Actividad 47 ítems q y o - Funciones (pág. 115). Para cada una de las siguientes funciones se pide:

I) Dominio, gráfico e imagen.

II) Determinar propiedades: ceros, intervalos de monotonía, simetrías, signo.

III) Hallar Rp = {x ∈ Df / f(x) > 0}.

IV) Hallar Rn = {x ∈ Df / f (x) < 0}.

q) f(x) =

{x2 − 2x, x > 0

−x2 − 2x, x ≤ 0o) f(x) =

x+ 2, x < −22, x = −2

x2 − 4, x ∈ (−2, 0]Resolución

En estos incisos aparecen dos funciones seccionalmente definidas, es decir, funciones que tienen diferentes re-glas de asignación según sea el valor de la variable independiente. El dominio de estas funciones está dado por launión de los conjuntos en los que se define cada regla, quitando de los mismos los valores que presentan algunarestricción.

q) f(x) =

{x2 − 2x, x > 0

−x2 − 2x, x ≤ 0

I) Dominio, gráfico e imagen.En este caso la función presenta dos reglas de asignación, la primera está definida para los números realesmayores que 0 mientras que la segunda se define para aquellos menores o igual que 0, por otro lado, las reglasno presentan ninguna restricción algebraica, entonces Domf = R.

Para realizar la gráfica debemos analizar cada tramo de definición de la función.

• Si x > 0 se tienef(x) = x2 − 2x

que corresponde a una función cuadrática de la forma ax2 + bx + c, donde a = 1, b = −2 y c = 0, con locual para realizar esta parte de la gráfica de f podemos utilizar el método por corrimientos o el método porelementos sobresalientes, vamos a considerar este último.

Elementos sobresalientesPrimero observemos que como a > 0, la parábola de ecuación y = x2 − 2x tiene sus ramas hacia arriba.

◦ Intersección con eje y:Como c = 0 su intersección con el eje y es el punto (0, 0).

◦ Intersección con eje x:Sacando factor común x, podemos reescribir y = x2 − 2x = x(x − 2) e igualando esta expresión a ceroobtenemos que la intersección de la parábola con el eje x está dada por los puntos (0, 0) y (2, 0).

◦ Vértice y eje de simetría:

La abscisa del vértice podemos calcularla como xv =−b2a

= 1 y su ordenada yv = x2v−2xv = 12−2·1 = −1.

Así el vértice de la parábola está en el punto (1,−1) y su eje de simetría es la recta x = 1.Teniendo en cuenta que estamos considerando los valores de x > 0, sólo nos interesa el arco de la parábolacorrespondiente a dichos valores de x. Notar que no se debe incluir el punto (0, 0) ya que para x = 0corresponde la otra regla de asignación.

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• Si x ≤ 0,f(x) = −x2 − 2x

que también corresponde a una función cuadrática donde a = −1, b = −2, c = 0, y cuya gráfica es unaparábola. Busquemos para esta curva sus elementos sobresalientes.

Elementos sobresalientesAquí a = −1 < 0, con lo cual la parábola de ecuación y = −x2 − 2x tiene sus ramas hacia abajo.

◦ Intersección con eje y:Como c = 0 su intersección con el eje y es el punto (0, 0).

◦ Intersección con eje x:

y = −x2 − 2x = −x(x+ 2) = 0⇔ x = 0 ∨ x = −2.

Luego, la intersección de la parábola con el eje x está dada por los puntos (0, 0) y (−2, 0).

◦ Vértice y eje de simetría:

La abscisa del vértice podemos calcularla como xv = − b

2a= −1 y su ordenada

yv = −x2v − 2xv = −(−1)2 − 2 · (−1) = 1.

Así el vértice de la parábola está en el punto (−1, 1) y su eje de simetría es la recta x = −1.Otra vez sólo nos quedamos con un arco de esta parábola, el que corresponde a los valores de x ≤ 0, queson los que se muestran en la gráfica siguiente. En este caso, el punto (0, 0) sí pertenece a la gráfica.

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Finalmente, la gráfica de f será la unión de ambos arcos de parábolas:

A partir de la gráfica obtenida puede verse que Imf = R.

II) Determinar propiedades: ceros, intervalos de monotonía, simetrías, signo.

◦ Los ceros o raíces de la función son los valores del dominio para los cuales la función se anula, gráficamenterepresentan la intersección de la gráfica con el eje x.En nuestro caso, estos valores son: x = −2, x = 0 y x = 2.

