6.1. Introducción · radio, televisión, teléfonos móviles, redes inalámbricas, ......

Tema 6

Ondas Electromagnéticas

6.1. Introducción

Una de las características fundamentales de una onda es que es ca-paz de transmitir una energía (junto con su correspondiente momentolineal/angular) sin que ello implique un transporte neto de materia. Usual-mente, las ondas consisten en la propagación de alguna perturbación físi-ca a través de algún medio material, por ejemplo: olas en el agua, varia-ciones de presión en el aire (sonido), etc. No obstante, existe un tipo defenómeno ondulatorio que no requiere la presencia de medios materialespara su propagación (esto es, la perturbación se puede propagar en elvacío o espacio libre) aunque ciertamente también puede propagarse enpresencia de medios materiales. Estas ondas son las ondas electromag-néticas, que consisten en la transmisión de campos eléctricos y magné-ticos a una velocidad v ≤ c; siendo c la velocidad de propagación en elvacío. El origen de estas ondas puede entenderse como una consecuenciade que un campo magnético variable en el tiempo, ~B1(x, t), puede ser lafuente de un campo eléctrico variable en el tiempo, ~E1(x, t), y éste a suvez puede ser la fuente de un campo magnético variable en el tiempo,~B2(x, t), y así sucesivamente:

~B1(x, t)⇒ ~E1(x, t)⇒ ~B2(x, t)⇒ ~E2(x, t)⇒ ~B3(x, t)⇒ · · ·

De este modo, los campos eléctrico y magnético se generan mutuamentedando lugar a una onda electromagnética que se propaga en el espaciolibre a una velocidad c = 1/

√µ0ǫ0 ≈ 3 ×108 m/s. (Evidentemente si el

campo primario fuese uno eléctrico, en vez de uno magnético, también seproduciría una onda electromagnética). Esta hipótesis teórica deducidapor James C. Maxwell (∼ 1860) fue confirmada experimentalmente por H.Hertz en 1888. Adicionalmente, el hecho de que la velocidad de propaga-ción de las ondas electromagnéticas fuese justamente la velocidad medidaexperimentalmente para la propagación de la luz fue el primer indicio cla-ro de que la luz no era otra cosa que una onda electromagnética.

Las ondas electromagnéticas, además de constituir uno de los fenóme-nos físicos más predominantes en la naturaleza, tienen una importanciatecnológica fundamental en el campo de las comunicaciones. Podría de-cirse que la mayoría de las comunicaciones actuales se sustentan en la

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108 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas

transmisión de ondas electromagnéticas, ya sea a través del espacio libre:radio, televisión, teléfonos móviles, redes inalámbricas, satélites,... o biena través de medios materiales: telefonía convencional, televisión por ca-ble, transmisión por fibra óptica, redes locales de ordenadores, etc. Exis-ten muchas razones para justificar este extendido uso pero, entre otras,cabe destacar:

la posibilidad de que las ondas electromagnéticas se propaguen enel vacío;

el desarrollo de antenas (emisoras y receptoras) que permiten latransmisión y recepción de estas ondas involucrando muy poca ener-gía;

la posibilidad de “guiar” estas ondas mediante diversos sistemas detransmisión: linea bifilar, cable coaxial, guías de ondas metálicas,fibras ópticas, etc;

el hecho de poder usar señales portadores de muy alta frecuenciaque permiten grandes anchos de banda;

la facilidad de tratamiento de las señales electromagnéticas, porejemplo su modulación/demodulación en fase, amplitud o frecuen-cia, que permite usar estas señales como soporte de informacióntanto analógica como digital; y

la fácil integración de los equipos de generación/recepción con lacircuitería electrónica.

6.2. Nociones generales de ondas

En la Naturaleza existen muchos fenómenos físicos en los que una per-turbación física viaja sin que ello lleve aparejado un desplazamiento netode materia. Un ejemplo de esto puede ser la ola que se produce en el aguatras arrojar una piedra. En este fenómeno se observa el desplazamientode una ondulación en la superficie del agua en la que las partículas indi-viduales de agua no se trasladan sino que realizan un simple movimientode vaivén (movimiento oscilatorio). Otro ejemplo, es la propagación delsonido, que básicamente es un desplazamiento de un cambio de presiónen el aire pero sin que ello implique que las partículas de aire viajen des-de el lugar donde se originó el sonido hasta el receptor; más bien cadapartícula transmite su movimiento oscilatorio a la siguiente antes de vol-ver a su posición original. Otro ejemplo bastante visual de este tipo defenómenos se produce al agitar una cuerda por uno de sus extremos. Eneste caso se observaría claramente el desplazamiento de un pulso en lacuerda, siendo también evidente que cada segmento de cuerda no viajajunto a este pulso.

En todos los ejemplos anteriores una perturbación física se desplazaa través de un medio (agua, aire y cuerda respectivamente) sin que laspartículas de este medio hayan sufrido un desplazamiento neto.1 Estos

1Debe notarse que la ausencia de un desplazamiento neto no implica la existencia demovimiento nulo. El movimiento oscilatorio de una partícula en torno a un punto fijo es unclaro ejemplo de movimiento en el cual no existe traslación neta.

Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1

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6.2. Nociones generales de ondas 109

ejemplos son casos concretos de un tipo general de fenómenos físicosdenominados ondas, las cuales pueden definirse como

Propagación de una perturbación física sin queexista un transporte neto de materia.

Debe notarse que la propagación de la perturbación en la onda implicael transporte de cierta energía y momento lineal. En este sentido, el com-portamiento ondulatorio debe discernirse claramente del comportamientode las partículas, puesto que estas últimas siempre transportan energía ymomento lineal asociado a un transporte neto de materia.

Entre las posibles formas de clasificar a las ondas, a continuación sepresentan dos de ellas:

Naturaleza física de la perturbación

• Ondas mecánicas: cuando la perturbación física involucrada esde naturaleza mecánica, por ejemplo: desplazamiento, veloci-dad, presión, torsión, etc.

• Ondas electromagnéticas: cuando la perturbación es un campoelectromagnético.

Dirección relativa de la perturbación y el desplazamiento on-dulatorio

perturbación

perturbación

propagación

propagación

• Ondas longitudinales: cuando la dirección de la perturbaciónfísica y de la propagación ondulatoria coinciden, por ejemplo:onda de sonido.

• Ondas transversales: cuando la perturbación física se realizaen un plano transversal a la dirección de propagación de la on-da; por ejemplo: el desplazamiento de un pulso en una cuerda,ondas electromagnéticas planas en el espacio libre, etc.

Cuando se trata de caracterizar una onda, algunos conceptos usualesson:

Foco: es el recinto donde se produce la perturbación inicial.

Superficie/Frente de Onda: es el lugar geométrico de los puntosen que han sido alcanzados simultáneamente por la perturbación.

Velocidad de Fase: velocidad con la que se propagan las superficiesde onda.

Los conceptos anteriores pueden clarificarse si los concretamos en el casode la propagación del sonido. En este caso, el foco sería el lugar donde seemiten los sonidos (por ejemplo la boca de alguien), la superficie de ondaserían superficies aproximadamente esféricas centradas en el foco, y lavelocidad de fase sería la velocidad a la que se viaja el frente de ondas,esto es, la velocidad del sonido ∼ 340m/s.

Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI

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6.2.1. Ecuación de ondas

Del mismo modo que existe una ecuación diferencial general que de-termina el momento lineal, ~p, de una partícula (o conjunto de ellas) enfunción de la fuerza externa, ~F ,

~F =d~p

dt(6.1)

(o bien F = md2x/dt2 para el caso de movimiento monodimensional), exis-te también una ecuación diferencial, denominada ecuación de ondas, quese aplica a todos los fenómenos ondulatorios. La ecuación que describeel comportamiento ondulatorio de una perturbación física descrita mate-máticamente como u(x, t) que se propaga con velocidad constante v sindistorsión (onda no-dispersiva) a lo largo del eje x viene dada por

Ecuación de ondas no dispersivamonodimensional ∂2u

∂x2− 1

v2

∂2u

∂t2= 0 . (6.2)

Para mostrar que la ecuación anterior describe apropiadamente des-de un punto de vista matemático el fenómeno ondulatorio analizaremos lapropagación de un pulso en una cuerda (dado que este ejemplo ofrece unaimagen visual muy clara). En este caso, la perturbación que se propaga,u(x, t), es justamente el desplazamiento vertical de cada trocito de cuer-da. La forma del pulso para un instante arbitrario, que podemos tomarcomo t = 0, se muestra en la Figura 6.1(a), esto es, la forma matemáticade la onda en ese instante de tiempo viene completamente descrita porla función u(x). Si tras un tiempo t, el pulso viaja sin distorsión hacia laderecha una distancia a, el perfil de la cuerda será como el mostrado enla Figura 6.1(b), pudiéndose describir matemáticamente por la funciónu(x − a). Ahora bien, si el pulso está viajando a una velocidad v, enton-

Figura 6.1: Evolución del pulso en una cuerda en dos instantes

ces la distancia recorrida por el pulso puede escribirse como a = vt y,


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consecuentemente, la expresión matemática de la onda en el instante t

será

u(x, t) = f(x− vt) . (6.3)

Evidentemente, el pulso podría haber viajado igualmente hacia la izquier-da, en cuyo caso, la expresión matemática de la onda viajera en la cuerdasería

u(x, t) = f(x + vt) , (6.4)

de modo que un movimiento ondulatorio general en la cuerda podría serdescrito por la función

u(x, t) = f(χ) siendo χ = x± vt , (6.5)

que representaría una onda que puede viajar tanto hacia la izquierda co-mo hacia la derecha. Para encontrar la ecuación diferencial cuya solucióngeneral es una función del tipo (6.5), diferenciaremos la función u(x, t)

con respecto a x y a t, esto es,

∂u

∂x=

du

dχ

∂χ

∂x= u′(χ) (6.6)

∂u

∂t=

du

dχ

∂χ

∂t= ±vu′(χ) , (6.7)

donde hemos tenido en cuenta que ∂χ/∂x = 1 y ∂χ/∂t = ±v Dado que lasanteriores primeras derivadas no pueden relacionarse entre sí debido a laindefinición en el signo de (6.7), procedemos para obtener las derivadassegundas:

∂2u

∂x2=

∂

∂x

[∂u

∂x

]

=d

dχ[u′(χ)]

∂χ

∂x= u′′(χ) (6.8)

∂2u

∂t2=

∂

∂t

[∂u

∂t

]

=d

dχ[±vu′(χ)]

∂χ

∂t= v2u′′(χ) . (6.9)

Si observamos ahora la forma de los segundos miembros de (6.8) y (6.9),podemos comprobar que al eliminar u′′(χ) obtendríamos precisamente laecuación general de ondas mostrada en (6.2). En consecuencia, esta ecua-ción diferencial en derivadas parciales tiene por soluciones a funcionesdel tipo (6.3) y (6.4) con la única condición de que éstas sean diferen-ciables hasta el segundo orden (la forma concreta de estas funciones encada caso particular vendrá determinada por las condiciones iniciales delproblema).

