0

Actas del 2º Congreso Uruguayo

de Educación Matemática

20 y 21 de setiembre de 2010

Montevideo Comité organizador Gustavo Bermúdez (Secretario General) Alicia Buquet Marcela Castelnoble Mario Dalcín Cecilia Fernández Ana Medeiros Inés Migliario Sergio Peralta Etda Rodríguez (Presidenta) Helena Sastre Ana Tosetti Fabián Vitabar ISBN 978-9974-98-132-4 Edición: M. Dalcín

1

Conferencias Plenarias

Conferencias Regulares ¿Enseñar geometría? ¿Por qué? ¿Cómo? 15 Norma Susana Cotic Cabri y la creatividad 22 Alicia Noemí Fayó Dígitos de control y códigos correctores: ¿tienen lugar en la educación matemática?

35

Omar Gil Aportes sustantivos de la matemática a la música, de los griegos a la actualidad

31

Marcelo Monferrato y Samira Abdel Masih Una aproximación geométrica al teorema fundamental del álgebra 37 Ángel Pereyra Un enfoque geométrico de las series de Fourier. ¿Qué tuvo que ver Pitágoras?

38

Jorge Brisset La enseñanza de la noción de función: una mirada en busca de una renovación

39

Alejandra Pollio Aproximaciones racionales de raíces cuadradas, de la Antigüedad a nuestros días

46

Alejandro López Rosso

La investigación en Didáctica de la Matemática y las prácticas de enseñanza: algunas propuestas

4

Cristina Ochoviet Introducir grafos en la currícula: una propuesta para favorecer el proceso de enseñanza-aprendizaje

14

Teresa Braicovich

2

Arte digital y Geometría Dinámica 52 Fabián Vitabar Puntos medios y sus diversas conexiones 58 María del Carmen dos Santos Farías Trivel El desafío de atender a la diversidad en el aula de matemáticas 64 Helena Sastre ¿Álgebra en la escuela primaria uruguaya? 70 Ariel Fripp Rainiere Minicursos y Talleres Una propuesta: incorporar algunos conceptos de grafos en el proceso de enseñanza-aprendizaje

75

Teresa Braicovich La pregunta como móvil de la conjeturación y demostración de propiedades geométricas

81

Mario Dalcín - Verónica Molfino Diferentes perspectivas en el abordaje del cálculo infinitesimal escolar 85 Verónica Molfino - Yacir Testa Diseño de Web Quest para la clase de matemática 92 Norma Susana Cotic Matemática en movimiento 97 Ana Martínez – Cristina Ochoviet Experiencias con Power Point, una propuesta didáctica 98 Helena Sastre Geometría Dinámica empleando XO. La Geometría Dinámica en la resolución de situaciones problemas en el aula

100

Wilsmar dos Santos - Patricia Vedovatti Scratch: nociones básicas y aplicaciones para matemática de primer año de enseñanza media

104

Inés Kereki Recursos didácticos: efectos especiales y didáctica de la geometría 105 Martín de Amores

3

Patrones: introducción al álgebra 106 Verónica Scorza - Berenice Verdier Taller Conozco* 107 Lucía Brun – Ana Cichero Comunicaciones Breves Robots relaciones con la matemática 113 Jesusa Pereira Matemática, profundización y uso de tic’s 117 Matías Robaina, Bruno Balzani, Mayra Delgado, Stefani Díaz, Eugenia Franco, Alejandro Hernández, Mauricio Pondelek, Federico Torres, Guadalupe Zamora, Susana gonzález (prof.)

La experiencia Semipresencial en la formación de profesores en Uruguay

118

Ana María Tosetti – Susana Oliveros – Daniela Pagés Grupo teórico-práctico con evaluación continua 122 Jorge Moretti Expresiones algebraicas y el triángulo de Pascal 123 Verónica Scorza Un nuevo universo, breve investigación sobre geometría hiperbólica. 130 Mariela Blanco - Patricia Echenique - Rosario Mariani Matemática – X 136 Saúl Tenenbaum ¿? 140 Valeria Orrico – Édison Garrone Panel final Omar Gil (Universidad de la República) 141 Cristina Ochoviet (Departamento de Matemática de Formación Docente) 147 Daniel Olmos (Inspección de Matemática de UTU) Lilián Muñoz (Inspección de Matemática de Secundaria) 149 Alicia Xavier de Mello (Inspección de Primaria

4

Conferencias Plenarias Conferencia de apertura del congreso

LA INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA Y LAS PRÁCTICAS DE ENSEÑANZA: ALGUNAS PROPUESTAS

Cristina Ochoviet Departamento de Matemática del Consejo de Formación en Educación

cristinaochoviet@gmail.com

Itinerario 1. Contextualización de la reflexión. 2. ¿Qué puede aportar la investigación en Didáctica de la Matemática a la enseñanza? Algunos ejemplos. 3. Propuesta de posgrado en Didáctica de la Matemática en el marco del Sistema Nacional de Educación Pública. 4. Reflexiones finales. 1. Contextualización de la reflexión Los problemas existentes en la enseñanza de la matemática en nuestro país no son nuevos para nadie. Autoridades, docentes, padres, alumnos, hacen explícita su preocupación, que es divulgada en diversos medios masivos de comunicación. Desde diversos ángulos se plantean recomendaciones y sugerencias con el fin de mejorar los aprendizajes. Pero la pregunta clave es: ¿en qué se fundamentan esas recomendaciones y esas sugerencias? A nivel internacional, existe hoy en día una producción extraordinaria de resultados de investigación en educación matemática que son publicados en un sin fin de revistas especializadas y brindan información muy rica acerca de la problemática del campo. En nuestro país la investigación en Didáctica de la Matemática es casi inexistente, en el ámbito de formación docente podríamos decir que se encuentra en estado incipiente, existen a nivel nacional algunos esfuerzos que se realizan más que nada a nivel individual o en pequeños grupos de trabajo y emprendimientos a nivel de algunas instituciones privadas que ofrecen posibilidades de cursar estudios de postgrado y que por supuesto incluyen la formación en investigación. Podríamos preguntarnos -aunque la respuesta es inmediata- cuáles son las ofertas de postgrado que ofrece el Sistema Nacional de Educación Pública para que los profesores de matemática puedan continuar perfeccionándose, por ejemplo, en aquello para lo cual se han formado: la tarea de enseñar matemática. Tal como lo señala Gatti (2009) “La oferta de formación universitaria de grado y postgrado en materia educativa se ha convertido en un nicho de mercado tentador para las agencias transnacionales. Las Universidades privadas están desarrollando planes en este sentido” y agrega “Algunos valoran positivamente cómo ha revitalizado la vida académica esta oferta privada. Otros, en cambio, opinan que «capturar la formación de los profesionales de la educación —mediante la liberalización al juego del ‘‘libre mercado’’— puede ser un buen negocio para el ámbito privado. Ante esto, se sostiene que el Estado no puede quedar omiso y dejar la formación docente pública en un nivel de educación terciaria no universitaria, lo que dejaría en desventaja a sus egresados en relación con aquellos que cursen carreras en el ámbito privado. Dados estos procesos de mercantilización de la educación, se plantea como una cuestión de soberanía nacional la formación de profesionales de la educación de nivel superior, como un bien público no negociable en el mercado transnacional» (CODE[1], 2006b: 38)”. [1] Comisión Organizadora del Debate Educativo. 2. ¿Qué puede aportar la investigación en Didáctica de la Matemática a la enseñanza? Algunos ejemplos. La NCTM (2000) señala –sin desconocer la complejidad del acto de enseñar– que una enseñanza efectiva de la matemática requiere de docentes con amplios conocimientos matemáticos, conocimiento de las

5

ideas centrales de cada nivel escolar, conocimientos sobre los desafíos que enfrentarán los estudiantes al estudiar esas ideas, conocimiento sobre la manera en que esas ideas pueden ser representadas para ser enseñadas y conocimiento acerca de cómo puede evaluarse la comprensión de esas ideas. Particularmente, la NCTM enfatiza la necesidad de que los docentes conozcan las ideas con las que los estudiantes frecuentemente tienen dificultades y la manera de ayudarlos a superarlas. Todo docente tiene un vasto conocimiento del tipo de errores más frecuentes que cometen sus estudiantes, de los conceptos que resultan difíciles de comprender y del tipo de actividades que resultan adecuadas e interesantes para el estudio de los diferentes contenidos matemáticos de los programas escolares. Sin embargo, la investigación puede ofrecernos miradas más profundas sobre las dificultades que habitualmente detectan los docentes en sus aulas y sobre otras, quizás, no tan visibles en el quehacer habitual del profesor y de la natural observación de sus estudiantes y su proceso de estudio. Como afirma Margolinas (1998) para que un hecho didáctico se transforme en fenómeno didáctico, debe ser entendido además de constatado y para ello es necesario interpretarlo a la luz de una teoría. * Papaieronymou (2007) Pidió a los estudiantes dar “una ecuación que tiene 2 como solución”, obtuvo las siguientes respuestas:

1 + x = 2 1 + 1 = 2 12 – x = 2 10 ÷ x = 2

Estudiantes uruguayos de 14-15 años y de 17-18 años. Escribe una ecuación que tenga raíz 8. ¿Cómo lo haces?

Edad No contestan

Resuelven con

éxito

La ecuación encontrada

no tiene raíz 8

14-15 años

1 11 2

17-18 años

0 12 2

Correctas Incorrectas

Ejemplos de ecuaciones que tienen raíz 8, presentadas por estudiantes de 14-15 años

(correctas o incorrectas)

x – 8 = 0 8 – x = 0 4 + 4 = x 16 – 8 = x x + 2 = 10

-2 + 2x = 14 x + 8 = 16

2x + 3 = 19 (x – 8)x = 0

= 1,8x + 3,2

6

Ejemplos de ecuaciones que tienen raíz 8, presentadas por estudiantes de 17-18 años

(correctas o incorrectas)

2x2 - 16x = 0 x(x – 8) = 0

x – 8 = 0 2x – 16 = 0 16 – 2x = 0 4x – 32 = 0

x2 = 8

128x2 – 2 = 0

* Carpenter, Franke y Levi (2003)

Completa 8 + 4 = ___ + 5 8 + 4 = ___ + 5 8 + 4 = ___ + 5

* Pico (2008) Completa

8 + 4 = ___ + 5 8 + 4 = 7 + 5 3 niños 8 + 4 = 12 + 5 10 niños 8 + 4 = 12 + 5 = 17 7 niños 8 + 4 = 17 + 5 1 niño

Comentarios de los alumnos:

¿Después del + 5, ponemos igual? ¿Dónde va el resultado? ¿Qué hacemos con ese 5?

Completa:

___ = 8 + 9 17 = 8 + 9 4 + 4 = 8 + 9 10 + 7 = 8 + 9

Comentarios de los alumnos:

¿Esta cuenta la hacemos al revés? Yo la hice al revés. Yo no entiendo.

Indica Verdadero o Falso (algunos ejemplos)

Verdadero

Falso

9 = 9 15 6

8 x 5 = 5 x 8 20 1

7

Comentarios de los alumnos: Para 9 = 9

• No entiendo como es que 9 da 9. • ¿Es como poner 9 + 0 = 9?

Para 8 X 5 = 5 X 8

• Es V porque 8 x 5 = 40 y 5 x 8 = 40. • Es V porque 8 x 5 te da el mismo resultado que 5 x 8.

Para 8 X 5 = 5 X 8

• Es V porque en las multiplicaciones se puede poner el segundo número primero y el primero, segundo y el resultado es el mismo.

• Es F porque 8 x 5 no te puede dar una multiplicación. • Es F porque hice la cuenta mental y no es igual porque 8 x 5 es 40 y no, 5 x 8.

* Carpenter, Franke y Levi (2003) sugieren que para presentar el uso del signo de igual a los niños, se propongan actividades que promuevan el entendimiento de la relación entre dos cantidades y no únicamente como indicación de que debe realizarse una operación. Son ejemplos de estas actividades trabajar con la interpretación de oraciones numéricas como 5 = 5, 9 = 8 + 1, 4 + 3 = 4 + 3. * Kieran (1981) señala que no existe evidencia que sugiera que los niños cambian su pensamiento sobre la igualdad, a medida que progresan hacia grados superiores. Kieran refiere a Behr (1976) quien propuso a niños igualdades como 4+5=3+6. Una respuesta frecuente fue que “luego del `=´ debe estar la respuesta. Es el final, no otro problema” seguidamente escribían dos igualdades “4+5=9” y “3+6=9”. Kieran señala que varios estudios realizados con estudiantes de 12 a 14 años detectaron que estos describen el significado del signo de “igual” en términos de “una respuesta” y proponen ejemplos que involucran una operación en el lado izquierdo y su resultado en el derecho. Quizás esto pueda explicar -en parte- el problema que me comentó una colega al leer mi comunicación, donde me manifestaba la dificultad de sus estudiantes para trabajar con ecuaciones como 3(x + 4) = x - 2 manteniendo ambos miembros. Mi colega observaba que los estudiantes escriben 3(x + 4) = 3x + 12 y “pierden” la ecuación… * Vaiyavutjamai y Clements (2006) Resolver la ecuación:

(x – 3)(x – 5) = 0 Los alumnos responden que tiene 3 y 5 como soluciones. Al momento de verificar, plantean lo siguiente:

(3 – 3)(5 – 5) = 0 Este mismo fenómeno se observó también en el contexto de ecuaciones de primer grado. Para ilustrar esta concepción errónea Fujii (2003) propuso a los estudiantes: María tiene que resolver el siguiente problema

“Encuentra el valor o los valores de x en la expresión x + x + x = 12”

Contestó de la siguiente manera.

a. 2, 5, 5 b. 10, 1, 1 c. 4, 4, 4

8

¿Cuál o cuáles de sus respuestas son correctas? (Circula la o las opciones que son correctas: a, b, c) A un estudiante que eligió las tres opciones como soluciones aceptables se le preguntó si x + x + x se puede reemplazar por 3x, y él contestó: Se puede, pero también puede ser incorrecto. Depende de a qué es igual la x, porque x puede ser igual a 10, la primera x, y luego la segunda x puede ser igual a 2. A dos grupos de estudiantes uruguayos (14 alumnos en cada grupo) se les propuso: Escribe una ecuación que tenga por raíces a 4 y 3. ¿Cómo lo haces?

Edad

No contestan o no concluyen

Resuelven con éxito

La ecuación encontrada no tiene por raíces

a 4 y 3

14-15 años 5 3 6

17-18 años 1 12 1

Edad Trabajo presentado por el estudiante

Trabajo presentado por el estudiante

Argumento

17-18 años (x - 4)(x - 3) = 0 "Busco ecuaciones por las cuales al sustituir x por 4 y por 3 me dé 0"

17-18 años (x - 4)(x - 3) = 0 "Los opuestos son las raíces"

17-18 años (x - 4)(x - 3) = 0 "Escribo un producto que tenga 2 soluciones y que a cada factor si le sustituyo por la raíz me dé por lo

menos un factor 0"

14-15 años (x - 4)(y - 3) = 0 "Busco los números opuestos a 4 y 3"

14-15 años (x + 3) = (y +1)+1 Sin argumento

14-15 años (x - 4)( x- 3) = 0 "Realizo una ecuación donde esté la x y el opuesto a 4 y 3"

9

* Wagner (1993) sostiene que “las letras son fáciles de usar pero difíciles de comprender”. Señala que una de las dificultades radica en que “las letras son similares a las palabras pero diferentes”. Si queremos sustituir x en 3(x + 2) + 5 = 17 - 2x, debemos asignarle a x el mismo valor en cada ocurrencia, mientras que en una misma oración una misma palabra puede tener significados distintos. “La suma de un número par y un número impar es siempre un número impar”. La reflexión de Wagner es fácil de visualizar si cambiamos el sistema de representación por el que habitualmente se utiliza con los estudiantes antes de introducir letras en situaciones donde se pide completar los términos que faltan: Completa:

25 + 32 + ___ + ___ = 80 Esta actividad está extraída de un libro de texto de primer año de CB en la unidad Número Natural, si se esperara que los estudiantes colocaran el mismo número en ambos cuadros, no podrían utilizarse números naturales. Por tanto podría inferirse que no se espera que en ambos cuadros se coloque el mismo número. Algunas veces el uso de estos cuadros constituye un paso previo a la introducción de las letras pero obsérvese que su funcionamiento es distinto. Wagner sugiere que en la enseñanza se debe ayudar a los estudiantes a reconocer que una letra es similar a una palabra en el sentido de que puede tener distintos significados en distintos contextos pero una letra es diferente de una palabra porque debe referir a lo mismo en un mismo contexto. Cuando se reporta este tipo de problemática alguien podría pensar en que se trata de alumnos pequeños, que están dando sus primeros pasos en el estudio del álgebra y que aún no han finalizado la enseñanza media. Veremos ahora el caso de una estudiante uruguaya de tercer año de profesorado que muestra la persistencia de una concepción errónea en torno al problema de la asignación simultánea de distintos valores a la x en la ecuación (2x-6)(5x+10)= 0. El caso de Camila (27 años) Entrevistador: Te quería preguntar... Resuelve en R esta ecuación. Verifica la o las soluciones que obtengas. Mencionaste que aplicabas la propiedad Hankeliana y hallaste las raíces 3 y –2. ¿Cómo hacés la verificación? [Se refiere a (2x-6)(5x+10)=0] Camila: No, no lo hago así. Hallé las raíces y no sé por qué (risas) puse en cada uno de donde salió cada una de las raíces, sustituí el valor, pero no verifico así. Verifico una toda con el valor 3 y toda la otra con el valor –2. Yo llegué porque me daba cero por cero igual a cero. Entrevistador: Pero aquí cuando lo hiciste en qué pensaste. Camila: No sé en qué pensé pero nunca hago eso. No sé si capaz que lo hacia cuando iba al liceo pero hace años... Además cuando yo hago problemas, así de cuentas, lo hago muy prolijo, paso por paso y después verifico y nunca me mando eso. Entrevistador: ¿Y cómo hacés la verificación? Camila: Pruebo con un valor y después pruebo con el otro, independientemente uno del otro. La entrevista continúa... Entrevistador: ¿Y qué pasaría si tú sustituyeras aquí 4 y aquí 7? [Se refiere a (2x-8)(x+7)= 0]

10

Camila: Al sustituir aquí por 4, este factor ya es 0, entonces aquí x valga lo que valga, el producto ya va a ser cero y se va a verificar la ecuación. Entrevistador: ¿Y qué quiere decir eso? Camila: No, pero aquí puede ser 7 o puede ser cualquier otro número, porque este factor no me está, o sea, el que está dando importancia es éste, no sé cómo decirlo, el que está determinando que la igualdad sea cero, porque éste se está haciendo cero cuando x vale 4, éste no importa la x que sea. * Vaiyavutjamai, Ellerton y Clements (2005) Resultados correspondientes a 29 estudiantes universitarios de segundo año que se formaban como profesores de matemática para la enseñanza media. Consigna: Considera la ecuación (x – 3)(x – 5) = 0

Verdadero Falso

1. Si en el primer paréntesis x toma valor 3, en el segundo, x debe ser igual a 5.

10 19

2. Si en el primer paréntesis x toma valor 3, en el segundo, x puede puede tomar cualquier valor real.

3 26

3. Si en el segundo paréntesis x toma valor 5, en el primero, x puede tomar cualquier valor real.

3 26

4. Esta ecuación es equivalente a x2–8x+15=0, que es una ecuación cuadrática con dos soluciones. Por tanto, en (x–3)(x–5)=0, la x del primer paréntesis siempre toma valor 3, y la x del segundo paréntesis siempre toma valor 5.

16 13

Los ejemplos que hemos visto ponen en evidencia algunas concepciones de los estudiantes que podrían ser útiles para los docentes para formular preguntas, diseñar actividades o conducir situaciones de clase. La información que emerge de la investigación es muy útil al docente porque incrementa su conocimiento sobre las dificultades de los estudiantes y le permite ayudarlos de mejor manera en el desarrollo del pensamiento matemático. Estudiantes uruguayos de 14-15 años y de 17-18 años 1) A continuación aparecen graficadas las rectas asociadas a un sistema de tres ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? ¿Por qué?

11

Respuestas de dos estudiantes de 15 años: “En mi opinión tiene 3 soluciones, porque las rectas se cortan en 3 puntos diferentes, los cuales por lo menos en los sistemas de dos ecuaciones indican la solución” “Tres soluciones: porque las rectas se cortan tres veces formando tres puntos (soluciones)” Se resumen las respuestas de uno de los grupos de 14-15 años y del grupo de 17-18 años Grupo 1 (14-15 años)

Respuestas a la pregunta 1 Número de alumnos Porcentaje

El sistema no tiene solución 7 27

El sistema tiene tres soluciones 14 54

Otras respuestas 5 19

Total 26 100

Grupo 3 (17-18 años)

Respuestas a la pregunta 1 Número de alumnos Porcentaje

El sistema no tiene solución 6 29

El sistema tiene tres soluciones 7 33

Otras respuestas 8 38

Total 21 100

Bruno de 18 años

El cuestionario propuesto a los estudiantes también permitió observar qué tipo de actividades contribuían a un cambio en las interpretaciones de los alumnos. Vemos un ejemplo tomado del trabajo de un estudiante de 15 años:

12

Citaré una frase de Bachelard en La formación del espíritu científico: “No es en plena luz, sino en el borde de la sombra donde el rayo, al difractarse nos confía sus secretos”. Esta es una bella frase, bastante poética, análoga a la situación en la que nos encontramos: es en particular con los alumnos en dificultades y en el análisis de los errores que aprendemos más sobre la comprensión de la matemática. (Adda, 1987) Propuesta de postgrado en Didáctica de la Matemática en el marco del Sistema Nacional de Educación Pública Como decía al comienzo, la NCTM (2000) enfatiza la importancia de que los docentes conozcan las ideas con las que los estudiantes frecuentemente tienen dificultades y la manera de ayudarlos a superarlas. Una vía para lograr esto es el desarrollo de postgrados. Con esto no pretendo establecer que todo profesor debe formarse como investigador, pero lo que sí deseo señalar es que es necesario comenzar a construir una comunidad de investigadores en Didáctica de la Matemática en nuestro país, que mantenga fuertes lazos con el colectivo docente. Posibilitar en nuestro país las condiciones para ejercer el derecho a la actualización permanente y al desarrollo de postgrados en el sistema nacional de educación pública aparece como una necesidad inminente para consolidar la profesionalización de los docentes y contribuir a la generación de conocimiento en torno al aprendizaje de la matemática en el Uruguay. En el año 2008 fui convocada para integrar el Comité Académico de Postgrado en Didáctica de la Enseñanza Media y se diseñó la malla curricular del Postgrado en Didáctica de la Matemática para enseñanza media. El nivel de especialización de este postgrado fue oportunamente aprobado por CODICEN pero hasta el día de hoy se encuentra en suspenso su desarrollo. Les presento la malla curricular.

SEMESTRE I Número de horas

SEMESTRE II Número de horas

SEMESTRE III

Número de horas

SEMESTRE IV

Número de horas

Discusión epistemológica:

Didáctica General, Didácticas Específicas

60 Taller de abordaje multi

e interdisciplinar

io de las prácticas

educativas

90 Investigaciones relativas a la enseñanza

y el aprendizaje

de la Probabilidad

y la Estadística

60 El arte y la matemática:

algunas relaciones

paradigmáticas

45

Educación y articulación lenguaje-

pensamiento

60 Investigaciones relativas a la enseñanza y el aprendizaje del

Álgebra

60 Investigaciones relativas a la enseñanza

y el aprendizaje del Cálculo

60 La educación matemática desde una

perspectiva crítica

45

Narración y educación

45 Investigaciones relativas a la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría

60 Situaciones de

aprendizaje

60

Metodología de la investigación

60 Análisis del Discurso

Matemático Escolar

45 Laboratorio 90

La inclusión de la historia

de la matemática

en la enseñanza de

la matemática: diferentes

perspectivas

60

Didáctica de la Matemática/Educació

n Matemática/Matemát

ica Educativa. Análisis de su

45 Metodología de la

investigación en Didáctica

de la Matemática I

45 Metodología de la

investigación en Didáctica

de la Matemática II

60 TESINA

TESIS 450

13

evolución y estado actual

TOTAL 270 TOTAL 300 TOTAL 330 120 TESIS 600 A través de un convenio ANEP-UdelaR, se acordó que -en común acuerdo entre las partes y cumpliendo los procedimientos formales necesarios por parte de ambas instituciones- la UdelaR otorgaría los títulos de postgrado. Al día de hoy no tenemos noticias concretas del estado en el que se encuentra el procedimiento de aprobación. Al parecer el documento está a la espera de ser analizado por parte de la CAP de la UdelaR para que esta considere su aprobación. Mientras tanto el colectivo de docentes espera la oportunidad de que algún día se concrete el proyecto que les posibilite una vía de acceso formal al perfeccionamiento. Reflexiones finales Instalar en nuestro país las condiciones para desarrollar investigación en educación matemática aflora como una de las condiciones que contribuiría a entender mejor los actuales problemas que enfrenta la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, y a emprender proyectos de trabajo más adaptados a nuestra realidad educativa. No posibilitar el desarrollo del posgrado implica continuar postergando la formación cuaternaria de los profesores de matemática en el marco del Sistema Nacional de Educación Pública. Sería entonces importante que los docentes manifestáramos con mayor contundencia nuestras necesidades y exigiéramos el derecho a la formación permanente. Quizás sea oportuno, en esta coyuntura, parafrasear a la poetisa Tatiana Oroño que dice: cuando no nos escuchan tenemos que levantar la voz. Muchas gracias

14

Conferencista invitada

INTRODUCIR GRAFOS EN LA CURRÍCULA: UNA PROPUESTA PARA FAVORECER EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE

Teresa Braicovich

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Conferencias Regulares

¿ENSEÑAR GEOMETRÍA?¿PORQUÉ?¿CÓMO? Norma Susana Cotic

Institutos de Formación Docente Buenos Aires-Argentina

nscotic@gmail.com La enseñanza de Geometría ha resurgido con fuerza en los últimos años y su incorporación aparece en los diseños curriculares actuales de los distintos niveles, sin embargo, los investigadores y docentes reconocen que la dedicación a su enseñanza sigue de alguna manera postergada. Varios son los obstáculos e interrogantes que surgen y sobre los cuales se continúa reflexionando y proponiendo alternativas. En esta exposición se plantean reflexiones sobre ¿por qué? es necesario enseñar Geometría, ¿qué? conocimientos geométricos son necesarios en los distintos niveles y ¿cómo? utilizar metodologías, estrategias y recursos para generar aprendizajes significativos y desarrollar nuevas competencias en los alumnos según el contexto en que se desenvuelven. Se presentarán algunas experiencias obtenidas en cursos de capacitación docente para enfocar la enseñanza de la Geometría a través de trabajos colaborativos utilizados en el aula. Extenso

Las investigaciones realizadas en los último tiempos sobre los múltiples interrogantes que se plantean en

los distintos niveles educativos, al referirse a la enseñanza de la Geometría y los aportes desde la práctica

docente, han influido significativamente en la elaboración de los diseños curriculares y en las

metodologías y estrategias utilizadas para que el alumno logre desarrollar nuevas competencias.

Se coincide, en que la geometría ayuda a ejercitar habilidades de pensamiento y estrategias de resolución

de problemas, ya que induce al alumno a poner en juego los conocimientos que posee, los cuestione a

partir del error, construya modelos, proponga soluciones, las comunique, defienda, saque conclusiones y

finalmente genere nuevos conocimientos.

En el prediseño curricular de nuestro país se consolidó la idea que:

Una buena enseñanza de la geometría es la que brinda a los alumnos la oportunidad de desarrollar

sus capacidades lógicas y de percepción , haciéndolos evolucionar del nivel intuitivo, a un nivel de

análisis de las propiedades de los cuerpos y figuras y de las relaciones entre ellas, estimulándolos a

ser rigurosos con sus

representaciones, su lenguaje, sus conjeturas, sus argumentaciones y sus deducciones.

Con respecto a qué? contenidos deben desarrollarse , existe un trabajo de organización a hacer por el

docente que no puede ser concebido como si fuera único, se deben buscar las variadas conexiones que

pueden realizarse entre los principales ejes temáticos para establecer secuencias de contenidos

contextualizados de complejidad creciente en forma cíclica, acordes a las posibilidades de comprensión

de los alumnos en cada nivel de modo que éste se convierta en un factor activo en la adquisición del

conocimiento

En la Educación Básica, la enseñanza de la Geometría debe ayudar a familiarizar a los alumnos con el

espacio, dándoles oportunidades para explorarlo, ya que su entorno está lleno de formas geométricas,

cuerpos y figuras en movimiento, con sus deformaciones y proyecciones, lo que les permite aplicar y

abstraer progresivamente conceptos y propiedades. Incluso sus juegos están relacionados con figuras y

cuerpos geométricos

16

El docente debe entonces, tratar de buscar situaciones reales o imaginarias que le sean familiares

(desplazamientos con su cuerpo o con objetos, instrucciones de rotación en sí mismo o alrededor de un

objeto , formas de objetos conocidos...),.así como actividades de reconocimiento en el espacio a través

de plegado, recorte y modelado, entrando progresivamente en la formalización de los conocimientos.

En la Educación Secundaria, se apunta al desarrollo del un modo de pensar propio del saber

geométrico, que supone poder nutrirse con conocimientos y propiedades conocidas sobre las figuras y

los cuerpos para poder anticipar relaciones no conocidas y llegar a situaciones de resolución de

problemas que supongan un desafío y que provoquen el desarrollo de las destrezas propias del

pensamiento geométrico como proponer nuevos problemas a partir de la solución de uno previo,

enfrentar una situación nueva, relacionarla con otros conocimientos, buscar información, analizarla,

establecer relaciones , argumentar y lograr resultados comprobables con el apoyo de las Tecnologías de

la Información y la Comunicación , que son un aporte indispensable para avanzar en la creación de

conjeturas que generen argumentaciones y demostraciones

Según el Dr Luis Santaló…. lo más apropiado para la transición entre una escuela primaria tradicional

y una escuela secundaria renovada era un programa de Geometría Intuitiva que despertara el interés de

los alumnos…

La denominación de intuitiva no excluye la demostración sino que, por el contrario, la intuición es el

basamento fundamental para desarrollar con más firmeza el pensamiento lógico deductivo. La condición

indispensable es que las demostraciones no deben ser impuestas por el profesor sino construidas por los

alumnos. Lograr una demostración por distintos caminos es el logro personal que inspira a los alumnos

para continuar profundizando conocimientos y procesos.

El conocimiento geométrico entonces, no es absoluto sino que se convierte en algo relativo a las

experiencias individuales y grupales , así cualquier situación geométrica, por elemental que sea, permite

una amplia gama de posibilidades de exploración, formulación de conjeturas y experimentación de

situaciones con la idea de explicar, probar o demostrar hechos.

También para Claudi Alsina (1992), el conocimiento del espacio geométrico supone dos momentos: uno

que corresponde a la intuición y el otro a la lógica, que llama, de naturaleza intuitiva y de naturaleza

verbal. Estos momentos, aunque muy distintos, se complementan y, aunque el segundo surge como

superador del primero necesita permanentemente de éste.

Características de las etapas intuitiva y lógica del pensamiento geométrico

17

Otra referencia importante lo constituyen los Principios y Estándares para la educación Matemática1

que establecen que los programas y planes de enseñanza en todos los niveles deberían capacitar a los

estudiantes:

En Geometría para

• Analizar las características y propiedades de figuras geométricas de dos y tres dimensiones y

desarrollar razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas.

• Localizar y describir relaciones espaciales mediante coordenadas geométricas y otros sistemas de

representación.

• Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas.

• Utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la modelización geométrica para resolver

problemas

En Razonamiento y Demostración para

• Reconocer el razonamiento y la demostración como aspectos fundamentales de las matemáticas.

• Formular e investigar conjeturas matemáticas.

• Desarrollar y evaluar argumentos matemáticos y demostraciones.

• Elegir y utilizar varios tipos de razonamiento y métodos de demostración.

En Comunicación para

• Organizar y consolidar su pensamiento matemático a través de la comunicación.

• Comunicar su pensamiento matemático con coherencia y claridad a los compañeros, profesores y

otras personas.

• Analizar y evaluar las estrategias y el pensamiento matemáticos de los demás.

• Usar el lenguaje matemático como precisión para expresar ideas matemáticas.

En las Conexiones para

• Reconocer y usar las conexiones entre ideas matemáticas.

• Comprender como las ideas matemáticas se interconectan y construyen unas sobre otras para

producir un todo coherente. 1 National Council of Teachers of Mathematics Consultado en línea www.nctm.org

18

• Reconocer y aplicar la matemática en contextos no matemáticos.

En Representación para

• Crear y utilizar representaciones para organizar, registrar y comunicar ideas matemáticas.

• Seleccionar, aplicar y traducir representaciones matemáticas para resolver problemas.

• Usar representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos.

En Resolución de problemas para

• Construir nuevos conocimientos a través de la resolución de problemas.

• Resolver problemas que surjan de las matemáticas y de otros contextos.

• Aplicar y adaptar diversas estrategias para resolver problemas.

• Controlar el proceso de resolución de los problemas matemáticos y reflexionar sobre él.

Todos estos datos son útiles en el momento de organizar las actividades, para saber cuáles pueden ser las

limitaciones para el tipo de tarea que se le pide al alumno.

A pesar de que los estudiantes se desenvuelven en un mundo tridimensional carecen, en muchos casos, de

intuiciones espaciales. Este problema, bastante generalizado, se basa en la dificultad para representar las

formas espaciales en el plano. Para conseguir desarrollar la capacidad de visión espacial, las TICs

constituyen un recurso indispensable porque permiten la visualización de las formas espaciales mediante

una representación en el plano, potenciando el desarrollo de la abstracción espacial de las propiedades

geométricas de las formas.

El alumno solo puede comprender aquellos conocimientos y actividades que el docente presenta

adecuados a su nivel de razonamiento sino solo le provocará angustia y decepción.

Para evitar estas situaciones, otra variable, es el conocimiento del estilo de aprendizaje predominante

de los alumnos, diferenciando las características de los cuatro estilos: ACTIVO-REFLEXIVO-

TEORICO-PRAGMATICO, que ayudan al docente a adaptar su metodología al estilo preponderante del

grupo humano al que se dirige para optimizar los procesos de mejora continua de la enseñanza. Conocer

y escuchar a nuestros alumnos son claves para obtener con éxito los objetivos que se desean.

Surge, además, la consolidación del concepto de competencias, definido por el Consejo Federal de

Cultura y Educación de Argentina como:

“un conjunto identificable y evaluable de conocimientos, actitudes, valores y habilidades relacionados

entre sí que permiten desempeños satisfactorios en situaciones reales de trabajo, según estándares

utilizados en el área ocupacional”

Por competencia se entiende la capacidad de:

conocer y comprender (conocimiento teórico de un campo del saber).

saber cómo actuar (aplicación práctica y operativa del conocimiento a diversas situaciones).

saber cómo ser (los valores como parte integrante de la forma de percibir a los otros y saber adaptarse

a un contexto social).

Considerados todas las variables expuestas, surge entonces otro interrogante, ¿cómo? enseñar geometría.

El camino más adecuado para poder diseñar ambientes de aprendizaje ricos en actividades geométricas

desde distintas ópticas, es que los docentes experimenten situaciones similares a las de sus alumnos. En

este momento el aspecto de mayor interés en nuestro país, es justamente la formación de los futuros

docentes de matemática y la capacitación de los docentes en actividad. Se ha puesto de manifiesto en la

19

formulación de planes de acción con orientaciones metodológicas fundamentadas en las investigaciones

realizadas, los textos diseñados específicamente y las asistencias técnicas con especialistas en temas

específicos en cada nivel en la institución que lo solicita.

Como formadores de profesores de matemática tenemos a cargo tanto la formación específica como la

metodológica, es un oportunidad de poner en práctica con nuestros estudiantes las teorías y modelos

didácticos que en cada momento consideramos más pertinentes como resultados de la investigaciones

realizadas en esos campos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría. Algunas de ellas son:

1-una planificación detallada de las clases, para reconocer los distintos momentos de la secuencia,

preparando las situaciones que promuevan la exploración, generen dudas, propongan conjeturas y

justifiquen posibles soluciones, anticipándose a las dificultades de los alumnos, utilizando material

didáctico adecuado y comprendiendo las ideas que surjan espontáneamente. Es importante señalar que una misma tarea puede dar origen a situaciones muy diversas de aprendizaje,

dependiendo de la manera como se presenta a los alumnos, y como éstos interpretan y aceptan el desafío.

Pedro da Ponte(Universidad de Lisboa) aclara ..las tareas son importantes, pero más importante es la

manera en que se presentan en el aula. Una lección donde los alumnos trabajan en exploraciones o

investigaciones tiene tres partes principales, introducción, desarrollo del trabajo, presentación de

resultados y discusión (se institucionaliza el nuevo conocimiento).

2-el análisis de las producciones de los alumnos, que permite comprobar la capacidad para analizar

situaciones problemáticas, elaborar y justificar soluciones distintas y dar sentido a los conceptos y

procedimientos geométricos al relacionarlos con otras disciplinas.

En los cursos de capacitación se solicita a los docentes que socialicen su experiencia, describan los

aspectos más destacados del trabajo de sus alumnos, revisen la formulación de preguntas, analicen si han

logrado las respuestas pretendidas o no se obtuvieron los resultados esperados, propongan otras

actividades complementarias, realicen un registro de los resultados, etc.

Actividad para el aula. Relacionando áreas.

En el rectángulo ABCD, se trazan las paralelas a los lados por el

punto P de la diagonal. ¿Dónde debe ubicarse el punto P para que el

área del rectángulo RCNP sea mayor que el área del rectángulo

AMPS? ¿Y para que sean iguales?

Crónica de la clase: Algunos alumnos midieron con regla los lados

para determinar las áreas aproximadamente, otros dibujaron en papel y recortaron los rectángulos para

superponerlos, algunos utilizaron propiedades. Por distintos procedimientos, coincidieron en que

variando la posición del punto P, se obtienen rectángulos de igual área. El docente solicitó una

justificación de la conjetura, lo que resultó muy simple al recordar que la diagonal de un rectángulo lo

divide en triángulos iguales. Se amplió la actividad con la propuesta de verificar si es posible extender la

respuesta para otros cuadriláteros.

