4to_Seminario Geometría PRE 2014-1

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 4to Material de Estudio

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA

01. En un triángulo ABC se traza la altura

BF del triángulo y la bisectriz BM del

FBC . Si BM MC AB y AC 10 , entonces el área de la región triangular ABC es

A) 20 3

3 B)

22 3

3 C)

25 3

2

D) 27 3

2 E) 25 3

02. Dos triángulos tienen alturas

congruentes, el área de uno de ellos es 84 u2 y sus lados son tres números enteros consecutivos. Si la longitud del lado menor del otro triángulo mide 3 u más que el anterior. Entonces el área (en u2) de la región triangular del otro triángulo es

A) 1344

9 B)

1344

11 C)

1344

13

D) 1344

15 E)

1344

17

03. En el gráfico mostrado, el triángulo

ABC es equilátero, si DN 2 MN ,

entonces la razón

Área ANI

Área DNI

es

A) 2

3 B)

3

2 C)

1

2

D) 1 E) 4

3

04. En un triángulo ABC, 3AB 2BC . Si

E es el excentro relativo a BC y el área de la región triangular ABE es 36 u2, entonces el área (en u2) de la región triangular BEC es A) 36 B) 54 C) 72 D) 80 E) 84

05. En la figura mostrada BM MN NC ;

AE EF FC y AG GD DB . Si

PQRS y ABCS representan al área de

la región PQR y de la región ABC

respectivamente, entonces ABC

PQC

S

S es

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

06. En un triángulo ABC, el área de la región triangular es W, las medianas AD, CF pasan por P, se ubica un

punto E en AC tal que CE 2AE y la ceviana BE intercepta a las medianas dadas en Q y R. Entonces el área de la región triangular PQR es

A) W

25 B)

W

30 C)

W

35

D) W

40 E)

W

45

A C

D

B

M N

60°

I

A C

B

M

N G

D

P Q

R

E F



07. En un cuadrado ABCD se inscribe una circunferencia tangente a los

lados AB , BC , CD y AD en los puntos E, F, G y H respectivamente,

tal que BG interseca a la circunferencia en el punto M. Si

BG CH N , entonces la relación de las áreas de las regiones triangulares BFM y MNE es

A) 1

3 B)

1

4 C)

1

5

D) 1

6 E)

1

8

08. En un triángulo ABC, se ubican los

puntos M y N en AB y BC respectivamente, tal que BM 4AM y 2BN 3NC . Si el área de la región AMNC es S, entonces el área de la región triangular MBN es

A) 7

S13

B) 10

S13

C) 12

S13

D) S E) 7

S3

09. En una región triangular ABC, cuya

área de S, se prolongan los lados AB, BC y AC hasta los puntos A ' , B' y C' de modo que: BA' 2AB , CB' 2BC ; AC' 2AC . Entonces el área de la

región triangular A'B'C' es A) 7 S B) 10 S C) 13 S D) 15 S E) 19 S

10. Exterior a un cuadrado ABCD se construye el rombo ADEF,

CE FD N . Si ND a y NE b , entonces el área de la región cuadrilátera ANEF es

A) ab 2 B) ab 2

2

C) ab 2

4 D)

ab 2

3

E) ab

3

11. En la figura mostrada 1 // ACL ,

2 // ABL y 3 // BCL , 21 3S S 1u ;

22S 4 u y 2

4S 9 u entonces la

suma de las áreas (en u2) de las regiones paralelográmicas MBEJ; ANIP; DFCQ es A) 44 B) 50 C) 52 D) 53 E) 60

12. En un paralelogramo ABCD, se ubica el punto P exterior al paralelogramo

tal que BP intercepta a CD . Si la suma de las áreas de las regiones triangulares BPC y APD es 54 m2, entonces el área (en m2) de la región paralelográmica ABCD es A) 84 B) 90 C) 108 D) 120 E) 162

13. En un paralelogramo ABCD, se traza

con diámetro BC una semicircunferencia tangente a la

prolongación de AD en T, tal que la intersección de diagonales del paralelogramo es un punto de la semicircunferencia.

