““ECUACIONES ECUACIONES MATEMATICAS QUE MATEMATICAS QUE

DESCRIBEN EL DESCRIBEN EL COMPORTAMIENTO DE LOS COMPORTAMIENTO DE LOS

FLUIDOS”FLUIDOS”

1.ECUACION DE 1.ECUACION DE BERNOULLIBERNOULLI

• El El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. a lo largo de una línea de corriente.

• Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra obra HidrodinámicaHidrodinámica (1738) y expresa (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. largo de su recorrido.

LA ENERGIA DE UN FLUIDO EN LA ENERGIA DE UN FLUIDO EN CUALQUIER MOMENTO CONSTA DE 3 CUALQUIER MOMENTO CONSTA DE 3 COMPONENTES:COMPONENTES:

1.- Cinético: es la energía debida a la 1.- Cinético: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.velocidad que posea el fluido.2.- Potencial gravitacional: es la energía 2.- Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.debido a la altitud que un fluido posea.3.- Energía de flujo: es la energía que 3.- Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión un fluido contiene debido a la presión que posee.que posee.

"Ecuación de Bernoulli" "Ecuación de Bernoulli"

donde:donde:• VV = velocidad del fluido en la sección considerada. = velocidad del fluido en la sección considerada. • gg = aceleración gravitatoria = aceleración gravitatoria • zz = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de

referencia. referencia. • PP = presión a lo largo de la línea de corriente. = presión a lo largo de la línea de corriente. • ρ = densidad del fluido. ρ = densidad del fluido.

• Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluídos. Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluídos.

Un fluído se caracteriza por carecer de elasticidad Un fluído se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, Para llegar a la ecuación de que la contiene, Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: nos limitan el nivel de aplicabilidad:

• El fluído se mueve en un régimen estacionario, o El fluído se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo. el tiempo.

• Se desprecia la viscosidad del fluído (que es una Se desprecia la viscosidad del fluído (que es una fuerza de rozamiento interna). fuerza de rozamiento interna).

• Se considera que el líquido está bajo la acción del Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio únicamente. campo gravitatorio únicamente.

Aplicabilidad Aplicabilidad

Características y Características y consecuencias consecuencias

• Cada uno de los términos de esta ecuación tienen Cada uno de los términos de esta ecuación tienen unidades de longitud, y a la vez representan formas unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y se habla de altura la energía en términos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta última traducción del inglés head. Así o cabezal, esta última traducción del inglés head. Así en la ecuación de bernoulli los términos suelen en la ecuación de bernoulli los términos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del inglés hydraulic head; el cabezal hidráulico, del inglés hydraulic head; el término término zz se suele agrupar con se suele agrupar con PP / γ para dar lugar a la / γ para dar lugar a la llamada altura piezométrica o también carga llamada altura piezométrica o también carga piezométrica.piezométrica.

Tubo de Venturi Tubo de Venturi • El caudal (o gasto) se define como el producto de la sección por El caudal (o gasto) se define como el producto de la sección por

la que fluye el fluído y la velocidad a la que fluye. En dinámica la que fluye el fluído y la velocidad a la que fluye. En dinámica de fluídos existe una ecuación de continuidad que nos garantiza de fluídos existe una ecuación de continuidad que nos garantiza que en ausencia de manantiales o sumideros, este caudal es que en ausencia de manantiales o sumideros, este caudal es constante. Como implicación directa de esta continuidad del constante. Como implicación directa de esta continuidad del caudal y la ecuación de Bernoulli tenemos un tubo de Venturi. caudal y la ecuación de Bernoulli tenemos un tubo de Venturi.

• Un tubo de Venturi es una cavidad de sección por la que fluye Un tubo de Venturi es una cavidad de sección por la que fluye un fluído y que en una parte se estrecha, teniendo ahora una un fluído y que en una parte se estrecha, teniendo ahora una sección . Como el caudal se conserva entonces tenemos que . sección . Como el caudal se conserva entonces tenemos que . Por tanto: Por tanto:

2. Ecuación de 2. Ecuación de Darcy-WeisbachDarcy-Weisbach

• La ecuación de Darcy-Weisbach es una La ecuación de Darcy-Weisbach es una ecuación ampliamente usada en ecuación ampliamente usada en hidráulica. Permite el cálculo de la hidráulica. Permite el cálculo de la pérdida de carga debida a la fricción pérdida de carga debida a la fricción dentro una tubería.dentro una tubería.

