Bloque 2. Álgebra. Actividades para...

3º ESO. Actividades de recuperación del Bloque 2 Página - 1 -

Bloque 2. Álgebra. Actividades para recuperación

1.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:a) El triple de un número.b) El triple de un número más cinco unidades.c) La mitad de un número.d) Los tres quintos de un número menos uno.e) Un número más su mitad.

2.- Indica el grado, el coeficiente y la parte literal de los siguientes monomios y escribedos monomios semejantes a cada uno de ellos:

a) 2 37x y b) 11xyz c) 2 43 xyz d) 2 5 24

3a b c

3.- Identifica las indeterminadas y el grado de los siguientes polinomios:a) - 4 + 9x2 + xb) 3mn2 – 5m + 1c) 5x – 3x + 4x + 7x – 11x + xd) 7x3 – y3 – 11x3 + 2y3 – 3x2y3

e) 3x2y + 2xy – 2x2y + xy + yx2 + 3xy - x

4.- Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores de lasvariables indicados entre corchetes.

a) 3 23 2 3 2ab cd a b c d [a = 4; b=-3; c = 2; d = -4]

b) 2

1 2

9 3

x x

x x x

[x = 3]; [ x =

1

5]; [ x = 0,3 ]

c) 3 2 4x x [x = a +1]; [x = - a2]

5.- Dados los polinomios:

a) x2 – 5x + 7 b) 2x4 + x + 1c) – x + x3 – 2x2 + 1 d) x + x2 – x3 + 5x4

1) Indica el grado y sus coeficientes.2) Hallar: p(-2); p(-1); P(0); p(1/2), p(-1/3)

Polinomios: Suma y Diferencia.Ejemplos resueltos:

® Simplifica:a) 2 5 3 2x y x y b) 3 2 7x y x y

c) 2 3 8 3x x x


Soluciones:a) 2 5 3 2x y x y Podemos resolverlo de dos formas: en horizontal o en vertical. En el primer caso, seprocede quitando los paréntesis: 2 5 3 2x y x y A continuación, se agrupan los términos semejantes:

2 5 3 2 2 3 5 2x y x y x x y y

Se reducen los términos semejantes: 2 5 53 32x x y xy y El procedimiento en vertical consiste en colocar un polinomio encima del otro de formaque en cada columna estén colocados los términos que sean semejantes:

2

5 3

2 5

3

x y

x y

x y

A continuación se suman los términos de cada columna y se obtiene el polinomiosimplificado.

b) 3 2 7x y x y La diferencia de polinomios equivale a sumar al primero el opuesto del segundo:

3 2 7 3 2 7x y x y x y x y Por lo tanto, a partir de aquí, se pueden utilizar los mismos procedimientos que en a)En horizontal: 3 2 7 3 2 7x y x y x y x y

3 2 7 2 3 7x y x y x x y y

2 3 47x x y y x y En vertical:

4

3

2 7

x y

x

x y

y

c) 2 3 8 3x x x

Se quitan los paréntesis comenzando por los más interiores:

2 3 8 3 2 3 8 3x x x x x x

2 3 11 2 6 22x x x x x x 2 6 2 3 222x xx x

® Realiza las operaciones que se indican:

a) 3 2 3 23 3 4 5 2 4x x x x x x

b) 2 2 27 4 2 3 2 3 5x x x x x x

Soluciones:

a) 3 2 3 23 3 4 5 2 4x x x x x x


En horizontal

3 2 3 2 3 2 3 23 3 4 5 2 4 3 3 4 5 2 4x x x x x x x x x x x x

3 2 3 2 3 3 2 23 3 4 5 2 4 3 3 2 4 5 4x x x x x x x x x x x x

2 33 2 23 2 53 3 2 4 5 4 5 9x x x xx x xx x

En vertical:3 2

3 2

3 2

3 3 4 5

2 4

2 5 5 9x x x

x x x

x x x

b) 2 2 27 4 2 3 2 3 5x x x x x x

En horizontal: 2 2 27 4 2 3 2 3 5x x x x x x =2 2 27 4 2 3 2 3 5x x x x x x

2 22 27 2 2 3 4 3 45 4 4x x x x x x x x

En vertical:

2

2

2

2

4 4

7 4

2 3

2 3 5

4

x

x

x

x

x

x

x

x

Ejercicios propuestos

6.- Reducir los términos semejantes

a) -2ab + 3ab +4ab -7ab +10ab b) 4(a + b) -2(a + b) + a + b

c) 2 2 2 23 2 7 4

2 5 3 15xy xy xy xy d)

316,3 23,2 0,37

4a a a a

e) 2 2 2 2 2 22 2x xy y x xy y x xy y

f) 2 2 2 2 2 22 3 2 8 14 3

5 2 5 3 2x y z y z x

7.- Suprimir paréntesis y agrupar los términos semejantes:a) 2 1 3x x x

b) 20 10 6 3 5 3x x x x x

c) 25 13 11 15 3x x x x


8.- Simplifica

a) 3 2 3 2

3 2

5 2 3 6 2 2

( . 2 3 2 8)

x x x x x x x

Sol x x x

b) 2 2 2

2

7 4 2 3 2 3 5

( . 6 2)

x x x x x x

Sol x

c) 3 2 3 2

3 2

3 5 4 3 8 5 6

( . 2 11 10 10)

x x x x x x

Sol x x x

d) 3 2 3

3 2

6 2 8 4 11 10

( . 2 2 19 10)

x x x x x

Sol x x x

e)2 2

2

2 3 4 9

( . : 4 5)

x x x x

Sol x x

f) 3 2 3

3 2

10 14 3 4 4 6

( . 6 10 7 6)

x x x x x

Sol x x x

g) 2

2

25 3

( . 22)

x x

Sol x x

h)

3

6 8 2 12 7 4 5

( . 6 4 6)

x x x x

Sol x x

i) 4 3 3 2 2 7 4 5

( . 3 9 2)

y x y x y x

Sol x y

9.- Dado el polinomio 4 2 2 4( ) 4 3 1 3 3p x x x x x x x , se pide:a) Reducir y ordenar el polinomio p(x).

b) Calcular su valor numérico para x = -2 y para1

2x .

c) Indicar cuál es su grado y su término independiente.

