ECUACIONES DE LA RECTA -...

I.E.S. “Isabel Perillán y Quirós” Matemáticas 2

Departamento de Matemáticas UNIDAD 11: Puntos, rectas y planos en el espacio

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UNIDAD 11: PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

• Ecuaciones de la recta

• Ecuaciones del plano

• Posiciones relativas de dos planos

• Posiciones relativas de tres planos

• Posiciones relativas de una recta y un plano

• Posiciones relativas de dos rectas

ECUACIONES DE LA RECTA

Se llama ecuación de la recta a la expresión que han de satisfacer los puntos que

pertenezcan a ella.

Una recta queda perfectamente determinada dando un punto por el que pasa y un vector que

marque la dirección (vector director)

➢ Ecuación vectorial

Sea una recta que pasa por el punto P(a,b,c) y lleva la

dirección del vector 321 v,v,vv

. Sea X(x,y,z) un

punto cualquiera de la recta. Se cumple que el vector PX

es un cierto número de veces el vector v

, es decir:

Podemos escribir, por tanto:

Utilizando coordenadas:

Ej.) La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P(3,1,2) y lleva la dirección de

1,6,2 v

, es:

➢ Ecuaciones paramétricas

Igualando componentes en la ecuación vectorial:

RvPX con ,

vOPPXOPOX

R ,

, Rv,v,vλcb,a,zy,x, 321

(Para cada valor del parámetro λ tendremos las coordenadas de un punto de la recta)

1,6,22,1,3z,y,x

O

P(a,b,c) X(x,y,z)

321 v,v,vv

X

Y

Z

R

λvcz

λvby

λvax

3

2

1

, v,v,vc,b,az,y,x 321



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Ej.) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(3,1,2) y lleva la

dirección de 1,6,2 v

, son:

➢ Ecuación continua

Despejamos el parámetro en las paramétricas e igualamos:

Ej.) La ecuación continua de la recta que pasa por el punto P(3,1,2) y lleva la dirección de

1,6,2 v

, es:

➢ Ecuaciones implícitas (generales o como intersección de dos planos)

Podemos tomar las ecuaciones paramétricas como la solución de un sistema de 2 ecuaciones

y 3 incógnitas (solución con un parámetro):

Ej.) Para hallar las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por el punto P(3,1,2) y lleva

la dirección de 1,6,2 v

, igualamos producto de medios y de extremos en la ecuación continua:

Ejercicio. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos:

A(2,3,4) y B(1,3,2)

La recta r

R

,

2z

61y

23x

321 v

cz

v

by

v

ax

v

cz

v

by

v

ax

3

2

1

1

2z

6

1y

2

3x

0DzCyBxA

0DCzByAx

162y6x

2y218x6 1y23x6 6

1y

2

3x

136zy

12z61y 2z61y1

1

2z

6

1y

(Esta expresión tiene sentido aunque sea nulo algún denominador)

Pasa por el punto A(2,3,4)

Tiene por vector director: v

= AB = (1,0,6)



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Vectorial:

Paramétricas:

64z

3y

2x

Continua: 6

4z

0

3y

1

2x

Implícitas:

Ejercicio. Halla las ecuaciones de la recta:

12zyx

3zy2x en forma paramétrica y

continua.

Resolvemos el sistema:

21yx

3yx2Rλz

Sumamos las ecuaciones: 3

λ4x

4x3

Sustituimos x en la 2ª ecuación: 3

5λ1y

21y

3

λ4

Por tanto:

z

3

5

3

1y

3

1

3

4x

1

z

35

31y

31

34x

➢ Puntos alineados

n puntos están alineados ran(A1A2 , A1A3 , … , A1An) = 1

Ej.)

ECUACIONES DEL PLANO

Se llama ecuación del plano a la expresión que han de satisfacer los puntos que pertenezcan

a él; de forma general, viene dada por un polinomio de primer grado con tres incógnitas.