• La ecuación fue inicialmente una La ecuación fue inicialmente una variante de la ecuación de Prony, variante de la ecuación de Prony, desarrollada por el francés Henry Darcy. desarrollada por el francés Henry Darcy.

• En En 1845 fue refinada por Julius fue refinada por Julius Weisbach, de Sajonia, hasta la forma en Weisbach, de Sajonia, hasta la forma en que se conoce actualmente.que se conoce actualmente.

• øø: factor de fricción de Darcy- : factor de fricción de Darcy- WeisbachWeisbach

• L: Longitud del tubo.L: Longitud del tubo.• D. diámetro.D. diámetro.• V: velocidad media.V: velocidad media.• g: aceleración de la gravedadg: aceleración de la gravedad

CARACTERÍSTICASCARACTERÍSTICAS• Fórmula para determinar las pérdidas de energía por Fórmula para determinar las pérdidas de energía por

fricción.fricción. • Ecuación racional, desarrollada analíticamente Ecuación racional, desarrollada analíticamente

aplicando procedimientos de análisis dimensional.aplicando procedimientos de análisis dimensional. • Derivada de las ecuaciones de la Segunda Ley de Derivada de las ecuaciones de la Segunda Ley de

Newton.Newton. • Es la fórmula más utilizada en Europa para calcular Es la fórmula más utilizada en Europa para calcular

pérdidas de cabeza.pérdidas de cabeza. • La pérdida por fricción está expresada en función de La pérdida por fricción está expresada en función de

las siguientes variables: longitud de la tubería, las siguientes variables: longitud de la tubería, velocidad media de flujo (la que se puede expresar velocidad media de flujo (la que se puede expresar también en términos del caudal), diámetro de la también en términos del caudal), diámetro de la tubería y depende también de un factor o coeficiente tubería y depende también de un factor o coeficiente de fricción de fricción ff. .

• El coeficiente de fricción de Darcy – Weisbach es, a su El coeficiente de fricción de Darcy – Weisbach es, a su vez, función de la velocidad, el diámetro del tubo, la vez, función de la velocidad, el diámetro del tubo, la densidad y viscosidad del fluido y  la rugosidad interna densidad y viscosidad del fluido y  la rugosidad interna de la tubería. Agrupando variables, se obtiene que f es de la tubería. Agrupando variables, se obtiene que f es función del número de Reynolds.función del número de Reynolds.

3. Ecuaciones de 3. Ecuaciones de Navier-Stokes Navier-Stokes

• Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes.

• Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo tipo de fluidos.fenómeno en todo tipo de fluidos.

• Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada llamada formulación integralformulación integral de las ecuaciones. de las ecuaciones.

• Para llegar a su formulación diferencial se manipulan Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando así a la llamada así a la llamada formulación diferencialformulación diferencial, que , que generalmente es más útil para la resolución de los generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

• Esta expresión representa el principio de Esta expresión representa el principio de conservació del momento lineal aplicada a un conservació del momento lineal aplicada a un fluido general. La ley de conservación de la fluido general. La ley de conservación de la masa se escribe masa se escribe

• En estas ecuaciones ρ representa la densidad, En estas ecuaciones ρ representa la densidad, uiui (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad, la velocidad, FiFi las fuerzas aplicadas sobre el las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la gravedad, cuerpo, como la gravedad, PP la presión del la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.fluido, y μ la viscosidad dinámica.

4. Ecuaciones de 4. Ecuaciones de Euler (fluidos)Euler (fluidos)

• En dinámica de fluidos, las ecuaciones de Euler son las que En dinámica de fluidos, las ecuaciones de Euler son las que describen el movimiento de un fluido compresible no viscoso. describen el movimiento de un fluido compresible no viscoso. Su expresión corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes Su expresión corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando las componentes disipativas son despreciables frente a cuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, esto nos lleva a las siguientes condiciones que las convectivas, esto nos lleva a las siguientes condiciones que se pueden deducir a través del análisis de magnitudes de las se pueden deducir a través del análisis de magnitudes de las Navier-Stokes:Navier-Stokes:

• Aunque habitualmente se expresan en la forma mostrada en Aunque habitualmente se expresan en la forma mostrada en este artículo dado que de este modo se enfatiza el hecho de este artículo dado que de este modo se enfatiza el hecho de que representan directamente la conservación de masa, que representan directamente la conservación de masa, momento y energía. Estas ecuaciones se llaman así en honor de momento y energía. Estas ecuaciones se llaman así en honor de Leonhar Euler quien las dedujo directamente de las leyes de Leonhar Euler quien las dedujo directamente de las leyes de Newton. Este artículo contempla las connotaciones aplicables a Newton. Este artículo contempla las connotaciones aplicables a la mecánica clásica; para fluidos compresibles con velocidades la mecánica clásica; para fluidos compresibles con velocidades próximas a la velocidad de la luz se debe consultar el artículo próximas a la velocidad de la luz se debe consultar el artículo Ecuaciones relativistas de Euler.Ecuaciones relativistas de Euler.

Expresión matemática Expresión matemática • Aunque formalmente las ecuaciones de Euler se reducen a flujo Aunque formalmente las ecuaciones de Euler se reducen a flujo

irrotacional en el límite de desaparición del número de Mach (es irrotacional en el límite de desaparición del número de Mach (es decir para números de Mach muy pequeños), esto no es útil en la decir para números de Mach muy pequeños), esto no es útil en la práctica, debido esencialmente a que la aproximación de práctica, debido esencialmente a que la aproximación de incompresibilidad no resta exactitud a los cálculos. La expresión incompresibilidad no resta exactitud a los cálculos. La expresión diferencial de estas ecuaciones es la siguiente:diferencial de estas ecuaciones es la siguiente:

• donde donde EE = ρ = ρee + ρ( + ρ(uu2 + 2 + vv2 + 2 + ww2) / 2 es la energía total por unidad 2) / 2 es la energía total por unidad de volumen (de volumen (ee es la energía interna por unidad de masa para el es la energía interna por unidad de masa para el fluido), fluido), pp es la presión, es la presión, uu la velocidad del fluido y ρ la densidad del la velocidad del fluido y ρ la densidad del fluido. La segunda ecuación incluye la divergencia de un tensor fluido. La segunda ecuación incluye la divergencia de un tensor diádicodiádico

• La ecuación puede quedar más clara de La ecuación puede quedar más clara de acuerdo a la siguiente notación:acuerdo a la siguiente notación:

• las ecuaciones anteriores están expresadas las ecuaciones anteriores están expresadas en forma de conservación o equilibrio, dado en forma de conservación o equilibrio, dado que con esta forma se enfatiza su origen que con esta forma se enfatiza su origen físico (y es además en gran medida la más físico (y es además en gran medida la más conveniente para la simulación conveniente para la simulación computacional de la dinámica de fluidos). El computacional de la dinámica de fluidos). El componente del momento de las ecuaciones componente del momento de las ecuaciones de Euler se expresa del siguiente modo:de Euler se expresa del siguiente modo:

5. Ley de Poiseuille 5. Ley de Poiseuille

• La ley de Poiseuille (también conocida como ley de La ley de Poiseuille (también conocida como ley de Hagen-Poiseuille después de los experimentos Hagen-Poiseuille después de los experimentos llevados a cabo por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen llevados a cabo por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) en 1839) (1797-1884) en 1839)

• Es la ley que permite determinar el flujo laminar Es la ley que permite determinar el flujo laminar estacionario estacionario ΦΦV de un líquido incompresible y V de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (también denominado fluido uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. circular constante.

• Esta ecuación fue derivada experimentalmente en Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869). La ley queda Louis Marie Poiseuille (1797-1869). La ley queda formulada del siguiente modo:formulada del siguiente modo:

• Donde Donde VV es el volumen del líquido que circula es el volumen del líquido que circula en la unidad de tiempo en la unidad de tiempo tt, , v v media la velocidad media la velocidad media del fluido a lo largo del eje media del fluido a lo largo del eje zz del del sistema de coordenadas cilíndrico, sistema de coordenadas cilíndrico, RR es el es el radio interno del tubo, Δradio interno del tubo, Δpp es la caída de es la caída de presión entre los dos extremos, η es la presión entre los dos extremos, η es la viscosidad dinámica y viscosidad dinámica y LL la longitud la longitud característica a lo largo del eje característica a lo largo del eje zz. La ley se . La ley se puede derivar de la ecuación de Darcy-puede derivar de la ecuación de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la Weisbach, desarrollada en el campo de la hidráulica y que por lo demás es válida para hidráulica y que por lo demás es válida para todos los tipos de flujo. todos los tipos de flujo.