10.- Calcula y simplifica:

a) 3 2 3 23 3 4 5 2 4x x x x x x

b) 2 2 27 4 2 3 2 3 5x x x x x x

c) 6 8 2 12 7 4 5x x x x


d) 4 3 3 2 2 7 4 5y x y x y x

e) 3 [2 4 6 4 ] 2 3 3x x y x y x y

f) 20 10 6 3 5 3x x x x x

g) 25 13 11 15 3x x x x

h) 3 3 23 5 7 2 6 11 4x x x x x i) 3 2 3 5

8 34 2

x x

j) 2 33 2 3x x x x k) 3 3 23 5 7 2 6 11 4x x x x x

l) 3 4 1

107 3

x y y m)

22 31

3 6 6 11 312 3

xx x x x

Multiplicación de polinomios. Ejemplos resueltos:

a) 2 35 2x x

b) 23 4 4 7x x x

c) 24 4 7 3x x x

a) 2 35 2x x

Para multiplicar monomios procedemos multiplicando los coeficientes (parte numérica)y, luego, la parte literal.

2 3 2 3 2 535 2 5 2 10 10x x x x x x

b) 23 4 4 7x x x

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada unode los términos del polinomio.

2 23 4 4 7 3 4 3 4 3 7x x x x x x x x

3 223 4 3 4 3 7 12 12 21x x x x x x x x

c) 24 4 7 3x x x

Podemos hacer la operación de dos formas

1ª.- 2 2 24 4 7 3 4 4 7 4 4 7 3x x x x x x x x

2 2 3 2 24 4 7 4 4 7 3 4 4 7 12 12 21x x x x x x x x x x

2 23 2 34 4 7 12 12 4 8 19 2121x x x x x x x x


2ª.- En vertical

4x2 -4x -7x +3

12x2 -12x -214x3 -4x2 -7x4x3 + 8x2 -19x -21


11.- Efectuar las operaciones indicadas y simplificar el resultado

a)

3 2

4 3 2

3 4 17 2

. 5 10 9 34

x x x x

Sol x x x x

b)

2 2

4 3 2

3 9 5 2 4 7

. 6 6 47 83 35

x x x x

Sol x x x x

c)

3 2 3

6 5 4 3 2

2 4 2 1

. 2 4 11 2 4 4

x x x x

Sol x x x x x x

Ejercicios resueltos

(1) Dados 2 3( ) 3 1, ( ) 2 ( ) 6p x x q x x y r x x , calcula:a) p(x)·q(x) - r(x)b) [p(x)]2

Solucióna) 3 2( ) ( ) 3 6 2p x q x x x x

3 2 3( ) ( ) ( ) 3 6 2 6p x q x r x x x x x Reduciendo términos semejantes y ordenando el polinomio:

3 2( ) ( ) ( ) 2 6 4p x q x r x x x x

b) 2 2 2 2 23 1 3 2 3 1 1 9 6 1p x x x x x x

(2) Averigua el valor numérico del polinomio p(x)= x3 - 3x2 + 2x - 5 para x=0 y x=-1

Solución(0) 5p


12.- Calcula las siguientes potencias de monomios:


a) (3a3b4c)3 = b) ( -5p5q2)4 = c) ( -2x2y3z)4

d) 332 23x y e) 2242 32x y z

13.- Efectúa y simplifica:

a) 3x2 · 5x + 2x (-3x2) b) 23 2

5 3x x

c)3 4

2

6

3

x x

x x

d) 2 2 23 9 5 2 4 7 2 6 4 3 5x x x x x x x

e) 3 2 3 2 23 4 17 2 2 4 2 1x x x x x x x x

f) 2

2 313 6 6 11 31

2 3

xx x x x

g) 2 223 3x x x

h) 223 2 5 3 19x x x

14.- Simplifica:

a) 2 223 3x x x b) 5 4 2 3 5x x

c) 2 23 5 40x x d) 223 2 5 3 19x x x

15.- Sean los polinomios: 3( ) 2 1P x x x y 2( ) 3 2Q x x x . Calcular, dando el

resultado en forma de polinomio ordenado y reducido, las siguientes expresiones:a) 2 P(x) +3Q(x) b) P(x) · Q(x) c) [P(x) + Q(x)] · P(x)

16.- Dados los polinomios p(x) = x3 + x2 – 3x + 1, q(x) = x3 –3, r(x) = 5x – 1. Calcula:

a) p(x) – q(x) b) p(x) + 2q(x) – 3r(x) c) 5r(x) – 7p(x)d) p(x) · r(x) e) [p(x) + q(x)] · r(x) f) [p(x) – r(x)] · q(x)

17.- Dados los polinomios p(x) = x4 – x2 – 2x + 1; q(x) = x3 – 2 y r(x) = 5x – 1Calcula:a) p(x) – q(x) b) p(x) + 7q(x) – 2r(x) c) 6r(x) – 7p(x)d) p(x) · q(x) e) p(x) · r(x) f) r(x) · q(x)g) [p(x) + q(x)] · r(x) h) [p(x) – r(x)] · q(x)

18.- Dados los polinomios p(x) = x3 + x2 – 3x + 1, q(x) = x3 –3, r(x) = 5x – 1. Calcula:

a) p(x) – q(x) b) p(x) + 2q(x) – 3r(x)c) 5r(x) – 7p(x) d) p(x) · r(x)

e)1 2

p(x) - q(x)] · r(x)2 3

f)1 1 3

[ p(x) + q(x)] · r(x)2 3 2


19.- Efectúa las siguientes operaciones, utilizando las fórmulas de los productosnotables:

a) (x – 4)2 b) (x + 7)2 c) (x + 5)2 d) (2x + 1)2

20.- Transforma las siguientes expresiones en diferencia de cuadrados:

a) (x + 1)(x – 1) b) (x – 3)(x + 3) c) (2x + 1)(2x – 1)

21.- Busca el valor numérico de cada uno de los términos de la igualdad(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy para los pares de valores:

a) x = 1, y = 1 b) x = 2, y = 1 c) x = -1, y = 0 d) x = -3, y = -1

22.- Utilizando las identidades notables completa los valores desconocidos para quesean ciertas las siguientes igualdades:

a) 2216 24y xy b) 24 3 3x y y

c) 229 6x xy d) 449 3 3a y y

e) 22 11x x f) 2

24 40x x

g) 2

294

yx h)

2 2416

4

xx

i)

2

2 18 81x x x

j) 29

1 1 14

x

Factorización de polinomios

1.- Factorizar las siguientes expresiones:

a) 7x – 7 b) 3x3 + 6x2 – 15x c) xy – 5y – 2x + 10

Ejemplos resueltos:

Factorizar 7x – 7.

