9. GAIA

Uhinak

9.1 IRUDIA Interferentzia.

325

326 9 Uhinak

Nork ez du itsas olaturik ikusi? Soinu-uhinei esker entzuten dugu eta argi-uhinak dira ikusme-na ahalbidetzen dutenak. Irrati, telebista edo telefono mugikorren bidez informazioa hedatzeko,uhin elektromagnetikoak behar dira; telekomunikazio-gizartea ezinezkoa izango litzateke uhinikgabe.

Uhinen definizioak eta oinarrizko propietateak aztertuko dira gai honetan. Sarrera bat egiteramugatuko gara, beste ikasgaietan uhinei buruz ikasleak ikusiko duena errazteko. Gero, elektro-magnetismoan eta optikan uhin elektromagnetikoak aztertuko dira modu sakonagoan eta meka-nika kuantikoan antzeko kontzeptuak erabiliko dira, Schrödinger-en uhin-ekuazioaren testuingu-ruan.

Lehen azterketa honetan hurbilketa handiak egingo ditugu,oinarri fisiko eta tresna matema-tiko gehiago behar baitira hainbat uhin-fenomeno era zehatzean aztertzeko. Horrela, askotan,adibide erraztu batean baliatuko gara ondorio fisiko interesgarri orokorrak lortzeko, eta benetanorokorrak direlako frogapena ikasgai aurreratuetarako utziko da. Izan ere, horrelako hurbilketaketa sinplifikazioak askotan egin eta egiten dira fisikan. Maiz fenomenoen alderdi garrantzitsuakondo uler daitezke xehetasun ezezagunen edo zailen azterketa etorkizunerako uzten badira. Hau-xe izaten da askotan aurrera egiteko modu bakarra.

9.1 Definizioa eta uhin-ekuazioa

Harri bat ur geldietara botatzean jotze-puntuan sortzen den perturbazioa eraztun zentroki-deetan hedatzen da kanporantz. Hedatzen dena ez da materia bera (uretan dauden hostoak apurbat higitzen dira uhina pasatzean, baina ez doaz uhin-frontearekin), baizik eta propietate fisikobat, uraren altuera, adibidez. Gainera, uhinak energia darama: geldi zeuden hostoetara iristeanoszilatzen hasten dira hauek.

Uhin orokor batean puntu batetik bestera hedatzen dira magnitude fisikoren baten balioak:presioaren maximoa, eremu elektrikoaren balio bat, eta abar. Magnitude fisiko hori espazioarenarlo bateko puntuetan definiturik dago, eremu bat da. Gainera, uhinek energia (eta momentulineala) eramaten dute.

9.2 IRUDIA Funtzio baten bi transladatuaka > 0 kasuan.

9.2 irudian ikusten denez,f(x) funtzioaa distantziara transladatzen badugu,f(x − a) lor-tzen da. Fisikanf funtzioa dimentsio bakarrean gertatzen den fenomeno batenmagnitude bat,dimentsio bakarreko eremu bat, neurtzeko erabil daiteke. Adibidez, barra bateko tenperatura izandaiteke, edo airearen presioa organo-tutu batean.

Demagun orain egoera ez dela egonkorra eta, esaterako, tenperatura-banaketa hedatzen delabarran zehar, puntu batek orain duen tenperatua gero albokopuntuarena dela. Translazio-distan-tzia denborarekin aldatzen badaa = vt legearen arabera, magnitudearen grafikoav abiadurazhigituko da. Hortaz,

u(t, x) ≡ f(x − vt) (9.1)

9.1 Definizioa eta uhin-ekuazioa 327

funtzioak aipaturiko magnitudearen uhin baten hedapena deskribatuko du eta hedapen-abiadurav izango da.

9.3 IRUDIA Magnitude baten hedapenav > 0 kasuan1.

9.4 irudiko ezkerraldean ikusten dugu zein den eremuaren balioa puntu guztietan une bateaneta nola aldatzen den banaketa hori denborarekin, eta eskuinaldean zein den puntu bakoitzareneboluzioa.

−v hedapen-abiadurako uhina deskribatzekou(t, x) ≡ f(x + vt) funtzioa erabiliko dugu,noski, eta kasu bietan zera dugu:

u(t, x) = f(x ∓ vt), (9.2)∂u

∂t= ∓vf ′(x ∓ vt) = ∓v

∂u

∂x, (9.3)

∂2u

∂t2= v2f ′′(x ∓ vt) = v2∂2u

∂x2. (9.4)

9.4 IRUDIA Uhinarent = ktea. etax = ktea. ebakiak.

1Zoaz http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/uhinak/sailkapena.html orrira simulazio ba-tzuk ikustera.

328 9 Uhinak

Hauxe frogatu dugu, bada:±v abiaduraz x ardatzean barrena hedatzen diren uhinak

∂2u

∂x2− 1

v2

∂2u

∂t2= 0 (9.5)

uhin-ekuazioaren soluzioak dira. Alderantzizkoa ere egiazkoa da, deribatu partzialetako ekua-zio lineal honen soluzio orokorraf(x − vt) + g(x + vt) da2, f etag funtzioak edonolakoakizanik. Beraz, (9.5) uhin-ekuazioa dimentsio bakarreanv abiadura konstantez higitzen diren uhi-nen deskribapen diferentziala da. Hiru dimentsiotan geroago ikusiko dugun (9.124) uhin-ekua-zioa erabili behar da, uhinen abiadura denboraren eta norabidearen independentea denean. Azkenbaldintza ez da betetzen10. gaian ikusiko dugun (10.141) uhin-ekuazioan. Bestalde, Schrödin-ger-en ekuazioa ez da erreala (ikus9.9problema),9.86problemakoak deribatu gabeko gai bat dueta9.8problemakoaren ordena handiagoa da. Hala ere, gai honetan ia guztietan (9.5) eta (9.124)kasu errazena kontsideratuko da bakarrik, fisikan duen garrantzia apartekoa da eta.

9.2 Uhin harmonikoak

Uhina harmonikoa dela esaten dugu bere profila sinusoide batdenean:f(x) = u(0, x) =Ceikx edo, parte erreala hartuz,f(x) = u(0, x) = A cos (kx − ϕ0). k konstanteariuhin-zenba-kia deritzo. Kasu horretan honela idazten dav abiaduraz hedatzen den uhina:

u(t, x) = Ceik(x−vt) = Cei(kx∓ωt) [ = A cos [k(x − vt) − ϕ0] = A cos (kx ∓ ωt − ϕ0)] . (9.6)

Hemenpultsazioaω ≡ |kv| (9.7)

moduan definitzen denez, (9.6) adierazpenean− zeinua aukeratu behar da uhina eskuinerantzhigitzen bada (hau da,v > 0 denean), eta+ aurkako kasuan.

9.5 IRUDIA Uhin harmonikoaren eboluzioa puntu batean eta une batean duen profila.

Puntu batean uhinaren balioa osziladore baten antzera aldatzen da:

u (t, x0) = Ceikx0e∓iωt. (9.8)

Argi dago denborarekiko eboluzio horrenperiodoa

T =2π

ω=⇒ u (t + T, x0) = u (t, x0) (9.9)

dela eta, beraz,maiztasuna

ν =1

T=

ω

2π=

|kv|2π

. (9.10)

2D’Alembert-en soluzioa da hau: ikus9.2problema.

9.3 Uhin periodikoak 329

Orain une batean uhinak duen profila aztertuko dugu. Argi dago beste sinusoide bat dela:

u (t0, x) = Ce∓iωt0eikx. (9.11)

Profilaren periodoa, hau da, periodo espaziala,uhin-luzera deitzen da:

λ =2π

|k| =|v|ν

= |v|T =⇒ u (t0, x + λ) = u (t0, x) . (9.12)

Honela ere idatz daiteke uhin harmonikoa:

u(t, x) = Ce±2πi( xλ∓ t

T ). (9.13)

9.1 ARIKETA Konparatu440 Hz-eko La notaren eta600 nm-ko argi gorriaren uhin-luzerak etamaiztasunak.

9.2.1 Fase-abiadura

Argi dago (9.12) adierazpenean uhinaren balio konstante batek (maximo batek, adibidez)periodo batean egindako bidea uhin-luzera dela. Azter dezagun orain nola higitzen den aipaturikobalio konstantea. Uhinarenu(t, x) = Ceiϕ balio konstante bat aukeratzen bada,ϕ fasekonstanteav abiaduraz higituko da:

ϕ ≡ k(x − vt) = kx ∓ ωt = ktea. =⇒ x − v = 0. (9.14)

Ondorioz, uhinarenv hedapen-abiadurarifase-abiaduraderitzo.

9.2 ARIKETA Zer adierazten duu = Ce−i(kx+ωt) formulak?

9.3 Uhin periodikoak

Aurreko ataleko uhinakmonokromatikoak ziren, hau da, uhin-luzera bakarra (eta maiztasunbakarra) zuten. Kasu sinpleena da hori eta, ikusiko dugunez, garrantzitsuena, besteak horrelakoengainezarmenaren bidez eratzen baitira. Has gaitezen uhin periodikoekin (kasu orokorra9.4 ata-lean aztertuko dugu).

