4to_Seminario Geometría PRE 2013-2

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2013 – 2 4to Material de Estudio

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA

01. Se tienen dos triángulos cuyas alturas son congruentes, el área de uno de ellos es 84 u2 y sus lados son tres números enteros consecutivos y la longitud del lado menor del otro triángulo mide 3 u más que el anterior. Entonces el área (en u2) de la región triangular de este segundo triángulo es

A) 134.4

9 B)

1344

11 C)

1344

13

D) 1344

15 E)

1344

17

02. En un triángulo ABC cuya área de su

región es S, se ubican los puntos E y

D en AB y BC respectivamente de manera que AE 2BE y BD=2CD .Si,

AD CE F ,entonces el área de la región triangular AEF es

A) 5

S7

B) 4

S7

C) 10

S21

D) 3

S7

E) 8

S21

03. En la figura el área de la región

triangular ABC es 21 m2; AE 2BE

,BF 2FC y GC 2AG . Entonces el

área de la región triangular sombreada es

A) 3 m2 B) 4 m2 C) 5 m2 D) 6 m2 E) 7 m2

04. En un triángulo ABC, se traza las

alturas BF y CP . Si AB 5 cm ,

BC 7 cm y AC 8 cm , entonces el

área (en cm2) de la región triangular APF es

A) 5 3 B) 5 3

2 C) 10 3

D) 5 3

4 E) 8 3

05. En un triángulo ABC se traza la bisectriz BF, AB=6u y BC=5u. Si el área de la región triangular ABC es 35 u2 , entonces el área (en u2)de la región triangular BFC es A) 15 B) 16 C)18 D) 20 E) 25

06. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se inscribe una circunferencia que es tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos E, F y G, respectivamente. Si AC 5 u y el

inradio mide 1 u, entonces el área (en u2) de la región triangular EFG es A) 1,0 B) 1,2 C) 1,5 D) 1,8 E) 2,0

07. En un cuadrilátero convexo ABCD se

trazan las diagonales AC y BD intersecándose en el punto Q. Si 5QC 8QD 2OQB 4OQA y el área de la región triangular BQC es 48 dm2, entonces el área (en dm2) de la región ABCD es A) 150 B) 165 C) 171 D) 189 E) 198

08. El área de la región triangular ABC es 226 m ; AB 8 m y BC 10 m la

mediana AM y la bisectriz interior BD se interceptan en el punto P. Calcule el área de la región triangular BPM. A) 3 m2 B) 4 m2 C) 5 m2

D) 6 m2 E) 6,5 m2

A C G

B

E

F



09. En un paralelogramo ABCD,

AB 10 cm y T es punto de BC . Si el

área de la región ABD es el triple del área de la región TCD y el cuadrilátero ABTD es bicéntrico, entonces el área (en cm2) de la región ABCD es

A) 20 10 B) 40 5 C) 44 6

D) 48 6 E) 50 6

10. En la figura el área de la región

paralelográmica es 120 u2.Si M, N y E son puntos medios de los lados, entonces el área de la región sombreada es

A) 7 u2 B) 8 u2 C) 9 u2 D) 10 u2 E) 11 u2

11. En un rombo ABCD de centro O, se ubica el punto P en el exterior y

relativo al lado BC tal que m APD m POC 45 . Si OP

entonces el área de la región determinada por el rombo es

A) 2

2 B) 2 C) 22

D) 2 2 E) 24

12. En un paralelogramo ABCD cuya

región tiene área S, se ubican E, F y

G en AB , BC y AD respectivamente de manera que BE 2AE , CF 2BF

y AG 2GD ,Si CE BG H y

CE FD P ,entonces el área de la región cuadrangular HPDG es

A) 4S/13 B) 5S/93 C) 6S/59 D) 7S/13 E) 8S/39

13. En un rombo ABCD, si m ABC 150 y su semiperímetro es p, entonces el área de la región rómbica en función de p es

A) 2p

2 B)

2p

3 C)

2p

4

D) 2p

5 E)

2p

8

14. En un triángulo ABC, los lados AB y

BC miden 6 dm y 12 dm.Si se ubica

el punto P en AB tal que AP/PB =1/2, entonces a qué distancia (en dm) del vértice B se debe ubicar un punto Q

en BC tal que PQ divida a la región triangular en dos regiones equivalentes. A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