Una propiedad muy importante de la ecuación general de ondas esque ésta es lineal, lo que implica que si u1(x, t) y u2(x, t) son solucionesindividuales de la ecuación de ondas, entonces la superposición lineal deambas, u(x, t) = αu1(x, t) + βu2(x, t), también lo es. Esta propiedad delinealidad de la ecuación de ondas simplemente expresa en forma mate-mática el siguiente principio físico conocido como principio de super-posición de ondas:

Principio de superposiciónde ondas

la perturbación ondulatoria resultante es igual a la su-ma de las perturbaciones coincidentes.


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6.2.2. Ondas armónicas

Según se ha explicado en el apartado anterior, la expresión matemá-tica general de una onda monodimensional no-dispersiva venía dada por(6.5). De entre las posibles formas matemáticas que puede tener este tipode ondas, hay una especialmente interesante conocida como onda armó-nica. La forma de una onda armónica es una curva tipo senoidal, cuyainstantánea en t = 0 puede venir dada por la siguiente expresión matemá-tica:

u(x, 0) = A sen

(2π

λx

)

. (6.10)

La constante A es la amplitud de la onda y representa el valor máximode la perturbación, λ es la longitud de onda o periodo espacial, esto es,la distancia en la que se repite la perturbación (por ejemplo, la distanciaentre dos mínimos sucesivos). Si la onda se mueve hacia la derecha concierta velocidad v, la función de onda en cualquier instante de tiempo t

posterior vendrá dada por

u(x, t) = A sen

[2π

λ(x− vt)

]

. (6.11)

El tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda se conocecomo periodo T , por lo que

v =λ

To’ λ = v T . (6.12)

El periodo T corresponde igualmente al tiempo empleado por la pertur-bación en realizar una oscilación completa en un punto fijo.

Usando la definición del periodo, (6.11) puede escribirse como

u(x, t) = A sen

[

2π

(x

λ− t

T

)]

. (6.13)

La expresión anterior indica claramente que la onda armónica muestrauna doble periodicidad, tanto en el espacio como en el tiempo:

u(x, t) = u(x + nλ, t + mT ) . (6.14)

Esta doble periodicidad es una consecuencia de la periodicidad temporalde la perturbación en el foco (x = 0), que se refleja en una periodicidadespacial2.

La función de onda armónica puede expresarse en una forma más con-veniente si se definen dos cantidades, k y ω que corresponden a la fre-cuencia espacial o número de ondas y a la frecuencia angular respecti-vamente, esto es,

k = 2π/λ (6.15)

ω = 2π/T . (6.16)

2De manera análoga a como un pastelero soltando pasteles cada tiempo T en un extremode una cinta transportadora (periodicidad temporal en el foco) que se mueve con veloci-dad v da lugar a una periodicidad espacial en dicha cinta; esto es, los pasteles aparecendistanciados una distancia que equivaldría a la “longitud de onda”.


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Combinando las expresiones (6.15) y (6.16) junto con (6.12), obtenemosla siguiente relación para la frecuencia angular y el número de ondas deuna onda armónica:

ω = vk . (6.17)

La frecuencia angular ω suele expresarse comúnmente en términos de lafrecuencia temporal, f (siendo ésta la inversa del periodo: f = 1/T )mediante

ω = 2πf . (6.18)

La frecuencia temporal representa por tanto el número de oscilacionesrealizadas por unidad de tiempo, siendo su unidad el hertzio (Hz). Unidad de frecuencia:

1 hertzio (Hz ≡ s−1)Teniendo en cuenta las definiciones dadas en (6.15) y (6.16), la fun-

ción de onda armónica que viaja en el sentido positivo de las x puede reescribirse como

u(x, t) = A sen(kx− ωt) . (6.19)

La expresión anterior es un caso particular de la siguiente expresión ge-nérica usando la función coseno:

Expresión matemática de la onda ar-mónica viajando en el sentido positi-vo de las x

u(x, t) = A cos(ωt− kx− ϕ) , , (6.20)

donde el argumento completo del coseno se conoce como fase de la onday la constante ϕ como fase inicial (que se introduce para posibilitar queen t = 0 la perturbación en el foco, x = 0, pueda tomar un valor arbitrario:u(0, 0) = A cosϕ). Una onda armónica viajando en el sentido negativo delas x tendrá la siguiente forma general:

u(x, t) = A cos(ωt + kx− ϕ) . (6.21)

Es interesante notar que el carácter viajero de la onda en sentido positi-vo/negativo del eje x lo determina la desigualdad/igualdad entre los signosque acompañan a ωt y kx en la fase.

Para facilitar las operaciones con ondas armónicas, éstas suelen expre-sarse en forma de exponencial compleja, de manera que la onda armónicadada en (6.20) se escribirá usualmente como

Expresión matemática compleja dela onda armónicau(x, t) = Ae−j(kx+ϕ)ejωt (6.22)

(ver Apéndice B para un estudio de los fasores), aunque debe considerarseque u(x, t) tal como se ha expresado en (6.20) es solamente la parte realde (6.22):

u(x, t) = A cos(ωt− kx− ϕ) = Re(

Ae−j(kx+ϕ)ejωt)

. (6.23)

No obstante, en lo que sigue del tema, cuando tratemos con ondas armó-nicas usaremos la notación compleja por simplicidad, debiéndose sobre-entender que la onda verdadera es la parte real de la expresión complejacorrespondiente.


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6.3. Ley de Ampère-Maxwel. Corriente de des-

plazamiento

La ley de Ampère tal como se introdujo en Apartado 3.6 sólo era válida,en principio, para campos magnetostáticos y corrientes continuas. Parageneralizar la ley de Ampère, es tentador suponer que esta ley es ciertatambién para campos variables en el tiempo y formular

∮

Γ

~B(~r, t) · d~l ?= µ0

∫

S(Γ)

~J(~r, t) · d~S . (6.24)

Para comprobar la validez de la expresión (6.24) basta considerar el pro-ceso de carga de un conductor recorrido por una intensidad I(t), dondela curva Γ rodea al conductor y la superficie S(Γ) es tal como se muestraen la figura adjunta. Al tomar el límite cuando la curva Γ se hace tender acero obtenemos que

lımΓ→0

∮

Γ

~B(~r, t) · d~l = 0 , (6.25)

puesto que el valor del campo magnético en los puntos de la curva Γ tien-de a cero en el límite Γ→ 0.3 Ahora bien, supuesta cierta (6.24) y teniendoen cuenta que al hacer Γ→ 0 la superficie S(Γ) cierra el conductor, la ex-presión (6.25) también implicaría que

lımΓ→0

∫

S(Γ)

~J(~r, t) · d~S =

∮

S

~J(~r, t) · d~S = 0 , (6.27)

es decir, el flujo de ~J a través de la superficie cerrada sería nulo. Esteresultado es claramente incorrecto puesto que en nuestro caso observa-mos claramente que entra una intensidad I(t) en la superficie S(Γ) y, portanto, (6.27) no puede ser cero.

Idéntica conclusión puede alcanzarse partiendo de la ecuación de con-tinuidad de la carga discutida en el Apartado 2.2,

Ecuación de continuidad de carga

∮

S

~J(~r, t) · d~S = − d

dtQS(t) , (2.9)

que establece que la variación por unidad de tiempo de la carga ence-rrada en una superficie cerrada S es igual al flujo total de densidad decorriente que atraviesa dicha superficie. Observamos entonces una claracontradicción entre lo que dice la ecuación de continuidad de la carga(2.9) y la expresión (6.27) derivada directamente de la ley de Ampère alaplicarla a campos variables en el tiempo. Dado que no cabe discusiónacerca de la validez de la ecuación de continuidad de la carga (ésta noes más que la expresión local del principio de conservación de la carga),tenemos que concluir que la extensión de la ley de Ampère, tal y como seexpresó en (6.24), NO es válida para situaciones no estacionarias.

Siguiendo el razonamiento de J.C. Maxwell debemos asumir que estaley debe modificarse para hacerla compatible con la ecuación de continui-dad de la carga. Así, si consideramos en primer lugar que la expresión de

3Recuérdese que en el Apartado 3.6.1 se mostró que el campo magnetostático en el in-terior de un conductor cilíndrico rectilíneo de radio R recorrido por una intensidad I veníadado por

~B(~r) =µ0I

2πR2rτ . (6.26)


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6.3. Ley de Ampère-Maxwel. Corriente de desplazamiento 115

la ley de Gauss dada en (1.20) sí puede extenderse para campos eléctricosvariables en el tiempo y escribirse como

∮

S

~E(~r, t) · d~S =QS(t)

ǫ0, (6.28)

la ecuación de continuidad de la carga puede entonces expresarse como∮

S

~J(~r, t) · d~S = − d

dt

(∮

S

ǫ0 ~E(~r, t) · d~S

)

= −∮

S

ǫ0∂ ~E(~r, t)

∂t· d~S , (6.29)

o bien∮

S

[

~J(~r, t) + ǫ0∂ ~E(~r, t)

∂t

]

· d~S = 0 . (6.30)

A la vista de la expresión anterior, es claro que reescribiendo la ley deAmpère de la siguiente forma:

Ley de Ampère-Maxwell∮

Γ

~B(~r, t) · d~l = µ0

∫

S(Γ)

[

~J(~r, t) + ǫ0∂ ~E(~r, t)

∂t

]

· d~S (6.31)

y siguiendo el mismo procedimiento de paso al límite de la curva Γ, tene-mos que esta ley es ya congruente con la ecuación de continuidad de lacarga. La ecuación (6.31), conocida como ley de Ampère-Maxwell, es en-tonces la extensión válida de la ley de Ampère para campos y corrientesvariables en el tiempo.

