Curso de Apoyo en Matemática

Página 98

6. ECUACIONES POLINOMICAS Y RACIONALES En las unidades anteriores hemos estudiado las ecuaciones de primer y segundo grado.

a x + b = 0 a ≠ 0 a x2 + b x + c = 0 a ≠ 0

Estas son casos particulares de ecuaciones de carácter más general, las llamadas ecuaciones polinómicas. y éstas a su vez de las ecuaciones racionales. Para estudiar estas ecuaciones será necesario introducir previamente algunos conceptos como los de polinomios y expresiones racionales, con sus cuatro operaciones, y la noción de divisibilidad que ya vimos en la Unidad 1 para números enteros. 6.1. Polinomios

En una plaza de nuestra ciudad se desea construir una fuente rectangular de 12 m. de perímetro, de modo que sus dimensiones sean números enteros, pero se ha puesto además la condición de que el producto de una de las dimensiones por el cuadrado de la otra sea de 16 m. ¿Qué dimensiones deberá tener la fuente?.

En la resolución de este ejemplo se utilizan ecuaciones polinómicas, tema que abordaremos

en la primera parte de esta unidad.

Pol inomioPol inomio

Llamamos polinomio a toda expresión de la forma

an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0

donde n ∈∈ N0 y an , an-1 , ... , a1 , a0 son números

reales, que denominamos coeficientes.

Pol inomio nuloPol inomio nulo El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el

nombre de polinomio nulo.

Ejemplo:

En el polinomio

4 x5 + 3 x4 - 2 x3 - 2

1 x + 1

se tiene: • Grado → 5 • Coeficientes → 4, 3, -2, 0, -

2

1 , 1

• Coeficiente principal → 4

• Término independiente → 1

Si an ≠ 0 , decimos que el polinomio tiene grado n y an es llamado el coeficiente principal. El coeficiente a0 recibe el nombre de término independiente. El polinomio nulo carece de grado.

www.Mate

matica

1.com

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Página

99

Función Función Pol inómicaPol inómica

Es posible asociar a cada polinomio

an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0

una única función p: R →→ R definida por

p (x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 ,

y recíprocamente, a cada función de esta forma es posible asociarle un polinomio. Llamamos a la función p(x), función polinómica.

6.1.1. Operaciones con Polinomios A continuación mostraremos cómo se pueden realizar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios. 6.1.1.1. Suma de polinomios

Calculemos la suma de los polinomios:

p (x) = 3 x2 + 2 x + 1 y q (x) = 5 x3 - 7 x + 8 .

p (x) = + 3 x2 + 2 x + 1 +

q (x) = 5 x3 + 0 x2 - 7 x + 8

Una forma práctica de realizar esta operación es ordenar los polinomios

y escribir uno debajo del otro. Si falta algún término intermedio en algún polinomio, lo completamos

escribiendo dicho término con coeficiente 0,

o dejando el espacio vacío.

p (x) + q (x) = 5 x3 + 3 x2 - 5 x + 9

6.1.1.2. Resta de polinomios

Para este caso también es conveniente ordenar los polinomios y

escribir uno debajo del otro.

Calculemos ahora la resta de los polinomios

p (x) = x5 + 2 x4 - 7 x3 + 8 y q(x) = x5 + 5 x4 - 4 x2 + 5.

p (x) = x5 + 2 x4 - 7 x3 + 8

–

q (x) = x5 + 5 x4 - 4 x2 + 5

Observemos que...

hemos obviado los términos con coeficiente nulo. Siempre

supondremos que los términos faltantes tienen coeficiente 0.

p (x) – q (x) = - 3 x4 - 7 x3 + 4 x2 + 3

El polinomio que resulta de la suma o la resta puede ser el

polinomio nulo, o su grado puede ser menor o igual al del polinomio de mayor grado que estamos sumando o restando.

www.Mate

matica

1.com

Curso de Apoyo en Matemática

Página 100

grado ( p (x) ±± q (x)) ≤≤ máx {grado p (x), grado q (x)} 6.1.1.3. Producto de polinomios

Para multiplicar los polinomios

p (x) = 7 x3 - 5 x + 2 y q (x) = 2 x2 + 5 x - 1 ,

una disposición práctica es la siguiente

p (x) 7 x3 - 5 x + 2 ×

q (x) 2 x2 + 5 x - 1

- 7 x3 + 5 x - 2 35 x4 - 25 x2 +10 x 14 x5 - 10 x3 + 4 x2

Para calcular el producto de dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro y

sumamos, es decir, aplicamos la propiedad distributiva.

p (x) . q (x) 14 x5 + 35 x4 - 17 x3 - 21 x2 +15 x - 2

Observemos que...

cuando se multiplican dos polinomios no nulos el resultado es un polinomio cuyo grado es igual

a la suma de los grados de los polinomios factores.

grado ( p (x) . q (x)) = grado p (x) + grado q (x) 6.1.1.4. División de polinomios Recordemos que en la Unidad 1 estudiamos el algoritmo de la división, también llamado algoritmo de Euclides, para la división de números enteros.

