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Factorización

Clase 12

Planeación de claseBloque Tema Grado Fecha

Contenido Competencias que favorecen Eje temático Aprendizajes esperados

Actividad Estrategia Didácticade la enseñanza

Tiempo asignado Estándares curriculares

Apertura

Desarrollo

CierreEvaluación

II

Factorización de ecuaciones de la forma. a a a

Factorización Tercero 26 de noviembre de 2013

• Resolver problemas de manera autónoma

• Comunicar información matemática • Validar procedimientos y Resultados• Manejar técnicas eficientemente

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico.• Patrones y Ecuaciones.

Según las consignas:9.2.1

Práctica de Matemáticas

-Factorización de Polinomios deManera Gráfica

-Aplicaciones de la factorización

-Operaciones Inversas-Teorema Fundamental de la Aritmética

y Teorema Fundamental del Álgebra

5 min

40 min

5 min

Por evidencias

Resuelve problemas que involucran el uso de

ecuaciones lineales o cuadráticas

Factorización12.

Tema 2: Teorema Fundamental del Álgebra

Tema 3: Aplicaciones de la Factorización

Tema 4: Práctica de Matemáticas

Tema 1: Operaciones Inversas

Apertura

-Operaciones Inversas-Teorema Fundamental de la Aritméticay Teorema Fundamental del Álgebra

• Todo nuestro mundo está rodeado de aspectos que son inversos entre sí.

• En Matemáticas, existen diversas operaciones que son inversas entre sí.

• Dos de estas operaciones son el producto de expresiones algebraicas y la factorización.

Operaciones Inversas

𝑥 (𝑥+1 )=¿𝑥2+𝑥

𝑥2−2 𝑥=¿𝑥 (𝑥−2 )

𝑥2−𝑥+1=¿(𝑥−1 ) (𝑥−1 )

Recordemos que un número primo es aquel cuyos únicos divisores son 1 o el mismo.Los números que no son primos se llaman números compuestos.Todos los números compuestos pueden expresarse como el producto de números primos.Se dice que los números primos son elementos irreducibles, pues no pueden expresarse como el producto de otros números.

1 2 310 11 1219 20 21

4 5 613 14 1522 23 24

7 8 916 17 1825 26 27

28 29 3037 38 3946 47 48

31 32 3340 41 4249 50 51

34 35 3643 44 4552 53 54

55 56 5764 65 6673 74 75

58 59 6067 68 6976 77 78

61 62 6370 71 7279 80 …

2013=3∗11∗61

Teorema Fundamental de la Aritméticay Teorema Fundamental del Álgebra

Similarmente a la aritmética, en el álgebra existen polinomios que pueden expresarse como el producto de otros más.También existen polinomios que resultan ser irreducibles.El teorema fundamental del álgebra asegura que todo polinomio de grado puede factorizarse en polinomios lineales o cuadráticos irreducibles.

Teorema Fundamental de la Aritméticay Teorema Fundamental del Álgebra

110=¿11∗1011∗2∗5

𝑥3−𝑥2−6 𝑥=¿𝑥 (𝑥2−𝑥−6 )𝑥 (𝑥+2 ) (𝑥−3 )

17=1∗17

𝑥2+1=1 (𝑥2+1 )

Desarrollo

-Factorización de Polinomios de Manera Gráfica-Aplicaciones de la factorización

x2

x

x

1

x

Binomio al cuadrado

+ + = x2 + 2x + 1x + 1

(x + 1)(x + 1)A=

=

x2 + 2x + 1

1+x

Binomio al cuadrado Trinomio cuadrado perfecto

Binomio con término común

2x2 + 3x + 1

x2 x2 1xx

x

2x + 1

1+x

=

(2x + 1)

(x + 1)x

x

Factorización

2x2 + 7x + 3

1

x2

x2

1 1

x x x

x x x

x

= (2x + 1)(x + 3)

Factorización

4x2 + 8x + 4

1 1

x x

x x

x

= (2x + 2)(2x + 2)

x2 x2

x2 x2

xx

x 1 1

Factorización

4x2 + 8x + 3

1

x2 x2

x2 x2

1

1

xx x x

x x x x

x

x

2x + 3

1

+

2x

=

(2x + 3)

(2x + 1)

Binomios conjugados

a2 - b²

a2

b²

a

a b

b

a-b

b

a-b a - b

a + b

=

(a – b)

(a + b)

Situación

• El plano de la construcción marca un acceso para los vehículos de 3 metros de ancho que rodea 2 lados del terreno.

• Se quiere construir un restaurante de comida rápida , para lo cual se va a comprar un terreno de forma cuadrada de 450 m²de superficie.

• ¿Cuánto medirá por lado el terreno que quedará para edificar el restaurante?

x + 3

3 + x

Binomios al cuadrado

(x+3) ( x+3 ) = x²+6x+9

• Al multiplicar los binomios • (x+3) (x+3 ) obtenemos un

trinomio cuadrado perfecto x²+6x+9 , que se representa gráficamente por una parábola y su interpretación nos puede ser de mucha ayuda para resolver problemas de manera rápida.

• Para encontrar el área podemos graficar x² simultáneamente con el binomio al cuadrado.

Escala x=16 y=400

450 m²

Área del restaurante

Situación

• Si el plano de la construcción marcara un acceso para 2 vehículos de 5.5 metros de ancho.

• ¿Qué área quedará para edificar el restaurante?.

• Si el área del restaurante requiriera un terreno de 350 m² ¿qué extensión de terreno se necesitaría en total ?

Situación

• En un centro comercial se instaló un exhibidor para refrescos con motivo de las fiestas patrias. El exhibidor es de forma cuadrada y tiene una superficie frontal de 3.24 mts ².

• Para promocionar un nuevo producto se requiere un espacio cuadrado de .9 m por lado .

• ¿Cuánto deberá medir un nuevo exhibidor para que se pueda acomodar toda esta mercancía?

3.24 mts ²0.9 mts

0.9 mts

Binomios conjugados

(x+0.9) ( x-0.9) = x^2 - 0.81

• Al multiplicar (x+0.9) ( x-0.9) obtenemos como resultado una diferencia de cuadrados, que gráficamente se representa por una parábola

• La diferencia de cuadrados no sólo nos permite obtener la resta de áreas sino también la suma de ellas, como lo veremos en la solución de este problema.

x-0.9

x+0.9

x^2 - 0.81

Multiplicación de binomios

(x-1) ( x+2 ) = x2+x-2

• La multiplicación de estos binomios da como resultado un trinomio x2+x-2

• En el caso de la multiplicación, las mismas raíces de los factores son las raíces del producto .

x-1

X+2

x^2+x-2

raices

Multiplicación de binomios

(x-1) ( x+2 ) (x+1)²

• Si agregamos a la multiplicación otro binomio (x+1)², las raíces de este también son las raíces del producto resultante, pero no sólo eso sino que también la forma de sus graficas.

x-1

X+2

x^2+x-2

x-1

Cierre

-Práctica de Matemáticas

Práctica de Matemáticas

Mostrar el método gráfico de factorización en el salón de clases.Además, responder lo siguiente:1. ¿Puede factorizarse la

expresión ?

2. ¿Cuántos factores posee la expresión ?

GALILEO: Aprendiendo a Pensar

Presentar una planeación de clase sobre el tema Factorización, donde se muestre una aplicación práctica y su resolución con el Laboratorio de Álgebra.

Secuencia didáctica Aplicación Evidencias

Tarea