Actividades Para Introducir La Geometria Fractal en La Eso

Rafael Pérez Gómez. (1995). Uno. [Versión electrónica]. Revista Uno 4

Actividades para introducir la Geometría Fractal en la ESO

Rafael Pérez Gómez

Tanto en la Enseñanza Primaria como en la Secundaria se plantean problemas sobre polígonos (en 2D) y poliedros (en 3D),normalmente convexos. Vamos a analizar polígonos y poliedros cóncavos que son el resultado de aplicar un algoritmoiterativo a los lados/caras de un triángulo equilátero/tetraedro para estudiar la longitud/superficie y área/volumen de lasfiguras resultantes cuando se realiza un número infinito de iteraciones. A continuación se presenta una posibletransposición didáctica del caso plano y se propone actuar por analogía para el caso tridimensional. Por último, basándoseen los resultados obtenidos, se inicia un posible acercamiento al concepto de dimensión fractal.

Palabras clave: Matemáticas, Didáctica de las matemáticas, Enseñanza, Educación secundaria obligatoria, Geometría,Geometría fractal, Polígono, Poliedro

Activities for Introducing Fractal Geometry in Compulsory Secondary Education

The treatment of polygons (in 2-D) and polyhedrons (in 3-D), generally convex, raises certain problems in both primaryand secondary education. This article looks at concave polygons and polyhedrons which are the result of applying arepetitive algorithm to the sides/faces of an aquilateral triangle/tetrahedron in order to study the length/surface andarea/volume of the resulting figures when an infinite number of such repetitions is carried out. This is followed by aproposal as to how this might be carried out. This is followed by a proposal as to how this might be carried over intoteaching in the case of the plane figure. It is also suggested that an analogous procedure could be applied to the threedimensional figure. Finally, on the basis of the results obtained, a possible approach to the concept of fractal dimension issketched out.

Un polígono fractal: el copo de nieve

Se trata de comprobar una excitante característica de las figuras fractales. Consiste en tener una longitud/superficie infinitay encerrar una superficie/volumen finita. Para comprobar esta afirmación, hacemos la construcción del copo de nieve en elplano. El algoritmo consiste en partir de un triángulo equilátero; se dividen sus lados en tres partes iguales y se elimina lade en medio a la vez que se construye, sobre cada lado, un triángulo equilátero, de lado 1 /3 del primitivo, con base en elsegmento central (que ha sido eliminado) de cada lado; sobre cada lado resultante se repite el proceso anteriorindefinidamente.

Perímetro

Calculemos el perímetro, Pi, del polígono resultante tras cada iteración. La estrategia a seguir consistirá en calcular el

número de lados del polígono en cada una de las iteraciones, ni, y multiplicarlo por la longitud del lado, li.

http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN041141.gif - Figura 1




Si suponemos que en la iteración i se cumple que: i-ésima iteración: ni = 3x4i;

en la siguiente, la i+ 1, se cumplirá que: (i + 1)-ésima iteración:

Por tanto, se obtiene una sucesión geométrica cuyo primer término es igual a 3 y la razón 4/3. Al ser 4/3|gt;1, a medidaque n aumenta, Pn se hace cada vez mayor, por lo que decimos que la sucesión de los perímetros diverge.

Area

¿Qué sucederá con la sucesión de las áreas? El razonamiento que sigue se basa en que el área del polígono de la iteración i+1 se obtiene sumando a la de la iteración i el área de un triángulo equilátero, cuyo lado es 1 /3 del anterior, tantas vecescomo lados tenga el polígono anterior. Por la semejanza de figuras planas, se sabe que si el lado de un polígono disminuyeen un factor igual a 1/3 el área lo hace en un factor (1/3)2. Así pues:

- Inicio: n0 = 3; A0 =

- 1ª iteración: n0 = 3;

A1 = + 3x (1/3)2x =



- 2ª iteración: n1 = 3 x 4;


- 3ª iteración: n2 = 3 x 42;


Podemos hacer la hipótesis de inducción para la iteración i: i-ésima iteración: ni-1 = 3 x 4i-1;

y comprobar si se verifica para la i +1 . En efecto: n¡ = 3 x 4;

tal y como queríamos demostrar.

