ADAPTACIÓN CURRICULAR 10 FIGURAS PLANAS. · PDF fileEn una estructura de un edificio se...

FIGURAS PLANAS. SEMEJANZA10

1. Polígonos

2. Figuras circulares

3. Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras

4. Aplicaciones del teorema de Pitágoras

5. Figuras semejantes. Razón de semejanza

6. Escalas

7. Teorema de Tales

8. Semejanza de triángulos. Criterios

9. Aplicaciones del teorema de Tales

ADAPTACIÓN CURRICULAR

En la adaptación curricular de esta unidad encontramos fichas de cada uno de los epígrafes adaptados a los alumnos que necesitan más ayuda para comprender los contenidos.

Proponemos diferentes recursos para conseguir este objetivo:

❚ Ten en cuenta que…

Contenidos con mayor apoyo gráfico que en el libro del alumno para facilitar la comprensión de determinados conceptos o procedimientos.

En estas fichas utilizamos el icono Ten en cuenta que… para identificarlos.

❚ Ejercicios resueltos nuevos.

En estas fichas utilizamos el icono EJERCICIO RESUELTO para diferenciarlos de los ejercicios resueltos que se mantienen del

libro del alumno.

❚ Selección de actividades del libro del alumno que trabajan los contenidos mínimos necesarios que todo alumno debe adquirir.

En estas fichas dichas actividades mantienen la misma numeración que en el libro del alumno para facilitar su identificación.

❚ Pistas para ayudar en la resolución de determinadas actividades propuestas en el libro del alumno.

En estas fichas utilizamos el icono para identificarlas.

❚ Propuesta de nuevas actividades para trabajar contenidos necesarios con mayor profundidad. Estas actividades incluyen la solución para facilitar su corrección.

En estas fichas utilizamos el icono para identificarlas.

10 Figuras planas. Semejanza. Adaptación curricular

© Oxford University Press España, S. A. Matemáticas 2.º ESO

1. POLÍGONOS

Utiliza instrumentos de medida para calcular el área de estos triángulos.a) b)

1

¿Cuál es el área de estos triángulos rectángulos?a)

10 cm7 cm

b)

12 cm6 cm

2

Halla el área de las siguientes figuras.a)

16 cm

6 cm

5 cm d) 3 cm

12 cm

b)

15 cm

5 cm

e) 3 cm

8 cm

c)

3 cm

4 cm

f)

6 cm

3

Calcula el área de estos polígonos regulares.a) Un pentágono de 5 cm de lado y 3,44 cm

de apotema.b) Un hexágono de 4 cm de lado y 4,47 cm

de apotema.c) Un octógono de 3 cm de lado y 3,62 cm

de apotema. d) Un dodecágono de 1 cm de lado y 1,87 cm

de apotema.

Mide y calcula el área de este pentágono regular.

•

4

5

Halla el área de la zona coloreada.

4 cm

2 cm

1,37 cm

2,75 cm

7

Elige como base uno de los lados y mide la altura correspondiente. Esta altura pasa por el vértice y es perpendicular al lado opuesto.

Calcula el área de los siguientes polígonos.

a) Rectángulo de lados 3 cm y 5 cm.

b) Rombo con diagonales 8 cm y 6 m.

c) Romboide de base 10 cm y altura 2 cm.

d) Trapecio de bases 7 cm y 12 cm, y altura 6 cm.

Sol. a) 15 cm2 b) 24 cm2 c) 20 cm2 d) 57 cm2

EJERCICIO RESUELTO

`` Calcula el área de esta figura.

15 cm 5 cm 5 cm

15 cm

15 cm

30 cm

SoluciónPara calcular el área de la figura, hallamos el área del rectángulo cuyos lados miden 15 cm y 30 cm, respectivamente. A ese cálculo le restamos el área de las dos zonas blancas triangulares, cuyas bases miden 15 cm y que tienen alturas de 5 cm.

A = 15 ⋅ 30 − 2 ⋅ 15 ⋅5

2 = 450 − 75 = 375 cm2

Necesitas medir el lado y la apotema del pentágono.

Halla el área del pentágono y réstale el del hexágono.

10Adaptación curricular. Figuras planas. Semejanza

Matemáticas 2.º ESO © Oxford University Press España, S. A.

2. FIGURAS CIRCULARES

Calcula la longitud de estas circunferencias.a) Circunferencia de 5 cm de radio.b) Circunferencia de 10,5 dm de radio.c) Circunferencia de 8 cm de diámetro.d) Circunferencia de 7 m de diámetro.e) Circunferencia de 5 m de diámetro.

Halla el área de los siguientes círculos.a) Círculo de 7 m de radio.b) Círculo de 17 cm de diámetro.c) Círculo de 3,2 km de radio.d) Círculo de 4,2 cm de radio.e) Círculo de 6 m de diámetro.

