4 - Introducción a la Geoestadística Minera

8/13/2019 4 - Introduccin a la Geoestadstica Minera

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Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERA

Ing. ROBERTO BRUNO - [email protected]

Consu ltor INTERCADE

Junio 2008


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INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERA

INTRODUCCION A LA

GEOESTADISTICA MINERA

De la Variable Regionalizada a la Funcin

Aleatoria

La variabilidad espacial. Variables aleatorias.

Funciones Aleatorias.


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El enfoque probabilistaLa VR es considerada la realizacin de una Funcin

Aleatoria (FA)

Una FA Z(x)es un conjunto de VA Z(x1), Z(x2), ..., siendodefinida por la ley multivariable

Cada VA tiene una propia distribucin (marginal), FZ1,FZ2, , as como correlaciones entre ellas.

INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA

MINERADe la VR a la FA: Funciones Aleatorias



]z)Z(x,,z)Z(x,z)prob[Z(x)z,,z,(zFkk2211k21Z,,Z,Z k21


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El Abordaje Probabilista

La interpretacin probabilista de las VR no corresponde a algunarealidad fsica.

Sirve porque sin herramienta probabilista (quiere decir utilizando

solamente modelos empricos o determinsticos) no se pueden

resolver los problemas tpicos de los georecursos.

Pero son necesarios los modelos, que tiene que seridentificados por los datos.






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Qu Modelos?

Tericamente el modelo completo es la ley espacial FZ(x)(z), perono es estimable por una suena realizacin, de ms conocida slo enpocos puntos.

Es necesario simplificar el modelo con hiptesis compatibles,

considerado que lo modelo tiene que ser:

estimable - en sus parmetros.

operacional - en los clculos de las soluciones.

significativo - en la variabilidad espacial de la VR.






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MINERA

De la VR a la FA: Funciones Aleatorias


MINERA


Los modelos tiles

Conforme el problema

Para estimaciones lineal (la mayora) slo necesitan

los primeros dos momentos.

m(x)=E[Z(x)] s x1x2=E[Z(x1),Z(x2)]-m(x1)m(x2)

Para simulaciones y estimaciones no lineal es necesario la

ley de dos variables de los pares Z(xi), Z(xj)

F(Zi,Zj) =Prob{Z(xi)zi;Z(xj)zj}


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Los modelos de baseEl problema metodolgico: elegir y caracterizar el modelo apartir de una realizacin nica muestreada.

Consideracin: los problemas son locales; as lasestimaciones interesan slo una vecindad.

Cuando las estimaciones interesan todo el campo, la misma

vecindad se desplaza por el campo: es la vecindad mvil.

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MINERA



MINERA


El modelo estacionarioEl modelo estacionario

El modelo de FA ms favorable es la FA Estacionaria (FAEs),tericamente definida como invariante para cualquier traslacin

h.

FZ(x1),Z(x2),,Z(xk)(z1, z2, , zk) = FZ(x1+h),Z(x2+h),,Z(xk+h)(z1, z2, , zk).

En la mayora de los casos las caractersticas de las vecindades

muebles son las mismas: cada vecindad puede ser considerada

una realizacin de la FA modelo.

La estacionariedad es fundamental para la estimacin de los

parmetros de la FA por una nica realizacin.

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MINERA



MINERA


Los momentosLos momentos tiles: media y varianzatiles: media y varianza

No necesitamos en practica de toda la ley, pero s de los

primeros dos momentos.

Momento primero (media).

E[Z(x)] = m(x)

Momento segn (covarianza espacial).Cov{ Z(x),Z(x+h) } = E{ [Z(x)-m(x+h)] [Z(x)-m(x+h)] } =

= E{ Z(x)Z(x+h)} - m(x)m(x+h) = C(x,h)

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Los momentos tiles: el variogramaSe trata de la funcin ms utilizada en Geoestadstica

Incremento entre dos variables alejadas de h

Z(x+h) - Z(x)

Variograma: semivariancia del incremento:

(x,h) = 1/2 Var{ Z(x) - Z(x+h) } == E{ [Z(x)-Z(x+h)]2[m(x)-m(x+h)]2

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MINERADe la VR a la FAES: Funciones Aleatorias



