Abreu- El Arte de La Conjetura de Bernoulli

300 años de El arte de la conjetura de Jacob Bernoulli

Víctor M. Pérez Abreu C.CIMAT, Guanajuato

II Congreso de Actuarios de la UNAM

24 de enero del 2013

(II Congreso de Actuarios de la UNAM) 2013 Año Internacional de la Estadística 24 de enero del 2013 1 / 20

300 años de El arte de la conjetura de Jacob BernoulliObjetivos de la conferencia

I. Contexto

II. Contenido de la obra

III. Lo que no se conoce a priori se conoce a posteriori.

IV. Conceptos de Estadística y Probabilidad en la obra

V. Impacto

VI. 2013 Año Internacional de la Estadística

VII. Lecturas sugeridas(II Congreso de Actuarios de la UNAM) 2013 Año Internacional de la Estadística 24 de enero del 2013 2 / 20

I. El arte de la conjeturaContexto

Jacob Bernoulli (1655-1705).

1713: Publicación post mortem (Nicolas Bernoulli, 1687-1769)(Nicolas I, 1687-1759).

1654: Cartas entre Pascal (1623-1662) y Fermat (1601-1662).

Libro de Christiaan Huygens (1629-1695).

Meditaciones Matemáticas de Jacob Bernoulli (1677-1705).

Ars cogitandi (1662), Libro 4: Decisiones bajo incertidumbre poranalogía con juegos de azar.

1687-1705: Cartas entre Leibniz (1646-1716) y Jacob Bernoulli.

1709: Di Use of Artis Conjectandi in Jure, Nicolas I Bernoulli.

Correspondencia entre Montmort, de Moivre y Nicolas I y sus libros.

Siglo XVII: Decisiones religiosas y políticas basadas en dogmas eintolerancia.

I. El arte de la conjeturaContexto, Jacob Bernoulli

Estudio filosofía y teología en la Universidad de Basel.

Contribuciones en astronomía: cometa KirchCráter de luna Bernoulli en honor a Jacob y su hermano Johann.Matemáticas: combinatoria, teoría de números, cálculo infinitesimal,isoperimetría, geometría analítica, cálculo de variaciones.¿Por qué estudió Jacob la incertidumbre?Etapas de estudio y preparación de El arte de la conjetura

1684-1685: Problemas de juegos de azar propuestos por Huygens.1685-1686: Probabilidades no son conocidas a priori, tienen que serdeterminadas a posteriori.1687-1689: Cálculo de probabilidades.

1690-1705: ¿Falta de un ejemplo convincente?

Datos de anualidades Johan de Witt (1625-1672).

¿Había condiciones para entender una idea revolucionaria paradesarrollar un método para describir y entender laincertidumbre?

Estudio filosofía y teología en la Universidad de Basel.Contribuciones en astronomía: cometa Kirch

Cráter de luna Bernoulli en honor a Jacob y su hermano Johann.Matemáticas: combinatoria, teoría de números, cálculo infinitesimal,isoperimetría, geometría analítica, cálculo de variaciones.¿Por qué estudió Jacob la incertidumbre?Etapas de estudio y preparación de El arte de la conjetura

Estudio filosofía y teología en la Universidad de Basel.Contribuciones en astronomía: cometa KirchCráter de luna Bernoulli en honor a Jacob y su hermano Johann.

Matemáticas: combinatoria, teoría de números, cálculo infinitesimal,isoperimetría, geometría analítica, cálculo de variaciones.¿Por qué estudió Jacob la incertidumbre?Etapas de estudio y preparación de El arte de la conjetura

Estudio filosofía y teología en la Universidad de Basel.Contribuciones en astronomía: cometa KirchCráter de luna Bernoulli en honor a Jacob y su hermano Johann.Matemáticas: combinatoria, teoría de números, cálculo infinitesimal,isoperimetría, geometría analítica, cálculo de variaciones.

¿Por qué estudió Jacob la incertidumbre?Etapas de estudio y preparación de El arte de la conjetura

Estudio filosofía y teología en la Universidad de Basel.Contribuciones en astronomía: cometa KirchCráter de luna Bernoulli en honor a Jacob y su hermano Johann.Matemáticas: combinatoria, teoría de números, cálculo infinitesimal,isoperimetría, geometría analítica, cálculo de variaciones.¿Por qué estudió Jacob la incertidumbre?

Etapas de estudio y preparación de El arte de la conjetura

Estudio filosofía y teología en la Universidad de Basel.Contribuciones en astronomía: cometa KirchCráter de luna Bernoulli en honor a Jacob y su hermano Johann.Matemáticas: combinatoria, teoría de números, cálculo infinitesimal,isoperimetría, geometría analítica, cálculo de variaciones.¿Por qué estudió Jacob la incertidumbre?Etapas de estudio y preparación de El arte de la conjetura

1684-1685: Problemas de juegos de azar propuestos por Huygens.

