7. Partikula-sistemen dinamika

1.Sarrera Orain arte Partikula bakarreko problemak aztertu (inguru osoa F edo Ep batekin adierazi)

Orain Partikula Sistema baten higidura aztertuko dugu.

N partikulaz osatutako sistema

Elkar indarrakSistema motak

Irekiak: masa galdu edo irabazi

Itxiak: masa ez galdu ez irabazi (KTEA)

hauek aztertuko ditugu

m1

m2

mN

mk

rN

rk

r1

r2

vk

x

y

zk: partikula zenbakia, k = 1, 2, …, nmk: partikula bakoitzaren masark: part. bakoitzaren posizioavk: part. bakoitzaren abiaduraak: part. bakoitzaren azelerazioa

Newton-en bigarren legea aplika dakioke partikula bakoitzari:

2k

2

kkkk

Tot k, dt

rdmam

dt

pdF

• N partikula eta 3D 3N ekuazio diferentzial eskalar.• Soluzioa: N higidura ekuazio.• 3Nx2 = 6N konstante definitu behar hasierako baldintzetatik abiatuz.

Hau askotan ezin ebatzi definituko ditugu: partikula sistemaren momentu lineala, momentu angeluarra eta energia zinetikoa, eta hauen teoremak garatuko ditugu.

2. Partikula-sistemen teoremak: momentu lineala, momentu angeluarra eta energia2.1. Partikula sistema baten momentu linealaren teorema:

Partikula bakoitzari Newton-en 2. legea aplikatuz:

Newton-en 3.legea bete:

Defini dezagun sistemaren momentu lineal osoa:

Demagun 2 partikulaz osaturiko sistema eta bien arteko indarra baino ez dutela jasaten.

1

2

12F

21F

dt

pdF 1

12

dt

pdF 2

21

tp ,tp 21

indarra jasaten dutenez aldakorrak denboran zehar.

2112 F F

2121 pp

dt

d

dt

pd

dt

pd

0 hau da; 1 2p pt t kte

ppP 21

2. Partikula-sistemen teoremak: momentu lineala, momentu angeluarra eta energia

Kanpo indarrak egotekotan …

1

221F

12F

kan1F

kan2F

dt

pdFF 1

12kan

1

dt

pdFF 2

21kan

2

Newton-en 2. legea aplikatuz:

Nola 2112 F F

Kanpo indarren erresultantea

Partikula sistema baten momentu linealaren

teorema

Momentu lineala ez da ktea

Momentu linealaren kontserbazio teorema:

Kanpo indarren erresultantea nulua bada (Fkan = 0) momentu lineal totala kontserbatzen da.

Barne indarrek Newton-en legea betetzen dutenez, bikoteka baliogabetuko dira

eta beraz:

2. Partikula-sistemen teoremak: momentu lineala, momentu angeluarra eta energia

: partikula-sistema baten momentu angeluar totala jatorriarekiko.

Momentu angeluarraren kontserbazio teorema:

Kanpo indar momentuen erresultantea nulua bada (M0kan = 0) momentu angeluar

totala kontserbatzen da.

2.2. Partikula-sistema baten momentu angeluarraren teorema:

oL

kanoM

: kanpo-indarren momentu totala jatorriarekiko.

dt

LdM okan

o

Partikula sistema baten momentu

angeluarraren teorema

0 0 kan oo o

dLM L kte

dt

2. Partikula-sistemen teoremak: momentu lineala, momentu angeluarra eta energia

2.3. Partikula-sistema baten energiaren teorema:

Ez: Sistemaren energia zinetiko totala

Wbar: Barne-indarren lan totala definituz…

Wkan: Kanpo-indarren lan totalaz

barkan EWW Partikula sistema baten

energiaren teorema

Orokorrean, barne indarren lan totala ez da deuseztatuko.

