GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 9

UNIDAD: GEOMETRÍA

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A SU MEDIDA Ángulo nulo : Es aquel que mide 0°.

Ángulo agudo : Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°.

Ángulo recto : Es aquel que mide 90°.

Ángulo obtuso : Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°.

Ángulo extendido : Es aquel que mide 180°.

Ángulo completo : Es aquel que mide 360°.

EJEMPLOS 1. En la figura 1, AD es una recta y a es un ángulo agudo. Entonces, el �COD mide

A) 24º B) 72º C) 90º D) 168º E) 180º

2. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?

A) La suma de tres ángulos obtusos es un ángulo completo. B) La suma de un ángulo obtuso con un ángulo agudo es un ángulo extendido. C) La mitad de un ángulo obtuso más la mitad de un ángulo agudo es un ángulo

extendido. D) La suma de dos ángulos rectos es un ángulo extendido. E) La suma de dos ángulos agudos es un ángulo obtuso.

C u r s o : Matemática

Material N° 11

A

D

B C

O 4a

3a a

fig. 1

2

3. En la figura 2, L1, L2 y L3 son rectas. Si β = 3α y γ = 4α, entonces α + β es igual a

A) 22,5º B) 67,5º C) 90º D) 112,5º γ E) 157,5º

4. En la figura 3, si �x= 8a + 24º, entonces el �x mide

A) 144º B) 180º C) 192º D) 216º E) 336º

5. En la figura 4, ¿cuánto mide el �BOC si α = 176º?

A) 23º B) 69º C) 115º D) 176º E) 184º

6. En la figura 5, ¿cuánto mide 15

del �COB?

A) 12º B) 15º C) 75º D) 90º E) 105º

a

3a 2a

O x

fig. 3

D

C

B

A

fig. 4

O

B

C

A

α 3x

5x

O A B

7β 5β

C

fig. 5

fig. 2 α β

L1

L2

L3

3

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN Ángulos consecutivos : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común, y sus

regiones interiores no se intersectan.

Ángulos adyacentes o : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común y los par lineal otros dos lados sobre una misma recta. Ángulos opuestos por el : Son aquellos que tienen el vértice en común y los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro. OBSERVACIONES � Bisectriz de un ángulo : Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes).

� Rectas perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo recto.

EJEMPLOS 1. En la figura 1, si α + δ = 194º y δ + β = 217º, entonces β – α es igual a

A) 23º B) 31º C) 90º D) 123º E) 166º

α y β consecutivos α

β A

B

C

O

α y β adyacentes α

β A

B

C O

α y β opuestos por el vértice, α ≅ β α β

β α α ≅ β

L1

L2

L1 ⊥ L2

α β δ

fig. 1

4

2. En la figura 2, ¿cuál es la medida de 2α?

A) 20º B) 40º C) 60º D) 120º E) 240º

3. En la figura 3, si L1 y L2 son rectas, entonces 2λ + 4ε + 3δ + β =

A) 180º B) 540º C) 720º D) 900º E) 980º

4. En la figura 4, OM OQ⊥ , �MON = 2x + 25º y �NOQ = x + 35º. ¿Cuánto mide el

�MON?

A) 10º B) 45º C) 55,5º D) 60º E) 60,5º

5. En la figura 5, los puntos X, O e Y son colineales. Si OS ⊥ OZ , y �ZOY = 13�XOS,

¿cuánto mide el �SOX?

A) 22,5º B) 40º C) 45º D) 67,5º E) 90º

λ ε

β δ

L1

L2

fig. 3

fig. 4

M O

N

Q

fig. 5

O Y X

S

Z

2α fig. 2

O

B

C

A

α

3 D α

2

α

6

5

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS Ángulos complementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Si α y β son

ángulos complementarios, α es el complemento de β y β es el complemento de α. El complemento de un ángulo x es 90° – x.

Ángulos suplementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Si α y β son

ángulos suplementarios, α es el suplemento de β y β es el suplemento de α. El suplemento de un ángulo x es 180° – x.

EJEMPLOS 1. El suplemento de un ángulo β es igual al triple de dicho ángulo. ¿Cuánto mide β?