3- incorporar actividades de modelaje con el uso de las TIC´s. En particular, los programas de

geometría dinámica han revolucionado la manera de adquirir conocimientos geométricos y la forma de

enseñarlos, proporcionando contextos de aprendizaje con nuevas y potentes posibilidades para de

representar, visualizar, experimentar, consultar propiedades, simular, descubrir regularidades, etcétera.

20

Con Cabri, Geo Gebra, Derive y otros software más sencillos de representación , algunos temas de

geometría, como por ejemplo las transformaciones en el plano, los lugares geométricos, la resolución

gráfica de problemas, pueden ser tratados sin exigir grandes conocimientos previos, favoreciendo una

metodología en la que el alumnado participa de forma activa en su aprendizaje, haciendo hincapié en la

importancia de que realicen sus propios descubrimientos.

Actividad para el aula .Dibujando estrellas

En el próximo certamen deportivo, se decidió por votación, utilizar el símbolo de los Pitagóricos: la

estrella de 5 puntas., para identificar al grupo.

Crónica de la clase: Para dibujar el símbolo pitagórico, algunos alumnos lo obtienen al trazar en un

pentágono regular las diagonales y otros prolongando sus lados. Ambas posibilidades son acertadas.

Otros proponen utilizar un programa de geometría dinámica (ya están familiarizados con su uso) para

obtener la estrella e imprimirla.

Surge de inmediato la inquietud de obtener otras figuras similares a partir de polígonos de mayor cantidad

de lados, los alumnos dibujan los polígonos y por ensayo y error logran encontrar el eptágono estrellado

uniendo vértices que dejan otros dos entre ellos. Todos se entusiasman encontrando diversos modelos.

Para compartir producciones se confecciona un cuadro con los polígonos estrellados obtenidos.

El docente amplia la actividad con otras preguntas.¿ Hay alguna regularidad que se pueda reconocer? ¿

Pueden justificar los resultados obtenidos? ¿ se generaliza a todas las construcciones?

Conclusión

La recuperación de la Geometría en todos los niveles educativos se está consolidando, aunque existen

algunas divergencias sobre los interrogantes planteados y se continúa investigando al respecto. No existen

caminos o propuestas infalibles sino que hay que explorar y seguir el camino más adecuado al contexto en

que se desenvuelve el docente , teniendo en cuenta las variables expuestas, para lograr que los alumnos

deseen involucrase en la reflexión, discusión y resolución de situaciones problemáticas diversas, pasando

por las distintas etapas del pensamiento geométrico de modo independiente.

El trabajo colaborativo de los docentes en una Institución educativa tiene un valor agregado, que es el

conocimiento del alumnado y la transferencia de las acciones de cambios metodológicos, lo que

favorece la continuidad de modelos teóricos seleccionados acordes a las necesidades detectadas y la

justificación consensuada de los logros a obtener. El camino está iniciado pero falta mucho por hacer….

Bibliografía Alsina, C.Fortuny,J y otros.(1995) ¿Por qué geometría? Madrid. España. Síntesis

Alsina, C.Fortuny,J y otros.(1995). Invitación a la didáctica de la geometría, Madrid. España.

Síntesis

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Novedades Educativas.

Broitman C., Itzcovich H. (2008).La geometría como medio para ‘entrar en la racionalidad. 12(ntes).

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Da Ponte, Pedro.Explorar e Investigar em Matemática: Uma Actividade Fundamental no Ensino e na

prendizagem. Art..en línea. Revista UNION (Nº 21, 03/10)

http://www.fisem.org/paginas/union/revista.php?id=45#indice

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Godino, J. D.y otros(2004). Didáctica de las matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de

las Matemáticas. Universidad de Granada.Disponible en Internet

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Guzmán M. de. Textos de M. de Guzmán (2005) . Madrid .España. Monografía de Revista Summa

Guzmán Retamal .I. Actividades Geométricas en la enseñanza. Análisis desde el punto de vista

cognitivo. Art..en línea. Revista digital UNION (Nº 19, 09/ 2009)

http://www.fisem.org/paginas/union/revista.php

Diseños curriculares de la DGCyE. Versión digital consultada25/06/10

http://abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/consejogeneral/disenioscurriculares/

National Council of Teachers of Mathematics(2000). Principles and standards for school mathematics.

Versión digital consultada25/07/10 http://standars.nctm.org.

Ministerio de Educación. Dirección de Currícula (2007). Aportes para la enseñanza. Nivel Medio.

Matemática

22

CABRI Y LA CREATIVIDAD Alicia Noemí Fayó

Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional General Pacheco. aliciafayo@gmail.com

Nivel educativo: Todos los niveles. Palabras claves: Geometría dinámica. Cabri. Creatividad. Rediseño de la clase. Temas: Pensamiento geométrico. Nuevas tecnologías. Formación de profesores. Marco teórico En IberoCabri 2008, la Dra. Colette Laborde en su conferencia, expuso sobre tres aspectos a tener en cuenta en el futuro después de 20 años de Cabri: los cambios de la tecnología Cabri, los desplazamientos de los centros de interés de investigación en didáctica de la Matemática y las necesidades de los profesores encargados de introducir la Geometría Dinámica en sus enseñanzas. (Actas IberoCabri Argentina, 2008) Esta conferencia nos marcó un camino a todos los que nos especializamos e investigamos Geometría Dinámica con Cabri. En cuanto a tecnología, los cambios los realizan los expertos que observan y escuchan nuestras necesidades. Los otros dos aspectos, los hemos tenidos en cuenta tanto en las investigaciones como en los proyectos que desarrollamos.

La introducción de las nuevas tecnologías en las clases de Matemática, deben dar lugar, sin duda, a continuos análisis e investigaciones. Ferdinando Arzarello (2005), por ejemplo, en su exposición en CIEAEM 57, hace referencia al estudio realizado en 2001 por Jean-Baptiste Lagrange, Michèle Artigue, Colette Laborde y Luc Trouche (2001) sobre 662 trabajos que tratan la incorporación de la tecnología en la educación matemática. Observa, igual que los citados, que en esos trabajos, se evidencia más interés en enseñar a utilizar las herramientas técnicas, incorporadas en el trabajo, que en entender la teoría matemática por medio de esas herramientas. Plantea que el problema principal, a ser estudiado, consiste en la comprensión de la forma en que los artefactos tecnológicos pueden mediar y apoyar la construcción del conocimiento matemático del estudiante. Este problema, desde su punto de vista, debe ser enfrentado desde diferentes perspectivas: desde el punto de vista didáctico ( Por ejemplo: el papel del profesor, el de las interacciones sociales inducidas por la tecnología utilizada, etc.), o desde un punto de vista cognitivo (por ejemplo, teniendo en cuenta cómo la tecnología cambia las estructuras mentales de los alumnos), desde un punto de vista cultural (por ejemplo, teniendo en cuenta qué clase de matemática es la que se enseña realmente y el marco de racionalidad en el cual el uso de las tecnologías acrecientan los conocimientos del estudiante). Edith Litwin (2008), en su libro, expresa que las innovaciones tienen, desde la perspectiva del docente, algunas características específicas que las diferencian de muchos intentos de incluir novedades descontextualizadas o que obedecen a “modas pedagógicas” que no responden a las necesidades, historia e intereses de la comunidad educativa. Al respecto Litwin específica que las innovaciones: - Son acciones planificadas para introducir cambios en los fundamentos de la enseñanza (no en la superficie) y demandan, por lo tanto, un profundo análisis del contexto y una evaluación de su inclusión. - Más allá de si se inscriben en el corazón del currículo o en propuestas “de borde”, requieren que sean los docentes quienes reconozcan su valor y hayan decidido diseñarlas o implementarlas, es decir necesitan ser apropiadas por el docente como una propuesta valiosa para sus alumnos. - Demandan tiempo y compromiso por parte de toda la institución: sin compromiso institucional ni tiempo para que se implante, no pueden prosperar. Desarrollo

Todos sabemos que rediseñar la clase tradicional es un gran desafío. Además, para estar a la altura de las exigencias de la sociedad, debemos abordar temas que en otros tiempos se relegaban al nivel universitario para comprenderlos. Hoy con ayuda de las TIC, esos temas parecen más accesibles, pero la pregunta es cómo llevarlos a las aulas.

Como respuesta propongo igual que muchos estudiosos abordar el tema de la creatividad. Y allí encontramos otros investigadores como Luis Alberto Díaz (2002) que en sus análisis sobre creatividad, realiza justamente la pregunta retórica, “¿Qué es la creatividad?” y en consecuencia contamos con su respuesta.

23

Por otra parte la clasificación del modo en que se manifiesta la creatividad surge con Graham Wallas (1926). Estas etapas del proceso creativo o pensamiento divergente, ayudaron a que después de años, se comprendiera, que la creatividad ha pasado de ser un atributo individual a una atributo social y en consecuencia intimamente relacionado con la educación de la sociedad.

Planteado el problema de actualizar los temas y la metodología para desarrollar nuestras clases, junto a la posibilidad del uso de las nuevas tecnologías, toma un papel preponderante la creatividad.

Cabri y creatividad, se hallan presentes en las investigaciones que planifican y realizan en este momento algunos de los estudiantes de la Facultad a la que pertenezco, de la carrera Licenciatura en Enseñanza de la Matemática para obtener su título de grado en la Universidad Tecnológica Nacional.

Estos estudiantes ya tienen el título de Profesores de Matemática, y han aprobado la materia Fundamentos de la Geometría que se modeliza con Cabri, por lo tanto tienen una preparación importante para abordar la problemática. Mencionaré los trabajos más relevantes.

Después de una investigación nos dimos cuenta que en los profesorados no se enseña el tema “Geometrías no euclidianas”, y llegamos a la conclusión que es por falta de conocimiento por parte de los profesores titulares o bien porque es uno de los primeros temas descartados a la hora de elegir (por falta de tiempo), dado que no hay materiales didácticos apropiados para su exploración. Es así que el profesor se dedicó a la creación de una ingeniería didáctica con Cabri para permitir al futuro docente explorar y comprender su importancia. El título de este trabajo es: “Enseñanza de las Geometrías no Euclidianas. Una propuesta didáctica”

En otro análisis de la realidad observamos que, hoy en día, Astronomía no forma parte del título del profesor de Matemática, y que no hay un profesorado específico sobre esta ciencia, lamentablemente, dado que es uno de los temas que más atrae a los adolescentes. Entonces el profesor que analiza esta situación está generando los entornos, para que en la formación de los futuros profesores, se los presente para explorar desde el punto de vista matemático. Su título es “La enseñanza de la Matemática, a través de modelos astronómicos”,

En otro trabajo por una encuesta realizada a nivel medio superior, por una Profesora, se llegó a la conclusión que por el estudio de las ecuaciones sobre cónicas sin una introducción apropiada del tema, los alumnos no comprenden la amplitud ni la riqueza de este contenido. Propuso entonces la creación de una ingeniería didáctica para los alumnos de secundaria entre 15 a 16 años de edad que llamó ”Historia de la Matemática: un nuevo enfoque en la enseñanza de las Cónicas “

Pero hay otros proyectos donde la creatividad se pudo llevar a cabo mediante otros recursos tecnológicos, es el caso de un proyecto sobre trabajos colaborativos a distancia con plataformas. A través de Internet los profesores de nivel medio, pudieron incorporar curricular o extracurricularmente un proyecto como Patrulla de Rescate (2006-2009). En él los profesores recibieron un curso preparatorio y luego con un juego de simulación hicieron participar a sus alumnos en este desafío.

Finalmente proyectos que encaran problemas que se suscitan desde el nivel primario como es de la lectura y comunicación de contenidos matemáticos que requieren un lenguaje específico. (Alderete e al, 2009)

En cada uno de estos trabajos nos acompañan los Cabri (cahiers brouillons interactifs), que han sido creados justamente con el fin de rediseñar nuestras clases. Pero destaquemos también que han nacido para despertar nuestra creatividad, presentando a la Matemática como una invitación a la exploración, experimentación, rica en enigmas que requieren creatividad por parte de los alumnos para ser resueltos, deleitándolos con sus bellezas y provocando en definitiva el interés de ellos mismos para participar en la construcción de sus propios conocimientos. Bibliografía

Alderete, María Judith. Catalano, Viviana. Gallar, Susana e al. (2009). Evaluación de los Aprendizajes Matemáticos. [libro digital]. Mendoza. Argentina. Ed: Universidad Nacional de Cuyo.

Artigue, M., Laborde, C., Lagrange, J.B. & Trouche, L. (2001). ‘A meta study on IC technologies in education, towards a multidimensional framework to tackle their integration’, Research Forum, in: Proceedings of PME 25, Utrecht, The Netherlands, Vol.1, 111-122. See also:

Arzarello, Ferdinando (2005) Technology and mathematics in the classroom: lights and shadows.. CIEAEM 57. Italia. http://citeseerx.ist.psu.edu. Recuperado en (05/2010)

Díaz, Luis Alberto (2002). La Creatividad: un valor educativo y social. Serie:Proyecciones. Valparaíso. Chile. Ed: Universidad de Playa Ancha de Ciencias de la Educación.

24

Graham Wallas [El arte del pensamiento.(1926)]. El hombre y sus ideas. [Conferencia. Traducción: Eva Aladro] recuperado en (2009) http://www.ucm.es/BUCM/revistas/inf/11357991/articulos/CIYC0505110033A.PDF

http://www.maths.univ-rennes1.fr/~lagrange/cncre/rapport.htm. Memorias del IV Congreso Iberoamericano IberoCabri 2008.

http://www.iberocabri.org/index_Page1523.htm Patrulla de Rescate (2006-2009). Proyecto de la Alicia Noemí Fayó, presentado por Fundación

Telefónica, Educared y Fundación Evolución. Argetina. Recuperado en (07/ 2010) http://www.educared.org.ar/enfoco/patrulla/

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DÍGITOS DE CONTROL Y CÓDIGOS CORRECTORES: ¿TIENEN LUGAR EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA?

Omar Gil Instituto de Matemática y Estadística “Prof. Ing. Rafael Laguardia”, UdelaR, Uruguay.

omargil@fing.edu.uy Nivel educativo: Educación primaria, educación secundaria, formación docente. Palabras clave: información, errores, ingeniería didáctica

Resumen Una subárea de la Teoría de la Información, desarrollada a partir de la segunda mitad del siglo XX, es la detección y corrección automática de errores. Este trabajo presenta una breve descripción de algunas ideas básicas de esta subárea, prestando especial atención a la identificación de problemas y conceptos que permitan generar actividades útiles para la educación matemática en los niveles primario, secundario y de formación de docentes. Sobre el final se reportan algunos resultados preliminares de un proyecto en curso, enfocado en el nivel escolar y en la formación de maestros, en colaboración con Lucía Brusa y Beatriz Rodríguez Rava. A lo largo de todo el texto se enfatiza la relación de la temática de dígitos de control y códigos correctores con temas bien establecidos del currículo, y con aspectos de la vida moderna. 1. Protección contra errores y teoría de la información. La protección automática de la información

contra errores en su transmisión y reproducción asegura la buena calidad de nuestras comunicaciones, a

través del tiempo (almacenando y recuperando más tarde registros) o a través del espacio (telefonía

móvil, tráfico sobre Internet, etcétera) [3].

Control de paridad y aritmética módulo 2. Un procedimiento básico de protección contra errores es el

de forzar a los bytes, agrupamientos de ocho bits en los que podemos almacenar los valores 0 o 1, a

satisfacer un control de paridad. La idea es poner datos sólo en los primeros siete lugares, reservando el

octavo para un carácter de control, que se elige de modo tal que el número total de unos en el byte sea

par. Esta codificación de la información permite detectar el cambio de un 0 por un 1, o viceversa, en

algún bit, y también recuperar un caracter perdido.

Dado cualquier número entero n se puede construir una aritmética módulo n, siguiendo la regla de dividir

entre n el resultado de cualquier operación y sólo conservar el resto de la división entera. La condición de

paridad sobre los bytes puede expresarse en términos de la aritmética módulo 2 por una sencilla ecuación

algebraica: los coeficientes del byte deben sumar cero módulo 2. La aritmética módulo 2 es conocida por

los alumnos de la escuela primaria, porque corresponde a los enunciados

par más par, par,

par más impar, impar,

impar más impar, par.

Par por par, par,

par por impar, par,

impar por impar, impar,

en los que par se identifica con el número cero, e impar con el uno. La aritmética resultante está

construida a partir de la habitual, pero es diferente.

Las matemáticas involucradas en la detección y corrección automática de errores tienen un nivel de

dificultad que va desde la aritmética más elemental, como la que acabamos de exponer, hasta la

existencia de una activa área de investigación en la que confluyen científicos con diferentes formaciones,

fundamentalmente matemáticos e ingenieros. A continuación mostramos un segundo ejemplo que

requiere ideas algo más elaboradas, algunas todavía manejables a nivel escolar.

26

ISBN. La gran mayoría de los libros que existen en la actualidad están identificados con un número de

diez cifras, generado por un sistema estándarizado llamado ISBN (International Statistical Book Number)

que asigna a cada publicación un número único. Un registro de ISBN puede adulterarse al transmitirlo o

almacenarlo, por esa razón el ISBN incorpora a su diseño un dígito de control. De los diez dígitos que

forman cada número de ISBN, los nueve primeros portan la información, y el décimo es un carácter de

control. Los nueve dígitos que almacenan la información están divididos en tres campos: el primero

corresponde al área geográfica, el segundo identifica al editor, y el tercero a la publicación. Por ejemplo,

para el primer campo, el número correspondiente a Uruguay es 9974. La receta para determinar el dígito

de control es la siguiente: hay que multiplicar la primera cifra del número que identifica al libro por 1, la

segunda por 2, la tercera por 3, la cuarta por 4, la quinta por 5, la sexta por 6, la séptima por 7, la octava

por 8, la novena por 9, sumar todo y hacer la división entera con el resultado como dividendo y el número

11 como divisor. El resto será el dígito de control. Veamos un ejemplo. El libro Maticuatro [9] está

identificado por el ISBN 9974 – 618 – 14, del que sólo hemos copiado los datos que corresponden a la

región, editor y número de publicación. Falta calcular el dígito de control. Hacemos la cuenta

9x1 + 9x2 + 7x3 + 4x4 + 6x5 + 1x6 + 8x7 + 1x8 + 4x9 = 200 = 18 x 11 + 2.

El ISBN que estamos buscando es entonces 9974 – 618 – 14 – 2. Para algunos libros al hacer el cálculo la

división entre 11 arroja resto 10. En estos casos el carácter de control se representa con una X.

El ISBN de diez dígitos emplea la aritmética módulo 11. El nuevo ISBN13, que llevan los libros

impresos a partir de enero de 2007 y que seguramente será el mayoritario en nuestras bibliotecas dentro

de poco tiempo, el sistema EAN13, que identifica los productos que encontramos en almacenes y

supermercados con un número que aparece representado por medio de un código de barras impreso en el

exterior del envase (EAN 13 e ISBN13 son idénticos desde el punto de vista del cálculo de sus dígitos de

control) y el dígito de control de la cédula de identidad uruguaya emplean la aritmética módulo 10 para su

construcción. Calcular con la aritmética módulo 10 es sencillo: consiste en conservar de los números sólo

la cifra de las unidades.

La gran simplicidad de la aritmética módulo 10 permite trabajar desde muy temprano sobre ella en las

aulas escolares. Las propiedades de un dígito de control basado en una aritmética módulo 11, o, en

general, sobre cualquier número primo, son mejores que las de uno que emplea aritmética módulo 10.

Esta observación abre el camino para motivar actividades matemática interesantes y adecuadas a niveles

más avanzados, incluso en el de formación de docentes.

Un paso más: corrigiendo. Agregar un dígito de control permite detectar un

error, pero esto no es suficente para muchas aplicaciones. En su fundamental

artículo de 1950, Error detecting and error correcting codes [6], Richard

Hamming (1915-1998), analiza el problema de cómo conseguir que una

computadora pueda corregir los inevitables errores que se producen en el

procesamiento de un gran volumen de datos. Hamming relata “en algunas

situaciones la verificación automática no es suficiente … las máquinas

trabajaban sin atención durante las noches y fines de semana, sin embargo,

los errores implicaban que los cálculos se detuvieran, aunque las máquinas

pudieran dedicar-se a otros problemas, ... la incidencia de fallos aislados, aún cuando sean detectados,

27

podría interferir seriamente

con el uso normal de estas

máquinas. ... parece entonces

deseable examinar el proximo

paso más allá de la detección

de errores, la corrección de

errores” [6]. Hamming

propone entonces un

procedimiento para hacer esto,

una familia de códigos, que

ilustramos a través de un

ejemplo, por medio de una representación gráfica introducida por Robert McEliece. El código que

mostraremos codifica una “palabra” de cuatro bits, como (1010) con siete bits, y permite corregir un

error. Comenzamos por distribuir los cuatro símbolos 1, 0, 1, y 0 en las intersecciones de los círculos de

color que aparecen en el esquema. Los hemos representado con números de pequeño tamaño. Luego

agreguemos controles de paridad en cada uno de los círculos, de modo que todos contengan un número

par de unos. Para nuestro ejemplo, en el azul y en el rojo hay que colocar un uno, y un cero en el amarillo.

Estos dígitos de control, representados en el esquema con un tipo de letra de mayor tamaño, completan

una palabra de siete bits (1 0 1 1 0 1 0), formada por los

cuatro dígitos originales (la información que

queremos almacenar o transmitir), y los tres

dígitos de control de paridad, que hemos

intercalado en negrita. Si uno de los siete dígitos

se cambia por un valor equivocado, tal como

hemos hecho en la segunda figura, tenemos

suficiente información para ubicarlo y corregir el

“bit dañado”. Al examinar el círculo azul del

nuevo esquema encontramos que su control de paridad falla, igual que ocurre con el rojo. Pero el del

amarillo se satisface. Por lo tanto tenemos que cambiar lo que está en la intersección de los discos rojo y

azul, pero no en el amarillo. De esta manera corregimos el uno equivocado, y recuperamos la palabra que

habíamos codificado en nuestro primer diagrama.

Shannon y la teoría de la información. La fiabilidad de los procesos de

comunicación depende de un análisis estadístico, cuyos fundamentos fueron

establecidos por Claude Shannon en el artículo A Mathematical Theory of

Communication [11], publicado en 1948. Una obra sobre la que en buena parte

descansa la sociedad de la información y las telecomunicaciones de nuestra

época. Los procesos de protección contra errores y de compresión de la

información encuentran en ella un marco natural. Luego de los trabajos de

Hamming y Shannon de fines de los años cuarenta, el progreso en esta área se

fue acelerando. Un hecho notable para la historia de la ciencia y para la educación matemática es que el

0 1 0

1

1

10

01 1

1

1

1 0

28

álgebra introducida por el francés Evaristo Galois (1811-1832) encontró en este nueve terreno un espacio

riquísimo para su aplicación [10].

2. Todo esto, ¿tiene un lugar en la escuela? Las matemáticas que el procesamiento y trasmisión de la

información utiliza son muy ricas y variadas, y pueden llevarse a todos los niveles del sistema educativo.

Las primeras actividades que se pueden proponer a un nivel muy lúdico, sólo requieren sumar e

identificar la cifra de las unidades de un número natural. Las codificaciones según los estándares EAN13

e ISBN13 son aplicaciones realistas que pueden trabajarse a partir de estas mismas ideas y la

multiplicación por tres. A partir de aquí, se extiende un continuo de posibilidades, con un nivel de

dificultad que va creciendo hasta alcanzar cuestiones de investigación en la frontera misma del

conocimiento. El estudio de los dígitos de control y los códigos correctores de errores permite integrar en

forma natural temas de aritmética, geometría, combinatoria, probabilidad, estadística y álgebra lineal.

También contribuye a mostrar que el conocimiento matemático es el resultado de una obra humana

inacabada, que continúa y a la que nuestra sociedad uruguay contribuye, porque hay académicos

trabajando en este tema en nuestro país. Habilita a presentar situaciones en las que se opera con objetos

usuales siguiendo reglas diferentes, e ilustra sobre la variedad de formas que toma la Matemática para

adaptarse a distintas situaciones [7]. Todo esto puede hacerse poniendo en juego competencias y

contenidos tradicionales que es pertinente conservar, al tiempo que se propone una mirada actualizada de

ellos, y se promueve en contextos simples el acercamiento a un aspecto crucial de la ciencia

contemporánea, como es la construcción y el análisis de algoritmos.

Actividades en el aula. El área permite generar actividades muy diversas para el aula, desde el nivel

escolar que sucintamente analizaremos en esta sección, hasta la formación de Profesores de Matemática

[4], pasando por ejercicios con estudiantes liceales que permiten trabajar conceptos básicos de la teoría de

funciones al tiempo que se juega con “transmisiones” de datos codificadas con alfabetos telefónicos de

uso corriente. En el nivel escolar se pretende desarrollar sistemáticamente una secuencia de actividades,

que atienda a los aspectos algorítmicos del tema, implementables sobre las computadoras XO del plan

CEIBAL, y acompañarla de material de apoyo para maestros [2]. Con el propósito de acceder a la

observación y al control de fenómenos de enseñanza propios de nociones matemáticas de esta área, se

utiliza la estructura básica de la Ingeniería Didáctica [1,8]. A continuación esbozamos el análisis de una

propuesta de trabajo en el aula, que hemos ensayado con niños desde el primer año escolar. Los

resultados que aquí se presentan corresponden a su puesta en práctica con alumnos de sexto año [5].

En esta actividad se presenta a los alumnos una caja conteniendo las 10.000 posibles listas de cinco

números números de una cifra cuya suma es múltiplo de diez, o, equivalentemente, es cero módulo 10.

Objetivo: identificar una regularidad en un conjunto de datos.

Consigna: en esta caja hay muchísimas listas de números de una sola cifra. Cada equipo sacará dos listas

y las copiará en una hoja. Al copiar una de ellas el equipo debe cambiar una cifra por otra que elija, sin

que ningún otro equipo se entere. La otra lista la deben copiar sin realizar ningún cambio. Cada equipo

nos mostrará sus listas y descubriremos cuál es la lista que ha sido modificada.

Se pretende que los alumnos busquen una posible explicación a la “magia”. Nuestra hipótesis inicial era

que podía resultar difícil el reconocimiento de la regularidad por lo que previmos algunas intervenciones

29

posibles. El docente puede proponer sumar los números de cada lista y observar alguna regularidad. Los

alumnos deben extraer una “regla” para discutir colectivamente. Previamente pensamos que era posible

que los niños intentaran probar con otros números el cumplimiento de la regla. Los alumnos

inmediatamente comenzaron a buscar la regularidad y la identifican de la siguiente manera:

“Da justo, 20, 30, 40…pero la que cambia, no.”

“En realidad tiene que dar un número terminado en cero.”

“¡Son múltiplos de 10!”

Se genera luego una discusión sobre qué múltiplos de 10 son posibles.

B - Sí, son múltiplos de 10.

R - Pero no todos, porque 100 no te puede dar.

B – Claro, porque no llegas.

A – Sí, puede ser 10, 20 o 30.

R – Te puede dar 40, si pones 9,9,9,9,4 da 40.

A – Pero vos repetiste el 9.

R – y pongo 8,9,7,7,9 y también me da 40

B – pero sin repetir ninguno solo podes llegar a 30.

Otras actividades estimularon la consideración de otros aspectos de la aritmética [5].

3. Reflexiones finales. El siglo XX fue muy rico en avances de la ciencia, en particular de la Matemática,

en direcciones muy diversas. Las implicaciones de este desarrollo en el currículo escolar todavía están

lejos de agotarse. Incluso en lo que tiene que ver con grandes ejes temáticos clásicos que atraviesan el

currículo educativo y que seguramente deberán mantenerse en futuros programas de estudio. Por

ejemplo, para la escuela tienen vigencia los ejes de número, operaciones, geometría y mediciones. Son

temas tradicionales, bien establecidos, que tienen significado para la vida moderna. Son antiguos, pero no

obsoletos. Sin embargo, los avances del siglo XX muchas veces significan cambios en la aproximación a

viejas cuestiones, o la introducción de ideas simples con consecuencias profundas. Es falsa la creencia de

que las matemáticas contemporáneas son necesariamente más complejas que las antiguas, y que a nivel

del sistema educativo sólo pueden tener lugar a niveles de posgrado, pero son poco importantes para la

formación de docentes, mucho menos aún para el currículo del bachillerato o la enseñanza media, y

completamente irrelevantes para el nivel escolar. En muchos casos la diferencia entre tenerlas presentes o

no es más una cuestión de orientación general del sistema, que de profundidad de los conocimientos que

se pretenden compartir y comunicar. En particular, algunas de estas cuestiones permiten visitar con una

nueva mirada antiguas cuestiones, o simplemente proponer actividades que ayudan a explicar aspectos de

la vida cotidiana que han aparecido gracias al avance científico y tecnológico. Los ejemplos provenientes

de los códigos correctores de errores implican un contexto en el que realizar operaciones aritméticas,

permiten resignificar algunas operaciones y aproximarse a ellas desde nuevos ángulos (por ejemplo, el

resto de una división pasa a tener una importancia de la que carece en otros problemas), y hacen

referencia a cuestiones de la vida diaria, contribuyendo a explicarlas.

30

Nuestra hipótesis de trabajo, que motiva la presentación de estos materiales, es que los

problemas relacionados con dígitos de control permiten generar un conjunto de actividades que, por su

valor cultural, su capacidad de movilizar otros contenidos matemáticos, y el lugar que en la ciencia

contemporánea ocupa todo lo que tiene que ver con el procesamiento de la información, justifican el

tratamiento del tema en todos los niveles del sistema educativo. Intuimos que muchos otros temas de la

matemática del siglo XX, en particular otros relativos a la transmisión de información, como son la

compresión de datos y la criptografía, son susceptibles de un tratamiento similar, aunque no hemos

avanzado en esta dirección, ni siquiera para formular las primeras conjeturas y borradores de propuestas.

4. Referencias

[1] ARTIGUE, Michèle; DOUADY, Régine; MORENO, Luis (1995) Ingeniería didáctica en educación matemática, Bogotá: Grupo Editorial Iberoamérica. [2] BRUSA, Lucía; GIL, Omar; RODRIGUEZ RAVA, Beatriz (2010) La enseñanza de aspectos de la Teoría de la Información en la escuela, proyecto presentado a la convocatoria 2009 del Fondo María Viñas, ANII (Agencia Nacional de Investigación e Innovación). [3] FERNÁNDEZ GALLARDO, Pablo; GIL ÁLVAREZ, Omar (2002) Una introducción a los códigos detectores y correctores de errores. Disponible en http://www.matematicaparatodos.com/varios/Codigos.pdf. [4] GIL, Omar (2009) Excursiones por el Álgebra lineal y sus aplicaciones. Santiago de Chile. J.C. Sáez. [5] GIL, Omar; RODRÍGUEZ RAVA, Beatriz (2007) Códigos detectores y correctores de errores: ¿tienen lugar en la escuela? Inspección de Educación Privada. CEP. Uruguay. [6] HAMMING, Richard (1950) Error Detecting and Error Correcting Codes, The Bell System Technical Journal 29, páginas 147-160. [7] HAMMING, Richard (1980) The unreasonable effectiveness of mathematics, American Mathematical Monthly 87, páginas 81-90. [8] RODRÍGUEZ RAVA, Beatriz (2005) La Ingeniería didáctica, en B. Rodríguez Rava; A. Xavier de Mello, El Quehacer Matemático. Montevideo. Edit. Queduca. FUM – TEP [9] PENA, Mónica; GADINO, Alfredo; VARELA, Carlos (1999) Maticuatro. Libro para el alumno, Aula. [10] REED, Irving; SOLOMON, Gustave (1960) Polynomial Codes over certain Finite Fields, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics 8, páginas 300-304. [11] SHANNON, Claude (1948) A Mathematical Theory of Communication, The Bell System Technical Journal 27, páginas 379-423, 623-656.

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APORTES SUSTANTIVOS DE LA MATEMÁTICA A LA MÚSICA, DE LOS GRIEGOS A LA ACTUALIDAD

Lic. Marcelo Monferrato (Arg. / R.O.U.), Dra. Samira Abdel Masih (Arg.) Universidad Abierta Interamericana, Facultad de Tecnología Informática,

Depto. de Matemática mmonferrato@yahoo.com.ar; abdel.masih@hotmail.com

Nivel educativo: Medio, Terciario, Docentes y estudiantes de Matemática y Música

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UNA APROXIMACIÓN GEOMÉTRICA AL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Ángel Pereyra

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UN ENFOQUE GEOMÉTRICO DE LAS SERIES DE FOURIER. ¿QUÉ TUVO QUE VER PITÁGORAS?

Jorge Brisset

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LA ENSEÑANZA DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN: UNA MIRADA EN BUSCA DE UNA RENOVACIÓN

Alejandra Pollio Universidad de Montevideo – Uruguay

apole3@gmail.com Enseñanza Media – 1º de Bachillerato

Resumen La función es un objeto complejo del saber matemático cuya aprehensión conceptual no resulta una cuestión sencilla ni evidente para los estudiantes. Hay investigaciones que nos muestran que los estudiantes no se apropian del concepto de función, la dificultad que tiene la propia noción y la dificultad de los estudiantes para comprenderla. En esta conferencia se presentará una secuencia didáctica que tiene por objetivo renovar una enseñanza buscando que la noción evoluciones a medida que se van desarrollando cada una de las situaciones. La secuencia está integrada por cuatro situaciones .En este trabajo presentaremos la última de las situaciones., que cierra la secuencia. En cada una de estas actividades se requiere de los alumnos que hagan un tratamiento y/o la conversión de un registro a otro. La noción central, en juego, en estas actividades es la de variación , ya que las nociones de imagen , preimagen dominio y conjunto de llegada fueron evolucionando en las situaciones anteriores. Todas ellas son las que forman el nicho ecológico donde vive la noción y son las que deberían estar presentes a la hora en que los alumnos elaboren su propia definición de función. La función es un objeto complejo del saber matemático cuya aprehensión conceptual no resulta una

cuestión sencilla ni evidente para los estudiantes. Hay investigaciones que nos muestran que los

estudiantes no se apropian del concepto de función, la dificultad que tiene la propia noción y la dificultad

de los estudiantes para comprenderla.

Desde una perspectiva epistemológica y pedagógica en Anna Sierpinska(1992) destaca que comprender

un concepto significa ser capaz de contestarse las preguntas: ¿Qué dice la definición de función? y ¿De

qué trata esa definición? ¿A qué hace referencia la definición de función? Pero además se debe poder

identificar el concepto, ampliar el rango de aplicaciones del mismo, así como también poder decir

cuando se está en presencia de una función y cuando no.

La autora nos propone, entre otras cosas, motivar a los estudiantes a buscar regularidades frente a los

cambios, a propósito de los cambios poder decir cómo algo cambia así como también cómo cambia.

Hacer aparecer primero las funciones como una herramienta para modelizar situaciones de la vida real,

dando la oportunidad, también, de adquirir cierta flexibilidad en uso de los distintos modos de expresión

y de representación de las función.

Luisa Ruiz Higueras (1998) hace un análisis desde un enfoque epistemológico y didáctico de la

definición de función, la identificación de las funciones a partir de su representación gráfica y de su

expresión algebraica, el empleo de la función en situaciones de modelización.

En el análisis de la definición de función dada por los estudiantes, Ruiz Higueras hace notar que la

definición personal difiriere de la definición formal; utilizan los términos aplicación o correspondencia

omitiendo la existencia del conjunto dominio, conjunto imagen, unicidad de la imagen. Manifiestan,

además l una concepción de la noción de función como un proceso algorítmico de cálculo entre números

y en la cual la presencia de incógnitas e indeterminadas es mucho más fuerte que la de la variable.

Los argumentos manejados por los alumnos para identificar una función son la concepción del gráfico

como una especie de ideograma, que no tiene en cuenta sus propiedades de variabilidad y el

40

conocimiento que tienen de su expresión algebraica y su forma que evidencian una fuerte dependencia

entre una función y su expresión analítica.

En las situaciones de modelización, los alumnos intentan determinar cómo varía algo ignorando qué es lo

que varía en la situación, no logrando determinar las variables pertinentes de la situación y ni observar

el cambio de modo global a través del gráfico. También, el hecho de que los alumnos no tienen en cuenta

los conjuntos inicial y final evidencia la falta de significación y de relevancia dada a dicha tarea.

Ismenia Guzman(1990) en su investigación “El rol de los registros de representación en la apropiación de

la noción de función” nos aclara que para que los alumnos se apropien del concepto de función hacen

faltan dos condiciones. La primera tiene que ver con la distinción entre los elementos relativos a cada uno

de los registros, que están relacionados con los aspectos conceptuales expresados por la relación de

correspondencia. La segunda, los pasajes entre registros que confrontan dos representaciones del objeto

función. Dejando en evidencia la naturaleza de cada registro y la independencia de los diversos

registros.

En las conclusiones de la investigación, se constata que la enseñanza y el aprendizaje de la noción exigen

que las distintas representaciones (gráfica, tabular, algebraica u otra) estén ligadas entre ellas.Es por esto

que para apropiarse de dicho concepto se requiere el conocimiento y la utilización de los diferentes

registros de representación, entre ellos: gráfico, algebraico, tabular, lenguaje verbal.Por lo tanto las

actividades que ayudarán a franquear las dificultades son aquellas que corresponden a un trabajo interno

de las representaciones, en sus registros respectivos y a la articulación entre los registros.

Tomando como marco estos tres enfoques anteriormente presentados es que nos proponemos presentar

una propuesta de enseñanza sobre el concepto de función con el fin de favorecer la conceptualización y

el aprendizaje de este concepto que enfatice el sentido y significado de modo que los alumnos de 1°

Bachillerato en Uruguay logren darle un significado que les permita manejarlo y hacer las transferencias

necesarias. Esta secuencia tiene por finalidad renovar una enseñanza La secuencia de actividades tiene en

cuenta desde el punto de vista matemático los conceptos de variable, imagen, preimagen, unicidad de la

imagen, conjuntos de partida y llegada y desde el punto de vista cognitivo la estructura de las actividades

considera los diferentes registros tabular, gráfico, algebraico, verbal en el tratamiento y la articulación de

ellos. Finalmente, las actividades buscan que los alumnos pongan en juego las capacidades de

identificar y argumentar lo que es y lo que no es una función, discriminar entre incógnita y variables,

comparar, interpretar y aplicar modelos.

