lgebra

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I.E.P. CORPUS CHRISTI

ndice

LGEBRA 5to AO DE SECUNDARIA

Pg.tc "

Pg."tc ""TEMA 1Numeros Complejos

2Clasificacin

2tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"Representacin de complejos

3tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"TEMA 2Anlisis Combinatorio

10Factorial de un nmero

10tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"Nmeros combinatorios

18tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"Permutacin, combinacin y Variacin

18Binomio de Newton

22tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"TEMA 3logaritmos

27tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"TEMA 4Funciones Exponenciales y logartmicas

37tc "Cap. 4Adicin y Sustraccin de Polinomios

27"Funcin Exponencial

37tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"Funcin Logartmica

41tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"TEMA 5Matrices y Determinantes

43Definicin

43tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"lgebra de Matrices

47tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"Determinantes

53tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"TEMA 6Calculo Diferencial

60tc "Cap. 8Repaso

49"Funciones

60tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"Lmites

64tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"Derivadas

80

tc "Cap. 2Adicin y Sustraccin de Nmeros Enteros

17"Tema n 01: Nmeros complejos Capacidades:

Identificar el conjunto de los nmeros complejos. Clasifica correctamente a los nmeros complejos. Representa de diversas maneras a los nmeros complejos. Opera con nmeros complejos. Resuelve problemas con nmeros complejos.

Desarrollo del Tema:Cantidades Imaginarias

Se obtienen al extraer raz de ndice par a un nmero negativo.

Ejemplo : ; ... etc.

Unidad ImaginariaDefinicin: La unidad imaginaria se obtiene al extraer raz cuadrada de -1, se representa de la siguiente manera :

tambin se define como :

Potencias de la Unidad Imaginaria

Propiedades :

1.

Ejemplo :

2.

Ejemplo:

Observacin: Es conveniente recordar las siguientes propiedades aritmticas.

Ejemplo :

Nmeros ComplejosSon aquellos nmeros que tienen la forma :

donde :

CLASIFICACIN DE LOS COMPLEJOS Complejos Conjugados Son aquellos que slo difieren en el signo de la parte imaginaria.

Ejemplo :

Z = 3 +4 i ; su conjugado es : Complejos Opuestos (Zop)

Son aquellos que slo difieren en los signos de la parte real e imaginaria, respectivamente.

Ejemplo :

Z = 5 - 2i ; su opuesto es : Complejos Iguales:Son aquellos que tienen partes reales e imaginarias, respectivamente, iguales.

Ejemplo :

De la igualdad : a + bi = 8 - 11i

tenemos :a = 8; b = -11

Complejo Nulo:Son aquellos que tienen su parte real e imaginaria, respectivamente, iguales a cero.

Si : a + bi es nulo a + bi = 0

Luego :a = 0; b = 0

Complejo Imaginario PuroEs aquel cuya parte real es igual a cero y su parte imaginaria distinta de cero.

Si : a + bi es imaginario puro a = 0

Complejo RealSi un complejo es real, entonces su parte imaginaria igual a cero :

Si : a + bi es real b = 0

Representacin de los ComplejosI.Representacin Cartesiana o Geomtrica

En este caso, el complejo est representado de la forma:

Grfica del Complejo

Cada complejo es un punto en el plano, para ubicarlo se le representa en el llamado plano complejo, Gaussiano o de Argand, el cual est formado por un eje vertical (eje imaginario) y un eje horizontal (eje real).

Ejemplo :

Graficar : = 3 + 4i

= 5 - 3i

En el plano Gaussiano :

Observacin : Cada complejo se representa por un punto en el plano al cual se le llama afijo del complejo.

II.Representacin Polar o Trigonomtrica :

En este caso, el complejo adopta la forma :

Donde : mdulo; r > 0

argumento;

Grfica del Complejo

En este caso, se utiliza el sistema de coordenadas polares el cual est formado por un punto fijo llamado polo y una semirecta que parte del polo, llamado eje polar. El mdulo () es la distancia del polo al punto que representa el complejo y el argumento el ngulo positivo medido en sentido antihorario desde el eje polar hasta el radio vector .

Graficar : Z = 5(Cos40 + iSen40)

En el sistema de coordenadas polares :

Relacin entre la Representacin Cartesiana y PolarSea el complejo : Z = a+b i (a, b >0)

En la figura sombreada :

Para transformar de cartesiana a polar se calcula y . En el caso inverso, se calcula el valor de la funcin trigonomtrica.

Aplicacin :

1.Transformar : Z = 3 + 4i

*

*

2.Transformar : Z = 6 (Cos37+ i Sen37)

Z = 6(Cos37+ i Sen37)

III.Representacin de Euler

En este caso, se tiene :

Se cumple :

Siendo: e = 2,71828.... (base de los logaritmos Naturales).

Asimismo : OPERACIONES CON COMPLEJOSI.Operaciones en forma cartesianaa)Adicin y multiplicacin

Se utilizan las mismas reglas algebraicas.

Ejemplo : (3+i)(3+2i) - (5-4i)

Resolucin :

b)Divisin

Se multiplica el numerador y denominador por el complejo conjugado de este ltimo.

Ejemplo :

c)Potenciacin :

Se utiliza el teorema del binomio.

Ejemplo:

d)Radicacin :

En general se asume que la raz adopta la forma (a+bi) ; luego a y b se hallan por definicin de radicacin.

Ejemplo :

Elevando al cuadrado

Igualando :

Resolviendo :

Observacin :

* (1 i) = 2i

*

* Operaciones en forma polar a)Multiplicacin :

En este caso, los mdulos se multiplican y los argumentos se suman.

b)Divisin :

En este caso, los mdulos se dividen y los argumentos se restan.

c)Potenciacin :

En este caso, el exponente eleva al mdulo y multiplica al argumento.

d)Radicacin :

En este caso, se aplica la frmula de De Moivre.

Sea : Z = r(Cosq + iSenq)

Nota : observa que tiene "n" valores.

Ejemplo :

Hallar las races cbicas de la unidad.

k = 0, 1, 2

k = 0 = 1

k = 1 =

k = 2 =

Races cbicas de la unidad :

1; w; .

donde :

*

* EJERCICIOS PROPUESTOS1) Calcular :

a) 76b) -76c) 44

d) -44e) 50

2) Reducir :

a) 1b) 2c) 3i

d) 2ie) 4i

3) Simplificar :

a) ib) -ic) 1

d) -1e) 1 - 1

4) 04.Reducir :

a) 1b) 2c) -1

d) ie) 2i

5) Hallar la suma "A" de nmeros complejos :

a) n (2n+1)b) 2n (4n+1)

c) 0d) n(4n+1) e) 2n(4n-1)

6) Calcular :

a) 0b) 1c) 3

d) 3ie) -3i

7) 07.Si :

Calcular : a) 2/3b)3/2 c) 6

d) 1/3e) 3

8) Si : {a; b; m; n} R; adems :

Calcular : a) 1b) 2c) 3

d) 4 e) 5

9) Calcular "n", si se cumple :

Si : a) -3/8b) 9/8c) 9

d) 9/4e) 3/410) Si :

es un complejo real. Calcular : "n".

a) -3/8b) 9/8c) 9

d) 9/4e) 3/4

11) Hallar "n", si el nmero siguiente es imaginario puro :

a) -1b) -2c) -3

d) -4e) -5

12) Sabiendo que :

; es un nmero real.

; es un nmero imaginario puro. Indique : a - b.

a) -12b) 10c) 24

d) 8e) -10

13) Si : , calcular :

a) -3b) -1c) 1

d) 3e) 0

14) Si "i" es la unidad imaginaria, al efectuar la siguiente operacin :

a) 0b) 1c) -256

d) 512 ie) 256

15) Calcular el valor de : a) 1 + ib) 1 - ic) -1 - i

d) -1 + ie) a c

16) Determinar el mdulo de :

a) 1b) 2c) d) e) 14

17) Sea :

Determinar : a) 3 + ib) 5 - ic) 4

d) 2 - 2ie) 4i

18) Determinar el mdulo de :

a) 2b) 8c) 32

d) 64e) 128

19) Hallar "n".

a) 2b) 4c) 6

d) 8e)10

20) Hallar el mdulo del complejo "Z", si al dividirlo entre 5+i y al cociente sumarle 2, se obtuvo 3-i.

a) b) c) d) e) 21) Sean : . Reducir :

a) 1b) 1/2c) 2

d) 3e) 1/3

22) Indique la parte real de :

; a) b) nc) d) e) 23) Si : , resolver :

|z| - z = 3 + i

Indique : a) b) c) d) e)

24) Sean : |z|= 2; |w| = 3.

Hallar : a) 36b) 26c) 34

d) 18e) 22

25) Indique el mdulo de :

a) 1b) c) d) e) 2

26) Sabiendo que : m, n, x, y R.

Adems :

Hallar el equivalente de :

a) 6b) 4c) 8

d) 12e) 10

27) Si :

adems : .

Calcular :

a) 3 ib) 1c) -3

d) -3 ie) 3

28) Resolver en :

Indique : Re(3z) - Im(z).

a) -3b) 9 c) 1

d) -2e) 2

29) Efectuar :

a) 1 + ib) 1 - ic) i

d) e) 30) Hallar "Z", si cumple :

a) 3 - 4ib) 4 - 3ic) d) e) 31) Llevar a su forma trigonomtrica :

z = -3 - 4i

32) Llevar a su forma exponencial :

a) b) c) d) e) 33) Efectuar :

sabiendo que :

a) 4 ib) -1/2c) 1/4

d) i/2e) 1

34) Sea : hallar : a) 190b) 250c) 240

d) 340e) 200

35) Efectuar :

a) b) c