XIII Reunión Nacional de Investigación Demográfica en México22, 23 y 24 de junio de 2016

Ajustes correctivos y de suavización.

Alejandro Mina ValdésEl Colegio de Méxicojunio 2016

• Evaluada la calidad del dato demográfico (análisis exploratorio de datos) :

• ¿ debe darse alguna corrección del dato? • ¿De decidir hacer la corrección ¿cuál debe hacerse? • ¿Es indistinto un ajuste de suavización del dato a uno

de corrección del mismo?• ¿En que difieren? • ¿Qué papel ocupan los ajustes del dato demográfico en

las proyecciones de población?• ¿splines, funciones de sobrevivencia, patrones del

modelo en cuestión? • Alcances y limitaciones de los ajustes, interpretación

de los parámetros (su asociación con los indicadores demográficos), uso y abuso de los ajustes.

El ajuste de distribuciones de fecundidad mediante polinomios. William Brass

f(a) = c ( a-S) (S-33-a)2

= c (a-s) (b-a)2

donde:f (a) tasa específica de fecundidad de las mujeres de edad a años.s edad a la cual comienza el período de reproducción.c constante que varía con el nivel de la fecundidad..

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49

200020102015

México: tasas específicas de fecundidad. 2000,2010 y 2015

Fuente; INEGI, censos 2000 y 2010 y encuesta intercensal 2015

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

10 30 50

Méxco :Desagregación de las 5fx via polinomio W.Brass. 2015

Fuente: Cálculos propios , con base en resultados de la encuesta intercensal 2015

edad

1fx

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60

polinomio Brass

tasas quinquenales defecundidad

polinomio grado 6

México: Ajustes polinómicos para desagragación de tasas específicas quinquenales de fecundidad.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 10 20 30 40 50 60

polinomio Brass

tasas quinquenales defecundiad

polinomio grado 6

ajuste Gompertz

México: Ajustes Gompertz,y polinómicos para desagregación de tasas

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

10 15 20 25 30 35 40 45 50

20102015

México: Tasas específicas de fecundidad. 2010,2015

Fuente: Cálculos propios con base en censo 2010 y encueta intercensal 2015

edad

1fx

Funciones de supervivencia Gompertz y Makeham

-Gompertz, B. (1825): Estableció que la fuerza de mortalidad crece exponencialmente. Su aportación, más conocida como ley de Gompertz, significó el inicio de una nueva era en la ciencia actuarial.

CBx

x⋅=µ

Makeham, W.M. (1867): propuso una ampliación de la fórmula de Gompertz que llevó por nombre primera ley de Makeham.

CBAx

x⋅+=µ

Posteriormente, añadió a la anterior expresión un término lineal, obteniendo como resultado una expresión conocida con el nombre de segunda ley de Makeham.

DCxBAx

x⋅+⋅+=µ

Dando lugar a las funciones:

Gompertz: l(x)=𝒍𝒍(𝒙𝒙) = 𝑲𝑲𝒂𝒂𝒃𝒃𝒙𝒙

Gompertz-Makeham:𝒍𝒍(𝒙𝒙) = 𝑲𝑲𝒂𝒂𝒃𝒃𝒙𝒙𝑑𝑑𝑥𝑥

y Gompertz- Makeham ampliada: 𝒍𝒍(𝒙𝒙) = 𝑲𝑲𝒂𝒂𝒃𝒃𝒙𝒙𝑑𝑑𝑥𝑥𝑤𝑤𝑥𝑥2

Para una spline cúbica que interpola n+1 datos, es una función s(x) tal que:

donde cada es un polinomio cúbico; , para toda y

tal que tiene primera y segunda derivadas contínuas en .

( )

( ) [ ]( ) [ ]

( ) [ ]

∈

∈∈

=

−− nnn xxxsixs

xxxsixsxxxsixs

xs

,

,,

11

211

100

( )xsi ( ) iii yxs = ni ,,1,0 =

( )xs [ ]nxx ,0

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

lx 2008

lx 2030

lx 2050

México: Ajustes de series lx de tablas de vida 2008,2030,2050

96500

97000

97500

98000

98500

99000

99500

100000

0 2 4 6 8 10

l(x) observada

l(x) G-M

l(x) spline

Ajustes Gompertz-Makeham y splines (edades 0-10)