◦ La función f no es monótona en su domino sino que presenta diferentes subintervalos de monotonía. Esestrictamente creciente en (−∞,−1) y en (1,∞) y es estrictamente decreciente en (−1, 1).◦ Puede observarse en la gráfica que f es simétrica respecto del origen de coordenadas, por lo tanto f es un

función impar.

◦ La función en estudio no presenta signo definido ya que asume tanto valores positivos como negativos.

III) Hallar Rp = {x ∈ Domf / f(x) > 0}.Los elementos del conjunto Rp son los valores del dominio de f cuyas imágenes son positivas. Para obtenerlospodemos observar en la gráfica cuáles son los puntos de la curva que están por encima del eje x y proyectarlossobre el mismo.

Así, resulta que Rp = (−2, 0) ∪ (2,+∞).

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IV) Hallar Rn = {x ∈ Df / f (x) < 0}.En el conjunto Rn están los valores del dominio de f cuyas imágenes son negativas. Para determinar el interva-lo correspondiente observamos en la gráfica aquellos puntos que están por debajo del eje x y los proyectamossobre él.

Luego Rn = (−∞,−2) ∪ (0, 2).

o) f(x) =

x+ 2, x < −22, x = −2

x2 − 4, x ∈ (−2, 0]

I) Dominio, gráfico e imagen.Esta función presenta tres reglas de asignación, la primera está definida para los números reales menoresque −2, la segunda se define sólo para x = 2 y la tercera regla es asignada a los números del intervalo (−2, 0].Además las reglas que definen a f no presentan ninguna restricción algebraica. Luego, Domf = (−∞, 0].

Para realizar la gráfica debemos analizar cada tramo de definición de la función.

• En primer lugar notemos que la segunda regla de definición nos da la imagen por f de x = −2, es decir,f(−2) = 2.

• Si x < −2 se tienef(x) = x+ 2

que corresponde a una función lineal cuya gráfica es una semirrecta con origen en el punto (−2, 0) sin incluir-lo. Buscamos otro punto de paso de la semirrecta para poder graficarla, por ejemplo (−4, f(−4)) = (−4,−2).

• Por último, si x ∈ (−2, 0],f(x) = x2 − 4

que corresponde a función cuadrática donde a = 1, b = 0, c = −4, y cuya gráfica es una parábola.

Notemos que en este caso es más conveniente pensar la gráfica mediante corrimientos de la función pro-totipo g(x) = x2, ya que simplemente se trata de un desplazamiento vertical de la misma 4 unidades haciaabajo.

Una vez más sólo nos interesa una porción de esta parábola, la correspondiente a −2 < x ≤ 0. Luegola gráfica de f para este tramo será el arco de la parábola y = x2 − 4 que va desde el punto (−2, 0) (sinincluirlo) hasta el punto (0,−4) (incluido ya que 0 ∈ (−2, 0]).

A partir de este análisis se obtiene entonces la siguiente gráfica para f :

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A partir de la gráfica se observa que Imf = (−∞, 0) ∪ {2}.

II) Determinar propiedades: ceros, intervalos de monotonía, simetrías, signo.

◦ Observando la gráfica notamos que la intersección de la gráfica con el eje x sería el punto (−2, 0) pero dichopunto NO pertenece a la gráfica de f pues f(−2) = 2 6= 0, luego la función f NO tiene ceros.

◦ La función no es monótona en su domino sino que presenta diferentes subintervalos de monotonía. Es es-trictamente creciente en (−∞,−2) y estrictamente decreciente en el intervalo (−2, 0].

◦ El dominio de f no es un dominio simétrico respecto del origen, con lo cual la función f no puede ser ni parni impar .

◦ La función no presenta signo definido ya que asume tanto valores positivos (en x = −2) como negativos.

III) Hallar Rp = {x ∈ Df / f(x) > 0}.La única imagen positiva es la correspondiente a x = −2, entonces Rp = {−2}.

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IV) Hallar Rn = {x ∈ Df / f (x) < 0}.En este caso, el subconjunto del dominio que tiene imágenes negativas está dado por Rn = (−∞,−2) ∪ (−2, 0].

Observación: Dada una función real cualquiera f , la unión de los conjuntos Rp, Rn y el conjunto de las raíces,{x ∈ Df / f(x) = 0}, debe coincidir con el dominio de dicha función.

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