4.2.- Subespacios Vectoriales

y susPropiedades.

En matemáticas, un 'subespacio se refiere a un subconjunto de algún otro conjunto con cierta estructura, y que posee también esta misma estructura.

Def. Subespacio

Subespacios Vectoriales

• Sea H un subconjunto de E, Decimos que se cumple si y sólo si:

a) 0 H∈

b) ∀ v1, v2 H => v1 + v2 H∈ ∈

c) ∀ v1 H, k K => k . v H∈ ∀ ∈ ∈

• Todo se resume en:

∀ v1,v2 H, k1, k2 K se cumple que k1.v1 + k2.v2 e H∈ ∀ ∈

Subespacios Vectoriales

v1 v2

H:xy

xy

z

a) 0 ∈ Hb) ∀ v1, v2 ∈ H => v1 + v2 ∈ Hc) ∀ v1 ∈ H, ∀ k ∈ K => k . v ∈ H

Intersección y suma de Subespacios

Dos tipos de subespacios vectoriales importantes son los siguientes:

Sean M y N dos subespacios vectoriales de E. Se define el subespacio intersección como…

M ∩ N = { v ∈ E, v ∈ M ∧ v ∈ N}

Sean M y N dos subespacios vectoriales de E. Se define el subespacio suma como…

M + N = { v ∈ E : ∃ u ∈ M, ∃ w ∈ N, v = u + w}

La unión de subespacios vectoriales no es, en general, subespacio vectorial.

v1

xy

zIntersección y suma de Subespacios

M ∩ N = { v ∈ E, v ∈ M ∧ v ∈ N}