El "7" está en los dos términos luego es un factor común que pondremosdelante del paréntesis: 7x – 7 = 7( )

Dividimos el primer sumando por 7 con lo que "7x" dividido por 7 dará"x" y escribimos dentro del paréntesis 7x – 7 = 7(x )

A continuación se divide el Segundo sumando por 7 y se obtiene 1 con locual: 7x – 7 = 7(x – 1)

Factorizar 3x3 + 6x2 – 15x.


El "3" y "x" son factores comunes de los tres términos, se pone 3xdelante del paréntesis: 3x3 + 6x2 – 15x = 3x( )

A continuación, se divide 3x3 por 3x y el resultado x2 se pone dentro delparéntesis

= 3x(x2 ), a continuación se divide 6x2 por 3x y el resultado 2xse pone : = 3x(x2 + 2x ) y, por último, se divide –15x por 3x y elresultado –5 se incluye en el paréntesis quedando:

3x3 + 6x2 – 15x = 3x(x2 + 2x – 5)

Factorizar xy – 5y – 2x + 10.

Como, en un principio, no se ven factores comunes a los cuatro términospodemos agruparlos en la forma:

xy – 5y – 2x + 10

En los dos primeros sumando el factor común es "y":

xy – 5y – 2x + 10 = y(x – 5) – 2x + 10

En los dos últimos sumandos podemos sacar factor común a "–2":

xy – 5y – 2x + 10 = y(x – 5) – 2x + 10 = y(x – 5) – 2(x – 5)

Ahora el factor común será “(x – y)” con lo que nos quedará:

xy – 5y – 2x + 10 = y(x – 5) – 2(x – 5) = (x – 5)(y – 2)

Ejercicios propuestos:

23.- Factorizar las siguientes expresiones:

a) 3x – 12 b) 12y2 – 5y c) 3x3 + 6x2 – 15x

d) x2y3 + xy e) x2 – x f) x(x – 2) + 3(2 – x)

g) 5x +10x2 – 10x3 h) 2x2 + 4x3 i) x5 + x4

24.- Extrae factor común en las siguientes expresiones:

a) 2 2 2a x b x c x b) 2 26 9 3a b a b ab c) 4 3 2 2x x y x y d) 2 2 2 27x x y y x x y y x

e) 52 2

x xx f) 2 1 1

2

xyxy x x



Factorizar, utilizando las identidades notables, las siguientes expresiones:

a) 4x2 – 4x + 1 b) 4x2 – 9 c) 9x4 + 24x2 + 16

Factorizar 4x2 – 4x + 1

Si, tomando como referencia la identidad 2 2 22a b a ab b , escribimos:

2 22 =4x 2x- 4x 1 1 2+ 2 1x , podemos identificar: a = 2x y b = 1, de donde:

2 24x - 4x + 1= 2x-1 y queda el polinomio expresado como producto de factores

Factorizar 4x2 – 9

En este caso tomamos como referencia la identidad 2 2a b a b a b y

escribimos 2 22 29 34x x de donde: 2a x ; 3b y, en consecuencia:

24 2 39 2 3xx x

Factorizar 9x4 + 24x2 + 16

Tomando como referencia la identidad 2 2 22a b a ab b , escribimos

22 2 24 29 24 1 3 2 3 46 4x x x x , de donde identificamos: 23a x y 4b y,

en consecuencia: 4 2 229 24 16 3 4x x x


25.- Factorizar las siguientes expresiones utilizando las identidades notables

a) 4x2 – 9 b) x2 – 10x + 25 c) 4x2 + 4x + 1

d) 49 – 4x2 e) 4x2 + 9 – 12x f) 16y2 – 9x2

g) x4 + 4x2 + 4 h) 3x4 – 24x3 + 48x2 i) 4x3 + 4x2 + x

j) x(x – 1) + x(x + 2) k) 2(x – y) – b(x – y) l) x2 + 4x – x – 4

m) 2 26 9 3a b a b ab n) 2 2 2 27x x y y x x y y x

o) 2 1 12

xyxy x x

26.- Expresa en forma de producto:

a) 2 2 1x x b) 2 4 4x x


c) 2 1

4x x d) 24 9 12x x

27.- Factoriza, cuanto sea posible, las siguientes expresiones:a) 4x4 – 9x2 b) x2 – 2x - 8c) 2x(x + y)2 -2x2(x + y) d) 4x2 – 7x3 – 9x7

e) x3 – 6x2 + 9x f) 9x3 – 16xg) 243x5 – 3x2 h) 3x4 + 48x3 – 24x2

28.- Fijándote en el apartado a) completa los restantes apartados:

a) [(x + y) – 3] [(x + y) + 3] = (x + y)2 – 9b) {(x – 2y) + 4} {(x – 2y) – 4} =c) {5 – (x – y)}{5 + (x – y)} =d) (x + y – 8)(x + y + 8) =

29.- Dado el polinomio 2( ) 3 3 9 1P x x x x se pide:

a) Desarrollar, reducir y ordenar el polinomio P(x).b) Factorizar P(x) y resolver la ecuación P(x) = 0.c) Calcular: P(-1) y P(3).

30.- Dado el polinomio 2( ) 4 5 3 8 22P x x x x x se pide:

a) Desarrollar, reducir y ordenar el polinomio P(x).b) Factorizar P(x).c) Resolver las ecuación P(x) = 0.

31.- Halla un polinomio de segundo grado que cumple las siguientes condiciones:a) El coeficiente del término de 2º grado es 1.b) Se anula para x = 3.a) Su valor numérico para x = 0 es 9.


