Al 12 2 Vectores
Transcript of Al 12 2 Vectores
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
1/114
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
2/114
Magnitud escalar: Cualquier magnitud matemticao fsica que se pueda representar solamente por unnmero real. Ejemplos: longitud, rea, volumen,temperatura, etc.
Magnitud vectorial: Son aquellas entidades en lasque adems del nmero que las determina, serequiere conocer la direccin. Ejemplos:desplazamiento, fuerza, aceleracin, etc. El entematemtico que representa a estas magnitudes sellama vector .
INTRODUCCION 9
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
3/114
Ejemplo 1
Poste sostenido portres anclajes
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
4/114
Ejemplo 2
Polea sosteniendoun peso
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
5/114
Ejemplo 3
Plano inclinado
Es aquella entidad matemtica que necesitatanto de una magnitud como de una direccinpara definirla.
Vector
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
6/114
Ejemplo 4
Determinar la
tensin en cada unode los cables A, B y Csabiendo que el
empuje neto delglobo es de 3500 N.
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
7/114
Plano Euclidiano
A
B
Sean los punto A(x1,y1), B(x2,y2)
212212 )()(),( yyxxBAd Distancia del punto Aal punto B =
1x 2x
1y
2y
12 xx 12 yy
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
8/114
Vector bidimensional
A
B
Geomtricamente los vectores bidimensionales formamosal orientar el segmento que unen dos puntos del plano porejemplo del punto A(x1,y1) al punto B(x2,y2)
1x 2x
1y
2y
12 xx 12 yy ),( ),( 21
1212
aayyxxa
componente2da
componente1ra
aAB
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
9/114
Vector bidimensional
A
B
Al unir dos puntos cualesquiera se define el vector llamadovector libre
Al unir un punto con el origen de coordenadas formamosel vector llamado vector posicin de all que un puntopodemos interpretarlo como un vector
1x 2x
1y
2y
),( yxP
),( yxOP
a
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
10/114
Vector bidimensional
A
B
Tambin al orientar estamos definiendo un ngulo deinclinacin y su magnitud (norma)
1x 2x
1y
2y
),( yxP
),( yxOP
a
1
2)tan( a
a
2221 aaa
20
01 a
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
11/114
Vector bidimensional Operaciones bsicas
a
b
ba
a
at
),( 21 tataat
),( 2211 bababa
Producto de un escalarcon un vector
Suma de dos vectores
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
12/114
Propiedades:
atat
aaaa
asatast
btatbat
cbacba
abba
.6
),(1.5
)(.4)(.3
)()(.2
.1
21
Dos vectores son iguales si tienen el mismomdulo, direccin y sentido
2211 , babasiiba
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
13/114
13
)1,0(y)0,1( ji
Vectores unitarios:
Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.
Nota: En R2 existen dos vectores que nos permitenrepresentar cualquier otro vector como unacombinacin lineal de ellos. Se les llaman vectorescannicos y se representan por
),(a1
aau 21a aa
1u
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
14/114
14
VECTORES UNITARIOS i, j
Los vectores i, j son unitarios y estn dirigidos enla direccin de los ejes X, Y respectivamente.
X
Y
i
j
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
15/114
15
Descomposicin de un vector en
trminos de los vectores unitarios i,jTodo vector a = (a1,a2) se puede escribir en laforma:
Es decir todo vector se puede expresar comola suma de vectores paralelos a i , j.
