SUPERPOSICION DE ONDAS SINUSOIDALES

1C.Miranda,

1D.Almanza,

1E.Doria,

1J.Lopez

1Departamento de Física y Electrónica, Universidad de Córdoba, Montería

Resumen

En física el principio de superposición establece que, cuando dos o más ondas armónicas se mueven en el

mismo medio lineal, la onda resultante en cualquier punto es igual a la suma algebraica de los

desplazamientos de todas las ondas componentes. Este principio es aplicable a muchos tipos de ondas,

incluyendo las ondas en cuerdas, ondas sonoras, etc. En este experimento se estudió el comportamiento de dos

señales (ch1y ch2) producidos por un generador; por medio de un osciloscopio se superponían las ondas en

fase y contrafase, para iguales y diferentes frecuencias con una amplitud igual, así como sus respectivas

figuras de lissajous.

Palabras claves: superposición de ondas, figuras de lissajous, amplitud.

Abstract

In the superposition principle physical states that where two or more harmonic waves move in the same linear

medium, the resultant wave at any point is equal to the algebraic sum of the displacements of all the

component waves. This principle is applicable to many types of waves, including waves in strings, sound

waves, etc.. In this experiment we study the behavior of two signals (ch1y ch2) produced by a generator via

an oscilloscope overlapped waves in phase and antiphase, for the same and different frequencies with equal

amplitude and their respective Lissajous.

Key words: superposition of waves, lissajous figures, amplitude.

Objetivos

Estudiar la superposición de dos

movimientos armónicos simples (MAS)

con igual y diferentes frecuencias, en la

misma dirección y en direcciones

perpendiculares usando dos generadores

de funciones y un osciloscopio.

Analizar las características de la

amplitud, el periodo y le frecuencia en la

superposición de dos MAS en la misma

dirección con la misma frecuencia.

Identificar mediante el osciloscopio y los

generadores, el comportamiento de la

señal de superposición de dos MAS con

igual y diferentes frecuencias en

dirección perpendicular.

Estudiar las características más

relevantes del fenómeno de pulsaciones.

1. Teoría relacionada

Supóngase que tenemos dos MAS descritos por

las ecuaciones siguientes:

Su combinación tiene entonces la forma siguiente:

Es posible expresar este desplazamiento como una

vibración armónica simple:

La descripción del MAS mediante el vector

rotatorio proporciona un modo muy elegante de

obtener este resultado geométricamente. En la

figura 2-1 (a). Sea el vector rotatorio de

longitud que forma el ángulo con el

eje X en el instante t. Sea el vector rotatorio

de longitud con el ángulo . Su suma

es, por tanto, el vector OP definido por la ley del

paralelogramo. Como y giran con la

misma velocidad angular , puede considerarse

que el paralelogramo es una figura rígida

que gira en bloque con esta misma velocidad. El

vector puede obtenerse como el vector suma

de y (este último igual a ). Como

y + , el ángulo

formado por y es precisamente .

Por tanto, resulta

El vector forma un ángulo [véase fig. 2-1

(b)] con el vector , talque

y la fase constante de la vibración viene dada

directamente por

Superposición de vibraciones de frecuencias

diferentes; Pulsaciones

Imaginemos que tenemos dos vibraciones de

amplitudes diferentes Y de frecuencias

también diferentes . Evidentemente, en

contraste con el ejemplo precedente, la diferencia

de fase entre las vibraciones está cambiando

continuamente. La especificación de alguna

diferencia de fase inicial no nula carece de

significado apreciable en este caso. Para

simplificar el aspecto matemático supongamos,

por tanto, que ambas vibraciones tienen una fase

inicial cero, y, por ello, pueden escribirse del

modo siguiente:

En un instante arbitrario cualquiera el

desplazamiento combinado será entonces como el

indicado en la figura 2-3 (OX). Evidentemente la

longitud OP del vector combinado debe estar

comprendida siempre entre la suma y la diferencia

de ; el valor del propio desplazamiento

OX puede estar comprendido entre cero y

A menos que exista alguna relación simple entre

, el desplazamiento resultante será una

función complicada del tiempo, quizá sin que

llegue a repetirse nunca. La condición precisa para

obtener una periodicidad en el movimiento

combinado es que sean conmensurables, es decir,

que existan dos números enteros tales que

El período del movimiento combinado es entonces

el valor de T obtenido como decíamos

anteriormente pero utilizando los valores enteros

mas pequeños que satisfagan dicha

relación.