15. El trapecio rectángulo ABCD (recto en A y B) está circunscrito una circunferencia de radio R. Si la medida del ángulo CDA es 60, entonces el área de la región trapecial correspondiente es

A) 24R 3

3 B) 24

R3

C) 24R 1 3

3 D) 24

R 3 13

E) 24R 3 3

3

16. En un trapecio ABCD BC // AD se

ubica M punto medio de AB . Si la

distancia de M a CD es 6 cm y

CD 10 cm , entonces el área (en

cm2) de la región trapecial ABCD es A) 40 B) 50 C) 60 D) 120 E) 130

A D

B C

E

M

N



17. Un trapecio isósceles ABCD

BC // AD está inscrito en una

semicircunferencia de diámetro AD y radio R. Entonces el área de la mayor región limitada por el trapecio ABCD es

A) 23R 3

4 B) 23

R 32

C) 23R 2

4 D) 23R 3

E) 23R 2

18. En una semicircunferencia de

diámetro AB , se ubica el punto medio

M del arco CD y se traza MH AB

H AB tal que mCD 60 . Si

MH entonces el área de la región trapezoidal CMDH es

A) 2

2 B)

2

4 C) 2

D) 2 3 E) 2 3

4

19. En un triángulo rectángulo ACB (recto

en C) se traza la altura CH . Luego se

trazan HE y HF perpendiculares a

BC y AC respectivamente. Si BC a , AC b y T punto medio de

AB , entonces el área de la región cuadrangular CFTE es

A) ab

2 B)

ab

4 C)

ab

5

D) ab

6 E)

ab

8

20. En un rectángulo ABCD, M y N son

puntos medios de AD y CD respectivamente y las diagonales se interceptan en el punto O. Si los segmentos BN y MN interceptan a las diagonales en los puntos P y Q en ese orden, entonces la relación entre las áreas de las regiones cuadrangulares ABCD y POQN es

A) 24

5 B)

48

5 C)

36

5

D) 38

5 E)

42

5

21. En un triángulo ABC se trazan las

cevianas CN y BM las que se interceptan en el punto T. Si:

2NBTS 6 cm , 2

TMCS 8cm y

2ANTMS 19cm , entonces BTC

ABC

S

S es

A) 1

8 B)

2

11 C)

3

14

D) 4

15 E)

5

17

22. En un triángulo rectángulo ABC, se

inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos M, T y L respectivamente. Se ubica N

en BC , tal que, AMNL es un paralelogramo. Si el área de la región triangular ABC es 36 unidades cuadradas, entonces el área de la región cuadrangular ABTL en unidades cuadradas es A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26

23. Un triángulo isósceles ABC

AB BC está inscrito en una

circunferencia de radio R. Calcule el área de la mayor región triangular ABC.

A) 2R 3 B) 22R 3 C) 2R

34

D) 23R

34

E) 23R 3

24. Se tiene una región circular de radio 10 dm, se hace un agujero circular tal que el área de la región restante es equivalente a la región circular despejada. Halle el área del agujero



circular máximo tangente a las circunferencias de la región restante.

A) 25 3 2 2 B) 50 3 2

C) 50 3 2 2 D) 50 2 2

E) 100 3 2 2

25. En la siguiente figura, AC es un

diámetro m C 30 y AC

QA4

. Si el

área de la región triangular ABC es 232 3 m , entonces el área ( en 2m )

del círculo encerrado por la circunferencia que equidista de los cuatro puntos Q, A, B y C es

A) 70 B) 100 C) 95 D) 90 E) 80

26. Se tienen dos circunferencias

secantes C1 y C2 de centros O1 y O2

respectivamente tal que 1 2O C . Si el

segmento tangente 2O T 1TC

mide entonces la diferencia de las áreas de las lúnulas determinadas por C1 y C2 es

A) 2

2

B)

2

4

C) 2

D) 22 E) 24

27. En un cuadrado ABCD de lado se

trazan los cuadrantes AC y BD con centros en los puntos D y A respectivamente. Si los cuadrantes se

interceptan en el punto M ,entonces la suma de las áreas de las regiones circulares inscritas en los triángulos mixtilíneos AMB, MCD, AMD y BMC es

