar con el

número de cajas que ha de vender cada uno. b. Escribe su expresión algebraica y representa la función. c. Comprueba que el producto del número de alumnos por el de cajas es

constante. ¿Qué significado tiene?



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Tema 8 SEMEJANZA Lee y Reflexiona Tomás está en el patio del colegio, intentando, sin éxito, trepar a un alto poste de madera. - ¿Qué haces? – le pregunta su amiga Lucía. - La “profe de Mates” me ha pedido que calcule la altura de este poste y me ha dado una cinta métrica. Si no llego hasta arriba, no puedo medirlo. - Pero, hombre, ¿por qué no mides su sombra? - Porque la profesora quiere la medida del poste, no de su sombra. - Vamos a ver, Tomás, ¿tú sabes cuánto mides? - Naturalmente, mido 1,50 m. - Pues bien, si haces coincidir tu sombra con la del poste y mides las dos, puedes calcular la altura del poste. - ¿Ah, sí? Pues seguro que es más sencillo medir las sombras. ¿Me ayudas? Y resultó que la sombra de Tomás medía 1,2 m, mientras que la del poste medía 2,8 m. El siguiente dibujo te ayudará a comprender mejor el problema y a resolverlo. Obsérvalo atentamente y contesta. A a) ¿Qué segmento representa el poste? b) ¿Qué segmento representa a Tomás? B c) ¿Qué segmento representa la sombra del poste? d) ¿Qué segmento representa la sombra de Tomás? e) ¿Qué segmento representa un rayo de sol? O N M f) ¿Qué medidas conoces? Apúntalas aquí y sobre el dibujo anterior. g) ¿Son semejantes los triángulos AON y BMN? Explica detalladamente tu respuesta. h) Teniendo en cuenta que los triángulos AON y BMN son semejantes, completa la siguiente proporción:

&'()*+ ,- ./0á1

2/03*+ ,- ./0á1 � &'()*+ ,-' 4/1(- � 56 �

i) De la proporción anterior conoces tres términos y falta uno. Con esa proporción ya se puede calcular la altura del poste, y sin tener que subirse a él, Calcúlala. Repasa Semejanza

1. Lee con atención y observa atentamente la figura. Este es el plano de un apartamento. Está hecho a escala 1:100. Quiere decir que las longitudes en la realidad son 100 veces las del plano. Es decir, 1 cm en el plano corresponde a 1m en la realidad. La estancia superior izquierda es el salón y la superior derecha es el dormitorio 2. Debajo del dormitorio 2 se encuentra el dormitorio 1. El baño se encuentra entre el dormitorio 1 y la cocina.

¿Cómo puede calcular Tomás la altura del poste conociendo las medidas de las sombras?



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a) Escribe el nombre de cada estancia en el plano. b) Averigua las dimensiones reales del apartamento completo y de todas sus estancias siguiendo las indicaciones completando la siguiente tabla:

Medida del largo en el plano(cm)

Medida del largo en la realidad(m)

Medida del ancho en el plano(cm)

Medida del ancho en la realidad(m)

Superficie(m2)= largo x ancho

APARTAMENTO COMPLETO

DORMITORIO 1 DORMITORIO 2 BAÑO SALÓN COCINA

2. Un observador, cuya altura desde sus ojos al suelo es 1,65 m, ve reflejada en un espejo la parte más alta de un edificio. El espejo se encuentra a 2,06 m de sus pies y a 5 m del edificio. Halla la altura del edificio.

x 1,65 m 5,00 m 2,06 m



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3. Hal lar las medidas de los segmentos a y b.

4. Sabemos que una maqueta de la Torre Eiffel mide 15 cm de altura y que la

altura real de este monumento es 300 m, calcula: a) La escala a la que está hecha la maqueta. b) ¿A qué altura estará en la maqueta la segunda planta que, en la realidad, se encuentra a 114 m del suelo?

5. Divide un segmento de 11 cm de longitud en tres partes de modo que cada una sea el triple de la anterior.

6. Completa la siguiente tabla, donde se incluyen las medidas en centímetros de

los lados correspondientes de dos hexágonos irregulares semejantes.

Hexágono Lado a Lado b Lado c Lado d Lado e Lado f A 4 7 6 8 B 14 24,5 35 10,5

7. Construye una figura semejante a la dada con una razón de semejanza igual a 3.

8. Carmen tiene sujeta su cometa con el carrete totalmente extendido. Calcula la altura a la que está la cometa si el carrete mide 25 metros y la vertical de la cometa se ha alejado de Carmen 7 metros.

9. Averigua qué distancias separan el la realidad en línea recta los tres puntos del siguiente plano que está a escala 1:400.000

*B

*C

* A

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