0

3y

1

2x

6

4z

1

2x

08zx6

03y

4z12x6

3y0

Paramétricas

Continua

r

A1 A2

A3

An A(2,3,1)

B(5,4,3)

C(2,2,2)

AB = (3,1,2)

AC = (0,1,1)

2110

213ran

PUNTOS

NO

ALINEADOS

vOAOX

R , 6,0,14,3,2z,y,x λ



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Ej.) Sea el plano π : 2x + 3y z + 7 = 0

π 1,2,0P , ya que 0712302

π1,0,1Q , ya que 0710312

Un plano queda perfectamente determinado dando un punto por el que pasa y dos vectores

de distinta dirección (linealmente independientes) paralelos a él, llamados vectores directores.

➢ Ecuación vectorial

Sea un plano que pasa por el punto P(a,b,c) y tiene

por vectores directores:

321 u,u,uu

, 321 v,v,vv

.

Sea X(x,y,z) un punto cualquiera del plano.

Se cumple:

Ej.) La ecuación vectorial del plano que pasa por el punto P(2,1,3) y tiene como vectores

directores 5,4,3u

y 1,6,2 v

, viene dada por:

➢ Ecuaciones paramétricas

Igualando componentes en la ecuación vectorial:

Ej.) Las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el

punto P(2,1,3) y tiene como vectores directores 5,4,3u

y

1,6,2 v

, son las del margen.

Y

X

Z

u

v vu

O

X

P

,con , R v,v,vμu,u,uλcb,a,zy,x, 321321

(Para cada valor de los parámetros μλ, tendremos las coordenadas de un punto del plano)

Utilizando coordenadas:

1,6,25,4,33,1,2z,y,x

R

μvλucz

μvλuby

μvλuax

33

22

11

, , v,v,vu,u,uc,b,az,y,x 321321

μλ53z

μ6λ41y

μ2λ32x

RvuOPPXOPOX , con ,



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➢ Ecuación general (implícita)

Según la figura de la página anterior vemos que el conjunto es linealmente

dependiente, ya que . Por tanto:

Ej.) La ecuación general del plano que pasa por el punto P(2,1,3) y tiene como vectores

directores 5,4,3u

y 1,6,2 v

, viene dada por:

051z10y13x34 0103z131y342x 0

162

543

3z1y2x

➢ Observaciones

• El vector C,B,An

es un vector normal

(perpendicular) al plano

• Si un plano pasa por los puntos P, Q y R, se toman

como vectores directores:

Ejercicio. Halla las ecuaciones del plano que pasa por los puntos:

A(2,1,3) , B(1,1,1) y C(5,1,8)

Vectorial: .

Es decir:

Paramétricas:

General:

vuPX

v,u,PX

0

vvv

uuu

czbyax

0det

321

321

v,u,PX Operando y

agrupando Ax + By + Cz + D = 0

PQ y PR

C,B,An

Ax + By + Cz + D = 0

Pasa por el punto A(2,1,3)

u

= AB = (1,0,2)

v

= AC = (3,0,5)

El plano π

RvuOAOX ,con ,

5,0,32,0,13,1,2z,y,x

μ5λ23z

1y

μ3λ2x

1y 0651y 0

503

201

3z1y2x

Y

X

Z

O

y = 1

1

OBSERVACIÓN: Cuando

en la ecuación general falta

una variable (x, y o z), el

plano es paralelo al eje

correspondiente a esa variable

ausente



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➢ Puntos coplanarios

n puntos son coplanarios ran(A1A2 , A1A3 , … , A1An) = 2

Ej.)

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Sean los planos:

0DzCyBxA

0DzCyBxA

:β

:α

Para ver si tienen puntos en común, hemos de estudiar la existencia de soluciones en el sistema

anterior. Sean S y S* las matrices del sistema y ampliada, respectivamente. Es conveniente matizar

que las filas de la matriz S son los vectores normales a los planos. Además, en los sistemas

compatibles indeterminados el número de parámetros nos dice si la solución es una recta (1

parámetro) o un plano (2 parámetros)

▪ Si ran(S) = ran(S*) = 1, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas

soluciones que dependen de dos parámetros y los dos planos tienen todos sus puntos en

común (PLANOS COINCIDENTES).

En este caso, los vectores normales a los planos son

proporcionales (llevan la misma dirección) y esa

proporcionalidad también la sigue el término independiente.

Se verifica:

▪ Si ran(S) = 1 y ran(S*) = 2, el sistema es incompatible y los dos planos no tienen

puntos en común (PLANOS PARALELOS).

En este caso, los vectores normales a los planos son

proporcionales (llevan la misma dirección), pero esa

proporcionalidad no la sigue el término independiente. Se

verifica:

A1

A2 A3

An

PUNTOS NO

COPLANARIOS

A(1,2,3)

B(4,7,8)

C(3,5,5)

D(1,2,3)

E(2,2,2)

AB = (3,5,5) 5

AC = (2,3,2)

AD = (2, 4, 6)

AE = (1,0,1)

3

101

642

232

553

ran

DCBA

DCBA*S

S

D

D

C

C

B

B

A

A

β

C,B,Aαn

C,B,A βn

α

D

D

C

C

B

B

A

A

C,B,Aαn

C,B,A βn

α

β



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soluciones que dependen de un parámetro y los dos planos se cortan en una recta

(PLANOS SECANTES).

En este caso, los vectores normales a los planos no son

proporcionales (llevan distinta dirección).

Se verifica:

Ej.) 1

1

1

1

1

1 :que ya ,

2zyx

1zyx

secantes

2z2y2x2

1zyx coincidentes, ya que:

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1 :que ya ,

1z2y2x2

1zyx

paralelos

➢ Haz de planos paralelos

Se llama así al conjunto de planos paralelo a uno dado.

Todos tienen el mismo vector normal y coinciden en la

ecuación general con excepción del término independiente.

Ecuación del haz de planos paralelos:

Ax + By + C + K = 0 , RK (Generamos los planos al dar valores al parámetro K)

Ej.) El haz de planos paralelos al plano 05zy5x3 es: 0Kzy5x3

POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

Sean los planos:

0DzCyBxA

0DzCyBxA

0DzCyBxA

:γ

:β

:α

Estudiemos la existencia de soluciones.

▪ Si ran(S) = ran(S*) = 1, el sistema es compatible

indeterminado, tiene infinitas soluciones que dependen

de dos parámetros y los tres planos tienen todos sus

puntos en común (planos coincidentes).

En este caso, los vectores normales a los planos

llevan la misma dirección.

C

C

B

B

C

C

A

A

B

B

A

A

o o

α

β

C,B,Aαn

C,B,A βn

C,B,An

0zCyBxA K

DCBA

DCBA

DCBA*

S

S

C,B,Aαn

C,B,A βn

α β γ

C,B,A γn



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▪ Si ran(S) = 1 y ran(S*) = 2, el

sistema es incompatible y los tres

planos no tienen puntos en

común.

En este caso, los vectores

normales a los planos llevan la

misma dirección, y los tres planos

son paralelos o dos de ellos son

coincidentes y el otro, paralelo.


soluciones que dependen de un parámetro y los tres planos se cortan en una recta,

existiendo dos posibili-

dades: tres planos distintos

que se cortan en una recta

o dos planos coincidentes

y el otro los corta. Los

vectores normales están, en

este caso, en un plano.

▪ Si ran(S) = 2 y ran(S*) = 3, el sistema es incompatible y los tres planos no tienen

ningún punto en

común. Se pueden

dar dos casos: los

planos se cortan dos

a dos formando una

superficie prismática

o dos planos son

para-lelos y el otro

los corta. Los

vectores normales

están en un plano.


determinado y los tres planos se cortan en un punto, que

se obtiene resolviendo el sistema. Los vectores normales

forman un conjunto linealmente independiente.