A) 2666

356 B) 2333

256

C) 2111

256 D) 2999

576

E) 2333

128

28. Se tiene un hexágono regular

ABCDEF, de lado a 6 m .Si con

centros en A y radios AB y AC se trazan los arcos de circunferencias FB y EC, entonces el área del cuadrilátero mixtilíneo BCEF es

A) 3 3 B) 3 3

C) 2 32

D) 3 3

2

E) 3 32

29. En un triángulo rectángulo ABC recto

en B; se traza una circunferencia cuyo

centro O está en AC y es tangente a

AB y a BC en los puntos M y N respectivamente. Si AM a , NC b ,

y se traza NO y MO hasta interceptar a la circunferencia en los puntos E y F respectivamente, entonces el área del sector circular EOF es

A) 2 2b a4

B) 2 2a b

4

C) 2

2

a

4 b

D) 2 2a b

4

E) ab4

C Q

A

B



30. Las circunferencias C1 y C2 de centros O1 y O2 son tangentes interiores en P, tal que O1 – O2 – P. Una circunfe-rencia de centro O3 y radio 6 unidades es tangente a las circunferencias dadas en los puntos M y N, M en C1 y N en C2. Si los arcos menores MP y NP en cada circunferencia miden 130 y 145 respectivamente, entonces el área del sector circular MO3N en unidades cuadradas es A) 10,5 B) 11,5 C) 12,5

D) 13,5 E) 16,5

31. En un triángulo equilátero cuyo lado

mide 2 , se dibujan tres circunferen-cias que contienen al baricentro de la región triangula equilátera y dos vértices del triángulo, respectiva-mente. Entonces, el área de la región que limitan los arcos de circunferencia dentro del triángulo es

A) 2 3

B) 2 2 3

C) 2

2 32

D) 22

2 3 33

E) 2

2 3 33

32. En la figura ABCD es un cuadrado de

lado “2 ”. Halle el área del segmento circular sombreado.

A) 2 4 4

arc tg2 3 5

B) 2 2 2

arc tg2 3 5

C) 2 4 4

arc tg2 3 5

D) 2 3 2

arc tg2 4 5

E) 2 3 2

arc tg2 4 5

33. En el gráfico, O es centro y

mAB 120 . Con centros en O1 y O2

se trazaron los arcos BO y AO .Si BO R ,entonces el área de la región

sombreada es

A) 2 2R R

33 4

B) 23

R 34

C) 2R

38

D) 2R

34

E) 2R

32

A

O

O2

O1

B

B C N

Q

M P

A D



34. Halle el área de la corona circular de dos circunferencias concéntricas, en las cuales al trazar una secante la diferencia de los cuadrados de las longitudes de las cuerdas obtenidas en cada circunferencia es 4 m2.

A) 24 m B) 23 m C) 22 m

D) 2m E) 2m2

35. Dadas dos circunferencias

concéntricas C1 y C2 (C2 > C1), se

traza en C2 una cuerda AB que intercepta a C1 en C y D (A–C–D–B),

otra cuerda EF de C2 intercepta a

AB en C. Si EF = 8u y C es punto de tangencia entonces el área (en u2) de la corona circular determinada es A) 12 B) 14 C) 16

D) 18 E) 20

36. En una corona circular se traza una recta secante que intercepta a las circunferencias en los puntos A, B, C y D, respectivamente, los puntos B y C pertenecen a la circunferencia menor. Si AB = a y BC = b, entonces el área de la corona circular es

A) a a b B) b a b

C) ab D) 2 ab

E) 2 a a b

37. El perímetro de un pentágono regular

es 20 u. Calcule el área de la corona circular determinado por la circunferencia inscrita y circunscrita al pentágono.

