9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359

Izpi ultramoreak

Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sorditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriakdira gauza askotarako: ioiak egiteko(80 km-tara hasten den ionosferaren zergatia dira), D bitamina sortzeko, beltzarantzeko eta este-rilizatzeko. Arriskugarriak dira, erredurak eta azal-minbizia sor baititzakete.

Argi ikusgaia

Eguzkiak, objektu beroek eta tresna elektronikoek (laserrek, LED direlakoek, . . . ) sortzendituzte eta begiek, filmek eta tresna elektronikoek detektatzen. Uhin-luzerarik laburrena morea-ri dagokio (≈ 400 nm) eta luzeena gorriari (≈ 710 nm). Kontzentratua dagoenean erreduraketa itsutasuna sor ditzake. Begiak bidaltzen dion informazioarekin kolore-sentsazioa sortzen dunerbio-sistemak.A.7 taulan bildu dira koloreen tarteak batez besteko pertsonaren iritziz.

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.

Izpi infragorriak

Eguzkiak, objektu beroek eta tresna elektronikoek (laser batzuek adibidez) sortzen dituzte etafilm bereziak edo detektagailu elektronikoak erabil daitezke detektatzeko. Iluntasunean ikustekoeta telebistaren edo garajeetako ateen urrutiko aginteetan erabiltzen dira. Kontzentratuak daude-nean erredurak sor ditzakete.

Mikrouhinak

Zirkuitu elektronikoak erabiltzen dira sortzeko eta (antenen bidez) detektatzeko. Telefonian,sateliteen bidezko telebistan eta komunikazioetan, lokalizazio-sistemetan, radarretan eta labeetanerabiltzen dira. Kontzentratuak daudenean erredurak sor ditzakete.

Irrati-uhinak

Zirkuitu elektronikoek sortzen eta (antenen bidez) detektatzen dituzte. Irratian, telebista, tele-fonian eta ontzi-nabigazioan erabiltzen dira. Badirudi ezdirela arriskugarriak normalean lortzendiren kontzentrazioetan.

Maiztasuna 300 Hz-ekoa edo txikiagoa izaten da elektrizitatea garraiatzeko kableetan, treneta tranbiek erabiltzen duten korronte alternoan, eta Lurraren eremu elektriko eta magnetikoan.

360 9 Uhinak

9.13 Doppler efektua

Kontsidera dezagun ingurune batekikovi abiaduraz higitzen den uhin-iturri bat etavd abiadu-raz higitzen den detektagailua. Kalkuluak errazteko, bi abiadurak posizio erlatiboaren norabideandaudela suposatuko dugu, baina positiboak zein negatiboakizan daitezkeela, uhinarenv hedapen--abiadura bezala. Askotan, baina ez beti, soinu-uhinak interesatzen zaizkigu: iturria bozgorailubat izan daiteke, detektagailua entzulearen belarria eta ingurunea airea.

9.29 IRUDIA Doppler efektua.

t = 0 aldiunean (argi dago ez dagoela inolako murrizterik denboraren jatorria une horretanaukeratzean)νi maiztasuneko maximo bat irteten da iturritik etat = τi unean hurrengoa,τi = 1/νi

periodo bat igaro ondoren iturriakviτi distantzia egin duenean. Uhinav abiaduraz hedatuko daingurunean etat = t0 aldiune batean detektagailura helduko da lehen maximoa,vt0 distantziaegin ondoren. Detektagailuan neurtzen den maiztasunaνd bada,τd = 1/νd periodoa pasatu on-doren bigarren maximoa iritsiko da,d = vt0 − viτi + vdτd distantziat0 − τi + τd denbora-tarteanegin ondoren:

d = vt0 − viτi + vdτd = v (t0 + τd − τi) . (9.197)

Hemendik,τd = (v − vi) / (v − vd) τi edo

νd =v − vd

v − viνi (9.198)

lortzen da. Emaitza hau ingurunearen erreferentzia-sisteman (airearen sisteman, soinuaren ka-suan) erabili behar da (beste sisteman planteatzen bada,1.2.1ataleko Galileo-ren transformazioazbalia gaitezke ingurunea geldi dagoen sistemara joateko) eta han agertzen diren hiru abiadurakpositiboak zein negatiboak izan daitezke. Gainera,

νd =(

1 − vd − vi

v − vi

)

νi (9.199)

moduan ere idazten denez,|vi| < |v| bada (kasu supersonikoa behean aztertuko da),9.30irudianerakusten daiturria eta detektagailua urruntzen badira, maiztasun txikiagoa neurtzen dela azkenhonetan, eta hurbiltzen badira handiagoa. Honek azaltzen du nola aldatzen den anbulantzia batensirenaren tonua gure paretik igarotzean.