Ej.)

4zy3x

6z3y3x3

2zyx

:γ

:β

:α

ran(S) = ran(S*) = 2.

Los planos se cortan en una recta. Además, βα y son

coincidentes (coeficientes y término independiente proporcionales)

αβγ

αγ

β

αn βn

γn

αn

βn

γn

β

α

γ

αn

βn

γn

α

γ

β

αn

βn

γn

αn

βn

γn

αβ

γ

α

β

γ

αn

βn

γn

α

β

γ

αn

γn

βn

γ

βα



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➢ Haz de planos secantes

Se llama así al conjunto de planos que pasan por una recta que se llama arista del haz. La

ecuación del haz se obtiene como combinación lineal de las ecuaciones implícitas

de la recta, ya que dicha combinación lineal no modifica la solución del sistema.

Dada la recta r:

0DzCyBxA

0DCzByAx

:β

:α , el haz queda determinado

por la ecuación:

Rμλ,μλ , 0DzCyBxADCzByAx

(Generamos los planos al dar valores a los parámetros)

Ejercicio. Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene

a la recta r:

02yx

01zyx

El haz de planos secante es: 02yx1zyx μλ . Hacemos 1λ para

que el haz dependa sólo de un parámetro: 02yx1zyx μ .

Un plano del haz que pase por el punto (0,0,0) verifica la condición:

2

1 02001000 μμ . Sustituimos el valor de μ en la ecuación del

haz: 0z2y3x 0zy2

3

2

x 02yx

2

11zyx

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

➢ Forma general

Consideremos la recta y el plano dados por sus ecuaciones implícitas (generales):

0DzCyBxA

0DzCyBxA

0DzCyBxA

:α

:r

El rango mínimo de S es 2, ya que los dos primeros planos se cortan en una recta y los

vectores normales llevan distinta dirección.


indeterminado, tiene infinitas soluciones que dependen de

un parámetro y los tres planos se cortan en una recta, es

decir, la recta está contenida en el plano.

r

α β

μβλα

α

r

DCBA

DCBA

DCBA*

S

S



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▪ Si ran(S) = 2 y ran(S*) = 3, el sistema es

incompatible y los tres planos no tienen ningún punto en

común. Luego, la recta y el plano son paralelos.


determinado y los tres planos se cortan en un punto, que se

obtiene resolviendo el sistema. Por tanto, la recta y el plano

son secantes.

➢ Forma paramétrica.

Si la recta viene dada en forma paramétrica y el plano en forma general, sustituimos los

valores de x, y, z de la recta en la ecuación del plano. Operando, llegamos a una ecuación del

tipo: nλm ( λ es el parámetro, m y n son números reales concretos). A la hora de

despejar λ para hallar el punto común de recta y plano, distinguimos los siguientes casos:

▪ 0m La ecuación tiene solución única Recta y plano secantes.

▪ 0n , 0m La ecuación no tiene solución Recta y plano paralelos.

▪ 0n , 0m Hay infinitas soluciones Recta contenida en el plano.

Ejercicio. Estudia la posición relativa de la recta r: λz , 13λy , 2λx y el

plano 0511z2y3x:α de dos formas distintas.

1º) Sustituimos la recta en el plano: 3λ 051113223 . De aquí

deducimos que la recta y el plano se cortan en un punto (secantes). Para hallarlo,

sustituimos el valor de en la ecuación de la recta, obteniendo el punto de intersección:

P(6,10,3).