7.3.6atalean ere ikusi genuenez, uhinarenf(x) = u(0, x) profila periodikoa bada, sinusoi-deen konbinazio modura idatz daitekeFourier-en seriebat erabiliz:

f(x) = f(x + λ) =∞∑

n=−∞

cn einkx,(

k ≡ 2π

λ

)

, (9.15)

cn =1

λ

∫ λ

0f(x) e−inkx dx, (n = 0,±1, . . .). (9.16)

Ondorioz, honela idazten daλ uhin-luzerako uhin periodikoa:

u(t, x) = u(t, x + λ) = u(t + T, x) =∞∑

n=−∞

cn eink(x−vt) =∞∑

n=−∞

cn ein(kx∓ωt). (9.17)

cn =1

λ

∫ λ

0u(0, x) e−inkx dx =

1

T

∫ T

0u(t, 0) e±inωt dt, (n = 0,±1, . . .). (9.18)

330 9 Uhinak

9.3 ARIKETA Froga ezazu (9.18) adierazpeneko azken bi gaien berdintasuna.

Fase-abiadurav bada, uhin-luzeraren eta maiztasunaren arteko erlazioa uhin harmonikoarenaizango da. Maiztasun txikieneko osagaiaoinarrizko harmonikoa (edolehen harmonikoa) dei-tzen da,

ω = |kv| =2π|v|

λ, (9.19)

eta besteakgoi-harmonikoak: bigarrena, hirugarrena eta abar. Azken hauetako guztiak edo ba-tzuk bakarrik ager daitezke.

9.6 IRUDIA Uhin angeluzuzena.

Adibide moduan kontsidera dezagun9.6 irudiko profil angeluzuzena. Uhin-luzeraλ denez,k = 2π/λ dugu eta Fourier-en koefizienteak

cn =a

λ

[

∫ λ/2

0e−2πinx/λ dx −

∫ λ

λ/2e−2πinx/λ dx

]

= a1 − e−iπn

iπn= a

1 − (−1)n

iπn

=a

iπn

{

0, n = ±2,±4, . . . ;2, n = ±1,±3, . . .

(9.20)

Funtzioaren simetria-propietateak kontuan hartuz, argi dagoc0 = 0 dela. Profilaren Fourier-enseriea, beraz, honela idazten dan = 2k + 1 moduan idatziz:

f(x) =4a

π

∞∑

k=0

e2(2k+1)πix/λ − e−2(2k+1)πix/λ

2i(2k + 1)=

4a

π

∞∑

k=0

1

2k + 1sin

2(2k + 1)πx

λ. (9.21)

Funtzioa bakoitia denez, bakarrik agertzen dira sinuak etaez kosinuak.9.7 irudian azaltzen dirahasierakoN harmonikoen baturak. Argi dago eten-puntuen inguruan konbergentzia motelagoadela:Gibbs fenomenoadeitzen da hau.

9.7 IRUDIA Gibbs fenomenoa.

9.4 Fourier-en analisia eta espektroa 331

9.4 Fourier-en analisia eta espektroa

7.3.7atalean esan zenez,f(x) funtzio orokorra sinusoideen bidez adieraz daitekeFourier-entransformazioa erabiliz:

f(x) =∫ ∞

−∞F (k) eikx dk, (9.22)

F (k) =1

2π

∫ ∞

−∞f(x) e−ikx dx. (9.23)

Ondorioz,u(t, x) = f(x − vt) uhinaren kasuan zera dugu:

u(t, x) =∫ ∞

−∞F (k) eik(x−vt) dk, (9.24)

F (k) =1

2π

∫ ∞

−∞u(0, x) e−ikx dx. (9.25)

F (k) transformatuak uhinarenespektroa adierazten du, hau da, nolako ekarpena duen osagaimonokromatiko bakoitzak.

k0 uhin-zenbakiko uhin monokromatikoaren kasuan maiztasun bakarra dago espektroan:

F (k) = C δ (k − k0) . (9.26)

Izan ere, Dirac-en delta oinarrizko propietateak erabiliz(ikusB.5 atala), hauxe dugu:

u(t, x) =∫ ∞

−∞Cδ (k − k0) eik(x−vt) dk = Ceik0(x−vt), (9.27)

F (k) =1

2π

∫ ∞

−∞Ce−i(k−k0)x dx = C δ (k − k0) . (9.28)

Orobat, oinarrizko harmonikotzatω0 = |k0v| duen uhin periodikoaren espektroa hurrengoa da:

F (k) =∞∑

n=−∞

cn δ (k − nk0) . (9.29)

Kontsidera dezagun orainpultsu edouhin-pakete bat, hau da, tarte finitu batean izan eziknulua den uhina. Errazena9.8 irudiko pultsu karratua da:

f(x) = u(0, x) = A

1, |x| <L

2;

0, |x| >L

2.

(9.30)

Transformatua zuzenean kalkulatzen da eta9.8irudiko eskuinaldean azaltzen da:

F (k) =A

2π

∫ L/2

−L/2e−ikx dx =

A

πksin

kL

2. (9.31)

Argi dago pultsuaren zabalera∆x = L dela. Transformatua−∞-tik ∞-ra doa, baina jatorriareninguruan izan ezik oso txikia da; beraz, haren zabalera irudiko

∆k =4π

L(9.32)

332 9 Uhinak

9.8 IRUDIA Pultsu karratua eta bere espektroa.

balioa edo honen multiplo txikiren bat izango da. Hauxe dugu, hortaz, zenbaki txiki bat ahaztuta:

∆x ∆k ∼ 2π, (9.33)

pultsua zabalagoa bada, transformatua estuagoa da eta, alderantziz, zenbat eta estuagoa pul-tsua hainbat eta zabalagoa espektroa. Propietate hau, zabalerak ongi definituz gero, orokorrada (banda-zabaleraren teoremadeitzen zaio askotan). Uhin-pakete estu bat eraikitzeko maiz-tasun askoko uhin monokromatikoak batu behar dira. Batez beste, osagaien anplitudea txikituzdoaω = |kv| maiztasuna handitzean, baina osagai guztiak berdinak diren F (k) = C limiteanzabalera nuluko pultsua berreskuratzen dugu:

f(x) =∫ ∞

−∞C eikx dk = 2πC δ(x). (9.34)

Beste muturrean, maiztasun bakarra erabiltzen badugu zabalera infinituko (9.27)–(9.28) pultsuharmonikoa dugu.

Antzeko propietate bat gertatzen da mekanika kuantikoan. Partikula aske baten momentu li-nealap bada, bere uhin-funtzioakk = 2πp/h uhin-zenbakia du eta (9.33) emaitzaren antzera,hauxe da kasu orokorrean partikula baten adierazpen kuantikoan agertzen diren momentuen tar-tearen eta zabalera espazialaren arteko erlazioa:

∆x ∆p ∼ h. (9.35)

Hauxe daHeisenberg-en ziurgabetasunaren printzipioa: partikula kuantiko baten posizioazehaztasun handiarekin neurtzen bada, momentuaren neurrian errore handia egiten da eta alde-rantziz.

9.4 ARIKETA Eman dezagun orain espektroa bornatua dela hurrengo profilarekin:

F (k) = A

1, |k| <1

2L;

0, |k| >1

2L.

(9.36)

Kalkula ezazu uhin-paketea eta egiaztatu (9.33).

9.5 Talde-abiadura 333

9.5 Talde-abiadura

Aurreko bi ataletan batzen ziren uhin monokromatiko guztien fase-abiadura berbera zela su-posatu da, ia esan gabe. Baina hori ez da beti horrela gertatzen. Has gaitezenvi = ωi/ki fase--abiadura desberdineko bi uhin harmonikoz osaturiko taldeerraz baten kasuarekin:

u = u0 cos (k1x − ω1t) + u0 cos (k2x − ω2t)

= 2u0 cos

[

k1 − k2

2x − ω1 − ω2

2t

]

cos

[

k1 + k2

2x − ω1 + ω2

2t

]

. (9.37)

Bi uhinen uhin-zenbakiak eta maiztasunak berdintsuak badira (k1 ≈ k2, ω1 ≈ ω2), anplitudealdakorreko uhin harmonikotzat kontsidera dezakegu bi uhinen gainezarmena eta, oszilazioenkasuan7.23irudian ikusi genuenaren antzera, taupadak gertatuko dirapuntu bakoitzean denboraaldatzean, eta une bakoitzean puntua aldatzean.Anplitude-modulazioa deritzo fenomeno honi.Hemen, bi uhinen anplitudeak eta hasierako faseak berdinakzirenez, modulazioa osoa izan da,anplitudea 0-tik2u0-ra baitoa, baina modulazioa partziala ere izan daiteke,9.9 irudiko eskuinaldean erakusten den moduan.

9.9 IRUDIA Modulazio osoa eta partziala3.

(9.37) adierazpeneko azken gaia kontuan hartuz, fase-abiadura,hau da, maximo estuen abia-dura, batu diren uhinen fase-abiaduren berdintsua da:

vf =ω1 + ω2

k1 + k2≈ ω1

k1≈ ω2

k2. (9.38)

Baina kasu honetan anplitudea ere hedatzen da: anplitude-uhin bat dugu, anplitudearen maxi-moen

vt =ω1 − ω2

k1 − k2=

∆ω

∆k. (9.39)

talde-abiaduraz higitzen dena.Bi uhin kontsideratu beharrean, maiztasun-tarteestu bateko uhinen gainezarmena den uhin-

-pakete baten kasuan, osagai harmoniko guztienvf = ω/k fase-abiadura ia berdina izango da etatalde-abiadura hurrengoa (ikus, adibidez, [28]):

vt =dω

dk. (9.40)

Ingurune batean uhin harmoniko guztien fase-abiadura berdina bada,vf = v, kasu guztietanω = vk dugu etavt = dω/dk = v talde-abiadura fase-abiaduraren berdina izango da. Hauxeizan

3Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/uhinak/talde.html orriko simulazioa.