Si DT 8 3 4 u , entonces el área

(en u) de la región paralelográmica ABCD es

A

N

M

L3 L2

L1

C P Q

S4

S1 S2

S3 J

D I F

E

B



A) 24 3 B) 16 C) 32

D) 24 E) 16 3

14. En un rombo ABCD de centro O, con

diámetro BC y exterior al rombo se traza una semicircunferencia y en ella

se ubica el punto M tal que BM MC

y BC OM P . Si OP a y PM b , entonces el área de la región determinada por el rombo ABCD es A) ab B) a(a + b) C) b(a + b) D) 2ab E) 2a(a + b)

15. En un triángulo ABC, en los lados

AB , AC y BC se ubican los puntos M, N y Q respectivamente, tal que MBQN es un rombo. Si m ABC 45

y AB m y BC n , entonces el área

de la región rómbica MBQN es

A) 2m n

4

B)

2 2

2

m n

m n

C)

2 2

2

m n 2

2 m n D)

2 2

2

m n 2

m n

E)

2 2

2

m n 3

m n

16. En un triángulo ABC se inscribe el

cuadrado MNPQ MQ AC ,los

puntos N y P pertenecen a AB y BC respectivamente). Si AC b y la

distancia de B a AC es h; entonces el área de la región trapecial ANPC es

A)

2

2

b h b 3h

b h

B)

2

2

b h b 2h

2 b h

C)

2

2

h b b 5h

b h

D)

2h b

b h

E) 2b h

b h

17. Se construye los cuadrados ABCD y AEFG tal que A–D–E, CF k y con

diámetro BG traza una semicircunferencia que interseca a

DE en P. Si CF k y AP , entonces el área de la región BCFG es

A) 2

2k

4 B)

22k

2

C) 2 2k D) 2

2k

4

E) 2 2k

2

18. En un trapecio ABCD, longitudes de

las bases BC y AD son a y b respectivamente. Se traza

MN // BC // AD (M en AB y N en CD )

tal que MBCN 1S S , AMND 2S S .

Demuestre que 2 2

2 2 1

1 2

a S b SMN

S S

19. En un cuadrilátero convexo ABCD,

exterior y relativo al lado AD se ubica el punto medio M tal que m BMC m BAD m ADC 60 .

Si AB 4 u y CD 9 u , entonces el

área (en u2) de la región trapezoidal ABCD es

A) 36 B) 24 3 C) 36 3

D) 30 3 E) 30 2

20. En una circunferencia se ubican los

puntos A, B, C y D tal que mAB 90 ,

mBC 30 y mCD 150 . Si la

longitud del radio de la circunferencia es r, entonces el área de la región ABCD es

A) 23r

2 B) 22 3 r C) 23 r

D) 23 3 r E) 2r

2



21. En la figura mostrada: BC // MN // AD , S1, S2, S3 y Sx son las áreas de las regiones sombreadas. Si ND 2CN , entonces se cumple que Sx es

A) 1 2 3S S S

2

B) 1 2 3S S S

C) 1 2 3S S S D) 1 2 3S S S

E) 1 2 3S S S

22. La suma de las áreas de dos círculos

tangentes exteriores es 273 m y el

producto de las longitudes de sus radios es 24 m2. Entonces la suma de las longitudes (en m) de sus radios es A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

23. En una semicircunferencia de

diámetro AC , se ubica el punto B en

AC y con diámetros AB y BC se trazan respectivamente las semicircunferencias interior y exterior. Si la longitud del segmento tangente

trazado hacia el arco AB es , entonces el área de la región determinada por la unión de los arcos

AB ; BC y CA es

A) 2

4

B)

2

2

C) 2

D) 22 E) 24

24. En un cuadrante ABC, AB , P es

un punto tal que P BC ; se traza la semicircunferencia de diámetro PC, luego se traza una circunferencia

tangente a AB y a los arcos AC y PC. Si PC 2r entonces el área del

círculo determinado por ésta circunferencia es

A) 2r

2

B)

2r

4

C) 22 r

5

D)

22r

4

E)

22 r

3

25. En el gráfico se muestra a una

circunferencia, donde P y U son

puntos de tangencia. Si PE RU

1 2 y

TU 14 2 u ,entonces el área (en u2)

del círculo sombreado es

A) 10 B) 4 C) 6 D) 8 E) 7

26. En un sector circular cuyo ángulo

mide 120 y la longitud de su radio es R, calcule el área del círculo inscrito.

A) 2R

4

B) 2R

3

C) 23 7 4 3 R

B C

A D

N M Sx

S1 S2

S3

P

T E R

U



D) 23 5 2 R

E) 23 3 2 R

27. En la figura se muestra a cuatro

semicircunferencias donde P, Q y R son puntos de tangencia. Si PQ a y QR b , entonces el área de la región

sombreada es

A) 2 2a b4

B) 2 2a b ab

C) 2 2a b ab

D) 2 2a b ab4

E) 2 2a 2b2

28. Un sector circular de 18 m de longitud

de radio es equivalente a un cuadrado cuyo lado es igual a la longitud del arco del sector. Entonces el área (en m2) del sector es A) 80 B) 81 C) 83 D) 84 E) 85

29. En el gráfico se muestra a una semicircunferencia de centro O y cuyo

diámetro mide 2 2 u , donde S

simboliza el área de una región

triangular. Si AEB MNES 2 S ,

entonces el área (en u2) del sector MON es

A) 4

B)

3

4

C)

2

3

D) 2

E)

3

30. Calcule el área de un sector circular de 60; sabiendo que el área del círculo inscrito es S u2.

A) S

4 B)

S

3 C)

S

2

D) 2

S3

E) 3

S2

31. En la figura mostrada AD es el diámetro de la semicircunferencias y

mAB 90 . Si mBC 45 y AO = R

,entonces el área de la región sombreada es

A) 2R

4

B)

2R

3

C)

2R

2

D) 23 R

7

E)

22 R

5

32. Desde un punto P exterior a una

circunferencia de centro O cuya

longitud de su radio mide 2 2 u ,se

trazan los secantes PA y PB tal que

A D C B

P

Q R

A

M

N

E

B O

A

B

C

D O



PA contiene al diámetro AD AB BD y AP 3PD . Si

m BPD 15 u , entonces el área

(en u2) del sector circular BOA es

A) 2

B) C)

3

D) 2

3

E)

3

2

33. En el gráfico mostrado, AB y AD son diámetros congruentes de longitud 2 u. Si C y D son centros de los arcos

de circunferencias BD y AC ,

entonces el área (en u2) de la región sombreada es

A) 2

2

B)

1

2

C) 1

D) 2 E) 2

4

34. El lado de un polígono regular mide

a u. Entonces, ¿cuál es el área de la corona determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita al polígono?

A) 2a

6

B)

2a

4

C)

22 a

3

D) 2a

2

E) 2a

35. El perímetro de un heptágono regular es 28 u. Entonces el área (en u2) de la corona circular, determinado por las circunferencias inscrita y circunscrita al heptágono es A) 8 B) 4 C) 2

D) E) 3

36. C1 y C2 son circunferencias

concéntricas, tal que C2 está en el interior de C1, luego se traza en C1 un ángulo inscrito de medida 60, cuyos lados son tangentes a C2. Si la

longitud de radio de C1 es 4 3 u ,

entonces el área (en u2) de la corona circular formada por C1 y C2 es A) 36 B) 30 C) 25