Iturria ingurunean geldi badago (vi = 0),

νd =(

1 − vd

v

)

νi (9.200)

9.13 Doppler efektua 361

9.30 IRUDIA Doppler efektua kasu desberdinetan.

dugu, eta geldi dagoena detektagailua bada,

νd =νi

1 − vi/v. (9.201)

Azken kasua erraz ulertzen da9.29irudiko eskuinaldean: iturria higitzen denez uhin-fronteesfe-rikoek zentro desberdinak dituzte.

Bestalde, iturri eta detektagailuaren abiadurak uhinarena baino askoz txikiagoak badira, hu-rrengo hurbilketa erraztua erabil daiteke:

νd =(

1 − vd − vi

v

)

νi. (9.202)

Hurbilketa honetan,v etavd − vi paraleloak ez badira, hauxe erabili behar da:

νd =

[

1 − (vd − vi) · vv2

]

νi. (9.203)

Adibidez, medikuntza baliatzen da Doppler efektuaz: odol-zeluletan islatzen diren ultrasoi-nuekin odolaren abiadura neurtzen da eta, horrela, arterietako estuguneak detektatzen dira.

9.13.1 Talka-uhinak

Goian|vi| < |v| hipotesia egin dugu, baina zer gertatzen da iturria uhina baino arinago higi-tzen bada? Argi dago iturriaren aurrean ez dela uhinik egongo: izan ere, uhin osoa dago erpintzatiturria duen kono batean,9.31 irudian erakusten den bezala. Uhin-fronte konikoatalka-uhinaedo, batzuetan,Mach-en uhina deitzen da eta hegazkin supersoniko bat hurbil pasatzen deneanentzuten den danbatekoaren zergatia da8.

Konoaren irekidura erraz kalkulatzen da9.31irudiko ezkerreko diagramaren bidez.∆t den-bora-tartean lehen uhinak egindako bidear = v∆t erradioa da. Tarte berean iturriak egindakoad = vi∆t da. Ondorioz, bi distantzia hauen artean∆t ezabatzen badugur/d = v/vi = sin αlortzen dugu:

α = arcsinv

vi. (9.204)

8Ikushttp://www.gmi.edu/~drussell/Demos/doppler/mach1.html orrian argazki bat eta filmbat.

362 9 Uhinak

9.31 IRUDIA Talka-uhina.

Antzeko gauza bat gertatzen da uraren gainazalean trainerubatek, esaterako, sortzen duenperturbazioarekin. Baina kasu horretan, ingurunea sakabanatzailea dela gogoratu behar da etagauzak ez dira hain errazak. Adibidez, itsasontzi bat ur sakonetan abiadura konstantez higitzeansortzen duen uhara beti dago, abiadura guztietarako,19.5◦ angeluerdiko ziri baten barruan:Kel-vin-en ereduaderitzo fenomeno honen azalpenari.

9.32 IRUDIA Talka-uhinak uretan.

Argiarekin ere gerta daitezke talka-uhinak. Ez hutsean, noski: han ezer ez da higitzen argiabaino arinago; baina,9.12.3atalean ikusi dugun bezala, ingurune batean argiaren abiadurav =c/n da, ingurunearen errefrakzio-indizean bada, etan > 1 deneanv < vi < c izan daitekeeta sortzen den talka-uhinaCherenkov-en erradiazioadeitzen da eta konoaren (9.204) zabalerahauxe da:

α = arcsinc

nvi

. (9.205)

Fenomeno hau erabiltzen da, adibidez, neutrinoak detektatzeko eraiki zen lurpeko Super-Kamio-kande ur-tanga erraldoian. Neutrinoen elkarrekintzaren ondorioz sorturiko energia handiko par-tikula kargatuak uraren50.000 tonetan argia baino arinago badoaz, igortzen duten argi urdinxkaur puruan zehar hedatzen da, fotoi bakar bat detektatzeko gai diren10.000 fotobiderkatzaileetakobatera iritsi arte.

9.13.2 Doppler efektu elektromagnetikoa

Doppler efektua uhin elektromagnetikoekin ere gertatzen da, baina azterketa desberdina dabi arrazoirengatik. Soinua, adibidez, ingurune baten perturbazioen hedapena da eta, beraz, soi-nuaren abiadura modu natural batean definitzen da airearen sisteman; beste guztietan Galileo-ren

9.13 Doppler efektua 363

transformazioaren bidez kalkulatzen da. Uhin elektromagnetikoetan ez dago ingurune materialbaten perturbaziorik (ez dago eterrik) eta ez dago uhin hauen erreferentzia-sistema naturalik: sis-tema guztietanc hedapen-abiadura berdina da. Gainera, kasu honetan erlatibitate berezia erabilibehar dugu ezinbestez.

