AAbstracta 1 2015-2tex
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I Gua de `gebra Abstracta Departamento de MatemÆticas UCN March 18, 2015 1. Sea G un grupo. Denir el centro de G como el conjunto Z (G)= fa 2 G : ax = xa, para todo x 2 Gg : Muestre que Z (G) es un subgrupo abeliano de G. (a) Muestre que G abeliano si y solo si Z (G)= G: 2. Sea a 2 G, el centralizador de a es el conjunto denido por C (a)= fx 2 G : ax = xag : (a) Muestre que C (a) es un subgrupo de G: (b) Muestre que el subgrupo cclico generado por a, hai = fa n : n 2 Zg es un subgrupo de C (a). 3. Sea f : I J ! G aplicacin a un monoide G, la cual toma el valor e en casi todo par (i; j ). Demuestre que Q j Q i f (i; j ) = Q i Q j f (i; j ) ! : 4. Sea G un conjunto con una ley de composicin asociativa, si e un elemento unidad por la derecha para la ley de composicin y suponga que cada elemento tiene un inverso por la derecha. Pruebe que e es un elemento unidad y que cada inverso por la derecha lo es tambiØn por la izquierda. 5. Sea G = GL n (C), el conjunto de matrices inveribles de n n con entradas complejas. Sean A; B 2 M n (C) tales que AB = I n . Pruebe que BA = I n . 6. Sea K un subgrupo de un grupo G, sea a 2 G: Pruebe que Ka = K si y solo si a 2 K: Muestre que Ka = Kc si y solo si ac 1 2 K. 7. Sea G un grupo cclico nito de orden n. Muestre que para cada entero positivo d; divisor de n; existe un subgrupo de orden d: 8. Sea G un grupo cclico nito de orden n. Sea a un generador de G: Sea r un entero positivo y relativamente primo con n. 1
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I Gua de gebra Abstracta
Departamento de Matemticas UCN
March 18, 2015
1. Sea G un grupo. Denir el centro de G como el conjunto
Z (G) = fa 2 G : ax = xa, para todo x 2 Gg :Muestre que Z (G) es un subgrupo abeliano de G.
(a) Muestre que G abeliano si y solo si Z (G) = G:
2. Sea a 2 G, el centralizador de a es el conjunto denido porC (a) = fx 2 G : ax = xag :
(a) Muestre que C (a) es un subgrupo de G:
(b) Muestre que el subgrupo cclico generado por a, hai = fan : n 2 Zges un subgrupo de C (a).
3. Sea f : I J ! G aplicacin a un monoide G, la cual toma el valor e encasi todo par (i; j). Demuestre que
Qj
Qi
f (i; j)
=Qi
Qj
f (i; j)
!:
4. Sea G un conjunto con una ley de composicin asociativa, si e un elementounidad por la derecha para la ley de composicin y suponga que cadaelemento tiene un inverso por la derecha. Pruebe que e es un elementounidad y que cada inverso por la derecha lo es tambin por la izquierda.
5. Sea G = GLn (C), el conjunto de matrices inveribles de nn con entradascomplejas. Sean A;B 2Mn (C) tales que AB = In. Pruebe que BA = In.
6. Sea K un subgrupo de un grupo G, sea a 2 G: Pruebe que Ka = K si ysolo si a 2 K: Muestre que Ka = Kc si y solo si ac1 2 K.
7. Sea G un grupo cclico nito de orden n. Muestre que para cada enteropositivo d; divisor de n; existe un subgrupo de orden d:
8. Sea G un grupo cclico nito de orden n. Sea a un generador de G: Sea run entero positivo y relativamente primo con n.
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(a) Muestre que ar es tambin un generador de G.
(b) Muestre que cada generador de G puede ser escrito de esa forma.
(c) Si p es un nmero primo y G es un grupo cclico de orden p, cuntosgeneradores tiene G?.
9. Sean m y n enteros relativamente primos Sean G y G0 grupos cclicos derdenes m y n, respectivamente.
Pruebe que G G0 (con la ley de composicin inducida componente acomponente por las correspodientes composiciones de G1 y G2) es ungrupo cclico de orden nm:
10. Sea G un grupo abeliano, nito y multiplicativo. Sea a el producto detodos los elementos del grupo. Demuestre que a2 = e: Suponga ademsque G es cclico. Si G tiene orden impar muestre que a = e: Si G tieneorden par muestre que a 6= e:
11. Sea G un grupo de orden par. Muestre que G contiene un elemento deorden 2. Esto es, existe a 2 G tal que a 6= e y a2 = e.
12. Si G es un grupo abeliano con orden 2n con n impar. Pruebe que Gcontiene exactamente un elemento de orden 2:
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