Así, si queremos dividir 7 por 4 obtenemos Al realizar una división entre

dos números enteros puede que el resto sea distinto de cero. Dividendo → 7 4 → divisor

Resto → 3 1 → cociente

Pero el resto de la división entre dos números enteros nunca puede ser negativo.

Se verifica entonces que

7 = 4 . 1 + 3 ,

y el resto es siempre menor que el valor absoluto del divisor, en este caso, 3 < |4|.

www.Mate

matica

1.com

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Página

101

Vamos a utilizar esta misma idea para realizar la división de polinomios.

Ejemplo: Hallemos el cociente y el resto de la división entre los polinomios

a (x) = 8 x4 + 6 x3 - 4 y b (x) = 2 x2 .

cociente: q (x) = 4 x2 + 3 x

resto: r (x) = - 4

8x4 + 6x3 - 4 2x2

+ 4x2 + 3x - 8x4

0x4 + 6x3 - 4 +

- 6x3

0x3 - 4

Ejemplo:

Hallaremos el cociente y el resto de la división entre

a (x) = - 4 x3 + 3 x2 +6 x4 - 5 y b (x) = - x + 2 x2 .

cociente:

q (x) = 3 x2 - 21

x + 45

resto:

r (x) = 45

x - 5

6x4 - 4x3 + 3x2 + 0x - 5 2x2 – x

+ - 6x4 + 3x3

3x2 - 21

x + 45

- x3 + 3x2 + 0x - 5

+ x3 - 21

x2

25

x2 + 0x - 5

+ - 25

x2 +45

x

45

x - 5

Al dividir los polinomios a (x) y b (x) se obtiene

a(x) b(x) r(x) q(x)

entonces a (x) = b (x) . q (x) + r (x)

donde r (x) = 0 ó grado r (x) < grado b(x)

Observemos que ... ü Antes de realizar una operación es conveniente ordenar

y completar el polinomio dividendo y el polinomio divisor. ü El resto de una división puede ser el polinomio nulo, o

en caso contrario, el grado del resto es menor que el grado del divisor.

www.Mate

matica

1.com

Curso de Apoyo en Matemática

Página 102

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1) Dados los siguientes polinomios

a (x) = - 3 x + 5 x3 + 3 x2 b (x) = 4 x2 - 6 x - 7

c (x) = 2 x2 + 3 d (x) = 3 – x + x2 Efectuar las siguientes operaciones

a) ( a (x) + b (x) ) . c(x) b) b (x) – d (x) . c(x)

b) a (x) – ( c (x) )2

2) Hallar el cociente y resto de la división entre a (x) y b (x) a) a (x) = 2 x7 + 3 x6 + 18 x3 + 29 x + 10

b (x) = 2 x2 + 3 x b) a (x) = 2 x5 + 8 x3 - x6

b (x) = x2 + 2 x 3) ¿Es cierto que existe un polinomio k (x) tal que

6 x6 - 9 x4 + 10 x2 - 15 = k (x) (2 x2 - 3) ?. 6.1.2. Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas

Raíz de un Raíz de un po l inomiopol inomio

Un número a es una raíz de un polinomio p (x) si el polinomio se anula para ese valor. Es decir, x = a es raíz del polinomio p (x) sí y sólo sí p (a) = 0.

Ejemplo:

p (1) = 15 - 13 = 0 x = 1 es raíz de p (x) = x5 - x3.

p (-1) = (-1)5 - (-1)3 = 0 También x = -1 es raíz de p (x).

p (2) = 25 - 23 = 24 ≠ 0 Pero x = 2 no es raíz de p (x).

www.Mate

matica

1.com

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Página

103

EcuaciEcuaci ón ón pol inómicapol inómica

Denominamos ecuación polinómica a toda ecuación de la forma p (x) = 0 ,

donde p (x) es un polinomio.

Resolver una ecuación polinómica es hallar los valores de x que anulan el polinomio; es decir,

equivale a encontrar sus raíces.

6.1.3. Divisibilidad de Polinomios

Divis ib i l idadDivis ib i l idad

Si al realizar la división entera entre los polinomios a (x) y b (x) el resto es nulo, decimos que a (x) es divisible por b (x) , o que b (x) divide a a (x) . En este caso, podemos expresar al polinomio a (x) como

a (x) = b (x) . q(x).