D) 24 E) 16

37. En la figura mostrada, si

1 2

3

S S 6cm

S

,entonces el área

(en cm2) de la corona circular es

A) 6 B) 8 C) 9

D) 10 E) 12

38. En la figura se muestra a dos

circunferencias concéntricas de centro O y T el punto de tangencia. Si

QC 5 PQ y AB 4 u , entonces el

área (en u2) de la región sombreada es

A D

B C

O

O1

S1 S3

S2



A) 8 B) 11 C) 9

D) 6 E) 12

39. Una región cuadrada de área 6 u2 se

encuentra inscrita en una circunferencia; sobre cada lado del cuadrado se traza una semicircunferencia exterior al cuadrado. Entonces la suma (en u2) de las áreas de las lúnulas determinadas es A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12

40. En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia de centro O,

CD CB 2 2 u , AD AO y BD es

diámetro. Entonces el área (en u2) de la lúnula formada al trazar una

semicircunferencia de diámetro AB es

A) 26 u4

B)

2

33

C)

2

35

D) 23 u

6

E) 22 u3

41. En un triángulo ABC recto en B, se

inscribe una circunferencia donde M es el punto de tangencia de la

circunferencia con AC . Exterior a AC se trazan semicircunferencias de

diámetros AM , MC y AC que

determinan una lúnula si el área que

limita la lúnula es 28 m , entonces el

área (en m2) de la región triangular ABC es A) 32 B) 33 C) 36 D) 40 E) 48

42. En la figura se muestra a nueve semicircunferencias y a una circunferencia inscrita en el triángulo cuyos puntos de tangencia son M, N y

Q. Demuestre que: 1 2 3

4 1 1 1

S S S S

43. En un trapecio circular ambos radios

aumentan en un 20%. ¿En qué porcentaje aumenta el área del trapecio circular? A) 20% B) 40% C) 80% D) 44% E) 42%

44. En un triángulo equilátero ABC de lado y centro O; se trazan la circunferencia inscrita y circunscrita. Entonces el área del trapecio circular

determinado al trazar OA y OC es

A) 2

4

B)

2

8

C)

2

12

D) 2

16

E)

2

20

A C P Q

B

O

T

A C Q

S3

S2

S1

S

B

M N



45. En un trapecio circular ABCD el ángulo central correspondiente mide

120, en el arco AB se ubica el punto P tal que los ángulos ADP y PCB son

suplementarios y PC CD Q . Si

PD a y PC b , entonces el área del

trapecio circular ABCD es

A) ab

2

B)

ab

3

C) ab

D) 2ab

3

E)

3ab

4

46. En el gráfico se muestra a dos

circunferencias concéntricas de centro O. Si E, T y S son puntos de

tangencia , TU 3 u y AB con CD

son diámetros, entonces el área de la región sombreada es

A) 6

B)

2

3

C)

2

D) 3

E)

3

4

47. En la siguiente figura, AOB es un

cuadrante, S1 y S2 representa el área de cada región sombreada. Entonces

1

2

S

S es

A) 1

4 B)

1

3 C)

1

2

D) 1 E) 2

48. En la figura mostrada la longitud del lado del cuadrado es a; con diámetros

AB , BC , CD y AB se han construido semicircunferencias. Entonces el área de la región sombreada es

A) 2a

22

B) 2a

24

C) 2a

28

D) 2a

2

E) 2a

4

49. En un trapezoide simétrico ABCD,

AB AD , BC CD y

2m BAD m BCD 120 . Si con

centros en A y C se trazan los arcos de circunferencias que pasan por B y D, entonces el área de la hoja circular determinada es

A) 2

2 32

B) 2

3 33

C) 2

23

D) 2

5 6 36

E) 2

6 5 25

A

S E

T

B O D U C

45

A

O B

S2

S1

A D

B C



50. Cuál de los gráficos no corresponde A) B) C) D) E)

51. En un hexágono regular ABCDEF de 18 cm de perímetro, con centros en B y E, y considerando como longitudes de radios las longitudes BC y ED, se trazan los arcos AC y FD, respectivamente al interior del hexágono. Luego, exteriormente se trazan dos semicircunferencias de diámetros AF y CD. Entonces el perímetro (en cm) de la figura curva cerrada, determinada por estos arcos es A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

52. En la figura, ABCD es un cuadrado de

centro O, BN NC y AM MD . Los

puntos A y C son centros de los arcos de circunferencias OF y OE. Si los puntos M y N, son centros de los arcos de circunferencia AO y OC y

OE OFL L k , entonces

AO OCL L

es

A) k B) k

2 C) k 2

D) k 2

2 E)

k 2

4

53. El perímetro de un triángulo es P y el

área de la región respectiva es A. Al unir los puntos medios de los lados, se obtiene otro triángulo de perímetro P1 y el área de la región respectiva es A1. Al unir los puntos medios de los lados de este último triángulo, se obtiene otro de perímetro P2 y área de la región A2. Si se sigue con este proceso infinitamente, entonces

1 2 3 1 2 3P P P ... A A A ...F

P A

es

A) 2 B) 3 C) 5

4

D) 4

3 E)

3

2

54. En la figura, la longitud del lado del

cada cuadrado pequeño es L. Entonces la suma de perímetro de todos los cuadrados determinados es

A) 204 L B) 100 L C) 160 L D) 180 L E) 200 L

L

L

A D

B C E N

M F

O



55. Si cada triángulo pequeño tiene longitud de lado 1 cm, entonces la suma de los perímetros (en cm) de todos los triángulos determinados es

A) 120 B) 150 C) 180 D) 160 E) 100

56. Indique la figura que debe ocupar el casillero UNI.

A) B) C) D) E)

57. Indique la figura que no guarda relación con las demás

A) B) C) D) E)

58. ¿Qué figura no corresponde al grupo? A) B) C) D) E)

59. ¿Qué figura no tiene relación con las demás? A) B) C) D) E)

60. Indique la figura que no guarda relación con las demás:

A) B) C) D)

UNI

x

a

60°

x

a

45°

x

a 15°

x

a 37°

x

a 22,5°



E)

61. ¿Qué figura no corresponde al grupo?

A) B) C) D) E)

62. ¿Qué figura no guarda reacción con la demás? A) B) C) D) E)

63. En la figura mostrada cada pequeño cuadrado está formado por segmentos de 1 cm de longitud. Hay 20 filas de dichos cuadrados. Entonces la suma del número total de segmentos de 1cm referidos

anteriormente y el número que indica el perímetro (en cm) del polígono obtenido es

A) 420 B) 450 C) 460 D) 480 E) 540

64. ¿Cuál de las siguientes figuras no guarda relación con las demás? A) B) C) D) E)

45°

1

x

1

60°

x

1

15° x

30°

1

x x

105°

1

x

30°



65. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Dos rectas determinan un plano. II. Un punto y una recta determinan

un plano. III. Tres puntos colineales determinan

un plano. A) VVF B) FVV C) FVF D) FFF E) VFV

66. Por 1, 2 y 3 pasa un plano. Entonces el número de lados de la sección plana obtenida en la volumetría es

A) 8 B) 9 C) 11 D) 10 E) 12

67. Indique el valor de las siguientes proposiciones: I. P y Q son dos planos paralelos, si

L interseca a P, entonces L es perpendicular a Q.

II. 1L y 2L son rectas paralelas, si 3L

es perpendicular a 1L , entonces

es 3L es perpendicular a 2L .