Efektu erlatibistaren azterketa3.13.2probleman egin genuen, erradiazio elektromagnetikoafotoiez osaturikoa dela erabiliz. Hemen, aipaturiko erradiazioaren uhin-naturaz baliatuko garaefektua beste ikuspuntu batetik aztertzeko, soinuaren kasuan erabilitako metodoaren antzeko ba-ten bidez.

9.33 IRUDIA Doppler efektuaren Minkowski-ren diagrama.

Hasteko, iturriaren sistema propioa kontsideratuko dugu.Bertan behatzaileav abiadura kons-tantezOX ardatzean zehar higitzen da:t uneanx = x0+vt puntuan dago, beraz. Uhin harmonikobaten maximo batt = 0 aldiunean igortzen da eta,c abiaduraz hedatzen denez,x = ct puntuanegongo da. Behatzailearenganainox0 + vt = ct betetzen denean helduko da, hau da,

t1 =x0

c − v, x1 = ct1 =

c

c − vx0 =

1

1 − βx0,

(

β ≡ v

c

)

(9.206)

gertaeran. Hurrengo maximoat = T aldiunean (periodo bat igaro denean, alegia) abiatzen da:x = c(t − T ) dugu eta behatzaileak detektatuko dux0 + vt = c(t − T ) betetzen denean, hau da,honako gertaera honetan:

t2 =x0 + cT

c − vx2 = c (t2 − T ) =

x0 + vT

1 − β. (9.207)

Bi maximoen detekzioen arteko denbora- eta espazio-tarteak

t2 − t1 =T

1 − β, x2 − x1 =

T

1 − βv (9.208)

dira iturriaren sisteman eta, Lorentz-en (3.41) transformazioaren ondorioz, behatzaileak neurtu-riko periodoa

T ′ = t′2 − t′1 = γ[

(t2 − t1) −v

c2(x2 − x1)

]

=1√

1 − β2

1 − β2

1 − βT =

√

1 + β

1 − βT (9.209)

da. Ondorioz, iturriaren sisteman uhinaren maiztasunaν = 1/T da, eta uhinaren norabideanvabiaduraz higitzen den detektagailuaren sisteman neurtutakoν ′ = 1/T ′ maiztasuna

ν ′ =

√

1 − β

1 + βν =

√

c − v

c + vν (9.210)

364 9 Uhinak

da, eta iturriaren eta behatzailearen abiadura erlatiboaren eta uhinaren hedapen-abiaduraren arte-ko angeluaθ denean,

ν ′ =1 − β cos θ√

1 − β2ν, (9.211)

(ikus, 9.37 problema). Abiadura erlatiboa txikia denean,|β| ≪ 1, (9.210) emaitzatik (9.202)berreskuratzen da,

ν ′ = (1 − β) ν, (9.212)

baina 1938an Ives eta Stilwell-ek egiaztatu zuten lehenengoz laborategian abiadura erlatibistekin(9.210) erabili behar dela.

Iturria eta behatzailea urruntzen direnean,β > 0 dugu (9.210) emaitzan, eta beraz,ν ′ < ν da:gorriranzko lerrakuntza deritzo fenomeno honi, zeren argi ikusgaiaren kasuan iturrian urdinaden argia maiztasun txikiagoko argi gorri moduan ikus baitezake behatzaileak. Oro har, hauxe dagalaxietako argian ikusten den fenomenoa. Teleskopiotik bildutako argia espektrometro bateanaztertzean, lerro karakteristiko ezagunak (hidrogenoarenak edo kaltzioarenak, adibidez) ez diraagertzen laborategian lanpara baten espektroan dauden lekuan, gorriranzko lerraturik baizik. Ho-rrekin galaxiak guregandik norabide guztietan urruntzen direla dakigu: unibertsoaren zabalkuntzaderitzo honi. Aurreko behaketez baliaturik, 1929an Edwin Hubble-k galaxiend distantziaren etav abiaduraren arteko erlazioa

v = Hd (9.213)

dela argitaratu zuenean kosmologia modernoaren iraultza hasi zen: unibertsoa ez da estatikoa.Hubble-ren (9.213) legean agertzen denH konstanteaHubble-ren konstanteadeitzen da.