1685-1686: Probabilidades no son conocidas a priori, tienen que serdeterminadas a posteriori.1687-1689: Cálculo de probabilidades.

1684-1685: Problemas de juegos de azar propuestos por Huygens.1685-1686: Probabilidades no son conocidas a priori, tienen que serdeterminadas a posteriori.

1687-1689: Cálculo de probabilidades.

1690-1705: ¿Falta de un ejemplo convincente?Datos de anualidades Johan de Witt (1625-1672).

II. Contenido de El arte de la conjeturaCinco partes

1 Comentarios a trabajos de Huygens sobre juegos de azar.

Estudio de 14 juegos de azar.Solución a cinco problemas nuevos de Huygens.Cálculo de valores esperado

(Ganancia esperada) > c(Perdida esperada)

Distribución binomial.2 Combinatoria

Triangulo de PascalPermutaciones y combinacionesNúmeros de Bernoulli, sumas de potencias de enteros.

3 24 nuevos juegos de azar

Ap. Series infinitas: Funciones theta∞

∑n=0

mn(n+3)/2.

1 Comentarios a trabajos de Huygens sobre juegos de azar.Estudio de 14 juegos de azar.

Solución a cinco problemas nuevos de Huygens.Cálculo de valores esperado

∑n=0

mn(n+3)/2.

1 Comentarios a trabajos de Huygens sobre juegos de azar.Estudio de 14 juegos de azar.Solución a cinco problemas nuevos de Huygens.

Cálculo de valores esperado

∑n=0

mn(n+3)/2.

1 Comentarios a trabajos de Huygens sobre juegos de azar.Estudio de 14 juegos de azar.Solución a cinco problemas nuevos de Huygens.Cálculo de valores esperado

∑n=0

mn(n+3)/2.

Distribución binomial.

2 Combinatoria

∑n=0

mn(n+3)/2.

∑n=0

mn(n+3)/2.

Triangulo de Pascal

Permutaciones y combinacionesNúmeros de Bernoulli, sumas de potencias de enteros.

∑n=0

mn(n+3)/2.

Triangulo de PascalPermutaciones y combinaciones

Números de Bernoulli, sumas de potencias de enteros.3 24 nuevos juegos de azar

∑n=0

mn(n+3)/2.

∑n=0

mn(n+3)/2.

∑n=0

mn(n+3)/2.

∑n=0

mn(n+3)/2.

II. Contenido de El arte de la conjeturaCuarta parte: Lo que no se conoce a priori se puede predecir a posteriori

Título: Uso y aplicaciones de los resultados anteriores en asuntosciviles, morales y económicos.

JaB: "Es bien conocido que la frecuencia relativa de un evento estarámás cerca a la verdad si tenemos más observaciones". (Cardano

(1501-1576)).

JaB: "Este problema lo he pensado durante 20 años."

JaB: "Su novedad y utilidad son tan importantes como su grandificultad, excediendo la de las otras partes del trabajo."

(1501-1576)).

III. Resultado principal en Parte 4Usando notación moderna

En juegos de azar se conocen # casos posibles y # favorables

En procesos de la vida real el # casos posibles y # favorables estanocultos.Repetición sucesiva de un experimento aleatorio en el cual seconsidera la ocurrencia (fértil) o no ocurrencia (no fertil) de unevento. Probabilidad de ocurrencia en cada repetición delexperimento p : r y s números naturales

p = r/(r + s).

n # experimentos, Sn # éxitos, p̂n = Sn/n frecuencia relativa.ε = 1/(r + s).Resultado principal: Dado c > 0, se prescribe N ≥ 1 tal que

PN (|p̂N − p| ≤ ε) > cPN (|p̂N − p| > ε)

En juegos de azar se conocen # casos posibles y # favorablesEn procesos de la vida real el # casos posibles y # favorables estanocultos.

Repetición sucesiva de un experimento aleatorio en el cual seconsidera la ocurrencia (fértil) o no ocurrencia (no fertil) de unevento. Probabilidad de ocurrencia en cada repetición delexperimento p : r y s números naturales

p = r/(r + s).

PN (|p̂N − p| ≤ ε) > cPN (|p̂N − p| > ε)

En juegos de azar se conocen # casos posibles y # favorablesEn procesos de la vida real el # casos posibles y # favorables estanocultos.Repetición sucesiva de un experimento aleatorio en el cual seconsidera la ocurrencia (fértil) o no ocurrencia (no fertil) de unevento. Probabilidad de ocurrencia en cada repetición delexperimento p : r y s números naturales

p = r/(r + s).