La definición desde la que partimos es la dada por Dirichelet (1805-1859) en 1837. Esta definición

dice:“Si una variable y está relacionada con la variable x de tal manera que siempre se atribuya un

valor numérico a x, hay una regla según la cual queda determinado un valor único de y, entonces se dice

que y es una función de la variable independiente x”.

Esta definición tiene la característica de presentar las nociones de variables, variable independiente,

unicidad de la imagen, nociones fundamentales para la conceptualización del objeto función. Hacemos

notar que no están presentes las nociones de conjunto de partida y de llegada ya que el concepto de

“conjunto” estaba lejos de tener significado en la época de Dirichlet. Es por este motivo que

complementando esta definición y desde un enfoque más moderno, también tomaremos como referente la

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definición dada E. Lages Lima (“Curso de Análise.Vol 1”, 1999) esta dice: Uma função f : A →B consta

de três partes: um conjunto A, chamado o dominio da função(ou o conjunto onde a função ê definida) um

conjunto B, chamado o contradominio da função,ou o conjunto onde a função toma valores, e uma regra

que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento x∈A, um único elemento f(x) ∈B,

chamado o valor que a função asume em x

Esta definición, tiene la característica de destacar además de las nociones expresadas por Dirirchlet,

agrega dominio, condominio y explicita más la idea de “asociar”. También usa un lenguaje simbólico

para presentar la función y las imágenes lo que resulta de mucha importancia para el trabajo con el

La secuencia está formada por 4 situaciones. En este trabajo presentamos esta situación, que cierra la

secuencia, que consta de cuatro actividades presentadas cada una de ellas en un o más registros, estos son

lenguaje natural, algebraico, gráfico, tabular e icónico.

En cada una de estas actividades se requiere de los alumnos que hagan un tratamiento al interior del

registro así como también una conversión de un registro a otro. La noción de variación está en juego en

tres de las cuatro actividades, ya que las nociones de imagen , preimagen dominio y conjunto de llegada

fueron evolucionando en las situaciones anteriores. Todas ellas, además de otras que no están en objetivo

de este trabajo, son las que forman el nicho ecológico donde vive la noción

ACTIVIDAD 1 Esta actividad está presentada en el registro verbal y consta de tres ítems

Un importador de reproductores MP3 de 1Gb sabe que si el precio de venta de cada unidad es de

U$S 130 no vende ninguno. Por cada baja U$S10 en el precio, las unidades que puede vender aumentan

30 unidades. El importador llegaría a un precio final de U$S 90.

1. Muestra cómo varía el número de unidades vendidas cuando varía el precio. Escribe con

tus palabras cómo es la variación del número de unidades vendidas en relación al precio

La noción matemática en juego en esta actividad es la variación de la relación entre el precio y el número

de unidades vendidas y luego escribir con sus palabras dicha variación Esta tarea es poco conocida por los

alumnos de este nivel, lo que puede resultar una dificultad para ellos. La actividad requerida a los

alumnos es una interpretación del enunciado para describir la variación del número de unidades en

función del precio. La respuesta adecuada sería que por cada dólar de disminución se venderían 3

unidades más. Para llegar esta conclusión ellos deben visualizar que el enunciado ya les da la variación

del precio y la del número de unidades vendidas y que para dar la variación de la situación debería hacer

el cociente entre ambas variaciones. Otra posible acción de los alumnos es la elaboración de una tabla.

Esta acción involucra una conversión del registro verbal al registro tabular, sin ser requerida, pero de

todos modos algo bastante lógico ya que la tabla les permite visualizar más la variación. Se prevé

escribirán la variación como una proporcionalidad inversa. Tal vez escriban que si se disminuye el

precio, el número de unidades aumenta, no dando valor alguno.

2. Escribe una expresión algebraica que represente la relación entre el precio y el número de

unidades vendidas. Muestra los planteos que has hecho para llegar a la expresión. Identifica

cuál es la variable independiente, la variable dependiente y en qué conjunto numérico varía

cada una de ellas.

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Las nociones puestas en juego en este ítem son aquellas que el propio ítem pide identificar :las variables

independiente y dependiente y los conjuntos de Partida y de llegada. La actividad requerida y explicitada

es la de un pasaje del registro verbal al registro algebraico, pasaje éste que puede representar una

dificultad. Las variables que se prevé utilizarán para la expresión serían x y f(x) y la expresión genérica

f(x)= ax + b. La asignación de la variable independiente en este caso es arbitraria ya que se pide una

expresión que represente la relación entre el precio y el número de unidades. Esto es que la x puede

representar tanto el precio como el número de unidades. De todos modos suponemos que tomarán el

precio como variable independiente y el número de unidades como variable dependiente por la manera

en que esta presentada la actividad, pues el enunciado dice si el precio de venta de cada unidad de U$S

130 no vende ninguno, el precio está dado en primer término.

Las posibles acciones de los alumnos para hallar la expresión algebraica pueden ser variadas .Una posible

estrategia es apoyarse en la tabla de valores, si la hicieron y plantearse un sistema. En la identificación de

las variables, una omisión posible es que digan cuales son pero no lo que representa cada una. En la

identificación de los conjuntos numérico donde varía cada una de las variables podrían ser expresados

como intervalos esto es el precio varía en el intervalo [90,130] y las unidades en el intervalo [0,120], o

bien que expresen que el precio varía en el conjunto y las cantidades en

o bien una combinación de ambas ya que el precio podría variar en el intervalo[90,130]

y las unidades en Lo importante a destacar en este punto, en el momento de la puesta

en común, es la discusión de dichos conjuntos numéricos en el modelo que se está planteando .

3. Con esta nueva actividad estarías en esta situación frente a una función. Explica por qué.

Identifica el conjunto dominio

La noción de función es la puesta en juego en esta actividad. En la explicación de los alumnos, se espera,

que ellos involucren las nociones de variables independiente y dependiente, unicidad de la imagen,

relación o correspondencia. Para identificar el conjunto Dominio, dependerá de la variable independiente

elegida y lo que surgió de la discusión en el ítem anterior con respecto a los conjuntos donde varían las

variables. Las explicaciones dadas por los alumnos operarán como validación del conocimiento.

ACTIVIDAD 2 Esta actividad está presentada en el registro algebraico y consta de dos ítems

1. Halla los valores de “m” y “n” de modo de encontrar un polinomio de la forma A(x) = mx

+ n., con las siguientes condiciones: A(0) = 390 y A(90) =120 .Muestra todos tus planteos

El valor numérico de un polinomio es el contenido matemático en juego. El tratamiento dentro del

registro algebraico es la actividad requerida en este ítem. Se espera que los alumnos hagan alguno de los

siguientes planteos:

( )( )

A 0 390(1) 390 m(0) n n 390

A 0 m(0) n

= ⎫⎪⇒ = + ⇒ =⎬= + ⎪⎭

( )( )

A 90 120(2) 120 m(90) n

A 90 m(90) n

= ⎫⎪ ⇒ = +⎬= + ⎪⎭

De (1) y (2) se deduce que n = 390 y m = -3 entonces A(x) = -3x + 390

43

Segundo Planteo: saben que A (0) les permite hallar el valor de n sin hacer ningún planteo y luego

trabajar con el m aplicando el cálculo de un coeficiente angular por ser una expresión de primer grado

Podría caber la posibilidad que se mezcle estrategias de los planteos anteriores

2. El polinomio que encontraste, ¿puede servirte para definir una función? En caso afirmativo, muestra

la representación algebraica de ella e indica conjunto Dominio y conjunto de Llegada.

La noción de función es nuevamente la noción en juego en este ítem. La argumentación es la actividad

cognitiva en juego, que será esta la que dejará ver el estado de comprensión de los alumnos.

Se prevé que los alumnos contesten afirmativamente, diciendo que la expresión A(x) = -3x + 390 o

f(x) = -3x +390 sea la representación algebraica de la función.

Con respecto a los conjuntos Dominio y de llegada se espera que expresen que son ambos el conjunto de

los números reales. No se descarta la posibilidad que se apoyen en los conjuntos de la actividad 1.

Nuevamente aquí, las discusiones e intercambio entre loa alumnos, moderadas por el docente, puede

resultar muy enriquecedores ya que permitiría consolidar e institucionalizar en forma local las nociones

de conjunto Dominio y de Llegada.

En este ítem se pretende que visualicen que hay dos funciones en las que las expresiones algebraicas que

las representan son las mismas siendo los conjuntos Dominio y de llegada distintos. Es importante

destacar, que en la primera actividad se está dentro de una situación contextualizada en la que se destaca

el uso de la función como modelo.

ACTIVIDAD 3Esta actividad tiene 4 ítem y los registros gráfico, verbal y tabular son los que presentan

los distintos ítem.La gráfica adjunta representa la relación entre el peso (en Kg) de los documentos a

enviar por una empresa de correo privado “Rápida” y el gasto (en dólares) de envío.

En este ítem hay que hacer una lectura y una interpretación del gráfico para poder hallar la expresión

algebraica, por lo que se requiere de una conversión del registro gráfico al algebraico. Se espera que se

identifique la expresión ax + b con la representación gráfica. Los pares de correspondientes entre el

peso y el gasto son los recursos a usar para hallar la expresión. Esto serían (2,50) y las coordenadas del

punto A(3,58) presente en el gráfico. Se pretende que quede escrita la expresión R(x) = 8x +34. Las

estrategias por poder hallarla pueden ser, las ya utilizadas en la actividad anterior, esto es plantear y

a) Halla la expresión algebraica que

representa el gasto de envío de la

empresa “Rápida”, R(x), donde x es el

peso en Kg. de los documentos.

Describe cómo varía el gasto en

Compara las actividades 1 y 2, ¿qué puedes comentar? Redacta.

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resolver un sistema de ecuaciones o bien recurriendo a cálculo de la pendiente. Puede suceder que intente

identificar la imagen del 0, ya que es una técnica que está muy vinculada para hallar expresiones de este

tipo Con respecto a la variación, se pretende una estrategia sería apoyarse en la expresión analítica y

utilizar la pendiente 8 para explicar que por cada kilogramo demás del envío el gasto aumenta en 8

dólares. Un posible error que se prevé es que utilicen un par de correspondientes y efectúen el cociente

entre ellos.

En este ítem, la tarea es realizar la representación gráfica de la función dada en su representación tabular.

La tarea implica en primer lugar efectuar la lectura y la interpretación de la tabla para poder hacer la

representación gráfica. La actividad requerida en la tarea es la conversión del registro tabular al registro

gráfico. La dificultad que puede presentar esta tarea es la forma en que está presentada la tabla, ya que es

una función escalonada y deben saber leer los intervalos y asignar las imágenes.

En este ítem, la tarea consiste en dar el dominio de la función que es la noción en juego de la tarea. La

actividad requerida para llevar a cabo dicha tarea es la de conversión del registro tabular al registro

numérico. Para ello, la lectura y la interpretación hechas en el ítem anterior resultan fundamentales. Se

espera que la respuesta a este ítem sea dada en forma de intervalo, esto es (0,4)

ACTIVIDAD 4

Dado un cuadrado ABCD de lado 4 cm y un cuadrilátero MPQR inscrito en el cuadrado

1. Encuentra cómo varía el área del cuadrilátero MPQR a

medida que varía “x”, buscando dos formas distintas de

mostrar dicha variación.

2. Indica qué valores puede tomar la “x”.

3. Indica entre qué valores puede variar el área del cuadrilátero

MPQR.

4. Busca una expresión matemática que represente dicha

variación.

5. Puedes determinar en esta situación una función. De ser así

explica por qué e indica las nociones que la definen.

c) Suponiendo que en la tabla anterior están dados todos los datos de la empresa

“Inmediata”, ¿cuál es el conjunto dominio de la función que modela los gastos de la

empresa Inmediata?

b) En la misma gráfica anterior, representa la función que modela los gastos de envío de otra empresa de correo privado

“Inmediata” que cobra los documentos que envía de acuerdo a su peso y cuyos datos se exhiben en la siguiente tabla

(donde “x “representa el peso en Kg.):

Peso en kg 0 < x ≤ 0,5 0,5 < x ≤ 1 1 < x ≤ 1,5 1,5 < x ≤ 2 2 < x ≤ 2,5 2,5 < x ≤ 3 3 < x ≤ 3,5 3,5 < x ≤4

Costo en US$ 20 30 40 50 56 62 68 74

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Esta actividad , que cierra la secuencia, tiene la característica de tener todas las nociones que le dan vida a

la noción de función: imagen, unicidad de la imagen, preimagen, dominio, conjunto de llegada, variación

.Los estudiantes se verán exigidos a hacer conversión de registros, del icónico al tabular, o bien del

icónico al algebraico , del algebraico al gráfico .También un tratamiento dentro de un mismo registro ya

que las propias tareas planteadas , sin explicitarlo, de alguna manera lo requieren.

El final de la actividad así como toda la secuencia busca que los alumnos elaboren su propia definición de

la noción de función de manera tal que estén presentes todas las nociones que le dan significado así como

también den lugar a la noción en su status de objeto matemático.

BIBLIOGRAFÍA

1. Boyer, C(1987).Historia de La Matemática .Madrid. Alianza Universidad Textos

2. Duval,R (1995). Semiosis et pensée humaine.Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels.

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3. Guzman, I (1990), Le Rôle des representations dans l´appropriation de la noción de fonction. Tesis

Doctoral. Strasbourg Publication.URMA

4. Lages Lima ,E.(1999),Curso de Análise.Vol 1,Río de Janeiro. IMPA

5. Ruiz Higueras,Luisa .(1994) .La Noción de función: análisis epistemológico y didáctico.Universidad

de Jaen .Jaen Servicio De Publicaciones e Intercambio Científico.

6. Sierpinska,A .(1992). The concept of function:Aspects of epistemology and pedagogy. En E.

Dubinsky y G. Harel.Mathematical Association of America Notes .Vol.25, pp. 25- 58.USA.

.

46

APROXIMACIONES RACIONALES DE RAÍCES CUADRADAS, DE LA ANTIGÜEDAD A NUESTROS DÍAS

Alejandro López Rosso Departamento de Matemática del Consejo de Formación en Educación,

Instituto de Formación Docente de Mercedes, Soriano, Uruguay. aleydelia@gmail.com

Enseñanza Media-Magisterio El objetivo de la ponencia es mostrar la importancia de la aproximación de raíces cuadradas en la resolución de problemas y analizar desde un punto de vista geométrico tres algoritmos para hacerlo. Dos de ellos provienen de la cultura Babilonia, y el otro es el que tradicionalmente se enseñaba en enseñanza primaria hace unos años.

Para Tales la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos.

Aristóteles

Introducción. Algoritmos: ¿Enseñarlos o no? Para la mayoría de nuestros alumnos, la palabra “algoritmo” tiene connotaciones más bien negativas. No

los culpo. “Ocho y cinco trece, dejo el 3 y me llevo el uno” “Seis por cuatro veinticuatro al treinta y dos

ocho, bajo el cinco” “Tomo los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente” Son

algunas de las frases que recuerdo de mi niñez. Hoy por hoy la enseñanza de los algoritmos está

fuertemente cuestionada. Este año en un foro del curso “Historia de la Matemática” surgió el tema del

algoritmo de la raíz cuadrada. Los cursillistas (todos profesores egresados) se dividieron en dos

categorías. Por un lado los que nunca lo aprendieron (en general los más jóvenes), por otro lado los que sí

lo aprendieron. De éstos últimos, muchos lo habían olvidado y otros que lo recordaban, no tenían idea de

por qué se hacía como se hacía.

Es evidente que podemos aprender a aplicar un algoritmo, sin conocer en absoluto su fundamentación.

Esto lo confirma la cara de sorpresa primero y asombro después que ponen, por ejemplo los estudiantes

de magisterio, cuando le explicamos por qué se deja un lugar a la derecha en la multiplicación o “se baja”

otra cifra en la división.

Cuando pregunto, por qué ya no se enseña el algoritmo para extraer la raíz cuadrada a menudo recibo dos

respuestas. “¿Para qué? Eso lo hace la calculadora!” . Cierto! Entonces ¿para qué enseñamos a dividir o

sumar, o derivar? No digo que haya que dejar de enseñar esto, pero la razón para dejar de enseñar aquello

no puede ser meramente que se “puede hacer con calculadora”.

La otra respuesta es: “es muy difícil, no vale la pena”. Puede ser, pero sinceramente, no creo que sea

mucho más “difícil” que el algoritmo de la división.

Algoritmo: ¿comienzo o fin del problema? Realizar el curso “Lógica y Matemática discreta” me hizo ver los algoritmos bajo un nuevo ángulo.

Llegar al algoritmo era el problema, y no tanto utilizarlo.

¿Cómo hago para hallar, de forma eficiente, el producto de 21x13? Algunos amigos me han mandado

asombrados un video sobren como multiplicar con rayitas, (http://www.youtube.com/watch?v=_0B-

kXMEsUk) “viste qué bueno!” me dicen…sinceramente creo que es interesante pero me gustaría saber

47

qué pensarían de las rayitas si en la escuela nos enseñaran ese método y tuviéramos que hacer 1345x432!

Sinceramente “nuestro” algoritmo es mucho más eficiente. ¿No nos asombra que alguien haya inventado

una forma de efectuar productos tan grandes que sólo requiera conocer unos pocos resultados de memoria

(o en una tabla… ese es otro debate)? ¿No será que nunca nos planteamos ese problema? El algoritmo de

la multiplicación aparecería como una respuesta genial para un problema real. El problema es que lo

aprendimos como una receta aburrida para resolver problemas aun más aburridos

Muchas veces enseñamos rápidamente algunos algoritmos, con la idea de que nuestros alumnos puedan

resolver “problemas interesantes”. Creo que lo más interesante puede ser el algoritmo. El problema de

trazar una mediatriz con regla y compás, me parece tan interesante como el de ubicar un foco que

equidiste de tres esquinas de una plaza triangular y ciertamente más real. Todos saben trazar la mediatriz

(“apoyo-en-un-extremo-marco-arriba-marco-abajo” etc.…) sin embargo cuando le pedimos que tracen la

mediatriz de un segmento en el borde, quedan mirándonos como que hicimos trampa… “no se puede,

porque no puedo marcar abajo”…

Aproximaciones de la raíz cuadrada en Babilonia. Los babilonios vivieron en Mesopotamia, en unos claros de tierras fértiles entre los ríos Tigris y Éufrates,

alrededor de 2000 a.C. Desarrollaron la escritura y contaban según un sistema sexagesimal, es decir, en

base 60. Los babilonios fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo la cual ha sobrevivido

hasta nuestros días. Lo que podríamos llamar textos matemáticos babilonios se pueden clasificar en dos

categorías: las tablas numéricas y las tablillas de problemas. Las primeras destacan uno de los aspectos

más asombrosos de las habilidades de los cálculos de los babilonios: la construcción de tablas para ayudar

a calcular. Las segundas contaban con una colección de ejercicios similares a los que podemos encontrar

hoy al final de cada capítulo de un libro de texto. Algunos problemas van acompañados de una figura

geométrica acompañada de números. No se trata de construcciones geométricas, son simplemente figuras

que ilustran el enunciado y que no forman parte de la solución del problema.

En el ejemplo de la derecha se observa una tablilla 1200 años antes a la

época que se estima que vivió Pitágoras.

En ellas aparece un cuadrado con sus dos diagonales y tres números a = 30,

b = 1; 24, 51, 10 y c = 42; 25, 35. Claramente los números “a” y “c”

corresponden al lado y diagonal, lo que sorprende es el número “b” que en

sistema decimal es 1,414212963 y corresponde a una aproximación del

número que nosotros escribimos con 6 cifras exactas.

Si bien los babilonios habían desarrollado un sistema de medida, valores

tan exactos son prácticamente imposibles de obtener mediante medición

aún en nuestros días.

A continuación presentaremos dos métodos que los Babilonios utilizaban

para aproximar raíces cuadradas junto con una interpretación geométrica.

Luego haremos lo propio con el “algoritmo actual” que se enseñaba hace

unos años en nuestras escuelas y liceos.

48

2a baba

ab2

a

Algunos conceptos previos El “hilo conductor” será la interpretación geométrica de algunos procedimientos algebraicos, en caso de

trabajarlo con estudiantes, conviene comenzar mostrar algunos ejemplos de “algebra geométrica”, la

mayoría trabajados en ciclo básico. Básicamente lo que haremos es interpretar el producto de dos

números como el área de un rectángulo los tenga por medida de sus lados. De éste modo, extraer la raíz

cuadrada de un número N puede interpretarse como calcular la medida del lado de un cuadrado de área N.

Esperamos que el lector comprenda que por tratarse de un trabajo muy breve daremos prioridad a las

ideas antes que a la “rigurosidad”.

Primer algoritmo.

Para aproximar la raíz cuadrada de un número N escribían luego

. A continuación presentamos una posible interpretación

Segundo algoritmo babilonio

Segundo algoritmo babilonio

Otra forma de calcular era hacer una primera aproximación de la misma a la que llamaremos .

A partir de esta calculaban . La segunda aproximación es la media aritmética entre , es

decir . Calculando se obtiene . Éste procedimiento puede

continuarse obteniendo aproximaciones “tan buenas” como uno desee. Por ejemplo para calcular raíz de

2:

ababaN

22 +≅+=

Si consideramos un rectángulo de área N, “formado” por un cuadrado de área y un rectángulo de área b, dividendo éste último en dos rectángulos de la mitad del ancho y “añadiéndolos” al cuadrado, obtenemos una figura de área N. El valor al que llegaban, es por lo tanto, una aproximación por exceso, lo cual se puede apreciar fácilmente en la figura. Si trabajamos con números naturales, la mejor aproximación corresponde al mayor valor de “a” cuyo cuadrado no exceda N. Si bien de ésta manera no se obtiene un número muy exacto, es una muy buena forma de estimar el valor de la raíz, aun para nosotros. Por ejemplo que podemos estimar

“mentalmente” como 7 y 4 centésimos. El lector puede analizar la variante de escribir

, la cual también utilizaban los

babilonios y ver cuándo conviene utilizarla.

641,11217

234

23

2,3,1

34

2/32,5,1

23

2,

12,1 22

3211

211 ==+

=+

======+

===nanananan

49

Interpretación geométrica

Algoritmo “actual” Francamente no sé con certeza cuándo o quién inventó el algoritmo que se enseñaba en nuestras escuelas

y liceos hasta no hace mucho tiempo. Por falta de espacio aquí los remito a una de las tantas páginas

donde aparece (entre otras cosas) una explicación del mismo:

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada

Interpretación geométrica. Sin dudas que “nuestro” algoritmo es uno de los más curiosos que aparecen en la enseñanza primaria y

casi diría, secundaria. A continuación veremos brevísimamente una interpretación que ayuda a esclarecer

algunos de los pasos. Sugiero, estudiar la explicación primero y efectuar algunas pruebas antes de seguir.

Para hallar la raíz cuadrada de N, consideramos un cuadrado de lado N, la idea es ir construyendo

cuadrados de lado cada vez mayor que estén incluidos en N. Supongamos

que N =4567 (para facilitar la explicación, fácilmente se puede extender a un número de cifras

cualquiera). Lo primero que buscamos es la primera cifra de la raíz. Como nuestro

número es del orden de los “miles” su raíz será del orden de las decenas. La cifra buscada es el mayor

valor cuyo cuadrado sea menor que 45. Es decir 6.

Dado el valor de corresponde al otro lado de un rectángulo de área N. En cada iteración, vamos calculando valores de que son lados de rectángulos cada vez más “cercanos” a un cuadrado de área N. Por lo tanto, con cada iteración obtenemos una mejor aproximación de . Incluso podemos acotar el error puesto que

. Además de ser un método muy fácil de recordar, (más aun teniendo en cuenta ésta interpretación) brinda muy buenas aproximaciones. En el caso de , nos da 6 cifras exactas y iguala la exactitud de una calculadora científica.

50

Para obtener las cifras decimales, luego de hallar las unidades, debemos “medir” el área que queda en

décimas, por lo que al resto debemos multiplicarlo por 100 o como dice el algoritmo “agregar dos 0”.

2)10( ba +

2)10( a

Na10

N

N

N

ba +10

Luego se resta el cuadrado de 6 a 45, (en realidad el cuadrado de 60 a 4567) obteniendo el número 967. Dicho valor es el área del gnomon diferencia entre el cuadrado de área 4567 y el cuadrado de lado 6. Ahora la idea es encontrar el valor de las unidades. Es decir ¿cuántas unidades puedo sumar a 60 para obtener un cuadrado de área menor que N? Debe cumplirse que

Desarrollando obtenemos ) . De ahí que el algoritmo “manda” que busquemos la mayor cifra b tal que multiplicada por el número obtenido de agregarla a 2x6, sea menor que 967. En general, si N es un número de cuatro cifras. Después de hallar la primera cifra debemos buscar b tal que Nba ≤+ 2)10( Luego

22 .100.2.10 aNbba −≤+

2.100).2.10(verifique

que talb der mayor valo el buscamos tantoloPor

aNbba −≤+

Nbbaa ≤++ 22 .2.10.100

51

Conclusión Luego de haber pensado en éstos algoritmos como verdaderas soluciones al problema de aproximar la raíz

cuadrada, me parecen geniales cada uno de ellos y dignos de estudiar, para ver en ellos una cuota

interesante de creatividad y belleza, además de profundizar en algunos aspectos de nuestro sistema de

numeración. Creo así mismo que no tiene ningún sentido, hoy por hoy, aprenderlo a modo de “receta”

para calcular raíces cuadradas. Terminando como empezamos creo que en el tema de los algoritmos

“la cuestión primaria no es qué sabemos, sino cómo lo sabemos”.

Bibliografía Boyer, C. (1986). Historia de la matemática. Madrid: Alianza.

Dalcín, M. y Olave, M. (2010). Materiales del Curso de actualización en Historia de la Matemática.

Montevideo: Departamento de Matemática-Consejo de Formación en Educación.

TeleVisión Educativa (2007). Los babilonios y la raíz cuadrada. Telesecundaria Nº 121. México.

Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=iP-FXYpixjY&feature=related.

52

ARTE DIGITAL Y GEOMETRÍA DINÁMICA Fabián Vitabar

Instituto de Profesores Artigas, Montevideo, Uruguay. fvitabar@gmail.com

Niveles medio y superior. Palabras clave: arte - Geogebra - mapas - fractales

Resumen La Geometría Dinámica nos ofrece la posibilidad de visualizar casi instantáneamente los gráficos generados por expresiones matemáticas, donde incluso el color puede variarse según cierto criterio. Esto permite generar imágenes muy agradables y coloridas, cuya creación implica un desafío muy interesante, porque obliga al “artista” a poner en juego los conocimientos matemáticos necesarios para lograr un fin. Desde el punto de vista disciplinar, se promueven conocimientos tales como la geometría analítica, el análisis funcional, las representaciones cartesianas, los números complejos. Y desde la Didáctica se pueden generar situaciones problemáticas muy motivadoras, que facilitan el otorgamiento de sentido a estos contenidos, a la vez que se incentiva la autonomía del alumno en la construcción del conocimiento matemático. Arte Digital y Geometría Dinámica

Uno de los desafíos que ha debido enfrentar la Didáctica de la Matemática, ha sido el de

contribuir a que las prácticas de enseñanza permitan a los alumnos otorgarle sentido a los objetos

matemáticos. Esto implica (entre otras cosas) que los estudiantes sean capaces de relacionar los entes

abstractos con problemas concretos (y cuanto más cotidianos, mejor) para los cuales el nuevo

conocimiento significa un aporte sustancial.

Los procesos que ha sufrido la Matemática como tal, especialmente en lo referido a su enseñanza

sobre mediados del S.XX, ha provocado una despersonalización hasta “violenta” de estos saberes, y estas

tradiciones nos han empujado a que nos parezca obvio que cuanto más abstacta, pura y desarraigada sea

la manipulación de los objetos mátemáticos, de mayor “calidad” será su aprendizaje.

Basta remontarnos en el tiempo para aceptar que muchos de los componentes que han hecho de la

Matemática (y en especial, de la Geometría) una disciplina hermosa se vinculan con su aplicación en el

arte y en la arquitectura. Los estudios de las proporciones (en especial, la Divina Proporción), las

regularidades, las simetrías, los patrones, han sido motivo de deslumbramiento para muchas generaciones:

y el interés en lograr dominar esta explicación oculta tras tanta belleza, ha motivado al estudio profundo

de muchos conceptos matemáticos.

¿Quién no se ha maravillado frente a una figura con varios ejes de simetría? ¿O un bonito

polígono estrellado? ¿Y una envolvente de rectas?

Por otra parte, la misma enseñanza de la Matemática se ha topado desde hace unos años con un

conjunto de posibilidades originales, en el marco de los procesos de incorporación de TIC a las

actividades de aula. En particula, la Geometría Dinámica ha implicado un cambio de características hasta

revolucionarias para la Didáctica de la Matemática.

Sin deternos en estas bondades, nos interesará en este documento explorar cuáles son las

posibilidades que ofrece la Geometría Dinámica (en especial, el software GeoGebra) para generar

imégenes estéticamente agradables, en una suerte de combinación del arte digital con la Gometría

53

Dinámica, haciendo un particular énfasis en las oportunidades de aprendizaje de la matemática que esto

conlleva.

Para esta exposición iremos viendo diferentes imágenes “artísiticas” generadas con GeoGebra,

analizando conjuntamente el proceso de su generación, con los conceptos matemáticos puestos en juego.

En cada ocasión, se analizarán propuestas concretas para llevar al aula estas ideas.

Polígonos estrellados

En general, hay varios contenidos matemáticos vinculados a la generación de imágenes

agradables.

Las familias de rectas ofrecen hermosas representaciones, tales como los haces de rectas y las

envolventes. Algunas representaciones en tres dimensiones nos permiten modelar algunas superficies

regladas. La generación de polígonos estrellados con GeoGebra también implica poner en juego algunos

conocimientos matemáticos desafiantes, por ejemplo, el trabajo con sucesiones casi nulas, y los

algoritmos iterativos de selección de vértices y construcción de segmentos.

En este ejemplo de construcción, se ha generado una imagen dependiente de dos parámetros: n es

un número natural que representa el número de vértices, y v es un vector de componentes naturales, que

indica (para cada vértice) con cuáles de los demás se determinará un segmento. Por ejemplo, si en un

conjunto de seis vértices (numerados circularmente del 0 al 5) se desea que el vértice 0 se conecte con el

2 y el 3, los valores de los parámetros serán n= 6 y v= { 2,3 }

A partir de estos parámetros se define la sucesión (casi nula) de segmentos que generará la figura

estrellada.

Como soporte, se construye una circunferencia c de centro O y un punto P que le pertenece.

La sucesión de puntos que genera los vértices (por “duplicado”) está definida por su término

general Ai= R

O , i 2�n

�P �, para 1� i� 2n . En Geogebra se define con el comando:

vert=Secuencia[Rota[P, i 2 π / n], i, 1, 2 n].

Ahora se debe definir la sucesión de segmentos, para lo cual usaremos nv= # v , con el comando:

n_v=Longitud[v].

Utilizamos dos comandos anidados, de modo que fijado un i (que identifica al vértice, y variará

de 1 hasta n), se definen los segmentos que éste determina con los vértices de índices i+k, con k �v .

El comando de Geogebra es: segmentos=Secuencia[Secuencia[Segmento[Elemento[vert, i],

Elemento[vert, i + Elemento[v, k]]], k, 1, n_v], i, 1, n].

A partir de ahora basta con modificar los parámetros n y v para generar nuevas imágenes.

54

Dejando a la vista solamente la lista segmentos, ofrecemos aquí la construcción generada con n= 27 y v= { 4,5 ,7 ,11 ,12 ,13 }

Color dinámico

Se abre un gran abanico de posibilidades al utilizar una cualidad de Geogebra, que nos permite

colorear un punto asignándole valores (entre cero y uno) a sus componentes de color (verde, rojo y azul).

Lo interesante es que estos parámetros pueden definirse a partir de otras variables, por ejemplo, de las

coordenadas del mismo punto. De este modo, podremos establecer hábilmente una función de dominio

complejo y recorrido el conjunto [0,1]3 de modo que cada punto del plano adopte una terna que le dé

color según esa función.

Es necesario conocer cómo maneja Geogebra las propiedades de color: cada componente (de los

tres colores básicos) puede adoptar cualquier número real, pero internamente transforma esa entrada en un

número del intervalo [0,1], a través de la siguiente función: f :�� [0,1] /f �x�= {x− [x ] si [x ]= 2̇1− x�[x ] si [x ]≠ 2̇

Componiendo esta función con cualquier otra que dependa de las coordenadas del punto a

colorear, puede generarse un mapa colorido la mover ese punto dejando activado su “rastro”.

En el siguiente ejemplo, se han fijado dos puntos (A y B), y se considera variable el punto P. Las

componentes de color de P se definen así:

Rojo�P �= d �A , P ��d �B , P�, Verde�P �= d �A , P �– d �B , P � , Azul �P�= d �A , P �d �B , P�

Al barrer el punto P toda la pantalla, deja un rastro como el que sigue. Podemos apreciar cómo

cada color “insinúa” una familia de curvas (elipses, hipérbolas y óvalos de Cassini).

55

Para facilitar el trabajo, a partir del punto P podemos generar una familia de muchos puntos (unos

400) que obedezcan a la misma función de color, que además tengan la misma abscisa y estén muy

próximos unos de otros. Lo que percibimos visualmente es un segmento paralelo al eje de las ordenadas.

Si les activamos el rastro a todos, y le asignamos un parámetro variable a la absica del segmento que

hacemos crecer lentamente, la imagen de color irá apareciendo como si fuese un escáner.

Esta herramienta puede incluso utilizarse para representar conjuntos más delicados, que dependan

de una función de dominio complejo, como algunos fractales famosos (los conjuntos de Mandelbrot o

Julia). En estos casos habrá que asignarle un criterio a cada punto del plano complejo para decidir su

pertenece o no al conjunto, incluso para darle un color determinado. En estos casos el procesador suele

verse mucho más exigido que en los casos anteriores, ya que la cantidad de cálculos internos que debe

realizar para asignarle el color a cada punto son muchos; por tal motivo, generalmente no conviene

colorear la pantalla con varios puntos a la vez, sino hacerlo (lentamente) con uno solo.

Consideraciones didácticas

Notemos que el mismo trabajo de decidir cuál será la función adecuada a las pretenciones

artísticas del alumno, implica poner en juego el conocimiento matemático disponible, y hasta quizás

recurrir a alguna otra herramienta hasta entonces desconocida que pueda dar respuesta al problema. A

partir de allí, muchas variables didácticas aportan riqueza a estas actividades: ¿cómo cambio los colores

de una figura ya generada? ¿cómo encontrar la manera de generar una figura dada? ¿puedo imaginarme el

mapa de una función antes de dibujarla?

Entendemos que este tipo de desafíos ofrecen una buena oportunidad para que el alumno entre en

contacto con problemas que pueden otorgar sentido a los objetos matemáticos considerados; el hecho de

que el mismo programa ofrezca una representación gráfica, permite al alumno decidir si eso es lo que

quería obtener o no, dándole control sobre el conocimiento e independencia del juicio del docente; la

posibilidad de probar y ensayar genera mecanismos de validación, confrontanción y conjetura que pueden

aprovecharse para verbalizar un procedimiento lógico de búsqueda muy rico.

56

Algunos ejemplos más

He aquí algunas imágenes más acompañadas de las funciones que se utilizaron para colorar cada

punto. Las variables x e y representan las coordenadas de cada punto, y las expresiones R�x , y�,

V �x , y� y A�x , y� son las componentes de colores rojos, verde y azul respectivamente.

R�x , y�= e–�y – f �x��2

, V �x , y�= e –�y – g�x��2

, A�x , y�= e– �y – h�x��2,

habiéndose definido f �x�= e x/3, g �x �= 3ln �x� y h�x�= – x – 2 .

R�x , y�= e–�x – [x]�2 –�y – [ y]�2

, V �x , y�= e– �x – [x]�2 –�y – [ y]�2

, A�x , y�= 0

57

R�x , y�= e–��d��x , y�,�– 2,0��–d ��x , y�,�2,1���–2�, V �x , y�= 1

2� arctan�x�

� ,

A�x , y�= 12

� arctan�y��

R�x , y�= �1 –�1 – e –3��BPC –�/5���1– e– 3��CPD–�/5���1 – e–3��DPE– �/5���2 ,

V �x , y�= �1 –�1 – e–3��FPG –�/5���1 – e–3��GPB–�/5���1 – e–3��BPC –�/5���2,

A�x , y�= �1 –�1 – e–3��DPE –�/5���1 – e–3��EPF – �/5���1 – e–3��FPG–�/5���2 ,

siendo P el punto variable de coordenadas �x , y� y los puntos A , B , C , D , E y F los

vértices fijos de un hexágono regular.

Bibliografía Almacén de recursos del IES Pravia. http://www.iespravia.com/ (Consultado en agosto de 2010) GeoGebra: Página web oficial. http://www.geogebra.org (Consultado en agosto de 2010)

58

PUNTOS MEDIOS Y SUS DIVERSAS CONEXIONES María del Carmen dos Santos Farías Trivel

Escuela Técnica Superior - Rivera, Uruguay maria2santosf@gmail.com

Nivel educativo: Medio Palabras claves: cuadriláteros, triángulos, puntos medios, diagonales.

Resumen Esta propuesta se inicia con conceptos generales referidos a polígonos. Luego, como un andamio, se consideran los puntos medios de los lados de triángulos llegando al concepto de paralela media y deduciendo propiedades referidas a longitudes y áreas de figuras determinadas al considerar todas las paralelas medias del triángulo. A partir de ello se coloca el foco en los cuadriláteros y el paralelogramo de Varignon y basados en la visualización, optimizada si se usa un software como por ejemplo Cabri II Plus, se deducen varias propiedades, algunas de las cuales se demuestran usando conceptos básicos. Se plantean otras conexiones con algunos problemas y ejercicios. 1- CONCEPTOS GENERALES.

Antes de abordar específicamente el tema podríamos referirnos a la definición de polígono y en particular

a la de polígono convexo.

No convexo convexo

Esta idea intuitiva debe estar respaldada por una formulación más precisa, que puede darse de distintas

formas. De acuerdo al contexto, alguna de esas definiciones puede ser más adecuada que las otras.

Elon Lages Lima define polígono como una línea poligonal cerrada sin auto-intersecciones; es decir

cada lado es un segmento de recta que tiene solo un punto en común con el lado anterior y con el

siguiente, pero no con los demás.