Ejemplo:

Aplicando el algoritmo de la división obtenemos que: 20 x5 + 7 x4 - 3 x3 - 24 x2 + 6 x = (5 x3 + 3 x2 - 6) . (4 x2 - x)

luego 4 x2 - x divide a 20 x5 + 7 x4 - 3 x3 - 24 x2 + 6 x

y 5 x3 + 3 x2 - 6 divide a 20 x5 + 7 x4 - 3 x3 - 24 x2 + 6 x

El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al reemplazar la variable por un número y efectuar

las operaciones indicadas.

El valor numérico del polinomio p (x) = 5x4 – 4x2 + 6x - 1

para x = 2 es

p (2) = 5.(2)4 – 4.(2)2 + 6.2 – 1 = 51

Aplicando el algoritmo de Euclides para dividir un polinomio p (x) por (x - a) obtenemos

p (x) = (x - a) . q (x) + r (x)

donde r (x) = 0 ó grado r (x) < grado (x - a) = 1, es decir r (x) = r es un polinomio constante. Entonces podemos expresar

p (x) = (x - a) . q (x) + r

Si a es raíz del polinomio p (x) , entonces

0 = p (a) = (a - a) . q (a) + r = r es decir, r = 0.

Esta afirmación es un caso particular del Teorema del Resto.

Luego, si a es raíz del polinomio p (x), entonces el resto de la división entre p (x) y (x - a) es 0; es decir, (x - a) divide a p (x).

www.Mate

matica

1.com

Curso de Apoyo en Matemática

Página 104

6.1.4. Regla de Ruffini Cuando tenemos que dividir un polinomio p (x) por uno de la forma (x - a), es conveniente utilizar la llamada regla de Ruffini. Este algoritmo permite prescindir de la notación de variable x, aunque la ubicación de los coeficientes de cada polinomio delata el monomio al cual pertenece. A continuación se muestra mediante un ejemplo cómo se aplica la Regla de Ruffini. Observa con atención ambas divisiones y trata de explicar con tus propias palabras comparando cada paso del procedimiento en la división convencional y en la regla de Ruffini

División convencional Regla de Ruffini

3x3 + 7x2 + 6x - 1 x + 2 3 7 6 -1 + - 3x3 - 6x2 3x2 + x + 4 - 2 - 6 - 2 - 8 x2 + 6x - 1 3 1 4 - 9 + - x2 - 2x 4x - 1 Cociente: q(x) = 3x2 + x + 4 + - 4x - 8 Resto: r(x) = - 9 - 9 Cociente: q(x) = 3x2 + x + 4 Resto: r(x) = - 9

Atención

ü Para aplicar la regla de Ruffini es indispensable ordenar y completar el polinomio dividendo. ü El grado del polinomio cociente es una unidad menor que el grado del polinomio dividendo.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

4) a) Hallar el resto de la división de los polinomios a (x) = x3 + 2 x + 12 y b (x) = x - 2

b) Idem al anterior pero ahora tomando como divisor c (x) = x + 2

c) Indicar si a (x) es divisible por b (x) o por c (x) . 5) Hallar el cociente y el resto de la división para los siguientes pares de polinomios.

a) a (x) = x6 + 4 x5 - 7 x3 - 4 , b (x) = x + 1 b) a (x) = - 2 x5 - 4 x4 - x3 - 8 , b (x) = x + 2

www.Mate

matica

1.com

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Página

105

6.1.5. Factorización de Polinomios

Analicemos una de las consecuencias del siguiente hecho:

Si a es raíz de un polinomio p (x) entonces

p (x) = (x - a) . q (x).

Consideremos p (x) = x3 - x2 - 14 x + 24.

Como p (2) = 8 - 4 - 28 + 24 = 0 entonces 2 es una raíz de p (x) y p (x) = (x - 2) q (x) .

Ejemplo:

Anteriormente comprobamos que 1 y -1 son raíces del polinomio

p (x) = x5 - x3, entonces podemos escribir

p (x) = x3(x - 1)(x + 1).

Por lo tanto las 5 raíces son

x1 = 1, x2 = -1, x3 = 0, x4 = 0, x5= 0.

Si aplicamos la regla de Ruffini para calcular q (x) obtenemos:

q (x) = x2 + x - 12

cuyas raíces podemos calcular como hemos visto anteriormente, y son x1 = 3, x2 = - 4. Luego, podemos expresar a q (x) como sigue

q (x) = (x - 3) (x + 4). Luego

p (x) = (x - 2) (x - 3) (x + 4).

Factor izaciónFactor ización

Los casos antes analizados nos muestran la conveniencia de expresar un polinomio mediante productos de polinomios de menor grado. Este proceso se denomina factorización. Este procedimiento es útil para hallar las raíces de un polinomio, ya que es más sencillo encontrar las raíces de cada factor que las raíces del polinomio original.

Factor ComúnFactor Común A veces ocurre que en un polinomio p (x) la variable x

aparece en todos los términos, en estos casos resulta conveniente extraer factor común.

