Tema 9

Flujo y potencial electrico

9.1. Distribuciones continuas de carga

En la mayor parte de los casos practicos, nos vamos a encontrar con que la separacion entre lascargas es muy pequena comparada con la distancia que las separa del punto donde se mide elcampo. Ademas, en situaciones macroscopicas nos vamos a encontrar con que tendriamos quecalcular el campo electrico de un numero ingente de electrones! En estos casos, se consideraque el sistema de cargas se encuentra distribuido de forma continua.

Segun esta descripcion, el volumen total del cuerpo, que tiene una carga total Q, se puededividir en un numero indeterminado de pequenos elementos de volumen que tienen cada unouna carga infinitesimal dq. Podriamos definir ası una densidad volumetrica de carga ρ(r) en cadapunto del volumen del cuerpo de tal forma que:

ρ =dq

dV(9.1)

y, por lo tanto, la Q total se obtendrıa como Q =∫volumen

dq =∫volumen

ρdV . De igual forma sepodrıan definir densidades superficiales σ = dq

dSy lineales λ = dq

d`de carga, en aquellos casos

en los que la carga total se distribuya sobre una superficie o sobre un hilo.

dE

Cada uno de los elementos dq anteriores contribu-ye al campo electrico total que crea la distribucion conun elemento de campo dE, que se supone que tienela forma dada por la ley de Coulomb:

dE = k dqr− r0

|r− r0|3. (9.2)

El campo total se obtiene despues sumando los ele-mentos de campo dE, pero tal suma no es una suma

discreta sino una suma en el continuo, es decir, una integral.

E(r) = k

∫Q

dqr− r0

|r− r0|3, (9.3)

que nos da la expresion general del campo electrico creado por una distribucion continua decarga estatica. En cualquier caso, esta expresion puede ser difıcil de manejar. Veamos unosejemplos, en los que es relativamente sencilla su aplicacion.

1

Campo electrico creado por un filamento en su eje

Sea un filamento rectilıneo de carga homogenea Q y longitud L como podemos ver en la figuramas abajo, y sea un punto P en el eje del filamento, punto donde se quiere calcular el campoelectrico creado por el filamento de carga. Carga homogenea es la que se distribuye en el cuerpode tal modo que a volumenes iguales corresponden cargas iguales. En este caso, la carga sedistribuye homogeneamente a lo largo de una lınea de longitud L, es decir, todos los trozos delongitud d` dentro de la lınea tienen la misma carga dq, es decir, la densidad lineal de carga λ,la carga por unidad de longitud, cuya unidad es 1 C ·m−1, es constante, es decir, es la misma entodos los puntos del filamento, e igual a, λ = Q

Lsiendo Q la carga total y L la longitud total.

x0 =0 x0 =L x0 =xx0

dE

Por conveniencia, situamos el filamen-to de carga en el eje x, desde el origenx0 = 0 hasta el punto x0 = L. El pun-to P se encuentra tambien en el mis-mo eje y a la derecha del filamento, enx > L. En consecuencia, el campo en

P tiene la forma E = E i, puesto que cualquier elemento infinitesimal de carga dq producira enP un campo infinitesimal dE con esa orientacion. El sentido de dE sera positivo o negativo de-pendiendo de si la carga del filamento es positiva o negativa. Para calcular el valor de E enP , escogemos arbitrariamente un segmento infinitesimal de filamento cargado, de longitud dx0,cuyo centro se encuentra a distancia x0 del origen. Este segmento tiene una carga dq = λ dx0,por definicion de densidad lineal. El campo electrico, de valor tambien infinitesimal y de modulodE puede ser calculado en el punto P mediante la ley de Coulomb,

dE =kλ dx0

(x− x0)2. (9.4)

Para calcular el campo que crea toda la distribucion lineal de carga, se ha de integrar la expresion(9.4) a todos los puntos del filamento, teniendo en cuenta que λ es constante a lo largo delfilamento por tratarse de una distribucion de carga homogenea, por lo que,

E =

∫ L

0

kλ

(x− x0)2dx0 =

kQ

x(x− L), (9.5)

donde se ha usado que λ = Q/L.