Los momentos de una FAEs

Cada VA tiene misma ley y:

Meda y covarianza espacial son independiente dex:

Si la C(h) existir:

llamada varianza a priori

( )[ ] ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )hChxChxZxZCov

mxmxZE

==+

==

,,

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }xZVarCxZxZCov ==+ 00,

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MINERADe la VR a la FAES: Funciones AleatoriasDe la VR a la FAES: Funciones Aleatorias

La funcin covariancia de una FAEs


MINERA

Mide la correlacin, el grado de semejanza entre dos VA (de la FA)

alejadas de h.

Al crecer de h, la correlacin

diminu, hasta anularse.

La distancia a la que C(h)=0,

llamase alcance

(range, porte)

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ElEl

variogramavariograma

de unade una

FAEsFAEs

Desaparece el punto de x

La meda del incremento es nula:

El variograma solo depende de h

Mide la disigualdad entre dos VA (de la FA) alejadas de h.

( ) ( )[ ] 0==+ mmhxZxZE

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )hhxZxZEhxhxZxZVar =+==+2,

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MINERADe la VR a la FA: Funciones AleatoriasDe la VR a la FA: Funciones Aleatorias

Variograma y covarianza:


MINERA

Representan dos caras (momentos segundos) de la

misma medalla (la FA)

g(h)ser siempre limitado por la

varianza a priori C(0)

El valor mx. constante

llamase meseta

(sill, palier)

( ) ( ) ( )hCCh = 0

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El modelo no estacionarioEl modelo no estacionario

Por regla general la FA no es estacionaria, tampoco de la

segunda orden:

E[Z(x)] = m(x) Trend, deriva;

E{ Z(x)Z(x+h)} - m(x)m(x+h) = C(x,h)E{ [Z(x)-Z(x+h)]2 - m(x)m(x+h) = (x,h)

No es posible la inferencia de los dos momentos a partir

de la nica VR.

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Las flotaciones estacionaras

Las flotaciones alrededor de la meda:

Si las flotaciones fuere estacionaras, es posible,tericamente calcular las covarianzas de la FA, pero

conociendo la funcin meda verdadera m(x)

Cov{ Z(x),Z(x+h) } = E{ [Z(x)-m(x+h)] [Z(x)-m(x+h)] } =

= E{ Y(x)Y(x+h)} = C(h)1/2Var{ Z(x)-Z(x+h) } = 1/2Var{ Y(x)-Y(x+h) } = (h)

( ) ( ) ( )xmxZxY =

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Las flotaciones estacionaras

La deriva no es conocida, pero puede ser estimada:

m*(x) - m(x) = e(x)

As, tambin las flotaciones pueden ser estimadas (residuos).

Y*(x) = Z(x) m*(x)

La covarianza y los variogramas obtenidos son sesgados:

CY*(h) C(h) y*(h) (h)Si el error fuere pequeo en comparacin la m(x), laaproximacin es posible.

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MINERA



MINERA


El modelo intrnseco de orden k

Una FA es intrnseca de orden ksi existe una

combinacin lineal que filtre cualquier polinomio de

grado menor o igual a k.

En practica es suficiente conocer la forma de la deriva

m(x), ej. polinomial, para poder construircombinaciones lineal autorizadas al grado k, kZ

m(x)= a0+a1x++akxk = l=0,kalxl aldesconocidos xl = 0 l k

kZ = Z(x)

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A covarianzaA covarianza generalizadageneralizada

Una vez identificados los coeficientes de la combinacin

lineal autorizada, la varianza del incremento de grado kes

una combinacin lineal de una funcin de auto correlacinespacial llamada Covariancia Generalizada, K(h)

E[kZ] = 0Var{ kZ } = E[ (kZ)2] = K(h)

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Cul modelo de FA no estacionara?

El modelo correcto es el de la FAI-k, porque es posible

conocer la funcin de variabilidad espacial no sesgada.

Es posible trabajar con deriva y residuos cuando la

aproximacin del variograma de los residuos al variograma de

las flotaciones fuera satisfactoria.

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