Observemos que...

el procedimiento consiste en: w extraer la variable x de cada

término elevada a la menor de sus potencias

w extraer un número que es factor de todos los coeficientes.

Ejemplo:

p (x) = 7 x5 + 5 x4 + x3 = x3 (7 x2 + 5 x + 1)

q (x) = 2 x4 - 6 x3 + 4 x2 = 2 x2 (x2 - 3 x + 2)

r (x) = - 4 x7 - 8 x3 + 4 x2 + 16 x = 4 x (- x6 - 2 x2 + x + 4)

Atención

Siempre podemos controlar que el producto que obtuvimos es correcto aplicando la propiedad distributiva.

www.Mate

matica

1.com

Curso de Apoyo en Matemática

Página 106

Recordemos que una diferencia de cuadrados puede escribirse

como producto.

DD iferencia deiferencia de CuadradosCuadrados

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

Observemos que...

todo número positivo es el cuadrado de su propia raíz

cuadrada.

Ejemplo:

p (x) = x2 - 25 = (x - 5) (x + 5)

q (x) = x4 - 9 x2 = (x2)2 - (3 x)2 = (x2 - 3 x) (x2 + 3 x)

r (x) = x2 - 6 = x2 - ( )26 = (x - 6 ) (x + 6 )

Factor Común Factor Común por Grupospor Grupos

Algunos polinomios presentan una estructura que nos permite formar grupos de igual cantidad de términos y sacar factor común en cada uno de esos grupos.

Una vez hecho esto, aparece un nuevo factor común en todos los grupos.

El término técnico de este procedimiento es extracción de factor común por grupos.

Ejemplos:

p (x) = 7 x5 - 5 x4 + 14 x - 10 = (7 x5 - 5 x4) + (14 x - 10) =

x4 (7 x - 5) + 2 (7 x - 5) = (x4 + 2) (7 x - 5) q (x) = x7 + 3 x3 + 3 x8 + x2 - 2 x5 – 2 = (3 x8 + x7 - 2 x5) + (3 x3 + x2 - 2) =

x5 (3 x3 + x2 - 2) + (3 x3 + x2 - 2) =

(x5 + 1) (3 x3 + x2 - 2)

Analicemos ahora el resultado de elevar un binomio al cuadrado.

(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3)

Al desarrollar (x + 3)2 obtenemos tres términos:

(x + 3)2 = x2 + 6 x + 9

w en uno aparece el cuadrado de x, w en otro aparece 9 que es el cuadrado de 3, w y en otro aparece 6 x que es el doble del producto

entre x y 3.

www.Mate

matica

1.com

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Página

107

(x - 3)2 = (x - 3) (x - 3)

Al desarrollar (x - 3)2 , obtenemos una expresión similar donde la única diferencia está en el término del doble producto, que aparece restando.

(x - 3)2 = x2 - 6 x + 9

A las expresiones en el miembro derecho se las denomina

Trinomio Cuadrado Perfecto.

Generalizando estos resultados para el cuadrado de cualquier

binomio:

Trinomio CuadTrinomio Cuad rado rado PerfePerfe cc toto

a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

a2 - 2 a b + b2 = (a - b)2

Ejemplo:

p (x) = x2 - 10 x + 25 = x2 - 2 . 5 x + 52 = (x - 5)2

q (x) = 9 x4 + 36 x2 + 36 = (3 x2 )2 + 2 . 3 x2 . 6 + 62

= (3 x2 + 6)2

r (x) = x2 – x + 0,25 = x2 – 2 . 21

x + 2

21

=

2

21

-

x

Ahora retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Unidad...

En una plaza de nuestra ciudad se desea construir una fuente ectangular de 12 m. De perímetro, de modo que sus dimensiones sean números enteros, pero se ha puesto además la condición que el producto de una de las dimensiones por el cuadrado de la otra sea de 16 m. ¿Qué dimensiones deberá tener la fuente?. Para traducir al lenguaje simbólico llamamos b y h a las dimensiones de la fuente rectangular

→ 2b + 2h = 12

b . h2 = 16

Simplificando la primer ecuación → b + h = 6 b = 6 – h

Reemplazamos en la segunda ecuación →

(6 – h) h2 = 16

6 h2 – h3 = 16

p (h) = h3 – 6 h2 + 16 = 0

www.Mate

matica

1.com

Curso de Apoyo en Matemática

Página 108

Verificando con los primeros enteros positivos obtenemos que 2 es una raíz del polinomio

→ p (1) = 13 – 6.12 + 16 = 11

p (2) = 23 – 6.22 + 16 = 2 Usando la Regla de Ruffini → p (h) = (h – 2 ) (h2 – 4h – 8) Calculando las raíces del polinomio de segundo grado se obtienen todas las raíces.