9

10

Mide y calcula el área del círculo y la longitud de la circunferencia.a)

•

b)

•

Observa estos dibujos y calcula el área de estas coronas circulares.a)

•3 m

5 m

b)

•2 cm

12 cm

11

12

Calcula el diámetro de una circunferencia cuya longitud mide 23,55 cm.

13

Halla el radio de un círculo de 153,86 cm2 de área.

Halla la longitud de los siguientes arcos.a) Arco de 2 cm de radio y 30º amplitud.b) Arco de 10 m de radio y 120º amplitud.c) Arco de 7 m de diámetro y 240º amplitud.d) Arco de 5 cm de diámetro y 90º amplitud.

14

15

Calcula el área de estas figuras.a) Sector circular de 5 m de radio y 240º de

amplitud.b) Sector circular de 15 km de diámetro y amplitud

60º.c) Sector circular de 25 dm de diámetro y 200º

amplitud.

16

Mide los datos que necesites para calcular lo que se indica. a) El área del sector circular.b) La longitud del arco.

17

El diámetro mide el doble que el radio.Ten en cuenta que…

Para medir el radio de una circunferencia o de un círculo tienes que situar la regla de forma que pase por el centro.

Ten en cuenta que…

Cuando conoces la longitud de la circunferencia debes despejar el radio de su fórmula y multiplicarla por 2 para calcular el diámetro.


Calcula el área del círculo exterior y réstale el del círculo interior.

Cuando conoces el área del círculo debes despejar el valor del radio de su fórmula.


Necesitas una regla para medir el radio y un transportador de ángulos para medir el ángulo.


Para calcular la longitud de un arco establece una relación de proporcionalidad directa entre la longitud del arco y los grados del arco.

N.º de grados Longitud

Circunferencia completa 360º 2 ⋅ π ⋅ r

Para calcular el área de un sector circular establece una relación de proporcionalidad directa entre el área del sector y los grados del sector.

N.º de grados Área

Círculo completo 360º π ⋅ r2



3. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. TEOREMA DE PITÁGORAS

Halla la medida de la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos.a)

40 cmx

9 cm b)

35 cm

x

12 cm c)

9 cm

x12 cm

d)

21 cm

x20 cm

Calcula la longitud del cateto desconocido en cada caso.a)

35 cm

x

37 cm

b)

25 cmx

7 cm

c) 15 cm

x

17 cm

d)

12 cm

x

20 cm

20

21

EJERCICIO RESUELTO

`` Aplica el teorema de Pitágoras para calcular los datos desconocidos.

a)

•

12 cm

x5 cm

b)

10 cm

x 6 cm

Solución a) Conocemos los dos catetos. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2 → x2 = 52 + 122 → x2 = 25 + 144 → x2 = 169 → x = 169 = 13La hipotenusa mide 13 cm.

b) Conocemos un cateto y la hipotenusa. Mediante el teorema de Pitágoras:

102 = 62 + x2 → 100 = 36 + x2 → x2 = 100 − 36 → x2 = 64 → x = 64 = 8El cateto desconocido mide 8 cm.

Estas potencias te ayudan a calcular raíces cuadradas.

22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49

82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169

142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361


¿Cuánto miden los lados desconocidos? Calcula.a)

41 cm

x

40 cm

b)

15 cm

x

8 cm

c)

21 cm

x29 cm

d)

24 cm

x30 cm

22

Identifica si el dato que falta es un cateto o la hipotenusa.



EJERCICIO RESUELTO

`` Calcula el área de un hexágono regular de 4 cm de lado.

Solución

ma2e39

4. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Los datos de cada apartado corresponden a los centímetros que miden los lados de un triángulo. Clasifica los triángulos según sus ángulos.a) 8, 15 y 16 d) 12, 35 y 40b) 9, 40 y 41 e) 12, 15 y 22c) 8, 15 y 17 f) 20, 21 y 29

En una estructura de un edificio se ha formado un cuadrilátero cuyas dimensiones son 8 m de largo y 3,9 m de ancho. Si la diagonal mide 8,9 m, ¿se trata de un rectángulo o es otro cuadrilátero?

24

25

Calcula el área de este trapecio rectángulo.

12 m

5 m

9 m

29

Calcula el área de estos polígonos regulares.a)

6 cm

6 cm

6 cm

c)

4 cm

4,62 cm

4,62

cm

b)

3 cm

3,92 cm

3,92

cm

d)

2 cm

1,7 cm

1,7

cm

30

Julio está asomado en una ventana situada a una altura de 12 m. Lanza un cable de 37 m a su amiga Juana, que lo tensa y lo coloca a ras del suelo. ¿A qué distancia del edificio se encuentra Juana en ese momento?