En el segundo miembro de (6.31) aparecen dos términos de corriente,a saber:

la densidad de corriente de conducción: ~J ,que es la corriente que hasta ahora se ha estudiado y que podemosidentificar con el movimiento neto de las cargas eléctricas. Clara-mente esta corriente aparece donde haya un movimiento neto decargas, por ejemplo, en el interior de un conductor recorrido poruna corriente eléctrica.

la densidad de corriente de desplazamiento: ~JD = ǫ0∂ ~E

∂t,

que es un término de corriente que no está directamente relaciona-do con el movimiento de cargas (aunque puede ser consecuencia deello) sino que debemos asociarlo exclusivamente a las variacionestemporales del campo eléctrico. (Recuérdese que una corriente es-tacionaria que recorre un conductor no da lugar a campo eléctricoalguno.) El origen de esta corriente podemos explorarlo en el pasode la ecuación (2.9) a (6.30) y relacionar la existencia de este tipode corriente con la mera presencia de una carga eléctrica variableen el tiempo. En consecuencia, la densidad de corriente de desplaza-miento existirá en todos los puntos del espacio donde haya un campoeléctrico variable en el tiempo.

Es interesante hacer notar que en el caso de que no haya corriente deconducción, la ley de Ampère-Maxwell se escribiría como

∮

Γ

~B(~r, t) · d~l = µ0ǫ0

∫

S(Γ)

∂ ~E(~r, t)

∂t· d~S . (6.32)


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Esta ecuación es análoga a la ecuación (4.18) y establece

la existencia de un campo magnético asociado a la existenciade una campo eléctrico variable en el tiempo.

Ejemplo 6.1 Cálculo del campo magnético en el interior de un condensador de placascirculares de radio R alimentado por una corriente I(t)

El campo eléctrico en el interior de un condensador de placas paralelas dedensidad superficial de carga σ viene dado por

~E =σ

ǫ0u

donde u es el vector unitario que va desde la placa cargada positivamente a lacargada negativamente. Expresando ahora la densidad superficial de carga σ enfunción de la carga total en la placa Q(t) se tiene que

~E(t) =Q(t)

ǫ0πR2u ,

y obviamente esto implica la existencia de una corriente de desplazamiento, ~JD(t),en el interior del condensador, que viene dada por

~JD(t) = ǫ0∂ ~E

∂t=

I(t)

πR2u .

Aplicando ahora la ley de Ampère-Maxwell según (6.32), esto es,I

Γ

~B(~r, t) · d~l = µ0

Z

S(Γ)

~JD · d~S .

nos encontramos con un problema muy similar al del cálculo del campo magne-tostático en el interior de un conductor cilíndrico rectilíneo (Apartado 3.6.1), conla diferencia de que en dicho problema la corriente era de conducción.

Consecuentemente usando la expresión (6.26) se llegaría a que en el interiordel condensador aparece un campo magnético dado por

~B(~r, t) =µ0I(t)

2πR2ρτ (r ≤ R)

Por último es importante destacar que la combinación de la ecuación

∮

Γ

~E(~r, t) · d~l = −∫

S(Γ)

∂ ~B(~r, t)

∂t· d~S (6.33)

junto con∮

Γ

~B(~r, t) · d~l = µ0ǫ0

∫

S(Γ)

∂ ~E(~r, t)

∂t· d~S (6.34)

sugiere la existencia de una perturbación electromagnética que puedeautosustentarse en el vacío (es decir, en ausencia de cargas y corrien-tes eléctricas). La ecuación (6.33) nos dice que la presencia de un campomagnético variable en el tiempo provoca la aparición de un campo eléc-trico, pero a su vez la ecuación (6.34) establece que la presencia de uncampo eléctrico variable en el tiempo da lugar a la aparición de un cam-po magnético. En consecuencia, la existencia de una campo magnético


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6.4. Ecuación de Ondas Electromagnéticas 117

variable en el tiempo generaría otro campo magnético que a su vez gene-raría otro.... (igualmente ocurriría con campos eléctricos variables en eltiempo). Tenemos, por tanto, una situación en la que los campos electro-magnéticos se autosustentan ya que serían ellos mismos su propia causay efecto. Este fenómeno es precisamente el origen de las ondas electro-magnéticas.

6.4. Ecuación de Ondas Electromagnéticas

Según se discutió en el Apartado 6.2.1, la expresión matemática decualquier magnitud física que represente a una onda debe satisfacer laecuación de ondas (6.2). En este sentido, aparte de la idea cualitativaobtenida en el anterior apartado acerca de que

{Variaciones temporales

del campo eléctrico ~E

}⇒⇐

{Variaciones temporales

del campo magnético ~B

}

,

es fundamental comprobar si los campos ~E y ~B en el vacío satisfacen laecuación de ondas para verificar así que efectivamente estos campos sonondas. Por simplicidad, supondremos campos eléctricos/magnéticos deltipo

~E = ~E(x, t) ; ~B = ~B(x, t) , (6.35)

es decir, campos variables en el tiempo cuya dependencia espacial es úni-camente a lo largo de la dirección x. Si estos campos representaran auna onda electromagnética, ésta sería una onda electromagnética pla-na, dado que la perturbación física (campos ~E y ~B) tomaría los mismos

y

z

x

valores en los planos definidos por x = Cte; es decir, su frente de on-das serían planos normales al eje x. Para obtener la ecuación diferencialque relaciona las derivadas espaciales y temporales de los campos, apli-caremos la ecuación (6.33) al contorno rectangular, Γxy, mostrado en laFig. 6.2. Dado que el camino de integración está situado en el plano xy

Figura 6.2:

obtendremos la siguiente expresión para la circulación de la componentey del campo eléctrico:

∮

Γxy

~E · d~l = [Ey(x2)− Ey(x1)] ∆y , (6.36)


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donde Ey(x2) y Ey(x1) son los valores de la componente y del campo eléc-trico en los puntos x1 y x2 respectivamente. No aparecen contribucionesdel tipo Ex∆x pues éstas se anulan mutuamente en los tramos superior einferior de Γxy. Suponiendo que ∆x es muy pequeño, podemos realizar lasiguiente aproximación:

Ey(x2)− Ey(x1) = ∆Ey(x) ≈ ∂Ey

∂x∆x ,

por lo que ∮

Γxy

~E · d~l =∂Ey

∂x∆x∆y . (6.37)

Para calcular el segundo miembro de (6.33), hemos de tener en cuentaque d~S = dSzz y por tanto el flujo del campo magnético a través delcontorno rectangular será

−∫

S(Γxy)

∂ ~B

∂t· d~S = −

∫

S(Γxy)

∂Bz

∂tdSz = −∂Bz

∂t∆x∆y . (6.38)

Igualando ahora (6.37) con (6.38), obtenemos la siguiente relación dife-rencial entre Ey y Bz:

∂Ey

∂x= −∂Bz

∂t, (6.39)

esto es, si existe una componente de campo eléctrico dirigido según y quevaría espacialmente en x, entonces existirá un campo magnético dirigidosegún z que varía temporalmente (o viceversa). Podemos obtener otra re-lación diferencial entre Ey y Bz aplicando la ecuación (6.34) a un contornorectangular, Γzx, situado en el plano xz. Procediendo de forma análoga ala anterior, obtendríamos la siguiente relación:

∂Bz

∂x= −µ0ǫ0

∂Ey

∂t. (6.40)

Si derivamos con respecto a x ambos miembros de la ecuación (6.39)se tiene que

∂

∂x

(∂Ey

∂x

)

= − ∂

∂x

(∂Bz

∂t

)

,

que puede reescribirse, tras intercambiar el orden de las derivadas en elsegundo miembro, como

∂2Ey

∂x2 = − ∂

∂t

(∂Bz

∂x

)

, (6.41)

Sustituyendo ahora en (6.41) el valor de ∂Bz/∂x según (6.40) encontra-mos que

∂2Ey

∂x2 = − ∂

∂t

(

−µ0ǫ0∂Ey

∂t

)

,

lo que nos permite escribir la siguiente ecuación diferencial para Ey:

∂2Ey

∂x2 = µ0ǫ0∂2Ey

∂t2, (6.42)

que claramente es una ecuación de ondas del tipo (6.2) tras identificarEy con u y µ0ǫ0 con 1/v2. Procediendo de forma análoga, derivando con


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6.4. Ecuación de Ondas Electromagnéticas 119

respecto a x (6.40) y haciendo la sustitución adecuada, se obtiene unaecuación de ondas similar para Bz:

∂2Bz

∂x2 = µ0ǫ0∂2Bz

∂t2. (6.43)

A la vista de las ecuaciones de onda (6.42) y (6.43) puede parecer que loscampos Ey y Bz son independientes. No obstante, debe notarse que estasecuaciones de onda provienen de las ecuaciones (6.39) y (6.40) en las quese observa claramente que ambos campos están relacionados entre sí;esto es, uno de ellos determina completamente al otro. En este sentido,puede afirmarse que los campos eléctrico y magnético de una onda sonsimplemente dos manifestaciones distintas de un único ente físico: la ondaelectromagnética.

Es fácil comprobar que aplicando la ecuación (6.33) al contorno Γzx

y la ecuación (6.34) al contorno Γxz, tras realizar las sustituciones opor-tunas, obtendríamos unas ecuaciones de onda análogas a las anteriorespara las componentes Ez y By. Dado que se ha supuesto que los cam-pos sólo dependen espacialmente de la coordenada x, la aplicación delas ecuaciones (6.33) y (6.34) a un contorno situado en el plano yz nosdaría circulaciones nulas y, por tanto, no obtendríamos ninguna relacióndiferencial para las componentes Ex y Bx.

