\yor de longitud B y base menor de longitud b,

~) h , que es igual a la suma de las áreas de los

3, b).

b)

\

\ !

MATEMÁTICAS BÁSICAS

a

En efecto: (m + n)2 = a 2 + b 2 = (h 2 + m 2 )+ ~ 2 + n 2 ) = 2h 2 + m 2 + n 2 .

Luego 2m n = 2h 2 , Yasí m n = h 2 .

El número 11: (pi)

Desde hace aproximadamente 4000 años, se notó que el número de veces que el diámetro de una circunferencia está contenido en la longitud de ella es siempre el mismo, cualquiera sea la circunferencia. Ese valor constante de la razón

longitud de la circunferencia de radio r

2r

se representa por la letra griega 11:. Tal número 11: no es racional y su valor aproximado es 3.1416.

G Se sigue de la relación anterior que si C es una circunferencia de radio r, entonces

longitud de C = 211: r

Medida de ángulos (no dirigidos o no orientados)

Los ángulos se miden en grados y en radianes. La medida en grados es bien conocida y por ello sólo nos referiremos a la medida en radianes.

Consideremos un ángu lo a , como se muestra en la figura sigu iente . En dicha figura el arco AB, de la circunferencia de centro en O y radio r, tiene longitud L.

67

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Un hecho notable para el ángulo a es que el cociente ~ es siempre el mismo, cualesquiera r

sean r y su correspondiente L. Ese valor constante se dirá la medida en radianes del ángulo a.

Por tanto, si e es la medida en radianes del ángulo a , entonces ~ r

= e o bien L = re .

Por ejemplo, de la figura siguiente

se sigue que la medida en radianes de un ángulo de 90 0 es 2 n/ 4 , es decir, n/ 2. I

Análogamente, la medida en radianes de un ángulo de 1800 es n radianes y la de uno de 3600 será 2 n radianes.

Relación entre grados y radianes:

grados radianeS} 1()2n n 360 2n => x = --=­

360 180 x

es decir, Jo equivale a n/ 180 radianes.

De manera simi lar, radianes gradOS}

360 => x = 1(360) = 1802n 2n n

x

es decir, 1 radián equivale a 180/ n grados ( 180 grados::::: Srl8' ). n

68

Nótese que un radián es la medida del ángul

En particular se da la siguiente correspondeno

grados ~

O ~ 30 ~

La medida de un ángulo mida en grados o en radi

Congruencia de ángulos

Dos ángulos L A Y LB misma medida.

A continuación 6 resultad

1. Angulos opuestos po

En la figura IS siguie

(LA Y LB

Esto es consecuencia d

luego m(LC) = m(L

2. Ángulos correspondi

En la figura 16 siguien

- ......\ ...

1IL1

I

-_./

L .cociente - es siempre el mismo, cualesquIera

r tonstante se dirá la medida en radianes del

l·

de

\

\

MATEMÁTICAS BÁSICAS

rNótese que un radián es la medida del ángulo cuyo arco es igual al radio, pues e= 1= .

r En particular se da la siguiente correspondencia:

grados H radianes

O H O

30 H n/6

45 H n/ 4

60 H n/ 3

90 H n/ 2

180 H n

270 H 3n/ 2

360 H 2n

La medida de un ángulo a la denotaremos m(La) o simplemente m(a), ya sea que se mida en grados o en radianes.

Congruencia de ángulos

Dos ángulos L A Y LB se dicen congruentes, y se escribe LA:::: LB, si ellos tienen la

misma medida.

A continuación 6 resultados básicos.

1. Ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

En la figura 15 siguiente, se tiene que L A:::: LB y L C :::: L D .

FIGURA. 15

( L A Y LB son opuestos por el vértice, lo mismo que L C y L D)

Esto es consecuencia de que, por ejemplo, m(L A) + m(L C) = n = m( LA) + m(L D),

luego m(LC) = m(LD), y así L C:::: L D.

2. Ángulos correspondientes son congruentes.

En la figura 16 siguiente, en la cual L 1 11 L 2 ' se tiene que:

69

MATEMÁTICAS BÁSICAS

LA~L B; LE~LF Y Le~L O ; LG~LH

L¡

D H ~ FIGURA 16

(LA Y L B son correspondientes, al igual que LE y LF, Le y L O Y LG Y LH)

Nota: Precisamente, dos rectas L¡ y L2 son paralelas y se escribe L I 11 L 2 si son iguales o

si siendo diferentes toda recta secante (recta que las atraviesa) forma con ellas ángulos correspondientes iguales .

3. Ángulos alternos internos son congruentes.

En la figura 16 anterior, se tiene que L e ~

alternos internos , lo mismo que L F Y L G )

4. Angulos alternos externos son congruentes.

En la figura 16 anterior, se tiene que ¿ A ~

alternos externos, al igual que L E Y L H)

5. Teorema del ángulo externo: En la

m(L a) = m(L A)+ m (Le).

L B Y L F ~ L G (L e y L B son

L O Y L E ~ L H (L A Y L O son

figura 17 siguiente, se tiene que

A B FIGURA 17

(La medida m(La), del ángulo exterior La, es igual a la suma de las medidas, m(LA) y

m (L e), de los ángulos interiores no-adyacentes L A y Le).

Prueba: considérese la figura 18 siguiente:

70

eomo LA ~ L~, entonces m(LA

m(L ~)+ m(L e) = m (La), entonces m

6. En todo triángulo ABe se tiene que m

de las medidas es en grados, o medidas es en r ;,.

Prueba: eo

m(La)+m

m(LA)+ m

Triángulos sem

Dos triángulos

correspondencia congruentes y lad

Por ejemplo, los correspondencia:

se tiene

y

m(L

, y LC=:LD; LG=:LH

.~ L¡ ~ :B'~----L2

irRA 16

,¡al que LE y LF, LC y LO Y L G Y LH)

paralelas y se escribe L I 11 L 2 si son iguales o

qte (recta que las atraviesa) fonna con ellas

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Como LA=:LP, entonces m(LA)+m(LC)=m( L p)+m(LC), y como

m(Lp)+m(LC)= m(La) , entonces m(LA)+m(LC) = m(La) .

6. En todo triángulo ABC se tiene que m(LA)+m(LB)+m(LC)=180°, si cada una

de las medidas es en grados, o m(LA)+ m(LB)+ m(LC)= rr, si cada una de las

medidas es en radianes.

Prueba: Considérese de nuevo la figura 18 anterior:

m(La)+m(LB)= 180° Y como m(La) = m(LA )+ m(LC), entonces

m(L A)+ m(LB)+ m(LC )= 180°.

Triángulos semejantes

Dos triángulos ABC y EFG se dicen semejantes si es posible establecer una

correspondencia biunívoca entre sus vértices de modo que ángulos correspondientes sean congruentes y lados correspondientes sean proporcionales.

Por ejemplo, los triángulos de la figura 19 siguiente son semejantes, ya que bajo la correspondencia:

se tiene

LA=:LE, LB=: L F, LC=:LG y

IABI IBCI ICAI 1

IEFI =IFGI= IGE I = J3

G e

J3~2 3~

A 1 B

60· F

FIGURA 19

7 1