A veces designamos con la palabra polígono la región del plano limitada por esa línea poligonal cerrada

sin auto intersecciones.

(Por ejemplo cuando hablamos de área de un polígono, queda claro que nos estamos refiriendo a la región

poligonal, no a la línea que la limita.)

Análogamente, dos vértices son adyacentes (o consecutivos) si pertenecen al mismo lado.

Se denominan diagonales a los segmentos determinados por vértices no adyacentes.

Por ejemplo los segmentos AC y AD son 2 diagonales del pentágono.

A pesar de parecer trivial la observación de que algunas diagonales del

pentágono (o de otros polígonos de mayor número de lados) no siempre

se intersecan, hemos comprobado que esta evidencia causa conflicto, al

punto de necesitar resignificar el concepto de diagonal, pues lo habitual es

59

A

D

C

B

AB

C

D

A

B

CPM

que la imagen mental asociada sea el de las diagonales de los cuadriláteros convexos , que siempre se

intersecan.

Por ejemplo, si consideramos los cuadriláteros ABCD, sus lados son AB, BC, CD, DA y sus diagonales

AC y BD.

A partir de los ejemplos anteriores y teniendo en cuenta sus diagonales, se pueden clasificar en :

• Cuadriláteros convexos : si tienen ambas diagonales interiores

• Cuadriláteros no-convexos:si tienen una diagonal interior y otra exterior.

2- TRIÁNGULOS, PUNTOS MEDIOS, PARALELA MEDIA y ÁREAS…

Representemos un T(ABC), un punto P que pertenezca al lado AC, el segmento BP y su punto medio

M . ¿Qué ocurre al variar el punto P? ¿cuál es el conjunto de todos los puntos medios de los

segmentos BP?

Si realizamos esta actividad con algún software, por ejemplo Cabri,

(no es imprescindible) observamos que dicho conjunto es un segmento

de recta paralelo al lado AC y cuyos extremos son los puntos medios

de los lados AB y BC. Además al comparar longitudes es notoria la relación

entre la longitud de dicho segmento y la del lado AC.

Por lo experimentado se puede inducir que:

Si en un triángulo consideramos los puntos medios de dos de sus lados, el segmento que determinan

es la paralela media del triángulo.

Dicho segmento es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.

Dijimos que no es imprescindible el uso de algún software, pues trabajando con diversos materiales

concretos, o lápiz y papel, o papiroflexia, es posible arribar a la misma conclusión. La ventaja de trabajar

con primer procedimiento es que permite la visualización de regularidades en variados ejemplos, en

menos tiempo; así la conjetura inicial adquiere “más fuerza”

Esta experimentación que posibilita intuir relaciones y luego generalizar, si bien no tiene el valor de una

demostración formal, permite llegar a esta fase de abstracción de modo más natural y significativo.

Para demostrarla se puede proceder de la siguiente manera:

Simetrizar el T (ABC) respecto a N, punto medio del lado BC. Por el paralelismo de rectas

simétricas y propiedades de simetría, se tiene que :

60

A

B

C

D

A

B

P

MN

CN (A)= A’ (AB) // (A’C)

CN (B)= C → y → (ABA’C) paralelogramo*

d(A,B) = d (A’,C)

Como CN (M)= M’ se deduce MM’ // AC y d(M, N ) = ½ d(A,C) *

Si ahora comparamos área de los T(ABC) y T(MBN) , tenemos que

ár T (ABC) = d(A,C) . h . ½ ( 2 )

Cómo el segmento MN es paralela media del T(ABC)

d(B,G)= ½ d (B,H) por lo tanto

ár T (MBN) = d(M,N) . ½ h . ½ → ár T (MBN) = ¼ ár T(ABC)

Los triángulos tienen 3 paralelas medias, que lo dividen

en 4 triángulos de igual área pues por razonamiento análogo:

árT(MBN)= ár T(NCP)= árT(MPA)= ¼ ár T(ABC),

en consecuencia ár T(MNP) = ¼ (ABC)

3 - CUADRILÁTEROS Y PARALELOGRAMO VARIGNON

Experimentemos proponerle a los alumnos investigar qué figuras se determinan cuando se consideran

los puntos medios de los lados de un cuadrilátero. Nuevamente la visualización (con o sin

computadoras!) juega un papel fundamental para relacionar conceptos previos con los resultados que se

obtienen en cada ejemplo considerado, así como para llegar a la conclusión que :

2 notamos con h medida de la altura respecto al vértice B

61

A

BC

D

PQ

R

S

La figura formada por los puntos medios de los lados de un cuadrilátero (considerados en el mismo

sentido que la figura inicial), es un paralelogramo y su área es la mitad que la de aquel.

El siguiente teorema, atribuido a Pierre Varignon (1654-1722), resulta muy simple y causa sorpresa la

fecha tardía de su publicación en 1731

Insistimos en que la visualización no es la demostración, y muchas veces nuestra visión nos engaña, ya

sea porque las figuras que usamos no son las mas

adecuadas o lo que nos “muestra” el computador

son aproximaciones. Por ejemplo

Entonces a demostrar!!

Recordemos que el segmento determinado por los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo

al tercer lado y su longitud es la mitad que la de dicho lado.

Considerando los triángulos (ABC) y (CDA) se sabe que

los segmentos PQ y SR son paralelos

a la diagonal AC, por lo tanto PQ // SR →(PQRS) es un paralelogramo 3.

miden la mitad que AC, es decir d(P,Q) = d(S,R)

Si el cuadrilátero fuera no convexo, los puntos medios de sus lados determinan igualmente un

paralelogramo. (la demostración. es análoga a la anterior)

En cuánto al área de los polígonos, podemos considerar:

ár (PQRS) = àr (ABCD) - ( ár (APS) + ár(QCR) + ár(PBQ) + ár (RDS) )

ár(PQRS) = ár (ABCD) - ( ¼ ár(ABD)+ ¼ ár(BCD)+ ¼ ár(ABC)+ ¼ ár(CDA)

ár(PQRS) = ár (ABCD) - ( ¼ ár(ABCD) + ¼ ár(ABCD) )

ár(PQRS) = ár (ABCD) - ½ ár(ABCD)

ár(PQRS) = ½ ár(ABCD)

También se cumple para otros cuadriláteros no convexos

y este procedimiento que seguimos en la demostración también es válido.

3 También conocido como ´´ paralelogramo Varignon del cuadrilátero (ABCD)´´

62

A

B C

D

O

4 – ‘ENCUENTROS’ ENTRE DIAGONALES y PUNTOS MEDIOS

Los segmentos determinados por los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero,

y los determinados por los puntos medios de sus diagonales, son concurrentes y se bisecan entre ellos.

Es decir:

El centro del paralelogramo Varignon (O) es punto medio del segmento determinado por los

puntos medios de las diagonales del cuadrilátero (ABCD).

La relación se mantiene si el cuadrilátero es no convexo. Si el cuadrilátero inicial ABCD es un

paralelogramo, O coincide con el centro del ABCD

5 – CLÁSICOS Y …OTRAS CONEXIONES CON PUNTOS MEDIOS

Estas propuestas pretenden estimular los razonamientos inductivos, formular conjeturas, generalizar,

plantearse nuevas situaciones que tiendan puentes entre conceptos matemáticos, investigar, resignificar

definiciones y propiedades, y también demostrar.

1. Representa un cuadrilátero (ABCD) convexo y considera M, N, P, Q, los puntos medios de los lados

AB, BC, CD y DA respectivamente.

a) ¿Qué condiciones debe cumplir (ABCD) para que (MNPQ) sea un rombo, un rectángulo o un

cuadrado?

b) INVESTIGA si existe alguna relación entre los segmentos determinadas por los puntos medios de

las diagonales AC y BD, y los determinadas por los puntos medios de los lados del (MNPQ).

2. En un T(ABC), A’, B’ y C’ son los puntos medios de los lados.

Probar que los segmentos AA’ , BB’ y CC’ son concurrentes.

(G se denomina baricentro del triángulo)

b) Formula una conjetura acerca de las áreas de los 6 triángulos

que quedaron determinados Y LUEGO demuéstrala.

3- Considera un cuadrado grande blanco, señala los puntos medios de los lados,

únelos y colorea de negro el cuadrado que se forma. Sigue la secuencia alternando

con blanco y negro.

a) de qué color es la región central en el paso 10? Y en el paso n?

b) Cuántos hay en el paso 7 ? Y en el 14? Generaliza para n

c) Qué pasaría si el cuadrado original se cambiase por un triángulo?

Cuántos triángulos blancos hay en un paso cualquiera? Y triángulos negros?

63

d) Y si el cuadrado original se reemplazara por otro cuadrilátero?

BIBLIOGRAFIA

• COXETER, H y GREITZER, S.(1967). Geometry Revisited. New York: Random House.

• LAGES LIMA, E. (2001). Matemática e Ensino. Rio de Janeiro: Coleçao do Profesor de

Matemática.

• PUIG ADAM, P.(1980). Curso de Geometría Métrica.(15ª ed.). Madrid: Gómez Puig.

• STACEY, K y GROVES, S. Resolver problemas: Estrategias. Madrid: Narcea, 1999.

64

EL DESAFÍO DE ATENDER A LA DIVERSIDAD EN EL AULA DE MATEMÁTICAS

Helena Sastre Montevideo. Uruguay

helenasastre@hotmail.com Primaria y Ciclo Básico

Resumen Dislexia, Discalculia, Déficit atencional con hiperactividad, Síndrome de Asperger, Déficit intelectual, hipoacusia, entre otras, son la característica de alguno de los 35 alumnos que tenemos hoy en nuestra clase. Diversidad, integración, inclusión, palabras que suenan en lo cotidiano y nos plantean un gran desafío para el cual nos sentimos, casi sin excepción, escasamente preparados. “Tolerancia”, un reglamento que, en general, poco nos aporta en cuanto a información y sin embargo, mucho nos exige. ¿Es posible contemplar tanta diversidad? Introducción

Para situarnos en el tema es necesario empezar por hacerse algunas preguntas.

¿Cuál es el fin de la escuela?

¿Debe ser obligatoria?¿Por qué?

¿Quiénes deben asistir a ella?

¿Debe ser la misma escuela para todos?

La escuela es un constructo social, un constructo relativamente nuevo, no es algo natural. Tiene por tanto

su razón de ser en tanto cumple una función social. ¿Cuál es esa función? Podría decirse que la de formar

ciudadanos, personas aptas para vivir en sociedad, para desempeñarse en el mundo del trabajo, para gozar

de su libertad, y la lista puede aumentarse. Las políticas educativas dan un marco normativo a esta

función. A estas políticas subyace una ideología. En ese marco nos movemos, pero, entrecruzamos con él

nuestra propia concepción de escuela y en particular nuestra concepción del fin de la clase de matemática.

¿Por qué enseñar matemáticas? ¿Por qué esas matemáticas prescriptas en el currículum? ¿Con qué

objetivo trabajamos los números naturales? ¿y los racionales? Preguntas que tal vez nunca nos hemos

hecho, dado que nos parece obvio que es necesario, porque el currículum ha sido así toda la vida, y si el

alumno quiere luego estudiar alguna otra cosa lo va a necesitar ¿…? Muchas veces que el objetivo de lo

que enseñamos radica en su funcionalidad para el entendimiento del propio currículum, en algunos casos

podemos incluso ver su aplicación directa en la vida cotidiana, y cuando no encontramos esta explicación

pensamos que seguramente aprender lo que enseñamos desarrolla en el alumno su capacidad de pensar,

de razonar, de utilizar la lógica y por tanto le será de utilidad. En realidad, yo sigo sin saber para qué

enseñamos a operar con fracciones en la escuela, y por qué está el tema divisibilidad en primer año de

liceo, aunque me encanta y en general mis alumnos lo entienden.

Ciertas corrientes entienden la escuela como un contexto educativo creado por la sociedad para

garantizar el acceso al desarrollo de competencias que siendo necesarias para moverse en determinada

cultura no están garantizadas, o al menos no totalmente, por otros contextos educativos (familia, medios

de comunicación, pares). Esta concepción permite comprender la obligatoriedad de la misma. Al mismo

tiempo contempla la idea de que este derecho a integrarse de manera competente en la sociedad es

inherente a todos los individuos, sin importar sus características personales. Ahora bien, en caso de

65

acordar en esto surge la pregunta: ¿Por qué todos juntos? ¿Por qué no una escuela especial que atienda al

individuo respetando sus características personales? Y ante esta pregunta la respuesta que yo encuentro

casi de forma inmediata es que sería algo imposible. Imposible porque implicaría una escuela para cada

individuo, puesto que somos todos diferentes, y tenemos características diferentes. Y por otro lado, sin

sentido, dado que pretendemos educar para que cada uno de los individuos se integre a un mismo sistema

social. Ahora bien, ¿tenemos entonces que educar a todos de la misma manera? ¿Misma escuela implica

misma educación? ¿Misma educación implica mismos resultados? ¿Garantizamos igual inclusión social

por estar todos en la misma escuela? Es claro y a la vista de los resultados está que no. Gran dilema. Lo

que se puede deducir claramente, es que separando a la gente por sus características personales estamos

directamente fomentando la disgregación y no la convivencia en sociedad. Estamos educando desde un

modelo de sociedad compartimentada. En otros tiempos la compartimentación se daba según otros

criterios, por ejemplo por sexo, o por el color de la piel. Estamos de acuerdo que esos criterios no eran

justificados. Ahora bien, investigaciones recientes dan cuenta que a mayor escolarización menor es la

relación entre clase social y acceso a mejores puestos laborales. Menor es la reproducción social.

Entonces tenemos que asegurarnos de que todos tengan acceso a la escolarización, para poder mejorar las

posibilidades futuras de ese individuo. También está demostrado que cuanto mayor es el capital cultural

de los padres mejores posibilidades tienen sus hijos de tener éxito en el sistema educativo formal,

entonces pensando en terceras generaciones también tenemos que asegurar la mayor permanencia en el

sistema educativo de los jóvenes de hoy.

Así llegamos a la escuela de hoy, que busca ser una escuela para todos. Esta escuela para todos llena de

tensiones, porque está en permanente construcción, en donde las intenciones no se ven acompañadas de

políticas adecuadas, que doten de los recursos necesarios para cumplir con su función. Recursos que no

son solo materiales y humanos. Se necesita también formación.

Por suerte, los docentes, tomamos conciencia de estas necesidades, y buscamos la manera de ir

formándonos para poder acudir a este llamado con las mejores herramientas que estén a nuestro alcance.

Es por eso que están asistiendo ustedes a esta conferencia, y es por eso que desde hace algunos años me

ha interesado estudiar las características de la diversidad, y cómo atenderla en el aula.

Cuando escuchamos hablar de Diversidad, en general la asociamos a las dificultades especiales como

Dislexia, Déficit atencional, etc. Sin embargo las personas luego de caracterizadas con alguno de estos

rótulos, son, a mi entender, dentro de la diversidad, las que menos problemas tendremos para atender.

Digo esto, porque, se trata de individuos de los que sabemos características particulares, y si buscamos

información, encontraremos claves particulares para atenderlos. Cada uno, tiene necesidades particulares

identificadas previamente, y podemos pensar en ellas al momento de diseñar nuestras actividades,

pensando en contemplarlos. No ocurre lo mismo con los demás alumnos que están en el aula, sin rótulos.

Todos nuestros alumnos son diferentes y tienen necesidades diferentes, sin embargo, cuando diseñamos

actividades de aula, en general lo hacemos sin pensar en esta diversidad. Pensamos en el contenido que

queremos presentar, pensamos en las características particulares de ese contenido y cuál podría ser la

mejor manera de trabajar en ello pero rara vez pensamos en cuáles pueden ser las dificultades que,

derivadas de las características particulares de nuestros alumnos pueden presentarse ante el abordaje de

este contenido. ¿Acaso podemos saber exactamente cuáles serán estas dificultades? ¿cómo conocer a

66

nuestros alumnos para poder contemplarlas? Evaluar permanentemente el estado de situación de nuestros

alumnos ante un contenido, regular nuestras prácticas en función de lo que observamos y constatamos en

el desarrollo de la actividad, rever nuestra planificación y ajustarla permanentemente a las necesidades y

demandas del alumnado, tener conciencia de que nuestros alumnos son diferentes y diseñar actividades

que intenten contemplar esas diferencias. Estas son las claves para tener éxito y aunque no es una

novedad constituyen el desafío. Esto implica pensar en actividades que puedan contemplar diferentes

ritmos de trabajo, diferentes capacidades, diferentes estados de desarrollo. En la variedad está la atención

a la diversidad. Variar estilos de presentación de la tarea, variar estilos de dinámica en el aula, variar

ritmos, y estar atentos a la respuesta de cada alumno ante estas variaciones. Identificar a los que tienen

mayor facilidad y permitirles desarrollar todas sus potencialidades generando instancias en que puedan

colaborar con sus compañeros para que a su vez estos otros aprendan de sus pares. Aprovechar al que

termina antes para que colabore con el que aún no ha podido terminar. Plantear tareas de resolución

grupal explicitando la necesidad de que todos entiendan lo que están haciendo, aprovechar las zonas de

desarrollo próximo generando instancias de trabajo colaborativo. El atender detalles que son relevantes

para algunos refuerza el conocimiento de todos. Tal vez la clave sea el plantearse objetivos diferentes

para cada alumno en particular.

Pensando en ejemplos concretos.

Un alumno disruptivo. No puede quedarse quieto en el salón, no ha podido adquirir en primer año de

liceo las normas básicas de comportamiento en el aula, no se aviene a la tarea, se dedica a molestar a sus

compañeros. ¿Qué hacer con él? En primer lugar, definir claramente cuál será el objetivo primordial: me

parece claro que lo primero que pretendo lograr con este alumno es que se adapte al trabajo en el aula,

voy a intentar promover en él conductas adaptativas. Entonces debo concentrarme en no reforzar

conductas que no acepto, no puedo nombrarlo todo el tiempo cada vez que su conducta es desajustada,

tengo que buscar otros mecanismos. Debo concentrarme en valorar sus conductas acertadas, para

reforzarlas. Tengo que pensar en un plan de acción para ir adaptando su conducta a la clase y no

desfallecer en el intento. Si tengo claro cuál es mi objetivo podré apreciar el éxito de mi tarea. Mi primer

objetivo entonces no es que aprenda matemática, es que aprenda a convivir en el aula. Luego que haya

podido lograr este objetivo recién ahí podré fijarme como meta que adquiera conocimientos matemáticos.

Si tiene el cuaderno sobre el banco y está copiando la tarea entonces lo felicito. Si intenta realizar la tarea,

entonces lo felicito. El día que logra realizar una tarea entonces lo felicito. Y mejor aún si este programa

de adaptación es coordinado y llevado a cabo por todos los docentes del grupo. Más rápido lograremos

resultados y lograremos antes comenzar a trabajar con los contenidos específicos de cada materia. No

estamos dejando de cumplir con nuestros objetivos porque no podamos enseñar matemáticas a este

alumno al comienzo del año. Sin embargo estaremos dejando de cumplir con nuestros objetivos si

consecuentemente le sacamos de clase por molestar, y si, como nos es imposible enseñarle matemática

entonces nos conformamos con ponerle una nota baja, entendiendo que no tenemos más nada que

enseñar.

67

Por otra parte, explicitar al alumno que se tiene confianza en sus capacidades es una necesidad que

debemos atender. Solemos resaltar los fracasos y no así los logros. Pensemos en ir por la positiva,

valorando logros y no castigando. Alguien imagina una clase en la que en vez de escuchar al docente

decir: Juancito haga silencio, Mariana no charle.. se escuchara decir: qué bueno que levantan la mano

para participar, muy bien Ana por ceder el turno a Pedro, gracias Juan por ayudar a José; qué bien este

grupo que está sacando todos los apuntes. Muy bien a estos alumnos que trajeron la tarea. Un docente que

en vez de ir anotando a los que se portan mal va haciendo una lista de las buenas acciones de sus

alumnos. Un docente que se toma el trabajo de felicitar por el buen trabajo a sus alumnos al final de cada

clase. ¿Cuál puede ser el efecto de esta práctica?. ¿Cómo podría repercutir esta práctica en la sociedad en

general?

Un alumno con déficit atencional. Por su naturaleza no puede mantener la atención en la tarea, la

demanda atencional le significa un esfuerzo que no puede sostener, no puede bloquear los estímulos

externos y concentrarse en lo importante. Seamos entonces nosotros los que lo apoyemos en esta tarea.

Llamemos su atención sobre la tarea con afecto, una mano en el hombro al pasar por el banco, señalar el

cuaderno para que pueda dirigir su atención al mismo, pedirle su opinión respecto al tema que se está

trabajando para que pueda concentrarse en ello. Asignarle tareas que le permitan distraer su atención por

un momento para luego poder volver a concentrarse. Encontrar un compañero que pueda realizar esta

tarea con él, entendiendo sus dificultades y acompañándolo en la misma. Ubicarlo en una zona del salón

en la que los agentes distorsionantes se vean minimizados. Plantear tareas que no exijan demasiado

tiempo de ejecución para que pueda comenzar y terminar la misma con éxito. O bien que estén

escalonadas para que pueda administrar su atención. Utilizar diferentes recursos audiovisuales. Recurrir a

situaciones lúdicas que puedan motivar y permitir mayor permanencia del tiempo de atención.

Si tenemos en cuenta estos criterios en general, serán beneficiosos para el resto de los chicos, ya que su

atención también demanda recursos y los agota.

Un alumno con déficit intelectual. Todos los alumnos están en un estado diferente de situación respecto al

contenido que queremos presentar. En particular, este alumno seguramente está a una distancia

significativamente mayor. Luego del diagnóstico podemos planificar tareas diferenciadas que atiendan la

diversidad, podemos plantear una situación problema que permita acceder a ella desde diferentes niveles

de conceptualización, pero no una tarea diferente para el diferente sino varias tareas diferentes en

diferentes niveles. Podemos pensar una actividad pautada en varios niveles e ir permitiendo que en

pequeños grupos se vaya pasando de una tarea a la otra y no ponernos como objetivo que todos terminen

todas las tareas sino que todos terminen por lo menos una de las tareas. Asegurar el éxito en la tarea para

todos y mantener activo el interés y las posibilidades de desarrollo de todos. Graduar la dificultad de las

demandas y permitir que en las primeras instancias el que está más retrasado sea el que participe y luego

ir moderando para que la dificultad vaya siendo asumida por quienes tienen mayor grado de

conocimiento.

El apoyo especial para aquellos con mayor dificultad es fundamental. Podemos utilizar el EPI para estos

casos. No fijarse metas demasiado ambiciosas para estos espacios. Elegir pequeños peldaños a escalar y

68

trabajar en ellos hasta lograr éxito. Todos los alumnos quieren tener éxito. Aún aquellos que expresan que

no les interesa, ante situaciones de éxito se ven gratificados. Esto necesariamente refuerza la motivación.

Un alumno con dislexia. Tiene dificultades para decodificar, la decodificación le insume tantos recursos

que luego no puede comprender la tarea, registrar en su cuaderno las cosas importantes también le resulta

difícil. Podemos ayudar trabajando con textos cortos y concretos, ayudando a la decodificación con una

lectura en voz alta de las consignas, apoyando su tarea en tareas grupales, donde pueda desde la oralidad

desarrollar sus potencialidades sin que su dificultad en lectoescritura sea un impedimento para ello.

Atender a sus razonamientos desde la participación oral. Hacer esquemas cortos y bien organizados en el

pizarrón y dar suficiente tiempo para que los pueda copiar. Cuando se enfrenta a tareas escritas, atender a

sus producciones y señalarle cuando observamos errores que tienen que ver con su dificultad particular

para darle la oportunidad de corregirse antes de finalizar la tarea. Escribir por él en el pizarrón. Repetirle

las consignas en forma oral si es necesario. Evitar hacer dictados o bien estar cerca de su banco al

hacerlos atendiendo a su producción para evitar que queden errores en el dictado. Evitar los grandes

planteos. Compartimentar la información para que pueda acceder con mayor facilidad a ella.

Redondeando la idea.

Podríamos seguir enumerando casos particulares, pero en realidad abarcar cada uno de los casos

particulares que nos podemos enfrentar en el aula es un objetivo inalcanzable.

Me interesa tocar el tema del régimen de Tolerancia en nuestro país. El mismo busca garantizar la

atención a la diversidad. Es un tema polémico, como todo lo que he venido desarrollando hasta ahora.

¿Tolerar? ¿Hasta cuándo? Si no sabe sumar enteros ¿puede pasar a segundo año? Si no puede resolver

problemas ¿lo dejo pasar? ¿Si no separa términos? Creo que es necesario que revisemos qué es lo que

pretendemos acreditar cuando decimos: este alumno pasa y este no. ¿Buscamos afirmar que ese alumno

adquirió los conocimientos mínimos del currículum prescripto para ese año? (En cuyo caso debería

establecerse explícitamente cuáles son esos conocimientos mínimos) ¿Qué es lo que en realidad

acreditamos? Pensemos en cada uno de esos alumnos a los que pusimos 6, luego de haber insistido todo el

año para que alcanzaran la suficiencia. ¿Acaso podemos afirmar que ha aprendido alguno de los

contenidos del programa? ¿Sabemos a ciencia cierta que tiene algún concepto adquirido, que lo puede

expresar, utilizar y aplicar generalizando a otros contextos?

¿Cuál es el significado de la tolerancia? ¿En qué sentido se nos pide que seamos realmente diferentes con

este alumno al que se nos exige “Tolerar”? Atender a la Tolerancia no nos releva de la obligación de

educar. Considero que la Tolerancia debe ser vista como una herramienta que apunta a facilitar la tarea

del docente, esta tarea compleja de identificar y conocer a los alumnos en profundidad para poder trabajar

con cada uno de ellos como cada uno de ellos necesita. Es cierto que es poca la información que se nos

brinda, y también es cierto que seguramente habrá muchos que estarían en igualdad de condiciones con

este que tiene su Tolerancia y solo ocurre que nadie lo ha notado o nadie se ha tomado el trabajo de hacer

el trámite por él. Igualmente creo, que éticamente, nos corresponde ser Tolerantes con todos nuestros

alumnos y al mismo tiempo exigentes con cada uno de ellos. Lo que no podemos es tolerar y exigir lo

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mismo a cada uno, porque son diferentes. Conocemos ese dicho: No existe cosa más injusta que dar lo

mismo a quienes necesitan cosas diferentes.

Es enormemente variada la población estudiantil, y cada grupo tendrá a su vez su propia diversidad.

¿Cuál es entonces el camino a seguir? En determinado momento se dijo que educar es un arte. Nada más

acertado, pero un arte que se aprende y que exige de nosotros cada vez mayores conocimientos, mayor

profesionalización, y sobre todo mayor toma de conciencia de lo compleja que es nuestra tarea y de cuán

grande es nuestro compromiso ético ante nuestros alumnos. Todos pueden y deben aprender. Nuestra

tarea es diseñar una ingeniería de aula que garantice este derecho.

Claro que toca su parte también a las políticas educativas y al sistema educativo en general. Que

necesitamos mejorar la formación inicial docente, por supuesto; que sería necesaria una formación en

servicio permanente, que nos actualice y nos aporte herramientas para poder desempeñar nuestra tarea

con mayor profesionalización, también. Que el sistema debería dotar a los centros de recursos humanos y

materiales para poder brindar los apoyos necesarios que contemplen las necesidades de cada alumno, y

las necesidades particulares de cada centro. Éste y otros tantos son los desafíos de este sistema educativo

en construcción. Comenzar a pensar el aula de matemáticas como un aula para todos es el nuestro.

Bibliografía

Coll, César “Redefinir lo básico en la educación básica” Cuadernos de Pedagogía Nº339 Ocutbre de

2004

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Cuadro, A “Los trastornos en el aprendizaje de la lectura, la dislexia evolutiva” Universidad Católica del

Uruguay

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Marchesi, A; Coll, C; Palacios, J “Desarrollo Psicológico y educación” Alianza Editoarial.

Pozo, I. Aprendices y Maestros. La psicología cognitiva del aprendizaje. 2da ed. Madrid: Alianza.

(2008)

70

¿ALGEBRA EN LA ESCUELA PRIMARIA URUGUAYA?

Ariel Fripp Rainiere

arielfripp@gmail.com

Básico (6 a 11 años) Palabras claves: álgebra, regularidades, numeración, generalización.

Resumen El Programa para Educación Inicial y Primaria (2008) incorpora como eje temático el Álgebra por lo cual se hace imprescindible e ineludible su abordaje como objeto de estudio y como objeto de enseñanza. Importa discutir cuál es el marco en el cual se incluye el Álgebra en el trabajo escolar y cuál es la concepción de Matemática y en especial de Álgebra que maneja la nueva propuesta programática. Interesa aportar elementos a los maestros de educación primaria que enriquezcan la lectura del texto programático e incidan positivamente en sus prácticas de enseñanza. Este encuentro con los maestros de educación primaria responde a la intención personal y profesional de

continuar aportando elementos que enriquezcan la lectura del Programa para Educación Inicial y

Primaria, especialmente en lo referente a la inclusión del eje Álgebra.

Se considera que una lectura en profundidad del texto programático puede convertirse en la excusa

perfecta para discutir concepciones relativas a la enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria y sus

implicancias en las prácticas de enseñanza.

El lugar desde el que se piensa este encuentro se caracteriza por una visión positiva del trabajo del

maestro. No es intención marcar ‘lo que al maestro le falta’ sino aportar elementos que complementen o

problematicen lo que ‘el maestro ya posee’.

“La lectura en negativo reifica las relaciones para hacerlas cosas, nihiliza esas cosas

transformándolas en cosas ausentes, ‘explica’ el mundo por desplazamiento de las carencias,

postula una causalidad de la carencia. Este tipo de lectura engendra ‘objetos’”. (Charlot,

2006).

No se considera al docente de enseñanza primaria como un simple receptor de la postura didáctica-

pedagógica de quien dicta esta conferencia, de hacerlo se estaría promoviendo una intervención lineal

mediante la cual ingenuamente se creería detectar un problema –lo que el maestro no sabe de Álgebra-

para causar el efecto deseado –que el maestro lo sepa- y así lo pueda enseñar.

Es pertinente leer el programa escolar para que, a partir del texto escrito, se pueda encontrar la postura

desde la cual incluir el Álgebra. Esta lectura se enriquece si la misma permite además detectar los

argumentos que dan cuenta de esa inclusión y explicitan las relaciones y rupturas entre los objetivos del

programa, la red conceptual presentada y los contenidos para cada grado.

¿Dónde buscar estas relaciones y rupturas? Lo que corresponde es hacerlo en los componentes del texto

programático que ameriten este análisis. En ese sentido se plantea sondear la presencia algebraica en:

Fundamentaciones por Áreas y Disciplinas

Redes Conceptuales por Áreas y Disciplinas

Contenidos por Áreas de Conocimiento

71

Ejemplificaciones

En la página 10, el programa escolar plantea que:

“Las Áreas de Conocimiento conforman la estructura general que organiza el conocimiento

a enseñar desde su epistemología. (…) Están constituidas por campos o disciplinas, los

cuales presentan una selección de saberes organizados a partir de redes conceptuales.”

En ese sentido es esperable encontrar en estos componentes programáticos, la organización de los

saberes algebraicos que correspondería atender en este nivel educativo. En esa organización, el maestro

debería detectar relaciones entre saberes que contribuyan a iluminar sus prácticas de enseñanza.

¿Dónde se encuentra esa organización y de qué manera se presenta? El texto lo hace, en la página 11, a

través de una red conceptual que se propone con “el propósito de:

- Determinar los saberes necesarios a construir por el alumno a lo largo del ciclo escolar.

- Mostrar las relaciones teóricas que explicitan las implicancias epistemológicas del conocimiento

que facilitan la construcción de significados.

- Constituirse en herramienta intelectual para el trabajo institucional de los colectivos docentes, al

pensar y definir las prácticas de enseñanza desde su autonomía profesional.”

“Según lo establecido por el programa escolar, las redes organizan el conocimiento

designado para ser enseñado pero además son las que determinan “los saberes necesarios

a construir por el alumno a lo largo del ciclo escolar”. Esto nos lleva a pensar en que la

inclusión de los distintos saberes estaría pautando no solo lo que el maestro debería

enseñar sino también el derecho del alumno a apropiarse de dichos saberes a lo largo del

ciclo escolar.” (Fripp y Rodríguez, 2010)

Importa entonces discutir el contenido de la red conceptual presentada en la página 118 del programa

escolar.

72

Lo primero que llama la atención en ella es el recuadro superior, en el cual se destaca en mayúsculas

“Expresiones algebraicas”.

Este nodo tan destacado –por el formato de la letra y por su ubicación - genera sospechas o al menos

dudas sobre la intencionalidad de los redactores.

¿Se consideran a las “Expresiones Algebraicas” como el saber generador de todos los que se encuentran

por debajo de él? ¿Existe jerarquía entre este nodo y los restantes? Si la respuesta a la última pregunta es

afirmativa, cabe preguntarse si este diagrama, es una red conceptual.

El Álgebra ofrece a la Matemática herramientas de inmenso valor, como lo son el lenguaje algebraico y

las expresiones algebraicas. De todas formas interesa enfatizar que, a pesar de la riqueza de este lenguaje

el mismo no puede considerarse como un objetivo a conquistar por el niño en edad escolar y mucho

menos considerarse como la puerta para entrar al trabajo de corte algebraico.

“El uso de la notación formal puede conducirnos a reglas irracionales, a manipulaciones

sin sentido y, no obstante, tal manipulación formal es un rasgo esencial de las

matemáticas”. (Socas, 1989)

No se comparte la idea, que se desprende de esta organización conceptual, que el lenguaje algebraico

como las expresiones algebraicas o las variaciones lineales se puedan considerar como “saberes

necesarios a construir por el alumno a lo largo del ciclo escolar.”

Sí es compartible la presencia de los restantes nodos destacados en la red conceptual: “Proporcionalidad”

y “Generalización”. La proporcionalidad se convierte en un escenario muy interesante en el cual un

alumno en edad escolar puede establecer algunas relaciones generales.

“Cuando se generaliza, se abstrae aquello que es común y esencial a muchas cosas, y se lo

comunica

de forma tal que lo enunciado sea valedero para cada una de esas cosas y, por lo tanto, para

todas ellas.” (Fripp, 2009b)

Cabría preguntarse si un alumno escolar, antes de llegar a 4º grado generaliza. Es indiscutible que un

alumno desde temprana edad comienza a observar cuestiones matemática que ocurren siempre: “si dos

más dos es cuatro, entonces veinte más veinte es cuarenta”, “hacer 5 más 6 es lo mismo que hacer 6 más

5”, “siempre que multiplicas un número que termina en cinco por un número par obtenés un número que

termina en 10”…

“Estas generalizaciones podrán complejizarse y ampliarse a lo largo del ciclo escolar a

partir de un trabajo sostenido con actividades que no nos atrevemos a nominar bajo el

título de Álgebra. Tal vez podemos afirmar que son actividades de corte algebraico.”(Fripp

y Rodríguez, 2010)

Se acompaña las palabras de estos autores y se amplía la idea al considerar que ‘complejizar y ampliar’

las generalizaciones no significa enunciarlas utilizando ‘letras’. Sí se establece una discrepancia con lo

planteado en la página 67 del programa escolar: “La enseñanza de los números y de las operaciones a lo

largo de la escolaridad le da continuidad al mundo de los números concretos en aritmética y en cuarto

grado se inicia un proceso de sustitución de esos números concretos por letras.”

73

¿Cuáles son los contenidos que el texto programático propone trabajar y que dan cuenta del énfasis

conceptual del eje Álgebra? Los podríamos resumir en: patrón, número generalizado y variable.

¿Cuál es el abordaje que el maestro les da? Es posible que esta respuesta admita dos respuestas; por un

lado, el maestro, podría remitirse a trabajar únicamente las actividades ejemplificadas para cada grado –

que el programa escolar las presenta integradas a la lista de contenidos- o por el contrario estudiar cuáles

son las acciones a desarrollar, que enriquecerían el acercamiento del niño a pensamientos de corte

algebraico.

Interesa analizar actividades de aula que exijan al alumno detectar un patrón –tanto en escenarios

geométricos como aritméticos-, explicitarlo y también actividades donde el registro del patrón detectado

sea imprescindible.

Una posible forma de registrar un patrón numérico puede ocurrir a través de la utilización de variables y

ahí cabría relacionar entonces los contenidos patrón, variable y número generalizado.

La relación entre ‘la letra’, ‘la variable’ y ‘el número generalizado’ tendría sentido para el alumno si el

acercamiento a la misma prioriza la intención semántica más que la sintáctica.

Pero cuál es la relación que el programa escolar establece entre ‘la letra’, ‘la variable’ y ‘la incógnita’.

Discutir la presencia –o no- de esta relación y su posible implicancia didáctica se torna importante al

momento de organizar los contenidos algebraicos a trabajar en la escuela primaria.

En ese sentido, las actividades que el texto programático plantea como ejemplificaciones exigen un

análisis didáctico en profundidad que atienda, entre otros, los siguientes puntos:

- ¿Cuál es el objetivo matemático/algebraico de cada actividad planteada?

- ¿Cuál es la validación que la actividad promueve?

- La consigna de cada actividad, ¿qué facilita?, ¿qué dificulta?

Se torna importante continuar con el trabajo aritmético que los alumnos vienen realizando en años

anteriores. Durante esos años, los niños han cargado de sentido a cada uno de los números con los que

trabajaron y han aprendido a tomar decisiones en base al contexto en el cual se les presentó la actividad

aritmética.

Parecería importante que el trabajo que el programa escolar plantea a partir de cuarto grado, y que he

caracterizado como trabajo de corte algebraico, no se inicie con cuestiones sintácticas sino que el mismo

pueda considerar a la proporcionalidad y a la generalización como valiosas rutas de acceso.