En consecuencia podemos concluir que efectivamente se satisfaceránlas siguientes ecuaciones de onda monodimensionaleslos para los camposeléctrico, ~E = (0, Ey(x, t), Ez(x, t)), y magnético, ~B = (0, By(x, t), Bz(x, t)):

Ecuaciones de onda monodimensio-nales para los campos eléctrico ymagnético

∂2 ~E

∂x2 −1

c2

∂2 ~E

∂t2= 0 (6.44)

y

∂2 ~B

∂x2 −1

c2

∂2 ~B

∂t2= 0 . (6.45)

La solución de estas ecuaciones de onda son precisamente ondas electro-magnéticas planas que se propagan en la dirección x a velocidad c y cuyoscampos asociados tienen direcciones normales a la dirección de propaga-ción. En consecuencia puede establecerse que

las ondas electromagnéticas planas en elvacío son ondas transversales.

Las ecuaciones (6.44) y (6.45) nos dicen también que el campo eléctri-co y el magnético se propagan en el vacío conjuntamente a una velocidadc ≡ v cuyo valor viene dado por

c =1√µ0ǫ0

. (6.46)

Al sustituir los valores numéricos de µ0 y de ǫ0 en la expresión anterior seobtiene que

c = 2,99792 ×108 m/s .

Dado que la velocidad a la que se propaga el campo electromagnéticoen el vacío (obtenida de forma teórica mediante manipulaciones en las


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ecuaciones de Maxwell) era muy próxima a la velocidad medida experi-mentalmente para la luz, esta sorprendente coincidencia sugería que laluz era simplemente una onda electromagnética. Debe notarse que en elmomento en que se dedujo teóricamente la velocidad de propagación delcampo electromagnético se admitía que la luz era una onda pero se dis-cutía sobre la naturaleza de esta onda. Así, por ejemplo, se postulaba quela luz, en analogía con las ondas mecánicas, podía ser una vibración delas partículas de un medio que “impregnaba” todo el universo denomina-do éter. Esta y otras teorías fueron desechadas a la vista de los trabajosteóricos de Maxwell y a la verificación experimental de las ondas electro-magnéticas realizada por Hertz.

6.5. Ondas electromagnéticas planas armóni-

cas

Ya se indicó en el Apartado 6.2.2 que una solución particularmenteimportante de la ecuación de ondas era la solución armónica. Para el casode ondas electromagnéticas planas, un campo eléctrico ~E(x, t) de tipoarmónico que satisfaga la ecuación de ondas (6.44) puede ser descritopor la siguiente expresión:

~E(x, t) = E0 cos(ωt− kx)y . (6.47)

El campo magnético asociado a este campo eléctrico armónico en la ondaelectromagnética puede calcularse a partir de (6.39):

∂Bz

∂t= −∂Ey

∂x= −kE0 sen(ωt− kx) . (6.48)

Resolviendo ahora la anterior ecuación diferencial se tiene que

Bz(x, t) = −∫

kE0 sen(ωt− kx)dt =k

ωE0 cos(ωt− kx) , (6.49)

esto es, el campo magnético vendrá dado por

~B(x, t) = B0 cos(ωt− kx)z , (6.50)

donde, como ω = kc, la relación entre las amplitudes del campo eléctricoy magnético es

B0 =E0

c. (6.51)

A la vista de la forma de los campos ~E y ~B dados en (6.47) y (6.50)podemos establecer para la onda electromagnética plana armónica mos-trada en la Fig.6.3 que

los campos eléctrico y magnético están en fase; y

~E, ~B y ~c (siendo ~c el vector velocidad de la onda; en el presente caso~c = cx) forman un triedro rectángulo, es decir, cada uno de estosvectores es perpendicular a los otros dos.


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6.5. Ondas electromagnéticas planas armónicas 121

E

Bcx

Figura 6.3:

Las dos anteriores conclusiones junto con la relación (6.51) pueden serexpresadas matemáticamentemediante la siguiente relación vectorial quecumplen los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnéticaplana armónica:

~E = ~B × ~c . (6.52)

Ejemplo 6.2 Una onda electromagnética plana armónica de frecuencia f = 3 GHz viajaen el espacio libre en la dirección x. El valor máximo del campo eléctrico es de 300 mV/my está dirigido según el eje y. Calcular la longitud de onda de esta onda así como lasexpresiones temporales de sus campos eléctrico y magnético.

Dado que f = 3 GHz, la longitud de onda asociada a esta frecuencia será

λ =c

f=

3 ×108

3 ×109= 10 cm .

Asimismo, el número de ondas, k, y la frecuencia angular, ω, de esta onda serán

ω = 2πf = 6π ×109 rad/s y k =ω

c=

6π ×109

3 ×108= 20πm−1 .

Si el el campo eléctrico, ~E, de la onda plana armónica que viaja según x estádirigido según y, este campo vendrá dado por la siguiente expresión:

~E(x, t) = E0 cos(kx − ωt)y ,

donde E0 representa la amplitud del campo que coincide con el valor máximo deéste, luego E0 = 0,3 V/m. Según se ha visto en el presente apartado, la expresióncorrespondiente para el campo magnético de esta onda será entonces

~B(x, t) = B0 cos(kx − ωt)z ,

siendo, según la expresión (6.51):

B0 =E0

c=

3 ×10−1

3 ×108= 10−9 T .

Finalmente, las expresiones temporales de los campos ~E y ~B de esta ondaelectromagnética serán

~E(x, t) = 0,3 cos(20πx − 6π ×109t) y V/m

~B(x, t) = 10−9 cos(20πx − 6π ×109t) z T .


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6.6. Intensidad de la onda electromagnética

Una de las propiedades más significativas de la onda electromagnéticaes que transporta energía. Así, la onda electromagnética que transmitela luz de una estrella, que ha viajado durante muchos millones de kiló-metros antes de llegar a la Tierra, tiene todavía suficiente energía comopara hacer reaccionar a los receptores de nuestros ojos. Cuando estamostratando con ondas, la magnitud relevante para caracterizar el contenidoenergético de las mismas es su intensidad, I (no confundir con la inten-sidad, I, de una corriente eléctrica, que aunque tiene el mismo nombre esuna magnitud completamente diferente).

La intensidad de una onda se define como la energía que fluye porunidad de tiempo a través de una superficie de área unidad situada per-pendicularmente a la dirección de propagación. Si u es la densidad volu-métrica de energía de la onda (esto es, la energía por unidad de volumencontenida en la región donde se propaga la onda) y c la velocidad de pro-pagación de la onda, la intensidad I de la onda puede escribirse como

Intensidad de la onda I = uc , (6.53)

cuyas unidades son (ms−1)(Jm−3)=Js−1m−2=Wm−2; es decir, potencia porunidad de área.

A la vista de la anterior ecuación, para calcular la intensidad de la ondaelectromagnética debemos obtener en primer lugar la densidad volumé-trica de energía asociada con esta onda. La energía del campo eléctricoy del magnético ya se discutió en los Temas 1 y 4 donde se obtuvieronlas expresiones (1.79) y (4.53) respectivamente. Concretamente se obtu-vo que

uE =1

2ǫ0E

2 densidad de energía eléctrica (6.54)

uB =B2

2µ0densidad de energía magnética , (6.55)

por lo que la intensidad (también denominada intensidad instantánea:Iinst) de la onda electromagnética vendrá dada porIntensidad instantánea de una

onda electromagnéticaI = (uE + uB)c . (6.56)

Para ondas planas armónicas, encontramos que la relación entre losmódulos de los campos eléctrico y magnético de la onda electromagnéticaverificaban que E = cB. Esto nos permite escribir la densidad volumétricade energía almacenada en el campo magnético como

uB =B2

2µ0=

E2

2µ0c2=

1

2ǫ0E

2 , (6.57)

donde se ha tenido en cuenta que c2 = 1/µ0ǫ0. Hemos obtenido, por tan-to, que para una onda plana electromagnética armónica, la densidad deenergía almacenada en el campo magnético es idéntica a la almacenadaen el campo eléctrico, esto es,Igualdad de las densidades de

energía eléctrica y magnética enuna onda electromagnética plana

armónica

uE = uB . (6.58)


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6.6. Intensidad de la onda electromagnética 123

La anterior igualdad nos permite escribir las siguientes expresiones parala densidad de energía de dicha onda electromagnética, uEB:

uEB = uE + uB =1

2ǫ0E

2 +1

2ǫ0E

2 = ǫ0E2 =

B2

µ0=

EB

µ0c, (6.59)

y, consecuentemente, podemos expresar la intensidad instantánea de di-cha onda como

Iinst = uEBc = cǫ0E2 = c

B2

µ0=

EB

µ0. (6.60)

En el espacio libre, la energía de la onda plana armónica viaja en ladirección de propagación de la onda, esto es, en una dirección perpen-dicular tanto a ~E como ~B. Por otra parte, para este tipo de ondas, laintensidad de la onda se puede expresar, según (6.60), en función de losmódulos de los campos eléctrico y magnético de la onda. Todo ello nossugiere la introducción de un vector ~S, denominado vector de Poynting,que caracterice energéticamente a la onda electromagnética y que, portanto, tenga por dirección la dirección de propagación de la energía y pormódulo la intensidad instantánea de la onda electromagnética. A la vis-ta de las expresiones anteriores, para una onda electromagnética planaarmónica, este vector vendría dado por el siguiente producto vectorial:

Vector de Poynting~S(~r, t) =~E × ~B

µ0. (6.61)

Aunque la expresión anterior del vector de Poynting se ha obtenido parael caso concreto de una onda plana armónica, cálculos más elaboradosmuestran que la expresión (6.61) tiene validez general para cualquier tipode onda electromagnética en el espacio libre.

Para la onda plana armónica discutida en el apartado anterior, el vec-tor de Poynting vendrá dado por

~S(x, t) = cǫ0E20 cos2(ωt− kx)x = cuEBx , (6.62)

por lo que la intensidad instantánea de esta onda será

Iinst(x, t) = cǫ0E20 cos2(ωt− kx) . (6.63)

Tal y como se comentó en el Apartado 5.6, los valores instantáneos demagnitudes energéticas armónicas no tienen mucho interés práctico da-do que estas magnitudes suelen variar muy rápidamente (por ejemplo,del orden de 1015 veces en un segundo para la luz). Es, por tanto, mássignificativo obtener el promedio de la intensidad, Imed, en un periodo detiempo, para lo cual debemos promediar temporalmente (6.63):

Imed = 〈Iinst(x, t)〉 = cǫ0E20

1

T

∫ T

0

cos2(ωt− kx) dt

=cǫ0E

20

2=

1

2

E0B0

µ0. (6.64)

Intensidad promedio de una ondaelectromagnética armónica


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Ejemplo 6.3 Sabiendo que la amplitud del campo eléctrico de la radiación solar que lle-ga a la superficie terrestre es de aproximadamente E0 = 850 V/m, calcule la potenciatotal que incidiría sobre una azotea de 100 m2.