Una escalera está apoyada sobre una pared. Si el pie de la escalera dista 2 m de la pared y su parte superior se apoya sobre ella a una altura de 2,1 m, ¿cuántos metros mide la escalera?

26

27

Comprueba si el triángulo formado por la diagonal y los lados del cuadrilátero es rectángulo.

Para las dos actividades anteriores realiza un esquema, obtendrás un triángulo rectángulo del que desconoces uno de los lados, identifica si es un cateto o la hipotenusa y aplica el teorema de Pitágoras.

EJERCICIO RESUELTO

`` Calcula la altura de un trapecio isósceles de lados iguales 5 cm, y bases, 10 cm y 16 cm

Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que aparece al trazar la altura del trapecio.

10 cm

10 cm

5 cm

3 cm3 cm

h 5 cm

3 cm

h

h2 + 42 = 52 → h2 + 16 = 25 → h2 = 25 − 16 → h2 = 9 → h = 3 La altura es de 3 cm.

Al dibujar una de las alturas aparece un triángulo rectángulo con hipotenusa un lado del triángulo, y catetos la altura, y la mitad de un lado del triángulo.


Halla el área de este triángulo equilátero.

31

2 cm



5. FIGURAS SEMEJANTES. RAZÓN DE SEMEJANZA

Comprueba si los siguientes rectángulos son semejantes. Justifica tu respuesta.a)

3,6 cm

8,4

cm

7 cm

3 cm

b)

4,8 cm

7 cm

5 cm

4 cm

Utiliza instrumentos de medida para comprobar si estos dos polígonos son semejantes. En caso afirmativo, calcula su razón de semejanza.

34

35

EJERCICIO RESUELTO

`` Las siguientes figuras son semejantes. Halla el valor de los lados y ángulos que se indican y la razón de semejanza.

145º100º

6 cm9 cm

x5 cm

Â

B̂

SoluciónComo las figuras son semejantes, los ángulos correspondientes son iguales:

A = 100º y B = 145ºDel mismo modo, los lados correspondientes son proporcionales:9

6=

x

5→ x =

45

6 = 7,5 cm La razón de semejanza es:

9

6= 1,5

Halla el valor de los lados y de los ángulos que faltan en las siguientes figuras proporcionales y calcula su razón de semejanza.

La base de un rectángulo mide 10 cm, y su altura, 4 cm. ¿Cuáles son las dimensiones de otro rectángulo semejante a este, cuya razón de semejanza es de 2,5?

36

38

6,3 cm

9,1 cm

x

6,5 cm70ºÂ

El cociente entre cada lado del rectángulo y su semejante es igual a la razón de semejanza. Despeja el dato desconocido en esta igualdad.



6. ESCALAS

Una escala 1:50 significa que una unidad de longitud en el plano son 50 en la realidad de la misma unidad de longitud.


Un plano se ha realizado a escala 1:50. Calcula las medidas en la realidad si en el plano han sido las siguientes.a) 12 cm c) 0,2 m e) 12 mmb) 35 mm d) 1,5 dm f) 4,4 cm

42

Las siguientes son las distancias reales entre dos puntos A y B. Calcula cuántos centímetros medirán en un mapa realizado a una escala 1:15 000.a) 3 km c) 300 m e) 9 kmb) 5,25 km d) 12 km f) 15 km

Un dormitorio tiene forma de rectángulo con un largo y un ancho de 4 m y 3 m, respectivamente. Se dibuja en un plano a escala 1:50. ¿Cuánto medirán los lados del rectángulo en el plano?

Dos casas se encuentran a una distancia de 4,5 km. ¿A cuántos centímetros de distancia estarán en un plano que se ha hecho a escala 1:5 000?

43

44

45

EJERCICIO RESUELTO

`` Averigua que distancia le corresponde en un plano dos realizado a una escala 1:50 000 dos ciudades que en realidad distan 15 km.

Como en el mapa vamos a medir en centímetros expresamos la medida real en centímetros, se tiene que: 15 km = 1 500 000 cmEstablecemos la relación de semejanza y hallamos la distancia en el plano:

1

50 000=

x

1500 000→ x =

1500 000

50 000= 30 cm

La distancia en línea recta entre Toledo y Murcia es de 326 km. Si en un mapa hay 8,15 cm de distancia entre las dos ciudades, ¿qué escala se ha utilizado en el mapa?

Se ha construido un plano de una habitación de 4 m de largo por 3,5 m de ancho. En el plano, la habitación mide 10 cm de largo.a) ¿Con qué escala se ha construido el plano?b) ¿Cuánto medirá de ancho la habitación en el plano?

46

48

Expresa en centímetros la distancia antes de aplicar la relación de semejanza.

Averigua la razón de semejanza entre el rectángulo que forma la habitación en la realidad y en el plano.