Ecuaciones de 1º y 2º grado

1.- En la siguiente expresión (x + 3)2 = x2 + 9 + 6x, da a la x los valores 1, 2, -1 y 3. ¿Esuna identidad o es una ecuación?

2.- De las siguientes igualdades, distingue entre las identidades y las ecuaciones:

a) 2(x – 5) = 2x – 10b) 3x – 6 = 2c) 2x + 4 = 5 – xd) x2(x – 3) = x3 – 3x2

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones, comprobando al final la solución obtenida:

a) 12x – 8 = 32 – 5xb) 6(2 – x) – (3 – x) = 7(2x – 3)

4.- Comprueba cuál de los números 1, 2 ó 4 es solución de las siguientes ecuaciones:

a) 3/5(x – 1) – 1/3(x + 1) + 1/2 = 1/6(x – 1) + 2/15b) (1 – x)3 – 4x = -9c) 2 1-x = 1/8

5.- Escribe dos ecuaciones equivalentes en cada uno de los siguientes casos.

a) Que el número 3 sea su solución.b) Que el número –2 sea su solución.c) Que el número –1/2 sea su solución.

6.- Escribe dos ecuaciones equivalentes por adición y otras dos por multiplicación decada uno de los siguientes ejemplos:

a) 3x – 2 = 4x + 8b) 5x – 10 = x – 15c) (1/4)x – 1 = 3/4 – x

7.- Encuentra el error en la resolución de la siguiente ecuación:

3x = x/2 – 53x = x – 102x = -10x = -5

8.- Las ecuaciones32

9 5

F C y 273K C permiten convertir temperaturas dadas

en grados centígrados (C) a grados Farenheit (F) o a grados Kelvin (K) y viceversa.Indicar el valor de 298º K en grados centígrados y en grados Farenheit.



(1) Resolver la siguiente ecuación: 9 2 2 3 1 5 4x x x SoluciónSe quitan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respectoa la suma: 9 18 6 2 5 4x x x Se agrupan los términos en x en el primer miembro y los constantes en el segundo:9 6 5 18 2 4x x x Se reducen los términos semejantes: 8 16x x = 2

(2) Resuelve la ecuación: 3 1 1 12 2 1 1

2 3 3 4x x x

SoluciónMultiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 4)=12: 18(x+2) – 4(2x-1) = 4 – 3(x+1)Quitamos los paréntesis:18x +36 – 8x + 4 = 4 – 3x – 3Agrupamos y resolvemos:13x = - 39 x = - 3.


9.- Resuelve las ecuaciones siguientes:a) 4 2 1 3 3 5 1x x x

b) 9 2 2 3 1 5 4x x x c) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x (x + 3) – (x2 – 1)

d) 12 1 0

3x x

10.- Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores:

a) 1

10 5 6

x x x b) 2 3

1 13 2

x x

c) 3 9 11

9 9

x xx

d) 2 3 3 2 1

4 8 4

x x xx

e) 2 1 54

3 9 9

x x xx

f)

2 13

4 3

x xx

g)1 1 1

1 15 5 10 5

x x x x

h) 4 1 2 1

3 3 6

xx x

i) 2 6 2 1 11

3 6 5 4 3

x x x

j) 4 3 1 5 3 7

3 2 2 3 6

x x xx

k) 3 5 1 7

2 2 3x x x l) 2 70 30 6 2 7

5 80 40 5 5

x x x x

m) 3 1 1 12 2 1 1

2 3 3 4x x x n) 3 5 1 7

2 2 3x x x


11.- Calcula tres números sabiendo que el primero es 20 unidades menor que elsegundo, el tercero es igual a la suma de los dos primeros y entre los tres suman lacantidad de 120.

12- María tiene 5 años más que su hermano Luis y su padre tiene ahora 41 años. Dentrode 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edad tiene cadauno?

13.- Un estanque tiene un grifo de abastecimiento que lo llena en dos horas y undesagüe que lo vacía en tres horas. En encargado de llenar el estanque ha olvidadocerrar el desagüe. ¿Cuánto tardará en llenarse el estanque?

14- En una fracción, el denominador es 4 unidades mayor que el numerador. Siañadimos 24 unidades al numerador, la fracción que resulta es igual a la inversa de lafracción original. ¿Cuál es la fracción?

15.- Una circunferencia tiene un radio que mide 8 cm. ¿Cuánto hemos de aumentar elradio para que la longitud de una nueva circunferencia sea el triple de la longitud de laprimera?

16.- Comprueba si los valores dados a la incógnita son soluciones de la ecuaciónpropuesta en cada caso:

a) 3x2 – 10x + 3 = 0; x = 0, 1

3x b) 2x2 – 3x = x + 2x2; x = 0, x = 5

c) 12 1 0

3x x

; x = 1, 1

3x d) 4(x2 + 9) - x2 + 144 x = 6; x = -6, x = 1

e) 1 10

2 2x x

; 1

2x , 1

2x f) x (x – 2) = x2 + 1; x = 0, x = ½

17.- Inventa una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las que se indican:

a) 2 y -3. b) –2 y 2 c) 1

3y - 1

3d) 1

2y 1

2e) 3

4 (doble)

18.- Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas:a) x2 = 0 b) 3x2 = 0 c) -x2 = 0d) -2x2 = 0 e) x2 – 9 = 0 f) x2 – 1 = 0g) x2 – 16 = 0 h) -x2 + 25 = 0 i) x2 – x = 0j) -x2 + 9x = 0 k) -x2 – 10x = 0 l) 2x2 + 11x = 0m) 2x2 – 2 = 0 n) 4x2 – 1 = 0 o) 3x2 – x = 0p) 2x2 = 3x q) (x + 2)(x – 1) = 0 r) (2x + 1)(4 –3x) = 0

s) 3x (1 – 5x) = 0 t) 2 10

4x u) 25x2 – 1 = 0

19.- Indica, sin resolverlas, cuántas soluciones tienen cada una de las siguientesecuaciones. Resuélvelas cuando sea posible y factoriza el trinomio de 2º grado:

a) x2 + 7x + 12 = 0 b) x2 – 7x – 18 = 0c) x2 + 2x – 15 = 0 d) 2x2 + 11x + 5 = 0e) 2x2 – 3x – 2 = 0 f) 3x2 + 8x – 6 = 0


g) 10x2 – x – 3 = 0 h) 5x2 – 7x + 2 = 0

20.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 25x (x+1) = -4 b) 2x (x+3) = 3 (x-1)c) (2x-3)2 = 8x d) 2x (3x – 4) – (1 – 3x) (1 + x) = -2

e)2 22 3 1

5 2 10

x x x x f) 3

1 5 12 2

xx

g) 4x2 + x – 2 = 2x – 2x2 h) (3x – 2)2 – 1 = –(x – 1)2

i) 2 1

9 2

x

x

j) 2 1 2

2 3 3

x xx

21.- Opera y resuelve las ecuaciones siguientes:

a) 1 1 1 100x x b) 2 3 1 2 3 0x x x

c)2 22 3 1

5 2 10

x x x x d) 2 6 2 1 11

3 6 5 4 3

x x x

e) 3 2 2 3 3 6

4 3 6 4

x x x x f) 2 2 3 6x x

g)5

3 1

x x

x

h) 2 23 2 4 3 2 2x x x x

i)1 1 1

1 15 5 10 5

x x x x

22.- Resuelve y factoriza los siguientes polinomios:a) 2 10 25 0x x b) 2 2 3 0x x c) 236 13 1 0x x

23.- Calcula el valor de m para que:a) la ecuación x2 – mx – 4 = 0 tenga una solución.b) La ecuación x2 - 18x + m = 0 tenga dos soluciones siendo una doble de la otra.c) La ecuación x2 + 3mx + m2 = 0 tenga dos soluciones. ¿Qué signo tendrán las

soluciones si suponemos que m > 0?d) La ecuación x2 + 6x + m = 0 tenga dos soluciones que difieran en 4 unidades.

24.- Resuelve las siguientes ecuaciones de la manera más adecuada:

a) (x + 2)2 = 0 b) 21 20

2 3x x

c) (x + 3) (x – 3) = 7 d) 3 12

3 12

x x

x x

e) 2 1 1 1

2 3 6

x x x f) (x – 1)2 + x2 = (x + 1)2

g)2

13 49

2x

h) (x – 2) (x + 5) = 0

i) (x – 5)(x + 2) = 0 j) x (3x – 4) = 0

k) 3(x – 1)2 = 0 l) (x + 1)(x – 1) – 3(x – 2) = x (x + 2) + 4


m) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x (x + 3) – (x2 – 1)

n) 4 3 2 1 5 1 0x x x

25.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (2x + 1)(4 –3x) = 0 b) 2 12 0

2x

c) 25x (x+1) = -4 d) 2x (x+3) = 3 (x-1)

e) (2x-3)2 = 8x f) 2x (3x – 4) – (1 – 3x) (1 + x) = -2

g)2 22 3 1

5 2 10

x x x x h) 3

1 5 12 2

xx

i) 2 1

9 2

x

x

j) 2 1 2

2 3 3

x xx

k) 3 12

3 12

x x

x x l) (x – 1)2 + x2 = (x + 1)2

m)2

13 49

2x

n) 4 3 2 1 5 1 0x x x

o) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x (x + 3) – (x2 – 1)

26.- Expresa matemáticamente las siguientes afirmaciones indicando si son ciertas ofalsas:

a) Si al cuadrado de ocho le añado 8 unidades, obtengo setenta y seis.b) La mitad del cuadrado de cuarenta y dos es ochocientos cuarenta.c) Ciento cincuenta y dos disminuido en ocho unidades, da el cuadrado de doce.d) El doble de del cuadrado de 3 es 18.

27.- La mitad del cuadrado de un número es 242. Hállalo.

28.- La suma de un número y su cuadrado es 20. Calcúlalo.

29.- Si a un número le sumo la mitad de su cuadrado, el resultado es 3/2. ¿De quénúmero se trata?

30.- Si a un número le sumo su triple y le resto su cuadrado, el resultado es -5. Halladicho número.

31.- Al aumentar 5m. el lado de un cuadrado, su área aumenta en 75 m2. Calcula el ladodel cuadrado.

32.- Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm. menos quela altura y la diagonal mide 10 cm.


Ejercicio resuelto

Amelia tiene 14 años y su hermano Jorge, 12. ¿Cuántos años deben transcurrir para queentre los dos completen medio siglo?

SoluciónDesignamos por x a la incógnita y construimos la siguiente tabla:

Amelia Jorge

Edad hoy 14 12

Edad dentro de x años 14 + x 12 + x

Expresamos la condición del enunciado: (14+x) +(12+x)=50.Resolvemos la ecuación:2x=50 -14 -122x=24 x=12 años


33.- Una dama pesa 13 kilogramos más que su marido, y entre ambos alcanzan 161kilogramos. ¿Cuál es el peso de cada uno?

34.- En un corral hay gallinas y conejos, contándose en total 57 cabezas y 160 patas.¿Cuántos ejemplares hay de cada especie?

35.- Ángel repartió fotos en tres cajones. En el primer cajón puso la cuarta parte más 8fotos, en el segundo puso la mitad menos dos fotos, y en el tercero puso la quinta parte.¿Cuántas fotos repartió?

36.- Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número?

37.- Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto 13 y su padre 43. ¿Cuántos años han detranscurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

38.- Descompón el número 120 en dos sumandos de modo que uno sea el doble delotro.

39.- Dividimos el número 60 en dos partes, de manera que un tercio de la primera y untercio de la segunda sumen 14. Si llamas x a la primera parte, ¿cómo expresarías lasegunda parte? ¿Cuáles son esas dos partes?

40.- Entre dos hermanos tienen 3,6 €. El mayor le dice al pequeño: “Dame 0,3 €. de tudinero y así yo tendré el doble que tú”. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

41.- María tiene 5 años más que su hermano Luis y su padre tiene ahora 41 años. Dentrode 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edad tiene cadauno?


42.- Juan, el padre de Ana, tiene ahora 3 veces la edad de su hija, pero hace 5 años, laedad de Juan era 5 veces la de Ana. ¿Qué edad tiene cada uno?