Modelo de Rogers y Castro

Este modelo fue desarrollado con un programa típico observado de migración por edades. El patrón modelo es la graduación de lo observado y se define como la suma de cuatro componentes que se representan con curvas distintas, cada una con su tasa de ascenso o descenso según sea el caso (Rogers & Castro, 1982):

1) Una curva exponencial negativa que representa las edades previas a la

actividad económica, con tasa de descenso 𝛼𝛼1

2) Una curva unimodal sesgada a la izquierda que interpreta a las edades

económicamente activas colocada en 𝜇𝜇2 en el eje por edades que muestran

tasas de ascenso (𝜆𝜆2) y descenso (𝛼𝛼2)

3) Una curva en forma de campana que constituye a las edades posteriores a

la actividad económica o edades poslaborales colocadas en 𝜇𝜇3 en el eje por

edades que muestran tasas de ascenso (𝜆𝜆3) y descenso (𝛼𝛼3)

4) Una curva constante (𝑐𝑐) que incluye el aumento de la calidad de

adecuación proporcionada por la expresión matemática encontrada

𝑀𝑀(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎1𝑒𝑒−𝛼𝛼1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑒𝑒−𝛼𝛼2(𝑥𝑥−𝜇𝜇2)−𝑒𝑒−𝜆𝜆2(𝑥𝑥−𝜇𝜇 2) + 𝑎𝑎3𝑒𝑒−𝛼𝛼3(𝑥𝑥−𝜇𝜇3)−𝑒𝑒−𝜆𝜆3(𝑥𝑥−𝜇𝜇 3) + 𝑐𝑐 (44)

Definida para 𝑥𝑥 = 0,1,2, , … ,𝑤𝑤. Donde:

𝛼𝛼1, es la tasa de descenso de la curva de las edades prelaborales

𝛼𝛼2, es la tasa de descenso de la curva de la fuerza de trabajo

𝜆𝜆2, es la tasa de ascenso de la curva de la actividad económica

𝜆𝜆3, es la tasa de ascenso de la curva de las edades poslaborales

𝛼𝛼3, es la tasa de descenso de la curva de las edades poslaborales en edad de trabajar

𝑐𝑐, es la constante

𝑥𝑥𝑙𝑙 , es el punto mínimo

𝑥𝑥ℎ , es el punto máximo

𝑥𝑥𝑟𝑟 , es el máximo de retiro

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

patrón Rogers y Castro

polinomio grado 10

polinomio grado 14

Patrón de migración de Royers y Castro vs ajustes polinómicos

República Mexicana: Indicadores demográficos, 2010-2050OFICIALESIndicador 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050

Población a mitad de año 114,255,555 121,005,815 127,091,642 132,584,053 137,481,336 141,756,920 145,415,859 148,451,031 150,837,517Nacimientos 2,251,731 2,241,366 2,227,376 2,202,237 2,167,688 2,145,749 2,125,398 2,107,082 2,088,538Defunciones 640,522 692,320 757,881 836,966 925,175 1,022,547 1,126,450 1,231,994 1,332,978Crecimiento natural 1,611,209 1,549,046 1,469,495 1,365,271 1,242,513 1,123,202 998,948 875,088 755,560Tasa bruta de natalidad* 19.71 18.52 17.53 16.61 15.77 15.14 14.62 14.19 13.85Tasa bruta de mortalidad* 5.61 5.72 5.96 6.31 6.73 7.21 7.75 8.30 8.84Tasa de crecimiento natural** 1.41 1.28 1.16 1.03 0.90 0.79 0.69 0.59 0.50Tasa global de fecundidad 2.28 2.19 2.13 2.10 2.08 2.08 2.08 2.09 2.09

CALCULOS PROPIOSIndicador 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050

Población a mitad de año 114,255,555 119,530,753 124,014,671 127,826,001 131,065,632 133,819,318 136,159,951 138,149,489 137,558,542Nacimientos 2,251,731 2,129,298 2,004,638 1,871,901 1,734,150 1,502,024 1,275,239 1,053,541 835,415Defunciones 640,522 698,794 781,401 911,343 958,798 1,045,432 1,237,471 1,345,306 1,426,363Crecimiento natural 1,611,209 1,430,504 1,223,237 960,558 775,352 456,592 37,768 -291,765 -590,948Tasa bruta de natalidad* 19.71 17.81 16.16 14.64 13.23 11.22 9.37 7.63 6.07Tasa bruta de mortalidad* 5.61 5.72 5.96 6.31 6.73 7.21 7.75 8.30 8.84Tasa de crecimiento natural** 1.41 1.21 1.02 0.83 0.65 0.40 0.16 -0.07 -0.28Tasa global de fecundidad 2.28 2.08 1.92 1.79 1.67 1.46 1.25 1.04 0.83* Por mil** Por cien