A) 22,5º B) 45º C) 67,5º D) 90º E) 157,5º

2. El complemento del doble del ángulo ε es 54º, entonces ε mide

A) 18º B) 36º C) 54º D) 72º E) 90º

3. Si β y 3δ son ángulos complementarios, entonces β en función de 3δ es

A) 3δ – 90º B) 180º – 3δ C) 90º – 3δ D) 3δ – 180º E) 90º + 3δ

6

4. El suplemento del suplemento de β – 19º es

A) 0º B) 161º – β C) 19º – β D) 71º – β E) β – 19°

5. El suplemento de α – 25º más el complemento de 3α – 12º es igual a

A) 205º – 4α B) 102º – 4α C) 385º – 4α D) 307º – 4α E) 295º – 4α

6. La diferencia entre un ángulo α y su complemento es 20°. ¿Cuánto mide el suplemento

de α?

A) 55º B) 115º C) 125º D) 145º E) 160º

7. Si el suplemento del ángulo (35 – α) es 160°, entonces el complemento de α es

A) 15º B) 35º C) 75º D) 145º E) 165º

7

PARES DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL ÁNGULOS ALTERNOS: � Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES � Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida. ÁNGULOS COLATERALES � Los ángulos colaterales entre paralelas suman 180°. EJEMPLOS 1. En la figura 2, L1 // L2. Entonces, �x – 2�y es igual a

A) 45º B) 89º C) 95º D) 105º E) 135º

ALTERNOS EXTERNOS ALTERNOS INTERNOS

�1 con �7

�2 con �8

�3 con �5

�4 con �6

�1 con �5 �2 con �6 �3 con �7 �4 con �8

COLATERALES EXTERNOS COLATERALES INTERNOS

�1 con �8

�2 con �7

�4 con �5

�3 con �6

x

y 135º L2

L1

fig. 2

1

3

2 4

6

7 8

5

L1

L2

L1 // L2 T

fig. 1

8

2. Si en la figura 3, L1 // L2, ¿cuál es el valor del �x?

A) 5º B) 10º C) 20º D) 70º E) 100º

3. En la figura 4, L1 // L2, ¿cuál es el valor del �x?

A) 35º B) 50º C) 55º D) 70º E) 125º

4. En la figura 5, L1 // L2 y L3 // L4. Si α = 135º, ¿cuál es el valor de α + β?

A) 45º B) 145º C) 150º D) 180º E) 270º

5. En la figura 6, L1 // L2 // L3. Si β = 129º, entonces el �x mide

A) 20º B) 30º C) 37º D) 43º E) 47º

fig. 3

150º

40º

x

L1

L2

fig. 4

125º

70º

x

L1

L2

fig. 5

β

α

γ

L1

L2

L3 L4

fig. 6

x β

2γ γ L1

L2

L3

9

ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS

TEOREMAS � La suma de las medidas de los ángulos interiores es

igual a 180°. � La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°. � La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos

interiores no adyacentes a él. EJEMPLOS 1. Dado el ∆ABC de la figura 2, las medidas del �x y del �y son

A) �x = 45º �y = 45º

B) �x = 55º �y = 15º

C) �x = 30º �y = 15º

D) �x = 60º �y = 30º

E) ninguna de las anteriores.

2. En la figura 3, α es el 20% de β. ¿Cuál es la diferencia entre β y α?

A) 110º B) 120º C) 140º D) 150º E) 175º

αααα’ + ββββ’ + γγγγ’ = 360º

αααα’ = ββββ + γγγγ ββββ’ = αααα + γγγγ γγγγ’ = αααα + ββββ

αααα + ββββ + γγγγ = 180º

β β’ α’ α

γ’ γ

A B

C

fig. 1

fig. 2

125º

A B

C

y 2x

x

fig. 3 30º

α β

10

3. En la figura 4, si β = 2α, entonces el valor del �x es

A) β

2

B) α C) α – β

D) α

2

E) 180 – α 4. Si en la figura 5, BD es bisectriz del �ABC y �α = 50º, entonces el �x mide

A) 20º B) 50º C) 60º D) 70º E) 80º

5. El ∆ABC de la figura 6, es rectángulo en C. Si y : x = 3 : 1, entonces el �x mide

A) 30º B) 45º C) 50º D) 60º E) 135º

6. En el ∆ABC de la figura 7, AD es bisectriz del �CAB. Entonces, la medida del �x es

A) 75º B) 90º C) 120º D) 125º E) 130º

β

x

α

fig. 4

fig. 5 x D

C A

B

α

y

C

x

fig. 6

B A

130º

C

x

fig. 7

B A

70º E D

11

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS OBSERVACIONES:

1) En un triángulo isósceles, que solamente tiene dos lados de igual medida, al lado distinto se le llama base.

