U T N - F R S R

ANALISIS MATEMTICO II 2011

Anexo Taller 5- Diferenciales Sucesivos - Aproximacin de funciones por Polinomio de Taylor

Conceptos incluido en el Taller 5. El operador diferencial sucesivo est presente en el modelo del Polinomio de Taylor para z = f (x, y).

Si z = f[x, y] es diferenciable hasta el orden n cerca de un punto (x0,y0) , siendo los incrementos sufridos por las variablesindependientes : h = Dx = x - x0; k = Dy = y - y0 , el diferencial de primer orden est dado por : dz@x, yD = fx@x, yD h + fy@x, yD kSi h, k permanecen constantes, entonces el dz depende slo de x, y a travs de las derivadas parciales. Al plantear el diferen-cial segundo, imponiendo la definicin de diferencial :

d2 z@x, yD = fxx@x, yD h2 + 2 fxy@x, yD h k + fyy@x, yD k2Si calculamos el diferencial tercero reiterando aplicar la definicin de diferencial en este caso a la funcin diferencialsegundo:

d3 z@x, yD = fxxx@x, yD h3 + 3 fxxy@x, yD h2 k + 3 fxyy@x, yD h k2 + fyyy@x, yD k3El operador diferencial sucesivo de orden n se escribe :

dn z = h

x

+ k

y f@x,yD

n

Este operador cuyo esquema corresponde al desarrollo de la potencia ensima de un binomio, indica potencia para los incre-mentos h , k , y orden de derivacin para las derivadas parciales.

APROXIMACIN DE FUNCIONES POR POLINOMIOS DE TAYLOR Definicin de los polinomios de Taylor y Maclaurin para funciones escalares:

Si y = f(x) tiene n derivadas en x=x0, el polinomio Pn(x)= f(x0) + f '(x0) (x-x0) + f '' Hx0L2! Hx - x0L2+...+ fHnLHx0Ln!

Hx - x0Lnse llama polinomio de Taylor de grado n, de f, en x0.

Si x0=0, entonces el polinomio se llama de Maclaurin : Pn(x)= f(0) + f '(0) x + f '' H0L2! x2+ f ''' H0L

3! x3...+

f HnLH0Ln!

xn

Para x cercanos a x0, se cumple que: f(x) =Pn(x) +Tn+1 , siendo Tn+1 el resto o trmino complementario (o Tn para algunosautores).

Polinomio de Taylor para y = f[x] (Maclaurin , si x = 0)

A veces es necesario aproximar una funcin diferenciable (por ejemplo trascendente) hasta cierto orden en las proximidadesde un punto (Entorno con centro x0 y radio h) a travs de un polinomio, que es una funcin simple para derivar e integrar.Resulta til por ejemplo para resolver aplicaciones de integrales definidas en casos en que no existe la primitiva. Tambin esposible encontrar el intervalo de convergencia en el cual la aproximacin es buena manteniendo el error acotado en un ciertovalor.

Se demostrar la frmula trabajando en x = 0.

Se pretende aproximar los valores de f[x] a travs de un polinomioP[x], de grado n , truncando la serie correspondiente (Seriede Maclaurin) para los trminos de grado n+1, razn por la que se produce una diferencia o error variable que depende de:la funcin, el punto y el Dx= x-x0.

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EmilianoRectangle

Se pretende aproximar los valores de f[x] a travs de un polinomioP[x], de grado n , truncando la serie correspondiente (Seriede Maclaurin) para los trminos de grado n+1, razn por la que se produce una diferencia o error variable que depende de:la funcin, el punto y el Dx= x-x0.

Actividad 1 - Demostracin

Para encontrar los coeficientes del polinomio se plantea un polinomio de grado n.Demuestra derivando sucesivamente la expresin P@xD = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn ; ( no se tiene en cuenta Tn+1)y asignando en cada una de ellas a x el valor 0 (en este caso x0 = 0), con la condicin de que se cumpla el siguiente sistema de ecuaciones:f(0) = P(0) f '(0) = P '(0) f ''(0) =P ''(0) f '''(0) = P ''' (0) ... f n(0) = Pn(0) que los valores de los coeficientes en forma genrica pueden escribirse en la forma :ai =

fi H0Li!

Por cumplir el sistema de ecuaciones dado se dice que el orden de contacto entre las curvas: f(x) y P(x) es n.Luego :

f@xD = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn H*sin tener en cuenta Tn+1*L

ec1 = f@xD == a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3;ec2 = f'@xD == a1 + 2 x a2 + 3 x2 a3;ec3 = f''@xD == 2 a2 + 6 x a3;ec4 = f'''@xD == 6 a3;Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene que ai =

f i H0Li !

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La serie de Taylor para una funcin diferenciable hasta el orden n + 1 puede obtenerse directamente con el Mathematica conel comando Series

?? Series

Series@ f , 8x, x0, n

Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 8

Plot@8f@xD, P1@xD, P2@xD

Table@Ta@xD, 8x, 0.001, 0.1, 0.01

Plot@8f@xD, P3@xD, P7@xD, P10@xD

Demostracin-

Para demostrar la frmula anterior se emplea la frmula de Maclaurin para una funcin escalar con variable independiente t :f(t)= f(0) + f '(0) t + 1

2!f ''(0) t2+ 13! f '''(0) t3+ ... +

1n!

f n (c) tn para 0 t 1 , con 0

P3@x_, y_D = Normal@Series@y Sin@xD, 8x, 0, 3