7. TEOREMA DE TALES

Comprueba si las razones de proporcionalidad entre la longitud de los segmentos OA y OA’ y la longitud de los segmentos AB y A’B’ formar una proporción.

• •

•

•

•A B

A’

B’

O

51

¿Cuánto miden el segmento OA’ y el segmento AB?

• •

•

•

•

• •A B CA’

B’

C’

O1,5 cm 2 cm

6,25 cm

2,5 cm

Halla la longitud del segmento AB en cada caso. a)

•

•

•

•

•

B

A’

B’

9,45 cm

1,35 cm0,75 cmO

A

b)

••

••

•

A’

B’

A

B2 cm

4,5 cm5 cm

O

52

53

Los esquemas anteriores están formados por dos rectas secantes cortadas por varias paralelas.

Si aplicas el teorema de Tales se tiene que los segmentos que aparecen en ambas rectas son proporcionales.

Dos razones, a

b y

c

d, forman

una proporción si: a

b=

c

d

Recuerda

Con una regla mide las distancias de los segmentos OA, OA’, AB y A’B’, y comprueba si forman una proporción.

Calcula la longitud del segmento AB.

a) b)

••

••

•

A’B’

AB

2,5 cm

5 cm

O

2 cm

x

•

•

•

•

•

B

A’

B’1 cm

2 cm2,5 cm

O

Ax

Sol. a) x = 1 cm b) x = 1,25 cm



8. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. CRITERIOS

Identifica en las siguientes figuras los triángulos en posición de Tales.

a) b)

A

DE

B C A

D

B C

Sol. a) Los triángulos ABE y ACD. b) No hay triángulos en posición de Tales.

Para que los triángulos sean semejantes las longitudes de los lados correspondientes tienen que ser proporcionales.


Los siguientes pares de triángulos son semejantes. Halla los datos que faltan y la razón de semejanza.a)

12 cm

2,4 cm

7,2 cm9 cm y

x b)

7 cm8,4 cm

11 cm15 cm yx

Utiliza instrumentos de medida para comprobar si estos triángulos son semejantes. En caso afirmativo, halla la razón de semejanza.a) b)

56

57

Explica por qué estos triángulos son semejantes en cada caso.a)

32º

95º 95º

32º

b)

10 cm

6 cm

6 cm

8 cm

4,8 cm

4,8

cm

c) 5 cm

6 cm

8,4 cm

7 cm

20º

20º

58

No es necesario medir todos los lados y todos los ángulos. Aplica algún criterio de semejanza.

Identifica con los datos que tienes el criterio de semejanza que puedes aplicar: ❚❚ Criterio 1. Se necesitan los tres lados de los dos triángulos.❚❚ Criterio 2. Se necesitan dos ángulos.❚❚ Criterio 3. Se necesitan dos lados y el ángulo que forman.



9. APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

Indica en cuántas partes se han dividido los siguientes segmentos.a)

• • • • • •AB

b)

• • • • •A B

62

Dibuja en tu cuaderno un segmento de 4 cm y divídelo de tal modo que la segunda parte sea el triple que la primera.

65

Un árbol de 2 m de altura proyecta sobre el suelo una sombra de 10 m. Al mismo tiempo, una pared de un edificio proyecta una sombra de 80 m. ¿Cuál es la altura de la pared del edificio?

67

Sabiendo que, a cierta hora del día, un edificio de 5 m proyecta una sombra de 2 m, calcula la altura de una farola y un árbol cuyas sombras a la misma hora del día son de 1 m y 0,75 m, respectivamente.

¿Cuánto mide el ancho del río? Calcula.

68

69

Dibuja en tu cuaderno un segmento de 5 cm de longitud y divídelo en tres partes iguales.

Averigua qué relación existe entre las medidas de los segmentos AB y BC.

• • •A B C

63

64

Solo tienes que contar los segmentos iguales en la semirrecta auxiliar.

Observa que en la semirrecta auxiliar se han marcado tres segmentos iguales, de esta forma podemos establecer dos segmentos de forma que uno es el doble que el otro y trasladar esta proporción.

Necesitas en la semirrecta auxiliar 4 segmentos iguales para hacer que una parte sea el triple que la otra.

EJERCICIO RESUELTO

`` Estos triángulos rectángulos tienen el ángulo marcado igual. Halla el lado desconocido.

2 cm

5 cm 15 cm

x

Como los triángulos son rectángulos y tienen un ángulo igual, son semejantes. Por la proporcionalidad entre sus lados obtenemos el lado desconocido:

15

5=

x

2→ x =

15 ⋅2

5= 6 cm

Realiza un esquema para obtener dos triángulos rectángulos. Comprueba si son semejantes y aplica la proporcionalidad de los lados.

Halla la altura del edificio con los datos del dibujo.70

Observa que se forman dos triángulos rectángulos con un ángulo igual.

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