5 guia 04 semestre 1 raices

Profesor: Erwin Coronado C. Sector: Matemática

Puerto Montt Curso: III° y IV Medio

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Guía de ejercicios N°4, Primer Semestre

Tema: Raíces.

Debes saber que:

La primera raíz cuadrada se presentó en el problema de la determinación de hipotenusas, y la

primera raíz cúbica, parece que fue en el problema de la duplicación del cubo (determinación de

la arista de un cubo de volumen doble al de uno dado), que tuvo en jaque a casi todos los

matemáticos de la antigüedad. Las potencias y raíces de grado superior aparecieron más tarde con Diofanto (siglos III y IV) y

los árabes del siglo XII. Las potencias de las incógnitas de los problemas se llamaron durante la Edad Media con los más

variados nombres (res o cosa, censo, quadrato, cubo, censo de censo, primo relato, censo de

cubo...). No había mucha uniformidad en estas denominaciones. Menos la hubo en las notaciones.

Prevaleció durante mucho tiempo la notación por medio de iniciales combinadas y más o menos

deformadas de aquellas palabras. Esta desdichada notación impidió ver claras las leyes del

cálculo con potencias, hasta que ciertos matemáticos del siglo XVI introdujeron poco a poco la

noción de exponente. En particular esta palabra se debe a Stifel, quien dio ya la regla de suma y

resta de exponentes. En el siglo XVII, Descartes usaba ya los signos actuales. El procedimiento de cálculo de la raíz

es de origen también hindú. La homonimia de la raíz aritmética con la del órgano de los vegetales se ha empleado desde

tiempo inmemorial, lo mismo en la India que en el mundo latino, sin que se haya explicado

satisfactoriamente la razón.

B. Raíces

Cuando en la expresión na c se desconoce el valor de a , entonces la expresión se puede escribir

como nx c y en este caso se tiene nx c y x se llama la raíz n -ésima de c . Se distingue en una

raíz

n c

De acuerdo a esta expresión, y teniendo en cuenta el concepto de potencia, se debe tener en cuenta

los siguientes condiciones para los valores c y n para una definición consistente.

Cantidad

subradical Índice

radical



2

Definición:

Dados el real 0c y n , se define la raíz n-ésima de c como un número real 0b tal que la

n-ésima potencia de b es c , es decir

, 0nn c b b c b

En el caso de tener c y n , impar, entonces se define la raíz n-ésima de c como un número

real b tal que la n-ésima potencia de b es c , es decir

, nn c b b c b

Observación:

Lo anterior se expresa como sigue:

1. El valor de una raíz en el conjunto de los números reales depende del signo de la cantidad

subradical y del índice de la raíz.

2. Siempre existe la raíz de un número real positivo, cualquiera sea su índice (par o impar).

3. La raíz de un número real negativo, existe si y solo si su índice es impar.

4. La raíz de índice par de un número real negativo no es un número real, es un número llamado

imaginario.

Observación:

Algunos nombres que reciben las raíces, dependen del valor del índice, siendo por ejemplo:

a. 2 : Raíz cuadrada de c c (En este caso el valor del índice se omite y solo se escribe c )

b. 3 : Raíz cúbica de c c

c. 4 : Raíz cuarta de c c

d. 5 : Raíz quinta de c c

Observación:

De la definición, el caso de la raíz cuadrada de un real 0c nos dice que es un real 0b , es decir

c b si y solo si

2

0

0

c

b

b c

En otras palabras, se puede escribir 2b b , es decir

2

si 0

0 si 0

si 0

b b

b b

b b



3

Ejemplo

23 3 ya que 3 0

2

3 3 3

Otra forma de expresar una raíz es a través de una potencia de exponente racional. En este caso se

escribe m

n m nc c , con 0n

Ejemplo

3

5 3 56 6

Esta forma de expresar una raíz y con el apoyo de la amplificación y simplificación de fracciones una

raíz se puede reescribir.

Ejemplo

2 4

3 62 43 63 625 5 5 5 5 625

6 3

310 10 53 2 6 310 510 51064 4 2 2 2 2 2 8

Propiedades de las raíces

1. Para 0, y n

n nn a a a a n

2. 0 0n Para todo n

3. 1 1n Para todo n

4. n n na b ab

5. n nna b a b

6. n n n na

a b a bb

(con 0b )

7. Para 0, y m

n mn a a a n

8. m n m na a

9. mn m nn ma b a b



4

Raíces semejantes. Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y cantidad subradical. Por ejemplo los

radicales 3 y 35 son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y la misma cantidad subradical, 3.

Ejemplo

Determine el valor de 27 243 3

3 5 2 427 243 3 3 3 3 3 3 3 3 3

=3 3 9 3 3

= 5 3

Racionalización

Cuando en una fracción, se presentan raíces en el denominador, estas se pueden escribir como

fracciones equivalentes, pero sin que figuren raíces en el denominador. El proceso para realizar lo

anterior se llama racionalización.

En general, se presentan tres situaciones en la racionalización.

1. Cuando en el denominador se presenta una raíz cuadrada. En este caso, tenemos

a a b a b

bb b b Con 0b

2. Cuando en el denominador se presenta una raíz de índice distinto a 2, se debe amplificar por

una raíz de igual índice donde el nuevo exponente sumado con el exponente inicial sumen el

índice de la raíz. n nn m n m

n n nm m n m

a a b a b

bb b b

con 0n , 0m , 0b

3. Cuando en el denominador se presenta un binomio con raíces cuadradas se debe amplificar

por el conjugado del binomio.

a. a a ba a a b

a ba b a b a b

con 0a , 0b

b. a a ba a a b

a ba b a b a b

con 0a , 0b



5

Ecuaciones con raíces Una ecuación con radicales es una igualdad en la que intervienen raíces cuyas incógnitas forman parte

de una o más cantidades subradicales.

Observación:

En una ecuación con radicales, las soluciones encontradas algebraicamente deben ser siempre comprobadas,

de modo que la ecuación original esté definida para valores reales.

Ejemplo

1. Determine el valor de x en la ecuación 5 2 6x x

Solución

5 2 6

5 6 2

x x

x x

2

5 36 12 2 2

12 2 33

4 2=11

x x x

x

x

2

16 2 121

121 2

16

121 2

16

89

16

x

x

x

x

Luego, al reemplazar el valor encontrado en la ecuación se tiene que 89 89

5 2 616 16

, es

decir el valor encontrado, es solución de la ecuación.



6

2. Determine el valor de x en la ecuación 2 2 2x x

Solución.

Las restricciones para los valores de x están dadas solo por 2 2 0x , pero como todo cuadrado de

un número es positivo, no existen restricciones en este caso. Ahora, resolviendo, tenemos 2 2 2 x x

2

2 2 2 4 4

4 2

1

2

x x x

x

x

Luego, al reemplazar el valor encontrado se obtiene 9 3

4 2 , ya que por definición de raíz

cuadrada el valor de la raíz nunca puede ser negativo.

Ejercicios

1. 3 8 4

A. 5 4 B. 6 4 C. 0 D. -4 E. 4

2. 6 7 7

A. 6 7 B. 6 49 C. 6 47 D. 12 7 E. 12 49

3. 0,09

A. 0,003 B. 0,018 C. 0,03 D. 0,18 E. 0,3

4. El valor de 15 5

5

corresponde a:

A. 3 1 B. 5 1 C. 3 D. 2 E. 75 5

5. 2

12 3

A. 78 B. 63 C. 21 D. 9 E. 3



7

6. 28 63 252 7

A. 2 3 7 B. 1 C. 23 D. 1 E. N.A.

7. El valor de 2 18 3 50

A. 6 2 B. 15 2 C. 21 2 D. 42 E. N. A.

8. La suma de 1

0 27 16 es igual a:

A. 1

25 B. 5 C. 11 D. 15 E. 17

9. El resultado de 6

3 3 32 16 54 es

A. 256 B. 324 C. 64 D. 125 E. 216

10. Si 2a , 3b y 5c , entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son)

equivalente(s) a 60 .

I. 2bc II. 2 2 2a b c III.

2a bc

A. Sólo I B. Sólo II C. Sólo III D. I y II E. I y III

11. Al reducir 3 4 53 3 3 3 se obtiene

A. 120 43 B. 60 433 C. 11 3 D. 3 3 E. N. A.

12. El producto de x y

x yx y es:

A. x y

xy xy

B. x y

xy xy

C. xy

xy D. xy E. N. A.

13. 5

5

a

a

A. 5

5

a

a

B.

5

5

a

a

C.

2 25

5

a

a

D.

2

5

a

a E. 5a



8

14. Si 3a , 3 4b y 4 5c , el orden correcto entre ellos es:

A. c b a

B. b c a

C. a b c

D. c a b

E. a c b

15. 25 9

8 2

A. 7

8 B.

2

4

C.

6

3 D. 2 E.

2

4

16. La solución de la ecuación 2 2x x es:

A. 6

4

B. 9

4

C. No tiene solución real

D. No se puede calcular

E. N. A.

17. Si 3a y 4 12x , entonces el valor de 2 1ax es igual a

A. 7 B. 36 C. 37 D. 4 36 1 E. 12 3 1

18. Por cuál(es) de las siguientes expresiones se puede amplificar la fracción 3

5

9 para

racionalizarla?

I. 3 9 II. 3 81 III. 3 3

A. Sólo I B. I y II C.I y III D. II y III E. I, II y III

19. ¿Qué valor de a satisface la igualdad 3 3627

2

ax x ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 E. -2



9

20. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes(s) con 1

2ax ?

I. 3

ax

x II. a x III.

3ax

x

A. Sólo I B. Sólo II C. I y II D. II y III E. I, II y III

21. ¿Qué expresión resulta al reducir 8

50 322

?

A. 8 B. 8 2 C. 10 2 D. 9 4 E. N. A.

22. ¿Qué expresión se obtiene al racionalizar 2 5

10?

A. 2 B. 5 C. 2 50 D. 5 50 E. 50

10

23. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con 6 12

64

1b

b

?

A. b B. 2b C. 2b b D. 1b b E. b b b

24. El valor de

21 3 53 4

1512 3 16

32

corresponde a:

A. 7

2 B.

7

2 C.

9

2 D.

9

2 E. N.A.

25. 1

0,3 0,93

A. 1 B. 0,3 C. 0,09 D. 0,09 E. 0,01

26. El valor de 1 1

41 3 1 3

es igual a:

A. 2 3 B. 2 3 C. 4 D. 4 3 E. 4 3

27. La expresión 33 2 es equivalente a:

A. 3 6 B. 6 C. 6 5 D. 6 6 E. 6 108



10

28. 2 8 18

A. 2 B. 8 C. 12 D. 28 E. 72

29. Si 0a , entonces 8 8 11 8x xa a

a

es igual a:

A. 2a B. a C. a D. 3 a E. N. A.

30. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) equivalente con 2

3 ?

I. 9 II. 3 III. -3

A. Sólo I B. Sólo II C. Sólo III D. I y II E. II y III

31. AL racionalizar la expresión 8 2

1

2 se debe amplificar por

A. 8 22 B. 8 32 C. 8 42 D. 8 52 E. 8 62

32. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I. 44 45 3 5 3 II. 2 5 10 III. 3 33 2 54

A. Sólo I

B. Sólo III

C. Sólo I y II

D. Sólo I y III

E. Ninguna de ellas.

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