→ h1 = 2, h2 = 32 + , h3 = 32 −

Se descartan las raíces h2 y h3 porque sólo se buscan dimensiones enteras.

→ h = 2 b = 4

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 6) Expresar los siguientes polinomios como productos:

a (x) = 3 x3 - 12 x b (x) = 6 x6 - 54 x2

c (x) = x3 - x2 + x - 1 d (x) = 3 x3 - 6 x2 - 3 x + 6

e (x) = 4 x2 + 4 x + 1 f (x) = 3 x6 - 12 x5 + 9 x4 - 3 x2 + 12 x - 9

g (x) = 2 x5 - 32 x h (x) = 25 x6 + 20 x3 + 4

7) Hallar todas las raíces reales y complejas de los polinomios del ejercicio anterior. 6.2. Expresiones Racionales Un peatón recorre 14 kilómetros. en 4 horas. Los primeros 8 kilómetros los recorre a una velocidad superior en 1 km./h. a la que emplea en los siguientes 6 km. ¿Qué velocidad llevó en cada tramo? Si llamamos v a la velocidad con la que el peatón recorre el primer tramo, podemos expresar la velocidad con la que recorre el segundo tramo como v – 1.

Observa el siguiente cuadro recordando que te

v = , donde “v” representa la velocidad, “e” expresa

el espacio recorrido, y la variable “t” representa el tiempo empleado en recorrer esa distancia.

Distancia Velocidad Tiempo

Primer tramo 8 km. v v8

Segundo tramo 6 km. v – 1 1

6−v

www.Mate

matica

1.com

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Página

109

El tiempo total invertido es 41

68 =−

+vv

.

¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Para poder resolver el problema necesitaremos ahora trabajar con Expresiones y Ecuaciones Racionales:

Expresiones Expresiones RacionalesRacionales

Así como llamamos números racionales a los números que

se pueden expresar de la forma ba

con a , b ∈∈Z, y b ≠≠ 0,

llamamos expresiones racionales a las expresiones de la

forma )()(

xqxp

donde p (x) y q (x) son polinomios y q (x)

no es el polinomio nulo.

Ejemplo:

a) x3

donde p (x) = 3, y q (x) = x .

b)

2 6

1 - 5 3 -23

2

+++xx

xx

donde p (x) = - 3 x2 + 5 x - 1, y q (x) = x3 + 6 x2 + 2 .

Recordemos que...

p (x) recibe el nombre de numerador

y q (x) el de denominador.

c) x3 + 3 x2 - x – 3

donde p (x) = x3 + 3 x2 - x - 3, y q (x) = 1.

Expresiones Expresiones RacionalesRacionales

IrreduciblesIrreducibles

Al trabajar con expresiones racionales es conveniente tener

una expresión equivalente más simple. Es posible

simplificarlas cuando existen factores comunes al

numerador y al denominador, en caso contrario, la

expresión racional recibe el nombre de irreducible.

Una herramienta útil para simplificar expresiones racionales es la factorización de polinomios, que ya hemos estudiado en esta unidad.

Ejemplo:

Vamos a simplificar las siguientes expresiones racionales para que resulten irreducibles.

www.Mate

matica

1.com

Curso de Apoyo en Matemática

Página 110

p (x) = xx

x

1 2 +

+ =

1) ( 1

++

xxx

= x1

q (x) =

1 -

4

24

x

xx + =

1) 1)( - (

1) ( 22

22

++xx

xx =

1 - 2

2

x

x Observemos con atención las

factorizaciones que se han realizado en el numerador y el denominador de

cada expresión racional. r (x) =

xx

x

4 -

2 -3

+ =

4) - (

2 -2xx

x + =

2) ( 2) - ( 2) - ( 1) (-+xxx

x

= 2) (

1 -+xx

6.2.1. Operaciones con Expresiones Racionales 6.2.1.1. Suma y resta

EXPRESIONES DE IGUAL DENOMINADOR

Para sumar o restar dos expresiones racionales )()(

xmxp

y )()(

xmxq

de igual denominador, operamos como lo hacíamos con los números racionales :

Observemos la similitud con las sumas y restas de fracciones.

)()()(

)()(

)()(

xmx q xp

xmxq

xmxp ±=±

Ejemplo:

Consideremos las siguientes expresiones algebraicas:

9 -

2 -2

2

x

x y

9 -

3 - 2

2

x

xx

Su suma es:

9 -

2 -2

2

x

x +

9 -

3 - 2

2

x

xx =

9 -

3 - 2 -2

22

x

xxx + =

9 -

3 - -2

2

x

xx

= 3) (3) - ( 3) ( -

++xx

xx =

3) - ( -

xx

Y su resta es:

9 -

2 -2

2

x

x -

9 -

3 - 2

2

x

xx =

9 -

) 3 - ( - 2 -2

22

x

xxx =

9 -

3 3 -2

2

x

xx +

www.Mate

matica

1.com

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Página

111

EXPRESIONES DE DISTINTO DENOMINADOR

Dos fracciones se dicen equivalentes si una de ellas se ha obtenido simplificando la otra o bien si ambas, al simplificarse dan lugar a la misma fracción.