Si observamos la expresión que hay en el interior del corchete, menos el 1, vemos que se trata de la suma de los i +1primeros términos de una sucesión geométrica cuyo primer término es 1/3 y la razón 4/9, menor que 1. Por lo tanto, sisumamos los infinitos términos de la sucesión, obtenemos:

lo cual demuestra la afirmación que hice al comienzo acerca de la finitud de la superficie encerrada por este conjuntofractal.

En conclusión:

1ª El perímetro no converge

2ª El área converge

a: 0692820323....|lt; 1 ya que cuando n tiende a infinito:

Un problema que te gustará resolver: ¿Qué polígono regular convexo, en cuyo interior pueda "inscribirse" el triánguloequilátero inicial, tiene por área la del copo de nieve? Si no lo ves ahora, vuelve a este punto después de haber estudiadoeste mismo problema en el espacio.

Un poliedro fractal: el copo de nieve en 3D

En la enseñanza de la Geometría siempre conviene hacer, simultáneamente, actividades para pasar del plano al espacio.¿Es posible en este caso?

La respuesta es afirmativa. ¿Cómo construir un copo de nieve tridimensional?

Considera un tetraedro. Si unes los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero, éste queda dividido en 4triángulos equiláteros cuyo lado es la mitad del primitivo. De esta forma, podemos considerar "una triangularización" deltetraedro. Vamos a aplicar al tetraedro un algoritmo similar al que utilizamos sobre el triángulo equilátero en laconstrucción del copo de nieve en 2D.

Se parte de un tetraedro de lado unidad. Sobre cada cara se realizan, simultáneamente, las siguientes transformaciones:

i) Se divide cada cara en 4 triángulos equiláteros;

ii) sobre cada cara, se construye un tetraedro de tal forma que su base coincida con el triángulo situado en la parte centralde la cara;

iii) se elimina dicha base/parte central de la cara del tetraedro inicial;

iv) se repite, indefinidamente, el proceso en cada uno de los triángulos equiláteros resultantes.

Después de lo visto antes, es lógico pensar que la suma de las áreas de sus caras es infinita y que encerrará un volumenfinito. ¿No lo crees así?

Superficie

Calculemos la superficie, Si, del poliedro resultante tras cada iteración. La estrategia a seguir consistirá en calcular el

número de caras del poliedro en cada una de las iteraciones, N;, y multiplicarlo por el área de la cara, A;. En esta ocasión,al tener la arista del poliedro resultante en la iteración i una longitud igual a la mitad de la correspondiente en la i-1, elárea de la cara en la iteración i, Ai, se obtendrá multiplicando la de la iteración i-1, A i-1 , por el factor (1 /2)2.

Inicio: N0 = 4; 10 = 1;

A0 = ; s0 = 4x

1ª iteración: N1 = 6 x 4; 11 = 1/2;



2ª iteración: N2 = 6x(6 x 4) = 62 x 4;


3ª iteración: N 3 = 6x(62 x 4) = 63 x 4;

1 3 = (1 /2)(1/2)2 = (1 /2)3;


Haciendo la hipótesis de inducción, podemos suponer que: i-ésima iteración: Ni = 6i x 4;

Comprobemos si se verifica para la siguiente:

En conclusión, la sucesión de las Sn es geométrica; su primer término es y su razón 3/2. Por lo tanto, al ser 3/2|gt;1,

cuando n tiende a infinito, la sucesión diverge.

Volumen

¿Qué sucederá con la sucesión de los volúmenes? El razonamiento que sigue se basa en que el volumen del poliedro de laiteración i + 1, Vi+1, se obtiene sumando al de la iteración i, Vi, el volumen, vi, de un tetraedro, cuya arista es 1/2 de la del

anterior, tantas veces como caras tenía el poliedro anterior, Ni-1. Por la semejanza de figuras en el espacio, se sabe que si

la arista de un poliedro disminuye en un factor igual a 1 /2 el volumen lo hace en un factor (1/2)3. Así pues:

- Inicio: V0 = (1 /3)x x

- 1ª iteración: N0 = 4;

- 2ª iteración: N1 = 6 x 4;

Hagamos la hipótesis de inducción para la iteración i: i-ésima iteración: Ni-1 = 6i+1 x 4;

Comprobemos si se verifica para la siguiente: (i + 1)-ésima iteración: N¡ = 6i x 4

tal y como queríamos comprobar.