Aunque los períodos o frecuencias sean

expresables como un cociente de dos enteros

bastante pequeños, el aspecto general del

movimiento no suele ser sencillo la figura 2-4

muestra la composición de dos vibraciones

sinusoidales de 450 y 100 HZ respectivamente. El

periodo de repetición es de 0.02 seg, como puede

deducirse de la condición

que exige que de acuerdo con la

ecuación (1)

En aquellos casos en que se forma una vibración a

partir de otras dos de períodos conmensurables, el

aspecto de la resultante puede depender

marcadamente de la fase inicial relativa de las

vibraciones que se combinan.

Este efecto se ilustra en las figuras 2-5 (a) y (b),

en las que se han combinado de la manera

indicada dos vibraciones con valores dados de la

amplitud y frecuencia. Ambos casos difieren sólo

en la relación de fases. Es interesante indicar que

si las dos fuesen vibraciones de aire incidiendo

sobre el tímpano, los efectos auditivos de ambas

combinaciones serían casi indistinguibles.

Parece ser que el oído humano es casi insensible

a la fase en la mezcla de vibraciones armónicas;

las amplitudes y frecuencias dominan la situación,

aunque pueden producirse efectos auditivos

notablemente diferentes si la diferencia de fase

conduce a unas formas de onda drásticamente

diferentes, como puede ocurrir si se combinan con

una relación de fase determinada muchas

vibraciones en lugar de dos solamente. Si dos

MAS tienen frecuencias muy parecidas, la

perturbación combinada presenta lo que se

denomina pulsación o batido. Este fenómeno

puede describirse como aquel en que la vibración

combinada es básicamente una perturbación con

una frecuencia igual a la media de las dos

frecuencias que se combinan, pero con una

amplitud que varía periódicamente con el tiempo,

pero de modo que un ciclo de esta variación

incluye muchos ciclos de la vibración básica.

El efecto de la pulsación se analiza más fácilmente

si consideramos la suma de dos MAS de igual

amplitud:

Entonces por adición se obtiene

Evidentemente, esta suma, como resultado

puramente matemático puede realizarse para

cualquier valor de . Pero su descripción

como una pulsación tiene significa do físico si

| | ; es decir,, si en un numero

apreciable de ciclos, la vibración se aproxima a la

sinusoidal con amplitud constante y con

frecuencia angular

.

La figura 2-6 desarrolla gráficamente el resultado

de combinar dos vibraciones con una relación de

frecuencia de 7: 6. Ésta es quizá la mayor relación

que puede tenerse si aún queremos referimos a la

combinación como un batido. Puede verse que el

desplazamiento combinado puede ajustarse dentro

de una envolvente definida por el par de

ecuaciones

porque el factor rápidamente oscilante de la

ecuación (2), es decir,

siempre está

comprendido entre los límites y la ecuación

(3) describe una modulación relativamente lenta

de la amplitud de esta oscilación. Si nos referimos

a la figura 2-6, se ve que el tiempo transcurrido

entre ceros sucesivos de la perturbación

moduladora es un semiperiodo del factor

modulador como describe la ecuación (3), es

decir, un tiempo igual a

| |. Esto tiene como

consecuencia que la frecuencia de la pulsación,

según se percibe con el oído, por ejemplo, con dos

diapasones, es simplemente la diferencia de sus

frecuencias individuales Y no su mitad, como

podría sugerir una primera impresión de la

ecuación (2). Así pues, considerando un caso

específico, si están vibrando juntos dos diapasones

a 255 y 257 vibraciones por segundo, su efecto

combinado será el de la mitad del total de

vibraciones (256 vibraciones por segundo)

pasando por un máximo de intensidad dos veces

cada segundo.

