8/17/2019 8688682 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden Con Coeficientes Variables

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 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes variables y término variable

(EDL1OCV)

Caso homogéneo. Sea 0)(   =+   yt udt dy . Para resolver esta ecuación se siguen los siguientes

 pasos:

1. Se despeja la ecuación  yt udt 

dy)(−=

2. Se separan variables así: )(1

t udt 

dy

 y−=

3. Se integra respecto a t, por separado: ,ln1 C  y ydydt dt dy y +== ∫ ∫    ! 0.

∫ ∫ −=−   dt t udt t u   )()(

". Se igualan las dos integrales #ueda ∫ −=+   dt t uC  y   )(ln

$. Se despeja %: ∫ −−=   dt t uC  y   )(ln

&. Se to'an eponenciales da ∫ =∫ =  −−−   dt t udt t uC   Aeeet  y  )()(

)(

ntonces, la solución general de 0)(   =+   yt udt 

dy es ∫ =

  −   dt t u Aet  y  )(

)(

je'plo:

03   2 =+   yt dt 

dy.

1. u(t) * 3t2

2. C t dt t    +=∫   323

3.   333 )()(   t C t C t   Bee Ae Aet  y   ===   −+−  con C  Ae B   −≡ .

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Caso no homogéneo. +(t) ≠  0. Para )()(   t w yt udt 

dy=+   la solución general es

  

 

 

    ∫ +∫ =

∫ 

−dt et w Aet  y

  det udt t u   )()()()(

. #uí es una constante arbitraria #ue se de-ine con una

condición inicial.

je'plo:

t tydt 

dy=+ 2 . n esta ecuación u(t) * 2t, +(t) * t.

ntonces, ∫ ∫    +==   C t tdt dt t u  22)( .

l usar la -ór'ula #ueda:

( ) ( )      

   ++=+=+=   −−−−−++− ∫ ∫    k eee Aedt tee Aeedt te Aet  y   t t C t t C C t C t C t 

  2222222

2

1)(

  )(. %o'o

1=−C C ee   #ueda ( )2

1

2

1   222++=++   −−−−− k  Aeekee Ae   C t t C t  . Se ace k ae B   C  +=   − , al -inal #ueda

2

1)(

2

+=   −t  Bet  y

 Ejercicios

1.   02   =+   tydt 

dy

2.2

3)0(/2   ==+   yt ty

dy

dy

3.   &)0(/$  22 ==+   yt  yt 

dt 

dy

".

&)0(/02122   ==++   ye y

dt 

dy   t 

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$.   t  ydt 

dy=+