334 9 Uhinak

da9.4atalean kontsideratu ditugun uhin-paketeen kasua. Bestalde, ingurune batsakabanatzaileadela esaten da uhin monokromatikoenvf = ω/k fase-abiadura uhin-zenbakiaren (eta, ondorioz,maiztasunaren) menpekoa denean:

vf = v(k), (9.41)

ω = v(k)k, (9.42)

vt =dω

dk= v(k) + kv′(k), (9.43)

vt = vf + kdvf

dk. (9.44)

9.5 ARIKETA Metalezko xafla mehe luze baten zabalera, dentsitatea eta Young-en modulua (ikus(9.48) formula eta10.2atala),d, ρ etaY badira, hurrengo sakabanatze-erlazioa betetzen da zeharkakouhinen kasuan:

ω =

√

d2Y

12ρk2. (9.45)

Froga ezazu fase-abiaduravf ∝ √ω dela eta talde-abiaduravt = 2vf .

t = 12 t = 15 t = 18 t = 21

t = 0 t = 3 t = 6 t = 9

9.10 IRUDIA Uhin-pakete baten eboluzioa ingurune sakabanatzaile batean4.

Ingurune sakabanatzaile batean, pakete baten osagai harmonikoak abiadura desberdinez bi-daiatzen dira eta, ondorioz, paketea zabalduz joango da, desegin arte.

9.6 Uhin elastikoak barra batean

Eman dezagun barra baten mutur bat finko dagoela horman. Mutur askean indar paralelobat aplikatzen bazaio (mailu batez jotzen dugulako edo) deformatu egingo da eta muturrarendeformazio horrek barraren alboko zatian indar elastiko bat eragingo du. Zati hori beraz higitueta deformatuko da eta alboko zatian antzeko eragina izangodu; horrela, deformazioa hedatukoda barran barrena uhin elastiko baten moduan. Baina hori aztertzeko has gaitezen estatikarekin.

4Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/uhinak/paketea.html orriko simulazioa.

9.6 Uhin elastikoak barra batean 335

9.6.1 Deformazio- eta tentsio-eremuak

Mutur askeanF indar konstante bat aplikatzen bada barra osoa deformatukoda eta berriroorekan dagoenean9.11irudiko ezkerraldean azaltzen den egoera izango dugu. Indarrik gabe hor-matik x distantziara zegoen elementua orainx + u(x) distantziara dago:deformazio-eremuadeitzen da posizioaren aldaketa neurtzen duenu(x) magnitudea. Argi dagou(0) = 0 dela etabarraren luzapenau(l) = ∆l.

9.11 IRUDIA Barra elastikoaren estatika eta dinamika.

Barraren zati bakoitza orekan dago, bere muturretan aplikaturiko indarrak kontrakoak baitira.BainaF ukipen-indarraren ordez, zeharkako sekzioaren azalera-unitateko indarra,tentsioaedoesfortzu normaladeitzen dena, erabiliko dugu:

τ ≡ F

A. (9.46)

Sekzio guztietan berdina denez, orekan (baina ez dinamikan) tentsio-eremuaedoesfortzu-ere-mua konstantea da. Deformazioa eta esfortzua oso handiak ez badira, deformazioa barraren lu-zeraren eta aplikatutako indarraren proportzionala izatea espero dugu, eta halaxe gertatzen deladioskuHooke-ren legeak(ikus10.2atala):luzera-unitateko deformazioa tentsioaren proportzio-nala da,

u(x)

x=

∆l

l∝ τ ∝ F. (9.47)

Proportzionaltasun-konstanteariYoung-en moduluaderitzo:

τ = Yu(x)

x. (9.48)

Ageri denez, Young-en moduluaren unitateak tentsioarenakdira:1 Pa= 1 N m−2. Young-en mo-dulua materialaren ezaugarria da (ikusA.9 taula) eta modu horretan definitu da (eta ezF = Y u/xmoduan) zeharkako azaleraren independentea izateko. Materiala zurrunagoa bada,Y handiagoaizango da eta esfortzu handiagoa aplikatu beharko zaio barrari deformazio jakin bat lortzeko.

Definizioaren deribatua kalkulatuz,

u(x) =τ

Yx =⇒ du

dx=

τ

Y(9.49)

336 9 Uhinak

dugu. Estatikan deformazioax luzeraren proportzionala da eta (9.49)-ko lege finitua eta diferen-tziala baliokideak dira, baina egoera aldakorra denean bigarren forma erabili behar da:

τ = Y∂u

∂x. (9.50)

Izan ere, esfortzua eta deformazioa puntu batetik bestera aldatzen direnez,dx luzerako elemen-tu infinitesimalaren deformazioa eta pairatzen duen esfortzua kontsideratu behar dira. Egoeradinamikoa9.11irudiko eskuinaldean marraztu da. Azter dezagun barra deformatu aurretikx po-sizioan dagoendx luzerako elementu infinitesimalaren luzera berria:

dl = [x + dx + u(t, x + dx)] − [x + u(t, x)] = dx

(

1 +∂u

∂x

)

. (9.51)

Ondorioz, luzera-unitateko deformazioa

dl − dx

dx=

∂u

∂x(9.52)

da eta Hooke-ren legea (9.50). Deribatu partziala erabili da hemen, dinamikan deformazio- etaesfortzu-eremuak denboraren menpekoak baitira:u(t, x) etaτ(t, x).

9.6.2 Higidura-ekuazioa

Elementuaren bolumenadV = A dx denez, materialaren masa-dentsitateaρ bada, masa hau-xe dugu:

dm = ρA dx. (9.53)

Bestalde, elementuaren posizioax + u(t, x) denez, bere azelerazioa∂2u/∂t2 da eta muturretanpairatzen dituen ukipen-indarrak

F (t, x) = Aτ(t, x) = Y A∂u

∂x(t, x), (9.54)

F (t, x + dx) = Aτ(t, x + dx) = Y A∂u

∂x(t, x + dx), (9.55)

(9.50) legearen ondorioz. Beraz, indar osoa

dF = F (t, x + dx) − F (t, x) =∂F

∂x(t, x) dx = Y A

∂2u

∂x2(t, x) dx (9.56)

da eta, Newton-en bigarren legea

dF = dm∂2u

∂t2(9.57)

denez, higidura-ekuazioa honako hau dugu:

∂2u

∂x2=

ρ

Y

∂2u

∂t2. (9.58)

(9.5) uhin-ekuazioa gogoratuz, hauxe frogatu dugu:uhin elastikoak

v =

√

Y

ρ(9.59)

9.6 Uhin elastikoak barra batean 337

abiadurarekin hedatzen dira barra batean. Azkarrago hedatzen dira uhin elastikoak, bada, mate-rial zurrun arinetan.

Atal honetan bakarrik aztertu dugu materialaren desplazamendu horizontala; baina luzetara-ko uhin bat igarotzean zeharkako dimentsioak ere apur bat aldatzen direla kontuan hartzen bada,fase-abiadura uhin-luzeraren menpekoa dela froga daiteke. Hala ere, efektu hau arbuiagarria dauhin-luzera barraren zeharkako dimentsioak baino askoz handiagoa bada, eta horixe izan da in-plizituki suposatu duguna barra bat kontsideratzean.

9.6 ARIKETA Erabili A.9 taula uhin elastikoen abiadura altzairuzko barra batean kalkulatzeko.Erkatu emaitza soinuak airean duen abiadurarekin.

9.6.3 Energia eta momentu linealaren hedapena

Aztertu berri dugun deformazio-uhina ez da uhin bakarra problema honetan. (9.50) tentsioakere (9.58) uhin-ekuazioa betetzen du zeren, deribatuak elkarrekin trukatzen direnez,

∂2τ

∂x2=

ρ

Y

∂2τ

∂t2(9.60)

baitugu. Deformazio-eremuarenu = f(x − vt) + g(x + vt) egituraz balia gaitezke gauza berabeste modu batera ikusteko: argi dago esfortzua egitura matematiko berekoa izango dela eta,ondorioz, uhin-ekuazio beraren soluzioa. Elementu infinitesimalaren momentu lineala

dp = ρA∂u

∂tdx (9.61)

da eta, ageri denez, hau (edo luzera-unitateko momentu lineala) (9.59) abiaduraz hedatzen dau-rekin batera. Uhinak momentu lineala darama, eta baita energia ere, zeharkako gainazal ba-koitzean ezkerreko zatiak indarra eta lana egiten baititu eskuinekoaren gainean (eta alderantziz).Adibidez, ezkerreko zatiak eskuinekoan egiten duen potentzia hauxe dugu:

P = −F∂u

∂t. (9.62)

Kontsidera dezagun zer gertatzen den uhina baten

u(t, x) = u0 cos(kx − ωt), (ω = kv) (9.63)

osagai harmonikoaren kasuan. Elementu infinitesimal bakoitza higidura harmonikoan ari da eta

dT =1

2ρA

(

∂u

∂t

)2

dx (9.64)

energia zinetikoaren batez besteko balioa zuzenean kalkulatzen da:

〈dT 〉 =1

2ρA

⟨(

∂u

∂t

)2⟩

dx =1

2ρAω2u2

0

⟨

sin2(kx − ωt)⟩

dx =1

4ρAω2u2

0 dx. (9.65)

9.7 ARIKETA Zein da batez besteko momentu lineala?

338 9 Uhinak

Higidura harmonikoan batez besteko energia zinetikoa eta potentziala berdinak direnez, ele-mentuaren energia mekaniko osoa

dE = 〈dT 〉 + 〈dV 〉 = 2 〈dT 〉 =1

2ρAω2u2

0 dx =1

2dm ω2u2

0 (9.66)

da, hau da, elementu infinitesimalaren energia zinetiko maximoaren eta energia potentzialarenmaximoaren berdina. Hortaz, energia-dentsitatea hauxe da:

U =dE

A dx=

1

2ρω2u2

0. (9.67)

Bestalde, ezkerreko zatiak elementuaren gainean eragitenduen aldiuneko potentzia eta batezbestekoa honako hauek dira:

P = −F∂u

∂t= Y Au2

0kω sin2(kx − ωt) = vAρω2u20 sin2(kx − ωt), (9.68)

〈P〉 =1

2vAρω2u2

0 = vAU. (9.69)

9.12 IRUDIA dt tartean sekzio normala zeharkatzen duen energia zilindro honetan dago.

Beraz, uhinarenintentsitatea, hau da, denbora-unitatean sekzio normalaren unitatea zehar-katzen duen batez besteko energia,

I =1

A〈P〉 = vU (9.70)

da eta,v abiaduraz higitzen denU energia-dentsitatearen fluxua dela ikusten dugu. Izan ere,in-terpretazio horretandt tartean ezkerreko sekzio normalean zehar sartu den energiadV = A(v dt)bolumenean dagoena da eta denbora-tarte horretan ezkerreko zatiak egindako lanaren berdina da:

U dV = vAU dt = 〈P〉 dt. (9.71)

Atal honetako luzetarako uhinez gain, bestelako uhinak hedatzen dira barretan:10.2.5ataleanzeharkakoak aztertuko ditugu eta10.2.6delakoan bihurdura-uhinak.