47.- El jornal diario de un repartidor de pizzas es de 8€ fijos más 0,8 € por pizzarepartida. ¿Cuántas habrá repartido un día que ganó 44€?

44.- Calcula tres números sabiendo que el primero es 20 unidades menor que elsegundo, el tercero es igual a la suma de los dos primeros y entre los tres suman lacantidad de 120.

45.- La tercera, la cuarta, la quinta, y la sexta parte de mi dinero suman 1 céntimo deeuro menos de lo que llevo. ¿Cuánto llevo?

46.- Con los 7,2 € que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún mesobrarían 2,7 €. La entrada de la piscina cuesta 0,9 € menos que la del cine. ¿Cuántocuesta la entrada del cine?

47.- En una fracción, el denominador es 4 unidades mayor que el numerador. Siañadimos 24 unidades al numerador, la fracción que resulta es igual a la inversa de lafracción original. ¿Cuál es la fracción?

48.- Una circunferencia tiene un radio que mide 8 cm. ¿Cuánto hemos de aumentar elradio para que la longitud de una nueva circunferencia sea el triple de la longitud de laprimera?

49.- Varios amigos se reparten un premio y les toca a 9 € a cada uno. Si hubieran sidocuatro amigos más, les hubiera tocado 1,8 € menos a cada uno. ¿Cuántos eran arepartir?

50.- Se tienen dos cuadrados distintos y el lado de uno de ellos es 4 cm. mayor que ellado del otro. Averigua la longitud de los dos lados sabiendo que la suma de sus áreas es808 cm2.

51.- Calcula la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que su área es la cuarta partedel área de otro cuadrado cuyo lado es 2 cm. mayor.

52.- Halla dos números naturales consecutivos sabiendo que la suma de sus cuadradoses 103.

53.- Halla dos números positivos si el cuadrado de su suma es 289

54.- Un granjero obtiene un beneficio de x € por cada (x + 5) cientos de huevos queponen sus gallinas. Si su beneficio fue de 84 €, halla el número de huevos que pusieronsus gallinas.

55.- El producto de 2 números impares consecutivos es 143. Halla dichos números.

56.- La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 265. ¿Cuáles son esosnúmeros? ¿Cuántas soluciones has encontrado?


57.- El área de una parcela rectangular mide 37.500 m2. Si la base de la parcela mide100 m más que su altura, ¿cuáles son sus dimensiones?

58.- El producto de un número natural por su siguiente es 31 unidades mayor que elquíntuplo de la suma de ambos. Calcula dicho número.

59.- Halla el cuadrado cuya diagonal mide 2 cm. más que su lado.

60.- Amelia tiene 14 años y su hermano Jorge, 12. ¿Cuántos años deben transcurrir paraque entre los dos completen medio siglo?

61.- La suma de los inversos de dos números enteros consecutivos es 5/6. Halla los dosnúmeros.

62.- Tras calificar una prueba de Matemáticas, la décima parte de los alumnos de unaclase ha obtenido sobresaliente, la quinta parte notable, la sexta parte bien y una terceraparte suficiente. Sabiendo que los restantes alumnos son 8, ¿cuántos alumnos tiene laclase?

63.- ¿Qué número hay que añadir a los términos de la fracción7

13para que resulte

equivalente a3

4? ¿Y para que resulte equivalente a

4

3?

64.- Un alumno tenía que añadir 12 a un número y dividir el resultado por 13; pero se haequivocado, añadiendo 13 y dividiendo por 12, a pesar de los cual le ha dado el mismoresultado. ¿Cuál era el número cuál el resultado?

65.- Cuando la arista de un cubo se reduce en 1 cm, su volumen decrece 91 cm3. Hallala longitud de la arista original.

66.- El dividendo de una división de enteros es 1.081. El divisor es doble que elcociente y éste y el resto son iguales. Halla el divisor.

67.- Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular de 13 m de diámetro para haceruna piscina rectangular que tenga un lado 7 m más que el otro y la diagonal delrectángulo coincida con el diámetro del estanque. ¿Cuáles serán las dimensiones de lapiscina?

68.- La diagonal mayor de un rombo tiene 18 cm. de longitud. Si la diagonal menortiene la misma longitud que el lado del rombo, ¿cuál es la longitud de este lado?

69.- Un depósito de agua tiene forma de prisma cuadrangular regular con un volumende 4.000 m3 y una altura de 10 m. Encuentra la longitud del lado del cuadrado de labase.

70.- Si el radio de un círculo aumenta 2 cm, el área aumenta 20 cm2. Averigua elradio de éste círculo y el área.


71.- Para cerrar una finca rectangular de 4.200 m2 se han utilizado 260 m de alambre.Halla las dos dimensiones del rectángulo.

72.- Los ahorros de Ana y de Pepe son 2000€ y 5000€ respectivamente. Cada uno deellos ahorra 200€ al mes. ¿Al cabo de cuántos meses los ahorros de Ana serán la mitadde los de Pepe?.

73.- Una piscina olímpica tiene 1250 m2 de superficie acuática. Si el largo es el dobledel ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la piscina?

74.- Calcula el valor de m para que:

e) la ecuación x2 – mx – 4 = 0 tenga una solución.f) La ecuación x2 - 18x + m = 0 tenga dos soluciones siendo una doble de la otra.g) La ecuación x2 + 3mx + m2 = 0 tenga dos soluciones. ¿Qué signo tendrán las

soluciones si suponemos que m > 0?h) La ecuación x2 + 6x + m = 0 tenga dos soluciones que difieran en 4 unidades.


Sistemas de ecuaciones lineales

1.- Completa la siguiente tabla:

Coeficiente de x Coeficiente de y Términoindependiente

3x + y = 2-x + 2y = 4

2.- Escribe algebraicamente mediante una ecuación con dos incógnitas los siguientesenunciados:a) La suma de dos números es 54.b) Un bolígrafo cuesta el doble que un lápiz.c) El perímetro de un rectángulo es 30.d) Dos números son proporcionales a 2 y 3.

3.- Comprueba si los siguientes valores de x e y son solución de las siguientesecuaciones:a) x = 0, y = 2 en la ecuación 3x + 7y = 14b) x = 1, y = 3 en la ecuación -2x + 5y = 3

4.- Para x = 1, halla el valor de y en la ecuación 2(x + 3) – y = 3.

5.- Para y = -3, halla el valor de x en la ecuación 5 (x – 1) + 2(y – 2) = 5

6.- Obtén dos soluciones distintas para 9x – 4y = 1

7.- La recta que resulta de representar gráficamente la ecuación 2x – 3y = 11 pasa porel punto (indica cuáles)

a) (0, -4) b) (4, -1) c) (1, -4) d) (0, 11/3)

8.- Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones lineales:a) x – 2y = 2 b) 2x + y = -1

9.- Las dos rectas que se obtienen al representar gráficamente las dos ecuaciones de unsistema se cortan en el punto (3, -2). ¿Puede ser 4x – 2y = 15 una de las ecuaciones delsistema?

10.- Escribe un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas que tenga comosoluciones: x = 5; y = -2.

11.- Se tienen dos soluciones de la ecuación ax + by = 15. La primera x = 2 e y = -1 y lasegunda solución x = -2 e y = -29. Calcula a y b.

12.- Resuelve gráficamente:

a)2 4 8

2

x y

x y

b)4 3

6 5 11

x y

x y


c)3 5

5 3

x y

x y

d)6

3 4

x y

y x

e)2 0

5 10 0

x y

x y


a) Resolver por el método de sustitución el sistema3

52 4

5 3

xy

x y

b) Resolver por el método de reducción el sistema:3 6

23 5 4

yx

y x

Solución

a) Se quitan denominadores y se obtiene el sistema equivalente:2 3 20

5 3

x y

x y

. Se

despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones (se suele elegir la que resulte másfácil, en este ejemplo la x de la segunda ecuación 5 3x y ) y se sustituye en la otra

ecuación. Con ello queda una ecuación con una única incógnita: 2 5 3 3 20y y

Resolviendo esta ecuación se obtiene:26

7y . Sustituyendo este valor en 5 3x y , se

obtiene:109

7x .

Solución del sistema:109 26

,7 7

.

b) Se quitan los denominadores y se obtiene el sistema equivalente:

6 12

3 5 4

x y

y x

, se reordenan las ecuaciones:6 12

5 3 4

x y

x y

.

Para eliminar y, se multiplica la primera ecuación por 3:18 3 36

5 3 4

x y

x y

y se suman

miembro a miembro las ecuaciones con lo que se obtiene: 23 32x . De donde:32

23x .

Sustituyendo en una de las ecuaciones (por ejemplo en 6 12x y y despejando y, se

obtiene84

23y . Por lo tanto la solución del sistema es:

32 84,

23 23

.


13.- Resuelve, cuando sea posible, por el método que se indica y clasifica los siguientessistemas:

a)2

0

x y

x y

(sustitución) b)2

2 2 4

x y

x y

(reducción)


c)3 2

2 4

x y

x y

(sustitución) d)7 2 11

2 5 12

x y

x y

(reducción)

14.- Indica cuál es la representación gráfica del sistema:3x + y = 4x – 2y = 6

15.-Utiliza las gráficas siguientes para resolver los sistemas de ecuaciones abajoindicados:

a)10

2 5 17

x y

x y

b)10

2 1

x y

y x

c)2 1

2 5 17

x y

x y

16.- Escribe un sistema equivalente a:2 3

4 5 6

x y

x y

17.- Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que verifique lascondiciones que se indican en cada caso:

a) Tiene por única solución el par (-1, 1).b) No tiene ninguna solución.c) Los pares (2, 1) y (0, 2) son soluciones del sistema.d) Un sistema compatible indeterminado.e) Un sistema compatible indeterminado tal que el par (2, -2) es una de sussoluciones.

18.- Razona, sin resolverlo, si el sistema2 4

2 4 4

x y

x y

es compatible o no.


19.- Halla p para que el sistema2 5

4 2

x y

x y p

sea:

a) Compatible indeterminadob) Incompatible

20.- Resuelve el sistema por el método que consideres más adecuado los siguientessistemas:

a)5 11

2 3 4

x y

x y

b)3 2 21

4 3 6

x y

x y

c)5 3 1

2 6 22

x y

x y

d)3 5

5 3

x y

x y

e)10

42 3

x y

x y

f)2 52

82

x y

yx

g)1 7

3 33 5

x y

x y

h)5 5 10

32 2

x y

x y

i)7

3 5

23 4

x y

x y

j)

4 23 3 4

5 52

2 4 8 53

x y

y x

k)

1 11

3 27 4 4

x y

x x y

l)3

52 4

5 3

xy

x y

m)3 6

23 5 4

yx

y x

Ejercicio resuelto

Dado el sistema1

14

4

x y

x y m

determina para que valores de m

a) el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución.

Solución:

Se quitan los denominadores y queda el sistema equivalente:4 4

4

x y

x y m

a) Para que el sistema sea compatible indeterminado los coeficientes de lascorrespondientes incógnitas y los términos independientes deben ser proporcionales:

4 1 4

4 1 m

, de donde: 4m .

b) Para que el sistema sea incompatible los coeficientes de las correspondientesincógnitas deben ser proporcionales siendo la constante de proporcionalidad distinta a la

razón de los términos independientes:4 1 4

4 1 m

, por lo tanto 4m .



21.- Completa los siguientes sistemas de manera que sean incompatibles:

a)3 4 9

6

x y

x

b)3 11 9x y

x

c)8

12

x y

22.- Para cada uno de los siguientes sistemas, se pide:

a) Calcula m para que el sistema sea incompatible.b) Averiguar si hay algún valor de m para el que sea incompatible.c) Resolver el sistema, si es posible, para el valor de m indicado.

a)12

3 3

x my m

mx y

(m = 2) b)2

4 6 6

x my m

x y

(m = -3)

c)3

11

3

mx y

x y

(m = -2) d)

2 15

3 51 4

3 3

x y

x my

(m = 1).

e)1

14

4

x y

x y m

23.- ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo si uno mide 50º y la diferencia entre losotros dos es 30º?

24.- Encuentra dos números sabiendo que la mitad de su suma es 218 y el doble de sudiferencia es 116.