Recordemos que para sumar o restar números racionales de distinto denominador, debemos sumar o restar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador.

Ejemplo:

12

11 +

10

7 =

3 . 2

2

11 +

5 . 27

= 5 . 3 .

22

7 . 3 . 2 11 . 5 +

= 60

42 55 + =

60

97

Lo más conveniente es tomar como denominador común el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los dos denominadores. En la Unidad 1 vimos que una forma de hallar el m.c.m. es factorizar ambos denominadores y luego multiplicar los factores comunes y no comunes con el máximo exponente con el que aparecen en cada factorización.

Para sumar o restar expresiones racionales procedemos en

forma análoga.

Ejemplo:

Calculemos 3 6 - 3

22 +xx

+ 4 - 3 2 xx

x

+

En primer lugar, hallamos el común denominador de ambas expresiones, para lo que debemos factorizar cada uno de los denominadores.

3 x2 - 6 x + 3 = 3 ( x2 - 2 x + 1) = 3 ( x - 1)2

Observemos que...

1 es raíz del polinomio x2 + 3 x - 4 .

Observemos que...

también es posible obtener las raíces de x2 + 3 x - 4 ,

resolviendo la ecuación x2 + 3 x - 4 = 0.

Usando la regla de Ruffini para dividir x2 + 3 x - 4 por x - 1, obtenemos

1 3 - 4 1 1 4

1 4 0 Entonces, x2 + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4).

Así el común denominador será 3 (x - 1)2 (x + 4)

Luego,

3 6 - 3

22 +xx

+ 4 - 3 2 xx

x

+ = 21) - ( 3

2

x +

4) ( 1) - ( +xxx

= 4) ( 1) - ( 3

1) - ( 3 . 4) ( 22 +

++xx

xxx =

4) ( 1) - ( 3

8 - 32

2

++xx

xx

www.Mate

matica

1.com

Curso de Apoyo en Matemática

Página 112

6.2.1.2. Producto

Para multiplicar dos expresiones racionales )()(

xbxa

y )()(

xdxc

,

operamos como sigue:

Para multiplicar dos expresiones racionales procedemos en forma similar a como lo hacemos con los números racionales.

)().()().(

)()(

)()(

xdxbxcxa

xdxc

xbxa =⋅

Ejemplo:

Vamos a resolver y expresar como fracción irreducible la expresión:

+9 -

4 -2

2

x

xx .

+

23 4 -

15 5

xx

x

+9 -

4 -2

2

x

xx .

+

23 4 -

15 5

xx

x =

) 4 - ( . 9) - (

15) (5 . ) 4 (-232

2

xxx

xxx ++

= )4 - ( . 3) ( . 3) - (

3) ( 5 . )4 - ( -2 xxxx

xxx

++

= 3) - ( .

5 -xx

6.2.1.3. División

Recordemos cuándo un número racional tiene inverso multiplicativo.

Llamamos inversa de una expresión racional

)()(

xbxa

a la

expresión )()(

xaxb

si a(x) no es el polinomio nulo.

Para dividir dos expresiones racionales

)()(

xbxa

y )()(

xdxc

multiplicamos la primera por la inversa de la segunda. Es decir,

)().()().(

)()(

)()(

)()(

)()(

xcxbxdxa

xcxd

xbxa

xdxc

xbxa =⋅=⋅

Ejemplo:

Calculemos

1 -

10 52x

x + :

1 6 3

++

xx

expresando el resultado como fracción irreducible.

www.Mate

matica

1.com

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Página

113

1 -

10 52x

x + :

1 6 3

++

xx

= 1 -

10 52x

x + .

6 31

++

xx

= 6) (3 1) - (

1) ( 10) (52 +

++xx

xx =

2) ( 3 1) (1) - (1) ( 2) ( 5

++++

xxxxx

= 1) - ( 3

5x

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 8) Efectuar las siguientes operaciones:

a) 9 -

22x

+ 9 6

1 2 ++

+

xx

x b)

25 -

52x

x + +

20 - 6 - 2

2 2 xx

x + -

2 2 21+x

c)

++

6 - -

2

4 -

2 - 22 xx

x

x

x .

10 - 49 - 2

xx

d) 6 - -

2

4 -

2 - 22 xx

x

x

x ++ .

10 - 49 - 2

xx

e) 9 -

6 22x

x + .