2º) Pasamos las ecuaciones paramétricas de la recta a ecuaciones implícitas, a través de la

ecuación continua:

0z2x

2y2x3

z2x

2y2x3

1

z

2

x3

1y

2

x

1

z

3

1y

2

x

z

31y

2x

Estudiemos el sistema formado por la recta y el plano:

α

r

α

r

51123

0201

2023*

S

S

5z11y2x3

0z2x

2y2x3 S 0 ran(S) = ran(S*) = 3

Sistema compatible determinado

Plano y recta secantes

Solución del sistema: (6,10,3)



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POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

➢ Forma general

Consideremos las rectas r y rdadas por sus ecuaciones implícitas (generales):

0DzCyBxA

0DzCyBxA

0DzCyBxA

0DzCyBxA

:δ

:γ:r

:β

:α:r

El rango mínimo de S es 2, ya que los dos primeros planos, y también los dos últimos, se

cortan en una recta.


soluciones que dependen de un parámetro y los cuatro planos coinciden en una recta. Por

tanto, las dos rectas son coincidentes.

▪ Si ran(S) = 2 y ran(S*) = 3, el sistema es incompatible y los vectores normales están en

el mismo plano. Las dos rectas no tienen puntos en común y son, por tanto, paralelas.

▪ Si ran(S) = ran(S*) = 3, el sistema es compatible determinado y las dos rectas son

secantes, es decir, se cortan en un punto.

▪ Si ran(S) = 3 y ran(S*) = 4, el sistema es incompatible. Las dos rectas no tienen puntos

en común y, como los vectores normales no están en el mismo plano, las rectas se cruzan.

COINCIDENTES PARALELAS SECANTES SE CRUZAN

Ejercicio. Estudia la posición relativa de las rectas

4zy

8zx:r y

5z2yx

0yx:s

Obtenemos: ran(S) = 3 y ran(S*) = 4. Las rectas se cruzan

α β γ δ

rr

α β

r

γ δ

r

α β

r

γδ

r

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

*S

S

5121

0011

4110

8101

*S

α βγ

δ

rr



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➢ Forma paramétrica

A partir de las ecuaciones paramétricas podemos obtener los vectores directores de ambas

rectas y un vector que va de un punto de una recta a un punto de la otra. El estudio del rango de

estos vectores nos permitirá concluir en qué posición relativa se encuentran las rectas. Si

resultan que son secantes, basta resolver el sistema (igualando los valores de x, y, z de las

ecuaciones paramétricas de ambas rectas) para obtener el punto de corte.

Sean las rectas r:

3

2

1

vcz

vby

vax

y :r

3

2

1

vcz

vby

vax

. Obtenemos:

cc,bb,aa

v,v,v

v,v,v

321

321

PP

v

v

▪ Si 1v,vran

, los vectores directores son paralelos.

- Si 1PP,v,vran

, los tres vectores están sobre la misma recta. Son rectas

coincidentes

- Si 2PP,v,vran

, los tres vectores están en un plano (coplanarios). Son rectas

paralelas

▪ Si 2v,vran

, los vectores directores no son paralelos.

- Si 2PP,v,vran

, los tres vectores son coplanarios y las rectas son secantes

- Si 3PP,v,vran

, los tres vectores no pertenecen al

mismo plano. Son rectas que se cruzan.

COINCIDENTES PARALELAS SECANTES SE CRUZAN

Ej.) Estudia la posición relativa de las rectas

2λ1z

λ2y

λ1x

:r y

2μ1z

μ3y

2μ3x

:s

Vectores directores de las rectas: 2,1,1rv

y 2,1,2 sv

Vector que va de un punto de r a un punto de s: 2,1,211,23,13 srPP

Como 2sr v,vran

y 2srsr PP,v,vran

, las rectas son secantes.

Para hallar el punto de corte, igualamos las ecuaciones paramétricas y determinamos

los parámetros:

222

1

22

2121

32

231

1μ

0λ

v v

PP

rr v

vP

P

r r

v

v

P

P r

r v

v

P

P

r

r

Sustituyendo en r o en s, el

punto de corte es P(1,2,1)

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