Tambin se dice que el vector a est expresadocomo una combinacin lineal de los vectoresunitarios i ,j
jaiaaaa
2121 ),(
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
16/114
EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3
El conjunto de todas las ternas ordenadas de nmeros realesrecibe el nombre de espacio numrico tridimensional, y sedenota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina
punto del espacio numrico tridimensional.
xy
z
plano xz
plano yz
plano xy orgen
SISTEMA DECOORDENADASCARTESIANAS
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
17/114
Espacio Euclidiano R3
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
18/114
B
Distancia entre dos puntos de R3
x
y
z
A
A(x1, y1, z1)
B (x2, y2, z2)
212
212
212 )()()(),( zzyyxxBAd
x1x2
y2y1
z2
z1
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
19/114
B
x
y
z
A
A(x1, y1, z1)
B (x2, y2, z2)
x1x2
y2y1
z2
z1
),,( 121212 zzyyxxa
Vector Tridimensional
23
22
21 aaaa
Magnitud
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
20/114
20
Vector Tridimensional Operaciones bsicas
a
b
ba
a
at
),,( 321 tatataat
),,( 332211 babababa
Producto de un escalar con un vector
Suma de dos vectores
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
21/114
21
Propiedades:
atat
aaaa
asatast
btatbat
cbacba
abba
.6
),(1.5
)(.4)(.3
)()(.2
.1
21
Dos vectores son iguales si tienen el mismomdulo, direccin y sentido
332211 ,, bababasiiba
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
22/114
)1,0,0()0,1,0(,)0,0,1( kji
y
Vectores unitarios:
Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.
Nota: En R3 existen tres vectores que nos permitenrepresentar cualquier otro vector como unacombinacin lineal de ellos. Se les llaman vectorescannicos y se representan por
),,(a1
aau 321a aaa
1u
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
23/114
VECTORES UNITARIOS i, j , k
x
z
yi
jk
Los vectores i, j y kson unitarios y estn dirigidosen la direccin de los ejes x, y y z respectivamente.
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
24/114
24
Descomposicin de un vector en
trminos de los vectores unitarios i,j,kTodo vector a = (a1,a2,a3) se puede escribir en laforma:
Es decir todo vector se puede expresar comola suma de vectores paralelos a i , j , k.
Tambin se dice que el vector a est expresadocomo una combinacin lineal de los vectoresunitarios i , j, k
kajaiaaaaa
321321 ),,(
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
25/114
DIRECCIN EN R3
P(x,y,z)
z
x
y
V
Vector unitario :
vxcos
v
ycos
v
zcos
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
26/114
26
Paralelismo de vectores
Dos vectores son paralelos entre s, si todas sus
componentes son proporcionales. Ejemplo:
Definicin
)a,a,a(u 321 )b,b,b(v 321
Dado:
v//u
kba
ba
ba
3
3
2
2
1
1
vku
O tambin Con bi 0
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
27/114
27
Vectores Perpendiculares
Los vectores a y b son perpendiculares entre s
tenemos que ||a+b||=||a-b||
Definicin
)3,2,1( a )2,5,4(b
)5,3,5( ba )1,7,3( ba
59|||| ba 59|||| ba
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
28/114
28
ngulo entre vectores
Donde: 1800
vyuSean dos vectores no nulos.El ngulo se define como el ngulo no
negativo mas pequeo formado entre vyuu
v u
v
rad0o
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
29/114
29
PRODUCTO ESCALAR
cosvuvu
u
v
vuvucos
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
30/114
30
Observaciones:
2
aaa
El producto escalar de dos vectores es un nmero real,ser positivo si
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
31/114
31
Producto escalar en trminos de
componentes.
2211 bababa
332211babababa
En R2
En R3
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
32/114
32
Se tendr:
En R2:
En R3:
0ijji,1jjii
0jkkjikkiijji1kkjjii
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
33/114
33
Propiedades del producto escalar
uvvu.1
wuvu)wv(u.2
)vu(av)ua()va(u.3
0usi0uu.4
0usi0uu.5
2uuu.6
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
34/114
34
Proyeccin ortogonal de un vector
sobre otro
tv v
u
Proyvu
t
v
v
vuuoyPr
2
v
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
35/114
35
La componente de a sobre b se denotapor Compba y se define como
b
ba
b
aComp
.
Componente de un vector sobre otro
Se debe tener en cuenta que compb
a esun nmero real mientras que Proy ba esun vector
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
36/114
36
Proyba
Compba 0
ba
Compba 0
Proyba
a
b
A
Bub
ub
bbb
uaCompaProy
)(
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
37/114
37
Sean u y v dos vectores cualesquiera queforman un ngulo . El producto vectorial uv
se define como un vector que tiene:
Magnitud: ||u|| ||v||sen()
Direccin: Perpendicular al plano que forman
por u y v
PRODUCTO VECTORIAL
NOTA: Este producto slo se da para vectores en R3
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
38/114
38
Regla de la mano derecha
u
vu
uv
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
39/114
39
u
v
h
rea del Paralelogramo
Aphusenvuvu
INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA
NORMA DEL PRODUCTO VECTORIAL
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
40/114
40
Producto Vectorial en trminos de
las componentes.
)baba,caca,cbcb(vu 122121121221
)c;b;a(vy)c;b;a(uSean 222111
Se define al Producto Vectorial uvcomo:
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
41/114
41
Si , calcule)4;1;3(vy)3;1;2(u vu
Solucin:Aplicando la definicin:
kji 5175;17;1
32;89;34)3)(1()1)(2();4)(2()3)(3();1)(3()4)(1(
)4;1;3()3;1;2(vu
Ejemplo:
E i t t i d
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
42/114
42
OJO
Existe un recurso nemotcnico para recordar
la frmula del producto vectorial, el cualemplea la notacin de determinante:
kji 22
11
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
cb
cbvu
222
111
cba
cbakji Es decir puededesarrollarse
como un
determinante
Observe que la primera fila contiene vectores y no
nmeros reales
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
43/114
43
2222 )vu(vuvu.4
wuvu)wv(u.3)vc(uv)uc(.2
)uv(vu.1
Propiedades del Producto Vectorial
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
44/114
44
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
w)vu(
DEFINICIN : El producto mixto sedefine como:
Sean u , v y w tres vectores que no estn
en un mismo plano. Entonces forman loslados de un paraleleppedo en el espacio.
I t t i G t i
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
45/114
45
h vuw
vu
Interpretacin Geomtrica
w)vu(Vp u
v
Producto Mixto
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
46/114
46
321
321
321
ccc
bbbaaa
w)vu(
Producto Mixto
)a,a,a(u 321 )b,b,b(v 321
Sean ,
)c,c,c(w 321
ySe define al producto mixto como:
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
47/114
47
LA RECTA es un lugar geomtricoque se caracteriza (determina):
1: Conociendo un punto por dondepasa y un vector paralelo
2: Conociendo dos puntos por dondepasa
3: Mediante la interseccin de dosplanos conocidos.
RECTA i d t
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
48/114
48
0P
X
Y
Z
a at
atPP 0
RECTA conociendo un punto y un
vector paralelo
pasodepunto0P
(paralelo)generadorvectora
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
49/114
49
Ej. 1: Caracterizar la recta quepasa por el punto (1,2,3) y esparalela al vector a=(2,-1,1)
t)3,2,21(
1,1,2()3,2,1(t0
ttt
tatPP
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
50/114
50
0P
X
Y
Z
at
atPP
01
a
01 PPa
Recta que pasa por dos puntos
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
51/114
51
Ej. 2: Halle la recta que pasa por lospuntos (-1,2,2) y (1,-1,3)
)1,3,2()2,2,1()3,1,1( a
)3,31,21(
)1,3,2()3,1,1(
ttt
tP
R t i t i d d l
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
52/114
52
X
Y
Z
Recta como interseccin de dos planos
Ecuaciones
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
53/114
53
Ecuaciones
R0 tatPP
30
20
10
tazz
tayytaxx
Vectorial
Paramtrica
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
54/114
54
Cuando las componentes del vectorparalelo son todos diferentes de cero
3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy
a
xx
Simtrica
P i i l ti d d t
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
55/114
55
Posicin relativa de dos rectas
X
Y
Z
Paralelas
Se intersectan
Ajenas
PLANO l t i
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
56/114
56
PLANO lugar geomtrico que sedetermina con:
1: Un punto de paso y un vectorperpendicular al plano
2: Tres puntos no colineales
3: Una recta y un punto fuera de ella
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
57/114
57
X
Y
0PP
n0)( 0 nPP
planoalnormalvectorn
pasodepunto0P
Z
1
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
58/114
58
Ej. 3: Halle el plano que pasa por elpunto (1,2,1) cuya normal es el vector
n=(1,1,1)
04
0)1,1,1()1,2,1( 0)(0
zyx
zyxnPP
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
59/114
59
X
Y
1P
n0)( 0 nPP
ban
tomarpodemospuntoslosdeuno0P
Z
2
2
P3P
ab
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
60/114
60
Ej. 4: Halle el plano que pasa porlos puntos (1,1,2) (2,-1,1) y (1,2,3)
)1,1,1()1,1,0()2,1,1()3,2,1(
)1,2,1()2,1,1()1,1,2(
banb
a
0 zyx
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
61/114
61
X
Y
0P
n0)( 0 nPP
ban
tomarpodemosLdepuntounyL// 1Pa
Z
3
a
b
1P
L
Ej. 5: Halle el plano que pasa por el punto
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
62/114
62
Ej. 5: Halle el plano que pasa por el punto
(1,1,2) y contiene a la recta de ecuacin:
2
3
1
2
1
z
yx
032 )4,0,2(
)0,2,0()2,1,1()2,1,1(
)1,3,2()2,1,1(1
zxban
b
aP
ECUACIONES
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
63/114
63
ECUACIONES
0)( 0 nPPVectorial
0)()()( 030201 zznyynxxn
Escalar ordinaria
Lineal cznynxn 321
Angulo entre dos planos es el ngulo
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
64/114
64
XY
Z nm
Angulo entre dos planos es el ngulo
agudo entre sus normales
TRAZA: Interseccin del plano con
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
65/114
65
TRAZA: Interseccin del plano concada plano coordenado (fundamental)
X
Y
Z
Traza en XZ
Traza en YZ
Traza en XY
PLANO PROYECTANTE
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
66/114
66
PLANO PROYECTANTE
Dada una recta L llamamos planoproyectante, aquel plano que contienea L y es perpendicular a uno de losplanos coordenados; es decir existentres planos proyectantes.
000 zzyyxx
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
67/114
67
3
0
2
0
1
0
:LSi a
zz
a
yy
a
xx
Plano proyectantesobre XY
2
0
1
0a
yya
xx
Plano proyectantesobre YZ
Plano proyectante
sobre XZ
3
0
2
0a
zza
yy
3
0
1
0a
zz
a
xx
PROYECCION DE UNA RECTA
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
68/114
68
PROYECCION DE UNA RECTA
Dada una recta L su proyeccin sobrelos planos coordenados se lograintersectando cada plano proyectantecon el plano coordenado respectivo.(traza de cada plano proyectante)
Dada una sucesin A-B-C-D
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
69/114
69
de cuatro tomos enlazados,el ngulo entre el planoformado por A, B y C, y el
formado por B, C y D, sellama ngulo de torsin (seusa para explicar la estabilidad de
estructura moleculares). Si elsegmento BC se coloca a lolargo del eje Z. Halle entrminos de los vectores
CDBA y
A
B
C
D
Esttica: Equilibrio de una partcula.
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
70/114
70
q p
La esttica es la rama de la mecnica que estudiael equilibrio de los cuerpos.
0iiF
Una partcula se encuentra en equilibriosi:
la suma de todas las fuerzas que actansobre ella es cero
Ejemplo 1: la partcula O, situada en un plano inclinado,
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
71/114
71
se encuentra en equilibrio, como se muestra en lafigura.