III. L es perpendicular a un plano P,

entonces toda recta 1L secante a

L es secante a P. A) FVF B) FFF C) VVF D) VFV E) VVV

68. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Dos rectas que no se intersectan

son paralelas. II. La intersección de dos planos

secantes es una recta. III. Dos rectas secantes determinan

un plano. A) VFF B) FFF C) FVV D) FVF E) VVV

69. En un hexaedro regular ABCD-EFGH,

se ubica el punto medio P de FG . Si el plano BEP intercepta a DF en J y AB L entonces BJ es

A) L

154

B) L

23

C) L

152

D) L 13

4 E)

L11

4

70. En las rectas cruzadas L1 y L2, AB es

la distancia entre ellas, tal que 1A L

y 2B L . Se ubican los puntos C y P

en 1L y 2L respectivamente tal que

mediatriz de AC contiene al punto P.

Si AC 2 BP , entonces la medida

del ángulo entre las rectas 1L y 2L

es A) 30 B) 37 C) 45 D) 60 E) 90

71. La perpendicular común entre 2

rectas cruzadas L1 y L2 es MN . El ángulo que determina dichas rectas

mide 60, en 1L y en 2L se ubican los

puntos A y B respectivamente tal que

AM 9 m , NB 4 m . Si AB 5 5 m ,

entonces MN (en m) es

A) 3 3 B) 5 2 C) 8

D) 10 E) 12

1

2

3



72. En un cubo piramidal P-ABCD-EFGH,

calcule la medida del ángulo entre PF

y AG .

A) 1 1cos 2 2

3

B) 1 1cos 2 2

2

C) 1 1cos 2 2

4

D) 1 1cos 6 3 2

6

E) 1 1cos 6 3 2

6

73. En un hexaedro P-ABC-Q formado

por triángulos equiláteros, determine el valor del ángulo entre las aristas PB y QA.

A) 1 3cos

5

B) 1 1cos

3

C) 1 3cos

4

D) 1 2cos

3

E) 1 5cos

6

74. 1L y 2L son dos rectas cruzadas que

determinan un ángulo de medida 60.

En 1L se ubican los puntos A y B, en

2L se ubican los puntos P y Q de

modo que AB PQ . Si el ángulo ABQ tiene la mayor medida entera entonces m PBQ es

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

75. En un cuadrado ABCD se traza la

semicircunferencia de diámetro BC y en ella se ubica un punto P, tal que el cuadrado y la semicircunferencia estén contenidos en planos perpendiculares. Si AP a y PD b ,

entonces el área de la región cuadrada ABCD es

A) a b B) 2 2a b C) 2ab

D) 2 2a b

3

E)

2 2

2 2

a b

a b

76. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Dos planos perpendiculares a una

misma recta son paralelas entre sí.

II. Todo plan perpendicular a una recta contenida en un plano, es perpendicular a dicho plano.

III. Si una recta es perpendicular a un plano, entonces será perpendicular a todas las rectas que están contenidas en dicho plano.

A) FFV B) VFV C) VVV D) VFF E) FFF

77. En un triángulo acutángulo; se ubican

los puntos M y N en los lados AB y

BC tal que AM MN NC . Las proyecciones ortogonales de los puntos M y N sobre un plano H que

solo contiene a AC son los puntos P

y Q tal que PQ // AC . Si AC 2 PQ ,

entonces la medida del ángulo ABC es A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

78. Indique verdadero (V) o falso (F) en: I. En el teorema de las tres

perpendiculares, la segunda y tercera perpendicular son rectas perpendiculares.

II. La intersección de la segunda y tercera perpendicular determinan con ángulo diedro.

III. La distancia entre rectas cruzadas es determinado por la primera y segunda perpendicular.



A) FVV B) FVF C) FFF D) VFV E) VFF

79. En los planos P y Q perpendiculares se ubican los puntos A y B respectivamente tal que la recta que

contiene el segmento AB determina con el plano P un ángulo cuya medida es y con el plano Q un ángulo cuya

medida es . Si AB , entonces la

distancia entre AB y la recta de intersección entre P y Q es

A) 2 2sen sen

B) 2 2

cos cos

cos cos

C) 2 2cos cos

D) 2 2

sen sen

sen sen

E) 2 cos cos

cos cos

80. En un tetraedro regular A-BCD, se

trazan las alturas AP y CQ de las caras ABC y ACD respectivamente. Si AB L , entonces la menor distancia

entre AP y CQ es

A) L

315

B) L

34

C) L

55

D) 1

510

E) 1

1010

81. Una semicircunferencia de diámetro

AB y un cuadrado ABCD están contenidos en planos

perpendiculares. En el arco AB se

ubica el punto P tal que m AP 120 .