Para calcular la potencia promedio que incide en una superficie S debemosprimero obtener el valor de la intensidad promedio, Imed, de la onda. En este casodado que conocemos el valor de la amplitud del campo eléctrico, esta intensidadvendrá dada por

Imed =1

2cǫ0E

20 =

3 ×108 · 8,85 ×10−12

2(850)2 ≈ 959W/m2 .

Una vez calculada la intensidad promedio, la potencia promedio, Pmed, queincide sobre la superficie será simplemente

Pmed = ImedS = 959 · 100 ≈ 9,6 ×104 W .

Aunque esta potencia es realmente alta, debe tenerse en cuenta que está dis-tribuida en una área grande y que su aprovechamiento total es imposible. Dehecho con placas solares típicas se podría transformar en potencia eléctrica apro-ximadamente el 10% de la radiación solar, debiéndose tener en cuenta ademásque los datos dados en el problema se refieren a las horas de iluminación de díassoleados.

6.7. Interferencia de Ondas

Cuando dos o más ondas coinciden en el espacio en el mismo instantede tiempo se produce un fenómeno que se conoce como interferencia.El principio de superposición de ondas establece que cuando dos o másondas coinciden en un punto y en un instante de tiempo, la perturbaciónresultante es simplemente la suma de las perturbaciones individuales (es-te principio ya fue relacionado en el Apartado 6.2.1 con la linealidad dela ecuación de ondas). En consecuencia, la perturbación resultante en unpunto P y en un instante de tiempo t, u(P, t), debido a la coincidencia deN ondas ui(x, t) se obtendrá mediante la siguiente expresión:

u(P, t) =

N∑

i=1

ui(P, t) . (6.65)

6.7.1. Superposición de dos ondas electromagnéticasplanas armónicas

Para estudiar los aspectos cuantitativos de la interferencia considera-remos la superposición de dos ondas electromagnéticas planas armónicasde la misma frecuencia pero distinta amplitud y fase inicial en cierto pun-to P , cuyos campos eléctricos vienen dados porP

F1

F2

r1

r2

~E1(~r, t) = E0,1 cos(ωt− kr − ϕ1)y

y~E2(~r, t) = E0,2 cos(ωt− kr − ϕ2)y ,


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6.7. Interferencia de Ondas 125

Si r1 y r2 son las distancias desde los focos respectivos (F1 y F2) al puntoP , la componente y del campo eléctrico resultante vendrá dada por

Ey(P, t) = Ey1(r1, t) + Ey2(r2, t) . (6.66)

Si usamos la notación compleja, la perturbación suma puede obtenerse apartir de

Ey(P, t) = E0,1e−j(kr1−ωt+ϕ1) + E0,2e

−j(kr2−ωt+ϕ2)

=[E0,1e

−jε1 + E0,2e−jε2

]ejωt

= E0(P )e−jε(P )ejωt , (6.67)

dondeεi = kri + ϕi (6.68)

y E0(P ) y ε(P ) son respectivamente la amplitud y la fase de la compo-nente y del campo eléctrico resultante en el punto P . Operando en (6.67)encontramos que

E0(P )e−jε(P ) =E0,1e−jε1 + E0,2e

−jε2

=(E0,1 cos ε1 − jE0,1 sen ε1) + (E0,2 cos ε2 − jE0,2 sen ε2)

= (E0,1 cos ε1 + E0,2 cos ε2)− j (E0,1 sen ε1 + E0,2 sen ε2) ,

(6.69)

de donde obtenemos que la amplitud puede ser calculada como sigue:

E20 (P ) = E2

0,1 cos2 ε1 + E20,2 cos2 ε2 + 2E0,1E0,2 cos ε1 cos ε2+

E20,1 sen2 ε1 + E2

0,2 sen2 ε2 + 2E0,1E0,2 sen ε1 sen ε2

= E20,1 + E2

0,2 + 2E0,1E0,2 cos(ε1 − ε2) ,

esto es,

E0(P ) =√

E20,1 + E2

0,2 + 2E0,1E0,2 cos δ(P ) , (6.70)

siendo

Amplitud de la interferencia de 2 on-das armón. de igual frecuencia

δ(P ) = kr1 − kr2 + ϕ1 − ϕ2

= k∆r + ∆ϕ . (6.71)

En la expresión anterior, δ(P ) se denomina diferencia de fase, ∆r =

r1 − r2 se conoce como diferencia de camino entre el recorrido de lasdos ondas al propagarse desde los focos respectivos hasta el punto P y∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 es la diferencia de fase inicial entre las dos ondas. Elúltimo término de la expresión anterior,

2E0,1E0,2 cos δ(P ) ,

se denomina usualmente término de interferencia puesto que es el res-ponsable de que la amplitud de la interferencia varíe al variar la diferenciade camino hasta el punto P . En concreto, si notamos que

−1 ≤ cos δ(P ) ≤ 1

encontraremos que la amplitud en un punto podrá tomar en general valo-res comprendidos entre

(E0,1 − E0,2) ≤ E0(P ) ≤ (E0,1 + E0,2) . (6.72)


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Para obtener la intensidad resultante de la superposición de las dosondas electromagnéticas planas armónicas de igual frecuencia en el puntoP debemos tener en cuenta que, según (6.63), la intensidad de dichasondas depende del cuadrado de la amplitud (I ∝ E2

0 ). En consecuencia, apartir de (6.70), podemos deducir que la intensidad resultante será

I(P ) = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos δ(P ) . (6.73)

6.7.2. Focos incoherentes

En el apartado anterior observamos que la amplitud resultante en elpunto P oscilaba entre dos valores dependiendo del valor concreto de δ

en dicho punto. No obstante, en la práctica ocurre frecuentemente quela diferencia de fase no es constante en el tiempo sino que δ = δ(t). Estopuede ser causado por una posible variación temporal de las condicionesde emisión de los focos (usualmente en tiempos característicos menoresque 10−10 s) debida, por ejemplo, a que

1. La frecuencia de los focos no es estrictamente constante sino quepresenta pequeñas fluctuaciones arbitrarias que provocan que elnúmero de ondas (y equivalentemente la longitud de onda) oscileligeramente en torno a cierto valor promedio, 〈k〉

k(t) = 〈k〉+ ∆k(t) .

2. Las fases iniciales de los dos focos presentan fluctuaciones al azarde modo que las funciones ϕ1(t) y ϕ2(t) no están correlacionadas deninguna manera dando lugar a que la diferencia de fase inicial seauna función del tiempo,

∆ϕ = ϕ1(t)− ϕ2(t) = f(t) ,

que varía igualmente al azar.

Cuando nos encontramos con alguna de las condiciones anteriores deci-mos que los focos son incoherentes. Debido a esta rápida variación ar-bitraria en el tiempo de la diferencia de fase, el término de interferenciase anula en promedio durante el intervalo de observación debido a que elvalor medio del coseno de un argumento que varia al azar es cero:

〈cos δ(t)〉 =1

T

∫ T

0

cos δ(t) dt = 0 .

Esto hecho implica que la intensidad promedio en el punto P , 〈I(P )〉 =

Imed, venga dada por

Imed = Imed,1 + Imed,2 focos incoherentes. (6.74)

Notemos que en el presente caso de focos incoherentes, la anulación enpromedio del término de interferencia hace que la intensidad de la per-turbación no dependa de la posición del punto de observación. Este hechoprovoca que aunque podamos, en un sentido estricto, hablar de interfe-rencia, ésta no será observable y usualmente diremos que “no existe in-terferencia”.


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A menudo cuando se habla de un único foco también podemos decirque este foco es “incoherente”. En este caso, en realidad estamos que-riendo decir que este único foco tiene cierta extensión espacial, y que lasdistintas partes del foco (asimilables a diversos focos puntuales) no soncoherentes entre sí.

6.7.3. Focos coherentes

Cuando la frecuencia de los focos es constante y sus fases inicialesestán completamente correlacionadas, de modo que

ϕ1(t)− ϕ2(t) 6= f(t) ,

manteniendo una diferencia de fase inicial constante, se dice que los dosfocos son coherentes. En el caso de que ∆ϕ = 0, δ sólo dependerá de ladiferencia de camino (en general ∆r),

δ = k∆r = 2π∆r/λ , (6.75)

dando lugar así a una interferencia que sí podría ser observable dado queel término de interferencia no se anula ahora en promedio.

En las circunstancias anteriores, podemos distinguir dos casos de inte-rés, dependiendo de si cos δ es 1 o’ -1, esto es, si A adquiere su valor máxi-mo (interferencia constructiva) o bien su valor mínimo (interferenciadestructiva). Por tanto, si

δ =

{

2nπ ⇒ E0 = E0,1 + E0,2 Interferencia Constructiva

(2n + 1)π ⇒ E0 = E0,1 − E0,2 Interferencia Destructiva.(6.76)

Teniendo en cuenta (6.75), la condición de interferencia constructiva odestructiva para ∆r en P vendrá dada por

∆r =

nλ Interferencia Constructiva

(2n + 1)λ

2Interferencia Destructiva ;

(6.77)

es decir, si la diferencia de camino es un múltiplo entero/semientero de lalongitud de onda, entonces tendremos interferencia constructiva/destruc-tiva.