A) 23 u B) 24u C) 25u

D) 24 u E) 25 u

38. En un triángulo equilátero ABC se

ubican Q en BC y N en AC .Si M es

punto medio de AB tal qué MQ QN ;

m MQN 90 y NC a 2 3 3 u ,

entonces el área de la corona circular determinado en el triángulo equilátero ABC con las circunferencias inscrita y circunscrita es

A) 2a

4

B)

2a

2

C) 2a

D) 22 a E) 24 a

39. En la figura mostrada los radios de las

circunferencias mostradas miden R = 6cm y r = 3 cm, entonces el área (en cm2) de la región sombreada

A) 15

9 32

B)

139 3

2

C) 11

7 33

D)

115 3

3

E) 13

5 32

40. En la figura C1 y C2 son

circunferencias concéntricas ,P y Q son puntos de tangencia,. Si AP y

mPQ 120 entonces el área de la

región sombreada es

A) 2

2

B)

2

3

C)

2

4

D) 2

6

E)

2

12

A P B

Q C1

C2



41. Una corona circular está limitada por las circunferencias cuyos radios miden r y 2r. La corona circular es equivalente con un trapecio circular limitado por arcos de circunferencias de radio r y 3r. Entonces la medida del ángulo central correspondiente al trapecio circular es A) 120 B) 135 C) 145 D) 160 E) 90

42. Se tiene dos circunferencias concéntricas C1 y C2 de centro O, (C1 < C2) y una circunferencia C3 tangente interior a C1 de modo que al trazar desde el centro O dos rayos tangentes a C3 interseca a las circunferencias C1 y C2 en los puntos: C y D, A y B respectivamente, tal que O – C – A, O – D – B, m AOB 60 ,

OA R , AC OC . Se determina así una región limitada por un trapecio circular ABDC, cuya área se pide calcular.

A) 21R

6 B) 21

R8

C) 21R

10 D) 21

R12

E) 22R

5

43. En la figura, los arcos AB y CD miden

120 y 60 respectivamente. Si el radio

del círculo mide 2 3u , entonces el

área de la región sombreada es

A) 6 3 B) 3 3 3

C) 4 3 3 D) 5 3 3

E) 3 3

44. Sea ABCD un trapecio isósceles

donde AB // CD , AD BC y

m A m B 60 . Si AB 2 y

CD , calcule el área de la región circular que resulta al trazar arcos de radio con centros en C, D y M

(punto medio de AB ).

A) 2 3 B) 2 33

2

C) 2 2 D) 2 2 3

3

E) 2 3

2

45. En la siguiente figura, AOB es un

cuadrante. Halle la relación del área de la hoja circular y el área sombreada.

A) 2 : 5 B) 1 : 2 C) 3 : 5 D) 3 : 4 E) 1 : 1

46. En un triángulo equilátero ABC, con centro en A, B y C se trazan los arcos

BC , AC y AB , y con centro en los

puntos medios de AB , BC y AC se trazan semicircunferencias. Si el lado de dicho triángulo es 12 u entonces el área (en u2) de las lúnulas así determinadas son

A) 10 6 3 B) 12 6 3

C) 18 6 3 D) 20 6 3

E) 24 6 3

A B

C D

A

O B



47. Un cuadrilátero ABCD está inscrito en

una circunferencia, tal que AC es diámetro.Se construyen exteriormente las lúnulas determinados con los

diámetros AB , BC , CD y AD . Si la suma de las regiones limitadas por las lúnulas es S, entonces el área de la región ABCD es

A) S

2 B) S C) 2S

D) 2S

3 E) 4S

48. Una circunferencia circunscrita a un triángulo cuyos lados miden 13, 20 y 21 unidades determina tres lúnulas sobre los semicírculos construidos exteriormente considerando como diámetros los lados del triángulo. Entonces la suma de las áreas de las lúnulas en unidades cuadradas está representada por:

A) 80

1269

B) 83

1269

C) 85

1269

D) 86

1269

E) 88

1269

49. La región rectangular ABCD de

240 cm2 de área está formado por 5 regiones rectangulares congruentes. ¿Cuál es el perímetro (en cm) del rectángulo ABCD?

A) 44 B) 44 2 C) 46

D) 46 2 E) 48

50. En la figura AB = 30 u. Entonces la longitud de la curva AB es

A) 10 u B) 12 u C) 15 u

D) 20 u E) 25 u

51. La longitud del lado de cada

cuadradito es 1 cm. Se debe construir

un polígono, con líneas continuas, cuyo perímetro se quiere calcular, en cm. En cada caso, el número inscrito indica la cantidad de lados de dicho cuadradito que se deben tomar para formar un polígono.