“El acercamiento más tradicional empieza por enseñar la sintaxis algebraica, haciendo

énfasis en sus aspectos manipulativos. En este abordaje se empieza por enseñar las

expresiones, ecuaciones y toda la manipulación alrededor de ellas, y se termina con la

resolución de problemas mediante la aplicación del contenido sintáctico aprendido. En

cuanto a las dificultades que enfrentan los estudiantes que trabajan con dicho abordaje, la

principal crítica es que se introduce al niño en un simbolismo desprovisto de significado y

de sentido, siendo que los niños vienen de trabajar con la aritmética, donde todos los

símbolos poseen significados y los contextos de los problemas determinan mucho la

manera de resolverlos.” (Butto y Rojano, 2004)

74

Bibliografía

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BUTTO, C.; ROJANO, T. (2004) Introducción temprana al pensamiento algebraico: abordaje basado en

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MOLINA, M. (2006) Desarrollo de pensamiento relacional y comprensión del signo igual por alumnos

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SESSA, C. (2005) Iniciación al estudio del Álgebra. Orígenes y perspectivas. Buenos Aires. Libros del

Zorzal.

SOCAS, M.M. y otros (1989) Iniciación al álgebra. Madrid. Síntesis.

75

Minicursos y Talleres

UNA PROPUESTA: INCORPORAR ALGUNOS CONCEPTOS DE GRAFOS EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE

Teresa Braicovich. Universidad Nacional del Comahue. Argentina.

teresabraicovich@jetband.com.ar Nivel educativo: desde inicial a universitario. Palabras clave: grafos – recorridos – coloreo – árboles.

Resumen

Debido a que el tema grafos no se encuentra en las currículas escolares, llevamos a cabo desde hace ya algunos años varias investigaciones en distintos niveles educativos y en diferentes contextos sociales con el fin de evaluar la viabilidad de introducirlo. A partir de ello hemos podido concluir que el trabajar con algunos conceptos de grafos ayuda a los alumnos en varios aspectos dentro del proceso de enseñanza. Muchos docentes desconocen este tema, otros sólo tienen un mínimo conocimiento del mismo e incluso algunos, aún cuando manejan más conceptos de esta temática no saben cómo presentarlo a sus alumnos. Debido a esto, el objetivo del dictado de este curso es transferir el tema, haciendo hincapié en las actividades y metodología a utilizar de acuerdo a las edades de los niños con quiénes se trabaje. Por último, cabe agregar que con estos encuentros se busca generar en los asistentes la inquietud de profundizar en el estudio de esta teoría en el futuro y movilizarlos a enseñar el mismo a sus alumnos. 1. Introducción Puede observarse en los distintos niveles educativos, incluida la enseñanza universitaria, las serias

dificultades de los estudiantes para lograr un aprendizaje significativo. Es probable que esta situación esté

relacionada con un modelo cultural que busca reproducir el conocimiento más que producirlo; podemos

tomar las palabras de Moisés Coriat (2004): “No es tan importante saber muchas cosas como saber cómo

aprender cosas nuevas”. También debemos mencionar lo difícil que resulta a los docentes despertar el

interés de los alumnos.

Probablemente una respuesta a la problemática anteriormente planteada, sería plantear situaciones donde

el alumno tenga la posibilidad de explorar, descubrir, crear, ensayar, probar, generar hipótesis y

conjeturas, discutirlas y analizarlas. En este sentido, a partir de investigaciones4 realizadas hemos

concluido que se puede presentar la teoría de grafos como una manera de “pensar matemáticamente”,

conceptualizando situaciones, para extraer pautas y entender esquemas y lograr transferirlos a situaciones

nuevas. Destacamos que “Pensar matemáticamente supone buscar conexiones y haciendo conexiones se

construye la comprensión matemática. Sin ellas, los estudiantes tienen que aprender y recordar

demasiados conceptos y destrezas aislados. Con conexiones, pueden construir nuevos conocimientos

sobre conocimientos previos” (NCTM, 2003, pág. 278)

Cabe aclarar que no hay necesidad de ser un experto en grafos para usar conceptos de esta teoría con

cierta soltura, por lo que el introducir algunos conceptos de grafos resulta útil para despertar el interés por

la matemática, para ayudar al desarrollo lógico y a la visión espacial, también actúa como formador de la

intuición y sostén del razonamiento abstracto. Podemos citar nuevamente a Coriat: “Por medio de los

4 Distintos trabajos de integrantes de los Proyectos de Investigación Adjunción en Grafos y El operador line sobre grafos cordales y de comparabilidad, proyectos ejecutados y subsidiados por la Universidad Nacional del Comahue, con informes de avance y final aprobados. Períodos 2004-2007 y 2008 hasta la fecha, respectivamente. www.uncoma.edu.ar

76

grafos se facilita el acceso de los alumnos a sus propias estrategias de aprendizaje, no porque estas se

describan necesariamente mediante grafos, sino porque el ir y venir entre situaciones y estructuras

puede facilitar la toma de conciencia de los propios procesos metacognitivos”.

2. Pertinencia de la propuesta La planificación y el desarrollo de las investigaciones llevadas a cabo tienen como marco teórico las

teorías constructivistas, las cuales consideran al alumno con una desarrollada capacidad de gestionar su

propio aprendizaje; de usar su conocimiento, habilidades previas y seleccionar estrategias de aprendizaje

adecuadas en la tarea que se encuentra trabajando. Los procesos de aprendizaje que se inducen en las

clases tienen como objetivo facilitar al alumno nuevas posibilidades de pensar, sentir y valorar, procesos

que deberían hacer que el alumno sea capaz de actuar y juzgar de manera satisfactorias en situaciones

nuevas que le puedan ser planteadas. Para que esto realmente sea así, es necesario que sean construidos

los nuevos contenidos del quehacer y del pensamiento, éste es el aspecto dinámico del proceso de

construcción: hacer que el alumno busque e investigue, para que así pueda crear una nueva forma de

actuar o de pensar por propio impulso.

El tema grafos es relativamente nuevo y no se encuentra, en general, en las currículas de ninguno de los

niveles educativos, en él queda aún mucho por descubrir. Atendiendo a esto podemos citar a Paenza

(2008): “En definitiva, uno nunca llega al punto de poder usar su creatividad. No parece haber nada por

hacer, como si todo estuviera contestado, todo dicho…y no solo no es así, sino todo lo que hay por

descubrir o inventar es de un volumen increíble. Miles de matemáticos en todo el mundo piensan

problemas cuya solución se ignora, y no sólo hoy, porque hay preguntas que se plantearon hace

cuatrocientos años y aún no se sabe que decir al respecto. Es hora, entonces, de buscar diferentes

maneras de seducir…”

Por último en este punto cerraremos la idea citando a Rosentein y otros (1997), quien da algunos

argumentos para introducir conceptos de Grafos en las currículas de los distintos niveles educativos, los

que presentamos a continuación:

• Es aplicable pues en los últimos años varios temas de esta teoría han sido utilizados creando diversos

modelos en distintas áreas.

• Es accesible, pues en muchas situaciones es suficiente tener conocimientos de aritmética y en otras

solamente de álgebra elemental para trabajar con los grafos de manera correcta.

• Es atractivo, se pueden plantear situaciones muy motivadoras para los alumnos.

• Es adecuado, a los estudiantes que no tengan problemas en matemática les dará mayor preparación

para las carreras que elijan y a los que no les va bien en esta disciplina les puede dar la posibilidad de

un nuevo comienzo.

3. Contenidos a desarrollar Es muy amplia la variedad de contenidos que se desprenden de la teoría de grafos y más aún, la cantidad

de ejemplos posibles; para acotarlos, en función del tiempo permitido por este curso se seleccionan

aquellos que dan el puntapié inicial para empezar a comprender esta teoría.

Nos centraremos tanto en el desarrollo teórico, abordando los aspectos históricos, como en narrar las

experiencias propias que resultan muy significativas para transmitir y motivar la búsqueda de nuevos

77

conocimientos en cada participante desde el ámbito personal y en la transmisión a sus alumnos. Cada

docente generará sus propias herramientas para llevar al aula, pero se ofrece la experiencia para la

graduación de los contenidos.

El curso tendrá como eje las motivaciones históricas de los cuatro grandes problemas que dieron origen a

la Teoría de Grafos, los mismos se presentan de manera sucinta a continuación:

Recorridos Eulerianos. El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) escribió el primer artículo científico relativo a grafos,

el que apareció en San Petersburgo, donde a partir de un problema concreto se hace la pregunta ¿en

cuáles grafos se puede encontrar un camino cerrado que recorra todas las aristas una sola vez? Esta

pregunta termina dando origen a los dos siguientes teoremas:

• Un grafo conexo con todos sus vértices de grado par contiene un camino cerrado que pasa una y

sólo una vez por cada una de las aristas y es llamado camino euleriano cerrado.

• Un grafo conexo contiene un camino Sab que pasa una sola vez por cada arista si y sólo si a y b son

los únicos vértices de grado impar y es llamado camino euleriano abierto.

El problema euleriano está relacionado directamente con el de las figuras unicursales, que son las que

pueden ser recorridas de un solo trazo sin repetir segmentos. Un entretenimiento muy conocido y

relacionado con este concepto es el comúnmente denominado: “figura del sobre", que se presenta a

continuación:

Grafo que representa al juego del sobre

Como en este grafo hay sólo dos vértices de grado impar, existe camino euleriano abierto, para dibujar la

figura sin levantar el lápiz ni repetir aristas debe comenzarse el trazado en uno de los dos vértices

inferiores y finalizar en el otro.

Planaridad y Coloreo de Grafos. Los grafos planares son aquellos que pueden dibujarse en el plano de manera que sus aristas sólo se

corten en vértices del grafo. En los grafos planares conexos la diferencia entre la suma del número de

vértices y de regiones y el número de aristas es igual a 2 (vértices + regiones – aristas = 2). Este concepto

es el correspondiente al conocido pasatiempo en el que se pregunta si es posible proveer de luz, agua y

electricidad, a tres casas, de forma tal que las respectivas redes de distribución, supuestas en un mismo

plano, no se intersecten. Contestar a esta pregunta equivale a determinar si el grafo determinado es

planar, como el mismo no lo es, se puede afirmar que no es posible que las redes de distribución no se

superpongan.

78

Un grafo es coloreado de manera tal que a vértices adyacentes correspondan colores diferentes, el número

mínimo de colores con el que puede ser coloreado es denominado el número cromático del grafo. Es

importante destacar que para colorear cualquier grafo planar es suficiente con cuatro colores. El problema

que parece haber dado origen a este tema es el mencionado por Moebius en 1840 y es consecuencia de

una hipótesis de los fabricantes de mapas, que dice: “Supuesto que cada país está constituido por una

única región conexa y que toda frontera entre países está formada por arcos de curva (no las hay

constituidas por un solo punto) todo mapa sobre un plano, o equivalentemente sobre la superficie de una

esfera, puede colorearse utilizando a lo sumo cuatro colores y de forma que países limítrofes tengan

colores distintos”. Este problema tuvo en vilo por más de un siglo a los más famosos matemáticos del

mundo, recién fue demostrado en 1976 por Appel y Haken.

Árboles. Son grafos conexos que no tienen ciclos. En los árboles de n vértices hay siempre un número igual a (n-1)

aristas. El concepto de árbol surgió en estudios sobre redes eléctricas y también en otros referidos a

química, esto fue aproximadamente 100 años después de la aparición del primer escrito de Euler, que fue

mencionado anteriormente. En la actualidad tiene muchas aplicaciones en algoritmos para computación.

Un árbol minimal cubriente de un grafo G es el árbol de menor valor o peso que contiene a todos los

vértices del grafo G y un árbol maximal cubriente de un grafo G es el árbol de mayor valor o peso que

contiene a todos los vértices del grafo G y

Recorrido hamiltoniano. Es un recorrido que pasa una y solo una vez por cada uno de los vértices del grafo. Tiene aplicaciones en

muchos problemas, el más conocido, sea probablemente el denominado “El viajante de Comercio”.

Como motivación histórica podemos decir que un pasatiempo conocido en la India Antigua era considerar

el desplazamiento de un caballo en un tablero de ajedrez de forma que incida exactamente una vez en

cada una de las casillas, puede o no pedirse que el caballo vuelva a la casilla de la cual partió. La

búsqueda de soluciones les interesó a varios matemáticos, entre ellos a De Moivre, Euler y Vandermonde,

los que dieron en el Siglo XVIII distintos métodos para obtenerlas. El Reverendo Kirkman analizó en

poliedros la posibilidad de recorrer todos los vértices incidiendo exactamente una vez en cada uno de

ellos utilizando las diagonales y/o lados del mismo. Más tarde, el famoso matemático irlandés Sir William

Rowan Hamilton (1805-1865) inventó un juego (Icosian Game) que en 1859 lo vendió por 25 guineas a

un fabricante de Dublín. En un dodecaedro regular -poliedro 3 regular, con 12 caras y 20 vértices- cada

vértice representaba una ciudad. Como el dodecaedro es incómodo de manejar, Hamilton lo reemplazó

por un grafo plano isomorfo al del dodecaedro, de allí que a los recorridos que inciden exactamente una

vez en cada uno de los vértices se les llame recorridos hamiltonianos.

Este último tema es aún hoy un problema abierto, pero es importante que los docentes, sobre todo de la

enseñanza media, cuenten con herramientas de este tipo. Cabe aclarar que los alumnos no necesitan una

base matemática importante para poder comprenderlo y de esta manera tienen una visión distinta de la

matemática, pues tienen la posibilidad de comprender que no está “todo resuelto” en esta disciplina,

creencia que, en general, es muy fuerte en ellos.

79

4. Reflexión final En este curso, como seguramente será heterogéneo con respecto a los participantes, se parte considerando

que los asistentes desconocen totalmente el contenido a desarrollar referido a grafos, que no han

trabajado previamente con conceptos de esta teoría, ya que por el tipo de actividades que se plantean esto

es posible.

Como docentes debemos siempre atender a la posibilidad de realizar innovaciones, por supuesto con el

sustento y justificación adecuados, en las currículas, es decir enseñar a nuestros alumnos temas nuevos,

mostrarles una matemática distinta, concluimos citando a Paenza (2007, pág. 21), quién dice:

“La mayoría de la gente piensa (con razón, porque ésos son los elementos con los que cuenta) que la

matemática “está toda inventada” o que es algo “cuadrado” que uno va, estudia, y no aplica, salvo en

contadísimas ocasiones (suma, resta, división y multiplicación incluidas)”. Sin embargo, no sólo no es

así, sino que la matemática anda por la vida como la mayoría de las ciencias: sabiendo algunas cosas

(pocas)e ignorando otras (muchas)…. Se trata de una historia que quiero empezar así: “Los chicos que

se gradúan hoy del colegio secundario, aún aquellos que tienen una sólida formación en álgebra,

geometría y trigonometría, están casi 400 (cuatrocientos) años atrasados con respecto a los que es la

matemática de punta hoy. Es decir: aprenden lo que se sabía hace ya cuatrocientos años. Por eso, la

mayoría de las cosas resultan aburridas e inexplicables. Peor aún: de difícil aplicación”…Todo un

detalle de lo que se trabaja en la actualidad….y en los últimos 2 ó 3 siglos…. ¿Quién dijo que se sabía

“todo”? el solo hecho de que “aceptemos” esto como posible demuestra qué lejos estamos del contacto

con la “matemática real”, la que investiga porque no sabe, la que es curiosa y atractiva, la que es

seductora y útil. La que hay que mostrar, la que hay que sugerir. Y creo que ya es hora de empezar.”

Bibliografía: Ausubel, D. (1978). Psicología Educativa. Un punto de vista cognoscitivo. Trillas, México. Braicovich, T. (2005). Introducción de algunos conceptos de grafos en Tercer Ciclo de Educación

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81

LA PREGUNTA COMO MÓVIL DE LA CONJETURACIÓN Y DEMOSTRACIÓN DE PROPIEDADES GEOMÉTRICAS

Verónica Molfino - Mario Dalcín Departamento de Matemática de Formación Docente-Instituto de Profesores Artigas,

Uruguay veromolfino@gmail.com, mdalcin00@gmail.com

Nivel educativo: Medio – Formación docente Palabras clave: conjetura, demostración, geometría

Resumen A partir del trabajo en ciertas actividades geométricas se busca generar las condiciones para que el participante establezca relaciones entre la ubicación de ciertos puntos notables del triángulo (circuncentro, ortocentro e incentro), la medida de ciertos ángulos con vértices en dichos puntos notables y una clasificación de los triángulos según sus ángulos. También se busca que los participantes formulen conjeturas en torno a los ángulos de vértices en dichos puntos notables y elaboren pruebas para las mismas. Se promoverá la reflexión sobre la enseñanza y aprendizaje de la formulación de conjeturas, argumentación, refutación, demostración, construcción y deducción, como procesos cognitivos propios del trabajo en geometría en el nivel medio y en la formación de profesores. Las actividades se pueden realizar trabajando tanto en lápiz y papel como en un ambiente dinámico. Introducción

Tradicionalmente los textos de geometría han presentado la concurrencia de mediatrices, bisectrices,

alturas y medianas de un triángulo en circuncentro, incentro, ortocentro y baricentro como hechos

puntuales, sin vínculo con otros conceptos geométricos. La excepción quizás esté dada por la recta de

Euler, donde sí es posible apreciar la alineación de ortocentro, baricentro y circuncentro y la relación de

distancias que los vinculan.

En este minicurso proponemos actividades que promuevan la reflexión sobre otras relaciones que se

pueden establecer entre dichos centros, así como su relación con otros conceptos geométricos. La

formulación de conjeturas y su justificación es uno de los objetivos principales del minicurso, utilizando

un contexto específico dentro de la geometría para propiciar dichos procesos cognitivos.

Por otro lado, se desea instaurar una discusión entre los asistentes al minicurso sobre las implicancias que

puede tener sobre la enseñanza y aprendizaje de la geometría este tipo de actividades, donde la pregunta

se presenta como principal móvil para la formulación de conjeturas y su justificación.

Prerrequisitos

Conocimiento de conceptos y procedimientos geométricos básicos.

Objetivos

Buscamos aquí establecer conexiones entre los puntos notables del triángulo más transitados en la

enseñanza media (circuncentro, incentro, ortocentro y baricentro) y en los textos usados en enseñanza

media y otros conceptos geométricos, así como vincular a estos mismos puntos mediante cierta relación

angular.

En la medida que el minicurso está dirigido a estudiantes de profesorado de matemática y profesores de

matemática en ejercicio, además de plantear un posible tratamiento alternativo para los conceptos

geométricos mencionados, también busca reflexionar acerca de esta forma de trabajo, diferente a la que se

puede encontrar en los libros de texto donde el conocimiento es presentado como un saber acabado. Dicha

82

metodología implica la formulación de conjeturas y el ‘hacerse cargo’ de las mismas mediante la

elaboración de justificaciones que permitan confirmarlas o refutarlas.

Contenido

Presentamos un conjunto de actividades mediante las cuales buscamos poner en discusión posibles

nuevos vínculos entre algunos conceptos frecuentemente tratados en el ámbito de la geometría.

Buscamos además visualizar una misma situación -originada en la geometría- en el ámbito algebraico y

de la representación gráfica.

Actividades

Las actividades que siguen pueden ser abordadas trabajando en lápiz y papel o haciendo uso de algún

software de Geometría Dinámica.

En todas las actividades que siguen los triángulos ABC se considerarán con A y B fijos y en sentido

antihorario.

Actividad 1

Construye un triángulo ABC y su circuncentro O.

i) ¿Hay alguna relación entre las medidas de los ángulos ACB y AOB? ¿Cómo lo probarías?

ii) Representa gráficamente la medida del ángulo AOB en función de la medida del ángulo ACB.

Actividad 2

i) Construye un triángulo ABC y su circuncentro O.

¿Puede el circuncentro a) ser interior al triángulo?

b) pertenecer a un lado del triángulo?

c) ser exterior al triángulo?

ii) ¿Qué condiciones debe cumplir el triángulo ABC para que O sea

a) interior,

b) pertenezca a un lado,

c) exterior? Fundamenta.

iii) ¿Son válidas las afirmaciones recíprocas a las formuladas en ii)? Fundamenta.

Actividad 3

O es el circuncentro de ABC.

i) ¿Qué condición(es) debe cumplir el triángulo ABC para que O y C pertenezcan al mismo semiplano de

borde AB (sin incluir el borde)?

ii) Representa la zona del plano donde debe estar C para que O y C pertenezcan al mismo semiplano de

borde AB.

Actividad 4

i) Construye un triángulo ABC y su ortocentro H.

83

¿Puede el ortocentro a) ser interior al triángulo?

b) pertenecer a un lado del triángulo?

c) ser exterior al triángulo?

ii) ¿Qué condiciones debe cumplir el triángulo ABC para que H sea

a) interior,

b) pertenezca a un lado,

c) exterior? Fundamenta.

iii) ¿Son válidas las afirmaciones recíprocas a las formuladas en ii)? Fundamenta.

Actividad 5

Construye un triángulo ABC y su ortocentro H.

i) ¿Hay alguna relación entre las medidas de los ángulos ACB y AHB? Demuestra.

ii) Representa gráficamente la medida del ángulo AHB en función de la medida del ángulo ACB.

Actividad 6

O y H son circuncentro y ortocentro respectivamente de ABC.

i) ¿Qué condición(es) debe cumplir el triángulo ABC para que O y H pertenezcan al mismo semiplano de

borde AB?

ii) Representa la zona del plano donde debe estar C para que O y H pertenezcan al mismo semiplano de

borde AB.

Actividad 7

i) I incentro de (ABC). Si BIC = 125º, ¿cuál es la medida de CAB?

ii) I incentro de (ABC). Si ACB = 100º, ¿cuánto mide AIB?

iii) Construye un triángulo ABC y su incentro I.

¿Hay alguna relación entre las medidas de los ángulos ACB y AIB? Fundamenta.

iv) Representa gráficamente la medida del ángulo AIB en función de la medida del ángulo ACB.

Actividad 8

I es el incentro de ABC.

i) ¿Qué condición(es) debe cumplir el triángulo ABC para que I y C pertenezcan al mismo semiplano de

borde AB?

ii) Representa la zona del plano donde debe estar C para que I y C pertenezcan al mismo semiplano de

borde AB.

Actividad 9

i) ¿Qué condición(es) debe cumplir el triángulo ABC para que O, H, I y C pertenezcan al mismo

semiplano de borde AB?

84

ii) Representa la zona del plano donde debe estar C para que O, H, I y C pertenezcan al mismo semiplano

de borde AB.

Actividad 10

Para los casos en que O, H, I y C pertenecen al mismo semiplano de borde AB ¿puedes establecer una

relación que vincule simultáneamente las medidas de los ángulos AOB, AHB y AIB? Explica.

Actividad 11

Para los casos en que O, H, I y C pertenecen al mismo semiplano de borde AB ordena los ángulos AOB,

AHB y AIB de menor a mayor indicando la(s) condición(es) que cumple el triángulo ABC en cada caso.

Justifica ampliamente tu respuesta.

Actividad 12

G es el baricentro del triángulo ABC.

i) ¿Hay alguna relación entre las medidas de los ángulos AGB y AOB? Justifica tu respuesta.

b) ¿Puedes comparar el ángulo AGB con los ángulos AOB, AHB y AIB? Justifica tu respuesta.

Modalidad de trabajo En las 3 horas del minicurso se plantearán las actividades una a una, o sea, cada nueva actividad se

planteará luego de finalizada la anterior. Se buscará que los participantes trabajen en parejas. Los

responsables del minicurso responderán las consultas que puedan plantear cada una de estas parejas al

abordar las actividades. Al finalizar las actividades, y en base a las resoluciones elaboradas por los

participantes, los moderadores haremos una reseña de las formas de resolución de las mismas.

Bibliografía

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pp. 48-54.

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Labor.

85

DIFERENTES PERSPECTIVAS EN EL ABORDAJE DEL CÁLCULO INFINITESIMAL ESCOLAR Verónica Molfino – Yacir Testa

Departamento de Matemática de Formación Docente, Instituto de Profesores Artigas, Uruguay

veromolfino@gmail.com, milefede2@adinet.com.uy Nivel educativo: Medio Superior – Formación docente

Resumen El minicurso busca plantear una discusión entre con los asistentes acerca de los diferentes abordajes del Cálculo infinitesimal. Se explicitan características de lo que hemos denominado “modelo tradicional en la enseñanza del cálculo” y se proponen actividades que invitan a la reflexión sobre otro tipo de abordajes, específicamente en lo que hace a la construcción del concepto de derivada. A partir de ellas se presentan los modelos teóricos que sustentan tales abordajes, así como algunas propuestas concretas para ser llevadas al aula. Evolución en la Didáctica de la Matemática

“Antiguamente se consideraba que la enseñanza de las matemáticas era un arte, y como tal, difícilmente

susceptible de ser analizada, controlada y sometida a reglas. Se suponía que el aprendizaje de los alumnos

dependía sólo del grado en que el profesor dominase dicho arte y, en cierto sentido, de la voluntad y la

capacidad de los propios alumnos para dejarse moldear por el artista” (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997,

pág 71). Esta concepción clásica de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática viene de la mano de

una didáctica que considera sólo dos focos, el alumno y el profesor, los saberes matemáticos utilizados no

forman parte de su estudio, son transparentes, no se cuestionan a la luz de los hechos didácticos; así como

también son nociones transparentes “aprender matemática” y “enseñar matemática”. La matemática se ve

como “un paquete de conocimientos”, ya elaborado, que debe ser transmitido a los estudiantes.

A pesar de las numerosas evidencias sobre el fracaso de esta concepción en la búsqueda de soluciones al

problema de la Enseñanza de la Matemática, ésta aún sigue presente en muchas aulas “hay que reconocer

sin embargo que el enfoque pedagógico conserva aún gran parte de su crédito y paraliza el progreso hacia

enfoque más eficaces” (Gascón, 2003).

La didáctica fundamental, que nace en la década ‘70 con Brousseau, amplía la problemática anterior al

incluir como tercer foco de estudio al “saber matemático”, las nociones como aprender y enseñar

matemáticas, los conceptos matemáticos, dejan de ser nociones “transparentes” para convertirse en otro

de los objetos de estudio de esta didáctica, se produce una ruptura con los modelos epistemológicos

ingenuos. Se adopta un enfoque sistémico, ya que estudia las relaciones que se dan entre los tres focos: el

que enseña, el que aprende y el saber a enseñar.

Este enfoque viene de la mano de la problematización de cuestiones como qué es la matemática, qué es

enseñar matemática, qué es aprender matemática. El objetivo no es sólo conocer y profundizar en

distintas teorías sobre este tema, sino también hacer surgir y explicitar las concepciones que quienes

enseñan matemática tienen sobre estos conceptos. Poder hacer explícitas nuestras concepciones permitiría

considerar la incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes, como

muestran los estudios de Gascón (2001), y analizarlas críticamente para poder tomar una postura

conciente y fundamentada.

86

La didáctica fundamental da cabida a los resultados de un proceso de cambio en el área, al enfoque

sistémico, al estudio de las relaciones que allí se producen, entre otros. El siguiente esquema realizado por

(Ruiz, 2000) representa el sistema didáctico (Chevallard, 1991).

Figura 1: Sistema didáctico. (Ruiz, 2000, p. 2)

Al incorporar el saber matemático como foco de estudio se produce una confrontación entre las obras

matemáticas y las matemáticas escolares (Chevallard, 1991), lo cual se ha representado en el esquema

anterior. La Didáctica de la Matemática permitirá analizar las diferencias y relaciones entre ambas obras,

ya que en general los futuros docentes no son concientes de ellas y creen que solamente secuenciando

adecuadamente los contenidos de los currículos el conocimiento puede ser “llevado” al aula. “Se ignora la

distancia entre las obras matemáticas y su adaptación a las instituciones didácticas, suponiendo

implícitamente que dicha adaptación solo puede consistir en una imitación más o menos fiel de las obras

matemáticas tal y como fueron producidas” (Chevallard, et al., 1997).

Podemos considerar dos etapas en este proceso que transforma un objeto de saber a enseñar5 en un objeto

de enseñanza, que Chevallard (1991) llama “transposición didáctica”. Primero cuando el matemático

quiere comunicar, compartir, el conocimiento que ha producido a la comunidad científica, debe

despersonalizarlo, descontextualizarlos, linealizarlo para transformarlo en un saber comunicable al que

Chevallard llama saber sabio o erudito. La segunda etapa es cuando este conocimiento es llevado al aula,

se carga de intencionalidad, sufre un proceso de personalización, contextualización, temporalización, “el

profesor debe “rehacer” las matemáticas conocidas buscando los tipos de problemas que le permiten

resolver, qué tipo de cuestiones conducen a plantearse, cómo se puede mejorar su eficacia y su

presentación” (Brousseau, 1989). Luego cada estudiante debe nuevamente despersonalizar el saber para

poder usarlo en otras circunstancias pasando a ser un saber cultural.

Una aproximación sistémica

La aproximación socioepistemológica del aprendizaje enriquece esta visión, no cree que aprender

matemáticas sea una mera copia del exterior, sino que “... los procesos mentales humanos poseen una 5 Que proviene de un saber erudito validado por la noosfera (Chavallard, 1997).

Alumno Contrato Didáctico

Polo sicológico

Representaciones concepciones

Transposición didáctica

Saber a enseñar

Profesor Polo epistemológico

Polo pedagógico

Saber sabio

87

relación esencial con los escenarios culturales, históricos e institucionales. De modo que se presenta un

marco según el cual es posible hablar de distintas formas de pensar matemáticas al considerar que el

escenario modifica dichos pensamientos” (Alanís, Cantoral, Cordero, Farfán, Garza y Rodríguez, 2000).

Esto lleva a considerar la aproximación sistémica inserta en un medio que influye, y es influido, por los

tres polos. Los fenómenos didácticos, en la aproximación sistémica de la sociepistemología, se estudian

desde los tres polos, todos considerados en un medio determinado.

Es desde esta perspectiva que se reconoce la diferencia entre el Cálculo como saber construido en ámbitos

científicos y el Cálculo escolar, con una intencionalidad didáctica específica pero no siempre explícita, y

que surge el interés por analizar el estatus del cálculo en las instituciones educativas. Esta perspectiva

permite entender la coexistencia en el sistema escolar de por lo menos dos concepciones subyacentes al

Cálculo escolar: por un lado, aquélla más cercana a lo que es el Cálculo como saber, con conceptos y

definiciones explícitas y centrada básicamente en los conceptos de continuidad, derivada e integral en

base al de límite. Y por otro lado aquella que enfatiza el carácter intencional didáctico, en la cual

subyacen categorías implícitas y que se centra en los significados situacionales de los conceptos del

anterior: predicción, graficación y analiticidad (Cordero, 2006).

Los análisis socioepistemológicos han demostrado que el abordaje algorítmico formal que responde a la

primera de las concepciones señaladas y que es tradicional en el ámbito escolar, ha fracasado. Desde otras

líneas de investigación se ha reportado el mismo fracaso, la diferencia de la perspectiva

socioepistemológica radica en las alternativas que propone: en lugar de buscar abordajes diferentes del

concepto, busca concepciones alternativas del Cálculo en su conjunto (Cordero, 2006).

El modelo tradicional en la enseñanza del Cálculo

Alanís (1996) distingue entre dos tipos tradicionales de enseñanza del cálculo: una centrada en los

conceptos, que asume que el aprendizaje se produce si se presentan los contenidos formal y

rigurosamente, y otra que se centra en la práctica algorítmica y algebraica. Ambos abordajes componen lo

que Salinas y Alanís identifican como “modelo tradicional de enseñanza del cálculo” (2009, p. 357).

En este modelo el contenido matemático se presenta estructurado de manera formal –atendiendo a las

formas, sin significados reales asociados con las nociones y procedimientos del cálculo- y rigurosa –

organizados según la secuencia definición-teorema-demostración. A continuación de esta presentación se

estudian aplicaciones del contenido matemático expuesto. Esta presentación es muy parecida a lo que se

puede ver en los libros de texto tradicionales. La estrategia de enseñanza se limita a una exhibición de la

estructura por parte del profesor. Se cuida el orden lógico de la presentación: “…para enseñar la derivada

habrá que enseñar antes límites (porque la derivada es un límite) y para enseñar límites habrá

que enseñar antes funciones (porque los límites son de funciones) y para enseñar funciones habrá que

enseñar antes los números reales (porque son funciones de variable real).” (Salinas y Alanís, 2009, p.

362).

El estudiante ocupa un rol pasivo, y su aprendizaje es evaluado a través del dominio de técnicas: cálculo

de límites y derivadas, aplicaciones rutinarias de la derivada, todas actividades que priorizan aspectos

algorítmicos.

88

Abordajes alternativos

Alanís (1996) presenta como alternativa una idea promovida por el grupo de trabajo del Centro de

Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav) en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), y que en

estos años se ha visto robustecida por un sinnúmero de investigaciones. Las premisas que guían al mismo

son, en primer lugar, la consideración del estudiante como un usuario de la temática, lo que implica no

sólo la consideración del contexto en el que está inmerso sino también la del contexto en el que surge el

conocimiento y cómo ello puede favorecer para el diseño del discurso matemático escolar. En segundo

lugar, se remarca la necesidad de una adecuada integración a la vida escolar de la historia de la

matemática. También enfatiza la necesidad de analizar la historia de la enseñanza del cálculo y por último

se hace hincapié en lo inapropiado de las aproximaciones teóricas formales, que sólo alejan al cálculo de

su carácter instrumental que aparece como objetivo principal en los currículos.

Este movimiento fue el que dio pie para la conformación de lo que más recientemente se plantea como un

abordaje alternativo del Cálculo en su conjunto, o la consideración de “otros” Cálculos, con referencia a

la estructuración del Cálculo en torno a los mencionados significados situacionales de predicción,

graficación y analiticidad (Cordero, 2006). El trabajo de Alanís (1996) es un ejemplo de cómo estructurar

un curso en torno a la predicción, tomando en particular como hilo conductor la predicción de la posición

de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta y trabajando en base a problemas

extramatemáticos.

Atendiendo a esta última concepción es que se han venido desarrollando diversas aproximaciones dentro

de la línea de investigación socioepistemológica del Desarrollo del Pensamiento y Lenguaje Variacional.

Seleccionamos tres aportes que creemos representativos de tal línea de investigación, y que presentan

propuestas educativas concretas. Dos de ellos (Cantoral y Montiel, 2001 y Salinas, Alanís, Pulido, Santos,

Escobedo y Garza, 2003) se presentan como libros de texto para estudiantes, con explícitas

recomendaciones para el docente. El tercero (Dolores, 2007) presenta toda una investigación cuyo

objetivo es aportar los elementos fundamentales que puedan constituirse en una alternativa didáctica para

el tratamiento del Cálculo Diferencial en el bachillerato (Dolores, 2007, p. 5). En el quinto capítulo del

libro se presentan elementos para esa propuesta alternativa y en el sexto y último se analiza una

experiencia escolar concreta.

En Contoral y Montiel (2001) se presenta una forma de tratamiento escolar de las funciones con base en

resultados de estudios de su grupo de investigación. Se ubica a la visualización de las funciones reales de

variable real como una herramienta para favorecer el desarrollo del pensamiento matemático de los

estudiantes y ayudar a los profesores en el diseño y análisis de actividades de aprendizaje. Así, la

graficación no se presenta como un fin en sí mismo sino como una forma particular de visualización de

procedimientos y conceptos matemáticos. Se entiende a la visualización como un proceso del

pensamiento matemático.

Los conceptos que tradicionalmente estructuran un curso de Cálculo –límites, continuidad, derivabilidad,

integrabilidad– no son tratados como tales en este libro, sino que se analizan sus consecuencias gráficas

en función de los parámetros de las familias de funciones estudiadas: “inclinación”, “abertura”,

“desplazamiento”, “alargamiento”, etc.

89

Salinas et al. (2003) proponen una reconstrucción en el sentido de incluir ideas y nociones ausentes del

discurso tradicional del Cálculo, originadas en investigaciones epistemológicas que los condujeron a

indagar sobre el ambiente problemático en el que se desarrollaron tales ideas y nociones. Así, su

propuesta para el aprendizaje del Cálculo parte de la presentación de situaciones problemáticas, en

ocasiones las mismas que se encuentran en la génesis de cada concepto. Su idea es que la reflexión,

análisis y discusión de las ideas generadas en la búsqueda de soluciones permitan la construcción de un

conocimiento relevante del Cálculo.

Proponen una secuencia de seis unidades que, recorridas en forma de espiral, permitan iniciar y terminar

en un mismo lugar: la solución de problemas.

En el siguiente esquema sintetizan el desarrollo del libro:

Figura 2: Desarrollo temático del libro Elementos del cálculo. Reconstrucción conceptual para el

aprendizaje y la enseñanza. (Salinas et al., 2003, p. 7)

Por su parte, Dolores (2007) propone un abordaje alternativo que tiene como uno de sus puntos de partida

a las investigaciones sobre historia de la Matemática. Se propone rescatar así, por un lado, el uso de los

infinitesimales, “acercamiento geométrico a la derivada [que] incorpora las nociones básicas de la línea

de trabajo iniciada por los griegos de la antigüedad, continuada por Descartes, Fermat, Barrow (entre

otros) y culminada por Leibniz, considerado uno de los creadores del cálculo.” (Dolores, 2007, p. 5). Por

otro lado, se utiliza como insumo para la construcción de conocimiento los aportes del campo de la

mecánica, a través de sus estudios sobre los fenómenos de variación. En esta línea de trabajo el autor

ubica a los trabajos de Galileo, Torricelli, Roverbal y finalmente Newton.

Específicamente Dolores (2007) propone:

90

“elaborar introducciones intuitivas e informales al CD que no necesariamente se sujeten a

la estructura lógico-formal del Análisis Matemático, que desarrollen ideas variacionales

que posibiliten la comprensión de sus conceptos fundamentales; ubicar como eje rector de

todo el curso de CD al estudio de la variación de modo que la derivada no venga siendo

un concepto matemático abstracto sino un concepto desarrollado para cuantificar,

describir y pronosticar la rapidez de la variación en fenómenos de la naturaleza o de la

práctica.” (p. 54).

El autor busca con este planteo que el conocimiento se genere en contextos prácticos o de aplicación, en

lugar de construir conocimiento en forma abstracta para después buscarle su aplicación.

Propuesta del minicurso

En el mini curso se trabajarán actividades que permitirán vivenciar otros acercamientos al Cálculo, en

especial al concepto de derivada, para luego reflexionar sobre los procesos y aprendizajes que conllevan.

Luego se presentará el marco teórico general que subyace en este nuevo enfoque, las aproximaciones

realizadas por distintos investigadores en Matemática Educativa y resultados de distintos estudios e

investigaciones realizadas en Uruguay sobre concepciones de los estudiantes respecto a distintos

conceptos del Cálculo.