ANÁLISIS DEMOGRÁFICO DE LA NUPCILAIDAD MEXICANA

• Ajuste seleccionado, previo análisis exploratorio de datos: Age Patterns of Marriage Ansley J. Coale

• g(a) = (0.194 C/ K)exp((-0.174/k)(a-a0-6.06K)-exp((-0.288/k)(a-a0-6.06K))

• 𝑮𝑮 𝒙𝒙 = ∫𝟎𝟎𝒙𝒙𝒈𝒈 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒚𝒚

• 𝑮𝑮 𝒂𝒂 = ∫𝒂𝒂𝟎𝟎𝒂𝒂 𝒈𝒈 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒚𝒚

• 𝒓𝒓 𝒙𝒙𝒙𝒙 = 𝒈𝒈𝒙𝒙(𝒙𝒙𝒙𝒙)𝟏𝟏−𝑮𝑮𝒙𝒙(𝒙𝒙𝒙𝒙)

México: Valor de los parámetros a0,k,C y m

año a0 k C m

1950 12.36 0.83 0.99 20.24

1970 12.59 0.75 0.94 21.11

1990 12.87 0.85 0.95 22.42

2010 11.71 0.98 0.89 23.30

2015 11.92 0.81 0.74 21.62

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

10 15 20 25 30 35 40 45 50

enc.int.2015censo 2010

México: Serie de matrimonios de tabla de nupcialidad, 2010,2015.

% matrimonios

edad

México, Nupcialidad 1950,2015 y 2050

México: Tabla abreviada de nupcialidad 1950edad m(x,x+5) Cx ecx

10 257 10000 12.915 3662 9743 8.120 3596 6081 6.425 1551 2486 6.930 564 935 8.935 199 371 12.740 70 171 17.545 25 101 19.6

México: Tabla abreviada de nupcialidad 2015edad m(x,x+5) Cx ecx

10 277 10000 30.815 2631 9723 21.020 2902 7091 21.825 1535 4189 28.330 671 2654 35.435 280 1984 37.640 116 1703 34.045 48 1588 26.5

México: Tabla abreviada de nupcialidad 2050edad m(x,x+5) Cx ecx

10 208 10000 37.615 1974 9792 21.220 2176 7818 21.025 1151 5642 23.130 503 4491 23.435 210 3988 21.040 87 3778 17.045 36 3691 12.4

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

10 15 20 25 30 35 40 45

1950

1970

1990

2010

2015

México: función riesgo de casarse r(x), 1950-2015

Fuente: Cálculos propios con base en censos 1950-, 1970, 1990, 2010 y encuesta intercensal 2015edad

r(x)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

10 15 20 25 30 35 40 45

2015

1950

1970

1990

2010

México: función de matrimonios g(x) , 1950-2015

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

10 15 20 25 30 35 40 45 50

m(x,x+5)50

m(x,x+5)70

m(x,x+5)90

m(x,x+5)10

m(x,x+5)15

m(x,x+5)50

México: Matrimonios de tabla de nupcialidad, m(x,x+5), 1950-2050.

edad

m(x,x+5)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

10 15 20 25 30

19501970199020102015

México: Riesgo de casarse, 1950-2015

Fuente: Cálculos propios con base en censos 1950-, 1970, 1990, 2000, 2010 y encuesta intercensal 2015

Es imperativo realizar un análisis exploratorio de bases de datos demográficos, con el fin de diagnosticar la calidad del dato y con base en él, decidir si se requiere o tratamiento para mejorar la calidad del mismo y al seleccionar un ajuste matemático-estadístico, este debe ser de acuerdo a lo arrojado por el diagnóstico previo. Así se podrá privilegiar un modelo de suavización sobre un modelo de corrección, o de ser necesario ambos. Para ello deben conocerse las hipótesis que deberán cumplirse y corroborar que así sea; esto dependiendo del momento histórico de la población con sus características particulares.

MUCHAS GRACIAS

• Alejandro Mina Valdésamina@colmex.mx