0 2 2 1 2 1

1 3 0 0 2 1

0 2 2 1 2 0

0 0 2 3 1 0

0 0 0 1 0 0

A) 20 B) 22 C) 16 D) 14 E) 18

52. En la figura, Calcule la suma de longitudes de los arcos BAC, CDE, EFG, … y así indefinidamente, sabiendo que AD = BD = R,DF = FC….

A

B

D

C

r1

r2

r3 r5

r4 A B

G

F

E

C D

B

A



A) 3 R B) 2 R C) 4 R

D) 2 R

3

E) R

53. La figura está formada por 3 filas de

triángulos equiláteros cuyos lados son palitos de fósforo. Calcule la suma del número de palitos y del número de dichos triángulos de una figura que tiene n filas.

A) n(n-1) B) n(n+1) C) n(n+2) D) n(n+3) E) n(5n+3) /2

54. ABC es un triángulo rectángulo, recto en B, AC L y m C 15 . Se trazan:

BD perpendicular a AC, DE perpendicular a BC, EF perpendicular a BD, FG perpendicular a BE, GH perpendicular a EF… y así indefinidamente. Calcule el límite de la suma de longitudes: x = BD + EF + GH + …

A) L B) 2 L C) L

2

D) 2L

3 E)

L

3

55. Cada pequeño cuadrado está

formado por segmentos de 1 cm de longitud. Hay 20 filas de dichos cuadrados. Calcule la suma del número de dichos segmentos de 1 cm y el número que indica el perímetro, en cm, del polígono obtenido. A) 420 B) 450 C) 460 D) 480 E) 540

56. Determine el número que falta:

A) 12 B) 18 C) 16 D) 20 E) 14

57. Si las longitudes están en centímetros y teniendo en cuenta:

Indicar la alternativa que no corresponde al grupo: A) B) C) D)

?

6

2

4

3 3



E)

58. Determine la figura que no guarda relación con las demás:

A) B) C) D) E)

59. ¿Qué figura sigue?

A) B) C) D) E)

60. Indique la figura que no guarda relación con las demás, si todos los segmentos parciales tienen longitudes iguales. A) B) C) D) E)

61. Indique la figura que no guarda relación con las demás: A) B) C) D) E)

62. ¿Qué figura no guarda relación con los demás? A) B)

?



C) D) E)

63. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si una recta L intercepta a un

plano H, y es perpendicular a dos rectas L1 y L2 contenidas en mismo el plano H, entonces L es perpendicular al plano H.

II. Si un plano está determinado por tres puntos distintos, entonces dichos puntos son no colineales

III. Si cinco puntos distintos determinan 10 planos, entonces no existen cuatro de estos puntos, colineales y coplanares

IV. Si dos rectas paralelas determinan un plano, entonces algunas rectas paralelas están contenidas en planos diferentes.

A) VVFF B) VVVF C) FVFV D) VFVV E) FVVV

64. Determine el valor de las siguientes proposiciones: I. Un plano separa al espacio en dos

conjuntos convexos, llamados semiespacios.

II. El plano determina en el espacio, una partición de tres conjuntos convexos.

III. Por lo menos tres planos pueden contener un punto común.

A) FVF B) VFV C) FFF D) FVV E) VVV

65. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si tres puntos determinan un

plano, entonces no existen puntos colineales que determinan a dicho plano.

II. Si dos rectas no se interceptan, entonces dichas rectas son paralelas entre sí.

III. Si una recta y un punto determinan un plano, entonces la recta y el punto son exteriores entre si

A) VFF B) FVV C) FVF D) FFF E) VFV

66. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Por un punto exterior a un plano,

pasa un solo plano no perpendicular a él.

II. Si dos rectas tienen la misma inclinación con un plano, entonces dichas rectas son paralelos entre sí.

III. Si dos rectas son paralelas a un plano, entonces dichas rectas son paralelas entre sí.

IV. Si dos rectas son perpendiculares a una tercera recta, entonces dichas rectas son paralelas entre sí.

A) FVVF B) FFVF C) VFFV D) FVFV E) FFFF

67. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si dos planos son paralelos a una

recta, entonces dichos planos son paralelos.