9.34 IRUDIA Goiko xurgapen-espektroa gorrirantz (urdinerantz) dago lerraturik bigarren (hi-rugarren) espektroan.

Jakina, behatzailea eta iturria hurbiltzen direneanβ < 0 etaurdineranzko lerrakuntza dugu:ν ′ > ν.

Adibidez, hegazkin eta automobilen abiadura radarraren bidez kalkulatzeko erabiltzen daDoppler efektua (gogoratu3.13.2problema).

9.14 Islapena eta errefrakzioa

Uhin bat bi ingurune desberdinen arteko gainazalera heltzen denean, bi inguruneetan heda-tzen diren bi uhinetan zatitzen da: hasierako uhinaren ingurunean hedatzen denauhin islatua daeta beste ingurunean higitzen denauhin errefraktatua . Kontsidera dezagun9.36irudiko kasua.Goiko inguruneanke uhin-bektoreko uhin laua,uhin erasotzaileadeitzen dena, inguruneen ar-teko gainazalera iristean bitan zatitzen da: hasierako ingurunean higitzen denki uhin-bektorekouhin islatua eta beheko ingurunean hedatzen denkr uhin-bektorekouhin errefraktatua .

9.14 Islapena eta errefrakzioa 365

9.35 IRUDIA Islapena eta errefrakzioa.

9.14.1 Islapen eta errefrakzioaren legeak

Fase-konstanteko gainazalen (hau da, uhin-gainazalen) perpendikularrak direnizpiak heda-pen-norabidea ematen duten uhin-bektoreen paraleloak dira, eta inguruneen arteko gainazalarenperpendikularrarekin batera osatzen dituztenθe, θi etaθr angeluakeraso-, islapen-etaerrefrak-zio-angeluadeitzen dira, hurrenez hurren (ikus9.36irudia).

9.36 IRUDIA Uhin-fronteen eta izpien islapena eta errefrakzioa.

Uhinen adierazpenak

ue = ue0ei(ke·r−ωet), (9.214)

ui = ui0ei(ki·r−ωit), (9.215)

ur = ur0ei(kr ·r−ωrt) (9.216)

izango dira.u magnitudea (presioa, desplazamendua, eta abar) jarraituaizango da gainazalean,hau da, balio bera eduki behar du gainazalaren bi aldeetan9. Goiko ingurunean bi uhin ditugulakontuan hartuz, gainazaleko puntu guztietan

ue + ui = ur (9.217)

bete behar da une guztietan; baina, esponentzial desberdinak linealki independenteak direnez(ikus [38]), hori gertatzeko faseak berdinak izango dira gainazaleko puntu guztietan aldiune oro-tan:

ke · r − ωet = ki · r − ωit = kr · r − ωrt. (9.218)9Egia esan, Maxwell-en ekuazioen ondorioz, uhin elektromagnetikoen kasuan eremuen konbinazio batzuk ba-

karrik dira jarraituak; adibidez, eremu elektrikoaren proiekzioa gainazalean. Baina honek ez du aldatzen hemengokalkuluaren ondorioa.

366 9 Uhinak

Hau posible izateko une guztietan, maiztasunak berdinak izango dira,

ωe = ωi = ωr ≡ ω, (9.219)

eta, ondorioz,ke · r = ki · r = kr · r. (9.220)

9.37 IRUDIA Islapen eta errefrakzioaren geometria.

Aukera dezagun triedro cartesiar bat, inguruneen arteko gainazalaOXY planoa izateko mo-duan:OZ norabide normalean dago.OY ardatzaren orientazioa uhin erasotzaileaOY Z planoanegoteko aukeratzen badugu, hauexek izango dira gainazaleko P puntuaren posizio-bektoreareneta uhin-bektoreen osagaiak:

r = x i + y j, (9.221)

ke = key j + kez k, (9.222)

ki = kix i + kiy j + kiz k, (9.223)

kr = krx i + kry j + krz k. (9.224)

Honela idazten dira, bada, (9.220) baldintzak:

keyy = kixx + kiyy = krxx + kryy. (9.225)

Eta hauekx etay guztietarako bete behar direnez,

kix = krx = 0, (9.226)

key = kiy = kry. (9.227)

(9.226) emaitzaren arabera, uhin islatua eta errefraktatua ereOY Z eraso-planoan daude:izpierasotzailea, islatua eta errefraktatua gainazalaren normala den plano berean daude. Bestalde,(9.219) eta9.37irudia erabiliz, goiko (beheko) ingurunean uhinaren abiadurav1 (v2) bada,

key =ω

v1

sin θe, (9.228)

kiy =ω

v1

sin θi, (9.229)

kry =ω

v2sin θr (9.230)

9.14 Islapena eta errefrakzioa 367

dugu eta, (9.227)-ren ondorioz,

ω

v1sin θe =

ω

v1sin θi =⇒ θe = θi, (9.231)

ω

v1sin θe =

ω

v2sin θr =⇒ sin θe

sin θr

=v1

v2. (9.232)

9.38 IRUDIA Ispilu-islapena eta islapen lausoa.

(9.231)-ren arabera,eraso- eta islapen-angeluak berdinak dira. Adibidez,P argi-iturrian sor-tu ondoren gainazal leunean islatzen diren argi-izpien sorta mehe bat erakusten da9.38irudian.Islatu ondoren, gainazalaz beste aldean dagoenP ′ puntutik baletoz bezala hedatzen dira, eta be-gian ez dira gainazala kendu ondorenP ′ puntuan jarriko genukeen argi-iturri batetikoen desberdi-nak.P ′ puntuaP -ren irudia dela esaten da eta fenomenoaispilu-islapenadeitzen da. Gainazalazimurtsua bada, berriz, begian badirudi izpiak iturri desberdinetatik datozela eta ez da irudiriksortzen:islapen lausoada hau eta horrelakoa gertatzen da, adibidez, paper-orri batean.

Bestalde, 1 ingurunearekiko 2-renerrefrakzio-indizea

n21 =v1

v2(9.233)

moduan definitzen badugu, (9.232) emaitzaSnell-en legeada: eraso- eta errefrakzio-angeluensinuen zatidura bi inguruneen menpekoa den konstante baten berdina da:

sin θe

sin θr

= n21. (9.234)

Gainera, aipaturiko konstantearen esangura fisikoa agerian geratu da: bi inguruneetan uhinakdituen abiaduren zatidura.

Uhin elektromagnetikoen kasuan, erreferentzia naturala dugu errefrakzio-indize absolutuakdefinitzeko: hutsa. Horrela,9.12.3atalean esan den moduan, ingurune batean argiav abiaduraz

368 9 Uhinak

9.39 IRUDIA Argiaren errefrakzioa.

hedatzen bada, ingurunearen errefrakzio-indize absolutua, hau da, hutsarekiko errefrakzio-indi-zea, hauxe da:

n =c

v. (9.235)

Bi inguruneren errefrakzio-indize absolutuakn1 etan2 badira, errefrakzio-indize erlatiboa haienzatidura da:

n21 =n2

n1(9.236)

eta Snell-en legea modu simetrikoagoan agertzen da:

n1 sin θe = n2 sin θr. (9.237)

Fase-abiadura eta errefrakzio-indizea maiztasunaren menpekoak izaten dira eta, ondorioz, prismabatean, adibidez, argi ikusgaiaren kolore desberdinak modu desberdinetan desbideratzen dira etaespektroa ikusten da. Fenomeno bera da ostadarren jatorria(ikus [18]).

9.40 IRUDIA Prisma batek sortutako espektro ikusgaia eta ostadar bikoitza.

Talde-abiadura honela idazten da errefrakzio-indizea etamaiztasuna erabiliz:

vt =dω

dk= v + k

dv

dk= v + kvt

dv

dω=

c

n− ωn

cvt

c

n2

dn

dω, (9.238)

vt =c

n + ωdn

dω

. (9.239)

Argi dagodn/dω > 0 denean, hau da, sakabanatzeanormala bada,vt talde-abiadurav = c/nfase-abiadura baino txikiagoa dela. Zenbait esperimentutan argiaren talde-abiadura txikiak lor-tu dira: metro batzuk segundo batean. Bestalde, sakabanatzeaanomaloa, hau da,dn/dω < 0

9.14 Islapena eta errefrakzioa 369

denean, talde-abiadura fase-abiadura baino handiagoa izan daiteke. Areago,c baino handiagoaedo negatiboa izan daiteke eta, izan ere, horrelako talde-abiadurak lortu dira esperimentuetan.Oraindik eztabaidak badaude ere, badirudi (Sommerfeld, Brillouin eta besteren lanei esker) ezinerabili daitekeelavt > c talde-abiadura bat informazioa edo energiac baino abiadura handiagozeramateko.

9.41 IRUDIA Islatzea.

Errefrakzio-indizea era jarraituan aldatzen bada, izpiennorabidea ere modu jarraituan aldadaiteke. Horixe da islatzearen jatorria. Zoruan aire bero arinaren errefrakzio-indizea pixka battxikiagoa da eta izpiak kurbatuak dira. Ondorioz, objektu urrutien bi irudiak ikustean, bitarteandagoen uretan islatua dela bigarrena pentsa daiteke. Arrazoi beragatik, egun beroetan bidea bus-tita dagoela ematen du batzuetan.

9.42 IRUDIA Eskuinean barne-islapen osoa gertatzen da.

9.14.2 Barne-islapen osoa

Bigarren ingurunearen errefrakzio-indizea txikiagoa denean (adibidez, argia uretatik airerajoatean), errefrakzio-angelua eraso-angelua baino handiagoa da eta azken hauangelu kritikoadeitzen den

η ≡ arcsin n21 (9.240)

balioaren berdina denean, errefrakzio-angeluaπ/2 da, hau da, izpi errefraktatua, inguruneen ar-teko gainazalaren tangentea da. Hortaz,θe ≥ η deneanbarne-islapen osoadugu eta izpia ezda sartzen bigarren ingurunean (egia esan, eremu elektrikoaren osagai tangentearen jarraitutasu-naren ondorioz, gainazalaren tangentea <den uhin bat dago,baina era esponentzialean ahultzenda bigarren inguruneko sakonera handitzean; gainazal-uhina deitzen da). Fenomeno honi eskergarraiatzen da argia telekomunikazioetan hain garrantzitsuak diren zuntz optikoetan: zuntzaren

370 9 Uhinak

kurbadura oso handia ez bada eta argi-izpia zuntz mehearen ardatzaren paraleloa bada, zuntzarenhorma ia norabide tangentean, hau da, angelu kritikoa bainohandiago den angeluarekin joko duhorma eta islapen osoa gertatuko da energiarik galdu gabe.

9.43 IRUDIA Islapen osoa eta zuntz optikoa.

9.14.3 Islapen- eta transmisio-koefizienteak

Faseen (9.218) jarraitutasuna kontuan hartuz, (9.217) baldintza anplitudeen jarraitutasuneralaburtzen da:

ue0 + ui0 = ur0. (9.241)

Argi dago uhin erasotzailearen anplitudea ezagutzea ez dela nahikoa ekuazio honen bidez bestebi uhinenak kalkulatzeko: beste mugalde-baldintza bat behar dugu: presioaren, tentsioaren edoeremuaren osagai egokiaren jarraitutasuna.

9.44 IRUDIA Zeharkako uhinak bi soka desberdin lotutan.

Adibide moduan, kontsidera dezagun9.44irudiko sistema. Bi soka desberdin puntu bateanlotu dira. Erreferentzia-sistema lotura-puntuax = 0 abszisan egoteko moduan aukeratzen da.Nondik nora doazen kontuan hartuz, honela adierazten dira uhin erasotzailea, islatua eta erre-fraktatua:

ue = ue0ei(k1x−ωt), (9.242)

ui = ui0ei(−k1x−ωt), (9.243)

ur = ur0ei(k2x−ωt). (9.244)

Ingurune berean hedatzen direnez, uhin erasotzaileak eta islatua uhin-zenbaki bera dute (eta kon-trako uhin-bektoreak:ki = −k1 i = −ke), baina errefraktatuarena desberdina da. Argi dagox = 0 lotura-puntuan desplazamendua

ue0e−iωt + ui0e

−iωt = ur0e−iωt (9.245)

9.14 Islapena eta errefrakzioa 371

dela: (9.241) baldintza berreskuratzen dugu hemen. Oszilazio txikien kasuan, (9.92)–(9.93) ten-tsioaren osagai bertikala hauxe da ezkerreko sokan:

Ty = T sin α ≈ T tanα = T∂u

∂x= T

(

∂ue

∂x+

∂ui

∂x

)

= k1T[

ue0ei(k1x−ωt) − ui0e

−i(k1x+ωt)]

. (9.246)

Era berean, eskuineko sokan zera dugu:

Ty = T∂ur

∂x= k2Tur0e

i(k2x−ωt). (9.247)

Baina bi tentsioak berdinak dirax = 0 puntuan; beraz,e−iωt esponentziala sinplifikatuz,

k1 (ue0 − ui0) = k2ur0 (9.248)

dugu eta, (9.241) gogoratuz,

ui0 =k1 − k2

k1 + k2ue0, ur0 =

2k1

k1 + k2ue0. (9.249)

Soka batean fase-abiaduravi = ω/ki, denez, emaitza

ui0 =v2 − v1

v1 + v2ue0, ur0 =

2v2

v1 + v2ue0 (9.250)

moduan ere idazten da, edo, (9.102) gogoratuz,

ui0 =

√µ1 −

√µ2√

µ1 +√

µ2ue0, ur0 =

2√

µ1√µ1 +

õ2

ue0. (9.251)

Orain, (anplitudearen) islapen-koefizientea uhin islatuaren eta erasotzailearen anplitudeen za-tidura bada,

R ≡ ui0

ue0

, (9.252)

eta (anplitudearen) transmisio-koefizientea uhin errefraktatuaren eta erasotzailearen anplitudeenzatidura,

T ≡ ur0

ue0

, (9.253)

hauxe dugu:

R =

√µ1 −

√µ2√

µ1 +√

µ2

, T =2√

µ1√µ1 +

õ2

. (9.254)

T beti positiboa denez, uhin errefraktatua eta erasotzaileabeti daude faseanx = 0 lotura--puntuan; bainaR positiboa zein negatiboa izan daiteke eta uhin islatua eta erasotzailea fasean(biak soka astunean hedatzen direnean) edo kontrafasean (soka arinean badaude) egon daitez-ke. 9.45irudian erakusten dira bi kasua hauek, uhin harmonikoen gainezarmena den pultsu baterabiliz.

Eskuineko sokaren masa oso handia bada, hau da,µ2 → ∞ limitean, ez dago uhin errefrak-taturik (ur0 = 0, T = 0) eta uhin osoa islatzen da kontrafasean (ui0 = −ue0, R = −1). Gauzabera lortzen da hasieratikx = 0 puntua finkoa dela suposatzen badugu, noski.

Ohar zaitez (9.245) baldintza modu honetan idazten dela:

1 + R = T. (9.255)

(Energiaren islapen- eta transmisio-koefizienteak9.42probleman aztertuko dira.)

372 9 Uhinak

9.45 IRUDIA Pultsuak ezkerreko (eskuineko) soka astunagoadenean.

Uhin elektromagnetikoen islapen- eta transmisio-koefizienteak

Uhin elektromagnetikoen kasuan islapena eta errefrakzioaaztertzeko,365. orriko oinean ai-patu ditugun eremuen osagaien jarraitutasun-baldintzak erabili behar dira. Hemen emaitzak aur-keztera mugatuko gara. Eremu elektrikoa (eta magnetikoa) uhin-bektorearen perpendikularra denplanoan dago eta han, oro har, bi polarizazioren gainezarmena da, hau da, bi osagai ditu,9.46iru-dian10 erakusten den bezala:E⊥ bi inguruneen arteko gainazalaren paraleloa eta eraso-planoarenperpendikularra da etaE‖ aurrekoaren perpendikularra. Eman dezagun,357. orrian aipatu denbezala, dielektrikoetan askotan betetzen denµ1 ≈ µ2 ≈ µ0 baldintza dugula. Kasu horretanhauexek dira islapen- eta transmisio-koefizienteak aipaturiko norabideetan (ikus, adibidez, [14]):

R‖ ≡ Ei‖

Ee‖

=n1 cos θr − n2 cos θe

n1 cos θr + n2 cos θe

, (9.256)

R⊥ ≡ Ei⊥

Ee⊥

=n1 cos θe − n2 cos θr

n1 cos θe + n2 cos θr

, (9.257)

T‖ ≡ Er‖

Ee‖

=2n1 cos θe

n1 cos θr + n2 cos θe

, (9.258)

T⊥ ≡ Er⊥

Ee⊥=

2n1 cos θe

n1 cos θe + n2 cos θr

. (9.259)

9.46 IRUDIA Eremu elektrikoaren osagaiak.

10Liburu askotan,Ei‖ eremuaren noranzko positiboa alderantziz aukeratzen da eta, ondorioz,R‖ koefizientearenzeinua kontrakoa da.

9.14 Islapena eta errefrakzioa 373

9.16 ARIKETA Erabili Snell-en legea, (9.256)–(9.259) emaitzak, ondoan agertzen direnFresnel--en ekuazioenbaliokideak direla frogatzeko:

R‖ =tan (θr − θe)

tan (θr + θe), (9.260)

R⊥ =sin (θr − θe)

sin (θr + θe), (9.261)

T‖ =2 sin θr cos θe

sin (θe + θr) cos (θe − θr), (9.262)

T⊥ =2 sin θr cos θe

sin (θr + θe). (9.263)

Azter dezagun zer (eta noiz) gertatzen denR‖ = 0 izatea. Kasu horretan, uhin erasotzailearenpolarizazioa edonolakoa izanda ere, uhin islatua linealkipolarizatuta dago, inguruneen artekogainazalaren paraleloa eta eraso-plano perpendikularra den norabidean hain zuzen,Ei‖ = 0 baita.(9.256) emaitzaren arabera,n1 cos θr = n2 cos θe bete behar da hori gertatzeko; baina, hori Snell--en (9.237) legearekin biderkatuz,sin θe cos θe = sin θr cos θr lortzen dugu, hau da,sin 2θe =sin 2θr. Hots, Snell-en legeak, (9.256)-rekin batera,θe = θr soluzioa debekatzen duenez, uhinislatuaren polarizazio osoa2θr = π − 2θe, hau da,

θe + θr =π

2(9.264)

denean, lortzen da:izpi islatua eta errefraktatua elkarzutak direnean, izpi islatua linealki polari-zatua dago eta eremu elektrikoa inguruneen arteko gainazalaren paraleloa eta eraso-planoarenperpendikularra da. Gainera, (9.264) baldintzaren ondoriozsin θr = cos θe dugu eta Snell-en(9.234) erabiliz, polarizazio osoa eraso-angelua hurrengo ekuazioak definiturikopolarizazio-an-geluarenberdina denean gertatzen da:

θe = arctann21. (9.265)

Brewster-en legeaderitzo emaitza honi. Fenomeno honen ondorioz, gainazal horizontal batean(erreka baten azalean, zoruko izotzean edo errepideetako asfaltoan) islatutako argia partzialkipolarizatuta dago eta eraginkorragoak izan daitezke eguzkitako betaurrekoak material polariza-tzaileez egiten badira.

9.48probleman frogatuko duguR⊥ ez dela nulua eta, beraz, uhin islatua ez dagoela polariza-tua eraso-planoan, uhin erasotzailea horrela ez bazegoen.Argi dago, gainera, bi transmisio-koefi-zienteak ez direla nuluak eta, oro har, uhin errefraktatua ez dago polarizaturik. Transmisio-koefi-zienteak positiboak direnez, uhin errefraktatua eta erasotzailea fasean daude; baina, islapen-koe-fizienteak positiboak zein negatiboak izan daitezke eta uhin islatua fasean zein kontrafasean egondaiteke.

Erasoa normala bada,θe = θi = θr = 0,

R‖ = R⊥ =n1 − n2

n1 + n2, (9.266)

T‖ = T⊥ =2n1

n1 + n2(9.267)

dugu. Uhin islatuanπ balioko desfase bat egongo dan1 < n2 denean, hau da,9.14.3atalekokasuan bezala, uhin errefraktatua erasotzailea baino astiroago higitzen denean.

374 9 Uhinak

9.47 IRUDIA Argi islatuaren polarizazioa angelu desberdinetan.

Eraso (ia) tangentean,θe ≈ π/2, ez dago uhin errefraktaturik eta (9.47irudiko aukerak kon-tuan harturik) uhin islatuan eremu elektrikoa alderantzizdoa, hau da,π balioko desfasearekin:

− R‖ ≈ R⊥ ≈ −1, T‖ ≈ T⊥ ≈ 0. (9.268)

Bestalde, eraso-angelua kritikoaren berdina edo handiagoa denean, bakarrik dugu uhin islatua(eta gainazal-uhina) eta (9.256)–(9.259) ez dira aplikatzen (ikus, adibidez, [12]).

9.15 Interferentzia

Maiztasun bereko bi uhin harmoniko puntu batean gainezartzen direnean, maiztasun berdinaduen beste uhin harmoniko bat sortzen da. Eman dezagunP puntuan bi uhinen adierazpenak

u1 = A1ei(ϕ1−ωt) [= A1 cos (ϕ1 − ωt)] , (9.269)

u2 = A2ei(ϕ2−ωt) [= A2 cos (ϕ2 − ωt)] (9.270)

direla. Adibidez, fasean daudenI1 etaI2 iturri puntualetatik datozen uhin-luzera berdineko biuhin esferikoren kasuan,

ui =ui0

ri

ei(kri−ωt−ϕ0), (9.271)

hauexek dituguAi anplitudeak etaϕi faseak:

Ai =ui0

ri

, ϕi = kri − ϕ0. (9.272)

Uhin osoa puntu horretan harmonikoa da eta anplitudea eta fasea erraz kalkulatzen dira faso-reak edota berdintza trigonometrikoak erabiliz:

u = u1 + u2 = Aei(ϕ−ωt) [= A cos (ϕ − ωt)] , (9.273)

A =√

A21 + A2

2 + 2A1A2 cos (ϕ2 − ϕ1), (9.274)

sin ϕ =A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2

A, (9.275)

cos ϕ =A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2

A. (9.276)