ANÁLISIS DE DECISIONES

METODO SIMPLEX

Asesora: Susana Gabriela Morales Vargas Presentan:Claudia Pérez OropezaLaura Lizeth Hernández JiménezJavier Hernández Palacios

METODO SIMPLEX El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones).

Partiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor anterior. Como se verá en el método grafico, dichos puntos son los vértices del polígono (o poliedro o polícoro, si el número de variables es mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema (llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista región factible, como su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la cual el valor de Z aumenta.

Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo el más común el método de las Dos Fases.

Problema

En una fabrica de faros se producen dos tipos de ellos, las de tipo normal valen $8 y las halógenas valen $2. la producción esta limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día mas de 227 normales y 235 halógenas; y el total de faros debe estar entre 159 y 238 faros. Si se vende toda la producción, ¿Cuántos de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación?

Desarrollaremos un problema por el método simplex para su mejor comprensión.

Los pasos son los siguientes:

1.- Obtener la forma estándar del modelo

2.- Crear la tabla estándar

3.- Generar la solución básica de inicio

4.- Elegir la variable que entra a la base

5.- Elegir la variable que sale de la base

6.- Generar una nueva solución básica mejorada

7.- Repetir el diagnostico desde paso 4 hasta terminar

Para conocer el desarrollo de los pasos 4 hasta el 6 es necesario lo siguiente:

En el paso 4, para elegir la variable que entra a la base en el caso de maximizar, entrara la variable mas negativa del renglón Z, de manera parecida en el caso de minimizar entrara la variable mas positiva del renglón Z.

En el paso 5, se necesita saber cual es la variable que sale de la base, por lo cual dicha variable será la que tiene el valor solución menor positivo expresado de la siguiente manera:

La solución de la variable básica es dividida entre el coeficiente de la variable que se encuentra en la columna de la variable entrante.

En el paso 6, para poder generar una nueva solución básica mejorada se generara un 1 en la columna de la variable que entra y en el renglón de la variable que sale, el cual nos servirá como pivote.

Una vez identificadas las restricciones activas mediante el método grafico se puede establecer el modelo correspondiente para solucionar el problema lineal

Restricciones Activas

El método simplex se basa en la solución de un sistema de ecuaciones.

Se deben convertir las restricciones funcionales de desigualdad en restricciones de igualdad equivalentes para obtener la forma estándar del modelo. Esta conversión se logra con la introducción de una nueva variable llamada variable de holgura. La variable de holgura se expresa de la siguiente manera:

En este caso las restricciones factibles son de la forma < = al convertir la desigualdad en igualdad solo agregamos una variable de holgura para poder equilibrar dicha función. Al introducir variables de holgura en las restricciones originales, el modelo original se puede sustituir por un modelo equivalente, llamado forma aumentada del modelo, se llama así por que la forma original se aumento con algunas variables suplementarias necesarias para poder aplicar el método simplex.

En este paso se generara la tabla estándar, una vez ya determinada la forma aumentada del modelo, lo siguiente consiste en colocar cada uno de los valores de las variables correspondientes de la función objetivo y las restricciones en una tabla.

Posteriormente la función objetivo se iguala a 0 para poder determinar los valores que se le asignaran a Z en la tabla estándar de la siguiente manera:

Los valores correspondientes a los holguros se les asignara las variables H1 y H2.

Una vez llenada la tabla estándar con los valores del modelo se determina la función básica de inicio, es decir crear base, por lo cual en la columna básica se debe tener asignadas las variables que nos están generando base. Esto quiere decir que generan en la tabla la matriz identidad, es decir pivotes de no ser así corresponderá generar base cumpliendo con los requerimientos anteriormente descritos.

Posteriormente se determina la variable básica entrante. En este caso de maximizar corresponderá a la variable que tenga el valor mas negativo en el renglón Z. Una vez ya identificada la variable entrante se determina la variable básica que sale.

Para poder identificar la variable básica que sale:

Se deben elegir los coeficientes de la columna de la variable entrante que son estrictamente positivos. Ya teniéndolos elegidos dividimos el valor solución entre cada uno de los coeficientes de la variable entrante, identificando así el renglón que tenga el valor menor positivo en el cual la variable básica de ese renglón es la variable candidata a salir donde posteriormente se debe generar un 1, el cual servirá como pivote para encontrar la nueva solución mejorada.

Posteriormente se generan 0 en las columnas alternas al renglón pivote, esto se establece de la siguiente manera: Se utilizara el pivote generado en la variable que sale de la base. Debemos encontrar un numero que multiplicado por ese pivote y sumado a la variable nos genere un entero

En la imagen se representa la variable pivote esta representada en H1, por lo cual en esa columna Z y H2 deben ser 0. convirtiéndolos como se establece en la imagen. Obteniendo así una nueva solución básica mejorada. Si el problema se vuelve a presentar un valor mas negativo en Z se vuelven a repetir los paso 4 y 5 hasta que ya nadie entre en la base para obtener la correcta solución optima.

Cuando ya nadie entra a la base esto quiere decir que en el renglón de Z ya no existe un numero mas negativo por lo cual se ha llegado a la solución optima encontrando el valor máximo de Z y los valores de las variables de decisión. Dichos valores corresponden a las variables que se encuentran en la columna básica, en este caso es X1 y X2, los cuales se sustituyen en la función objetivo original para comprobar que las cantidades asignadas a las variables si satisfacen la igualdad, es decir el valor solución correspondiente en el renglón de Z.

Dando como resultado la cantidad de faros normales y halógenos que se deben producir para obtener la máxima facturación.