II. Para todo punto exterior a dos rectas cruzadas, se traza un plano paralelo a las rectas dadas.

III. Por un punto exterior a dos rectas cruzadas, se traza una recta secante a las rectas dadas.

A) VVV B) FFV C) FVV D) VVF E) FVF



68. Se tiene los triángulos rectángulos isósceles congruentes ABC y DBE

rectos en B B AD situados en dos

planos perpendiculares. Calcule la medida del ángulo entre las rectas

AC y ED . A) 30 B) 45 C) 53 D) 60 E) 90

69. En un plano H se dibuja el cuadrado ABCD luego por los vértices A y C se trazan las perpendiculares al plano H. Si AE = CG = AB, entonces la medida del ángulo que determinan las rectas EC y DG es A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

70. L1 y L2 son dos rectas cruzadas y AB es el segmento perpendicular común entre dichas rectas (A en L1 y B en L2), se ubica el punto H en L1 y E en

L2 tal que HE = 2BE. Si AE y L2 determinan un ángulo que mide 45, entonces la medida del ángulo entre

AB y HE es A) 30 B) 45 C) 60 D) 90 E) 120

71. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si una recta L es paralela a una

recta L1 contenida en un plano P entonces la recta L es paralela a infinitas rectas del plano P.

II. Si una recta L es paralela a una recta L1 contenida en un plano P, entonces la recta L no es paralela a infinitas rectas del plano P.

III. Por un punto P cualquiera del espacio que no pertenece a dos rectas cruzadas L1 y L2 siempre se traza un plano paralelo a las rectas L1 y L2.

A) VVF FFF B) FFF C) FVF D) VVV E) VFF

72. Dado el arco AB de una circunferencia de centro O, por el

punto A se traza AP perpendicular al plano que contiene a la circunferencia

tal que mAB 2 m APB . Si AP

entonces la distancia del punto O al

punto medio de PB es

A) 2

B) 2

2 C)

3

2

D) E) 2

73. Por el incentro I de un triángulo ABC

se traza IF perpendicular al plano que contiene al triángulo tal que

IF 3 dm .Si AB 13 dm , BC 15 dm

y AC 14 dm , entonces la distancia

del punto F a AC (en dm) es A) 3 B) 4 C) 5

D) 3 5 E) 4 3

74. En un triangulo ABC recto en B.

AB 6 u , BC 8 u .Se traza AD

perpendicular al plano que contiene al triángulo ABC; luego se ubica T punto

medio de BC .Si AD 2 5u , entonces

la medida del ángulo entre AB y DT es A) 30 B) 36 C) 45 D) 53 E) 60

75. Un cuadrado ABCD de centro O y una

circunferencia de diámetro BC se encuentran situados en dos planos perpendiculares, se traza la cuerda

PQ en la semicircunferencia tal que PQ b . Si AB a entonces el área

de la región triangular POQ es

A) 2 2

2 2

a b

a b B) 2 2b

a b2

C) 2 2b2a b

4 D) 2 2b

a b2



E) 2 2ba 2b

4

76. Una lámina rómbica ABCD se dobla

alrededor de AC de modo que ABC y ACD están en planos perpendiculares. Si m BAD 60

, AB a y M es punto medio de AB

entonces la distancia de M a CD es

A) a 31

8 B)

a 31

4 C)

a 15

2

D) a 15

4 E)

a 3

4

77. B es un punto de una circunferencia C

de diámetro AC esté contenida en un

plano, AP es perpendicular al plano. Si AP 4u , BC 3u y AC 5u ,

entonces el área (en u2) de la región triangular PBC es

A) 6 3 B) 4 3 C) 5 3

D) 8 3 E) 9 3

78. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Si una recta es perpendicular a un

plano, entonces todo plano que contiene a la recta es perpendicular al plano dado.

II. Si dos planos son perpendiculares, entonces toda recta contenida en uno de ellos y perpendicular a su intersección, es perpendicular al otro plano.

III. Si dos planos son perpendiculares, entonces toda recta perpendicular a uno de ellos en cualquier punto de su intersección, estará contenida en el otro plano.