W
X
Y
O
F
N
A
B
a) Realice el DCL de las fuerzas en la partcula O.b) Formule la ecuacin vectorial que garantice el equilibrio de
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
72/114
72
Solucin:a) Realicemos el DCL de las
fuerzas en la partcula O:
O
F
W
N
) q g q
la partcula.c) Halle los vectores unitarios que determinan la direccin de
cada fuerza.
b) Hallemos la ecuacin vectorial que garantiza el
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
73/114
73
b) Hallemos la ecuacin vectorial que garantiza el
equilibrio de la partcula. Del DCL anterior:
0WNFc) Encontremos los vectores unitarios que determinan la
direccin de cada fuerza. De la figura:
X
Y
W
O
F
N
ju N
iuF
jisenuW
cos
Fsica: Momento de una fuerza
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
74/114
74
constante.
Consideremos una fuerza que acta en un cuerpo
C que puede rotar alrededor del punto O. Si la lneade accin de la fuerza no pasa por O, el efecto totalser la rotacin del cuerpo alrededor de O.
O
A
r
F
C
F
Nuestra experiencia diaria sugiere que la
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
75/114
75
p g q
efectividad en la rotacin de C aumenta con ladistancia perpendicular b desde O a la lnea deaccin de la fuerza, por lo que es conveniente
definir una cantidad fsica M que llamaremosmomento de una fuerza:
FbM
O
A
r
F
Cb
Notando de la figura que: rsenb
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
76/114
76
Fr
FrsenM podemos escribir tambin:
Llegamos a la conclusin que el momento de unafuerza puede considerarse como una cantidadvectorial dada por el producto vectorial:
As, el momento de una fuerza est representado
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
77/114
77
por un vector perpendicular al plano que forman y
, y dirigido en el sentido indicado por el pulgarcuando se utiliza la regla de la mano derecha:
rF
O
A
r
F
C
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
78/114
Aplicacin: Equilibrio en el espacio.
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
79/114
79
Ejemplo 2: un bloque de 100 Nest sujeto, mediante uncable, al punto C del extremo de la barra AC, la cual a
su vez, est sujeta por los cablesCD
yCE
como semuestra en la figura:
m2C
E
DN100
A
m2
m2
N
Hm1
FF
G
45
Si la barra tiene peso despreciable:
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
80/114
80
a) Realice el DCL de las fuerzas en la barra AC.
b) Formule la ecuacin vectorial que garantice el
equilibrio del bloque.
c) Halle los vectores unitarios que determinan ladireccin de cada fuerza.
d) Determine el ngulo DCE.
Solucin:
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
81/114
81
a) Realicemos el DCL de las fuerzas en la barra AC:
b) Hallemos la ecuacin vectorial que garantiza el
equilibrio del bloque. Del DCL anterior:
0100 kHNFF
k100
N
H
F
F
A
C
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
82/114
,
ku ,
iu
ku
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
83/114
83
N H k100d) Hallemos el ngulo DCE. Utilicemos los vectores
unitarios y :
91)
31
32
32()
31
32
32(
)cos(
kjikji
uu
uu
uuDCE
FF
FF
FF
radDCE 46,162,83
F
u
F
u
Fsica: Trabajo de una fuerza constante.
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
84/114
84
Consideremos una partcula A que se mueve a lo
largo de una lnea recta L bajo la accin de una
fuerza constante . En un tiempo determinado, lapartcula se mueve de A a A, siendo el
desplazamiento = .
F
r
A
A
L
F
A A
r
El trabajo efectuado por la fuerza durante tal
F
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
85/114
85
desplazamiento es igual al producto de la magnituddel desplazamiento d por la componente de lafuerza a lo largo del desplazamiento FT:
dFW T
r
A
A
L
TF
d
F
Notando de la figura que: cosFFT
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
86/114
86
rFW
dFW cospodemos escribir tambin:
Llegamos a la conclusin que, el trabajo de unafuerza, est dada por el producto escalar:
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
87/114
La cual se simplifica como:
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
88/114
88
nn
i
ii
n
i
ii AAFAAFAAF 1
1
1
1
1
1
1
Por lo tanto, el trabajo efectuado es:
nAAA AAFW n 121
Ejemplo 3: dada la partcula A, que se mueve a lo largo
d l t t i ABCD t d l fi b j l
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
89/114
89
de la trayectoria ABCD mostrada en la figura, bajo laaccin de la fuerza constante ,
determinar el trabajo efectuado por dicha fuerza durante
tal desplazamiento.
X
F
O
C
Z
Y
m12
m6
m2
A
B
D
2 3 5F i j k N
Solucin: el trabajo realizado por la fuerza es:
F
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
90/114
90
Jkikji
ADFWABCD
26)62()532(
ESPACIO VECTORIAL Rn
10
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
91/114
91
INTRODUCCINSe d este nombre porque el conjunto de
vectores de Rn ( en particular, R2 o R3 ) junto conlas operaciones de adicin y multiplicacin por
un escalar, satisfacen una serie de axiomas. As
todo conjunto de entes matemticos que
cumplan estos axiomas es un espacio vectorial.
Esto permite extender muchas propiedades auna gran variedad de elementos matemticos.
D fi i i
VECTOR n - DIMENSIONAL
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
92/114
92
Definicin:A la combinacin ordenada de n
nmeros reales:
la llamaremos vector n-dimensional.),...,,( 21 naaa
IGUALDAD
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
93/114
93
nn ba
ba
ba
vu
22
11
nuuuu ,,, 21 nvvvv ,,, 21
SUMA
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
94/114
94
+
PRODUCTO POR UN ESCALAR
nn
nn
vuvuvu
vvvuuuvu
,,,
,,,,,,
2211
2121
nucucucuc ,,, 21
,n na R b R
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
95/114
95
Producto Escalar1
n
k kk
a b a b
Mdulo 1/22 2
1|| || ... na a a
Propiedades del producto escalar
uvvu1
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
96/114
96
uvvu.1
wuvu)wv(u.2
)vu(av)ua()va(u.3
0usi0uu.4
0usi0uu.5
2uuu.6
COMBINACION LINEAL
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
97/114
Dados los vectores V , V , ... , V de R
y sean a , a , ... , a escalares .La expresin:
Se llama combinacin lineal de V , V , ...... , V
1 2 k
2
k
1
1 k2n
a V + a V +... + a V2 k11 2 k
y3 a
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
98/114
98
x
ba
u
-2 b
u = 3 a - 2 b
NOTA: La combinacin lineal de dos vectores
a y b siempre va a estar en el plano formadopor ellos
Sean dos vectores no paralelos de R3 ba
,
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
99/114
99
El espacio que generan estos vectores, est formado por todaslas combinaciones lineales de a y b, su grfica corresponde alplano que pasa por el origen y contiene a los vectores a y b
Ejemplo: a=(1 , -2 , 1) b=(1 , 2 , -3)
RsRtbsatvbaGen ,,,
Si hacemos ban
bsatv
0),,( nzyx Ecuacin
vectorial
INDEPENDENCIA LINEAL
Antes de dar la definicin veamos los
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
100/114
100
Antes de dar la definicin, veamos lossiguientes ejemplos geomtricos.
1. Sean los vectores paralelos a y bEntonces tenemos que a=t b para cierto
real t, luego podemos escribir: a-t b=0 , esdecir hay una combinacin lineal que dacomo resultado el vector cero sin que los
coeficientes sean ceros.
LINEALMENTE INDEPENDIENTES (L.I.)
Un conjunto de vectores se dice que son L.I. Si laecuacin: }{ 21
kvvv
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
101/114
101
ecuacin: },..,,{ vvv
0..2211 kk
vcvcvc
Tiene por nica solucin 0...21 kccc
En caso contrario se dice LINEALMENTE DEPENDIENTES
(L.D.) es decir no todos los coeficientes son nulos
PROPIEDAD DE LOS CONJUNTOSLINEALMENTE INDEPENDIENTES
1 Si l j d V { }
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
102/114
102
1. Si el conjunto de vectores V ={v1,v2,..,vk}
de Rn es L.I. entonces todo vector u generado
por la combinacin lineal de los vectores de V
se obtiene de forma nica. Es decir loscoeficiente ai de:
son nicos.a v + a v +...+ a v1 2 2 k k 1u =
2. Sea V = {v1 , v2 ,..., vk } un conjunto
de vectores en Rn donde k > n
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
103/114
103
de vectores en R , donde k > n.Entonces V es linealmente dependiente.