Combinación de dos vibraciones

perpendiculares

Este problema tiene un considerable interés físico

y su estudio aquí es adecuado porque su análisis

se apoya en las mismas técnicas utilizadas

anteriormente en este capítulo. El tipo de

movimiento que vamos a considerar puede

ampliarse fácilmente a oscilaciones

tridimensionales , cuya posibilidad debemos, en

general, como por ejemplo, en el caso de un

átomo ligado elásticamente dentro de la

estructura esencialmente tridimensional de una red

cristalina. Supongamos ahora, por tanto, que un

punto sufre simultáneamente los siguientes

desplazamientos:

Este movimiento puede conseguirse mediante una

doble aplicación de la técnica del vector rotatorio,

según se explica en la figura 2-8. Empecemos

dibujando dos circunferencias de radios A1 y A2,

respectivamente. La primera se utiliza para

describir el desplazamiento x del punto P1, C1X.

La segunda se emplea para definir el

desplazamiento Y del punto P2, C2Y, ambos

desplazamientos describen conjuntamente la

posición instantánea del punto P respecto a un

origen O, que está situado en el centro de un

rectángulo de lados 2A1 y 2 .

Una propiedad resalta inmediatamente.

Cualquiera que sea la relación entre las

frecuencias y las fases de los movimientos que se

combinan, el movimiento del punto P está siempre

confinado dentro del rectángulo y además los

lados de este rectángulo son tangentes a la

trayectoria en todos los puntos de contacto con la

misma. Apenas puede decirse algo más que esto

sin especificar algo más concreto sobre las

frecuencias y las fases, excepto un comentario

general sobre lo que ocurre si no son

conmensurables y . En tal caso, la posición

de P nunca volverá a repetirse y la trayectoria, si

continuase durante tiempo suficiente, tendería,

desde un punto de vista físico aunque no

estrictamente matemático, a llenar la totalidad del

interior del rectángulo limite.

Los ejemplos más interesantes de estos

movimientos combinados son aquellos en los que

las frecuencias están en cierta relación numérica

sencilla y la diferencia de fases iniciales es alguna

fracción simple de 2π. Se tiene entonces un

movimiento que forma una curva cerrada de dos

dimensiones, con un periodo que es el mínimo

común múltiplo de los más fácilmente sobre

ejemplos específicos, como veremos en seguida.

MOVIMIENTOS PERPENDICULARES DE

FRECUENCIAS IGUALES

Mediante una selección adecuada de lo que

consideraremos t = 0, podemos escribir las

vibraciones combinadas de la forma sencilla

siguiente:

Siendo δ la diferencia de fase inicial (y en este

caso, la diferencia de fase en cualquier momento)

entre ambos movimientos. Particularizando aún

más los valores de δ podemos obtener

rápidamente un cuadro cualitativo de todos los

movimientos posibles en el caso de que sean

iguales las frecuencias que se combinan:

a. δ = O. En este caso,

Por lo tanto,

El movimiento es rectilíneo y tiene lugar sobre

una diagonal del rectángulo de modo que x e y

tienen siempre el mismo signo, bien positivo o

negativo. Este movimiento puede representar lo

que en óptica se denomina vibración polarizada

linealmente.

b. δ = ⁄ . Tenemos ahora

⁄

Se obtiene fácilmente la forma de la trayectoria

haciendo uso de la ex- presión

. Esto quiere decir que

Que es la ecuación de una elipse cuyos ejes

principales coinciden con los ejes x e y.

Comparación entre la superposición de

movimientos paralelos y perpendiculares

Resulta quizás instructivo hacer una

comparación directa entre la superposición de

dos vibraciones armónicas sobre la misma

recta y la superposición ortogonal de las

mismas que origina las figuras de Lissajous.

Hemos procurado representar esta relación en

la figura 2-15 para el caso sencillo de dos

vibraciones de frecuencias y amplitudes

iguales. La figura muestra dos vibraciones

sinusoidales-combinadas para diversas

diferencias de fase entre cero y π. Las dos

curvas inferiores de cada grupo muestran el

desplazamiento original individual en forma de

desviaciones en sentido y en un osciloscopio de

doble haz con una base de tiempo lineal.

Encima de este par de curvas se obtiene la

sinusoide que resulta de la suma directa de

estas dos desviaciones y. Finalmente, se

muestran las figuras de Lissajous obtenidas

suprimiendo la base de tiempo del osciloscopio

y aplicando las dos señales sinusoidales

primarias a las placas x e y [1].

2. Montaje y Procedimiento

Materiales

Osciloscopio Leader

Cables banana-banana

Cables banana hembra

Generadores de ondas

Diapasones iguales con caja de

resonancia: aparato para figuras de

Lissajous.

Procedimiento

Se tomó el osciloscopio de rayos catódicos y se

conectó a 110 V, se tomaron dos generadores de

funciones de 220 V, utilizando la señal sinusoidal

de ambos generadores, luego se conectaron al

osciloscopio. Se obtuvieron ciclos moviendo el

botón TIME/DIV y se anotó el tiempo que tarda

un ciclo y el voltaje P-P de la señal. Más tarde se

hizo con el canal 2, luego se ubicaron los

controles del osciloscopio para obtener la

superposición de las señales de los dos canales

con la misma frecuencia y se tomaron los valores

de las amplitudes y los periodos de ambas señales

y se calculó la suma de estos, además se

cambiaron las frecuencias.

Para la otra experiencia se trabajó con el

osciloscopio en modo x-y para obtener una

constantes de fase de 0 y 180° con un solo

generador, y para obtener las figuras de lissajous

con las fases diferentes a las anteriores se

utilizaron los dos generadores.

Análisis y resultados

1. Después de tener las gráficas mostradas en el

osciloscopio se obtuvo lo siguiente

Para señales de igual frecuencia y diferencia de

fase de 0

Figura 1. a) Datos de señal 1, b)datos de las 2

señales,

Frecuencia Amplitud Periodo

Canal 1 64hz 3,12V 1,400ms

Canal 2 65hz 3,16V 1,402ms

Luego la superposición de las dos señales da una

amplitud resultante, que es la suma de las

amplitudes y cuya frecuencia es igual a la de las

dos señales anteriores.

(**)

Para señales de igual frecuencia y diferencia de

fase 180

Figura 2. Con diferencia de fase de 180°

Como vemos el relativo es aceptable de modo que

podemos decir que se cumple la amplitud de la

onda resultante de la superposición de dos ondas

sinusoidales en la misma dirección es la suma de

las amplitudes (figura 1 y 2), e igual frecuencia de

oscilación y por ende el mismo periodo de

oscilación; el error relativo fue considerable

debido a que en el sistema una señal fluctuaba.

2.

Para la superposición para diferentes frecuencias

obtuvimos los siguientes resultados

a)

b)

c)

Figura 3. a) Datos de señal 1, b)datos de señal 2,

c) suma de las dos señales batido (rojo)

Para la onda resultante vemos que se produce el

fenómeno de pulsación, es decir que la onda

experimenta una amplitud que varia con una

frecuencia promedio de , Puesto que

la intensidad es proporcional al cuadrado de la

amplitud, el volumen generado será fuerte siempre

que la amplitud de la pulsación sea máxima o

mínima, por lo tanto la frecuencia de la pulsación

será justamente

.

3. cuando superponemos 2 MAS en direcciones

perpendiculares e igual frecuencia con una

diferencia de fase de 0° y 180° obtenemos las

siguientes figuras de lissajous.

Figura.3 figura de lissajous con diferencia de

fase 0°

Figura 4. Figura de lissajous con diferencia de

fase 180°

4. Para las figuras de lissajous tenemos que si

es el número de puntos de tangencia para el eje

horizontal, y los puntos verticales entonces se

cumple la igualdad:

Ya que las frecuencias son iguales

por ende se cumple la igualdad

5. al suponer dos ondas MAS en dirección

perpendiculares con diferente frecuencia su

pueden obtener las siguientes figuras de lissajous.

Figura 5. Figuras de lissajous con diferentes

frecuencias

Conclusiones

o Para la superposición de ondas

sinusoidales de igual frecuencia e igual

amplitud para una fase de 0, la onda

resultante tiene el mismo periodo de

oscilación y una amplitud que es la suma

de amplitudes.

o para una fase de 180 la onda resultante

es nula ya que la interferencia es

destructiva.

o Para frecuencias diferentes y amplitudes

iguales la onda resultante tiene una

amplitud máxima que es la suma de las

amplitudes y posee un amplitud mínima

que es la diferencia de ellas

o Para la superposición de ondas de fase 0

y 180 forman una figura de lissajous que

es una recta con pendiente positiva y una

negativa respectivamente.

Bibliografía

[1]vibraciones-y-ondas/A.P. FRENCH/editorial

– reverse-s.a. pag. 22-42