Desde un punto de vista práctico, una forma usual de producir focoscoherentes es generar dos focos secundarios a partir de la misma fuen-te primaria, asegurando así que la diferencia de fase inicial en los dosfocos secundarios es una constante. Uno de los primeros experimentosque mostró el fenómeno de interferencia con luz es el experimento dela doble rendija de Young mostrado en la Figura 6.4(a), constatando asíconvincentemente la naturaleza ondulatoria de la luz. En este experimen-to la luz (u otra perturbación ondulatoria) proveniente de un foco primarioS se hace pasar por una pantalla en la que se han realizado dos ranuras S1

y S2 separadas una distancia d. Las rendijas se comportan como dos focoscoherentes de luz cuyas ondas interfieren en el semiespacio derecho. Es-te fenómeno provoca un patrón de interferencias en la pantalla SD dondeaparecen regiones sombreadas (dibujadas en negro) junto a regiones másiluminadas tal y como se muestra en la Figura 6.5. En este experimento


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Figura 6.4: Experimento de la doble rendija de Young

tenemos que la amplitud de las ondas que interfieren es idéntica, esto es,

E0,1 = E0,2 .

Si además consideramos que la pantalla SD se coloca a una distancia talque D ≫ d de las rendijas y admitimos que θ es muy pequeño, entonces,según muestra la Figura 6.4(b), encontramos que la diferencia de caminoen la coordenada y de la pantalla viene dada por

∆r = d sen θ ≈ d tan θ ≈ dy

D. (6.78)

En consecuencia, el patrón de interferencia obtenido en la pantalla SD

mostrará franjas de interferencia constructiva o bien destructiva segúnse cumplan las siguientes condiciones:

Interferencia constructiva, y = yM :

k∆r = 2nπ ⇒ 2π

λdyM

D= 2nπ , (6.79)

de donde se deduce que las franjas y = yM de interferencia cons-tructiva verifican

yM = nD

dλ , (6.80)

siendo la intensidad media de la onda en estas franjas: Imed = 4Imed,1.

Interferencia destructiva, y = ym:

k∆r = (2n + 1)π ⇒ 2π

λdym

D= (2n + 1)π , (6.81)

de donde se deduce que las franjas y = ym de interferencia destruc-tiva verifican

ym =2n + 1

2

D

dλ , (6.82)

siendo la intensidad de la onda en estas franjas Imed = 0.


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Figura 6.5: Patrón de interferencia resultante en el experimento de la doble rendija de Young

Nótese que la diferencia ∆y entre un máximo y un mínimo consecutivo es

∆y =D

d

λ

2. (6.83)

Esta expresión nos proporciona adicionalmente un procedimiento muysencillo para determinar el valor de la longitud de onda a partir de lamedida de la distancia entre franjas de interferencia constructiva y des-tructiva.

Es interesante notar que en las franjas de interferencia constructivase ha obtenido que la intensidad media es cuatro veces (y no dos) el va-lor de la intensidad media proporcionada por cada uno de los focos. Estoparece violar el principio de conservación de la energía, aunque tal hechono se produce puesto que la energía de la onda no se distribuye homo-géneamente en la pantalla SD sino que, debido a la interferencia, existenpuntos donde la energía es mayor que la suma de las energías provenien-tes de los focos pero también existen otros puntos donde la energía esmenor (incluso cero) que la proveniente de los focos.

Ejemplo 6.4 Un foco de luz amarilla (λ = 600 nm) incide sobre dos rendijas separadasuna distancia d, observándose la interferencia de la luz proveniente de estas rendijas enuna pantalla situada a una distancia de 3 m. Obtener la separación d entre las rendijaspara que la distancia entre máximos y mínimos consecutivos del patrón de interferencialuminoso sea mayor que 5 mm.

Según la teoría expuesta anteriormente, la distancia entre máximos y mínimosconsecutivos en el experimento de la doble rendija de Young viene dado por

∆y >D

d

λ

2.

Al despejar en la expresión anterior d encontramos que

d <Dλ

2∆y=

3 · 6 ×10−7

2 · 5 ×10−3= 1,8 ×10−4m = 180 µm .


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El resultado anterior nos muestra que la separación entre rendijas debe sermuy pequeña (y aún menor si ∆y se quiere mayor) por lo que en la práctica no esfácil llevar a cabo este experimento.

6.8. Ondas estacionarias

Observemos que cuando una perturbación viaja hacia la izquierda poruna cuerda, al llegar al extremo, ésta se refleja de la forma mostrada en

u x,t1( )

onda incidente

x= 0

u x,t2( )

onda reflejada

la figura adjunta. Este fenómeno ondulatorio también se dará para ondaselectromagnéticas cuando dichas ondas son reflejadas por “espejos”. Con-sideremos entonces una onda electromagnética plana armónica viajandohacia la izquierda con un campo eléctrico dado por

~E1(x, t) = E0,1 cos(ωt + kx)y .

Al llegar al punto x = 0, la onda se refleja en un espejo dando lugar a otraonda armónica viajando hacia la derecha cuyo campo eléctrico vendrádado por

~E2(x, t) = E0,2 cos(ωt− kx)y .

Dado que las dos ondas viajeras anteriores se encuentran en una mismaregión del espacio darán lugar a un fenómeno típico de superposición ointerferencia. Puesto que en el punto x = 0 la amplitud del campo electro-magnético debe ser nula para cualquier instante de tiempo (por hipótesis,ésta es la condición de reflexión “ideal” en un espejo), tendremos que

Ey(0, t) = E0,1 cos(ωt) + E0,2 cos(ωt)

= (E0,1 + E0,2) cosωt = 0 , (6.84)

de donde se deduce que E0,1 = −E0,2.

Como las dos ondas electromagnéticas anteriores coinciden simultá-neamente en la misma región del espacio, la superposición de ambas(usando notación compleja) dará lugar al siguiente campo eléctrico dela onda electromagnética resultante:

Ey(x, t) = −E0,2ej(ωt+kx) + E0,2e

j(ωt−kx) = E0,2(−ejkx + e−jkx) ejωt

= E0 sen(kx)ej(ωt−π/2) (6.85)

(donde E0 = 2E0,2 y −j se ha escrito como e−jπ/2), cuya parte real puedefinalmente escribirse como

Ey(x, t) = E0 sen kx senωt . (6.86)

Nótese que en la expresión (6.86) no aparecen explícitamente expresio-nes del tipo f(ωt ± kx), lo que indica que esta perturbación no puedeidentificarse ya simplemente con una onda viajera, sino que constituye unnuevo tipo de onda conocido como onda estacionaria. En este tipo deperturbación ya no podemos decir que la energía viaja de un punto a otrosino que, como muestra la figura 6.6, esta onda estacionaria correspon-de a una situación en la que cada punto del espacio está sometido a un


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6.8. Ondas estacionarias 131

Figura 6.6: Instantánea de la onda estacionaria en t = t0. Los nodos están separados unadistancia λ/2.

campo eléctrico caracterizado por una oscilación armónica simple cuya“amplitud” es una función de x, E0(x), pudiéndose escribir entonces que

Ey(x, t) = E0(x) sen ωt , (6.87)

siendoE0(x) = E0 senkx . (6.88)

Observemos que en la situación anterior podemos encontrar puntos de-nominados nodos donde el campo eléctrico es nulo para todo instantede tiempo. Estos puntos son aquellos que verifican que E0(x) es cero, esdecir, aquellos que satisfacen la siguiente condición:

kx = nπ ⇒ xnodo = nλ

2, (6.89)

siendo la distancia entre dos nodos sucesivos una semilongitud de onda(recuérdese que la longitud de onda está determinada por la frecuencia yla velocidad de propagación de la onda: λ = c/f ).

Si ahora imponemos al problema anterior una segunda condición con-sistente en colocar un segundo espejo en el punto x = L, entonces ha deverificarse igualmente que

Ey(L, t) = 0 ,

lo cual requiere que

sen kL = 0 ⇒ kL = nπ . (6.90)

La condición anterior implica que tanto el número de ondas como la lon-gitud de onda de la onda electromagnética estacionaria resultante sólopueden tomar ciertos valores discretos (fenómeno conocido como cuan-tización) dados por

kn = nπ

L=

π

L,2π

L,3π

L, . . . (6.91)

λn =2L

n= 2L,

2L

2,2L

3, . . . (6.92)

Vemos entonces que la imposición de (6.90) ha limitado los valores de las


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longitudes de onda de la onda electromagnética en la región del espaciolimitada por los dos espejos a aquellos valores que cumplan la condición(6.92). De forma análoga, las frecuencias permitidas serán aquéllas quecumplan

ωn = ckn = cnπ

L. (6.93)

En consecuencia podemos concluir que tanto las longitudes de onda co-mo las frecuencias permitidas están cuantizadas y que esta cuantizaciónes fruto de la imposición de condiciones de contorno en las fronteras decierta región del espacio.

Ejemplo 6.5 En el montaje de la figura se genera una onda estacionaria en la región en-tre la bocina emisora y la pantalla metálica (espejo). Supuesto que el detector de campoeléctrico nos dice que la distancia mínima entre los mínimos de amplitud de campo estánsituados a 15 cm, determine la frecuencia de la onda emitida por la bocina.

Osciloscopio

Generadorde microondas

Bocina

Detector

Teniendo en cuenta que la distancia entre mínimos de amplitud de campoeléctrico viene determina por la expresión (6.89), y que la distancia entre dosnodos sucesivos es ∆ = λ/2, tenemos entonces que la longitud de onda será

λ = 2∆ = 2 · 0,15 = 0,3m .

Considerando ahora la relación existente entre la frecuencia y la longitud deonda (λ = cf) tendremos que la frecuencia emitida es

f =λ

c=

0,3

3 ×108= 1GHz .

Finalmente observemos que en la región limitada por espejos, cadauna de las ondas electromagnéticas estacionarias permitidas poseen uncampo eléctrico que responde a la siguiente expresión:

Ey,n(x, t) = E0,n sen(knx) sen(ωnt + ϕn) ,

que se denominan genéricamente como armónicos. Estos armónicos pre-sentan la importante propiedad de que cualquier perturbación electro-magnética en dicha región puede expresarse como una superposición deellos, esto es,

Ey(x, t) =

∞∑

n=1

E0,n sen(knx) sen(ωnt + ϕn)

=∞∑

n=1

En,0 sen(nk1x) sen(nω1t + ϕn) , (6.94)

siendok1 =

π

L, ω1 = v

π

L

y E0,n la amplitud del n-ésimo armónico (esta amplitud será distinta encada caso particular). El resultado anterior puede considerarse como unaconclusión particular de un teorema más general, llamado teorema deFourier, que básicamente dice que una función periódica puede expre-sarse como la suma de senos/cosenos cuyas frecuencias son un númeroentero de veces la frecuencia original del problema (un tratamiento deta-llado de este teorema puede encontrarse en cualquier libro de Cálculo).