25.- En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado desigual es tres vecesmenor que cada uno de los otros lados. ¿Cuánto miden los lados?

26.- En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de 2 y 3 brazos. Si para utilizarlosse necesitan 31 velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?

27.- En la panadería, Ezequiel pagó 30 € por 5 barras de pan y 3 ensaimadas. Si Pilarpagó 11 € por 2 barras de pan y 1 ensaimada, ¿cuál es el precio de la barra de pan y elde la ensaimada?

28.- Un oficinista compra 30 objetos entre lápices y bolígrafos con un coste de 6,5 €. Silos lápices cuestan 0,15 € y los bolígrafos 0,36 € ¿cuánto bolígrafos y lápices compró?

29.- Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

30.- Con dos clases de café de 5,4 €/kg. y 7,2 €./kg. se quiere obtener una mezcla de 6€./kg. Halla la cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg. demezcla.


31.- Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cadahijo le da 4,2 € le sobran 1,2 €, pero si le da a cada uno 4,8 € le faltan 1,2 € ¿Cuántodinero lleva en el bolsillo y cuántos hijos tiene?

32.- Hoy la edad de un hijo es 1 año menos que 1/3 de la de su madre. Si dentro de 5años, la edad de la madre será 10 años mayor que el doble de la de su hijo, ¿qué edadtienen?

33.- Calcula gráficamente el valor de una cinta de vídeo y un CD si 2 cintas de vídeo yun CD valen 7 euros y 4 cintas de vídeo y 2 CD valen 10 euros.

34.-Dos números suman 51. Si el primero lo dividimos entre 3 y el segundo entre 6, loscocientes se diferencian en 1. Halla los números.

35.- Un ejercicio realizado en clase consta de 16 cuestiones. El profesor suma 5 puntospor cada respuesta correcta y resta 3 puntos por cada cuestión no contestada o malcontestada.Si un alumno ha obtenido 32 puntos en el ejercicio, ¿cuántas cuestiones ha contestadocorrectamente?

36.- El perímetro de un rectángulo tiene 28 cm. Calcula el área de este rectángulosabiendo que uno de sus lados tiene cuatro centímetros más que el otro.

37.- La razón entre dos números es 2/3. Si se añaden 20 unidades al más pequeño y 5 almás grande la razón se invierte. ¿De qué números se trata?

38.- Un comerciante compró dos relojes distintos por 18 €. y los vendió por 19,35 €.¿Cuánto pagó por cada reloj si en la venta del primero ganó un 20% y en la del segundoperdió un 5%?

39.- Dos líquidos de densidades 0,7 kg./l y 1,3 kg./l se mezclan obteniéndose un líquidode densidad 0,9 kg./l. Halla la cantidad de líquido que hay que tomar de cada clase paraobtener una mezcla de 30 litros.

40.- Un barco que lleva pasajeros por un río, los traslada de A a B distantes 75 km., en 3horas. Y de B a A en 5 horas. Halla la velocidad del barco y de la corriente.

41.- La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 18, elnúmero resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Halla elnúmero.

42.- El cociente de una división es 3 y el resto 5. Si el divisor disminuye en 2 unidades,el cociente aumenta en 1 unidad y el nuevo resto es 1. Halla el dividendo y el divisor.

43.- En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas.Sin resolver el problema ¿puede afirmarse que no todos son conejos ni todas songallinas?


44.- Una piedra arrojada hacia el aire h metros sigue una ecuación h = at – bt2. A partirde un experimento sabemos que cuando h es igual a 40 m, t es igual a 2 segundos y quesi h es igual a 45 m, entonces t es igual a 3 segundos. Halla a y b.

45.- Una tortuga camina a 0,4 m/s y se arrastra a 0,3 m/s. Si al realizar un determinadotrayecto, la tortuga camina la primera parte y se arrastra la segunda, tarda 110 segundos.Si la primera parte se arrastra y la segunda parte camina, tarda 100 segundos.Halla la longitud de las dos partes.

46.- El gerente de un negocio de repartos urgentes compró dos furgonetas por unimporte total de 45000 €. Al poco tiempo, se produjo una caída en los pedidos y se vio

obligado a venderlas de nuevo. Por la primera obtuvo 9

10de su precio inicial y por la

segunda 5

4de su precio de compra. Como resultado de estas ventas obtuvo una

ganancia total de 2500 €. Hallar el precio de compra de cada una de las furgonetas.

47.- Luisa ha ahorrado 500 € más que su hermano Juan. Si Luisa tuviese 900 € másentonces tendría el triple de lo que tiene Juan. ¿Cuánto dinero ha ahorrado cada uno deellos?.

48.- El lado de un polígono regular mide 8 cm. El lado de un segundo polígono regular,que tiene 2 lados más que el primero, mide 6 cm. Sabiendo que la suma de susperímetros es 114 cm, determinar de qué polígonos se trata.

49.- María solo dispone de billetes de 5€ y monedas de 2€. Si tiene que hacer un pagopor importe de 34€ de cuántas formas puede hacerlo entregando la cantidad justa.

50.- Un cuestionario de oposiciones, que consta de 75 preguntas, se califica otorgando 1punto por cada respuesta correcta y quitando 0,25 puntos por cada respuesta incorrecta.Un opositor ha contestado todas las preguntas y ha obtenido una calificación de 56,25puntos. ¿Cuántas preguntas ha contestado correctamente?

51.- Hallar en qué dos partes hemos de descomponer el número 48, de forma que, aldividir una por la otra se obtenga 3 de cociente y 3 de resto.

52.- En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de 2 y 3 brazos. Si para utilizarlosse necesitan 31 velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?. Plantea y resuelve elcorrespondiente sistema.

53.- La diferencia de dos números es 12. El mayor dividido por el menor da 2 decociente y 5 de resto. Hallar esos números.

54.- En un examen tipo test, dan 2 puntos por cada ejercicio resuelto correctamente yquitan 1 punto por los que estén mal resueltos o no han sido resueltos. El test consta de25 ejercicios. ¿Cuántos ha realizado bien un alumno que ha obtenido una calificación de5 puntos?

Bloque 2. Álgebra. Actividades para...

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