Ejemplo: Observamos que, en el lımite en el que el punto P de observacion seencuentre a una distancia x >> L, E = kQ

x2i N/C, es decir, se obtiene el campo

electrico creado por el filamento en P como si fuera el creado por una carga puntualQ a esa misma distancia x.

Ejercicio: Utiliza el mismo procedimiento que el empleado para calcular el campoelectrico creado por un filamento en un punto situado en su eje, para calcular elcampo electrico creado por el mismo filamento pero en un punto P situado en lamediatriz del filamento.

9.2. Flujo electrico

La ley de Gauss, que se introducira en la siguiente seccion, describe la relacion entre la car-ga electrica y el campo electrico, y nos simplificara mucho las cosas para calcular un campo

2

electrico en situacion de alta simetrıa. Pero antes, necesitamos introducir una cantidad impor-tante cuando se estudian las propiedades de un campo vectorial, como es el caso del campoelectrico, que es el flujo del campo a traves de una superficie. Para entender bien el significadodel flujo, consideremos inicialmente un campo electrico uniforme E (lıneas electricas equiespa-ciadas y paralelas) y una superficie plana de area S. La cuestion es cuantas lıneas N de estecampo electrico atraviesan la superficie.

S

α E

N ∝ E, pues la intensidad del campo viene deter-minada por la densidad numerica de las lıneas.

N ∝ E S, pues si el area se hace mayor maslıneas atravesaran la superficie.

N depende de la orientacion de la superficie.

Pa-

ra ello, se considera un vector unitario normal n perpendi-cular a la superficie en cada punto. En el caso de una su-perficie plana, como la de la figura, todos los puntos tienen

el mismo vector n, y S = Sn. Es facil ver que el numero de lıneas que atraviesan la superficiedepende de la componente del vector E a lo largo del vector n, es decir, del producto escalar deestos vectores, N ∝ E S cosα = (E · n)S = E · S, La cantidad

Φe = E · S, (si E uniforme y S plana) , (9.6)

se llama flujo del campo electrico uniforme E a traves de la superficie plana. La unidad de flujoelectrico es N ·m2/C = 1 V ·m.

En el caso mas general en el que el campo electrico no es uniforme en la superficie (no tieneel mismo valor en todos los puntos de ella) o bien la superficie no es plana (el vector normal n noes el mismo en cada uno de sus puntos), se deben calcular los flujos elementales dΦe = E · dSdel campo electrico a traves de los elementos de superficie dS y sumarlos:

Φe =

∫S

E · dS. (9.7)

En el caso en el que la superficie S sea cerrada, el vector normal a la superficie en cadapunto se ha de tomar hacia afuera del volumen que delimita la superficie, de tal forma que, silas lineas de campo entran en ese volumen, Φe < 0, y si salen Φe > 0, lo cual coincide con laimagen de que en el interior de S haya sumideros (Φe < 0) y fuentes (Φe > 0) respectivamente.

9.3. Ley de Gauss

La ley de Gauss es uno de los resultados fundamentales del electromagnetismo. Mientras que laley de Coulomb solo es valida en situaciones estaticas, la ley de Gauss es general y valida paracualquier campo electrico. Esta ley es una relacion directa entre el flujo electrico a traves de unasuperficie cerrada y la carga que se encuentra en el espacio encerrado por esa superficie.

dEdS

urConsideremos el flujo del campo electrico creado una carga

puntual q situada en el origen a traves de la superficie de unaesfera con centro en la carga y radio a. Segun se ve en la figura,el hecho de tener una superficie esferica en este caso se traduceen que el campo electrico creado por la carga, E = kq/r2ur y elvector normal a la superficie S en cada punto, dS = dSur, son

3

paralelos, donde r es la distancia entre la carga y un punto cualquiera del espacio. En particular,para los puntos sobre la esfera r = a y el campo electrico vale E = kq/a2. Por lo tanto el flujode este campo electrico a traves de la esfera

Φe =

∮S

E · dS =

∮S

kq

a2dS, (9.8)

donde el cırculo en la integral significa que la superficie sobre la que se integra es una superficiecerrada. Sacando fuera de la integral todas las constantes,