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6.9. (*) Difracción 133

6.9. (*) Difracción

Uno de los fenómenos ondulatorios más característicos es el conocidocomo difracción. Este fenómeno se produce cuando una onda es distor-sionada en su propagación por un obstáculo, aunque también se llamadifracción a la interferencia producida por muchos focos coherentes ele-mentales. Desde el punto de vista físico, la difracción no se diferenciabásicamente de la interferencia puesto que ambos fenómenos son frutode la superposición de ondas. La difracción es, por ejemplo, la causa dela desviación de la luz de una trayectoria recta, explicando así por qué laluz llega a puntos que, en principio, no debería alcanzar si su propagaciónfuese estrictamente rectilínea. Un ejemplo de difracción puede verse enla Figura 6.7(b) que muestra el patrón de sombras cuando una fuente deluz coherente ilumina una esquina recta. En la Fig. 6.7(a) se muestra estamisma sombra cuando no se produce difracción (por ejemplo, cuando lafuente de luz es incoherente).

IntensidadIntensidad

DistanciaDistancia

Sombrageométrica

BordeBorde

a) b)

Figura 6.7: Sombra producida por una esquina recta iluminada por una fuente de luz cuando:(a) no se produce difracción, (b) sí se produce difracción

En el presente estudio de la difracción, consideraremos únicamentela denominada difracción de Fraunhofer, que se presenta cuando lasondas incidentes pueden considerarse planas y el patrón de difracción esobservado a una distancia lo suficientemente lejana como para que solose reciban los rayos difractados paralelamente. Por ello consideraremosque la onda incidente es una onda electromagnética plana armónica cuyocampo eléctrico está dirigido en la dirección y (de forma similar a co-mo hemos hecho en apartados anteriores). Para obtener la perturbaciónresultante haremos uso del principio de Huygens, que explica la propa-gación ondulatoria suponiendo que

cada punto de un frente de ondas primario se comportacomo un foco de ondas esféricas elementales secunda-rias que avanzan con una velocidad y frecuencia iguala la onda primaria. La posición del frente de ondas pri-mario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente dedichas ondas elementales.


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Siguiendo este principio, cuando un frente de onda alcanza una panta-lla en la que existe una rendija de anchura b, tal y como se muestra en laFigura 6.8, sólo aquellos puntos del frente de ondas coincidentes con la

(a) (b)

S1

SD

P

bS2

SN

r R

q

( )N-1

rD

Inte

nsid

ad

x

Figura 6.8: (a) Difracción de Fraunhofer de una rendija rectangular; (b) Cada punto de larendija se comporta como un foco puntual emisor de ondas secundarias.

rendija se convierten en focos emisores secundarios, de modo que la per-turbación ondulatoria en cualquier punto a la derecha de la rendija puedecalcularse como la superposición de las ondas originadas en cada uno deestos focos secundarios (ver Figura 6.8b).

En este sentido, y a efectos de cálculo, supondremos que existen N

focos puntuales equiespaciados en la rendija. El camo eléctrico de la ondaelectromagnética resultante, Ey(r, t), en cierto punto P de una pantallaSD (situada a una distancia D ≫ d) será fruto de la interferencia de ungran número de fuentes equiespaciadas de igual amplitud y fase inicial,esto es,

Ey(P, t) =N∑

n=1

E0e−j(krn−ωt) , (6.95)

donde rn es la distancia desde el foco secundario n-ésimo hasta el puntoP y A0 la amplitud constante de cada onda elemental. Notemos que, bajola presente aproximación, todos los rayos que llegan a P se consideranparalelos. Si llamamos r a la distancia desde el foco 1 hasta P y ∆r a ladiferencia de camino entre la perturbación que llega a P desde un foco yel siguiente, rn puede escribirse como

rn = r + (n− 1)∆r .

La perturbación en P según (6.95) puede entonces expresarse como

Ey(P, t) = E0

[

e−jkr + e−jk(r+∆r) + e−jk(r+2∆r) + . . .]

ejωt

= E0

[

1 + e−jφ + e−2jφ + . . . + e−(N−1)jφ]

e−j(kr−ωt) , (6.96)


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6.9. (*) Difracción 135

donde φ = k∆r y pudiéndose identificar la suma entre corchetes como unaserie geométrica, Sg, de razón q = e−jφ. Dado que la suma de la siguienteserie geométrica viene dada por

1 + q + q2 + . . . + qN−1 =1− qN

1− q,

el resultado de la serie geométrica en (6.96) puede expresarse como

Sg =1− ejNφ

1− ejφ=

ejNφ/2

ejφ/2

e−jNφ/2 − ejNφ/2

e−jφ/2 − ejφ/2

=sen(Nφ/2)

sen(φ/2)ej(N−1)φ/2 ,

por lo que

Ey(P, t) = E0sen(kN∆r/2)

sen(k∆r/2)e−j[k(r+ N−1

2∆r)−ωt] . (6.97)

La expresión anterior puede reescribirse como

Ey(P, t) = EP e−j(kR−ωt) , (6.98)

donde

R = r +N − 1

2∆r

es la distancia desde el centro de la rendija al punto P y

EP = E0sen(kN∆r/2)

sen(k∆r/2). (6.99)

es la amplitud resultante de la componente y del campo eléctrico en P .Dado que esta amplitud varía en cada punto de la pantalla, también lohará la intensidad de la onda, formando lo que se conoce como un patrónde difracción:

Imed(θ)

Imaxmed

=sen2(Nk∆r/2)

sen2(k∆r/2). (6.100)

Claramente existe un mínimo en la intensidad de la perturbación cuan-do EP → 0, esto es, cuando el numerador de (6.99) sea cero,

sen(kN∆r/2) = 0 ,

es decir, cuando el argumento verifica que

kN∆r/2 = mπ . (6.101)

Según se puede deducir de la Figura 6.8(b) (si N ≫):

N∆r ≈ (N − 1)∆r = b sen θ ,

por lo que la condición de mínimo (6.101) para EP puede reescribirsecomo

2π

λ

b sen θ

2= mπ , (6.102)

o equivalentementeCondición de intensidad nula en ladifracción por una rendijab sen θm = mλ m = 1, 2, . . . . (6.103)


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El primer mínimo (o mínimo de primer orden) ocurre para m = 1,verificándose entonces que

sen θ1 =λ

b. (6.104)

Puede observarse que si λ ≪ b, θ1 ≈ 0, por lo que apenas se observarápatrón de difracción, es decir, la zona de sombra aparece bien definidatal como ocurriría si la onda se propagase en línea recta. A medida queel cociente λ/b crece, el ángulo θ1 aumenta, haciéndose, por tanto, másevidente el fenómeno de difracción. En general, los fenómenos de difrac-ción son más apreciables cuando las dimensiones de la rendija son delorden de la longitud de onda de la perturbación ondulatoria (no obstante,debe tenerse en cuenta que el análisis efectuado para obtener la expre-sión (6.103) es sólo válido si λ < b, puesto que de otro modo el seno seríamayor que uno para todo valor de m).

Ejemplo 6.6 Hallar la anchura de la franja central del patrón de difracción producido enuna pantalla situada a una distancia de 5 m de una rendija de anchura 0.3 mm por la quese ha hecho pasar una luz laser de 600 nm.

La anchura de la franja central puede obtenerse a partir del ángulo θ1 que nosda el primer mínimo en el patrón de difracción. Según la expresión (6.104), esteángulo viene dado por

sen θ1 =λ

b=

6 ×10−7m

3 ×10−4m= 2 ×10−3 .

Dado que sen θ1 ≪, tenemos que

sen θ1 ≈ tan θ1

y, por tanto, la anchura de la franja central será

2a = 2D tan θ1 ≈ 2 · 5 · 2 ×10−3 = 20mm .

6.10. Espectro electromagnético

Uno de los aspectos más interesantes de las ondas electromagnéticases que distintos fenómenos ondulatorios aparentemente inconexos comola luz, las ondas de radio, las microondas, los rayos X, los rayos gamma,etc, son todos ellos ondas electromagnéticas que se diferencian simple-mente por su distinta frecuencia y longitud de onda. Todos los fenómenosanteriores son básicamente campos eléctricos y magnéticos oscilantes adeterminada frecuencia. En el espacio libre, la relación entre la frecuen-cia f y la longitud de onda λ viene dada por

λ =c

f. (6.105)

El conjunto de todas las radiaciones electromagnéticas se conoce espec-tro electromagnético, distinguiéndose en él las distintas denominacio-nes que toman las ondas electromagnéticas en función de la frecuencia,tal como se muestra en la Fig. 6.9.


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6.11. Fuentes de las Ondas Electromagnéticas 137

103

103

100

10-3

10-6

10-9

10-12

1061 MHz -

1 kHz -

- 1 km

- 1 m

- 1 cm

- 1 nm

- 1 mm

1 GHz -

1 THz -

Frecuencia( Hz)

Longitud deonda (m)

109

1012

1015

1018

1021

- 1 A

Ondas de Radio

TV, FM

Microondas

Infrarrojo

Visible

Ultravioleta

Radiofrecuencia

Rayos Gamma

Rayos X

Figura 6.9: Espectro electromagnético

A lo largo de este tema hemos visto cómo la longitud de onda y lafrecuencia determinan fundamentalmente las propiedades de la onda. Eneste sentido se vio en el Apartado 6.9 que los fenómenos de difraccióndependían básicamente de la relación entre la longitud de onda y el tama-ño físico de los objetos donde se producía la difracción. Esto justificabaque los efectos de difracción de la luz sean apenas perceptibles debidoa la corta longitud de onda de la luz visible (400 . λ(nm) . 700) y que,por tanto, la luz pueda ser considerada en muchas situaciones prácticascomo un rayo. La misma explicación sirve para entender por qué grandesobstáculos como edificios o montes no afectan drásticamente a la propa-gación de ondas de radio largas (107 . λ(m) . 102). La interacción dela onda electromagnética con la materia también depende básicamentede la longitud de la onda y así, la pequeña longitud de onda de los ra-yos X (10−12 . λ(m) . 10−8) es la que explica por qué estos rayos puedenatravesar fácilmente muchos materiales que son opacos para radiacionesde mayor longitud de onda. Igualmente, al coincidir la longitud de ondade las ondas generadas en los hornos de microondas (λ ∼ 15cm) con elespectro de absorción de las moléculas de agua se explica que esta ra-diación sea considerablemente absorbida por las moléculas de agua quecontienen los alimentos y, consecuentemente, se calienten.