Referencias bibliográficas

Alanís, J. (1996). La predicción: un hilo conductor para el rediseño del discurso escolar del Cálculo.

Tesis de doctorado no publicada. CICATA-IPN. México.

Alanís, J., Cantoral, R., Cordero, F., Farfán, R.-M., Garza, A., Rodríguez, R. (2000). Desarrollo del

pensamiento matemático. Editorial Trillas. México.

Brousseau, G. (1989). Utilidad e interés de la didáctica para un profesor. (Primera parte), Suma, 4, 5-12.

Cantoral, R. y Montiel, G. (2001). Funciones: visualización y pensamiento matemático. México: Prentice

Hall.

Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado. Buenos Aires:

Aique.

Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la

enseñanza y el aprendizaje. Barcelona: Horsori.

Cordero, F. (2006). El uso de las gráficas en el discurso del cálculo escolar: una visión

socioepistemológica. En Cantoral R., Covián, O., Farfán, R., Lezama, J. y Romo A. (Eds.).

Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: un reporte iberoamericano (pp.

265 – 286). México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A.C. – Díaz de Santos.

Dolores Flores, C. (2007). Elementos para una aproximación variacional a la derivada. México:

Ediciones Díaz de Santos.

Gascón, J. (2001). Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes.

Revista Latinoamericana de Matemática Educativa 4 (2), 129-159.

91

Gascón, J. (2003). El problema de la Educación Matemática y la doble ruptura de la Didáctica de las

matemáticas. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 16 (1), 11-25.

Ruiz, L. (2000). Ingeniería didáctica. Construcción y análisis de situaciones de enseñanza – aprendizaje.

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 14, pp 122-130.

Salinas, P. Alanís, J. Pulido, R. Santos, F. Escobedo, J. y Garza, J. (2003). Elementos del cáluclo.

Reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza. México: Trillas.

92

DISEÑO DE WEB QUEST PARA LA CLASE DE MATEMÁTICA Norma Susana Cotic

Institutos de Formación Docente y Técnica, Buenos Aires- Argentina nscotic@gmail.com

Nivel educativo: Escuela Secundaria Palabras claves: WebQuest – Internet – Estrategia didáctica – Trabajo colaborativo

Introducción

La era digital en la que nos hallamos inmersos demanda nuevas prácticas docentes y la utilización de

estrategias novedosas adecuadas a los cambios permanentes del contexto en que se desarrollan los

alumnos.

El docente en su nuevo rol de orientador y guía debe promover trabajos colaborativos aprovechando las

utilidades que brindan las TIC´s, pero debe estar siempre atento a desarrollar en sus alumnos una actitud

crítica frente a la avasallante información que recibe.

En este taller, se presenta una nueva estrategia de aprendizaje por descubrimiento, la utilización de

WebQuest en la enseñanza de la matemática, que permite estimular en el alumno el desarrollo de nuevas

competencias que modifican su forma de pensar, deducir, relacionar, explorar, elaborar síntesis, producir

información.

El modelo de webquest, basado en una dinámica de uso educativo en Internet, donde los alumnos van

construyendo su propio conocimiento fue creado por Bernie Dodge y Tom March, en la Universidad del

Estado de San Diego, California, EE.UU. Desde 1995 es utilizado en ámbitos educativos de todos los

niveles, existiendo gran cantidad de propuestas en Internet.

De acuerdo a su creador, una WebQuest es una actividad de indagación/investigación enfocada a

que los estudiantes obtengan toda o la mayor parte de la información que van a utilizar de recursos

existentes en Internet. Las WebQuests han sido ideadas para que los estudiantes hagan buen uso del

tiempo, se enfoquen en utilizar información más que en buscarla, y en apoyar el desarrollo de su

pensamiento en los niveles de

análisis, síntesis y evaluación..

Y aclara, la tarea debe ser algo más que simplemente contestar preguntas o repetir mecánicamente

lo que se ve en la pantalla.

Se trata, entonces de facilitar el acceso del alumno a documentos, haciendo una selección previa de

sitios confiables para el aprendizaje que se pretende; aunque luego ellos puedan profundizar los temas

buscando información por su cuenta. De este modo no se perderá tiempo probando con distintos

buscadores para ingresar a una enorme cantidad de información, sino que se aprovechará para que los

alumnos gestionen la información que reciben, comparando, clasificando, construyendo con aportes

propios para lograr una verdadera transformación de la información.

La metodología de las webquest es ideal para poner en práctica un modelo pedagógico centrado en el

proceso, en el que el educando desempeña un rol activo; en definitiva el aprender a aprender,: esencial

en un mundo que está en constante cambio.

93

Según sus creadores , las reglas para obtener una excelente WebQuest son:

Localice sitios fabuloso

Administre aprendices y recursos

Motive a sus aprendices a pensar

Utilice el medio

Edifique un andamiaje para lograr expectativas elevadas

Los autores establecen seis pasos para el diseño de la estructura de una WebQuest6:

IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN –– TTAARREEAA –– PPRROOCCEESSOO –– RREECCUURRSSOOSS –– EEVVAALLUUAACCIIÓÓNN -- CCOONNCCLLUUSSIIÓÓNN

Introducción: es un texto breve que tiende a generar motivación en los alumnos relacionando sus

intereses con los nuevos temas de estudio y lograr el producto final deseado por el docente.

Tarea: constituye la parte más importante de una WebQuest. Brinda una orientación sobre las objetivos a

lograr. Presenta un detalle general de lo que el alumno debe realizar en forma individual o grupal.

Pueden ser tareas de investigación, información, periodísticas, etc.

Proceso: se detallan claramente los procesos que deben realizar los alumnos para lograr el trabajo final.

Es la etapa que representa el mayor desafío para el autor/docente porque exige mucha creatividad en

la producción de actividades y en el enfoque educativo que se le otorga.

Recursos: se proponen los sitios en Internet que el alumno debe utilizar para desarrollar las actividades.

Han sido previamente revisados y analizados por el docente.

Evaluación: se anticipan los criterios que serán evaluados durante el proceso y en el producto final.

Deben ser consignas claras y comprensibles para que los alumnos focalicen sus acciones en ese

sentido.

Conclusión: resume la experiencia e incita a la reflexión sobre los resultados logrados. Se agregan

enlaces a otros sitios sobre los temas tratados para estimular a los alumnos que deseen ampliar los

conocimientos adquiridos.

Metodología del Taller

Primer encuentro

Los participantes podrán experimentar el desafío de obtener el producto final de una WebQuest. Se le

entregará la propuesta que figura en el ANEXO.

Seguramente el grupo asistente al taller será heterogéneo, se partirá considerando que los asistentes nunca

han utilizado esta metodología por lo cual se presentará una WebQuest accesible y posible de desarrollar

en el tiempo previsto para el primer encuentro. Utilizarán PC con conexión a Internet.

Segundo encuentro

Los participantes diseñarán una WebQuest para el nivel en que se desempeñan de acuerdo a los

lineamientos de los autores. Se finalizará con la puesta en común de las producciones.

Bibliografía

6 en http://webquest.sdsu.edu

94

Barreiro,T.(1995). Trabajo en grupos. Buenos Aires. Kapeluz

Blanco S., De la fuente P., Dimitriadis Y. (2000): “Estudio de caso: Uso de Webquest en educación

secundaria”. Recuperado en junio de 2010. http://www.pntic.mec.es/mem/ecomec/index.htm.

Dodge, B. (2002).WebQuests. A technique for Internet-based learning .Recuperado en mayo de 2010.

http://www.WebQuest.sdsu.edu/about_WebQuests.html.

Feldman,D.(1999). Ayudar a enseñar.. Buenos aires.Aique

Gavilán, P. (2004): Álgebra en secundaria: Trabajo cooperativo en matemáticas.Madrid: Narcea, S.A.

Giménez, J. (1997): Evaluación en Matemáticas: Una integración de perspectivas. Editorial Síntesis,

Madrid.

Gómez-Chacón Inés Mª ,. Williams León C.(2007) Usos matemáticos de Internet para la enseñanza

secundaria. Una investigación sobre WuebQuest de geometría. Revista UNION. Nº9, pág.17 a 34 .

http://www.fisem.org/descargas/9/Union_009_007.pdf Recuperado en mayo de 2010

Huertas Fernández J.M,Tenorio Villalón A.F. WebQuest, Matemáticas y Educación de Género. Revista

UNION. Nº6, pág.81 a 94. http://www.fisem.org/descargas/6/Union_006_011.pdf. Recuperado

23/05/10

Labaké J.C.(1998) MAP-Método para aprender a pensar. Buenos Aires. Santillana.

Ortiz, A. (2004):Internet en el aula: La metodología del WebQuest en el aula. Revista Quaderns Digitals

http://www.quadernsdigitals.net/index.php?accionMenu=hemeroteca.VisualizaArticuloIU.visu

aliza&articulo_id=7478. Recuperado en mayo de 2010

Sitios consultados además de los propuestos para la actividad

http://www.educ.ar/

http://www.fisem.org/paginas/union/revista.php

http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/media/matematica/geometria_media.pdf

http://www.me.gov.ar/

http://webquest.sdsu.edu

ANEXO

Mirar el arte con ojo geométrico

IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN

¿Han observado la belleza de las obras de arte en la exposición escolar que recorrimos? Maurits Cornelis

Escher, Luis Tomasello, Mathias Goeritz

¿Reconocieron algunas figuras geométricas en ellas?

¿Piensan que el artista tiene alguna técnica especial para realizar sus cuadros?

Les propongo descubrir alguna de esas técnicas para lograr sus propias obras de arte.

TTAARREEAA

En Internet busquen las figuras geométricas que reconocieron en las obras de arte.

95

Observen y registren sus características esenciales

Elijan uno de los artistas para analizar y utilizar su técnica en el diseño de sus propias obras de arte.

PPRROOCCEESSOO

1- Se organizan en grupos de dos o tres alumnos.

2- Elijan una de las obras de arte expuestas y registren en un cuadro las figuras geométricas (2D y 3D)

utilizadas por el autor.

3- Busquen en Internet las figuras geométricas que descubrieron y detallen, características de sus lados,

ángulos, otros aspectos esenciales. Impriman el cuadro

4- Elijan algunas de las figuras geométricas(2D), del cuadro y la construyen en papel para cubrir un

plano.

5- Las figuras no pueden superponerse ni dejar espacios entre ellas. Los lados deben coincidir.

6- ¿Cómo se denomina este cubrimiento del plano?

7- Busquen en los sitios de Internet propuestos, algunos modelos de cubrimientos del plano.

8- ¿ Cuál es el nombre del artista que eligió ? En qué época vivió? Cuál es su técnica? (actividad

individual)

9- Utilicen la técnica del artista para crear una figura que cubra el plano, para exponer en la muestra

escolar.

10- Escriban en un procesador de texto el título, los epígrafes o textos cortos que acompañen a su obra

RREECCUURRSSOOSS

PPaarraa vviissuuaalliizzaarr ccuubbrriimmiieennttooss ddeell ppllaannoo

http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/teselacionesplano/qu_son_los_teselados.ht

ml

PPaarraa oobbtteenneerr ddaattooss ssoobbrree llaa bbiiooggrraaffííaa ddee llooss aauuttoorreess

hhttttpp::////wwwwww..mmaaccllaa..llaappllaattaa..ggoovv..aarr//eexxppoossiicciioonneess//aanntteerriioorreess//22000044//LLuuiissTToommaasseelllloo..hhttmm

http://www.mcescher.com/

hhttttpp::////wwwwww..ggaalleerriiaaeennrriiqquueegguueerrrreerroo..ccoomm//eexxppoossiicciioonneess//mmaatthhiiaassggooeerriittzz0066//bb__eexxppoommaatthhiiaassggooeerriittzz//aa__eexxppooggooee

rriittzz//eexxppooggooeerriittzz..hhttmm

PPaarraa ccoonnoocceerr llaa ttééccnniiccaa ddeell aarrttiissttaa MMaauurriittss CCoorrnneelliiss EEsscchheerr ppaarraa oobbtteenneerr ffiigguurraass iirrrreegguullaarreess qquuee ccuubbrreenn eell

ppllaannoo..

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/geometria/movimientos/

mosaicos/mosaicos.htm

http://descartes.cnice.mec.es/descartes2/previas_web/materiales_didacticos/grabados_de_escher/indice.ht

m

EEVVAALLUUAACCIIÓÓNN

Los temas importantes a considerar durante la realización del trabajo son los siguientes

96

Muy Bien

Bien

Regular

Búsqueda y

selección de información

Búsqueda autónoma en

la selección y organización de la

información

Búsqueda de información y

selección de los contenidos con escaso

apoyo

Búsqueda incompleta sin criterio

selectivo

Contenidos geométricos y Procesos de construcción

Adquiridos

Son correctos y bien

fundamentados Son aceptables pero no se fundamentan

Son confusos y sin fundamento.

Utilización de los recursos sugeridos

Se aprovecha

la información con criterio selectivo

Se han utilizado

algunos de los recursos ofrecidos

obviando información

No se han utilizado satisfactoriamente

Trabajo colaborativo

Colaboración activa individual y grupal.

Colaboración adecuada pero escasa

Colaboración poco participativa

Presentación Final

Trabajos creativos que cumplen con todas las

consignas.

Trabajos adecuados pero falta creatividad.

Trabajos copiados de los sitios sugeridos, no

cumplen con las consignas .

Capacidad Investigadora

Exploración de los

contenidos en los sitios opcionales

Exploración en los

enlaces con la ayuda del docente o en grupo

Exploración superficial de algunos enlaces

CCOONNCCLLUUSSIIÓÓNN

Luego de haber presentado los trabajos creados por ustedes en la muestra escolar, elaboren una

conclusión con el procesador de texto.

¿Qué modelo les pareció más creativo? ¿Cuál les gustó más y porqué? ¿Qué dificultades tuvieron al

utilizar una técnica como la de Escher para crear teselados especiales? ¿ Pueden describir otra técnica

para diseñar cubrimientos del plano?

Otras sitios para ampliar información sobre los temas tratados son

http://www.oni.escuelas.edu.ar/2002/buenos_aires/infinito/teselado.htm

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm

http://www.geocities.com/teselados/ .

http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/.

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Indice_%20teselacion.htm

97

MATEMÁTICA EN MOVIMIENTO

Ana Martínez – Cristina Ochoviet

98

EXPERIENCIAS CON POWER POINT, UNA PROPUESTA DIDÁCTICA Helena Sastre

Montevideo . Uruguay. helenasastre@hotmail.com

Ciclo Básico

Resumen ¿Cómo involucrar a los alumnos en la construcción del aprendizaje? ¿Cómo motivarlos para estudiar? ¿Cómo resignificar los conceptos? ¿Cómo diseñar actividades que estén al alcance de todos y donde cada uno pueda aportar desde su situación particular? ¿Cómo contemplar a los que tienen más facilidad y mayores conocimientos y generar un desafío para ellos sin dejar de lado al resto? ¿Cómo fomentar el trabajo colaborativo? ¿Cómo integrar las TIC al desarrollo de mis clases? Éstas son algunas de las preguntas que me planteo al momento de planificar mis clases. No siempre logro contemplar todas estas inquietudes. En este taller propongo explorar trabajos producidos por los alumnos de 1º, 2º y 3º año de ciclo básico, en diferentes temas del programa y analizar la riqueza de este tipo de actividades. Desarrollo del Taller El objetivo del taller es analizar, desde la contrastación de la propia práctica, la reflexión y ejemplos de trabajos producidos por los alumnos, la pertinencia y utilidad que puede tener el recurso “Power Point” en la enseñanza de algunos contenidos matemáticos. En una primera instancia se plantea a los asistentes al Taller que, en grupos, elaboren una presentación de Pwer Point para exponer determinado tema concreto con sus alumnos en clase. Para ello cuentan con una computadora conectada a internet. Luego de Realizada esta tarea, los asistentes analizarán qué elementos tuvieron en cuenta para seleccionar la información que pusieron en su presentación, qué dificultades encontraron al momento de realizar la tarea y en qué medida esta tarea puede estar acorde para ser llevada a cabo por los alumnos del nivel educativo en que ha sido planteada. Se compartirán luego presentaciones elaboradas por alumnos del nivel sobre los mismos temas que han sido pensados por los docentes. Se analizará qué contenidos estamos trabajando al plantear esta actividad, qué competencias estamos desarrollando, cuál debe ser el rol del docente al plantearse la actividad, cuál debe ser el tratamiento que deba seguir al tema luego de realizada la presentación por parte de los alumnos, discutiremos su validez en cuanto a instancia de aprendizaje y en cuanto a instancia de evaluación. Los temas a los que refieren las presentaciones de los alumnos se centran en: -La historia del número -Cuerpos geométricos -Probabilidad -Puntos y líneas notables en el triángulo -Isometrías En mi experiencia particular, con este tipo de actividades, he logrado el compromiso del 100% del alumnado. Se ha generado luego una discusión sobre los temas, ya sea porque se ha discutido respecto a cuál presentación ha sido la más acertada o bien porque los compañeros han pedido explicaciones sobre lo expuesto por sus pares. Y esto ha predispuesto a un trabajo más comprometido al profundizar en estos conceptos.

99

En el caso en que cada subgrupo desarrolla cierto tema en particular, eso se vuelve rico, porque esos alumnos se vuelven referentes para el resto al momento de tener que evocar los conceptos manejados por ellos, dándole cierta jerarquía a cada subgrupo. En el caso en que todos los subgrupos desarrollaron el mismo tema, también fue una instancia rica dado que permitió de forma natural que los alumnos autoevaluaran su trabajo al contrastarla con la de sus pares. Se les permitió analizar y opinar cuales eran los aspectos más favorables de cada presentación, lo que permitió una análisis reflexivo de la selección de información realizada por cada subgrupo, además de habilidades vinculadas con el uso de la herramienta Power Point. También en estos casos fue muy positivo el hecho de que el grupo atendió con interés a varias exposiciones sobre un mismo tema, acercándose así en varias oportunidades al análisis del tema en cuestión. Esto significó reiteradas instancias de aproximación al concepto y permitió, desde el análisis de las presentaciones y ejemplos que sugerían las propias presentaciones ir apropiándose del concepto. El buscar información, seleccionarla, editarla, estudiarla y luego presentarla al grupo constituyen en sí mismo una serie de habilidades indiscutiblemente útiles para la vida. El saberse capaces de acceder a información vinculada a la matemática, procesarla y exponer sobre ella, y poder aplicarla luego a la resolución de situaciones concretas ayuda mucho a mejorar el vínculo entre el alumno y la materia, a aprender matemáticas, además de desmitificar que matemáticas no se estudia. Al tratarse esta de una actividad grupal, que se gestiona en la casa, y que luego es controlada por el docente y el grupo, permite a los alumnos aportar a la tarea desde sus verdaderas posibilidades y afinidades. Así, en algunos casos, uno de los alumnos era el que seleccionaba la información, otro el que editaba el material y por último, se repartían para realizar la exposición. Se les pidió siempre que todos los alumnos manejaran la información, y para ello, luego de la exposición del tema, alumnos y profesor realizaban preguntas a los diferentes integrantes del grupo para constatar que todos habían estudiado el tema. El docente tiene que pensar muy bien cuál es la consigna que antecede a esta tarea. AL elaborarla debe tener muy claro que es lo que espera que los alumnos muestren en su presentación y trasmitirlo de la forma más clara posible. Se puede coordinar la actividad con el profesor de informática para que los oriente en el uso de la herramienta e incluso en la búsqueda en internet. Algo que en un principio no tuve en cuenta y que luego incorporé fue la bibliografía y páginas web consultadas.

100

GEOMETRÍA DINÁMICA EMPLEANDO XO

La Geometría Dinámica en la Resolución de Situaciones Problemas en el Aula Wilsmar dos Santos - Patricia Vedovatti

Cerp Litoral, Salto, Uruguay spikesantos @hotmail.com, marpa_2@hotmail.com

Nivel educativo: Medio Palabras claves: Geometría dinámica, Dr. Geo

Resumen En el siguiente espacio se propone un taller que permite el acercamiento a la matemática por medio de la aplicación de nuevas tecnologías de la educación. En este taller se utilizará como herramienta básica las XO propuestas por el “plan ceibal”. La modalidad implica un desarrollo de la jornada en base a la resolución de problemas involucran aspectos geométricos y analíticos. Introducción.

En la actualidad, con el fin de acceder a un mayor número de personas, la educación utiliza las nuevas

tecnologías como fuentes de información y forma de comunicación. Es un hecho, que el correcto uso de

las nuevas tecnologías ofrece mayores oportunidades nos provee de experiencia, nuevos modos de

acceder y participar activamente en la construcción de conocimientos, acercan a las personas y ofrecen

apoyo al docente fortaleciendo y mejorando sus prácticas de aula.

La situación del sistema educativo uruguayo no es ajena a esta nueva forma de concebir la enseñanza, la

introducción de las nuevas tecnologías ha comenzado a generar cambios en la curricula escolar

tradicional. Para que estos sean eficaces es necesario su acompañamiento tanto fuera como dentro del

aula.

En este sentido, la formación de los docentes constituye un factor clave ya que son ellos quienes cumplen

un papel fundamental en toda innovación educativa.

¿Por qué la implementación de las TIC en el aula? La realidad educativa ofrece hoy en día cambios institucionales importantes que están influyendo

significativamente en el aula y sobretodo en el las prácticas docentes.

Actualmente, en el Uruguay, la educación media básica brinda acceso al manejo de computadoras

portátiles (a través de las XO propuestas por el plan ceibal), es necesario la orientación de los estudiantes

en el correcto empleo de las mismas. Para ello es fundamental tanto el enseñar a organizar y clasificar la

información a la cual es posible acceder así como también enseñar y potenciar el buen uso de los

diversos software educativos.

En consecuencia exige en los docentes un uso integrado de la computadora como apoyo de sus

propuestas pedagógicas.

Matemática y las TIC.

La utilización de los distintos software en el aula han generado cambios en la enseñanza de las distintas

disciplinas. El uso de las TIC en particular en la de matemática ha permitido cambios a nivel didáctico

importantes ya que con esto es posible combinar los datos de forma numérica, simbólica y gráfica,

101

permitiendo probar, ver generalidades, descubrir y realizar conjeturas de manera más dinámica, veloz y

menos tediosa.

¿Por qué Dr. Geo?

Dr.Geo es un programa de geometría interactiva como de programación (que se encuentra dentro de las

actividades propuestas para ser utilizadas en las XO) que permite crear figuras geométricas y descubrir

propiedades respetando los principios geométricos y con características similares a software utilizados

habitualmente como GeoGebra entre otros.

Es útil para la enseñanza a estudiantes de nivel básico o superior.

La propuesta del taller. Destinatarios: El Taller está destinado a Profesores de Matemática de Ciclo Básico de educación Secundaria y Técnico

Profesional así como también Maestros y estudiantes de Profesorado.

Objetivos:

Generales:

• Promover la utilización de la geometría dinámica como herramienta en el proceso de aprendizaje

de las matemáticas

Específicos:

• Promover en los alumnos y docentes el interés por el manejo del Dr. Geo como herramienta

facilitadora en la resolución de problemas geométricos.

• Potenciar la utilización de las XO.

• Elaboración de propuestas por parte de los participantes.

Desarrollo de la Propuesta:

Etapa Uno.

• Presentar los comandos y herramientas básicas del Dr. Geo (Actividad de las XO).

La misma consiste en un trabajo en modalidad de taller del reconocimiento de las herramientas básicas

del software.

Así mismo se apoyo en esta instancia en la resolución de problemas introductorios con el fin de

consolidar el manejo de las herramientas.

Etapa Dos.

• Proponer y resolver problemas que permitan la aplicación del software. Se pretende en esta etapa la resolución concreta de problemas, en el que el software es una herramienta

fundamental en la búsqueda de soluciones. Los problemas involucran temas geométricos como de

análisis.

102

Etapa Tres.

• Analizar la aplicabilidad de las actividades realizadas por medio de los software a los contenidos

programáticos

Esta tercera etapa complementa la anterior pues se pretende realizar un análisis didáctico de las

propuestas, involucrando: conceptos a trabajar, nivel, modificaciones, contenidos. Se buscará responder

él: ¿qué aporta?, así como también la elaboración de sencillas fichas de trabajo.

Se prevé el desarrollo de macros en este software para que el docente cuente con una nueva herramienta

de investigación para los alumnos.

Etapa Cuatro.

• Intercambiar nuevas propuestas de trabajo y/o modificaciones de los tratados en el taller.

En esta etapa se pretende realizar un cierre del taller con la intervención de los participantes,

intercambiando diferentes formas de resolución de las propuestas así como también sugerencias y

modificaciones de las mismas.

Temas:

• Número Áureo.

• Espirales.

• Teselación y Fractales.

• Lugares Geométricos.

• Sucesiones Numéricas.

• Triángulo y Cuadriláteros.

Evaluación: Por la modalidad del taller el mismo permitirá una evaluación de proceso y de resultado que se reflejaran

en las intervenciones así como en la elaboración de propuestas por parte de los participantes.

Materiales: Proyector, pizarra, útiles de geometría (a cargo de los ponentes), hojas formato A4, XO (en función de la

cantidad de inscriptos, los ponentes preverán 10 unidades, así como emuladores para ser instalados en las

computadoras fijas). Cargadores y enchufes.

Dinámica de trabajo:

Dinámica de apares (dos participantes por máquina)

Duración:

Máximo 4h

103

Bibliografía: Juan Rafael Fernandez García. “Donde se trata de si la geometría puede ser dinámica. Dr. Geo”. Revista:

Educación. Linux User. .(2005)

Michael de Villiers. “El futuro de la geometría en la escuela secundaria . La lettre de la Preuve

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Willian Beline, Nielce Meneguelo Lobo da Costa .“Educação matemática, Tecnologia e Formação de

Professores: Algumas Reflexões”. Editora da FECILCAM. 2010

Silvia Mónica Bernardis - Susana Moriena: “Análisis de pruebas en un entorno de geometría dinámica”.

Facultad de Humanidades y Ciencias - Universidad Nacional del Litoral

104

SCRATCH: NOCIONES BÁSICAS Y APLICACIONES PARA MATEMÁTICA DE PRIMER AÑO DE ENSEÑANZA MEDIA

Dra. Ing. Inés Kereki

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RECURSOS DIDÁCTICOS: EFECTOS ESPECIALES Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

Martín de Amores

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PATRONES: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Verónica Scorza- Berenice Verdier

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TALLER CONOZCO* Lucía Brun – Ana Cichero

Consejo de Educación Secundaria - Montevideo - Uruguay luciabrun@hotmail.com - ana.cichero@gmail.com

Nivel educativo: Ciclo básico o donde se aplique modalidad 1:1. Resumen: Trabajo aplicable al modo un alumno: un laptop. CONOZCO* propone mostrar como generar un juego tipo trivia sobre una lámina didáctica para que funcione en la xo. Comienza analizando a la "lámina didáctica" como una partición en zonas respuesta. Se redactan para estas respuestas, preguntas y textos de ayuda. Al final se re-utiliza el código de Conozco Uruguay, que elige al azar una pregunta entre las definidas, evalúa la respuesta-click del puntero sobre la lámina- y plantea otra pregunta o brinda un texto de ayuda. El Taller propone realizar -en cuatro horas- una actividad a modo de ejemplo. Es prerrequisito manejar editores de texto e imágenes o integrarse en equipos con quien lo haga. Como recurso habrá prontas láminas para temas de geometría. El resultado del taller, tendrá licencia GNU GENERAL PUBLIC LICENSE V3.

Introducción: Aplicabilidad didáctica de estos juegos e implicancias en su desarrollo.

Aplicabilidad: Sobran estudios para mostrar los comunes problemas de aprendizaje en ciclo básico. La

experiencia, en algunas aulas, muestra que una de las dificultades aparece cuando el alumno no tiene,

fuera de la institución, un contexto que propicie el estudio. (Un familiar con tiempo y conocimientos para

ayudarlo, escritorio, buena luz, etc.). En estos casos, la xo o "ceibalita" podría ser un apoyo inmejorable.

Las actividades tipo Conozco* aplicadas a matemática, apuntan a que efectivamente la xo sea una

herramienta valiosa de apoyo escolar y de tarea domiciliaria. Enfatizamos el aspecto domiciliario o extra-

clases de los Conozco* en tanto valoramos el aula como espacio de comunicación interpersonal en

donde un juego, que trabaja de forma aleatoria en cada ceibalita, no se adecua a tareas grupales. Por otro

lado, sabemos que comprender cualquier tema implica familiarizarse con el universo donde ocurre y con

el lenguaje propio del tema. Conocer los primeros naturales y las "tablas", es el paisaje natural para

comenzar divisibilidad; la notación de rectas y puntos, el paisaje natural para comenzar geometría. Los

juegos Conozco* son ideales para familiarizarse con nuevos objetos matemáticos y sustituyen como

herramienta al clásico ejercicio "de machaque" que permitía incorporar estos objetos previo a su

conceptualización.

Implicancias del desarrollo de sofware por parte del docente: Entendemos que en los talleres Conozco*,

el resultado es tan valioso como el proceso de trabajo, porque promueve métodos para compartir y

generar colectivamente conocimiento y garantizar autorías al mismo tiempo. También creemos que la

tecnología no debe traer al estudiante, otro objeto incomprensible, importado y hermético, sino que la

educación -junto a la introducción de Tics- debe promover la apropiación del objeto tecnológico a partir

de su comprensión. En ese espíritu esperamos que la experiencia de modificar un programa existente en

la ceibalita muestre alguna de las ventajas de utilizar código abierto en la educación.

Desarrollo del Taller- Presentación del tema de Trabajo El espíritu de este taller: Conocer, dominar y difundir la tecnología informática introducida en el Plan

Ceibal. Desarrollar aplicaciones informáticas de alto valor pedagógico bajo el modelo de software libre.

Los objetivos de este taller:

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Objetivo Principal: Que cada uno de los asistentes aprenda a hacer por su cuenta una actividad

(programa) del tipo Conozco*

Objetivo Secundario: Que la experiencia de reutilizar y modificar el código principal que heredamos de

" Conozco Uruguay " sirva de incentivo para el aprendizaje de linux, de las formas y normas del software

libre y de su vinculación con el concepto de apropiación tecnológica.

"Bajo el disfraz de una aplicación educativa que ayude a los niños a aprender sobre la geografía del

Uruguay, este programa es en realidad un llamado a la acción." G.Eirea 2008, autor de Conozco

Uruguay.

ConozcoUruguay: el modelo original.

Un marciano rompe su nave y cae sobre nuestro país. Buscando las partes de su nave estudia la geografía

de cada departamento mientras dialoga con el usuario y lo invita a repasar rios, cuchillas, ciudades y

información sobre nuestro territorio.

En este taller reutilizaremos el marciano ( bicho.png ) y la diagramación de pantalla de ConozcoUruguay

sobre un sofware modelo llamado ConozcoEjemplo.xo que contiene los elementos mínimos

indispensables para su reutilización. ConozcoEjemplo se confeccionó especialmente para este taller.

Estas opciones son para acotar y simplificar la tarea.

La lámina como partición en zonas-respuestas.

La idea fundamental es entender la lámina como partición en zonas respuestas. Cada zona se identificará

con un tono de Rojo de los 255 tonos posibles en RGB. Ver figura abajo:

Reutilizar conozcouy.py implica crear la siguiente estructura de archivos:

Una lámina será un directorio (carpeta)

Esta carpeta puede llevar cualquier nombre menos "comun" porque este nombre ya está usado en el

programa. Cada lámina = carpeta debe contener 5 archivos llamados exactamente así:

lamina.png ( imagen que ve el usuario )

zonas.png ( imagen que ve el código)

zonas.txt ( texto que ve el código )

niveles.txt ( textos que ve el usuario)

nombre.txt ( texto con el nombre de la lámina tal y cómo lo ve el usuario)

Especificaciones y detalles sobre cada uno de los cinco archivos a crear:

lamina.png: lamina.png es una imagen de 786 pixeles de ancho por 900 pixeles de alto, es la imagen

visible en pantalla donde se responde con con un click de puntero.

Para crear la imagen : usamos por ejemplo: Gimp en ubuntu, Paint en windows, con el modo de color

común: RGB (red,green,blue).

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zonas.png: zonas.png es una imagen de 786 pixeles de ancho por 900 pixeles de alto, que será un "calco"

de lamina.png hecho exclusivamente en tonos de rojo. Cada tono (valor) de rojo identificará a una

respuesta y sólo a una.

El color RGB es un vector con naturales entre 0 y 255 , ejemplo:( R, G, B) = ( 170, 0,0 ) es un rojo

oscuro.

Para la computadora (0,0,0) y (1,0,0) son tonos de rojo distintos.

En este taller usaremos -preferentemente- rojos entre 100 y 255 , de 20 en 20, o 15 en 15, para visualizar

( desde nuestro ojo humano ) las zonas = respuestas. Ver figura abajo con espectro de rojos entre (0,0,0)

o negro y (255,0,0) rojo brillante.

Conviene calcular un margen para el error en el uso del puntero. Cuando la respuesta visible sea un punto

( estilo de punto standard de cualquier sw de geometría) la zona = respuesta será un punto de diámetro

mucho mayor.

zonas.txt : zonas.txt asocia el nombre de la respuesta "etiqueta" con el número de rojo usado en la

imagen zonas.png . También asocia la "etiqueta" o nombre de la respuesta, con las coordenadas donde

esta etiqueta deberá aparecer. No usaremos etiquetas en este taller y los valores para etiquetas serán 0|0|0

Ejemplo referido a la laminaejemplo que se muestra en ConozcoEjemplo.xo

árbol grande|255|0|0|0

árbol chico|170|0|0|0

nombre_respuesta|nro.rojo|x|y|ángulo _en_grados_positivo_antihorario

niveles.txt : Este es el texto mas importante para el juego donde se definen todas las frases visibles al

usuario. Con el doble objetivo de obtener una juego variada y valiosa didácticamente es importante tratar

de ser exhaustivos al formular las preguntas pertinentes a la lámina. El código tomará aleatoriamente 7

preguntas para cada juego.

Para los textos que se ven en el globito, unos 400 pixeles de ancho, debemos indicar cada "salto de

carro", o cambio de renglón incluyendo una retrobarra (\) en las oraciones.

El código arama las preguntas combinando al azar frases que definiremos como 'Prefijo', 'Sufijo',

'Pregunta'.

Las respuestas que se ven en pantalla- según estén bien o mal- también se eligen al azar dentro de las

predefinidas como 'Correcto' o 'Mal'.

Al completar siete preguntas correctas aparece 'Despedida'

Los textos de ayuda, fundamentales en el desarrollo del juego, que no avanza si no damos con la

respuesta correcta, están insertos dentro de la frase definida como 'Pregunta'.

'Pregunta' tiene la estructura: Pregunta = pregunta propiamente dicha |nombre respuesta| texto de ayuda.

Ejemplo mínimo del contenido de un archivo niveles.txt

Prefijo = Tenemos que buscar\una pieza de mi nave

Sufijo = ¿Me llevás?

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Correcto = ¡Lo encontraste!

Mal = No, intentá de nuevo

Despedida = Puedo ir a mi planeta.\¡Gracias por tu ayuda!

[Nivel]

Pregunta = en la ciudad de\Aguas Corrientes|Aguas Corrientes|Queda en el límite\con San José

Pregunta = la casa de un número par\menor que 10|2,4,6,8|Es muy fácil

nombre.txt Este archivo solo contiene el nombre de la lámina tal y como se ve en el menú .

Generalidades sobre los textos:

Los textos serán leidos por el código y recién despues ( cuando corresponda) mostrados al usuario. Es

fundamental entonces respetar el formato de cada uno de ellos. Deben ser textos planos que usen la

codificación ISO 8859-1 para mostrar caracteres propios del idioma español. Para editarlos sin

inconvenientes, recomendamos por ejemplo gedit en ubuntu y notepad+++ en windows.

#También podemos expresarnos libremente y escribir lo que querramos

#(._.)(°-°)

# (°-°)(._.)

#Los renglones precedidos del símbolo # son invisibles para la máquina se llaman "comentarios" y son

fundamentales para ir explicando el código y sus parámetros.

En este taller incluiremos como comentario en el archivo nombre.txt el registro de autores de cada

lámina.

¿Cómo probamos los cambios que vamos haciendo?

Vamos a copiar archivos desde un pen a la xo con unos poquitos comandos de Terminal y el juego

seguirá funcionando mientras lo modificamos.o

Para instalar lo que hicimos en otra xo : Hay que hacer el 'bundle' o empaquetado y elegir el nombre

para la actividad: Reemplazar ConozcoEjemplo.xo con ConozcoPerpendiculares.xo o cualquier nombre.

Aunque esto es sencillo : python setup.py dist_xo . No entraremos en este tema en este taller.

Hay mas documentación sobre como hacer el bundle y cambiar parámetros en el código en el blog de este

taller: http://conozcoejemplo.wordpress.com

Desarrollo del Taller- Paso a paso

1ro) El trabajo en nuestra computadora: Debemos crear una carpeta (directorio) en donde se

encuentren los cinco archivos creados : lamina.png, zonas.png, zonas.txt, niveles.txt y nombre.txt.

El nombre de este directorio puede ser el que más guste (menos "comun") recomendamos que este

nombre no tenga tildes, ni espacios, ni eñes. Esta carpeta será copiada a un pendrive.

2do) La actividad Terminal en la ceibalita

Abrimos la actividad Terminal (ícono con símbolo de $) . Hay algunas "frases mágicas" que se escriben a

continuación del signo de $ y que podemos necesitar, son comandos de terminal linux.

cd : change directory -para cambiar de carpeta.

ls : list -para listar el contenido de la carpeta.

cp origen destino - para copiar un archivo desde su origen al destino .

rm : remove -para remover o borrar un archivo.

mkdir : para hacer make un directorio o carpeta.

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nano: para llamar al editor de textos embebido en la Terminal y saber editar los textos en la Terminal.

3ro) Verificamos que la ceibalita lea los archivos que tenemos en el pendrive

[olpc@xo-0c-CE-1D-]$ cd /media/

Con el comando cd estamos entrando al directorio media al apretar enter volvemos a ver el signo$

Con $ la máquina indica que es nuestro turno de hablar.

[olpc@xo-0c-CE-1D-media]$

Con el comando ls estamos pidiendo que se enumere (liste) que es lo que contiene el media.