Φe =kq

a2

∮S

dS =kq

a2S =

kq

a24πa2 = 4πkq =

q

ε0

(9.9)

donde se ha sustituido el area de una esfera de radio a por 4πa2, y teniendo en cuenta quek = 1/(4πε0). Hemos obtenido que el flujo Φe = q

εno depende del radio a de la esfera (dado que

el flujo cuenta el numero de lıneas de campo que atraviesan una superficie, una vez tenemosuna superficie que encierra la fuente de las lıneas, que es la carga puntual q, da lo mismo elradio de esa superficie, e incluso da lo mismo su forma mientras encierre a q. En otras palabras,el flujo a traves de una superficie cerrada solo depende de las fuentes y sumideros de lıneas queencierra la superficie. Las fuentes y sumideros que se encuentren fuera de la superficie cerradano pueden afectar al flujo a traves de esta porque las lıneas que crean entran y salen de lasuperficie dando lugar a un flujo neto nulo.

La ley de Gauss se generaliza pues diciendo que: el flujo electrico a traves de una superficiecerrada cualquiera es igual a la carga total encerrada por ella, que llamaremos Qint, dividida porε0, ∮

S

E · dS =Qint

ε0

. (9.10)

q1

q2 q3

S

++ +

P Ejercicio: ¿Que cargas determinan el Φe a traves de S? Larespuesta es q1 y q2 y es igual a Φe = q1+q2

ε0¿Que cargas deter-

minan el campo electrico en P? q1, q2 y q3.

9.4. Aplicaciones de la ley de Gauss

La ley de Gauss permite calcular el flujo de cualquier distribucion de carga a traves de cual-quier superficie cerrada aun sin conocer el propio campo Solo se necesita conocer la cargaque encierra la superficie que consideremos. Se llama superficie gaussiana aquella superficiecerrada a traves de la cual calculamos el flujo.

Una de las aplicaciones de la ley de Gauss es el calculo de campos electricos cuando ladistribuci’on de carga presenta alta simetr’ia. Para ello escogemos una superficie gaussiana enla que el campo electrico es uniforme. El flujo de este campo se relaciona con la carga encerradapor la superficie gaussiana que hemos elegido y ası se puede obtener el modulo del campo.

9.4.1. Campo creado por una esfera homogenea

Un ejemplo de calculo de un campo mediante la ley de Gauss es el creado por una esfera deradio R con una carga Q distribuida homogeneamente en todo su volumen, con una densidadvolumetrica uniforme de carga ρ = Q

43πR3 = 3Q

4πR3 .

4

Q

P

n E(r)

Para calcular el campo electrico, colocamos el ori-gen del sistema de referencia en el centro de la esfera,como en la figura. Por razones de simetrıa de la distri-bucion de carga, suponemos que el campo electricoen un punto P :-Tiene direccion radial, ur (para comprender esto, ima-ginemos un elemento de volumen cualquiera del inte-rior de la esfera y su simetrico con respecto a la rectaque une el centro de la esfera y el punto P . Las contri-buciones de estos dos elementos de volumen se su-man en el punto P para dar de forma neta un campoen la direccion del vector ur)- Su modulo depende de la distancia r al centro de laesfera.

Cuando se cumplen estas dos suposiciones, E(r) = E(r)ur, es decir, el campo electricotiene simetrıa esferica.

Ahora debemos de elegir una superficie gaussiana en la que el campo sea constante (parano tener que hacer la integral). Evidentemente, esta superficie gaussiana particular es la de unaesfera concentrica con la esfera de carga y cuyo radio r sea la distancia desde el origen hasta elpunto donde se va a calcular el campo electrico. El vector normal exterior n a la esfera de radior en cada punto es paralelo al campo electrico en ese mismo punto (ver la figura), de maneraque el flujo a traves de la superficie gaussiana es

Φe =

∮Sr

E · dS =

∮Sr

E(r) dS. (9.11)

Sr significa que se esta calculando el flujo a traves de la esfera de radio r. Pero E(r) es uniformeen esa esfera, de manera que es una constante para la integral y se puede escribir

Φe = E(r)