7 - 3

xx +

+ 7 +x

x :

57 - x

6.2.2. Raíces de una expresión racional. Ecuaciones racionales

Raíz de unaRaíz de una Expresión Expresión RRaa cionalc ional

Un número a se dice que es una raíz de una expresión racional

)()(

xqxp

si p (a) = 0 y q (a) ≠≠ 0.

Es decir, son los ceros del polinomio numerador que no anulan al polinomio denominador.

Ejemplo:

a) x = 0 es raíz de la expresión racional p (x) =

2 - 2

xx

, puesto

que, 0 es raíz del numerador y no anula al denominador.

b) x = 5 no es raíz de la expresión racional q (x) =

5 - 5) - ( 2

xx

aunque anule al numerador, ya que también anula al denominador.

www.Mate

matica

1.com

Curso de Apoyo en Matemática

Página 114

Ecuación Ecuación RacionalRacional

Una ecuación racional es una ecuación de la forma

)()(

xqxp

= 0

donde p (x) y q (x) son polinomios y q (x) no es el polinomio nulo.

Resolver una ecuación racional equivale a encontrar las raíces de la expresión racional asociada.

Atención

Observemos que...

si simplificamos la expresión racional

q (x) = 5 - 5) - ( 2

xx

obtenemos otra expresión racional equivalente

r (x) = x - 5;

sin embargo, las ecuaciones 5 - 5) - ( 2

xx

= 0 y x - 5 = 0 no

tienen las mismas raíces.

Ejemplo: Resolvamos las siguientes ecuaciones racionales:

a) 3

2

5

4 -

x

x = 0

x1 = 2

3

2

5

4 -

x

x = 0 , luego x2 - 4 = 0

x2 = - 2

Comparemos con el caso anterior.

b)

8 -

4 -3

2

x

x + = 0

x1 = 2

8 -

4 -3

2

x

x + = 0 , entonces - x2 + 4 = 0

x2 = - 2 Pero x1 = 2 es raíz de x3 - 8, luego la única solución de

la ecuación es x = - 2.

www.Mate

matica

1.com

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Página

115

c)

3 1 2

++

xx

= 1 2 2

−+

xx

Para resolver esta ecuación podemos proceder de diferentes modos, aquí mostraremos dos de ellos.

Para resolver ecuaciones de este tipo hay que tener la precaución de descartar aquellos valores que anulen los denominadores de las expresiones racionales involucradas. En nuestro caso, x = -3 y x = 1

En este primer intento, trabajamos directamente con las expresiones

algebraicas.

Primera forma:

3 1 2

++

xx

= 1 - 2 2

xx +

3 1 2

++

xx

- 1 - 2 2

xx +

= 0

1) - ( 3) ( 3) ( 2) (2 - 1) - ( 1) (2

xxxxxx

++++

= 0

1) - ( 3) ( 7 - 9 -

xxx

+ = 0

- 9 x - 7 = 0 x = - 97

Aquí transformamos el problema para hallar las raíces de un polinomio de modo que coincidan con las de la expresión racional. Observemos las condiciones

x ≠ -3 y x ≠ 1 que deben tenerse en cuenta al hallar la solución.

Segunda forma:

3 1 2

++

xx

= 1 - 2 2

xx +

(2 x + 1) (x - 1) = (2 x + 2) (x + 3) 2 x2 - 2 x + x – 1 = 2 x2 + 6 x + 2 x + 6

- x – 1 = 8 x + 6

- 7 = 9x

x = - 97

www.Mate

matica

1.com

Curso de Apoyo en Matemática

Página 116

Resolvemos la ecuación como en la segunda forma del ejemplo anterior.

Debemos recordar siempre la importancia de verificar

todos los resultados.

d)

1 -

1 - 2x

x =

1x

1 -

1 - 2x

x =

1x

, entonces x ≠ 0 y x2 - 1 ≠ 0, es decir, x ≠ 1

y x ≠ -1

x (x - 1) = x2 - 1

x = 1

Luego, la ecuación no tiene solución dado que operando obtuvimos que debe ser x = 1, pero x = 1 anula el denominador de la expresión fraccionaria de la izquierda.

Retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Sección 6.2 Un peatón recorre 14 kilómetros. en 4 horas. Los primeros 8 kilómetros los recorre a una velocidad superior en 1 km/h. a la que emplea en los siguientes 6 km. ¿Qué velocidad llevó en cada tramo?

Al plantear el problema habíamos obtenido la ecuación 41

68 =−

+vv

que ahora estamos en

condiciones de resolver.

Sumamos las dos expresiones racionales usando un denominador común → 4

)1(6)1(8 =

−+−

vvvv

8(v - 1) + 6v = 4v(v – 1) 8v – 8 + 6v = 4v2 – 4v 4v2 – 18v + 8 = 0 2v2 – 9v + 4 = 0 Resolvemos la ecuación de 2º grado obteniendo las raíces → v1 = 4 v2 =

21

Observemos que...

la solución v2 =21

no es válida ya que

en ese caso la velocidad en los últimos 6 km. sería negativa pues 21

– 1 = – 21

.