Podemos sacar factor común /12 y, después, 4/8:

Cuando n tienda a infinito, la sucesión que se encuentra en el interior del corchete -que es geométrica, de primer término 1

y razón 3/4|lt;1- puede sumarse, resultando que:

Queda, pues, demostrado que el volumen del copo de nieve en 3D es finito. Pero no acaban aquí las sorpresas. Te hago lamisma pregunta que antes: ¿es el número /4 el volumen asociado a algún poliedro relacionado con el tetraedro inicial? Larespuesta es afirmativa. Recuerda que podemos inscribir un tetraedro dentro de un cubo. Si calculas el volumen del cuboen cuestión comprobarás que coincide con el volumen que acabamos de calcular(http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN04120U.gif - Figura 13).

La transposición didáctica

¿Cómo organizar el trabajo de clase para llevar a cabo el estudio del perímetro y el área de un fractal plano?

Se parte de la hipótesis de que los estudiantes saben cómo calcular las áreas de los polígonos. Me apoyaré en este hechopara iniciar la actividad que sigue y continuarla con el modelo de actuación en clase debido a la escuela Van Hiele.

Medios que pueden ser utilizados

Por el profesorado: ordenador con un programa para presentar la curva de Von Koch y retroproyector. Por los estudiantes:juego de dibujo, fixo y fotocopias de la construcción del copo de nieve.

Actuación en clase

1. Fase de consulta

El trabajo de los estudiantes es individual.

Indicaciones del profesorado: Se muestra a los estudiantes el modelo generado por el ordenador y se les pide opiniónacerca de la figura. Se pretende poner de manifiesto la existencia de figuras autosemejantes, a las que llamaremos"fractales".

2. Fase de orientación dirigida El trabajo se hará en grupos de cuatro.

Indicaciones del profesorado: Los estudiantes cuentan con papel, útiles de dibujo, lápiz y goma de borrar.

Como veis, el ordenador únicamente representa un número finito de puntos. Imagináis que en cada parte de la pantallapudiésemos hacer un "zoom" para agrandar la imagen que en ella se encuentra. ¿Qué creéis que veríamos?

Colocar de forma apaisada la hoja de papel. Dibujar con lápiz, en la parte inferior, un segmento de 27 cm. de longitud.

Transcurrido 1 minuto...

-Dividir el segmento en tres partes iguales.

-Borrar la parte central. Quedarán dos segmentos, separados, de 9 cm de longitud.

-Apoyando el compás en el extremo del primer segmento, y abriéndolo hasta llegar al comienzo del siguiente (es decir, 9cm) traza un arco.

-Hacer lo mismo apoyando el compás en el comienzo del segundo segmento de tal modo que el arco que tracéis corte alanteriormente dibujado.

-Unir, primero, el extremo del primer segmento con el punto de corte de ambos arcos y, después, éste con el comienzo delsegundo segmento.

Transcurridos 5 minutos...

Ahora vais a actuar de modo "recursivo". Es decir, vais a efectuar la misma construcción sobre cada uno de los 4segmentos de 9 cm que habéis dibujado.

Dejar 15 minutos para la realización del trabajo.

Actuar de nuevo de modo recursivo: hacer la misma construcción sobre cada uno de los segmentos que tenéis en vuestrodibujo. Anotar la longitud del segmento que habéis dividido.

3. Fase de explicitación

Los portavoces de los grupos mostrarán a la clase el trabajo realizado.

El/la profesor/a aprovechará para indicar que a cada paso realizado le llamaremos iteración.

Primera parte

- 2(bis). Fase de orientación dirigida

De nuevo volvemos sobre esta fase para construir los primeros copos de nieve.

Indicaciones del profesorado: Entrega "fixo" a cada grupo.

Con el "fixo que os he dado, unir tres de vuestros dibujos anteriores de tal forma que los extremos de los segmentosiniciales determinen los vértices de un triángulo equilátero.

Tras 2 minutos de realización...

http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN04121U.gif - Cuadro 1

Tras 30 minutos de trabajo...

- 3(bis). Fase de explicitación

Intervendrán los portavoces de los grupos explicando cómo han efectuado los cálculos. Se pondrá especial interés en lasestrategias utilizadas para calcular el área. Es seguro que no utilizarán radicales sino las expresiones decimales queproceden de las calculadoras. ¡No hay que decir nada!

