TALLER DE APLICACIONECUACIONES MATEMATICAS

DISEÑO EN VENSIM

Ing. Fidel CASTRO CAYLLAHUA

DEFINIR LAS ECUACIONESUna vez que ya tenemos dibujado el diagrama de flujos en la pantalla del ordenador hemos de definir las relaciones entre los elementos.

1.- Ecuaciones aritméticasSon ecuaciones que utilizan expresiones aritméticas para mostrar la relación entre dos elementos.por ejemplo: densidad = peso/volumen

2.- Ecuaciones con funcionesLa relación entre algunas variables exige el uso de algunas funciones un poco más complejas, del tipo:entradas = MIN(emigración, nacimientos)

3.- Ecuaciones con tablasEn ocasiones la relación entre dos variables es clara pero no existe una ecuación aritmética que la pueda definir, ni siquiera con la ayuda de las funciones. En estos casos definimos la relación en base a pares de puntos que consideramos son ciertos. Cada punto representa unasituación donde conocemos el valor que toma la variable independiente (causa) y la variable dependiente (efecto). Se suele representar en una forma gráfica para mayor claridad. Veamos un ejemplo. Sabemos que la proporción de personas con el paraguas abierto está relacionado con la cantidad de lluvia que cae. En este caso la causa es la cantidad de lluvia (variable independiente) y el efecto es la proporción de personas con paraguas (variable dependiente).

En este caso no sabemos como relacionar ambas variables, pero podemos dibujar en unos ejes de coordenadas algunos puntos que consideramos ciertos, como por ejemplo el punto (0,0) donde la primera cifra antes de la coma indica el valor de la variable independiente y la segunda cifra indica el valor de la variable dependiente. Este punto indica que cuando lacantidad de lluvia es cero, el porcentaje de personas con paraguas abierto es del 0%.En base a nuestra observación podemos ir dibujando diferentes puntos, como el (10,5) que indica que cuando llueven 10 litros/m2 y hora hay solo un 5% de personas con el paraguas abierto, y otros puntos como el (20,20) , el (30,50), el (40,80) y el (50,99) que indica que el 99% de las personas llevan el paraguas abierto cuando caen 50 litros/m2 y hora.Los softwares permiten introducir estas relaciones en forma de tabla en el ordenador y después se utilizan en las simulaciones igual que si fuese una ecuación.

4.- Ecuaciones con retrasosLos sistemas complejos presentan diferentes formas de reacción frente a las acciones o propuestas de cambio.Es poco probable que una decisión tomada en una reunión de personal ejecutivo se transforme instantáneamente en una acción. Tanto la información como los materiales que involucra la puesta en marcha de un proyecto nuevo o el funcionamiento rutinario de unaempresa suelen sufrir retrasos por una larga lista de razones (trámites burocráticos, huelgas, accidentes, malos entendidos....).En el área de las ciencias químicas o del medio ambiente los retrasos tienen que ver con la imposibilidad de que el sistema sea “perfecto” (un reactor no responde inmediatamente a un cambio en la concentración de reactivo a la entrada porque no mezcla perfectamente, unorganismo impactado por un tóxico requiere un tiempo para desintoxicarse...). Estos retrasos pueden simularse mediante funciones especiales, DELAY1 y SMOOTH,DELAY3 y SMOOTH3.

5.- Ecuaciones condicionalesEste tipo de ecuación, cuya base es la utilización del "si condicional", permite que durante el desarrollo de la simulación se elija entre dos alternativas de acuerdo a condiciones preestablecidas. La sintaxis es: IF THEN ELSE (condición, X, Y) de forma que el modelo al llegar a esta función, comprueba si se verifica la condición. Si resulta verdadera, el resultado es X, de lo contrario es Y. Se puede complementar con el uso de los operadores .AND., .OR. y .NOT., que permiten aumentar el grado de complejidad de la expresión, y también se pueden construir "nidos de IF", es decir, IF THEN... dentro de otros IF THEN... Pero se debe ser cuidadoso, y evaluarmuy bien las tablas de verdad de expresiones complejas, ya que de lo contrario los resultados pueden resultarnos sorprendentes e inclusive difíciles de interpretar.

CASO DINÁMICA POBLACIONAL

Una población se halla formada inicialmente por 1000 individuos, su tasa de natalidad es del 5% semanal, y su esperanza media de vida es de 100 semanas.No hay migraciones y la distribución de edades de la población es uniforme. Si se mantienen constantes la tasa de natalidad y la esperanza de vida obtendremos una determinada evolución temporal del número de individuos. ¿Qué sucederá con el número de individuos en estas circunstancias al cabo de pocas semanas?

Crear del modelo Población en la PC

A PARTIR DE AQUÍ…ECUACIONES

El software ya escribe las ecuaciones de acuerdo con el Diagrama de Flujos que le hemos dibujado. Falta completar el valor inicial en el Nivel, y las relaciones aritméticas en los flujos. A las Variables auxiliares, que tomaremos constantes, hay que darles un valor.

PARA VISUALIZAR RESULTADOS

Hay varias formas de visualizar el resultado de la simulación.

Ver la evolución temporal de un elemento y sus causas

La evolución temporal de un elemento sólo

La tabla de los valores del elemento

WindowsControl Panel

GraphsNew

Sel.