Nota :Un conjunto S de vectores linealmenteindependientes de Rn contine a lo mas n
vectores.3. Si k = n y det [v1 v2 ... vn] = 0
{ v1, v2, ..., vn } es L. I.4. 0 V Rn V es L. D.
4. Dado el conjunto de vectores {a, b, c}contenido en el plano P
z
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
104/114
104
Es LI o LD el conjunto de vectores {a, b, c} ?
a
b
c
x
z
y
P
5.
Se podra expresar elvector b en terminos
de a y c ?
z
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
105/114
105
Es LI o LD el conjunto de vectores {a, b, c}?
de a y c ?
a
b
c
x
y
P
ESPACIO GENERADO
S d
11
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
106/114
106
v , v ,..., v1 2 kSean : vectores de Rn
El conjunto de todas las combinacioneslineales que se pueden formar con los
vectores se denominaESPACIO GENERADO PORy lo denotaremos por:
Gen ( )
v , v ,..., v1 2 k v , v ,..., v1 2 k
v , v ,..., v1 2 k
PROPIEDAD DEL ESPACIO GENERADO
1. Cuando es L.I. de R 3 entonces:{ v , v , v }1 2 3
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
107/114
107
Gen ( ) representa una lnea recta quepasa por el origen de coordenadas, .
vi31 i
x
z
yO
v1
v2
v3 Gen ( )v1
Gen ( )v2
Gen ( )v3
Gen ( ) representa un plano que pasapor el origen de coordenadas, .
v , vi j
3,1 ji
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
108/114
108
por el origen de coordenadas, .3,1 j
x
z
yO
v1
v2
v3
Gen ( )v , v1 3
Gen ( )v , v1 2
Gen ( )v , v2 3
Gen ( ) es todo el espacio R3 .1 2 3v , v , v
z
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
109/114
109
x
yO
v1
v2
v3Gen ( )1 2 3v , v , v
2. Cuando es L.I. entonces:
G ( ) Rn
{ v , v ,..., v }1 2 n
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
110/114
110
Gen ( ) = Rnv , v ,..., v1 2 n
CONJUNTO GENERADOR
Se dice que un conjunto de}{ 21
kvvv
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
111/114
111
Se dice que un conjunto devectores de es un conjunto generador
de si todo vector de se puedeexpresar como combinacin lineal de
.
Ejemplo: Los vectores (1,-1), (1,1), (0,-1)generan a .
},...,,{ vvv
},...,,{ 21
kvvv
nR
nR nR
2R
SUB ESPACIO DE Rn
},...,,{ 21
kvvv
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
112/114
112
}{La combinacin lineal de este conjunto finito devectores l.i. de Rn generan un sub espacio de Rn dedimensin k.
A este conjunto se le llama base de este sub espacio
Para que dicho conjunto sea base de Rn esnecesario que k=n.
Es decir si formamos la matriz A=[v1,v2, ,vn ] conlos n vectores tenemos que det(A)0
BASE CANNICA DEL ESPACIO Rn
Se llama as a la base formada por los
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
113/114
113
Se llama as a la base formada por losvectores cannicos. En Rn los vectores
cannicos son:e1 = (1;0;0;...;0;0;0)e
2= (0;1;0;...;0;0;0)
e3 = (0;0;1;...;0;0;0). . . . . .
en-1= (0;0;0;...;0;1;0)en = (0;0;0;...;0;0;1)
Definicin: La dimensin de un sub
espacio de Rn, es el mximo nmero
-
7/30/2019 Al 12 2 Vectores
114/114
114
espacio de R, es el mximo nmerode vectores l.i. que generan dicho
sub espacio.
La dimensin de Rn es n.
Todo sub espacio de Rn , es a su vezun espacio vectorial