PN (|p̂N − p| ≤ ε) > cPN (|p̂N − p| > ε)

p = r/(r + s).

n # experimentos, Sn # éxitos, p̂n = Sn/n frecuencia relativa.

ε = 1/(r + s).Resultado principal: Dado c > 0, se prescribe N ≥ 1 tal que

PN (|p̂N − p| ≤ ε) > cPN (|p̂N − p| > ε)

p = r/(r + s).

n # experimentos, Sn # éxitos, p̂n = Sn/n frecuencia relativa.ε = 1/(r + s).

Resultado principal: Dado c > 0, se prescribe N ≥ 1 tal que

PN (|p̂N − p| ≤ ε) > cPN (|p̂N − p| > ε)

p = r/(r + s).

PN (|p̂N − p| ≤ ε) > cPN (|p̂N − p| > ε)

III. Ultima página de la Parte 4Aspectos filosóficos

Dado c > 0, se prescribe N ≥ 1 tal que

(|p̂N − p| ≤

1s + r

)> cPN

(|p̂N − p| >

1s + r

r = 30, s = 20, t = r + s = 50cota superior (r + 1)/t = 31/50, cota inferior (r − 1)/t = 29/50c = 1000, N = 25500.Jacob: "Si se tomaran 25500 experimentos sería 1000 veces másposible (verosimil) que la razón del número de observaciones fértilesestuviera en el intervalo (29/50, 31/50) que fuera del intervalo."Continúa, "Si se tomara c como 10,000, se vería que sería más dediez mil veces más probable si hay 31,258 experimentos, y cien milveces mas probable si hay 36,966 experimentos, y así sucesivamentehasta infinito, o, agregando de manera continua a los 25, 550 otros5708 experimentos."

(|p̂N − p| ≤

1s + r

)> cPN

(|p̂N − p| >

1s + r

r = 30, s = 20, t = r + s = 50

cota superior (r + 1)/t = 31/50, cota inferior (r − 1)/t = 29/50c = 1000, N = 25500.Jacob: "Si se tomaran 25500 experimentos sería 1000 veces másposible (verosimil) que la razón del número de observaciones fértilesestuviera en el intervalo (29/50, 31/50) que fuera del intervalo."Continúa, "Si se tomara c como 10,000, se vería que sería más dediez mil veces más probable si hay 31,258 experimentos, y cien milveces mas probable si hay 36,966 experimentos, y así sucesivamentehasta infinito, o, agregando de manera continua a los 25, 550 otros5708 experimentos."

(|p̂N − p| ≤

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)> cPN

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1s + r

r = 30, s = 20, t = r + s = 50cota superior (r + 1)/t = 31/50, cota inferior (r − 1)/t = 29/50

c = 1000, N = 25500.Jacob: "Si se tomaran 25500 experimentos sería 1000 veces másposible (verosimil) que la razón del número de observaciones fértilesestuviera en el intervalo (29/50, 31/50) que fuera del intervalo."Continúa, "Si se tomara c como 10,000, se vería que sería más dediez mil veces más probable si hay 31,258 experimentos, y cien milveces mas probable si hay 36,966 experimentos, y así sucesivamentehasta infinito, o, agregando de manera continua a los 25, 550 otros5708 experimentos."

(|p̂N − p| ≤

1s + r

)> cPN

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r = 30, s = 20, t = r + s = 50cota superior (r + 1)/t = 31/50, cota inferior (r − 1)/t = 29/50c = 1000, N = 25500.

Jacob: "Si se tomaran 25500 experimentos sería 1000 veces másposible (verosimil) que la razón del número de observaciones fértilesestuviera en el intervalo (29/50, 31/50) que fuera del intervalo."Continúa, "Si se tomara c como 10,000, se vería que sería más dediez mil veces más probable si hay 31,258 experimentos, y cien milveces mas probable si hay 36,966 experimentos, y así sucesivamentehasta infinito, o, agregando de manera continua a los 25, 550 otros5708 experimentos."

(|p̂N − p| ≤

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r = 30, s = 20, t = r + s = 50cota superior (r + 1)/t = 31/50, cota inferior (r − 1)/t = 29/50c = 1000, N = 25500.Jacob: "Si se tomaran 25500 experimentos sería 1000 veces másposible (verosimil) que la razón del número de observaciones fértilesestuviera en el intervalo (29/50, 31/50) que fuera del intervalo."

Continúa, "Si se tomara c como 10,000, se vería que sería más dediez mil veces más probable si hay 31,258 experimentos, y cien milveces mas probable si hay 36,966 experimentos, y así sucesivamentehasta infinito, o, agregando de manera continua a los 25, 550 otros5708 experimentos."