[olpc@xo-0c-CE-1D-media]$ ls

Aquí aparecerá el nombre del pendrive y le pediremos entrar al pendrive utilizando el comando cd y

listar los archivos utilizando ls

$ cd Nombre_Pendrive

[olpc@xo-0c-CE-1D-Nombre_Pendrive]$ ls

Luego de listar lo que contiene el pendrive vamos a abrir el directorio donde creamos la lámina

(ConozcoPerpendiculares en este ejemplo) y listar lo que hay en el directorio para corroborar que

tenemos los archivos a reemplazar

$ cd ConozcoPerpendiculares

[olpc@xo-0c-CE-1D-ConozcoPerpendiculares]$ ls

Aparecerán en la pantalla de la Terminal los archivos lamina.png, niveles.txt ,nombre.txt, zonas.png,

zonas.txt

Si queremos volver atrás, o sea "subir" al directorio anterior, utilizaremos el comando cd espacio

puntopunto.

[olpc@xo-0c-CE-1D-ConozcoPerpendiculares]$ cd ..

Y volvemos a la raíz del pendrive

[olpc@xo-0c-CE-1D-Nombre_Pendrive]$

4to) Instalamos ConozcoEjemplo.xo en la ceibalita previo a poder modificarlo.

Para modificar una actividad es necesario tenerla instalada . Podemos hacer esto usando el pendrive y

la Terminal. Para ello debemos entrar al pendrive donde está la actividad a instalar y digitar:

[olpc@xo-0c-CE-1D-Nombre_Pendrive]$ sugar-install-bundle ConozcoEjemplo.xo

Se va a crear en la carpeta /home/olpc/Activities el directorio ConozcoEjemplo.activity/recursos que es el

que precisamos editar.

5to) Ubicamos el directorio a modificar dentro de la actividad.

Debemos saber llegar al directorio que vamos a modificar para habituarnos a hacerle cambios.

$ cd Activities/ConozcoEjemplo.activity/recursos/

Al listar el contenido de recursos veremos la carpeta "comun" y la carpeta "laminajemplo".

La carpeta "comun" contiene fuentes, imágenes y sonidos comunes a todas las láminas , como ser el

marciano ( bicho.png) que reutilizamos de Conozco Uruguay.

La carpeta "laminajemplo" contiene los cinco archivos lamina.png, niveles.txt ,nombre.txt, zonas.png,

zonas.txt que debemos sustituir.

6to) Sustituimos los archivos necesarios.

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Recomendamos ejecutar ConozcoEjemplo.xo mientras sustituimos uno a uno los archivos de

ConozcoPerpendiculares por los originales de laminajemplo para detectar errores.

Utilizaremos el comando cp desde cualquier ubicación y cuya estructura es $ cp origen destino.

Recomendamos probar la actividad en ejecución y constatar que todo funcione entre una sustitución y

otra.

$ cp /media/Nombre_Pendrive/ConozcoPerpendiculares/ lamina.png

/home/olpc/Activities/ConozcoEjemplo.activity/recursos/laminaejemplo

Esta acción va a reemplazar el archivo lamina.png anterior por nuestra lamina. Analogamente

seguiremos reemplazando el resto de los archivos.

7mo) Festejar o buscar el error.

En nuestra experiencia los errores más frecuentes surgen en los archivos de texto. Esto puede ocurrir

porque se usó un enter de mas, faltó un espacio, etc.. Acá conviene usar el editor de texto de la terminal

de la ceibalita que nos permite modificar los textos y volver a ejecutar la actividad de forma rápida.

$ nano nombre_archivo_de texto

También podemos agregar una lámina todo de una vez usando el comando cp - r (copia recursivamente

un directorio y todo su contenido) .

¡Una actividad nueva queda funcionando en la ceibalita!

Así de fácil, así de difícil.

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Comunicaciones Breves

ROBOTS RELACIONES CON LA MATEMÁTICA Jesusa Pereira

Sala CASI- Biblioteca Central Prof. Carlos Real de Azúa. Montevideo-Uruguay. jesupe@chasque.net

Resumen Este trabajo muestra una experiencia auténtica, de la preparación de jóvenes de primero a tercer año del Ciclo Básico, que siendo formados de un modo especial en el estudio de la matemática y la programación pueden llegar a logros tales como ganar el primer premio en la competencia de Sumo Robótico de la Facultad de Ingeniería, compitiendo con estudiantes de bachillerato científico, tanto públicos como privados de más de 17 años, ellos tenían 14. A medida que el educando internaliza los conceptos matemáticos, los va convirtiendo en objetos matemáticos, que luego utiliza como herramienta en los nuevos conceptos, hasta llegar a realizar análisis de problemas .Acompaña este proceso de aprendizaje aplicado al análisis de problemas, fijando el objetivo, usando una lógica estricta en la depuración de los datos, eligiendo los caminos de resolución, realizando el algoritmo, encontrando en la programación en lenguajes artificiales un campo fértil de trabajo, atractivo, desafiante, hasta llegar a los Robots. Los movimientos del Robot son el espejo de su pensamiento utilizando la matemática y la programación. Desarrollo del trabajo.

La retroalimentación de la matemática y la programación dan forma al pensamiento lógico-formal, con

íntimas relaciones, tales que una no existiría sin la otra.

Lo primero que debemos plantearnos es ¿qué es programar? Hay una extensa bibliografía respecto del

tema, uno de los autores que está mencionado, en la bibliografía es Knuth, matemático, que escribió “El

arte de programar”.

Efectivamente programar es un arte ya que tiene que ver con la creatividad de cada uno, con la

imaginación con el poder de abstracción, sin embargo existen problemas, los cuales no es posible

resolverlos usando la programación..

Claro está que para ello es necesario preparar al educando para que tenga las herramientas y disfrute de

esta actividad, que avanza vertiginosamente, poniendo a disposición del usuario, innumerables

programas, que alimentan “cerebros artificiales”, tanto para las computadoras así como creando tan

diversos robots.

En realidad cuando programamos estamos teniendo un diálogo con la máquina, en un lenguaje artificial,

que ella traduce al sistema de numeración binario, y por lo tanto hace lo que ese programa le indica.

Otro de nuestras dudas es por qué llamamos “cerebro” con el que dialogamos, y en este caso nos

referimos indistintamente a una computadora o un robot, los dos son máquinas, con funciones que seguro

tienen que ver con las funciones de nuestro cerebro, claro está que mucho más pobre ya que no pueden

crear, sino que acatan órdenes a través de su estructura, cumpliendo lo que llamamos rutinas.

La estructura de las máquinas que solemos llamar electrónicas, están hechas con los conceptos de la

lógica matemática que implica la teoría de conjuntos. Su forma de recibir la información siempre es a

través de los conceptos de Verdadero o Falso(unos y ceros).

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El modo de ir preparando a los estudiantes desde primer año de liceo hasta tercero en este tema, que sin

duda es árido, es integrar de a poco las dos asignaturas, considerando la madurez biológica del educando

de acuerdo a su edad, y sin forzarlo jamás y sin proponerle metas que no pueda alcanzar.

Siempre acompañando a los programas de matemática del año que cursa y en coordinación con el docente

de matemática, se podrá integrar en primer año el tema del número natural y los sistemas de numeración

en particular el binario.

El estudiante irá integrando en clases especiales para ello, puede ser un espacio que se crea para

estudiantes interesados en estos temas. Así se entera que la máquina contiene un traductor(compilador) ,

que todo lo pasa a binario, y sabrá que cuando un programa está en binario, puede leerlo desde dónde

quiera, no necesita ningún programa de apoyo. Comienza a entender para que estudia en matemática

sistema binario, o sistemas de numeración.

Simultáneamente, asisten a una ECA que solamente se dedica al análisis y resolución de problemas, que

aunque allí participa todo el grupo, creando en ellos una actitud de reflexión, mejorando notablemente la

interpretación lectora, comprendiendo el valor del buen dominio del idioma español. Este grupo también

ha sido testigo frente a los demás primeros que no han tenido este tratamiento.

En el análisis de problemas se encuentran siempre presente los algoritmos que por supuesto se elaboran

en idioma español, por lo cual si se expresan mal en el idioma, jamás podrán llevar un programa a la

computadora.

Una vez que se elige el lenguaje artificial apto para su edad, entonces se comienza a trabajar en la

programación. Generalmente se introduce este tema acudiendo a la creación de figuras, a los diversos

colores y al movimiento, todas estas acciones son muy atractivas para el estudiante y se ve animado, a

realizar distintos programas cortitos, unos propuestos en clase, otros de elección libre.

En la creación de figuras acudimos a los temas que está desarrollando el docente de matemática, en

geometría, de este modo el estudiante que programa llega a conocer en profundidad los conceptos

matemáticos, ya que tiene que elaborar una estrategia en su programa, que le permita al ejecutarla,

visualizar el problema, de acuerdo a como lo haya analizado.

Esta metodología la seguirá utilizando en el correr de segundo y tercer año de liceo. Así es que integrará

el concepto de variables por la aparición del álgebra en segundo año y el tratamiento que hace el mundo

de la programación en ese tema, tan importante, tan necesario. También integra el concepto de función

lineal en segundo año, pero muy importante, integra el concepto de función. Este es el momento de

presentarle las funciones del lenguaje.

Así se crean programas que cada vez son más complejos, con variables, funciones lógicas, funciones del

lenguaje, y a esta altura el alumno que ha sido consecuente y que también programa en su casa,

comienza a diferenciarse del resto por su capacidad de análisis, por el conocimiento de los objetos

matemáticos, los que ha tenido que manipular una y otra vez.

Adquiere un excelente manejo del plano Cartesiano, debido a que las imágenes que pueden resultar de la

programación siempre son consecuencia del uso del sistema de coordenadas Cartesianas. Ya que el

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monitor es una matriz de puntos definidos por coordenadas, desde la programación. De acuerdo con la

cantidad de puntos la imagen definida tendrá una mejor definición.

Trabaja también en el tema de geometría con gran destreza, creando figuras con movimiento, por

ejemplo mostrando el teorema de Pitágoras, destacando a través del movimiento y el color que nos dice

este teorema. Aparecen los cuerpos semejantes y allí la proporcionalidad de Thales.

En la definición de cuerpos aparece el tema de la tercera dimensión, que tendrá que lograr con las

herramientas de la programación que ya conoce. Este es el momento dónde se prepara para luego

programar un robot, que en el caso que se presenta es un cubo.

En tercer año del Ciclo Básico, se enfrenta nuevamente al término sistemas, y programas sistemas de

ecuaciones lineales de 2 por 2. Lo programa utilizando sencillas matrices y determinantes, tema que

siempre será una constante en el mundo de la programación.

Aparece un tema nuevo para el educando que es la trigonometría. Se trabaja mucho en este tema tanto en

las relaciones de un triángulo rectángulo y se le integra como novedad las funciones trigonométricas.

De este modo los estudiantes comienzan a crear programas utilizando los conceptos del seno, coseno y

tangente, teniendo que considerar las propiedades específicas que le proporciona la programación, en

dónde los valores que obtiene no coincide cuando verifica con su calculadora, y así debe entender el

concepto de radián,.

Cuando va transcurriendo el tercer año, ya ha pasado por la visión de distintos lenguajes pero que están

relacionados, que si bien es importante, conocer el código y la sintaxis del lenguaje artificial, lo más

importante es analizar el problema y ser un conocedor eficiente de los conceptos que trabajará ese

programa.

En este nivel de conocimientos en la programación ya trabaja con lenguajes dirigidos a objetos y eventos.

Lenguajes que pertenecen a lo que llamamos de última generación.

Es así que se dedicaron los cinco alumnos que se decantaron, desde primero a tercer año de liceo,

alumnos que han asistido por voluntad propia, todos los años a los cursos que estaban colocados

inmediatamente a su última hora del curso de tipo curricular, Que han asistido dos veces a la semana, en

forma totalmente asidua, que han trabajado también en sus casas, que han presentado programas en las

ferias científicas que ha hecho la Institución Educativa dónde estudiaban sobre diversas asignaturas, por

ejemplo en biología el ADN, en química la tabla de valencias de los distintos elementos químicos,

creando juegos o realizando acertijos, resolviendo sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, o

simplemente creando fractales, estos son algunos ejemplos a mencionar, pero existen muchísimos más y

muy ricos en cuanto a la formación matemática del educando. Finalmente llegamos a la programación del

Robot.

La Facultad de Ingeniería que no permitía que jóvenes del Ciclo Básico participaran en la competencia de

Sumo Robótico, después que se sorprendieron de que este tipo de estudiante se inscribiera en el concurso,

decidió venir a visitarlos y testear sus conocimientos.

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El ingeniero Gonzalo Tejera, fue quién nos apoyó en todo momento, formaba parte del grupo de

ingenieros que organizaban esta competencia, por supuesto que Gonzalo es catedrático en la materia y

debemos destacar que la Facultad de Ingeniería, ha sido de un gran apoyo tanto logístico, como humano

en la competencia, dado que mis alumnos eran los más pequeños, sin embargo consiguieron el Primer

Premio.

A partir del año 2008, la Facultad de Ingeniería abrió sus puertas a la competencia a los estudiantes de

Ciclo Básico, es por eso que estos cinco estudiantes del liceo n° 7 y así formados han, sido pioneros y

han abierto el camino a los demás.

Solamente falta agregar que el aprendizaje, se ha hecho siempre en equipo, se han planteado discusiones

entorno a los caminos de resolución, se han estudiado las probabilidades de ser atacado y de defensa,

que tenía el robot que nos había tocado, ya que la Facultad de Ingeniería, entregaba la parte física del

robot, teniendo que desarrollar la estrategia, y escribir la rutina en lenguaje artificial, que luego

guardaríamos en la memoria del robot, y él se movería de acuerdo a esta rutina.

Allí la teoría de la probabilidad quedó al descubierto, tomando los alumnos el lugar del robot, y con las

condiciones que nos exigía la competencia, no permitir que lo tiraran fuera del área de la disputa.

Habían visto probabilidad en tercer año y ya no les sonaba como algo raro, han aprendido que la máquina

tiene funciones para el manejo de la probabilidad y de las funciones de azar.

Ha sido para mí como docente, estar todo este tiempo en esta experiencia tan rica, y poder observar el

crecimiento intelectual y humano de este grupo de estudiantes desde los 12 hasta los 14 o casi 15 años.

Bibliografía Matemática - INFANTOZZI, Carlos Alberto NÚMERO NATURAL 3era. Edición 1971. Montevideo - LEHMANN, Charles H. GEOMETRÍA ANALÍTICA Uteha 1978 Méjico - HALMOS, Paul R. TEORÍA INTUITIVO DE LOS CONJUNTOS Cecsa 1973 Méjico - FLORA, Ferdinando TRIGONOMETRIA PIANA Hoepli 7ma. Edición Milán - WRIGHT, Charles MATEMÁTICAS DISCRETAS PHH 2da. Edición Méjico - PUIG ADAM, Pedro GEOMETRÍA MÉTRICA Biblioteca Matemática 1976 Madrid - KORFHAGE, Robert R LOGICA Y ALGORITMOS Limusa 1982 Méjico - POLYA, G. COMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS Trillas 1989 Méjico Lenguajes Artificiales y Robots - CHOMSKY, Noam REFLECTIONS ON LANGUAGE Sudamericana 1975 Bs. Aires - PAPERT, Seymour DESAFIO A LA MENTE Ediciones Galápago 1982 Bs. Aires - GUTIÉRREZ, Bertha LA CIENCIA EMPIEZA EN LA PALABRA Península 1998 Barza - GARCÍA, Hugo PROGRAMACIÓN EN QBASIC 4.5 Limusa 1994 Méjico - SANCHIS-MORALES PROGRAMACIÓN EN PASCAL Paraninfo 1980 Madrid - HOPCROFT, John ESTRUCTURAS DE DATOS Y ALGORITMOS AWL 1998 Méjico - KNUTH, Donald.E. ALGORITMOS FUNDAMENTALES (vol.1) Reverté 1980 Barcelona - CEBALLOS, Javier ENCICLOPEDIA DE VISUAL BASIC 6 Ra-Ma 1997 Madrid - PAWSON, Richard EL LIBRO DEL ROBOT Editorial Gustavo Gili 1986 Barcelona - HOPCROF, John AUTÓMATAS LENGUAJES Y COMPUTACIÓN Continental 2000 Méjico

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MATEMÁTICA PROFUNDIZACIÓN Y USO DE TIC’S

Matías Robaina, Bruno Balzani, Mayra Delgado, Stefani Díaz, Eugenia Franco, Alejandro Hernández, Mauricio Pondelek, Federico Torres, Guadalupe Zamora,

Prof. Susana González.

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LA EXPERIENCIA SEMIPRESENCIAL EN LA FORMACIÓN DE PROFESORES EN URUGUAY

Ana María Tosetti – Susana Oliveros – Daniela Pagés Consejo de Formación en Educación (CFE) – Departamento de Matemática – Uruguay

prof_anato@hotmail.com, oliveros.susana@gmail.com, danielapages@gmail.com Nivel terciario Resumen En este trabajo presentamos la modalidad semipresencial de formación de profesores, en particular de la especialidad Matemática. La formación virtual supone un gran desafío que se está llevando a cabo en todo el mundo. Nuestro país no escapa a este fenómeno. Habiendo comenzado en 2003 como una experiencia en la que casi nadie tenía formación específica, la modalidad ha ido creciendo y fortaleciéndose, hasta convertirse hoy en una alternativa real para aquellos que por distintas razones no pueden acceder a los cursos presenciales de profesorado.

Los comienzos – la actualidad La modalidad semipresencial es un nuevo modelo educativo que tiene como objetivo brindar formación

docente (de grado) a la comunidad. En este modelo, el trabajo independiente y la figura del tutor

constituyen uno de los componentes en los que se sustenta el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Hoy en día, más de 2000 personas quieren ser profesores egresados en la modalidad semipresencial. Estos

estudiantes, en general, no han tenido otras opciones posibles de acceso a la formación superior en

docencia presencial, por distintos factores (familiares, laborales, geográficos, entre otros). El Profesorado

Semipresencial es un medio estratégico, que utilizando las posibilidades que brindan las nuevas

tecnologías de la información y la comunicación, permite asegurar la igualdad de oportunidades a los

residentes del interior del país, a quienes presentan condicionamientos laborales o de salud y a quienes

han desertado del sistema educativo tradicional y quieren finalizar la carrera.

Esta modalidad de estudio pretende, además, mantener el tejido social en el cual el estudiante está

inmerso, y aspira a devolverle a la comunidad que le contiene, un profesional de la educación que

contribuya, con sus prácticas, a elevar la calidad de vida de sus integrantes.

En 2003 cuando se inició esta modalidad, se ofrecían siete especialidades: Ciencias Biológicas,

Comunicación Visual, Educación Musical, Física, Español, Matemática y Química. Esta selección se hizo

en base a un relevamiento sobre las especialidades con déficit de egresados.

A partir del año 2010 se incluye una nueva especialidad: Astronomía. A lo descripto se suma que, por

resolución de CODICEN se han incluido a partir de 2008, estudiantes avanzados de Física y Matemática

para que puedan terminar su carrera y obtener su título docente. Estos estudiantes han podidocompletar

sus estudios presenciales, a raíz del compromiso laboral que han asumido en su condición de estudiantes

avanzados de la especialidad. Han egresado de la modalidad, hasta el momento, 87 estudiantes.

Áreas en las que reciben formación los estudiantes:

Ciencias de la Educación

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Asignaturas específicas: de acuerdo a la especialidad elegida: Ciencias Biológicas,

Comunicación Visual Dibujo, Educación Musical, Física, Idioma Español, Matemática,

Química.

Didáctica y Práctica Docente de la especialidad por la que optaron

Los estudiantes cursan, en forma presencial, las asignaturas de Ciencias de la Educación en el instituto

más cercano a su lugar de residencia (institución de referencia); y las asignaturas específicas de la carrera

de cuatro años de los planes 1986 y 2008, a distancia, mediante tutorías que reciben vía Internet a través

del la plataforma LMS Moodle.

En el caso de la práctica docente, los estudiantes trabajan bajo el mismo régimen que los de los cursos

presenciales, recibiendo el curso de Didáctica por la misma plataforma.

Esta modalidad tiene algunas características particulares: combina instancias de actividad en línea (a

distancia), con otras presenciales: encuentros anuales obligatorios en diferentes sedes, y exámenes en un

centro de formación docente de la capital.

El estudiante tiene acceso al material didáctico a través de la propia plataforma. Para ello cuenta con

guías elaboradas por los Expertos en Contenidos, así como materiales complementarios publicados en la

Biblioteca Virtual.

La gestión de la modalidad

Esta modalidad tiene la característica de gestionarse desde diversos lugares físicos. Por un lado, la oficina

del Profesorado Semipresencial se encuentra en Montevideo, junto al actual Consejo de Formación en

Educación. Allí se gestiona gran parte del desarrollo de la modalidad. Pero además, el sistema se

descentraliza hacia los distintos lugares de formación docente presenciales del país: Institutos de

Formación Docente, CERPs, IPA, INET, IPES (u otros eventualmente), tanto en lo que tiene que ver con

la formación en las asignaturas del tronco común, como en la realización de los encuentros presenciales.

Asimismo, casi toda la gestión de la modalidad se realiza virtualmente.

El desarrollo de la modalidad en lo académico Esta modalidad se caracteriza por tener un ámbito de encuentro diferente.

Consideremos los aspectos siguientes, que están totalmente entrelazados:

• Aula virtual.

• Rol del tutor.

• Perfil del estudiante

• Comunicación.

• Trabajo colaborativo.

• Aprendizaje significativo.

120

El aula virtual no es un paquete digital, sino un espacio en el que se construye; no es simplemente un

sitio de internet desde donde bajar materiales, tiene que tratarse de lograr en la virtualidad las condiciones

para que sea efectivamente un aula. Esto significa, un lugar donde se aprende con otro, con la guía del

tutor, utilizando de manera adecuada los materiales, e interactuando permanentemente. Se trata de lograr

un ambiente áulico virtual que favorezca el aprendizaje significativo.

El tutor es el mediador entre el contenido y el aprendizaje del participante, en un proceso de interacción

que es dinámico y que tiende a construir la reflexión crítica, el intercambio y el debate entre los

participantes. Para que este intercambio se produzca, el estudiante debe lograr autonomía e

independencia, y es fundamental que sienta que en el aula virtual aprenderá como en un salón de clases

presenciales. Esta autonomía del estudiante no se logra en forma inmediata, y en esta tarea vuelve a

aparecer la moderación y el estímulo del tutor. Es preciso promover no solamente un intercambio tutor-

estudiante sino estudiante-estudiante, en varios sentidos. El primero, porque la pertenencia a un grupo es

uno de los factores que ayuda a prevenir el desánimo y la sensación de soledad estudiantil, fenómeno que

aparece de forma muy marcada en esta modalidad. El estudiante se siente solo frente a la computadora, y

a la plataforma, y tiene que interactuar con ese medio, queriendo producir aprendizaje. La comunicación

no es inmediata, y esto muchas veces produce frustración. Este intercambio también es fundamental

porque, desde el punto de vista didáctico, es importante la interacción entre los estudiantes, acerca de los

conceptos que se están trabajando, para que se produzca aprendizaje. Así, aparece aquí como fundamental

el trabajo colaborativo, esencia de la educación virtual. En esta modalidad se plantean las actividades en

foros, que pueden ser de todo el grupo o de grupos pequeños, en los que se promueve la discusión

colectiva de los ejercicios o las lecturas, así como la realización de las tareas planteadas. También hay un

componente individual, y la plataforma tiene varias herramientas para esto.

Fortalezas y debilidades de la modalidad

Esta modalidad tiene como fortalezas fundamentales:

Genera autonomía e independencia

Permite al estudiante regular sus tiempos en forma más libre

Es posible seguir los cursos desde cualquier lugar, disponiendo de una computadora con

acceso a Internet.

A la vez que el estudiante hace la carrera, vivencia la educación virtual, que

seguramente será la modalidad en que se seguirá formando luego de obtener el título de

grado.

Los puntos débiles de la modalidad, que es preciso tener presentes para actuar sobre ellos:

La soledad que experimentan los estudiantes con esta forma de enseñanza.

La relativización de los tiempos, que lleva a que los estudiantes deformen sus

expectativas en cuanto al número de asignaturas a cursar.

Las dificultades en el manejo de la plataforma, así como en el uso de las herramientas

de edición de materiales.

121

Algunos ejemplos Presentamos algunos ejemplos de foros realizados en la plataforma, donde aparece la interacción entre los

estudiantes, y de ellos con el tutor. También presentamos fotos de un encuentro presencial realizado en un

Instituto de Formación Docente.

Conclusiones En cualquiera de las modalidades, el modelo pedagógico seleccionado es básico. El éxito o el fracaso

pedagógico dependerán de la correcta y adecuada selección de contenidos, de la conveniente transposición

didáctica, de las concepciones subyacentes o explícitas sobre cómo se enseña y cómo se aprende, de los

dispositivos tecnológicos o recursos didácticos empleados, de la contextualización del hecho educativo, y

por supuesto, de la insustituible figura del docente, cómo este motiva a los estudiantes, cómo se posiciona

frente a ellos, y el lugar que ocupa cada uno en el modelo.

Apostamos al desarrollo de la modalidad semipresencial, en el convencimiento de que en ella se puede

lograr un modelo en el que los estudiantes puedan aprender, sientan que cuando ingresan a la plataforma

“van a clase”, al tiempo que desarrollan la autonomía que como futuros docentes necesitarán para

formarse durante toda su vida laboral.

Referencias bibliográficas BORGES, Federico (2005). «La frustración del estudiante en línea. Causas y acciones preventivas».

Digithum [artículo en línea]. UOC. N.º 7. [Fecha de consulta: 13/08/10].

http://www.uoc.edu/digithum/7/dt/esp/borges.pdf

ISSN 1575-2275

CABERO, Julio (2006). “Bases pedagógicas del e-learning”. Revista de Universidad y Sociedad del

conocimiento. Vol.3 Nº 1.- [Fecha de consulta: 13/08/10]

http://rusc.uoc.edu/ojs/index.php/rusc/article/view/265

ISSN 1698-580X

BENITO, Diana (2009). “Aprendizaje en el entorno del e-learning: estrategias y figura del e-moderador”.

Revista de Universidad y Sociedad del conocimiento. Vol.3 Nº 1.- [Fecha de consulta: 13/08/10]

http://www.uoc.edu/ojs/index.php/rusc/article/view/v6n2_benito/v6n2_benito

ISSN 1698-580X

Plan integrado de Formación Docente 2008.-

En http://www.dfpd.edu.uy/cfe/estudiantes/planes_program/plan2008/presentacion/sundf_2008.pdf

Página del Consejo de Formación en Educación – Semipresencial:

http://www.dfpd.edu.uy/cfe/estudiantes/mod_semipres.html

122

GRUPO TEÓRICO - PRÁCTICO CON EVALUACIÓN CONTINUA

Jorge Moretti

123

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y EL TRIÁNGULO DE PASCAL

Verónica Scorza Consejo de Enseñanza Secundaria, Anep.

verosco@sanfelipe.edu.uy

Nivel: 2do año Secundaria.

El tratamiento de lo general, la exploración, formulación y validación de conjeturas sobre propiedades aritméticas, la posibilidad de resolver problemas geométricos vía un tratamiento algebraico, la puesta en juego de una coordinación entre diferentes registros de representación semiótica, son rasgos esenciales de la práctica algebraica que la colocan en el corazón de la actividad matemática. (Sessa, 2005)

Resumen

El pasaje de lo aritmético a lo algebraico requiere un salto en el grado de abstracción por parte de los alumnos, y para los docentes representa un desafío desde el punto de vista didáctico. El trabajo que presentamos refiere a una experiencia de clase con un grupo de segundo año al que se propuso una tarea de exploración, búsqueda de regularidades o patrones, y manipulación de las operaciones con expresiones algebraicas en un contexto nuevo para los alumnos. Se trata de una investigación guiada en la que los alumnos irán relacionando los desarrollos de las potencias del binomio )( ba + con los coeficientes del Triángulo de Pascal., procurando una generalización de sus hallazgos y su aplicación a nuevas situaciones. Descripción de la tarea y exposición de resultados.7 La primera parte de la tarea pedía a los alumnos que verificaran que eran ciertas las siguientes igualdades:

Como las únicas herramientas que poseían los alumnos hasta el momento era haber trabajado con sumas, restas y multiplicaciones de expresiones algebraicas, en particular con polinomios de una variable, para verificar las igualdades, calcularon en primer lugar ))(( baba ++ el resultaron lo multiplicaron por

)( ba + y éste, una vez más por )( ba + .

7 Se adjunta la tarea en el ANEXO 1

4322344

32233

222

464)(

33)(

2)(

babbabaaba

babbaaba

bababa

++++=+

+++=+

++=+

124

Luego se les presentaba la siguiente secuencia:

Interpelados sobre la posibilidad de tener que calcular 6)( ba + se plantea la necesidad de encontrar una forma alternativa para obtener el desarrollo de esa potencia. Así surge el objetivo de la tarea:

Nuestra tarea consistirá en lograr completar los segundos miembros de la secuencia sin realizar las operaciones que requiere el desarrollo de las potencias.

Se les presenta entonces lo siguiente:

Considera ahora los siguientes números.

Estos números están dispuestos en una forma conocida con el nombre de TRIÁNGULO DE PASCAL.

Compara estos números con los coeficientes de las expresiones algebraicas de los segundos miembros de cada paso de la secuencia planteada.

543223455

4322344

32233

222

1

0

510105)(

464)(

33)(

2)(

)(

1)(

babbababaaba

babbabaaba

babbaaba

bababa

baba

ba

+++++=+

++++=+

+++=+

++=+

+=+

=+

125

Los alumnos constataron que los coeficientes de las expresiones coincidían con los números que aparecen en las filas del Triángulo de Pascal. Para entonces ya se preguntaban por qué y para qué aparecían estos números en “forma de triángulo”.

Se les propuso luego:

Todos los equipos lograron completar la siguiente fila. ¿Cómo? La mayoría observó el patrón de formación en las filas anteriores y calculó: 1+5=6; 5+10=15; etc. obteniendo la séptima fila: 1 6 15 20 15 6 1 Sin embargo un equipo propuso lo siguiente: Observó que la suma de los términos de cada fila seguía un patrón: 1; 1+1=2; 1+2+1=4; 1+3+3+1=8; etc. A partir de allí dedujeron que, en la 7ma fila los términos debían sumar 64. Además observaron la secuencia de los términos centrales: 1+1=2, 3+3=6, por lo que dedujeron que el término central de la fila debía ser 20 (10+10). Observaron también que “los lados del triángulo contenían sólo “unos” y que la secuencia de los “lados” paralelos a los “unos” era la de los números naturales a partir del 1, por lo que el segundo número y el penúltimo de la 7ma fila debían ser 6. Por diferencia hallaron los términos adyacentes al término central: 15.

Cada fila en el triángulo de Pascal se obtiene siguiendo un patrón de formación. Encuentra la forma de escribir la siguiente fila del triángulo (la séptima).

126

A continuación se les pedía: Los equipos hicieron las siguientes observaciones: • Las potencias de a comienzan con el exponente del binomio y las de b terminan con el exponente del

binomio. • Las potencias de a van disminuyendo de a uno y las potencias de b van aumentando de a uno. • La suma del exponente de a y de b es el exponente del binomio. Luego se les planteó: Y finalmente:

Observa ahora la parte literal en las expresiones algebraicas de los segundos miembros de cada paso.

Las potencias de a y de b siguen un patrón. Encuéntralo y descríbelo.

Utiliza ahora toda la información que has encontrado para escribir la expresión algebraica del desarrollo de

=+ 6)( ba

Si tuvieras que escribir el desarrollo de

=+ 10)( ba ¿Cómo lo harías utilizando el Triángulo de Pascal?

127

Todos los equipos lograron completar el desarrollo de 6)( ba + utilizando los coeficientes 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1; y en la parte literal siguieron la regla que encontraron para los exponentes.

De esta forma aparecía en los trabajos:

Tres equipos explicaron cómo escribirían el desarrollo de 10)( ba + . Algunos efectivamente lo escribieron, otros plantearon que seguirían el triángulo hasta la fila 11 y luego escribieron las partes literales de los términos: La tarea concluía con una instancia de búsqueda de información y posterior presentación en el formato que consideraran adecuado para exponer en la muestra de fin de año y una presentación oral de los trabajos como forma de evaluación final: Conclusión La tarea se realizó con gran motivación representando una auténtica actividad de exploración, búsqueda y descubrimiento de regularidades o patrones, para su posterior uso en otras situaciones. Tuvieron la posibilidad de experimentar la satisfacción del descubrimiento matemático aplicando los conocimientos matemáticos que tenían, analizando y generando información, encontrando relaciones, describiéndolas y enunciándolas como proposiciones generales. Con esta tarea se pusieron en juego estrategias propias de la actividad matemática: problematización, formulación de conjeturas, descubrimientos, aplicación y comunicación de resultados. Bibliografía Sessa, C. (2005). Iniciación al estudio didáctico del Álgebra. Argentina: Libros del Zorzal. Requena Fraile, A. (1998). El álgebra. Del arte de la cosa a las estructuras algebraicas. Santillana 1998. Mankiewicz, R. (2000). Historia de las matemáticas. Buenos Aires: Paidós. Calvo, C; Scorza, V y Tiento, F. (2000). Matemática A 5to Científico. Santillana. Perero, M. (1994). Historia e Historias de Matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica. IBO (2007). Guía del Programa de los Años Intermedios Matemática.

Realiza una búsqueda en Internet para investigar: • la historia del Triángulo de Pascal • curiosidades en el Triángulo de Pascal (te sorprenderás al encontrarte con temas ya

trabajados en el curso) • la vida de Blaise Pascal Sugerencias: es.wikipedia.org/wiki/Triángulo_de_Pascal (ver en inglés) www.dmae.upm.es/.../trianguloPascal/triangulo.html -

128

ANEXO 1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y EL TRIÁNGULO DE PASCAL

(1) Verifica que son ciertas las siguientes igualdades:

4322344

32233

222

464)(

33)(

2)(

babbabaaba

babbaaba

bababa

++++=+

+++=+

++=+

(2) Considera ahora la siguiente secuencia:

543223455

4322344

32233

222

1

0

510105)(464)(

33)(2)(

)(1)(

babbababaabababbabaaba

babbaababababa

bababa

+++++=+

++++=+

+++=+

++=+

+=+

=+

Nuestra tarea consistirá en lograr completar los segundos miembros de la secuencia sin realizar las operaciones que requiere el desarrollo de las potencias:

a) Considera ahora los siguientes números.

......................................................................................

Estos números están dispuestos en una forma conocida con el nombre de TRIÁNGULO DE PASCAL.

129

Compara estos números con los coeficientes de las expresiones algebraicas de los segundos miembros de cada paso de la secuencia planteada. ¿Qué observas?

Cada fila en el triángulo de Pascal se obtiene siguiendo un patrón de formación.

Encuentra la forma de escribir la siguiente fila del triángulo (la séptima).

b) Observa ahora la parte literal en las expresiones algebraicas de los segundos miembros

de cada paso.

Las potencias de a y de b siguen un patrón.

Encuéntralo y descríbelo.

c) Utiliza ahora toda la información que has encontrado hasta ahora para escribir la

expresión algebraica del desarrollo de

=+ 6)( ba

d) Si tuvieras que escribir el desarrollo de =+ 10)( ba , ¿cómo lo harías utilizando el Triángulo de Pascal?

Realiza una búsqueda en internet para investigar:

la historia del Triángulo de Pascal curiosidades en el Triángulo de Pascal (te sorprenderás al encontrarte con temas ya

trabajados en el curso) la vida de Blaise Pascal

Sugerencias: es.wikipedia.org/wiki/Triángulo_de_Pascal (ver en inglés) www.dmae.upm.es/.../trianguloPascal/triangulo.html – Presenta tu trabajo en un formato que pueda ser expuesto en la muestra PAI.

Recuerda que el trabajo concluye con una presentación oral.

130

UN NUEVO UNIVERSO, BREVE INVESTIGACIÓN SOBRE GEOMETRÍA HIPERBÓLICA

Mariela Blanco, Patricia Echenique, Rosario Mariani. Consejo de Educación Secundaria. Montevideo, Uruguay.

mblanco08@gmail.com, patricia.gev@gmail.com; rosariomariani09@gmail.com

131

132

133

134

135

136

MATEMÁTICA – X

Saúl Tenenbaum CES, Montevideo, Uruguay

saultene@gmail.com

Educación Secundaria

Palabras claves: educación, web, matemática, interactiva.

Resumen: En este trabajo se expone un Sitio Web Educativo con ejercicios y algunos teoremas resueltos.

Ademas de comentará un libro de un filósofo argentino donde se intenta justificar el uso de nuevas

tecnologías para manejar el mismo idioma cognitivo y poder sintonizar con los estudiantes del siglo XXI.

Matemática – X :

La crisis actual de la Educación es un motivador para la búsqueda de nuevos métodos, para un cambio de

postura de los docentes y para enfocarnos en otra perspectiva mas adecuada a nuestros nuevos alumnos....

(¡¡nuevos alumnos implica nuevos docentes !!)

Vamos a ver este tema viejo con nuevos ojos: Leamos algo escrito por Alejandro Piscitelli, Licenciado

en Filosofía, Máster en Ciencias de Sístemas y Master en Ciencias Sociales; argentino, 62 años.

“Ya no podemos oponer el mundo real al virtual como lo hacíamos antaño. Lo virtual es parte de nuestra

vida real. Pasamos tanto tiempo en uno como en otro y resulta cada más difícil separarlos.

No son mundos opuestos. Son capas de la misma realidad - la nuestra - vivida en múltiples niveles, tanto

simultanea como alternativamente. [1]

Capas diferentes, pues, de una misma realidad que, por falta de comprensión, algunos quieren oponer

como si existieran brechas entre ellas. No las hay. O no son como las suelen pintar.

No se ven de la misma manera según la generación en la cual uno se encuentra, estima Alejandro

Piscitelli. La óptica cambia si se nació antes del año 1980 ( 1990?) o después.

Pues si, hay diferencias entre jóvenes y viejos.

Quienes más experiencia tienen, entienden menos el mundo en el cual estamos entrando, mientras que

quienes han vivido menos sienten y hasta saben con mayor naturalidad de qué está hecho.

La tensión se muestra particularmente grave en el campo de la enseñanza donde los grandes tienen a su

cargo preparar a los chicos para un mundo que no entienden.