∮Sr

dS = E(r)S(r) = 4πr2E(r), (9.12)

donde S(r) es el area de la esfera de radio r. Por otro lado, la ley de Gauss nos dice que,

Φe =Qint

ε0

. (9.13)

Entonces, igualando las expresiones (9.12) y (9.13), se llega a que el modulo del campo electricoen un punto del espacio a una distancia r del centro de la esfera de carga de radio R es:

E(r) =Qint

4πε0r2. (9.14)

La carga encerrada Qint por la esfera gaussiana de radio r dependera del valor de r. Esevidente que existen dos regiones diferentes del espacio donde calcular el campo electrico:

En la region exterior a la esfera de carga, r > R, una esfera gaussiana contendra toda lacarga, ası que Qint = Q, y resulta

E =Q

4πε0r2ur =

ρR3

3ε0r2ur, si r > R. (9.15)

5

r

E(r

)

R

ρR/3ε0

R

ρR/3ε0

Figura 9.1: Modulo del campo electrico E(r) creado por una esfera homog’enea con carga Q yradio R, frente a la distancia r al centro de la esfera. Se observa que E(r) tiene un maximo enla superficie de la esfera (r = R). Tambien se observa como E(r) crece linealmente con r en elinterior de la esfera y decrece como 1/r2 en el exterior.

En la region interior a la esfera, r < R, una esfera gaussiana contendra solo una fraccionde la carga total, dada por

Qint = ρVint =4πr3ρ

3, (9.16)

donde Vint es el volumen encerrado por la esfera gaussiana. Por tanto,

E =Qr

4πε0R3ur =

ρ r

3ε0

ur, si r < R. (9.17)

Si representamos el modulo del campo electrico frente a la distancia r al centro de la esfera,se obtiene la figura 9.1.

9.4.2. Campo creado por un cilindro homogeneo

Calculemos el campo electrico creado por un cilindro de altura infinita y radioR con una densidadvolumetrica de carga ρ uniforme en su interior. Colocamos el origen del sistema de referencia enun punto cualquiera del eje del cilindro, como se ve en la 9.2.

La distribucion de carga posee en este caso simetrıa cilındrica. Esto significa que podemossuponer que el campo electrico creado por esta distribucion en un punto P :

Tiene direccion radial, segun el vector unitario ur de la 9.2. En este caso, este vectorunitario es perpendicular al eje del cilindro en cada punto y se dirige desde el eje al puntoP . Para comprobar esto, primero se toman dos elementos de volumen iguales en el interiordel cilindro que sean simetricos respecto al plano perpendicular al eje y que pasa porel punto P . Esto nos convencera de que el campo tiene direccion perpendicular al ejedel cilindro. Tomemos ahora dos elementos de volumen con la misma altura y simetricosrespecto a la recta que pasa por el eje y el punto P . Ası veremos que el campo se dirigedesde el eje hacia el punto P .

6

O Pn

E(r)

Figura 9.2: Superficies gaussianas para calcular el campo electrico creado por un cilindro dealtura infinita homogeneamente cargado.

Su modulo depende de la distancia r al eje del cilindro, pues la distribuci’on de carga s’olodepende de esta cantidad (un caso particular es una distribuci’on cil’indrica homog’enea).

Con estas propiedades de simetrıa de la distribucion, podemos escribir el campo como

E(r) = E(r)ur, (9.18)

pero es importante notar que r y ur significan aquı cosas distintas que en el caso de la esfera,como ya hemos comentado y se ve en la 9.2. Como superficie gaussiana tomaremos la superficiede un cilindro infinito de radio r con el mismo eje que el cilindro de carga. El flujo a traves deesta superficie resulta

Φe = E(r)

∫Sr

dS = E(r)S(r) = 2πrhE(r), (9.19)

donde h es la altura del cilindro gaussiano (es infinita, pero veremos que no aparecera en elresultado final). Usando la ley de Gauss, llegamos a

E(r) =Qint

2πε0rh. (9.20)

Aparecen tambien en este caso dos regiones diferentes donde calcular el campo:

En la region exterior al cilindro de carga, definida por la condicion r > R, el cilindro gaus-siano contiene toda la carga, ası que