Por lo tanto la velocidad del peatón en el primer tramo es de 4 km/h mientras que en el segundo tramo es de 3 km/h

www.Mate

matica

1.com

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Página

117

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 9) El polinomio p (x) = x4 - a x3 + b x2 tiene como raíces x = 3 y x = - 1. Hallar los valores de a y b. 10) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios sabiendo que r es una de ellas: a) a (x) = x4 - x3 + 3 x2 - 3 x , r = 1 b) b (x) = x3 - 3 x2 - 2 x - 8 , r = 4

c) c (x) = 2 x3 + 6 x2 + 2 x + 6 , r = - 3

d) d (x) = 3 x4 + 5 x3 - 5 x2 - 5 x + 2, r = 31

e) e (x) = 6 x3 + 5 x2 + 3 x + 1 , r = - 21

11) Sabiendo que el polinomio p (x) puede expresarse como p (x) = a (x) . b (x), que a (x) representa una función lineal de pendiente 2 y raíz x = -3 , y que b (x) representa una función cuadrática de coeficiente principal 1 que corta al eje x en x = 2 y x = 4 , hallar las raíces de p (x). 12) El polinomio p (x) = 2 x3 - 18 x2 + x - 9 es divisible por q (x) = 2 x2 + 1 . Hallar la única raíz real de p (x). 13) Encontrar los valores de a tales que al dividir x2 + 5 x - 2 por x - a el resto sea igual a -8. 14) Expresar los siguientes polinomios como productos y hallar sus raíces reales.

a) a (x) = x4 – x b) b (x) = 2 x7 + 3 x6 - 5 x5

c) c (x) = 5 x3 - 10 x2 + 5 x – 10 d) d (x) = x2 - 6 x + 9

e) e (x) = - 2 x2 + 162 f) f (x) = x4 – 81

g) g (x) = 4 x7 + 4 x h) h (x) = 3 x2 – 15 i) i (x) = x4 + 12 x2 + 36 j) j (x) = 2 x3 - 48 x2 + 288 x

15) Se localizó un globo meteorológico a cierta altura. A partir de ese momento, su altura sobre el nivel del mar se puede describir, en forma aproximada, por la fórmula

h (x) = 8 + 161

(x3 - 12 x2 + 47 x - 60),

donde x es medido en días y h en miles de metros. c) ¿A qué altura estaba el globo cuando fue localizado?.

d) ¿Alcanzó otra vez esa altura?.

e) Se sabe que al tercer día alcanzó una altura de 8000 metros. ¿Llegó en algún otro momento a esa misma altura?.

www.Mate

matica

1.com

Curso de Apoyo en Matemática

Página 118

16) El desplazamiento lateral de una barra de choques, t segundos después del momento en que un vehículo la golpea, está dado por f (t) = k t (t - 3)2 a) Hallar el valor de k sabiendo que dos segundos después del impacto, el desplazamiento lateral es de 40 cm. b) Para ese valor de k, hallar los ceros de f (t). 17) El servicio meteorológico utilizó como modelo para la variación de la temperatura (en grados centígrados) durante cierto día, la siguiente fórmula p (t) = 0,04 t (t - 12) (t - 24) donde t está medido en horas, y t = 0 corresponde a las 6 am. ¿A qué hora la temperatura fue de 0º ?. 18) El crecimiento de dos poblaciones A y B responden a las siguientes fórmulas:

pA (t) = 25

t + 30 ; pB (t) = t3 - 12 t2 + 44 t - 8

donde t es el tiempo de conteo expresado en semanas. Si ambas poblaciones coinciden en la cuarta semana, ¿tienen en algún otro momento el mismo número de individuos?. 19) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 2 31 - 2

+xx

= 7 b) 4

7 - 2 - x + 1 =

5 - 1 x

c) 3

4 - 2 - x =

4 1 - x

+ 5 d) 3 1 2

++

xx

= 1 + 1 - 3

xx +

e) 4 4 -

- 4 - 4

++

xx

xx

= 16 -

) 2(2

2

x

x f)

2

2

+xx

. 23

2

4

16 -

xx

x

+ = 0

g) 1 −x

x +

1

32 −x

= 1 -

3 3

3

x

x + h)

4 -

2 - 2

2

x

xx + -

2 - 5

xx +

= 0

i) 4 - 10

xx +

+ 4 4

4) - ( 2 2

2

++ xxx

= 0 j) 2

2

2) (

4 2

+++

x

xx :

4 -

8 - 2

3

x

x = 1

www.Mate

matica

1.com