9.7 Presio-uhinak gas-zutabe batean

Kontsidera dezagun hodi zilindriko luze batean dagoen gasan hedatzen diren soinu-uhinak,hau da, presio-uhinak. Deformazio-eremua barraren kasuanegin genuen bezala defini daiteke(ikus 9.13irudia), baina gasak, solidoak ez bezala, oso konprimigarriak direnez, deformazioare-kin batera presio eta dentsitatea aldatuko dira.

9.7 Presio-uhinak gas-zutabe batean 339

9.13 IRUDIA Gas-zutabea orekan eta higiduran.

Orekan puntu guztietan ditugup0 presioa etaρ0 dentsitatea, baina uhina pasatzeanp(t, x)etaρ(t, x) eremuak aztertu beharko dira. Elementu infinitesimal batenluzera (9.51) denez, berebolumena

∆(dV ) = A dl − A dx = A∂u

∂xdx =

∂u

∂xdV (9.72)

moduan aldatu da.Bestalde, presioaren aldaketa eta bolumenaren aldaketa unitarioa proportzionalak dira eta

B proportzionaltasun-konstanteabolumen-modulua, edokonprimigarritasun-modulua , dei-tzen da:

∆p = −B∆V

V. (9.73)

Hauxe dugu presioaren aldaketarako hurbilketa lineala (Hooke-ren legea), sistema orekatik osourrun ez dagoenean erabil daitekeena (ikus10.2.1atala etaA.10taula). Ondorioz, honela geratzenda presio eta deformazioaren arteko erlazioa (9.72) bolumenaren kasuan:

∆p = p − p0 = −B∂u

∂x=⇒ p = p0 − B

∂u

∂x. (9.74)

Hemendik, elementu infinitesimalak pairatzen duen indar osoa kalkulatzen dugu (presioaren no-ranzkoa kontuan harturik):

dF = pA −(

p +∂p

∂xdx

)

A = −A∂p

∂xdx = BA

∂2u

∂x2dx. (9.75)

Orain, (9.72) erabiliz, honela geratzen zaigudF = dm ∂2u/∂t2 higidura-ekuazioa:

ρ0A∂2u

∂t2dx = BA

∂2u

∂x2dx. (9.76)

Hau eta (9.74) kontuan harturik, honela hedatzen dira deformazioa eta presioa:

∂2u

∂x2=

ρ0

B

∂2u

∂t2, (9.77)

∂2p

∂x2=

ρ0

B

∂2p

∂t2. (9.78)

Ondorioz, deformazio- eta presio-uhinak hurrengo abiaduraz hedatzen dira:

v =

√

B

ρ0. (9.79)

340 9 Uhinak

9.7.1 Soinua gas idealetan

Gasa konprimitzean (hedatzean) berotu (hoztu) egiten da, baina soinuaren ohiko maiztasune-tan (20–20000 Hz) gasen eroankortasun termikoa ez da nahikoa presio desberdinetako puntuenartean bero hautemangarririk trukatzeko: prozesua, hortaz, adiabatikoa da, ez isotermoa. Bainaprozesu adiabatikoetan gas idealen kasuan

pV γ = konstantea ⇐⇒ p = konstanteaV −γ (9.80)

dugu. Presio eta bolumen konstanteko bero espezifikoen zatidura daγ berretzaile adiabatikoa:γ = cp/cv. Gas monoatomiko eta biatomiko askoren kasuanγ ≈ 1.6, 1.4 da, hurrenez hurren.Bolumeneko elastikotasun-modulua (9.80)-tik kalkulatzen da,

B = −V0dp

dV(V0) = γp0, (9.81)

eta (9.79) abiadura honela idazten da,0 azpindizeak ezabatu ondoren:

v =

√

γp

ρ. (9.82)

Bestalde, gas idealen legeak emandako presio eta tenperaturaren arteko erlazioa dugu:

pV = nRT, (9.83)

nonn delakoa molen kopurua den,T tenperatura absolutua etaR = kNA gasen konstante uni-bertsala, Boltzmann-enk konstantearen eta Avogadro-renNA konstantearen biderkadura dena(ikus A.1 taula). Gasarenm = ρV/n masa molarra erabiltzen badugu,pm = ρRT dugu eta(9.82) fase-abiadura honako hau:

v =

√

γRT

m. (9.84)

Airearen kasuan,T = 273.15 K ( = 0 ◦C) denean soinuaren abiadurav = 331.45 m s−1 denez,beste edozein tenperaturatara hauxe izango da sistema internazionalean:

v = 20.055√

T . (9.85)

Aipatu behar da gasaren molekula-izaera ez dugula kontuan hartu aurreko azterketan; bainaatmosferaren presioan airearen molekulen batez besteko ibilbide askea10−7 m-koa da, eta en-tzun daitekeen soinurik ahulenaren kasuan uhinaren deformazioa hamar mila aldiz txikiagoa da,molekulen dimentsioen parekoa! Agitazio termikoaren ondorioz, molekulak ausaz higitzen diraeta uhina pasatzean molekulen higidura kolektibo txiki batsortzen da.

9.7.2 Intentsitatea eta energia

Presio- eta deformazio-uhinen anplitudeen arteko erlazioa aurkitzeko, kontsidera ditzagunu = u0e

i(kx−ωt) uhin harmonikoa eta (9.74) eta (9.79) emaitzak:

p − p0 = −B∂u

∂x= −ikBu0e

i(kx−ωt) = −ikv2ρu0ei(kx−ωt) = ωvρu0e

i(kx−ωt−π/2). (9.86)

9.8 Zeharkako uhinak tentsiopeko soka batean 341

Beraz, presio-uhina−π/2 desfasearekin hedatzen da eta bere anplitudea hauxe da:

I = vωρu0. (9.87)

Orain,9.6.3ataleko azterketa berriro egiten badugu, energiaren dentsitatea (9.67) izango da:

U =1

2ρω2u2

0 =I2

2ρv2. (9.88)

Uhinaren (9.70) intentsitatea, beraz, honako hau dugu:

I = vU =I2

2ρv. (9.89)

Belarriak entzuten dituen intentsitateak oso magnitude desberdinetakoak direnez, SI sistema-ko W/m2 unitatea baino erabilgarriagoa da eskala logaritmikoa. Airearen kasuan, erreferentzia--mailatzat 1 kHz-eko entzumen-ataria (hau da, entzun daitekeen maiztasun horretako soinurikahulenaren intentsitatea) hartzen da:

I0 = 10−12 W/m2. (9.90)

Aukera horrekin, eskala logaritmikoan, soinu baten intentsitateaI bada, bere intentsitate-mailahauxe dugu:

10 log10

I

I0dB. (9.91)

Magnitude hau dimentsio gabekoa bada ere, bere unitateadezibeladeitzen da eta dB idazten da(antzeko gauza bat egiten da angeluekin radianak erabiltzean).

9.8 ARIKETA 400 Hz-etan entzun daitekeen soinurik ahulenaren intentsitatea7.2×10−12 W/m2

da. Aurki itzazu intentsitatea dB-etan eta deformazioareneta presioaren anplitudeak.

Atal honetan eta aurrekoan aztertu ditugun uhinakluzetarakoak izan dira: uhinaren heda-penaren norabidea eta materiaren higidurarena berdinak baitira. Hurrengo atalean bi norabidehoriek desberdinak diren kasuak aztertzen hasiko gara. (Barra batean hedatzen diren zeharkakouhinak10.2.5atalean aztertuko dira.)

9.8 Zeharkako uhinak tentsiopeko soka batean

Bi punturen artean tentsiopean dagoen soka bat pultsatzen badugu, zeharkako perturbazio batsortzen da, sokan barrena hedatuko dena. Orekanx abszisan zegoen puntuarenu(t, x) desplaza-mendua aztertuko dugu. Sokaren elementu infinitesimal batek alboko bi elementuek eragindakotentsioak pairatzen ditu. Tentsio baten osagaiak

Tx = T cos α, Ty = T sin α (9.92)

dira eta sokaren norabidea neurtzen duenα angelua hurrengo ekuazioak emandakoa:

tanα =∂u

∂x. (9.93)

342 9 Uhinak

9.14 IRUDIA Zeharkako uhina soka batean.

Elementuaren higidura-ekuazioa, hortaz, hurrengoak dira:

dTx =

(

∂T

∂xcos α − T sin α

∂α

∂x

)

dx = 0, (9.94)

dTy =

(

∂T

∂xsin α + T cos α

∂α

∂x

)

dx = µ dx∂2u

∂t2. (9.95)

Hemenµ luzera-unitateko masa da. Lehen ekuazioa higidura normaladela adierazten du: zehar-kako uhinak kontsideratzen ditugu. Hortik

∂T

∂x= T tanα

∂α

∂x(9.96)

lortzen da eta (9.93)-tik∂α

∂x= cos2 α

∂2u

∂x2. (9.97)

Bi emaitza hauek (9.95) ekuazioan ordezkatuz,

dTy = T(

sin2 α cos α + cos3 α) ∂2u

∂x2dx (9.98)

dugu eta, deformazioak txikiak direla suposatzen dugunez,sin α tanα = O (α2) etacos α =1 + O (α2) erabil ditzakegu, (9.96)-tik

∂T

∂x= O

(

α2)

≈ 0 (9.99)

(hau da, tentsioa konstantea dela) eta

dTy = T∂2u

∂x2dx + O

(

α2)

≈ T∂2u

∂x2dx (9.100)

lortzeko. Beraz, (9.95) ekuazioa∂2u

∂x2=

µ

T

∂2u

∂t2(9.101)

moduan idazten da. Zeharkako deformazioa uhin baten modurahedatzen da hurrengo fase-abia-durarekin:

v =

√

T

µ. (9.102)

Hedapen-abiadura handituz doa sokaren tentsioa handitzean eta, tentsio berdinekin, txikiagoa dasoka astunetan arinetan baino.

9.8 Zeharkako uhinak tentsiopeko soka batean 343

9.8.1 Inpedantzia

Azter dezagun nola sortzen denu = u0ei(kx−ωt+ϕ0) uhin harmonikoa sokarenx = 0 mutu-

rreanF = F0eiωt indar bertikala aplikatzen bada. Muturraren higidura osziladore harmonikoare-

na izango da:y = u(t, 0) = u0e−i(ωt−ϕ0). Beraz,7.3.2atalean egin genuenaren antzera, sokaren

inpedantzia karakteristikoa edozeharkako inpedantzia

Z =F

y(9.103)

izango da. Anplitudeak txikiak direnez, hauxe dugu:

F = −Ty = −T sin α ≈ −T tanα = −T∂u

∂x

∣

∣

∣

∣

∣

x=0

= −ikTy, (9.104)

y = −iωy, (9.105)

Z =kT

ω=

T

v= µv, (9.106)

nonω = kv eta (9.102) erabili dugun.

9.9 ARIKETA Zein daF indarraren etay desplazamenduaren arteko desfasea?

9.15 IRUDIA Polarizazio zirkularreko uhina tentsiopeko sokan.

9.8.2 Polarizazioa

Esan gabe,9.14 irudian eta kalkuluan soka beti dagoela plano batean suposatu dugu eta,hortaz, puntu bakoitzaren higidura lineala dela, lerro zuzen batean gertatzen dela. Horri esker,deformazioau eremu eskalar bakarra da eta uhinarenpolarizazioa lineala dela esaten da. Kasuorokorrean, bi osagai ortogonal dituen bektore baten bidezadierazi beharko da zeharkako defor-mazioa. Adibidez, mutur batean maiztasun bereko bi indar harmoniko elkarzut aplikatzen badira,

y(t, x) = u0yei(kx−ωt+ϕ0y), (9.107)

z(t, x) = u0zei(kx−ωt+ϕ0z) (9.108)

osagaiak dituen uhin harmoniko bat hedatuko da sokan barrena eta deformazio-eremua

u(t, x) = y(t, x) j + z(t, x)k (9.109)

344 9 Uhinak

moduan idatziko da. Puntu bakoitzaren higidura maiztasun bereko bi oszilazio harmoniko elkar-zuten gainezarmena izango da: kasu horretan ibilbidea elipse bat denez, uhinaren polarizazioaeliptikoa dela esaten da. Bi anplitudeak berdinak direnean, u0y = u0z, osagaien arteko desfaseaϕ0x − ϕ0y = ±π/2 bada, puntu bakoitzaren ibilbidea zirkularra izango da,9.15irudiko kasuanbezala. Kasu partikular horretan deformazio-bektorearenpunta —hau da, sokaren puntua— betidago gainazal zilindriko batean eta bere higidura zirkularra da: uhinaren polarizazioa zirkularrada.

9.9 Uhinak egitura periodiko batean

Kontsidera dezagun berriro7.7ataleko tentsiopeko soka diskretuaN → ∞ limitean:a alda-tzen ez denez, egitura infinitu periodikoa lortzen daxs = sa puntuetan dauden masen zeharkakohigidura deskribatzeko,ys(t) eremu diskretu bat erabiltzen denez, sokan zehar hedatzen den uhinbidaiari harmonikoa

ys = Csei(kxs−ωt) = Cse

i(ksa−ωt) (9.110)

egiturakoa izango da. Soluzio hori (7.225) higidura-ekuazioan ordezkatzen bada, hauxe lortzenda:

− ω2 = ω20

(

eika − 2 + e−ika)

= 2ω20 (cos ka − 1) = −4ω2

0 sin2 ka

2. (9.111)

Beraz, egitura diskretuaren ondorioz, hurrengosakabanatze-erlazioabetetzen duten maiztasundiskretuak bakarrik hedatzen dira:

ω = 2ω0 sinka

2, ω0 ≡

√

T

ma. (9.112)

Sakabanatze-erlazio honen grafikoa, hortaz,7.31 irudikoen aldaera jarraitua izango da (ikus9.24 problema). Ageri denez, fase-abiadura uhin-zenbakiaren menpekoa da eta ingurunea sa-kabanatzailea:

v =ω

k=

2ω0

ksin

ka

2. (9.113)

9.10 ARIKETA Egiaztatu soka jarraituarena → 0 kasuan (9.113) abiadura (9.102) baliora labur-tzen dela.

9.10 Uhinak kanal batean

Olatuetan higitzen diren partikulak ez dira bakarrik azalekoak baizik eta guztiak, hondo-rantz anplitudea txikituz badoa ere. Gainera partikulen higidura uhinaren hedapen-norabidean etazeharkakoan gertatzen da. Higidura aztertzeko hidrodinamikaren ekuazioak eta hastapen-baldin-tzak (gainazalean presioa atmosferarena dela eta hondoko partikulak ez direla higitzen norabidebertikalean) erabili behar dira.

Kontsidera dezagun kasu erraz bat: zeharkako sekzio angeluzuzena duen kanal zuzen luze ba-tean fluido konprimiezinaren higidura. Fluidoaren dentsitateaρ da eta orekan urak duen garaierah. Bestalde, gainazal-tentsioa, hau da, gainazalaren elementu batek albokoan eragiten duen lu-zera-unitateko indarra (ikus10.13atala)γ dela suposatuko dugu. Uhina hedatzean indar berres-kuratzaileak bi fenomenoren ondorioak izango dira: altueraren aldaketek sortutako presioaren

9.10 Uhinak kanal batean 345

aldaketa, alde batetik, eta gainazalaren kurbadurak eragindako gainazal-tentsioa, bestetik . Uhin--ekuazioa ez da kasu honetan (9.5) egitura errazekoa, baina (9.6) moduko soluzio harmonikoakonartzen ditu desplazamenduen osagaietarako, fase-abiadura honako hau delarik:

v =

√

√

√

√

(

gλ

2π+

2πγ

ρλ

)

tanh2πh

λ=

√

√

√

√

(

g

k+

γk

ρ

)

tanh kh. (9.114)

Hemen ikusten dugu, fase-abiaduraλ = 2π/k uhin-luzeraren menpekoa dela: ingurunea sakaba-natzailea da, eta hasieran uhin-luzera desberdinetako osagai harmonikoez osaturiko uhin-paketetrinko bat badugu, osagai desberdinak abiadura desberdinez higitzean, paketea sakabanatuko da.

9.16 IRUDIA Partikulen ibilbideak kanal batean hedatzen den uhin harmonikoan.

9.16irudian erakusten dira partikulen ibilbideak uhin harmonikoetan: fluidoaren azala goikolerro horizontal etena da orekan eta lerro jarraitua uhina pasatzean. Desplazamenduaren osagaihorizontal eta bertikalaren higidurak maiztasun bereko higidura harmoniko elkarzutak dira etahaien arteko desfaseπ/2 denez, ibilbideak elipseak dira, ardatz nagusi horizontala dutenak. Uhinharmonikoa, hortaz, luzetarako uhin baten eta zeharkako baten gainezarmena da. Uhin-luzerahsakonera baino txikiagoa bada, bi anplitudeak ia berdinak dira azalean, eta ibilbideak zirkularrak.Sakonera handitzean bi anplitudeak txikituz doaz, baina bertikala arinago; ibilbideak eliptikoakizango dira eta ondoan bakarrik geratzen da osagai horizontala.

Ur sakonetan, hau da,h ≫ λ denean,tanh kh = tanh 2πh/λ ≈ 1 dugu eta uhin harmonikoenabiadura hau da:

v =

√

gλ

2π+

2πγ

ρλ=

√

g

k+

γk

ρ. (9.115)

Hemenλ uhin-luzera nahiko handia bada eta bigarren gaia arbuiatu ahal izateko moduan,

v =

√

gλ

2π=

√

g

k(9.116)

dugu: abiadura ez da likidoaren menpekoagrabitate-uhin hauetan (ikus, halaber,9.87proble-ma). Horrelakoetan hedapen-abiadura uhin-luzerarekin handituz doa; baina kontrakoa gertatzenda uhin-luzera txikiko limitean:

v =

√

2πγ

ρλ=

√

γk

ρ. (9.117)

Kizkur-uhinak , uhin kapilarrak edogainazal-tentsioaren uhinakdeitzen dira horrelakoak,haize leunak askotan sortzen dituenak.

Bestalde, uhin-luzera oso handia bada,λ ≫ h denez,tanh kh = tanh 2πh/λ ≈ 2πh/λ = khdugu eta parentesi barruko bigarren gaia arbuiagarria da (9.114) abiaduran:

v =√

gh. (9.118)

Abiadura ez da uhin-luzeraren menpekoa limite honetan.

346 9 Uhinak

9.11 Uhinak bi eta hiru dimentsiotan

(9.5) uhin-ekuazioarenu(t, x) = f(x ∓ vt) = f(i · r ∓ vt) soluzio bat bi era desberdinetarainterpreta daiteke: lerro zuzen batekox abszisako puntuant unean eremu fisiko batek duen balioaedo, une horretan espaziokox abszisako planoko puntu guztietan eremuak duen balioa. Azkenkasu honetan hiru dimentsiokouhin laua dugu.

9.17 IRUDIA Uhin laua.

Beti aukera dezakegu erreferentzia-sistema uhin lau batenhedapen norabideai bektoreakemandakoa izateko moduan, baina ez dugu zertan egin hori (ezinezkoa da, adibidez, norabidedesberdinetan hedatzen diren bi uhin lau aldi berean aztertu nahi izanez gero). Beste edozein erre-ferentzia-sistematan9.17irudiko uhin lauaren hedapen-norabidea,i izan beharrean beste bektoreunitarioren bat,n adibidez, izango da eta uhinaren adierazpena

u(t, x, y, z) = f(n · r − vt). (9.119)

Egitura matematiko horren ondorioz,

∂2u

∂t2= v2f ′′, (9.120)

∂2u

∂x2= n2

xf′′, (9.121)

∂2u

∂y2= n2

yf′′, (9.122)

∂2u

∂z2= n2

zf′′ (9.123)

etan2x + n2

y + n2z = 1 dugunez, uhin-lauaren ekuazio diferentziala honako hau da:

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2− 1

v2

∂2u

∂t2= 0. (9.124)

Hauxe da uhin-ekuazioa hiru dimentsiotan. Notazioa arintzeko,laplacetarra deritzon

∇2 (= ∆) ≡ ∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(9.125)

eragile diferentziala erabiltzen da (ikusB.2.5atala), uhin-ekuazioa

∇2u − 1

v2

∂2u

∂t2= 0 (9.126)

9.11 Uhinak bi eta hiru dimentsiotan 347

eran idazteko. Areago, batzuetan

2 ≡ ∇2 − 1

v2

∂2

∂t2=

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2− 1

v2

∂2

∂t2(9.127)

d’Alembert-en eragilea erabiltzen da, uhin-ekuazioa hurrengo modura laburtzeko:

2u = 0. (9.128)

9.11 ARIKETA Beharrezkoa al da goiko kalkuluanf(n · r + vt) uhina kontsideratzea?

Uhin lau harmonikoaren adierazpena

u(t, r) = u0eik(n·r−vt) = u0e

i(k·r−ωt) (9.129)

da. Dimentsio batean bezala,v > 0 fase-abiadura da etaω = |k|v pultsazioa. Bestalde,k uhin--zenbakiaz gain, hedapenaren norabidea eta noranzkoa adierazten dituenuhin-bektorea erabil-tzen dugu:

k ≡ k n. (9.130)

Fourier-en analisia erabiliz, bestelako uhin lauak (9.129) moduko uhin harmonikoen gainezarmenmoduan deskriba ditzakegu.

Kasu askotan bi dimentsioko problemak aztertzen dira eta orduan erabili behar den uhin--ekuazioa honako hau da (bi dimentsio espazialakx etay-ren bidez deskribatzen baditugu):

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2− 1

v2

∂2u

∂t2= 0. (9.131)

x

y

z

x

9.18 IRUDIA Uhina mintz tenkatuan eta elementu diferentzialak pairatutako indarrak.

Adibide erraza mintz tenkatu batean (danbor batekoan edo) hedatzen diren zeharkako uhinakkontsidera ditzakegu.9.8 ataleko kalkulua errepikatuz,dx luzerako aldeetan eragindako indarbertikal osoa

dF (dx)z = (τ dx)

∂2u

∂y2dy (9.132)

348 9 Uhinak

da. Ekuazio hau (9.100) emaitzaren parekoa da, baina orainτ gainazal-tentsioa erabili behardugu. Modu berean,dy luzerako aldeek pairatutako indar bertikala

dF (dy)z = (τ dy)

∂2u

∂x2dx (9.133)

da eta elementuaren masadm = σ dx dy moduan idazten denez —azalera-unitateko masa daσ(x, y)—, honela geratzen zaigu Newton-en bigarren legea:

dF (dx)z + dF (dy)

z = τ

(

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)

dx dy = σ∂2u

∂t2dx dy. (9.134)

Zeharkako uhinak, hortaz, (9.131) ekuazioa betetzen du eta hedapen-abiadura hauxe da:

v =

√

τ

σ. (9.135)

Agerian dago fase-abiadura honen eta soka tenkatuaren kasuan lortu genuen (9.102) emaitzarenarteko antzekotasuna.

9.11.1 Uhin esferikoak

Ez da pentsatu behar (9.124) uhin-ekuazioaren soluzio guztiak lauak direnik. Ingurune ho-mogeneo isotropo bateko puntu batean (diapasoi bat jotzean, adibidez) sorturiko perturbazio batmodu berean hedatuko da norabide guztietan eta sortzen duenuhinak simetria esferikoa izangodu: u(t, r) = u(t, r) izango da, ohi bezalar = |r| distantzia polarra delarik. Hipotesi horrekinzera dugu:

∂u

∂x=

x

r

∂u

∂r, (9.136)

∂2u

∂x2=

x2

r2

∂2u

∂r2+

(

1

r− x2

r3

)

∂u

∂r, (9.137)

∂2u

∂y2=

y2

r2

∂2u

∂r2+

(

1

r− y2

r3

)

∂u

∂r, (9.138)

∂2u

∂z2=

z2

r2

∂2u

∂r2+

(

1

r− z2

r3

)

∂u

∂r, (9.139)

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2=

∂2u

∂r2+

2

r

∂u

∂r. (9.140)

Hortaz, simetria esferikoaren kasuan, (9.124) uhin-ekuazioa hurrengora laburtzen da:

∂2u

∂r2+

2

r

∂u

∂r− 1

v2

∂2u

∂t2= 0. (9.141)

Dimentsio bakarreko (9.5) uhin-ekuazioaren antzekoa da hau, baina ez berdina, eta zuzeneanegiaztatzen da hurrengo moduko soluzioak onartzen dituela:

u(t, r) =1

rf(r ∓ vt). (9.142)

9.12 ARIKETA Egiaztatu (9.142) funtzioak (9.141) ekuazioaren soluzioak direla.

9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 349

Erraz ulertzen da horrelako soluzioek adierazten dutena: kanporantz edo barrurantz norabide erra-dialeanv abiaduraz hedatzen den uhinaren balioak txikituz (handituz) doar distantzia handitzean(txikitzean). Uhin harmonikoa, orain, honela idazten da:

u =u0

reik(r−vt) =

u0

rei(kr∓ωt). (9.143)

Uhinaren anplitudeau0/r da: distantziarekin txikituz doa.Adibidez, likido edo gas batean (9.79) abiaduraz hedatzen den presio-uhin esferiko harmoni-

ko baten kasuan,

p − p0 =Ir

ei(kr−ωt−π/2). (9.144)

dugu (9.86) ekuazioaren ordez. Gainera, froga daitekekr ∝ r/λ ≫ 1 denean (hau da, zentrotikurrun) desplazamendu-uhina

u =u0

rei(kr−ωt) (9.145)

dela eta (9.87) emaitzaren baliokidea honako hau:

u0 =I

vωρ0

. (9.146)

Energia-dentsitatea

U =1

2

ρ0ω2u2

0

r2=

I2

2ρ0v2r2(9.147)

da eta intentsitatea

I = vU =I2

2ρ0vr2=

I0

r2, I0 ≡

I2

2ρ0v. (9.148)

Anplitudearen karratuaren proportzionalak dira energia-dentsitatea eta intentsitatea, bainauhinesferiko harmonikoetan intentsitatea distantziaren karratuarekin txikitzen da: I ∝ I2/r2. Ener-giaren kontserbazioa adierazten du emaitza honek: kanporantz higitzean energiak zeharkatzendituen gainazal esferikoen azalerar2-rekin handitzen denez, intentsitatear−2-ren proportziona-la izango da, gainazal osoan zehar denbora-unitatean pasatzen den energia osoa distantziarenmenpekoa ez izateko:

∮

I dS = IS = 4πr2I =2πI2

ρ0v= konstantea. (9.149)

Jakina,r distantzia oso handia denean puntu baten inguruan uhina lautzat har dezakegu oso hur-bilketa onean. Horixe da uhin lauen garrantzia: bestelako uhinen hurbilketa ona izaten dira iturri-tik oso urrun.

Beste kasuetan simetria zilindrikoa bada, uhin zilindrikoak gerta daitezke eta bi dimentsiotanuhin zirkularrak, adibidez.

9.12 Uhin elektromagnetiko lauak

Kontsidera ditzagun elektrodinamikaren legeak hutsean, karga guztien oso urrun dagoen es-kualde batean. Maxwell bera konturatu zen bere ekuazioek uhin-soluzioak onartzen zituztela,nahiz eta eremu-iturririk ez egon. Geroago, 1888an, Hertz-ek egiaztatu zuen aurresan teoriko

350 9 Uhinak

9.19 IRUDIA Uhin zirkularrak ur-azalean.

hau laborategian, esperimentu-segida klasiko batean. Zirkuitu elektriko bat sorturiko irrati-uhi-nak beste zirkuitu batean detektatzen ziren eta aipaturikouhinak argiaren abiadurarekin hedatzendirela eta antzeko propietateak (islapena, polarizazioa,adibidez) dituztela egiaztatu zuen. Horrelaargia uhin elektromagnetikoa dela frogatu zen.

Kalkulua errazteko, eremu elektrikoa eta magnetikoa elkarzutak direla suposatuko da (nahia-go bada, horrelako egiturako soluzioak bilatzera mugatukogara). Ardatzak ongi aukeratuz, betiidatz daiteke azken hipotesia modu honetan:

E = E(t, x, y, z) j, (9.150)

B = B(t, x, y, z)k. (9.151)

Gauss-en legea∇ ·E = 0 (9.152)

da, karga-dentsitaterik ez dagoenean. Beraz, (9.150) egituraren eta (B.26) definizioaren ondorioz,hauxe dugu:

∂E

∂y= 0. (9.153)

Antzeko gauza bat gertatzen da eremu magnetikoarekin:

∇ ·B = 0 =⇒ ∂B

∂z= 0. (9.154)

Faraday eta Henry-ren indukzioaren legea,

∇× E = −∂B

∂t, (9.155)

hurrengo bi baldintzetara laburtzen da (9.150), (9.151), (9.153) eta (B.19) adierazpenen ondorioz:

∂E

∂z= 0, (9.156)

∂E

∂x= −∂B

∂t. (9.157)

9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 351

Orobat, korronterik ez dagoenez, Ampère eta Maxwell-en legea,

∇×B = ǫ0µ0∂E

∂t, (9.158)

honela idazten da, (9.150), (9.151), (9.154) eta (B.19) erabiliz:

∂B

∂y= 0, (9.159)

∂B

∂x= −ǫ0µ0

∂E

∂t. (9.160)

Argi dago, (9.153), (9.154), (9.156) eta (9.159) ekuazioen ondorioz, soluzioak

E = E(t, x) j, (9.161)

B = B(t, x)k (9.162)

egiturakoak direla. Gainera, (9.157) emaitzarenx-rekiko deribatuan (9.160) ordezkatzen badugu,

∂2E

∂x2= − ∂2B

∂x∂t= ǫ0µ0

∂2E

∂t2(9.163)

lortzen da eta,

c =1√ǫ0µ0

(9.164)

definitzen badugu,∂2E

∂x2− 1

c2

∂2E

∂t2= 0. (9.165)

Halaber, (9.160) emaitzarenx-rekiko deribatuan (9.157) ordezkatzen badugu, hauxe lortzen da:

∂2B

∂x2− 1

c2

∂2B

∂t2= 0. (9.166)

Beraz, zera frogatu dugu:(9.164) abiaduraz higitzen diren zeharkako uhin elektromagnetikolauak Maxwell-en ekuazioen soluzioak dira. Argia uhin elektromagnetikoa denez, hutsaren per-mitibitate eta iragazkortasunaren bidez (9.164) adierazpenak emandakoa da argiaren abiadura.

9.20 IRUDIA Uhin elektromagnetiko laua.

352 9 Uhinak

Badakigu (9.165) eta (9.166) uhin-ekuazioen soluzioakE(x ∓ ct) etaB(x ∓ ct) egiturakofuntzioen konbinazioak direla, baina orduan,

∂E

∂t= ∓cE ′ = ∓c

∂E

∂x, (9.167)

∂B

∂t= ∓cB′ = ∓c

∂B

∂x(9.168)

dugu eta (9.157), (9.160) eta (9.164) erabiliz, hauxe geratzen zaigu:

∂E

∂x= ±c

∂B

∂x, (9.169)

∂E

∂t= ±c

∂B

∂t. (9.170)

Hortaz, hedatzen ez diren soluzio konstanteak alde batera utzita, uhin elektromagnetiko lauetaneremu elektrikoak eta magnetikoak, elkarzutak izateaz gain, modulu proportzionalak dituzte:

E = ±cB. (9.171)

Beraz, kasu berezi honetan argiaren abiadurac = ±c i denez, hauxe dugu:

E = B × c. (9.172)

9.21 IRUDIA Uhin elektromagnetiko lau harmonikoaOX ardatzean.

9.13 ARIKETA Erabili (B.46) berdintza, Maxwell-en ekuazioetatik zuzenean frogatzeko kasuorokorrean hutsean eremu elektrikoak eta magnetikoak hurrengo uhin-ekuazioak betetzen dituztela:

∇2E− 1

c2

∂2E

∂t2= 0, (9.173)

∇2B − 1

c2

∂2B

∂t2= 0. (9.174)

9.12.1 Polarizazioa

Aurkitu ditugun soluzioak

E = f(x ∓ ct) j, B = ±1

cf(x ∓ ct)k (9.175)

9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 353

egiturakoak dira, baina argi dagoOY etaOZ elkarrekin trukatzen baditugu,

E = g(x ∓ ct)k, B = ∓1

cg(x ∓ ct) j (9.176)

ere soluzioak izango direla, baita (9.175) eta (9.176)-en konbinazio linealak ere. Adibidez,ω =kc pultsazioko

E = A1ei(kx−ωt) j + A2e

i(kx−ωt+π/2) k, (9.177)

B =A1

cei(kx−ωt) k − A2

cei(kx−ωt+π/2) j (9.178)

uhin harmonikoa,π/2 desfase erlatiboko bi uhinen gainezarmena da. Oro har, uhinhorren pola-rizazioa eliptikoa izango da, bainaA1 = A2 denean polarizazioa zirkularra dugu etaA1 = 0 (edoA2 = 0) denean polarizazio lineala.

9.14 ARIKETA Nolakoa da hurrengo bi uhinen polarizazioa:

E = E0 [cos(kx − ωt) j + sin(kx − ωt)k] , (9.179)

E = E0 [cos(kx − ωt) j− sin(kx − ωt)k]? (9.180)

Oro har, uhin lau monokromatikoa luzera infinitukoa da eta, hedapen-norabidearen perpen-dikularrak diren bi norabideetan maiztasun bereko proiekzio harmonikoak dituenez, polarizaziobat du: eliptikoa gehienetan, baina kasu endekatuetan zirkularra edo lineala izan daiteke. Iturrigehienetakoargi naturala zorian banatutako igorle askok sortutakoa da. Bakoitzak igortzen duenuhina polarizatuta dago, baina luzera finituko uhin-paketea da (gehienez10−8 segundotan sortubaita). Horrela, modu independentean, arin eta zorian aldatzen diren faseetako bi osagai ortogo-nalaren bidez adieraz daiteke ikuspuntu matematikotik argi naturala uhin lauen hurbilketan.

Bi anplitude ez-koherente horietako bat deuseztatuz bestea pasatzen uzten duen tresnaripo-larizatzaile lineala deritzo. Argi naturala horrelako polarizatzaile batean zehar pasatzen bada,transmisio-ardatzadeitutako norabidean linealki polarizatuta irtengo da.

9.22 IRUDIA Malus-en legea.

Bigarren polarizatzaile bat9.22irudian erakusten den bezala jartzen bada (eta orduanana-lizatzailea deitzen da), eta bi transmisio-ardatzen arteko angeluaθ bada,E0 eremu elektrikoakanalizatzailearen transmisio-ardatzaren norabidean duen E = E0 cos θ proiekzioa bakarrik pasa-tuko da. Argiaren intentsitatea, (9.185) adierazpenean ikusiko dugun bezala, eremu elektrikoaren

354 9 Uhinak

karratuaren proportzionala denez, analizatzailearen heltzen den intentsitateaI0 bada (polariza-tzailea ideala balitz eta argia naturala, uhin lau erasotzailearen intentsitatearen erdia izango litza-tekeI0), analizatzailetik irteten dena (xurgapena arbuiagarriabada)

I = I0 cos2 θ (9.181)

izango da.Malus-en legeadeitzen da emaitza hau, 1809an Étienne Malus ingeniariak argitaratubaitzuen. Bi polarizatzaileen transmisio-ardatzak paraleloak badira, intentsitatea maximoa da etagurutzatuta daudenean minimoa (nulua, polarizatzaileak idealak badira).

Polarizatzailea perfektua ez bada, argia partzialki polarizatuta irtengo da. Analizatzailea per-fektua dela jorik, polarizatzailetik datorren argiarenpolarizazio-maila

P =I‖ − I⊥I‖ + I⊥

(9.182)

moduan definitzen da, transmisio-ardatzak paraleloak (perpendikularrak) direnean analizatzai-learen atzean neurtzen den intentsitateaI‖ (I⊥) bada. Horrela, polarizatzailea perfektua balitz,I⊥ = 0 genuke eta, ondorioz,P = 1. Bestalde, oso txarra bada, bi osagaiak izango dira berdin-tsuak, argi naturalean bezala, eta, beraz,I‖ ≈ I⊥ etaP ≈ 0.

Polarizatzaile ezagunena, 1938an E. H. Land-ek asmatu zuenPolaroid izeneko filma da: ho-nen hidrokarburo-molekula luzeen norabideen perpendikularra da transmisio-ardatza. Honelakokasuetan polarizazioa sortu duen xurgapen-fenomenoadikroismoa deitzen da. Polarizatzaile di-kroikoak oso anisotropoak dira eta xurgapenak norabidearen menpekotasun handia du.

9.23 IRUDIA Kaltzitaren birrefringentzia.

Birrefringentzia (edoerrefrakzio bikoitza ) deituriko fenomenoa gertatzen da beste kristalanisotropo batzuetan: argiaren abiadura norabidearen menpekoa da. Hemen ez dugu fenomenoaaztertuko merezi duen moduan (ikus, adibidez, [12]); baina esan dezakegu horrelako kristal ba-tean (ardatz optikoa deritzon norabidean ez dagoen) izpi bat, bi izpi polarizatutan banantzendela. Erraz ikusten da fenomeno hori Islandiako espatoan eta material hori (kaltzita, alegia) era-biltzen da Nicol-en prismak deituriko polarizatzaileak egiteko. Gainera, horrelako materialetanargiaren abiadura (eta, hortaz, izpien atzerapena) uhin-luzeraren menpekoa denez, argia mono-kromatikoa ez deneaninterferentzia-koloreak ager daitezke lodiera eta birrefringentziaren al-daketa lokalen ondorioz: jarri zelofan zimurtu bat bi polarizatzaileren artean eta kolorezko irudiikusgarriak agertuko dira.