2) En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo. EJEMPLOS 1. Si en la figura 1, el ∆ABC es isósceles de base AB , ⊥DE BC y AD = DE , entonces el

valor del �x es

A) 35º B) 45º C) 55º D) 60º E) ninguno de los valores anteriores.

2. En el ∆ABC de la figura 2, AB ⊥ BC y AD = CD . Entonces, el �x mide

A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 35º

3. En el ∆ABC de la figura 3, AB = BC , L // AC y L1 // BC . Entonces, el �x mide

A) 40º B) 70º C) 80º D) 110º E) 140º

Según sus lados Según sus ángulos

Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida.

Isósceles: Tiene dos lados de igual medida.

Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida

Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos.

Rectángulo: Tiene un ángulo recto.

Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.

fig. 1 54º

x A B

E D

C

35º

x

D B A

C

fig. 2

fig. 3

40º

B A

C

L1 L

x

12

4. En la figura 4, L1, L2 y L3 son rectas. Si el �DAF = α y es suplemento del �ABG,

entonces se puede asegurar que

A) AC = BC B) AB = BC C) AC = BC = AB D) AC > BC E) AB = AC

5. En la figura 5, el ∆ABC es escaleno con x e y valores positivos. ¿Cuál(es) de las

siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?

I) x ≠ y II) x ≠ 2

III) x ≠ 2x – y ≠ 2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Todas ellas. E) Ninguna de ellas.

6. En la figura 6, AD y BD son bisectrices de los ángulos exteriores del ∆ABC. Entonces,

el ángulo α mide

A) 25º B) 35º C) 45º D) 50º E) 90º

fig. 4

A B

C

D E

F G

L1 L2

α L3

fig. 5

C

A B 2

2x – y x

fig. 6

C

A B

D

40º

α

13

EJERCICIOS 1. Los ángulos α y β son suplementarios. Si α : β = 2 : 3, entonces se puede afirmar

que:

I) α es un ángulo agudo. II) El complemento de la mitad de β es 26º.

III) Los ángulos α

2 y

β

2 son complementarios.

Es (son) verdadera(s)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

2. En la figura 1, ⊥CF FE y los puntos A, F y B son colineales. Entonces, la medida de α

es

A) 35º B) 45º C) 55º D) 65º E) 70º

3. En la figura 2, L1 // L2 . Luego, la medida del ángulo α es

A) 130º B) 73º C) 65º D) 50º E) 33º

4. En la figura 3, los valores de x e y, para que el ∆ABC sea equilátero, deben ser

A) x = 52

, y = 52

B) x = 5, y = 5

C) x = 52

, y = 5

D) x = 10, y = 52

E) x = 5, y = 52

fig. 2 130º 57º α

L1 L2

fig. 3

B A

C

10 2x + 5

y + 5

fig. 1

F B A

C E

α 35º

14

5. En la figura 4, el ∆CAD es isósceles de base CD . Entonces, la medida del �CAD es

A) 180° – 2α – 2β B) 180° – α + β C) 180° + α + β D) 180° + α – β E) 180° – 2α + 2β

6. En la figura 5, el ∆ABC es isósceles de base AB . Si AC = 4x + 6 y BC = x + 18,

entonces x es igual a

A) 22 B) 18 C) 14 D) 8 E) 4

7. En la figura 6, ∆PQR es tal que PR = a + b, PQ = c + d y QR = b + c. ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si a = c, entonces ∆PQR es isósceles. II) Si a = c y b = d, entonces ∆PQR es equilátero.

III) Si a, b, c y d son números enteros distintos entre sí, entonces ∆PQR es escaleno.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