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r = 30, s = 20, t = r + s = 50cota superior (r + 1)/t = 31/50, cota inferior (r − 1)/t = 29/50c = 1000, N = 25500.Jacob: "Si se tomaran 25500 experimentos sería 1000 veces másposible (verosimil) que la razón del número de observaciones fértilesestuviera en el intervalo (29/50, 31/50) que fuera del intervalo."Continúa, "Si se tomara c como 10,000, se vería que sería más dediez mil veces más probable si hay 31,258 experimentos, y cien milveces mas probable si hay 36,966 experimentos, y así sucesivamentehasta infinito, o, agregando de manera continua a los 25, 550 otros5708 experimentos."

III. Aspectos filosóficosMutante y permanente vuelvo a resurgir siendo el mismo

(|p̂N − p| ≤

1s + r

)> cPN

(|p̂N − p| >

1s + r

Prosigue..."Se sigue de este resultado extraordinario que si secontinuaran las observaciones de este experimento por toda laeternidad (con la probabildad finalmente transformada en certitumbreperfecta), entonces todo en el mundo sería observar lo que ocurre enrazones fijas y con una ley constante de alteración."

Finaliza...."No se si Platón quería o no decir este resultado en sudogma.....todo regresa a su estado original."

Preguntas:

¿Pensaba Jacob en predicción del futuro?¿Le preocupaba a Jacob Bernoulli el tamaño de muestra?

(|p̂N − p| ≤

1s + r

)> cPN

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1s + r

Preguntas:

(|p̂N − p| ≤

1s + r

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Preguntas:

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Preguntas:

(|p̂N − p| ≤

1s + r

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1s + r

Preguntas:

¿Pensaba Jacob en predicción del futuro?

¿Le preocupaba a Jacob Bernoulli el tamaño de muestra?

(|p̂N − p| ≤

1s + r

)> cPN

(|p̂N − p| >

1s + r

Preguntas:

IV. Probabilidad y Estadística en la obra

Dado c > 0, se prescribe N ≥ 1 tal quePN (|p̂N − p| ≤ ε) > cPN (|p̂N − p| > ε) .

Ley de los grandes números: Dado c > 0, existe N ≥ 1 y

PN (|p̂N − p| > ε) <1

Probabilidad clásica:

Pn , y p son racionales.Número de casos favorables entre número de casos posibles.

Estimación de probabilidades:

Frecuencia relativa p̂n aproxima al verdadero valor p cuando no esposible conocer todos los casos posibles.

Convergencia en probabilidad:

Forma de aproximación

Pn (|p̂n − p| > ε)→ 0, n→ ∞.

Estimador consistente

PN (|p̂N − p| > ε) <1

Pn (|p̂n − p| > ε)→ 0, n→ ∞.

PN (|p̂N − p| > ε) <1

Pn (|p̂n − p| > ε)→ 0, n→ ∞.

PN (|p̂N − p| > ε) <1

Probabilidad clásica:Pn , y p son racionales.

Número de casos favorables entre número de casos posibles.

Pn (|p̂n − p| > ε)→ 0, n→ ∞.

PN (|p̂N − p| > ε) <1

Probabilidad clásica:Pn , y p son racionales.Número de casos favorables entre número de casos posibles.

Pn (|p̂n − p| > ε)→ 0, n→ ∞.

PN (|p̂N − p| > ε) <1

Pn (|p̂n − p| > ε)→ 0, n→ ∞.

PN (|p̂N − p| > ε) <1

Estimación de probabilidades:Frecuencia relativa p̂n aproxima al verdadero valor p cuando no esposible conocer todos los casos posibles.

Pn (|p̂n − p| > ε)→ 0, n→ ∞.

PN (|p̂N − p| > ε) <1

Pn (|p̂n − p| > ε)→ 0, n→ ∞.

PN (|p̂N − p| > ε) <1

Convergencia en probabilidad:Forma de aproximación

Pn (|p̂n − p| > ε)→ 0, n→ ∞.

PN (|p̂N − p| > ε) <1

Convergencia en probabilidad:Forma de aproximación

Pn (|p̂n − p| > ε)→ 0, n→ ∞.

Estimador consistente(II Congreso de Actuarios de la UNAM) 2013 Año Internacional de la Estadística 24 de enero del 2013 10 / 20

IV. Rigor y tamaño de muestra

Demostración:

Alto rigor: 5 lemas y "el límite"

1821: Argumentos δ− ε, Cauchy (1789-1857).

¿Qué tan grande debe ser el tamaño de muestra n?:

Cota superior para la probabilidad es muy grande.