9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 355

9.24 IRUDIA Plastikozko piezen esfortzuak polarizatzaileen bidez ikus daitezke.

Antzeko fenomeno bat gertatzen da esfortzua pairatzen duenplastikozko pieza batean,fotoe-lastikotasuna, birrefringentzia mekanikoa edo esfortzu-birrefringentzia deitzen den feno-menoari esker: material garden isotropo batzuk, anisotropo bihur daitezke esfortzu mekanikoakaplikatzen bazaizkie. Ingeniaritzan erabiltzen da hau, polarizatzaileen artean kokaturiko eraikinedo zubi baten plastikozko eredu baten bidez esfortzu-banaketa aztertzeko. Polarizazio-planoabiratzeko ahalmena duten kristal likidoez baliatzen da kalkulagailuen, erlojuen, telefono mugi-korren eta beste tresna askoren pantailetan.

9.25 IRUDIA Kristal likidoak, zerua eta polarizazioa.

Uhin polarizatuak sortzen dituen beste prozesu fisiko batsakabanatzea, da: atomo eta mole-kulen elektroiek uhin elektromagnetikoak (fotoiak) xurgatu bezain laster atzera igortzen dituzte.Izan ere, ikusten dugun fenomeno optiko askoren jatorri mikroskopikoa dira sakabanatze-pro-zesuak. Airean hautsa edo kea badago, horrelako prozesuei esker ikus dezakegu zirrikitu bate-tik sartzen den argi-izpia. Gainera, atmosferan gertatzendiren Rayleigh-en sakabanatzeaetaenergia-fluktuazioek sorturikoa dira zerua urdina izatekoarrazoia (ikus, adibidez, [12]). Denokdakigunez, espaziotik ikusita, zerua beltza da (Eguzkiaren norabidean izan ezik); baina Eguz-kitiko argiaren urdina beste koloreak baino askoz gehiago sakabanatzen da norabide guztietaneta, hortaz, zeruko puntu guztietatik baletor bezala ikusten dugu urdina egunez. (Egunsentianeta ilunabarrean, berriz, alderantziz gertatzen da: urdina, atmosferan ibilbide luzea egin ondoren,sakabanatu da eta Eguzkiaren norabidean bakarrik ikusten ditugu sakabanatu ez diren gorria etahoria.) Atmosferan gertatzen den sakabanatze-prozesuetan argia partzialki polarizatuta dago eta

356 9 Uhinak

polarizazio lineala maximoa da behaketa-norabidea jatorrizko izpiaren perpendikularra denean,zeruaren eremu egokiari polarizatzaile baten bidez begiratuz egiazta daitekeen bezala.

Polarizazio lineala sortzeko laugarren prozesua, islapena,9.14.3atalean aztertuko dugu.Polarizatzaileen erabilera ikusgarriena hiru dimentsioko zinema da: polarizazio gurutzatuak

dituzten bi irudi proiektatzen dira eta betaurreko kristalpolarizatzaile bakoitzetik bat ikusten da,hiru dimentsioko ilusioa sortzeko.

9.12.2 Poynting-en bektorea

Eremu elektromagnetikoaren energia-dentsitatea

U =1

2ǫ0E

2 +1

2µ0B2 =

1

2ǫ0

(

E2 + c2B2)

(9.183)

da hutsean. Uhin lauen kasuan, (9.171) emaitzaren ondorioz, hurrengora laburtzen da:

U = ǫ0E2 =

B2

µ0. (9.184)

9.26 IRUDIA dt tartean sekzio bat zeharkatzen duen energia paralelepipedo hauetakoa da.

Dentsitate hau, eremuak bezala,c abiaduraz hedatzen denez,dt denbora-tarteandS azalerakogainazal infinitesimal normala zeharkatzen duen energia irudiko paralelepipedo infinitesimaleandagoena da:dW = UAc dt. Uhinarenaldiuneko intentsitatea5, hau da, denbora-unitatean aza-lera-unitateko gainazal normala zeharkatzen duen energiahauxe da:

I =dW

A dt= cU = ǫ0cE

2. (9.185)

9.15 ARIKETA Zein da batez besteko intentsitatea, optikanirradiantzia ere deitzen dena, uhinaharmonikoa bada?

Defini dezagun Poynting-en bektorea honela:

G ≡ 1

µ0E× B = E ×H = ǫ0c

2E × B. (9.186)

(9.172)-ren ondorioz, hedapen-abiaduraren norabidea eta noranzkoa ditu bektore honek, eta beremodulua aldiuneko intentsitatea da:

G = ǫ0c2EB = ǫ0cE

2 = I. (9.187)

5Hemen, (9.70) ez bezala, ez dugu batez besteko balioa kalkulatzen.

9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 357

Energiaren fluxua adierazten du, beraz, Poynting-en bektorea,dS azalera infinitesimala denbora--unitatean zeharkatzen duen energia elektromagnetikoa honako hau baita:

dW

dt= G · dS. (9.188)

Izan ere, sekzioa ez bada normala,dt denbora-tarteandS elementua zeharkatzen duen energia,9.26irudiko eskuinaldean agertzen den paralelepipedoan dagoena da; baina orain paralelepipe-doaren altuera ez dac dt ertza,h = c dt cos θ baizik. Beraz, bolumenadV = h dS = c cos θ dt dSeta energiadW = U dV = G cos θ dS dt.

Bestalde, mekanika kuantikoari esker, badakigu argia fotoiez osaturikoa dela eta, beraz, fotoibakoitzaren energia eta momentu linealaren arteko erlazioa (3.122) denez, (9.184) energia-den-tsitateaz gain, momentu lineal elektromagnetikoaren dentsitatea dugu:

P =U

c

c

c= ǫ0E ×B = D × B =

G

c2. (9.189)

(Egia esan, emaitza hau elektromagnetismotik lor daiteke zuzenean, fotoiak aipatu gabe.) Mo-mentu linealaren dentsitatearen modulua hauxe da:

P =U

c=

I

c2=

ǫ0E2

c. (9.190)

Fotoi baten energiaE = hν = hω (9.191)

da. Hemen, (9.7) adierazpeneko pultsazioa eta Planck-en konstante laburtua erabili ditugu:

h ≡ h

2π. (9.192)

Gainera,ω = kc denez, hurrengoa da fotoiaren momentu linealaren modulua:

p =E

c=

h

λ= hk. (9.193)

9.12.3 Argiaren abiadura ingurune materialetan

Argi monokromatikoa hutsean hedatu beharrean ingurune material isotropo eta homogeneobatean barrena doanean,

v =1√ǫµ

(9.194)

abiaduraz hedatzen da, ingurunearen permitibitate elektrikoa eta iragazkortasun magnetikoaǫ etaµ badira. Ingurunearenn errefrakzio-indizea, bertan argiaren abiadura

v =c

n(9.195)

izateko moduan definitzen da eta, (9.194)-ren ondorioz,

n =√

ǫrµr (9.196)

dugu,ǫr ≡ ǫ/ǫ0 permitibitate erlatiboa etaµr ≡ µ/µ0 iragazkortasun erlatiboa6 erabiliz. Ikus-puntu mikroskopikotik, uhin elektromagnetiko bat materian sartzean atomo edo molekuletakokargetan oszilazioak eragiten dituzte eta kargek uhin elektromagnetiko berriak igortzen dituzte:fotoiak xurgatu eta igortzen dira. Uhin guztiak ez daude fasean eta, denak hutseanc abiadurazhedatu arren (beraz, erlatibitate berezia betetzen da), euren gainezarmena fase-abiadura desber-dineko uhin makroskopiko bat da, fenomeno kolektibo baten ondorioz.

6Izan ere, ingurune dielektriko garden askotanµr ≈ 1 dugu eta, hortaz,n ≈ √ǫr.

358 9 Uhinak

9.12.4 Espektro elektromagnetikoa

Espektro elektromagnetikoan zenbait arlo bereizten dira,uhin-luzera, sortzeko metodoa, etaaplikazioak kontuan hartuz. Haien arteko mugak ez dira guztiz zehatzak eta9.27irudian egin dabanaketa eskematikoa.

9.27 IRUDIA Espektro elektromagnetikoa.

Gamma izpiak

Nukleo erradioaktiboen desintegrazioan eta erreakzio nuklearretan sortzen dira eta erreak-zio nuklearrak sor ditzakete. Izpi kosmikoetan ere aurkitzen dira oso energia handiko gammafotoiak. Filmak eta hodi elektronikoak erabiltzen dira detektatzeko. Erradiazio ionizatzaileak di-ra, osasunerako oso kaltegarriak; zelulak deuseztatzen dituzte eta mutazioak eragiten: minbiziasor dezakete. Medikuntzan erabiltzen dira minbizia osatzeko, esterilizatzeko, eta trazatzaile erra-dioaktiboetan. Metalen akatsak aurkitzeko erabilgarriakdira metalurgian.

X izpiak

Elektroi arinak metal baten kontra jotzean sortzen dira7 eta filmetan detektatzen. Oso eza-gunak dira medikuntzan eta aireportuetako detektagailuetan dituzten aplikazioak. Kristal-sareakaztertzeko erabiltzen dira kristalografian. Osasunerako oso kaltegarriak dira.

7Horrela aurkitu zituen Röntgen-ek 1895ean eta horrexegatik eskuratu zuen lehenengo Nobel saria 1901ean.