8. En la figura 7, el ∆ABC es rectángulo en B. Entonces, el valor del ángulo x es

A) 12º B) 26º C) 38º D) 68º E) 78º

fig. 4

α β B A

C

D

fig. 7

x

α 3α

104º

B A

C

fig. 5

B A

C

Q P

R

a + b b + c

c + d

fig. 6

15

9. En la figura 8, el ∆ABC es isósceles de base BC . Si CF = FG , β = 4α y γ = α

2,

entonces la medida del �FED es

A) 120º B) 60º C) 45º D) 30º E) 15º

10. En la figura 9, L1 // L2 // L3. Entonces, la suma de los ángulos α, β y γ es

A) 120º B) 140º C) 160º D) 180º E) 200º

11. En el ∆ABC de la figura 10, α + β =

A) 50º B) 70º C) 130º D) 230º E) 260º

12. En la figura 11, ⊥AB CB , AC es bisectriz del �DAB y AD = AB . Entonces, la medida

del �x es

A) 25º B) 30º C) 45º D) 65º E) 70º

fig. 8 C

B A β

γ

α

E

F

G

D

fig. 9 α

β

γ

120º L3

L2

L1 40º

fig. 10

β α

50º

B A

C

fig. 11

B A

C D

E

25º

x

16

13. En la figura 12, el ∆AED es isósceles de base AD . Si DE // CB , la medida del �DAF es

A) 27º B) 31º C) 33º D) 58º E) 64º

14. En la figura 13, el �BEF = 130º, entonces el �x es igual a

A) 40º B) 50º C) 100º D) 120º E) 130º

15. En la figura 14, AE es una recta y �EOD = 12�COD =

13�AOB =

23�BOC. Entonces,

�BOD =

A) 24º B) 36º C) 72º D) 84º E) 110º

16. En el ∆PQR de la figura 15, ¿cuánto mide el �PRQ?

A) 20º B) 40º C) 60º D) 80º E) 100º

fig. 12

116º

85º

A E B

F

D C

fig. 13

130º

A D E B

F

C

x

fig. 14

O E A

D

C B

fig. 15

100º

P Q

3α

RC

3α α

17

17. En la figura 16, los puntos E, A y B son colineales. ¿Cuál es el valor del �x?

A) 50º B) 65º C) 90º D) 115º E) 165º

18. En el ∆ABC la figura 17, α = 50º, �z = 4�x y �x = 13�y. ¿Cuál es el valor del �v?

A) 10º B) 30º C) 40º D) 50º E) 90º

19. En la figura 18, �ACD = �BDC. Entonces, el �EBC =

A) 35º B) 55º C) 80º D) 110º E) 170º

20. En el ∆PQR de la figura 19, QT y RS son bisectrices de los ángulos PQR y PRQ,

respectivamente. ¿Cuál es el valor del �x?

A) 40º B) 50º C) 100º D) 130º E) 150º

γ γ

γ x

50º E A B

C

D fig. 16

fig. 17

100º

α

v

z y x

A B D

C

fig. 18

70º

A B C

E

D

fig. 19

T

R

x

Q S P V 100º

18

21. En el ∆ABC de la figura 20, AF y BE son bisectrices de los ángulos CAB y ABC,

respectivamente. Entonces, el �FAC mide

A) 18º B) 27º C) 36º D) 54º E) 72º

22. El triple del complemento de (α – 10º) es igual al suplemento de (α – 20º). ¿Cuánto

mide el complemento del ángulo α? A) 130º B) 100º C) 80º D) 50º E) 40º

23. En la figura 21, L1, L2, L3 y L4 son rectas, donde L1 // L2 y L1 es bisectriz del ángulo

obtuso formado por las rectas L3 y L4. Entonces, el �x mide

A) 30º B) 40º C) 60º D) 70º E) 120º

24. Uno de los ángulos interiores de un triángulo mide 40º más que el otro, y 40º menos

que el tercer ángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo mayor?

A) 80º B) 100º C) 120º D) 150º E) 160º

25. En la figura 22, el ángulo ε es igual a

A) 2γ – β B) 2γ + β C) 2γ D) 2β E) β

fig. 20

D A

72º

B

C

F E

fig. 21

L3 L4

L2

L1 x

3α α + 20

fig. 22

γ

β

γ

ε R

T

S Q P

19

26. En la figura 23, AC = x + 5 y AB = 2x – 3. Se puede determinar que el ∆ABC es equilátero si :

(1) α = β

(2) x = 8

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada un por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. En la figura 24, se puede determinar que L1 // L2 si :

(1) α + γ = 180º

(2) β = γ

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada un por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

28. En la figura 25, se puede determinar que el ∆ABC es equilátero si :

(1) AC = BC y α + β = γ

(2) ⊥AE BC , ⊥CD AB y AE = CD

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada un por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

29. En la figura 26, se puede determinar el valor de α + β + γ si :

(1) α = β = γ

(2) L1 // L2

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada un por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere de información adicional

L L1

L2

β

γ α

fig. 24

fig. 25

D B A

C

E

α β

γ

fig. 26

γ

β α

L1

L2

80º

fig. 23

B A

C

α β

γ

x + 5

2x – 3

20

30. En el ∆PQR de la figura 27, se puede determinar el valor del �RPQ si :

(1) �a = �c y �c = 2�b

(2) �PQR = 60º

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada un por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere de información adicional

DMDMA11

fig. 27 R

P Q

a b

c

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