1

2

12F

21F

1 rd 2 rd

2 211 122112bar rdFrdFFdWFdW2,1dW

0 1 2 21 rdrdF

3. TalkakBi partikula elkar hurbiltzen direnean talka egin dezakete.

bai kontaktu fisikoz bai kontaktu fisikorik gabe

Talka guztietan: momentu eta energia trukea bi partikulen higidurak aldatu.

Beraz, talka bat, partikulen arteko interakzio bat da zeinetan momentu eta energia trukea gertatzen den.

Talka gertatzen ari den bitartean, sistema isolatutzat hartu daiteke: 0F kan

P kte

Momentu lineala kontserbatzen da!!

2121 'p'p pp

Kanpo indarrik ez dagoenez Wkan = 0 Wbar = Ez

- Talka elastikoa: Ez = 0 (ktea)

- Talka inelastikoa: Ez ≠ 0

- Talka erabat inelastikoa edo plastikoa: talkaren ostean itsatsita geratzen direnean.

3. Talkak

Talkan gertatzen den energia-aldaketa Q faktore batez adierazi:

Q = 0 ElastikoaQ ≠ 0 Inelastikoa

• Kasu berezia: 1D

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 ' ' '

2 2 2 2z z zQ E E E m v m v m v m v

Q < 0 1 motako inelastikoa (endoergikoa)

Q > 0 2 motako inelastikoa (exoergikoa)

v2v1 x

P kte

2x21x12x21x1 v' mv' mv mv m

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 ' - ' ' - -

2 2 2 2z z z x x x xQ E E E m v m v m v m v Sistema ebatzi

Ekuazio koadratiko honen ordez erabili daiteke. 1x2x1x2x vv e v'v'

Newton-ek esperimentalki lortutako ek.- Talka elastikoa: e = 1

- Talka inelastikoa: e ≠ 1

- Talka plastikoa: e = 0

Itzultze koefizientea

4. Partikula-sistema baten masa-zentroaren kontzeptua: masa-zentroaren

higiduraMasa zentroa:

M

rmR

N

1kkk

N

1kkmM

k-garren partikularen masak-garren partikularen posizio bektorea

Sistemaren masa osoa:

Masa banaketa jarraitua baldin badaukagu: non M

r dm

RM

M

M dmAdib:

MZ

m m

MZ

m´ m>

MZ

Partikulak mugitzen badira MZ-aren posizioa ere aldatuko da denborarekin tR

1 1 1 1

( (22) ek.) N N N N

kk k k k k k

k k k k

dr d dP p m v m m r M R

dt dt dt

V Mdt

Rd M

M

rmR

N

1kkk

Masa zentroaren abiaduraM ez da t-rekin aldatzen

4. Partikula-sistema baten masa-zentroaren kontzeptua: masa-zentroaren higidura

Momentu linealaren teoremaren arabera:

A Mdt

Vd M

dt

PdF kan

Masa zentroaren azelerazioa

Partikula-sistema baten masa zentroaren higidura, partikula soil bat balitz bezalakoa da.

zeinen masa totala M den

5. Partikula-sistema baten higiduraren deskonposaketa: masa-zentroaren higidura

eta barne higiduraDemagun 2 sistema ezberdin baina masa berekoak era kanpo indar berdinen eraginpean.

Bien MZ-ek higidura berdina deskribatu

MZ

MZ

Urrutitik behatzean partikula puntual bat MZ-aren transalazioa behatu.

Hurbiletik behatzean MZ-aren inguruan ere higidura dagoela ikusi.

5. Partikula-sistema baten higiduraren deskonposaketa: masa-zentroaren higidura eta barne higidura

'LV MRLo

z2

z E'V M2

1E

V MP

Idatz dezakegu:

MZ-aren inguruko barne higiduraren kontribuzioa

MZ-aren translazioaren kontribuzioa

dt

'LdM kan

MZ

Froga daiteke:

L’: sistemako partikula guztien momentu angeluarren batura bektoriala MZ-rekiko

Ez’: sistemako partikula guztien energia zinetikoaren batura MZ-rekiko

p’ = 0: sistemako partikula guztien momentu linealaren batura MZ-rekiko