Qint = ρπR2h, (9.21)

y resulta

E =ρR2

2ε0rur, si r > R. (9.22)

En la region interior al cilindro de carga, definida por la condicion r < R, el cilindro gaus-siano contiene solo una fraccion de la carga total, dada por

Qint = ρπr2h, (9.23)

de manera que resultaE =

ρ r

2ε0

ur, si r < R. (9.24)

7

r

E(r

)

R

ρR/2ε0

Figura 9.3: Modulo del campo electricoE(r) creado por una cilindro de altura infinita homogenea-mente cargada, de radio R, frente a la distancia r al eje del cilindro. El campo tiene un maximoen la superficie del cilindro r = R. Se observa que E(r) crece linealmente con r en el interiordel cilindro y decrece como 1/r en el exterior.

En la grafica de la 9.3 se representa el modulo del campo electrico frente a la distancia r al ejedel cilindro de carga.

9.4.3. Campo creado por un plano homogeneo

Consideremos ahora el campo creado por un plano infinito con carga distribuida homogenea-mente en su superficie con una densidad superficial de carga σ, (en el caso del plano infinito,su superficie es infinita, de manera que no tiene sentido definir su carga total Q y hablamosentonces de la carga por unidad de superficie, σ).

lateral

base������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������

dS

dS

Colocamos el plano infinito en la posicion x = 0, per-pendicular al eje x y suponemos que σ > 0. Observamosque la distribucion de carga posee simetrıa plana, ya quelas lıneas de campo en cada punto del espacio son perpen-diculares al plano y su sentido es desde el plano hasta elpunto considerado, por lo que

E =

{E i, x > 0,−E i, x < 0,

(9.25)

donde el cambio de signo aparece porque, en los puntos ala derecha del plano (x > 0), el campo es hacia la derechay, en los puntos a la izquierda del plano (x < 0), el campo

es igual pero hacia la izquierda. Como superficie gaussiana podemos considerar un cilindro coneje ortogonal al plano infinito de carga y area de la base Sb, situado de tal manera que el centrode su eje esta en el plano de carga y una de sus tapas incluye al punto donde se calcula elcampo (ver figura). El unico flujo es a traves de las bases del cilindro, pues E ‖ dSba, mientrasque no hay ninguna linea que atraviese el lateral delse cilindro (E ⊥ dSlateral). Por lo tanto, el

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flujo del campo electrico vendra dado por Φe = 2Φb, donde Φb es el flujo a traves de cada tapadel cilindro e igual a ESb.

Ahora bien, segun la ley de Gauss, Φe = Qint/ε, donde Qint = σSb. Igualando ambos flujos:

2ESb =σSbε0

, (9.26)

de dondeE =

σ

2ε0

. (9.27)

ε0σ/2

ε0−σ/2

x

E Por tanto, el campo electrico que crea un planoinfinito de densidad de carga σ situado en x = 0es

E =

{ σ2ε0

i, x > 0,

− σ2ε0

i, x < 0.(9.28)

Aparte de cambios de signo a cada lado del plano,el campo que crea un plano infinito no dependede la distancia al plano.

9.5. Energıa potencial electrostatica

Consideremos ahora una carga de prueba q que se mueve bajo la influencia del campo electricoE creado por cierta distribucion de carga. El trabajo que realiza la fuerza electrica Fe = qE enun trayecto infinitesimal de q es dW = Fe · dr = qE · dr. En un desplazamiento finito desde elpunto A al punto B sera,

W =

∫ B

A

Fe · dr. (9.29)

La fuerza electrostatica es conservativa (E no depende explıcitamente ni de la velocidad dela carga de prueba ni del tiempo), por lo tanto, se puede escribir:

W = −∆Ue = −[Ue(B)− Ue(A)] = +q

∫ B

A

E · dr, (9.30)

donde Ue es la energıa potencial electrostatica.Como el campo electrico es la fuerza por unidad de carga, podemos definir la energı’ia po-

tencial por unidad de carga como

W = −q[V (B)− V (A)] = −∆Ue, (9.31)

dondeV =

Ueq, (9.32)

se llama potencial electrostatico, y la variacion

∆V = V (B)− V (A) =−Wq

= −∫ B

A

E · dr, (9.33)

9

se llama diferencia de potencial entreA yB. La unidad de potencial electrostatico (y de diferenciade potencial) es el voltio, pues 1 V = 1 J · 1 C−1. Es importante notar que ni la energıa potencialelectrostatica ni el potencial electrostatico se pueden determinar en sentido absoluto: solo tienensentido las diferencias entre sus valores en puntos diferentes. Por eso es comun establecervalores de referencia respecto a los cuales dar los valores de energıa y potencial electrostatico.

9.6. Movimiento de una carga en un campo electrico

Supongamos que sobre una carga de prueba solo ejerce trabajo la fuerza electrostatica. Comoes conservativa, 1

2mv2 + qV = constante. De aquı, si q se mueve desde el punto A al punto B,

1

2mv2

B −1

2mv2

A = −q [V (B)− V (A)] . (9.34)

Y, por lo tanto:

Si q > 0, se acelera cuando se dirige hacia puntos de menor potencial (igual que unamasa en caida libre) y se frena cuando se dirige a puntos de mayor potencial (igual queuna masa en un ascenso libre).

Si q < 0, se frena cuando se dirige hacia puntos de menor potencial y se acelera cuandose dirige hacia puntos de mayor potencial.

A

y

x

B

d

pant

alla

+ + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − −

Por ejemplo, una carga positiva q demasa m, con velocidad inicial v0, en-tra en la region entre las placas deun condensador plano, donde hay uncampo electrico E0 uniforme1, de talmanera que la velocidad inicial de en-trada es perpendicular al campo electri-co. Como F = Fe = qE0 = ma, estacarga adquiere una aceleracion a =(q/m)E0 paralela al campo electrico,realizando un movimiento parabolicoen el plano que forman los vectores

v0 y E0, curvandose hacia la placa negativa del condensador. Durante la trayectoria de la carga,la velocidad tiene una componente positiva en la direccion del campo electrico, por lo que el tra-bajo efectuado por la fuerza electrostatica sobre la carga es positivo. Por otro lado, la diferenciade potencial entre las placas se puede calcular utilizando la ecuacion 9.33, y teniendo en cuentaque dr = dxi + dyj, y E0 = E0j:

∆V = VB − VA = −∫ B

A

E0 · dr = −E0

∫ B

A

dy = −E0d (9.35)

es decir, VB < VA y las lineas de campo electrico siempre estan dirigidas hacia puntos de menorpotencial electrico (al igual que las lineas de campo gravitatorio). Al moverse la carga hacia la

1Dos placas paralelas conductoras separadas una distancia pequena comparada con su superficie y cargadascon igual densidad superficial pero de signo contrario se llama condensador plano, y se vera en el tema ??. Elcampo que crea un condensador plano es practicamente nulo fuera de la region entre las placas, y es uniformeentre las placas, siendo su direccion perpendicular a ambas placas y dirigido desde la placa positiva a la negativa

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placa negativa del condensador (placa B), lo hace hacia puntos de menor potencial, disminu-yendo su energıa potencial y aumentando su energıa cinetica, es decir, la carga se acelera haciala placa negativa (como lo hace una masa en caida libre).

Ejemplo: Dentro de la region del campo electrico uniforme, la carga efectua unmovimiento parabolico, desviandose debido al campo electrico. Al salir, la carga en-tra en una region sin campo electrico, de modo que sigue un movimiento rectilıneouniforme hasta que choca con una pantalla. Muchas aplicaciones tecnologicas, co-mo el monitor del ordenador, el tubo de imagen de un televisor o el osciloscopio, sebasan en esta idea de desviacion. Esencialmente estos dispositivos constan de untubo de rayos catodicos y una pantalla fluorescente. El tubo de rayos catodicos es untubo de vacıo en el que se acelera y desvıa un haz de electrones mediante camposelectricos y magneticos. Los campos que desvıan el haz se crean perpendicularesal tubo mediante placas metalicas cargadas. El haz es inyectado en uno de los ex-tremos del tubo y viaja hacia el otro extremo, donde impacta con la pantalla. Esta alser bombardeada emite luz.