Si AD 4 cm entonces la menor

distancia (en cm) entre las rectas AB

y PD es

A) 57 B) 57

4 C)

57

38

D) 2

5719

E) 4

5719


siguientes proposiciones: I. La proyección ortogonal de dos

rectas paralelas sobre un plano son dos rectas paralelas.

II. La proyección ortogonal de dos rectas perpendiculares sobre un plano forman un ángulo agudo.

III. La proyección ortogonal de dos rectas cruzadas sobre un plano son dos rectas paralelas.

A) VVV B) VFV C) VFF D) FFF E) FVV

83. Un triángulo ABC contenido en un plano P, se proyecta ortogonalmente sobre un plano P1 determinando el triángulo A1, B1 y C1. La medida del ángulo diedro determinado por los planos P y P1 es . Demostrar que, el

área S de la región triangular ABC y el área S1 de la región triangular A, B, C,

están relacionadas por: 1S Scos

84. Se construye una escalera recta que

tiene 2 tramos y entre ellas un descanso de 1.5 m, la altura del primer tramo es 7.20 m y tiene 40 pasos. El segundo tramo tiene 2.70 m de alto. Si cada paso mide 30 cm ,entonces la longitud (en m) de la proyección de la escalera sobre el piso es A) 16.5 B) 15.5 C) 18.5 D) 20.5 E) 18

85. Los cuadrados MNPQ y MNST están contenidos en planos perpendiculares, A es punto medio de MNPQ y B es un punto en el interior al diedro formado. La proyección de B



sobre MNPQ es el punto medio de

QP . Si B dista de Q y de P en 4 u y MQ = 4u, entonces la longitud

(en u) de la proyección de AB sobre MNST es

A) 4 3 B) 2 3 C) 4 2

D) 2 2 E) 5


siguientes proposiciones: I. La proyección de una recta sobre

un plano es una recta. II. La proyección de una región

triangular sobre un plano es una región triangular.

III. La proyección de una esfera sobre un plano es un círculo.

A) VFV B) VVF C) FFV D) FVF E) VFF

87. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Segmentos congruentes

determinan ángulos congruentes con un mismo plano.

II. Si dos rectas determinan ángulos congruentes con un plano, entonces son paralelas.

III. Rectas paralelas determinan ángulos congruentes con un mismo plano.

A) FFF B) VVF C) VFV D) FFV E) VVV

88. En un cuadrado ABCD, los puntos E y

F en puntos medios de AB y BC respectivamente tal que EHGF es un rectángulo contenido en un plano perpendicular al plano del cuadrado.

Si EH 2

BD 4 , entonces la medida del

ángulo determinado por ABCD es

A) arc tan 2 B) arc tan 5

C) 5

arc tan3

D) 5

arc tan5

E) arc tan 6

89. En un hexaedro P-ABC-Q formado

por triángulos equiláteros. Determine la medida del ángulo entre la recta y el plano que contienen a la arista CP y la cara ABQ respectivamente.

A) 1 6tg

9

B) 1 3tg

2

C) 1 3tg

5

D) 1 2tg

5

E) 1 5tg

4

90. Los planos P, Q y R son paralelos. Si

AB 4 u , BC 2x 2DE y EF 9u ,

entonces DE (en u) es

A) 2 B) 2 3 C) 3 2

D) 4 E) 6

C

B

A D

E

F

R

Q

P

4to_Seminario Geometría PRE 2014-1

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