CASO DINÁMICA DE UN DEPÓSITO

Simular ahora el comportamiento de un sistema muy simple, el que regula el contenido de un depósito intermedio de un líquido, el cual posee una sola entrada y una sola salida, que están siempre abiertas. Se trata de un depósito de 100 litros, que tiene en su momento inicial 50 litros de líquido.Queremos saber la dinámica del contenido del depósito ante cambios en la entrada y lasalida de caudal. En concreto queremos estar seguros de que no se va a desbordar, y de que no se va a quedar completamente vacío. La entrada al mismo la regulamos de forma tal que - para evitar que se desborde - entrará más caudal cuando el depósito se halle más vacío, y entrará menos caudal cuando el depósito esté casi lleno. Inicialmente equilibramos la entrada el depósito de forma tal que entra una fracción de 1/10 del volumen vacío del depósito.Por el contrario, hemos regulado la salida de forma tal que - para evitar que se quede vacío - saldrá más líquido cuando el depósito esté lleno y saldrá menos cuando el depósito se halle vacío. Inicialmente regulamos la salida para que ésta sea una fracción de 1/10 del contenido del depósito.

LO QUE YA CONOCEMOS…

FLUJOSentrada= (100-Contenido)/k1Units: litros/horaLa entrada es función del espacio vacío que hay en el depósito, de forma que cuando el depósito esté vacío se llenará muy rápido, y cuando esté casi lleno la entrada será muy pequeña. El parámetro k1 es propio de nuestro diseño del sistema.salida = Contenido/k2Units: litros/horaLa salida es función de la cantidad de líquido que existe en el interior del depósito, de forma tal que cuando esté lleno saldrá muy rápido, y cuando este casi vacío la salida será mucho menor. El parámetro k2 es propio de como definimos el sistema.

NIVELContenido= entrada-salidaInitial value: 50Units: litrosEl depósito, que tiene una capacidad de 100 litros,contiene 50 en su inicio.

SIEMPRE TOMAR DATOS IMPORTANTES

QUÉ SON LOS K´sCONSTANTESPodemos definir también como constante la Capacidad (100 litros) del depósito. No lo hacemos porque es una constante del sistema y no lo podemos modificar.k1= 10Units: horaEl depósito se llena a un ritmo del 10% de su volumen vacío, o lo que es lo mismo en cada periodo se llena 1/10 del volumen vacío.k2= 10Units: horaEl depósito se vacía a un ritmo del 10% de su contenido real en cada período, o lo que es lo mismo se vacía 1/10 de su contenido en cada período.

ASIGNANDO ECUACIONES….

SIMULANDO….

HACIENDO PRUEBAS…

Para ver las dos simulaciones superpuestas cuando hayamos cambiado el valor inicial del deposito de 50 a 80 litros y lo ejecutemos, cuando aparezca el mensaje siguiente pulsaremos: No y le daremos un nuevo nombre (diferente de Current).

DESARROLLE EL SIGUIENTE CASO PRACTICOLa Meseta de Kaibab es una superficie extensa y llana en el extremo norte del Gran Cañón de 1.000.000 acres. En 1907 el Presidente Roosevelt tomó la decisión de crear la Reserva Nacional de Caza del Gran Cañón, la cual incluía la Meseta de Kaibab. Se siguió la política de dar una recompensa para incentivar la caza de pumas que eran los depredadores naturales del ciervo. En un breve plazo se cazaron cerca de 500 pumas. Como resultado del exterminio de pumas y de otros enemigos naturales del ciervo, la población de ciervos empezó a crecer muy rápidamente. La manada de ciervos se incrementó desde los 5.000 antes de 1907 a unos 50.000 en unos 15 años. Cuando la población de ciervos creció los empleados del Servicio Forestal empezaron a advertir de que los ciervos podrían agotar la comida disponible en la meseta. Durante los inviernos de 1924 y 1925 murió casi el sesenta por ciento de la población de ciervos de la meseta. La población de ciervos de la Meseta de Kaibab continuó disminuyendo durante los siguientes años, y finalmente se estabilizó en unos 10.000 hacia 1940.Ahora imagine que usted es un empleado del Servicio Forestal en 1930 y que ha sido encargado de la definición de una política para la gestión de la evolución de la población de ciervos de la Meseta de Kaibab. Para examinar algunas alternativas que le acerquen al problema usted decide crear un modelo. Su principal preocupación es el crecimiento y rápido descenso de la población de ciervos observada en el período de 1900 a 1930, y su posible evolución futura desde 1930 a 1950. Por ello el periodo de análisis de su modelo abarcará desde 1900 a 1950, y el tema principal a analizar es la evolución del número de ciervos. Una vez que haya creado el modelo correcto podrá utilizarlo para examinar el impacto de diferentes alternativas. Trate de conseguir un aumento estable del tamaño de la manada de ciervos de la meseta a partir de 1930 que es la fecha de su llegada.

LO QUE YA CONOCEMOS…

¿DIAGRAMA CAUSAL?

¿EL MODELO EN VENSIM?

SIEMPRE TOMAR DATOS IMPORTANTES…..OBTENER RESULTADOS…