IV. Si dos planos son perpendiculares, entonces una recta perpendicular a uno de ella trazada por un punto cualquiera

del otro, estará contenida en este último.

A) VVVF B) VFVF C) VFFV D) FFFF E) VVVV

79. En un triángulo equilátero ABC se traza el cuadrado BCFE perpendicular al plano ABC. Halle la medida del

ángulo que determinan BF con AB .

A) 2

arc cos8

B) 2

arc cos4

C) 2

arc cos5

D) 2

arc cos2

E) 2

arc cos6

80. Determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Por una recta secante al plano, se

traza un plano perpendicular al plano dado.

II. Si dos planos son secantes, por un punto exterior a dichos planos se traza un plano perpendicular a dichos planos.

III. Si una recta es perpendicular a un plano dado, todo plano que contiene a la recta dada es perpendicular al plano dado.

A) VVV B) FFV C) FVV D) VVF E) FVF

81. ABCD y AEFB están contenidos en planos perpendiculares tal que ABCD es un cuadrado de centro O y AEFB es un rectángulo. M es un punto de

EF tal que EM = 4u .Si la longitud de lado del cuadrado es igual a 6u y

EA 4u , entonces MO (en u ) es

A) 2 14 B) 14 C) 15

D) 2 15 E) 17



82. A es un punto exterior al plano que contiene a una región triangular equilátera BCD tal que AB AC AD BC . Entonces la

medida del ángulo que determina AD respecto al plano que contiene a BCD es

A) 1 3cos

3

B) 1 1cos

3

C) 1 1cos

4

D) 1 1cos

6

E) 1 5cos

6

83. La proyección del segmento AB sobre

un plano P determina con el rayo AC contenido en P un ángulo cuya medida es 30. Si el ángulo que determina la recta AB con el plano P mide 30, entonces m BAC es

A) 1

arc tg5

B) 45

C) 60 D) 7

arc tg3

E) 2

arc tg3

84. En el plano H, está contenido el

triángulo isósceles AOB recto en el

vértice O. Se traza BP perpendicular al plano H, tal que BP = AO = 6 cm. Si

M es punto medio de OA , entonces la longitud (en cm) de la perpendicular

común entre las rectas cruzadas MP

y AB es A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

85. En un plano P esta contenido el triángulo equilátero ABC. Por el

vértice A se traza AF perpendicular al plano P. Sí AF 2AB 2 ; entonces

la longitud de la distancia entre AB y

FC es

A) 3

5717

B) 2 57

17

C) 2 57

19 D)

3 57

19

E) 51

13

86. En un hexaedro regular ABCD –

EFGH, se ubica el punto T en FH tal que FH 8TH . Si AB a , entonces la

distancia entre CT y EB es

A) a 5

4 B)

a 2

3 C)

a 3

3

D) a 7

2 E)

a 11

5

87. En la figura ABCD, EFGH y PQR son

planos paralelos KB = 2u, BF = 4u, FQ = 2u, PQ = 6u y QR = 8u. El plano KPR intercepta los cuadrados ABCD y EFGH de 8 cm de lado cada uno, en los puntos L y M al primero, y al segundo en N y O. Entonces LM + NO (en u) es

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

A

B

F

D

K

H

E

G

R P

Q



88. Un segmento AB se proyecta sobre un plano P y sobre una perpendicular al plano P. Obteniéndose dos segmentos cuyas longitudes son 9 y 12 unidades. Entonces la longitud en unidades de AB es A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) Faltan datos

89. Se tiene un rectángulo ABCD tal que

AB 6u y BC 3u se construye el

triángulo equilátero PAB que forma un ángulo diedro de 45 con el plano del rectángulo. Entonces la distancia ( en u) entre P y C es

A) 6 B) 2 6 C) 3 6

D) 4 6 E) 5 6

90. ABCD–EFGH es un hexaedro regular

cuya arista mide a. Calcule la medida del ángulo diedro B–ED–H

A) 1

arc cos2

B) 1

arc cos3

C) 1

arc cos4

D) 1

arc cos5

E) 1

arc cos6

4to_Seminario Geometría PRE 2013-2

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