Un reto para todos. A los chicos, nativos digitales, les toca pensar como grandes.

Los grandes, por su parte, tienen que enseñar lo viejo con ojos nuevos.

Los maestros y profesores deber ser artistas de la comunicación, deber seducir, mediar, resolver conflictos

pero también crearlos!

La educación debe convertirse en industria del deseo si quiere ser industria del conocimiento.

137

La disyunción es clara. O los inmigrantes digitales aprenden a enseñar distinto o los nativos digitales

deberán retrotraer sus capacidades cognitivas e intelectuales dos décadas o más atrás, ” cosa que, por

supuesto, no va a ocurrir.

No es cierto que todos los adultos sean inmigrantes digitales ni que todos los chicos sean nativos

digitales. La diferencia entre competencias analógicas y digitales también debe ser matizada a la luz de

diferencias de clase, de la acumulación asimétrica de capital cultural y simbólico, y de todas las variables

intervinientes que revelan una oposición que tomada a rajatabla, en vez de esclarecer, obnubila, y que en

vez de ayudar, amplía la brecha entre los que tienen y los que no.

Durante casi 5 siglos "ser fue ser contado". En el campo educacional las historias fueron siempre fuente

ejemplar y condición básica del aprendizaje, transmisión y consolidación del sentido.

Sin embargo, la aparición de los videojuegos hace ya casi cinco décadas puso a prueba muchas de las

teorías que reducen la producción de conocimientos a la producción de historias. Los juegos tiene reglas

propias y permiten aprendizajes múltiples sin necesidad de una estructura narrativa.

Los nativos digitales no valoran, no leen, no les interesan los libros, nuestro sagrado canon, que remiten

por completo a la gramática, a la historia y al gusto de la civilización del texto impreso.

Hay una enorme distancia entre nuestra forma de enseñar y aprender formalmente hoy y la clase de

docente experto en inteligencia emocional y en comunicación persuasiva para congeniar y conseguir lo

mejor de sí de los nativos digitales.

El educador 2.0 será un mediador y hasta un creador de conflictos, antes que un mero repetidor y un

transmisor de conocimientos encapsulados y predigeridos. El diseño de los nuevos emisores supone

reconciliar, en tensión, emociones y razón.

La reinvención social de la tecnología busca crear prosumidores (productores + consumidores). La

diferencia con el paradigma en boga es abismal y merece ser recorrida rápida y profundamente.

Estos macro-cambios son irreversibles. Estamos asistiendo no sólo a un cambio masivo, sino a una

mutación cognitiva de no menor fuerza, a un tsunami epistemológico. La proliferación incesante de la

información que emana y subtiende a estos cambios está en el límite del descontrol.

Los diagnósticos de decandencia cultural educativa y de supuesta pérdidas de los valores humanistas a

cargo de una tecnología fría, inclemente y fundamentalmente mercantilista debe ser deconstruidos y

vueltos a plantear.

Diarios y libros, convenciones y conferencias, reuniones ministeriales y cumbres presidenciales, a veces

con ahínco y muchas otras como mera retórica, se preguntan por la decadencia de Occidente y oponen la

buena y perdida herencia literaria cultural a la demonización encarnada de la Ciencia y a la Tecnología, o

la hipermercantilización de la economía.

138

Todas estas maldiciones condensadas además en una escuela que no educa, en una formación docente que

no está a la altura de los tiempos y en un mandato de socialización del conocimiento cada vez más

inclemente.

A la luz de estas consideraciones, ¿no habrá que rever los conceptos de rendimiento y evaluación

educativa? ¿no habrá que reevaluar nuestro diagnóstico facilista acerca de la decadencia educativa de

Occidente? ¿no habra´que repensar si las pruebas PISA y toda la parafernalia de la ortodoxia no están

cometiendo errores inmensos?

¿Qué se está midiendo exactamente cuando se mide?

Pero, sobre todo, ¿qué es lo que no se está midiendo?"

Esto es, entonces, un resumen del libro de Alejandro Piscitelli. [1]

Podremos no estar completamente de acuerdo con él, pero, ¿ esto nos hace pensar, no ?

Lo que está claro es que la enseñanza y la informática están, hoy en día, íntimamente relacionadas.

Si queremos encontrar soluciones primero tenemos que encontrar el/los problema/s.

Un joven de mala conducta escolar llamado Albert Einstein decía que "nunca hay que dejar de hacerse

preguntas".

Si queremos respuesta, primero hay que hacer las preguntas.

¿ Se puede enseñar matemática utilizando software interactivo?

¿ Se puede enseñar matemática sin utilizar computadoras en el siglo XXI?

Matemática – X es un sitio web educativo. Impulsa una innovación en enseñanza-aprendizaje: los

ejemplos interactivos asistidos con ordenador: "ejemplicios", ejemplos y ejercicios que fijan las ideas en

forma activa.

El estudiante paso a paso sigue el desarrollo lógico de un razonamiento junto a la computadora-docente.

Se tiene, entonces un nuevo aliado, personal, que explica mil veces: este docente real-virtual no se enoja,

no se cansa de repetir y el estudiante no se reprime ni tiene miedo de aprender.

Los miles de ejemplos diferentes que la computadora puede hacer, ayudan a cada estudiante con la

cantidad de casos que su individualidad necesite.

Se consigue que a pesar de la diversidad del alumnado, todos pueden llegar a entender un procedimiento,

un algoritmo, cada uno a "su" tiempo.

Todos tienen el tiempo que necesiten. Y lo hacen de forma divertida, colorida, moderna, con

animaciones, sonido y participación activa.

La educación simultanea de muchos estudiantes es demasiado rápida para algunos y demasiado lenta para

otros. Con el software interactivo se le da el tiempo "extra" que algunos alumnos necesitan. Los alumnos

usan el ordenador para aprender de forma amena, colorida, divertida.

139

Un intento de abordaje del problema es tratar de ofrecer contenidos educativos en línea, para que los

alumnos puedan acceder a ellos y estudiar con un medio audiovisual en los tiempos que cada estudiante

quiera y necesite.

Básicamente, las funciones que buscamos en este sitio web son:

motivar - innovar - estructurar - orientar y regular el aprendizaje - coordinar.

Con el sitio web el alumno pasa de receptor pasivo a constructor de su conocimiento.

Veamos algunos ejemplos en concreto:

1) Producto notable, cuadrado de binomio http://www.x.edu.uy/repaso.htm

10) Concepto de Función http://www.x.edu.uy/funcion.htm

11) Función lineal http://www.x.edu.uy/lineal.htm

100) Función cuadrática, Fórmula de Bháskara http://www.x.edu.uy/cuadratica.htm

101) Función logarítmica http://www.x.edu.uy/loga.htm

110) Teorema de Pitágoras: demostración http://www.x.edu.uy/teopita.htm

111) Teoremas del Seno y Coseno: demostración http://www.x.edu.uy/teosenos.htm

1000) Arco Capaz http://www.x.edu.uy/arcocapaz.htm

1001) Ejercicios sobre ángulos en la circunf. http://www.x.edu.uy/centros.htm

http://www.x.edu.uy/

Referencias:

[1] Alejandro Piscitelli. “Nativos digitales”, Santillana, Montevideo, 2009.

140

Valeria Orrico – Édison Garrone

141

Panel final Omar Gil

Fragmentación: un rasgo de nuestra realidad

Dentro de la rica diversidad de la Matemática, una sorprendente red de conexiones le da unidad

interna y la vincula con otras áreas del conocimiento, la cultura y la actividad humana. Los antiguos

pitagóricos incluso veían en la Matemática una expresión de la unidad subyacente a todo el Universo. El

punto de vista es sugerente, pero ni siquiera es necesario adoptarlo para maravillarse ante este

impresionante paisaje. Es notable la forma en que los números se relacionan entre sí, formando un todo

coherente y armonioso, desde los naturales hasta los complejos, dotado de la flexibilidad para adaptarse a

la descripción de aspectos muy diferentes de la realidad. Fascina el hecho de que la misma Ecuación de

Laplace aparece en la descripción de fenómenos tan diversos como, entre otros, el equilibrio térmico, la

distribución de tensiones en una pieza de material sometida torsión, los paseos al azar, la dinámica de

fluidos o las deformaciones de una membrana elástica cuando un conjunto de fuerzas actúa sobre ellas.

Atrapa adentrarse en el terreno de la Teoría de Grafos para ver cómo constituye un ambiente rico para el

juego y la experimentación en el salón de clase, al mismo tiempo que sirve como un modelo muy general

para cualquier sistema en el que haya distintas partes interconectadas: puentes e islas en una ciudad; redes

de cualquier tipo; expresión de genes; organización de tareas complejas, etcétera. Los ejemplos de este

tipo abundan, y muy bien podríamos ampliar la lista, o ahondar en cada uno de ellos hasta límites

insospechables para la primera mirada.

Sin embargo, no es infrecuente que la Matemática aparezca ante nosotros de manera

fragmentada. Tanto hacia el interior, presentada como una acumulación de dominios inconexos, como

hacia el exterior, alienada de sus posibles significados, separada de sus aplicaciones, y aparentemente

inútil para ayudarnos a comprender y a actuar sobre cualquier aspecto de nuestras vidas.

Esto especialmente ocurre cuando algunas categorizaciones un tanto artificiales, pero aún así de

utilidad para orientarse en el amplio mundo de todo lo relacionado con la Matemática, se enervan y

comienzan a tener un protagonismo aún mayor que el de la propia disciplina y su esencia. Entonces

diversas polarizaciones como

• investigación/enseñanza;

• Universidad/ANEP;

• Matemática Pura/Matemática Aplicada;

• Matemática discreta/Matemática continua;

• álgebra/Análisis/Estadística/Geometría/Probabilidad

• Matemática/modelo matemático/mundo real;

• abstracto/concreto;

• formalismo/significados;

• teórico/práctico;

• con calculadora/sin calculadora;

142

• sabio/ignorante;

• Alumno/Maestro/Profesor de Matemática/matemático;

• IPA/CeRP;

• Uruguay/resto del mundo;

se acentúan, comienzan a obstaculizar la comprensión de la Matemática como un todo complejo y, en

particular, a empobrecer la Educación Matemática. Fenómenos de este tipo ocurren en todo el mundo,

pero en el Uruguay tienen algunos rasgos especialmente marcados.

1 Universidad y ANEP

De todas las posibles formas de fragmentación de la Matemática y la Educación Matemática, entiendo

que una de las más negativas y perniciosas es la separación actualmente existente entre la Universidad y

la ANEP, que en el área de la Educación Matemática colaboran poco y mal. A continuación describiré,

sin ánimo de ser exhaustivo, algunos fenómenos que percibo como síntomas de este problema.

1.1 Ingreso a la Universidad: el tránsito en la interfase es traumático. El ingreso a la Universidad

suele significar grandes dificultades para los estudiantes. Este período de su educación debería ser objetos

de programas ambiciosos de acciones conjuntas entre la Universidad de la República y la ANEP. En la

actualidad no existen políticas coordinadas para acompañar a los estudiantes en esta etapa. Esta

circunstancia agrava los problemas que describiré en las próximas dos secciones.

1.2 Problemas en la función de enseñanza en la Universidad. La organización predominante en los

cursos de Matemática universitarios ímplicitamente da por sentado que los estudiantes llegan a la

Institución con la motivación, los recursos cognitivos, las estrategias de aprendizaje y la actitud necesaria

para apropiarse los conceptos que se les presentan a través de una serie de exposiciones, sobre los que

trabajarán realizando listas de ejercicios suministradas por los profesores. Se asume además que los

estudiantes han asimilado e integrado un cierto conjunto de contenidos previos, y que son capaces de

activar los procesos necesarios para operar con ellos. La realidad, tal como lo muestra la experiencia

directa y diversos diagnósticos que la Universidad viene realizando desde hace más o menos dos décadas,

muestran que esta es la situación de sólo una pequeña fracción del estudiantado. Para el resto, el año de

ingreso es difícil de superar, se producen altos niveles de deserción y avances muy lentos de los

estudiantes que no desertan.

Parece imprescindible desarrollar alternativas a los cursos existentes, que tengan en cuenta estas

circunstancias, y en función de ellas desarrollar nuevas propuestas de actividades y estilos de trabajo en el

aula. He aquí una oportunidad de colaboración con la ANEP, que en la actualidad no se concreta.

El requisito más importante para ser docente de la Universidad es exhibir antecedentes que

acrediten la capacidad de crear conocimiento original. Esto tiene que ver con la función de investigación

y desarrollo que tiene la institución, pero también se relaciona directamente con su función de enseñanza.

Se espera de un docente que sea investigador en su disciplina que pueda transmitir a sus estudiantes las

maneras de pensar y trabajar propias de su área del conocimiento, y dar cuenta directa de su experiencia

de búsqueda y descubrimiento. Todo esto es sumamente deseable y requiere tener como docentes a un

143

plantel de investigadores. Sin embargo, esta última condición no parece ser suficiente para alcanzar el

objetivo de un enseñanza actualizada y de calidad. Ni siquiera para asegurarse de que los cursos se

actualicen adecuadamente en lo que tiene que ver con los contenidos propios de la disciplina.

Desearía compartir con el lector dos ejemplos de mi experiencia como docente del Instituto de

Matemática y Estadística "Prof. Ing. Rafael Laguardia" (IMERL), de la Facultad de Ingeniería (FI) de la

Universidad de la República, que, a mi juicio, son buenas ilustraciones del tipo de problemas que

menciono en el párrafo anterior.

1.2.i Un primer curso de Geometría y álgebra Lineal. El álgebra Lineal se fue formando como una

disciplina independiente en un períoido que a grandes rasgos podriamos ubicar entre 1840, con los

aportes Grassman, y la década de 1920, con la tesis de Banach. En los años 40 comenzó a difundirse

vigorosamente, y a ganarse el lugar que hoy tiene, como la teoría estandar de los objetos que pueden

describirse con un número finito de parámetros y admiten la posibilidad de realizar combinaciones

lineales. En la década de 1960, José Luis Massera propuso dictar en Uruguay un curso de álgebra Lineal,

que sistematizaría la presentación de los problemas lineales con varias variables. En particular, la

resolución de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales. Se trataba de un curso esencialmente pensado

en el marco de las ramas tradicionales de la Ingeniería, que apuntaba a la Matemática del mundo

continuo. Este curso, con variaciones y ajustes producidos por las distintas circunstancias por las que ha

pasado la FI en los últimos 50 años llegó hasta nuestros días, sin una revisión a fondo de su organización,

temario y objetivos.

Como parte de este proceso, se ha ganado en todas partes del mundo experiencia en la enseñanza del

álgebra Lineal. La literatura sobre el tema, y las nuevas realidades de la educación terciaria, sugieren

cambios de aproximación a los temas y de estilos de trabajo en el aula. Por ejemplo, parece haber

suficiente evidencia de que es preferible dejar que los estudiantes ganen experiencia con el cálculo

matricial antes de hacer una presentación axiomática abstracta. Este mismo cálculo matricial, que en la

segunda mitad del siglo XX comenzó a tomar un gran impulso en paralelo con el desarrollo de la

Informática, tiene hoy un lugar central en la modelización y el cálculo científico. Se trata de dos temas de

indudable interés para una Facultad de Ingeniería, que, aunque presentes, ocupan un segundo plano en los

cursos de álgebra Lineal del IMERL. Los resultados básicos del cálculo matricial y del álgebra Lineal

bien pueden desarrollarse sobre conjuntos numéricos discretos. No es complicado, y cuando se

experimenta con ello los estudiantes lo reciben bien. Pero aún así, esta vertiente, que tiene especial interés

en una Facultad en que aproximadamente la mitad de los estudiantes se dedicarán a estudiar Informática,

y del resto una fracción importante se orienta hacia la Ingeniería Eléctrica, en la que el mundo digital

también tiene importancia, tiende a ser desatendida.

Esta acumulación de hechos sugeriría que es pertinente estudiar la posibilidad de introducir

modificaciones de fondo en el primer curso en que los estudiantes toman contacto con el álgebra Lineal.

También apuntan en esta dirección los cambios que se han producido en la composición, cantidad y

orientación del alumnado y la necesidad de atender los complejos problemas del ingreso de los

estudiantes a la FI.

144

Sin embargo, esta revisión no se produce.

1.2.ii Métodos numéricos. El cálculo numérico ocupa un lugar central en la ciencia y tecnología

contemporáneas. La aparición y masificación de las computadoras ha hecho posible y estimulado la

creación de nuevos métodos de cálculo, la revitalización de algunos de los viejos, y el análisis de una

enorme variedad de situaciones mediante modelos matemáticos. Como no podría ser de otra manera, el

cálculo numérico tiene una relación estrecha con todas las demás áreas de la Matemática. Podría ser

integrado a la exposición de muchos temas, como un área relacionada, como fuente genuina de

problemas, como herramienta capaz de volver aplicables a situaciones reales, o al menos realistas,

muchos conceptos matemáticos y como recurso didáctico.

Integrar la difusión masiva de calculadoras y computadoras a los cursos de matemática de todos

los niveles es un problema candente para la Educación Matemática en el Uruguay. Podría pensarse que un

ambiente como el da la FI debería ser especialmente propicio para avanzar en él. Sin embargo esto no

ocurre.

Estos problemas para modernizar los cursos no son exclusivos del Uruguay, ni de esta época. Por

ejemplo, en la interesante intervención de 1997, "Ten Lessons I Wish I Had Learned Before I Started

Teaching Differential Equations", Giancarlo Rota, fallecido en 1999 pero en ese momento profesor del

MIT, reflexiona en un sentido que nos hace pensar en la amenaza de obsolescencia que penda sobre los

contenidos de cualquier curso de Matemática. Es inevitable cierto alejamiento entre lo que en cada

momento es la disciplina viva, su sentido social, su valor cultural, sus posibles significados para los

estudiantes de cada nueva generación, y lo que, por diferentes motivo, va quedando más o menos

petrificado en la cultura de las instituciones que dictan los cursos de Matemática, o de los profesores a

cargo de ellos.

Para estar en guardia ante esta amenaza parece no ser suficiente tener una colectividad de

investigadores integrando los equipos docentes. Es necesario un esfuerzo explícito y sistemático para que

el vigor y la frescura que resultan de la actividad investigadora lleguen a las aulas. No todo lo que es

relevante para un investigador resulta importante para el salón de clase y viceversa. También a este nivel

la fragmentación entre ramas de la Matemática opera: no es inusual que un científico competente en una

cierta área desconozca o conozca mal resultados básicos de otra, potencialmente ricos para la enseñanza.

Además, el propio sistema de contratación y promoción de los docentes universitarios atenta contra una

dedicación más atenta a los problemas de los aprendizajes de los estudiantes.

Es de presumir que en este terreno la colaboración con docentes de la ANEP y la participación

explícita, institucional y permanente de los matemáticos en la consideración del conjunto de los

problemas del sistema educativo sea positiva. Que contribuya a generar una cultura que integre la

preocupación por mantener a la sociedad uruguaya en contacto con las fronteras del conocimiento, a

través de una comunidad de investigadora integrada a la investigación matemática mundial, con la

preocupación por difundir los productos de este esfuerzo por todo el tejido social, comenzando por los

propios cursos a cargo de estos mismos investigadores.

145

1.3 Actualización de contenidos en la ANEP Las ideas matemáticas que circulan en el ambiente ANEP

tienen una impronta decimonónica. Más allá de la aritmética básica de los años escolares, aportan pocos

elementos para interpretar el mundo en que vivimos, no ayudan a formarse una idea adecuada de lo que es

hoy la disciplina, ni cumplen correctamente su función propedéutica para estudios posteriores. El sistema

ha perdido el norte, le cuesta incorporar innovaciones imprescindibles, y justificar el por qué de la

inclusión de de muchos temas que ocupan hoy mucho tiempo y esfuerzo. Los estudiantes

predominantemente viven la Matemática como un ejercicio formal regido por reglas arbitrarias y

desconectado del resto de su experiencia. Estos hechos se reflejan en los resultados de pruebas

internacionales estandarizadas, de los diagnósticos que la Universidad hace de los estudiantes ingresantes,

de las expresiones de los estudiantes y de la visión que de la Matemática flota en el ambiente.

Es alentador ver que una parte importante del CUREM se dedicó a presentar resultados de grafos. Pero es

un signo precupante que para trabajar sobre estos temas no haya acercamientos a los investigadores en

Matemática e Informática que en Uruguay trabajan sobre estas temáticas. Es loable incorporar

especialistas de otros países a la consideración de los problemas de la educación en en nuestro país, pero

no tenemos por qué esperar a que en todo el mundo se acepte el interés de un nuevo tema para recién

después empezar a ver que hacemos con él. El atraso del país en difundir en el conjunto del sistema

educativo una visión actualizada, correcta y pertinente de los temas de Probabilidad y Estadística es

alarmante. Sin embargo la comunidad científica local contribuye permanentemente al conocimiento

mundial con resultados nuevos en esta área. Las matemáticas vinculadas a la informática, entre ellas todo

lo relacionado con teoría de grafos, están muy mal representadas en el currículo matemático fuera de las

carreras de informática. En una de las charlas de este mismo CUREM se presentaron interesantes

resultados del Análisis Armónico. Pero la versión discreta del Análisis Armónico, esencial para los

sistemas de comunicaciones digitales y conceptualmente más simple, brilla por su ausencia. En parte

porque el ambiente matemático de la ANEP comprende poco y mal el papel que en la actualidad tienen el

álgebra Lineal y el cálculo matricial.

En mi opinión, hay un denominador común que explica todos estos hechos: cuando promediabal el siglo

XX el país colocó en instituciones diferentes a la formación docente y a los colectivos de investigadores

que desarrollan y aplican nuevas ideas en las fronteras del conocimiento humano. No se tejieron vasos

comunicantes entre esas instituciones. En el área de la Educación Matemática el aislamiento es realmente

grave, el conocimiento de la Matemática en el mundo de la ANEP esencialmente se estancó, la institución

se volvió autoreferenciada y endogámica, y el consecuente empobrecimiento de la cultura matemática

dentro de esta institución se propagó al conjunto de la sociedad.

2 Uniendo los pedazos

El país enfrenta problemas graves en el terreno de la Educación Matemática, con repercusiones

en todo el tejido social: faltan personas capacitadas en áreas científico-tecnológicas, los jóvenes hacen

opciones en función de su aversión a la Matemática, los ciudadanos se ven desprovistos de ideas y

herramientas que deberían integrarse a sus recursos intelectuales y estar a su disposición.

Urge actuar, sumando todos los recursos humanos capacitados que el país tiene. Incluso

146

recurriendo a la colaboración con académicos extranjeros, porque los colectivos calificados con los que el

país cuenta son pequeños. La comunidad matemática uruguaya no es numerosa ni siquiera en términos

relativos, la investigación en didáctica de la Matemática es apenas incipiente, las personas con formación

de doctorado con las que el país cuenta en áreas de educación se cuentan con los dedos de una mano. Son

todos indicadores de una debilidad que se acentúa cuando de la consideración de los problemas se

excluye a colectivos enteros de manera arbitraria.

Es posible entenderse y comunicarse. Pero para conseguirlo hay que crear espacios permanentes

de trabajo y habilitar a que los distintos actores aprendan sobre los aspectos que desconocen de los

problemas, para que puedan aportar sobre los que sí conocen.

Es imprescindible que el país incorpore sistemáticamente a matemáticos a la consideración de las

grandes cuestiones de orientación de la Educación Matemática, y a la formación de docentes para todos

los niveles. No bastan las consultas aisladas, ni una mañana dedicada a discutir algún aspecto particular

de un plan de estudios, ni participar en forma marginal de una comisión cuyo trabajo presumiblemente

será desoído. Es difícil aterrizar un día sobre los problemas educativos, que son complejos, y aportar algo

valioso. Tanto para transmitir lo que un científico sí sabe, como para aprender a dialogar acerca de lo que

no sabe, es importante la existencia de ámbitos institucionales permanentes y de jerarquía.

Es imprescindible que la Universidad acepte que los problemas de la Educación Matemática son

diferentes a los de definir correctamente los contenidos de la enseñanza, y que no basta con contar con

investigadores en la disciplina para resolverlos.

La Educación Matemática debe estar sostenida por un tejido que conecte la investigación en

Matemática, sus aplicaciones, la formación de profesionales en todas las orientaciones, la educación en

secundaria y primaria, y preste atención a los problemas específicos de los aprendizajes y la integración

de los niños y jóvenes con mayor vulnerabilidad. Quienes hemos hecho una opción por dedicarnos a ella

somos depositarios de un riquísimo legado construido laboriosamente por la humanidad en su conjunto,

que tiene una larga tradición y que sigue vivio. Una herencia que sólo puede ser honrada poniéndola a

disposición de los más jóvenes como parte del bagaje al que pueden recurrir para construir su destino.

Al terminar estas líneas viene a mi memoria una vieja canción de Silvio Rodríguez: la fábula de

los tres hermanos que intentaron caminar en solitario por el bosque. Uno de ellos caminó atento a lo que

iba a pisar, hasta que su mirada se volvió incapaz de saber hacia dónde dirigir los pasos; otro eligió fijar

su pupila en el horizonte, pero fue víctima de todos los obstáculos que encontraron sus pies; el tercero

puso un ojo en el suelo y otro en el cielo, pero su mirada extraviada no le trajo mejor suerte.

En los complejos mundos de la educación y de la vida nada está garantizado, pero tal vez

habrían llegado a buen puerto si hubieran emprendido el camino juntos.

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Cristina Ochoviet

Ser profesor de futuros profesores

Itinerario

Realizaré una breve reseña de las prácticas docentes en el nivel universitario. Explicaré por qué sitúo mi atención en las prácticas docentes. Describiré cuáles son las prácticas que actualmente se recomiendan en la formación docente.

“[…] la imagen que los profesores en formación poseían de sí mismos como profesores tenía mucho que ver con su propia imagen como alumnos. Los alumnos en prácticas desarrollan sus creencias hacia los alumnos a partir de sus propias experiencias como estudiantes, asumiendo que los alumnos poseen los mismos estilos de aprendizaje, aptitudes, intereses y problemas que el propio profesor en prácticas”.

Marcelo (1994) “Si los profesores en formación toman como referencia, positiva o negativa, para la enseñanza de las ciencias, a los profesores que han tenido a lo largo de su etapa escolar, es fundamental que la metodología utilizada durante la formación inicial sea consistente con los modelos teóricos que propugnan. En caso contrario, los estudiantes para profesores aprenderán más de lo que ven hacer en clase, que de lo que se les recomienda hacer”.

Mellado (1996) “Los futuros docentes de matemática deben ser enseñados en forma parecida a como ellos habrán de enseñar”.

NCTM (1991) “El programa de formación debe capacitar a los futuros profesores para que puedan llegar a caracterizar, en su práctica futura, una nueva cultura matemática escolar, diferente de la que proceden como aprendices. Esto lleva como consecuencia la necesidad de definir nuevas prácticas sociales alternativas en las aulas de los programas de formación”.

García et al. (1994) “No se debe, por ejemplo, dar un curso de Álgebra Lineal o de Cálculo Infinitesimal para futuros profesores, de igual manera que para licenciados en matemática, ingenieros o economistas. La enseñanza en el profesorado debe ser coherente, salvando los niveles y la extensión de los temas, con la que los alumnos, futuros profesores, deberán luego impartir a sus alumnos”.

Santaló (1994) La formación de los futuros docentes debería articular la construcción de saberes académicos relativos al conocimiento a enseñar, con metodologías apropiadas de enseñanza. A este respecto, se hace necesario desarrollar investigaciones que tengan como objetivo el diseño de ambientes de aprendizaje que permitan el desarrollo de los contenidos de los programas de formación docente y una actividad del formador que sea más coherente con las recomendaciones actuales. “Alentar a los futuros docentes a ver la enseñanza de la matemática en forma diferente a como alguna vez la aprendieron, a como la mayoría de sus profesores posiblemente la hayan aprendido, a como otros docentes en sus futuras clases pudieran enseñarla, es un gran desafío para la formación docente”.

Nicol (1999) Bibliografía • _Blanco, L. (1996). Aprender a enseñar Matemáticas. Tipos de conocimientos. En Giménez, J.; Llinares, S.; y Sánchez, M.V. (eds.): El proceso de llegar a ser un profesor de primaria. Cuestiones desde la educación matemática. Granada. 199-221. • _Blanco, L. y Borrallho, A. (1999). Aportaciones a la formación del profesorado desde la investigación en educación matemática. En Contreras, L.C. y Climent, N. La formación de profesores de matemáticas. Estado de la cuestión y líneas generales. Universidad de Huelva. 131-174. • _Cammaroto, A.; Martins, F. y Palella, S. (2003). Análisis de las estrategias instruccionales empleadas por los profesores del área de matemática. Investigación y Postgrado, 18 (1), 203-229.

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• _Furió, C. (1994). Tendencias actuales en la formación del profesorado de ciencias. Enseñanza de las ciencias, 12 (2), 188-199. • _García, M., Escudero, I., Llinares, S. y Sánchez, V. (1994). Aprender a enseñar matemáticas. Una experiencia en la formación matemática de los profesores de Primaria. Epsilon, 30, 11-26. • _Marcelo, C. (1994). Investigaciones sobre prácticas en los últimos años: qué nos aportan para la mejora cualitativa de las prácticas. Ponencia presentada al III Symposium Internacional sobre Prácticas Escolares, Poio. • _Mellado, V. (1996). Concepciones y prácticas de aula de profesores de ciencias, en formación inicial de primaria y secundaria. Enseñanza de las ciencias, 14 (3), 289-302. • _Mellado, V. (1999). La formación didáctica del profesorado universitario de ciencias experimentales. Revista Interuniversitaria de Formación del Profesorado, 34, 231-241. • National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (1990). Estándares curriculares y de avaluación pra la educación matemática. Sevilla: SAEM Thales. • _Nicol, C. (1999). Learning to teach mathematics: questioning, listening, and responding? Educational Studies in Mathematics, 37, 45-66. • Santaló, L. y colaboradores. (1994). Enfoques. Hacia una didáctica humanista de la matemática. Buenos Aires: Troquel Educación.

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Lilián Muñoz presentando un texto elaborado por la Inspección de Matemática de Secundaria

El desafío de enseñar y aprender matemática hoy Los desafíos que presenta la enseñanza de la matemática a nivel de secundaria son tantos, que no es tarea fácil resumirlos en unas páginas. La Educación Secundaria aparece hoy como la responsable de muchos problemas. Y dentro de ella los profesores de matemática son los malos de la película. Alumnos, padres, medios de comunicación los critican porque enseñan poco o exigen mucho, porque los estudiantes no salen preparados para trabajar. O no les va bien en la Universidad. El desafío está enmarcado en uno mucho mayor: concebir una nueva visión de las instituciones educativas y de las propuestas didácticas para dar respuesta a las necesidades de los alumnos y a los desafíos de calidad y equidad educativa. Etapa especial de la vida: adolescencia En primer lugar recordemos que en la E. Secundaria, los alumnos son adolescentes, etapa especial de la vida donde se dan grandes cambios físicos, psíquicos, emocionales. Época de pensar en el futuro, que en este mundo cambiante es incierto. No siempre hay vocaciones definidas, en muchos casos deben empezar a trabajar, en forma zafral o permanente. Es necesario apoyarlos, cuidar su autoestima. En fin, el objetivo es lograr el pleno desarrollo físico, psíquico, ético, intelectual y social de todos los jóvenes sin discriminación alguna. Ley general de Educación, Nº 18.413. Obligatoriedad de la Enseñanza Secundaria Básica y superior. Las metas de la Educación Secundaria, en primera instancia, fueron definidas en función de las demandas de la educación superior, como un período de preparación y selección para el acceso a la Universidad, más que como una etapa con fines formativos en sí misma. Hoy la educación está orientada a la búsqueda de una vida armónica e integrada, a través del trabajo, la cultura, el entretenimiento, el cuidado de la salud, el respeto al medio ambiente y el ejercicio responsable de la ciudadanía. Situación actual. Tomemos unos pocos datos, muy significativos, al momento de ver cuál es la situación actual, respecto de lo expresado por la Ley general de Educación: -La tasa de repetición en primer año de Ciclo Básico es el 41,7% -De los estudiantes que comienzan Bachillerato en un liceo público, lo termina el 30%. -En el quintil superior de ingresos, culmina Educación Secundaria el 70% de los estudiantes. -En el quintil más pobre, el 7,8%. La repitencia y deserción son hoy un problema muy grave. Estamos muy lejos de la Educación Secundaria para todos. Una Matemática para todos. Debemos pensar una matemática para todos, con esta realidad que enfrentamos, con matices según los liceos: -Segmentarización social. -Diferentes niveles al ingreso. Al ingresar a primer año, los conocimientos disponibles de los distintos estudiantes son muy distintos. -las expectativas de egreso son muy dispares: formación terciaria, trabajo, Formación Técnico Profesional. -Muchos estudiantes trabajan Es desconocer la realidad del país olvidar que muchos estudiantes trabajan, o buscan trabajo, o cuidan familiares, o realizan trabajos zafrales que les impiden concurrir a clase en forma periódica.

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-Hay falta de motivación e interés en muchos estudiantes, que no ven la utilidad de asistir a clases, no tienen interés en lo que se les brinda en las instituciones, o no están dispuestos a realizar el esfuerzo que conlleva asistir y estudiar. -Se visualiza cierta desvalorización de la Enseñanza Media. Los padres no dudan que sus hijos deben asistir a Educación Primaria, pero en ciertos ámbitos no se ve necesaria la Educación Secundaria. -Cultura del zapping. En nuestra cultura del zapping, estar sentados 45 minutos de clase, atendiendo, concentrados, no resulta fácil. Fijar nuevas metas de la educación matemática. Todo lo visto anteriormente, nos lleva a pensar sobre cuáles deben ser las nuevas metas de la educación matemática, acordes a la realidad que vivimos, para lograr una educación de calidad para todos. En primer lugar, las metas deben ser mucho más amplias que la trasmisión del “conocimiento ya pronto”. Más que la repetición de contenidos, buscar competencias matemáticas que se desarrollarán a través de contenidos. La finalidad debería ser la formación de competencias. Debemos revalorizar la formación para el trabajo. En varias oportunidades se considera la posibilidad de bajar las exigencias intelectuales y enseñar solamente reglas. Pero de esta manera se desvirtúa el propio espíritu de la enseñanza de la Matemática. Si pensamos que los estudiantes no pueden y se bajan las exigencias del trabajo intelectual, se produce un vacío de sentido. Esto, lejos de ser más inclusivo, termina siendo expulsivo. Es necesario desafiar al alumno con situaciones que vea como complejas, pero posibles de resolver, que lo inviten a pensar, a explorar. Estimularlos a experimentar, resolver, discutir, escuchar. No debemos olvidar el valor formativo de las capacidades lógico-deuctivas y que a su vez les permiten seguir aprendiendo en forma autónoma. No solamente para el trabajo en matemática, es muy importante su transferencia a situaciones que desarrollan y enriquecen a las personas en su vida cotidiana Repensar la Educación matemática. Buscar el sentido es un proyecto didáctico. El sentido que tenía la educación matemática en secundaria estaba muy basado en la comunicación de de mecanismos aislados que algún día iban a ser útiles para tratar problemas en serio. Esto ya no satisface a nadie Hoy los profesores aparecen tironeando a los estudiantes para llevarlos donde ellos no parecen querer ir. Debemos lograr un ámbito donde se aprenda a disfrutar de la cultura, lograr un modo de trabajo más placentero, más satisfactorio. Esto debe ser un proyecto de los docentes y es sobre todo un proyecto didáctico. Es necesario enseñar a aprender. Con los cambios tan rápidos en los conocimientos y en las necesidades de los distintos trabajos, en realidad no sabemos qué conocimientos serán útiles dentro de diez años. No hay que olvidar las necesidades de la matemática en la vida cotidiana: visualización, coordinación con otras disciplinas, resolución de problemas. Es muy importante trabajar con la modelización. Esto implica tomar una problemática, recortarla frente a la realidad compleja, identificar variables, relacionarlas, transformar esas relaciones produciendo conocimientos nuevos sobre esa problemática. En general esto se reserva para situaciones no matemáticas, pero Chevallard reivindica la modelización intramatemática. La coordinación entre las distintas etapas educativas, es un trabajo que nos debemos desde siempre y que deberíamos encarar ya. Competencias Matemáticas. A partir de todas las ideas comentadas, nos planteamos ¿cuáles serían las competencias básicas que debería desarrollar un estudiante de nivel secundario? Proponemos: .Comunicar ideas matemáticas en lenguaje natural y simbólico matemático. La comunicación es básica en la vida, no sólo en matemática. Tenemos la posibilidad de ejercitar una expresión precisa, correcta, exigir el lenguaje adecuado y el pasaje entre las distintas formas de expresión .Adquirir conceptos y propiedades. Trabajar en el proceso de adquisición de conceptos, con una adecuada aproximación a ellos, con ejemplos, contraejemplos, formando una rica imagen conceptual, para luego llegar a la definición o al enunciado de propiedades. Tener presente que dar una definición, no es en general, la forma más adecuada de introducir conceptos. .Ejecutar algoritmos justificados matemáticamente. No deben aparecer recetas que se repiten hasta el cansancio y que por otra parte, se olvidan rápidamente.

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.Resolver problemas. Esto implica una lectura atenta, selección de datos, incógnitas, figuras de análisis si corresponde, buscar caminos, recorrerlos, discutir la pertinencia de resultados. En fin, ya Polya nos habló mucho al respecto. Revisar los caminos recorridos, comunicarlos, discutirlos. La resolución de problemas contextualizados o intramatemáticos debe resultar un desafío que incentive el desarrollo de la inteligencia lógico-deductiva. Para finalizar… Nuestro reconocimiento al trabajo de los docentes, que enfrentan estos desafíos todos los días, estudian reflexionan sobre sus prácticas, muchas veces en condiciones adversas, con poco reconocimiento y muchas críticas. A los organizadores, ponentes y asistentes a este segundo CUREM. Todos colaboran con el desarrollo profesional de los docentes, compartiendo, aprendiendo, siendo solidarios. Y muy especialmente… A la madrina de este segundo CUREM, Profesora maría Vázquez, ya que gracias a ella, a su trabajo incansable, a su entusiasmo contagioso, a su amor por la didáctica, a su entrega, muchos de nosotros estamos hoy acá, en este encuentro. GRACIAS MARITA

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