Segunda parte

- (bis). Fase de orientación dirigida

Si en la explicitación anterior no ha surgido una estrategia eficaz para hacer los cálculos, hay que volver a dirigir laactividad para su búsqueda. No indico que se haga esta actividad antes que la otra para dar posibilidad de nuevasestrategias. Si, por el contrario, hay ya alguna buena estrategia para poder continuar, esta nueva pasada no seránecesaria.

Indicaciones del profesorado:

Calcular el área de un triángulo inicial.


Calcular el área de un triángulo equilátero de 9 cm de lado.


http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN041221.gif - Cuadro 2

- 3(bis). Fase de explicitación

Los portavoces pondrán de manifiesto la relación existente entre proporción de lados y áreas. Se pretenderá que vean que,en este caso, cada área es 1/9 de la anteriormente calculada. Por tanto, lo único necesario será calcular la primera.

Tercera parte

- 2(bis). Fase de orientación dirigida

Se trata de que "descubran" la estrategia de ir sumando las áreas de los nuevos triángulos construidos en cada iteración.

Indicaciones del profesorado: Mostrando en una trasparencia el triángulo inicial y el copo de nieve resultante tras laprimera iteración.


- 3(bis). Explicitación

Los portavoces expondrán sus resultados.

4. Fase de orientación libre

El trabajo de los estudiantes vuelve a ser individual. Se trata de formular una conjetura acerca de la expresión general delperímetro y del área de un copo de nieve cualquiera en la iteración n-sima. Por tanto, aquí se trabajará con un triánguloequilátero inicial de lado unidad.

Indicaciones del profesorado:


5. Fase de integración

El profesorado concluirá con la divergencia de la sucesión de los perímetros y la convergencia de la suma de áreas que semantiene menor que la del cuadrado de lado unidad, para lo cual mostrará en transparencia el paso por disección de undiamante, de lado unidad, a un rectángulo 1 x /2, cuya área es menor que la del cuadrado.


A la altura en que nos encontramos, creo que lo más conveniente es que hagas tú el diseño de esta actividad. Se trata deapoyarnos en la realización de la actividad anterior y plantear la equivalente en 3D.

Sobre el reconocimiento de fractales

Basándome, en parte, en el ejemplo anterior, voy a dar un paso más hacia la adquisición del concepto de dimensión fractal.Es sabido que para que un conocimiento matemático pueda ser enseñado, necesita su correspondiente "transposicióndidáctica". Desde este punto de vista, surgen unas preguntas que exigen respuesta inmediata.

¿Cómo puede reconocer un estudiante si un conjunto de puntos es un fractal? Puede darse una primera respuesta desde laautosemejanza. Es decir, si cada parte es "igual" que el todo se trata de un fractal (por ejemplo, la hoja de chopo. Sinembargo, no siempre es tan fácil la respuesta ya que un determinado conjunto de puntos puede no ser un fractal pero síadmitir una modelización o representación mediante un conjunto fractal (por ejemplo, una línea de costa, una fronteranatural, etc.). ¿Qué hacer en estos casos?

Como verás, los dos casos que cito (la hoja y las líneas naturales) son dos buenos ejemplos de aplicación de esta teoría. Acontinuación presentaré un método de estudio.

Si escribimos en una tabla las longitudes del copo de nieve, podríamos hacerlo como se expone en lahttp://www.grao.com/imgart/images/UN/UN041232.gif - figura 15.

Siempre que se dispone de una tabla, con datos numéricos, se puede proceder a su representación gráfica. En este casoutilizaré las tres representaciones siguientes: (número de iteraciones, y), (x,y), (número de iteraciones, log y) (figura 15).

La representación logarítmica es siempre una recta. ¿Por qué?

En el caso de Koch,

y tomando logaritmos en esta expresión: log y = (n -1 ) log +log 27

Llamando Y = log y, con la ecuación determinamos puntos de una recta de pendientelog .

En general, siempre que se trate de un fractal de este tipo, podemos afirmar que su representación gráfica en unos ejes(n.° de iteraciones, Y) será una recta. Dos conjuntos cuyas rectas logarítmicas tengan pendiente tendrán igual dimensiónfractal.

Bibliografía

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