I Gua de gebra Abstracta

Departamento de Matemticas UCN

March 18, 2015

1. Sea G un grupo. Denir el centro de G como el conjunto

Z (G) = fa 2 G : ax = xa, para todo x 2 Gg :Muestre que Z (G) es un subgrupo abeliano de G.

(a) Muestre que G abeliano si y solo si Z (G) = G:

2. Sea a 2 G, el centralizador de a es el conjunto denido porC (a) = fx 2 G : ax = xag :

(a) Muestre que C (a) es un subgrupo de G:

(b) Muestre que el subgrupo cclico generado por a, hai = fan : n 2 Zges un subgrupo de C (a).

3. Sea f : I J ! G aplicacin a un monoide G, la cual toma el valor e encasi todo par (i; j). Demuestre que

Qj

Qi

f (i; j)

=Qi

Qj

f (i; j)

!:

4. Sea G un conjunto con una ley de composicin asociativa, si e un elementounidad por la derecha para la ley de composicin y suponga que cadaelemento tiene un inverso por la derecha. Pruebe que e es un elementounidad y que cada inverso por la derecha lo es tambin por la izquierda.

5. Sea G = GLn (C), el conjunto de matrices inveribles de nn con entradascomplejas. Sean A;B 2Mn (C) tales que AB = In. Pruebe que BA = In.

6. Sea K un subgrupo de un grupo G, sea a 2 G: Pruebe que Ka = K si ysolo si a 2 K: Muestre que Ka = Kc si y solo si ac1 2 K.

7. Sea G un grupo cclico nito de orden n. Muestre que para cada enteropositivo d; divisor de n; existe un subgrupo de orden d:

8. Sea G un grupo cclico nito de orden n. Sea a un generador de G: Sea run entero positivo y relativamente primo con n.

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(a) Muestre que ar es tambin un generador de G.

(b) Muestre que cada generador de G puede ser escrito de esa forma.

(c) Si p es un nmero primo y G es un grupo cclico de orden p, cuntosgeneradores tiene G?.

9. Sean m y n enteros relativamente primos Sean G y G0 grupos cclicos derdenes m y n, respectivamente.

Pruebe que G G0 (con la ley de composicin inducida componente acomponente por las correspodientes composiciones de G1 y G2) es ungrupo cclico de orden nm:

10. Sea G un grupo abeliano, nito y multiplicativo. Sea a el producto detodos los elementos del grupo. Demuestre que a2 = e: Suponga ademsque G es cclico. Si G tiene orden impar muestre que a = e: Si G tieneorden par muestre que a 6= e:

11. Sea G un grupo de orden par. Muestre que G contiene un elemento deorden 2. Esto es, existe a 2 G tal que a 6= e y a2 = e.

12. Si G es un grupo abeliano con orden 2n con n impar. Pruebe que Gcontiene exactamente un elemento de orden 2:

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