UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES MATEMÁTICAS Y MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE FÍSICA SEGUNDO SEMESTRE 2009

FÍSICA MECÁNICA FIS - 610

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 1

VECTORES 1.- Si el modulo de un vector A es 60 y forma un angulo de 30◦ con la direccion positiva del eje X, determine sus componentes cartesianas. Rpta. Ax = 52 , Ay = 30

2.- Dos vectores A y B forman un ángu lo de 110◦ entre ellos. Sea C = A + B . Si angulo entre A y C es de 40◦ y |A | = 20, entonces determine |B | y |C | Rpta. |B |= 13,7 y |C |= 20

3.- Considere dos vectores A y B , que forman un angulo recto entre ellos. Ademas |A |= 3 y |B |= 4. Si C = A + B , entonces calcule |C | y el angulo entre A y C . Rpta. |C |= 5 y angulo= 53◦

4.- Considere dos vectores A y B , tal que |A |= 10 y |B |= 8. Sea C = A + B . Si el angulo entre A y C es 50◦, entonces calcule |C | y el angulo entre A y B . Rpta. |C |= 8,67 y angulo= 123,5◦

5.- Considere dos vectores arbitrarios A

y B . Sean C

= A + B

y D

= A − B . Demuestre

que si |C | = |D |, entonces A y B son perpendiculares.

6.- Considere dos vectores arbitrarios A y B . Sean C = A + B y D = A − B . Demuestre que si C y D son perpendiculares, entonces |A | = |B |.

7.- Dados los vectores A = 3x + 4y − 5z y B = −x + y − 2z. Calcule los vectores A + B y A − B , ademas calcule |A |, |B |, |A + B |, |A − B | y el angulo entre A y B .

8.- Dado el vector r = −4x + 8y + z, calcule el angulo que forma con el eje X (θx ), con el eje Y (θy ) y con el eje Z (θz ). Rpta. θx = 116, 4◦, θy = 27, 3◦ y θz = 83, 6◦

9.- Dado los vectores A = 2i − 6j − 3k y B sea perpendicular a ambos.

Rpta. r = (3i − 2j + 6k) / 7

= 4i + 3j − k, encontrar un vector (unitario) que

1

10.- Dados los vectores A , B

y C

arbitrarios, demuestre que A · ( B + C ) = A · B + A · C

11.- Dado los vectores A = 5i − 2j + 4k y B A + C = B

= 3i + j − 2k, encontrar el vector C , tal que

Rpta. C = −2i + 3j − 6k 12.- Considere dos vectores A y B . Sea C = A + B . Si el angulo entre A y C = 25◦, el angulo entre B y C = 50◦ y |C |= 30, entonces calcule |A | y |B | Rpta. |A |= 23,8 y |B |= 13,3

13.- Un muchacho corre 3 cuadras hacia el norte, 4 cuadras hacia el noreste y 5 cuadras hacia el oeste. Determine la longitud y dirección del vector que va desde el punto de partida hasta la posicion final.

14.- Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.5 m , 30 ◦) y (3.8 m , 120◦). Determine las coordenadas cartesianas de estos puntos y la distancia entre ellos.

15.- Dado los vectores A = 5i + 2j + 3k y B A + 3B − 2C = 0

= −3i + 4j − 5k, encontrar el vector C , tal que

Rpta. C = −2i + 7j − 6k 16.- Considere los vectores 21 , FF y 3F que se muestran en la figura, donde el módulo de F1= 10 m y el módulo de F3 = 8 m. a) Exprese cada uno de los vectores en componentes cartesianas b) Determine el vector resultante

21 3RF F F F= + +

c) Encuentre un vector 4F , tal que 2 41 3 0F F F F+ + + =

d) Determine el producto escalar (producto punto) entre los vectores 2 3 F y F Sol.: a) jiF ˆ66,7ˆ427,61 += ; jiF ˆ5ˆ62 +−= ; jiF ˆ928,6ˆ43 −−=

b) jiFFFF Rˆ732,5ˆ573,3321 +−==++

c) RFF −=4 => jiF ˆ732,5ˆ573,34 −=

d) 64,1032 −=⋅ FF

17.- Considere los vectores 21 , FF y 3F que se muestran en la figura, donde el módulo de F1= 420 m, el módulo de F2 = 150 m y el módulo de F3 = 500 m. a) Determine el vector resultante 321 FFFFR ++=

b) Determine el módulo de RF y el ángulo que forma con el eje X.

c) Determine el ángulo formado entre los vectores RF y 1F Sol.: a) jiFR

ˆ2,865ˆ1,194 +−= ; b) =RF 886,71; θ = 102,64º ; c) º64,376564,102 =−=ϕ 2

30°

F1 = 10 m

50° - 6

5

X

Y

F3 = 8 m

F2

1F

65°

X

Y

3F

42º

2F

18.- Considere los dos vectores A y B que se muestran en la figura, donde el módulo de A = 6 m. a) Encuentre un vector C tal que CBA += b) Determine el módulo de C y el ángulo que forma con el eje X. c) Determine el ángulo formado entre los vectores B y C Sol.: a) jiBAC ˆ438,2ˆ536,7 +=−= ; b) 92,7=C y º9,17=θ

c) Angulo entre B y eje X = 149,04 => ángulo entre B y C =149,04 – 17,9 = 131,136º

19.- Considere los vectores jiF ˆ5ˆ81 +−= y jiF ˆ2ˆ42 −= . Calcule

a) El módulo de 1F ; b) El módulo de 2F ; c) El módulo de 3F , tal que 03 321 =+− FFF

Sol: a) 43,91 =F ; b) 47,42 =F ; c) 63,43 =F 20.- Un conductor de un automóvil maneja 3 km hacia el Norte, 2 km hacia el noreste (45º al Este del Norte), 4 km al Oeste y, finalmente, 3 km al sureste (45º al Este del Sur). Determine la posición final, tomando como origen su punto inicial. Sol.: ( )jir ˆ29,2ˆ464,0 +−= (km) 21.- Un avión viaja en dirección Este con una rapidez de 500 km/h. Si el viento sopla en dirección sur con una rapidez de 90 km/h. ¿Cuál es la dirección y rapidez relativa del avión respecto al suelo? Sol.: 508 km/h a 10° dirección sureste. 22.- Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O (-1,2,0) y de extremo P (3,-1, 2). Calcular: a) Componentes del vector OP b) Módulo y cosenos directores c) Un vector unitario en la dirección de él pero de sentido contrario.

Sol.: 4 3 2Sol.: a) 29; c) 29 29 29

n i j k= − + −

X

YA

65°

B3

- 5

S

N

EO

NE

SE

NO

SO