Ejercicio: Supongamos una carga de prueba q = 2 µC y que el trabajo realizadopor el campo electrico para moverla de un punto A a un punto B es WAB = 5× 10−5

J. Calcular ∆U y ∆V .∆U = −WAB = −5× 10−5 J, ha perdido energıa potencial.

∆V = ∆Uq

= −25 V, se ha movido hacia potenciales menores.

9.7. Campo y potencial electrostatico

Veamos la relacion entre el campo electrico y el potencial creados por cierta distribucion de cargaestatica Q. Para ello consideramos el trabajo dW realizado por la fuerza electrostatica Fe = qEen un desplazamiento infinitesimal dr de una carga de prueba q:

dV = −dWq

= −qE · drq

= −E · dr. (9.36)

Si la carga de prueba q se mueve entre dos puntos A y B, la diferencia de potencial entreestos puntos es una suma de diferencias de potencial infinitesimales dadas por la expresionanterior, es decir:

∆V = V (B)− V (A) = −∫ B

A

E · dr. (9.37)

Observamos pues, que el potencial electrostatico no depende de la carga de prueba al igual quesucedıa con el campo electrico. Lo que sı depende de la carga de prueba q es la variacion de suenergıa potencial electrostatica cuando se mueve entre A y B, dada por

∆Ue = Ue(B)− Ue(A) = −q∫ B

A

E · dr. (9.38)

Se puede dar el valor del potencial electrostatico en un punto generico teniendo en cuentaque siempre queda una constante de integracion por determinar y que se puede fijar asignandoun origen de potencial, para ası determinar diferencias respecto a el,

V (r) = −∫

E · dr. (9.39)

11

Potencial creado por cargas puntuales

Hasta el momento hemos hablado de la relacion entre potencial electrostatico debido a un campoelectrico cualquiera y tambien para el caso de un campo electrico uniforme (ver ecuacion 9.35).

Consideremos ahora el potencial creado por una carga puntual q0 situada en reposo en elorigen.

q

q

0

E B

A

Esta carga ejerce una fuerza electrostatica, en virtud del cam-po que crea, sobre una carga de prueba q que, inicialmente, seencuentra en reposo en un punto A a una distancia rA de q0. Lacarga q se mueve a lo largo de la recta que pasa por el origen y elpunto A. Eventualmente, pasa por un punto B a distancia rB deq0. Utilizando la ley de Coulomb para el campo electrico creadopor q0, E = k

q0

r2ur y el hecho de que el potencial no depende de

la trayectoria seguida, podemos tomar un desplazamiento radial, de manera que dr = dr ur, y

∆V = V (B)− V (A) = −∫ B

A

E · dr = −∫ B

A

kq0

r2dr =

kq0

rB− kq0

rA. (9.40)

Dada la expresion obtenida, se puede elegir un origen de potencial en r = ∞ igual a cero.Esto puede hacerse siempre que no haya cargas fuente a distancia infinita de q0. Ası, el potencialelectrostatico creado por una carga puntual q0, situada en el origen, es

V (r) =kq0

r, (9.41)

siendo V∞ = 0.Si q0 se encuentra en un punto con vector de posicion en r0,

V (r) =kq0

|r− r0|. (9.42)

Como se puede observar, si q0 > 0, V > 0, es decir, el potencial que crea una carga positivaes mayor en todo punto que en el infinito, es un maximo de potencial. Si q0 < 0, V < 0 y elpotencial que crea es menor en todo punto que en el infinito, es un mınimo de potencial.

La energıa electrostatica total de un sistema de cargas puntuales es igual al trabajo que hayque realizar para desplazar las cargas, una por una, desde el infinito (que se supone libre decargas fuente), hasta la posicion que ocupan en la configuracion final.

q0

q

P

+

+

La Ue de la carga q que se coloca en un punto P situado a

una distancia r de q0 sera Ue = qV =kqq0

rcon Ue = 0 en el

∞, o lo que es lo mismo kqq0/r sera la energıa electrostaticade un sistema de dos cargas q y q0 separadas una distancia r.Esta energıa la gana el sistema a costa del trabajo que hay querealizar externamente en contra del campo electrico creado porq0 para traer q desde el∞ hasta P : W∞P = −∆Ue = Ue(∞)−Ue(P ) = −Ue(P ) = −kqq0

r< 0

12

q0

P

q

+

+

Por el contrario, cuando la carga q deja el sistema y se va alinfinito, pierde energıa potencial, ∆Ue < 0, y se acelera (ganaenergıa cinetica). En este caso, es el campo electrico creado

por q0 el que realiza el trabajo WP∞ =kqq0

r.

Para distribuciones discretas de cargas puntuales, el potencial electrostatico satisface el prin-cipio de superposicion, como el campo electrico, pero esta vez los potenciales que actuan en elmismo punto se suman como escalares. Ası, el potencial creado por una distribucion discreta decargas puntuales {q1, q2, . . . , qN}, situadas en los puntos {r1, r2, . . . , rN}, sobre un punto r, es

V{1,2,...,N}(r) = V1(r) + V2(r) + . . .+ VN(r) =N∑i=1

k qi|r− ri|

. (9.43)

Problema: Calcular el incremento de Ue de un sistema de tres cargas puntualesque se encuentran inicialmente en el infinito.

r12

q1

q2Traemos la primera carga q1 a su posicion dentro de la configu-racion final. Como no hay cargas cerca, su energıa potencial escero, no cuestra trabajo traerla. Cuando traemos q2, esta “ve” elpotencial creado por q1, es decir V12, y hay que realizar un trabajoen contra del campo electrico creado por q1 que va a ser almace-nado como energıa potencial electrostatica del sistema {q1, q2}:

U2 = q2V12 = kq1q2

r12

r12

r13

r23q1

q2

q3

Al traer a q3 en presencia de q1 y q2, su energıa potencial elec-trostatica aumenta porque se mueve de un punto (el infinito) don-de el potencial electrico es cero a un punto donde el potencialelectrico es V13 + V23:

U3 = q3V13 + q3V23 = q3kq1

r13

+ q3kq2

r23

El cambio total de energıa electrostatica del sistema sera:

Ue = U1 + U2 + U3 = kq1q2

r12

+ kq1q3

r13

+ kq2q3

r23

=∑i 6=j

kqiqjrij

=1

2

∑i

qiVi

siendo Vi el potencial creado por el resto de cargas diferentes a qi en la posicion en la que seencuentra qi.

A su vez, el potencial electrostatico creado por una distribucion continua de carga total Q yvolumen V es

V (r) = k

∫Q

dq1

|r− r0|

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9.8. Superficies equipotenciales

Una manera muy util de representar graficamente el potencial electrostatico es a traves de super-ficies equipotenciales. Una superficie equipotencial es el conjunto de los puntos para los cualesel potencial electrostatico es constante.

+Q

Por ejemplo, en el caso de una carga puntual q0 situada enel origen, el potencial que crea es V = kq0/r. Por tanto, las su-perficies equipotenciales son superficies en las que r = cte, esdecir, superficies esfericas centradas en q0. Para cada valor der tendremos una superficie equipotencial de valor kq0/r. Las su-perficies deberan espaciarse cada vez mas para indicar que con-forme nos alejamos la variacion de potencial es cada vez menor.

Propiedades de las superficies equipotenciales:

1. La fuerza electrostatica Fe sobre una carga q no ejerce trabajo cuando esta carga se mueveentre dos puntos A y B sobre una superficie equipotencial pues: WAB = −q∆V = 0 yaque ∆V = VB − VA = 0.

2. Las lineas de campo electrico creadas por una distribucion de carga son siempre per-pendiculares a las superficies equipotenciales creadas por la misma distribucion. Esto esunaconsecuencia de la expresion dV = −E ·dr. Cuando el desplazamiento dr es a lo largode una superficie equipotencial, el potencial no cambia, de modo que dV = −E · dr = 0,con lo cual E ⊥ dr.

3. Las lıneas de campo electrico apuntan en el sentido en que disminuye el potencial. Siel desplazamiento infinitesimal dr de la carga de prueba es paralelo al campo electrico,E ‖ dr, resulta que el valor de la diferencia de potencial dV = −E dr es negativo yalcanza su valor mınimo.

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