6.11. Fuentes de las Ondas Electromagnéticas

Hasta ahora hemos estado estudiando algunas de las característicasde las ondas electromagnéticas pero todavía no sabemos dónde y cómo seoriginan estas ondas. Dado que las ondas electromagnéticas son simple-mente campos eléctricos y magnéticos oscilantes y las fuentes de estos


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campos son las cargas eléctricas estáticas y/o en movimiento, es razona-ble suponer que estas cargas serán las fuentes de las ondas electromagné-ticas. No obstante, debemos notar que estamos hablando de las fuentes delos campos “primarios” puesto que, como se ha discutido anteriormente,una vez que se han generado estos campos primarios, son precisamentelos propios campos los responsables de la generación de los subsiguientescampos. Ahora bien, para que los campos primarios generen otros cam-pos, éstos debían ser campos variables en el tiempo por lo que ni cargasestáticas ni las cargas en movimiento uniforme de una corriente estacio-naria puede producir ondas electromagnéticas4. Consecuentemente lascargas eléctricas aceleradas (único estado de movimiento no consideradohasta ahora) sí que originen estos campos primarios y, por tanto, podemosconcluir que

las cargas eléctricas aceleradas son fuentes de las on-das electromagnéticas.

Cargas eléctricas oscilando a una determinada frecuencia ω serán los fo-cos de ondas electromagnéticas de esa misma frecuencia y con una longi-tud de onda en el espacio libre dada por: λ = 2πc/ω.

Normalmente la oscilación de una única carga produce una onda cuyaintensidad es prácticamente indetectable, por ello las ondas electromag-néticas suelen originarse en la práctica cuando un número importante decargas están oscilando conjuntamente. Este hecho se produce, por ejem-plo, en las antenas, que no son, en su forma básica, más que dos varillasconductoras alimentadas mediante un generador de corriente alterna. Elgenerador de corriente alterna provoca que los electrones de las varillasconductoras viajen desde un extremo a otro de las varillas realizando unmovimiento oscilatorio que viene determinado por la frecuencia del gene-rador. Este tipo de antenas es el comúnmente usado para generar ondasde radio y TV (MHz . f . GHz). Las ondas de la luz visible que oscilan auna f ∼ 1015Hz son originadas por el movimiento oscilatorio de las cargasatómicas y las radiaciones de mayor frecuencia por rápidas oscilacioneselectrónicas y nucleares.

El mismo mecanismo que justifica que los electrones en movimientoen un conductor originan ondas electromagnéticas, esto es, forman unaantena emisora, también explica por qué este mismo dispositivo (sin el

V

generador) sería una antena receptora. Los campos eléctricos que llegana la antena ejercen una fuerza sobre las cargas móviles del conductor(electrones) que las hacen oscilar a la misma frecuencia que la onda elec-tromagnética incidente. Claramente, el movimiento de estas cargas, quesimplemente sigue el patrón de la radiación incidente, produce una co-rriente eléctrica oscilante que puede ser detectada por algún dispositivoadecuado. De esta manera el patrón de variación temporal que se produjoen el generador de la antena emisora es ahora “recogido” en el detectorde la antena receptora. (Los electrones de la antena receptora se muevental como lo hacían los electrones de la antena emisora, sólo que ciertointervalo de tiempo después; justamente el necesario para que la onda re-

4Recordemos que las cargas estáticas son las fuentes de campos eléctricos estáticos y lascargas en movimiento uniforme en un conductor (esto es, las corrientes eléctricas continuas)son las fuentes de los campos magnéticos estáticos.


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6.12. Problemas propuestos 139

corra la distancia entre las dos antenas). De esta manera se ha transmitidoinformación desde un sitio a otro del espacio usando como intermediario ala onda electromagnética. Esta manera de transmitir información es muyeficaz ya que pone en juego muy poca energía y permite transmitir infor-mación entre puntos muy lejanos entre sí (incluyendo comunicaciones consatélites y vehículos espaciales).

6.12. Problemas propuestos

6.1: Demostrar por sustitución directa que la siguiente expresión:

Ey(x, t) = E0 sen(kx − ωt) = E0 sen k(x − ct) ,

donde c = ω/k, satisface la ecuación (6.42).

6.2: Hallar la longitud de onda de a) una onda de radio de AM típica con una frecuencia de100 kHz, b) una onda de radio de FM típica de 100 MHz; c) la frecuencia de una microondade 3 cm y d) la frecuencia de unos rayos X con una longitud de onda de 0,1 nm.Sol. a) λ = 300m ; b) λ = 300m ; c) f = 10GHz; d) f = 3 ×1018 Hz. ;

6.3: Una onda electromagnética (OEM) plana se propaga en el vacío. Sabiendo que su fre-cuencia es de 98.4 MHz y su amplitud de campo eléctrico es de 20 mV/m, calcúlese: a)la amplitud del campo magnético; b) la intensidad de onda (potencia media por unidad deárea).Sol.: a) B0 = 0,66×10−10 T; b) I = 0,53 µW/m2.

6.4: Una OEM plana se propaga a lo largo del eje X con una longitud de onda de 3 cm,transportando una potencia media por unidad de área de 6 µW/m2. Determínense las expre-siones completas de los campos ~E y ~B sabiendo que el campo eléctrico está dirigido segúnel eje Y .Sol.: ~E(x, t) = 67,26×10−3 cos(2π×1010t − 200πx/3 + φ) y V/m,

~B(x, t) = 22,42×10−11 cos(2π×1010t − 200πx/3 + φ) z T.

6.5: Cierto pulso de campo electromagnético puede asimilarse a una onda plana cuyos cam-

pos son ~E(x, t) = E0e−(x−ct)2 y (V/m) y ~B(x, t) = B0e−(x−ct)2 z (T). Demostrar que amboscampos verifican la ecuación de onda y obtener la relación entre E0 y B0 sabiendo que deacuerdo con la ley de Faraday debe cumplirse que ∂Ey(x, t)/∂x = −∂Bz(x, t)/∂t.Sol.: E0 = cB0.

6.6: La antena de un receptor radioeléctrico es equivalente a una barra conductora de 2m de altura y está orientada paralelamente al campo eléctrico de la OEM que se desea sin-tonizar. Si la tensión eficaz entre los extremos de la antena al recibir la onda es de 4 mV,determínense las amplitudes de los campos eléctrico y magnético de la onda sintonizada, asícomo la potencia media por unidad de área transportada por la onda.Sol.: Ee = 2×10−3 V/m; Be = 0,666×10−11 T, I = 10−8 W/m2.

6.7: En la superficie de la Tierra,el flujo solar medio aproximado es de 0,75 kW/m2. Sedesea diseñar un sistema de conversión de energía solar a eléctrica para que proporcioneuna potencia eléctrica de 25 kW que permita cubrir las necesidades de una casa. Si el sistematiene una eficacia del 30%, ¿cuál será el área necesaria de los colectores solares, supuestosque son absorbentes perfectos?.Sol. 111 m2.

6.8: Un pulso de láser tiene una energía de 20 J y un radio de haz de 2 mm. La duracióndel pulso es de 10 ns y la densidad de energía es constante dentro del pulso. a) ¿Cuál es lalongitud espacial del pulso? b) ¿Cuál es la densidad de energía dentro del mismo? c) Hallarlos valores de la amplitud de los campos eléctrico y magnético.Sol.: a) 3 m; b) 5,31 ×105 J/m3 ; c) E0 = 3,46 ×108 V/m, B0 = 1,15 T.

6.9: El campo eléctrico de una onda electromagnética oscila en la dirección z, viniendo suvector de Poynting dado por

~S(x, t) = −100 cos2[10x + (3 ×109)t] xW/m2


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donde x está en metros y t en segundos. a) ¿En qué dirección se propaga la onda? b) Calcularla longitud de onda y la frecuencia. c) Hallar los campos eléctrico y magnético.Sol.: a) sentido negativo de x ;b) λ = 0,620m, f = 4,77 ×108 Hz ;c) ~E = 194 cos[10x + (3 ×109)t]zV/m, ~B = 0,647 ×10−6 cos[10x + (3 ×109)t]y T.

6.10: El campo eléctrico de una onda electromagnética armónica plana tiene la expresión~E(z, t) = 3×10−3 cos(kz−2π×108t)y (V/m). Determínese: a) la longitud de onda, frecuencia,periodo y número de onda; b) el campo magnético, ~B, así como el vector de Poynting, ~S, y laintensidad de onda, I.Sol.: a) λ = 3 m, f=100 MHz, T=10 ns, k = 2π/3 m−1;b) ~B(z, t) = −0,01 cos(2πz/3 − 2π×108t)x nT,~S(z, t) = 0,0239 cos2(2πz/3 − 2π×108t)z µW/m2, I = 〈S〉 = 0,01195 µW/m2.

6.11: Una OEM armónica plana de longitud de onda λ = 6 m se propaga en el sentidonegativo del eje de lasX siendo su campo magnético ~B(x, t) = 2×10−10 cos(ωt+kx+π/4)y T.Determínese: a) el número de ondas, la frecuencia y el periodo de la onda; b) las expresionesdel campo eléctrico, ~E, y del vector de Poynting, ~S, así como la intensidad de onda, I.Sol.: a) k = π/3 m−1, f = 50 MHz, T = 20 ns;b) ~E(x, t) = 60×10−3 cos(π×108t + kx + π/4)z V/m,~S(x, t) = −(30/π) cos2(π×108t + kx + π/4)x µW/m2, I = 〈S〉 = 15/π µW/m2.

Constantes: c = 3×108 m/s, µ0 = 4π×10−7 H/m, ǫ0 = 8,854×10−12 F/m.


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