• La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar también del siguiente modo:también del siguiente modo:

• donde donde ReRe es el número de Reynolds y es el número de Reynolds y ρρ es la es la densidad del fluido. En esta forma la ley densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor del aproxima el valor del factor de fricciónfactor de fricción, la , la energía disipada por la energía disipada por la pérdida de cargapérdida de carga, el , el factor de pérdida por fricción o el factor de factor de pérdida por fricción o el factor de fricción de Darcy λ en flujo laminar a muy bajas fricción de Darcy λ en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilíndrico. La derivación velocidades en un tubo cilíndrico. La derivación teórica de la fórmula original de Poiseuille fue teórica de la fórmula original de Poiseuille fue realizada independientemente por Wiedman en realizada independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860). Hagenbach fue el primero que la (1859, 1860). Hagenbach fue el primero que la denominó como ley de Poiseuille.denominó como ley de Poiseuille.

Cálculo de la fórmulaCálculo de la fórmula• Consideremos una tubería horizontal Consideremos una tubería horizontal

de radio de radio RR constante y dentro de ella constante y dentro de ella dos secciones transversales dos secciones transversales 11 y y 22 separadas una distancia separadas una distancia LL. Estas . Estas secciones delimitan un trozo de secciones delimitan un trozo de tubería que en la imagen adjunta tubería que en la imagen adjunta queda delimitada por los puntos queda delimitada por los puntos ABCD. Dentro de la tubería indicada ABCD. Dentro de la tubería indicada consideramos a su vez un cilindro consideramos a su vez un cilindro coaxial delimitado por los puntos coaxial delimitado por los puntos abcd con área de tapas abcd con área de tapas AA = π r2 y = π r2 y radio radio rr. Debido a la viscosidad del . Debido a la viscosidad del fluido, sobre este cilindro actúa un fluido, sobre este cilindro actúa un esfuerzo cortante Que llamaremos esfuerzo cortante Que llamaremos TT provocado por una fuerza cortante provocado por una fuerza cortante FF sobre un área longitudinal sobre un área longitudinal AAL = 2π r L = 2π r L. Esta fuerza será igual a L. Esta fuerza será igual a FF = = pp11AA − − pp22AA tendrá un sentido izquierda - tendrá un sentido izquierda - derecha igual al desplazamiento del derecha igual al desplazamiento del fluido, provocado por un gradiente de fluido, provocado por un gradiente de presión en la que presión en la que pp1 es mayor que 1 es mayor que pp2 2 (no guiarse por el dibujo adjunto, aún (no guiarse por el dibujo adjunto, aún no encontré la manera de cambiarlo). no encontré la manera de cambiarlo). Integrando las fuerzas que actúan Integrando las fuerzas que actúan sobre el cilindro considerado, se sobre el cilindro considerado, se obtiene la expresión de la ley de obtiene la expresión de la ley de Poiseuille.Poiseuille.

• De acuerdo a la primera ley de Newton, si De acuerdo a la primera ley de Newton, si pp1 y 1 y pp2 2 son las presiones aplicadas en el centro de son las presiones aplicadas en el centro de gravedad del área transversal del cilindro en las gravedad del área transversal del cilindro en las secciones secciones 11 y y 22 tenemos que tenemos que

• pp11AA − − pp22AA + + FF = 0 = 0 • En un sólido el esfuerzo de corte es proporcional a En un sólido el esfuerzo de corte es proporcional a

la deformación, pero un fluido se deforma la deformación, pero un fluido se deforma continuamente mientras se aplique el esfuerzo, por continuamente mientras se aplique el esfuerzo, por lo tanto el esfuerzo de corte será proporcional a la lo tanto el esfuerzo de corte será proporcional a la velocidad de corte por una constante llamada velocidad de corte por una constante llamada viscosidadviscosidad, es decir: , es decir: