INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA

M.Sc. Samuel Canchaya Moya

CONSULTOR canmoysa@ec-red.com

I N D I C E

Introduccin El concepto de autocorrelacin Introduccin al anlisis variogrfico geoestadstico La varianza de estimacin o extensin Introduccin al krigeage El concepto de Anisotropa Bibliografa. INTRODUCCION Ya se han cumplido ms de cuatro dcadas del nacimiento de la Geoestadstica Matheroniana (MATHERON 1962a, 1963); por lo que estos mtodos, basados en la Teora de la Variables Regionalizadas, estn lo suficiente difundidos en la actualidad. Es por este motivo que la mayor parte de paquetes importantes de software que se aplican a la minera, presentan mdulos de evaluacin por krigeage, que es el mtodo de estimacin geoestadstico (MATHERON 1962b; DAVID 1976; DELFINER & DELHOMME 1973) superior a cualquier otro por sus caractersticas de no sesgo y mnimo error. Sin embargo en la actualidad todava se realizan evaluaciones con mtodos tradicionales. Las principales razones son: la simplicidad y rpida aplicacin de estos ltimos, en comparacin con el mayor grado de dificultad que implica la evaluacin por krigeage; adems de la necesidad de tener un mnimo conocimiento especializado para aplicar el mtodo geoestadstico. En algunos pases, entre ellos Estados Unidos de Norteamrica, se entiende por Geoestadstica a cualquier aplicacin de la estadstica en Geologa y ramas afines, como Minera y Petrleo; en este trabajo estamos considerando como tal slo a la Geoestadstica Matheroniana, cuya principal herramienta es el Variograma. Con el tiempo es posible que la estimacin de reservas por mtodos tradicionales se circunscriba slo a una necesidad acadmica, histrica o a ciertos casos donde se sepa de una regionalizacin completamente aleatoria, cosa muy rara en la naturaleza. En una encuesta estadstica realizada por CHAMPIGNY & ARMSTRONG (1993), involucrando a las 19 empresas de oro mas representativas del mundo, antes de la ltima dcada del presente siglo slo el 11% de ellas no est utilizando la geoestadstica para la estimacin de reservas. Aquellas personas que slo aplican mtodos estadsticos tradicionales (univariables y multivariables) en el anlisis de variables regionalizadas (geo-referenciadas en el tiempo o el espacio) tienen y van a tener una serie de problemas, la mayor parte de los cuales a veces no pueden explicar. La principal restriccin de los mtodos estadsticos tradicionales es la abstraccin que hacen de la ubicacin de las muestras en el tiempo o el espacio. El objetivo principal es utilizar los conceptos y parmetros de la caracterizacin variogrfica geoestadstica para minimizar las limitaciones intrnsecas de los mtodos tradicionales. Esto no es difcil de realizar ya que en la actualidad, prcticamente todos los paquetes medianos y grandes de software aplicados a geologa, minera y metalurgia tienen en sus mdulos de estimacin de reservas alguna forma de hacer anlisis variogrfico geoestadstico.

AUTOCORRELACION

Las denominadas variables regionalizadas son aquellas cuyos valores (realizaciones) estn relacionados con ubicaciones precisas en el tiempo o espacio (variables geo-referenciadas).

Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h), separados una distancia h, estn relacionados entre s (autocorrelacin), es decir que sus valores sean dependientes el uno del otro; esto debido a que casi siempre toda variable tiene un patrn de distribucin (o estructura, como se le llama en geoestadstica), ya que nada es al azar en la naturaleza. Tambin sabemos que debido a la complejidad de los procesos geolgicos no habr patrones de distribucin idnticos. Lo mismo ocurre con la mayor parte de variables involucradas en procesos de beneficio de minerales (Mineralurgia). La estadstica clsica no puede reconocer dichas estructuras ya que sus parmetros y funciones no toman en cuenta la ubicacin de los datos. Por ejemplo, la altura media de los alumnos de un saln no se modificar as stos se cambien de asiento una y otra vez.

Para explicar esto nos referiremos a la fig. 1, en la cual hacia el borde izquierdo se est representando dos tramos (puede ser de galera, taladro, etc.) con las leyes que se han analizado cada cierta distancia. Salta a la vista que los valores del tramo A tienen un patrn de distribucin o estructura (los valores aumentan hacia el centro y disminuyen hacia los flancos); mientras que en el tramo B tenemos una distribucin al azar. Ntese que en ambos casos estamos usando los mismos dgitos, por lo que no sorprende que la media m la varianza 2 y el histograma en los dos tramos sean los mismos; mas no as la funcin variograma (h) que en el tramo A muestra una clara dependencia con respecto a h, que es la separacin entre las muestras; mientras que en el tramo B dicha funcin es independiente de h, lo cual es tpico de distribuciones al azar, prcticamente inexistentes en la naturaleza; ya que por lo general, las variables cuantificables o semicuantificables, relacionadas con los yacimientos, se originan por determinados procesos que les imprimen un patrn caracterstico, es decir todo lo contrario a una distribucin al azar. INTRODUCCION AL ANALISIS VARIOGRAFICO GEOESTADISTICO El variograma es una de las herramientas ms poderosas que tiene la geoestadstica. Vamos a definirla tomando el caso de un depsito D, el cual consiste de una infinidad de puntos xi, cada uno de ellos con un valor determinado de la variable Z(xi) que nos interesa estudiar (puede ser ley de Au, contenido de As, intensidad de una alteracin, peso especfico, dureza, porosidad etc.). Estas entidades son denominadas variables regionalizadas porque sus valores corresponden a ubicaciones precisas en el tiempo o espacio. Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h), separados una distancia h, estn relacionados entre s (autocorrelacin), es decir que sus valores sean dependientes el uno del otro; esto debido a que casi siempre toda variable tiene un patrn de distribucin (o estructura, como se le llama en geoestadstica), ya que nada es al azar

en la naturaleza. Tambin sabemos que debido a la complejidad de los procesos geolgicos no habrn patrones de distribucin idnticos.

La estadstica clsica no puede reconocer dichas estructuras ya que sus parmetros y funciones que no toman en cuenta la ubicacin de los datos. Por ejemplo, la altura media de los alumnos de un saln no se modificar as stos se cambien de asiento una y otra vez. Para explicar esto nos referiremos a la fig. 2, en la cual hacia el borde izquierdo se est representando dos tramos (puede ser de galera, taladros, etc.) con las leyes que se han analizado cada cierta distancia. Salta a la vista que los valores del tramo A tienen un patrn de distribucin o estructura (los valores aumentan hacia el centro y disminuyen a los flancos); mientras que en el tramo B tenemos una distribucin al azar. Ntese que en ambos casos estamos usando los mismos dgitos, por lo que no sorprende que la media m la varianza 2 y el histograma en los dos tramos sean los mismos; mas no as la funcin variograma (h) que en el tramo A muestra una clara dependencia con respecto a h, que es la separacin entre las muestras; mientras que en el tramo B dicha funcin es independiente de h, lo cual es tpico de distribuciones al azar, prcticamente inexistentes en la naturaleza.

El variograma puede ser estimado a partir de datos experimentales (por ejemplo las leyes provenientes de una campaa de muestreo) empleando la frmula general : donde: Z : es la variable estudiada

Z(x) : es el valor de dicha variable en el punto x Z(x+h) : es el valor de la variable en el punto (x+h) h : es el paso entre las muestras (distancias iterativas) n : nmero de pares de valores 2 (h) : valor de la funcin variograma para un valor h. (h) : valor de la funcin semivariograma (denominada usualmente variograma)

Todos los paquetes de software aplicados a minera utilizan esta frmula para el clculo de los variogramas experimentales; las respectivas facilidades grficas nos mostrarn variogramas con apariencia similar a la que se a idealizado en la fig. 3, que nos servir para explicar los principales parmetros de la funcin variograma. Dentro de la distancia a (alcance), la variable es totalmente estructurada, es decir depende, o est controlada, por la funcin (h). Mas all de a la variable es aleatoria, o sea independiente de la funcin variograma: la curva se

n-h Z (x i + h) - Z(x i) 2 i = 1

2 (h) = ( n - h )

( 1 )

transforma en una meseta (C+Co) cuyo valor tericamente debe coincidir con la varianza estadstica de todos los datos involucrados en el clculo del variograma, lo cual no siempre es el caso.

Para h = 0 la funcin variograma debera dar cero y pasar por el origen; sin embargo la funcin a veces presenta una discontinuidad al origen simbolizada como Co (efecto pepita), que nos da cuenta de cambio bruscos de los valores a pequea escala, lo cual generalmente sucede cuando se sobrepasa subestructuras por debajo de la escala de trabajo. Este valor tambin puede aparecer debido a errores sistemticos: en el muestreo o durante el proceso de anlisis qumico. En la fig. 3 se muestra algunos ejemplos de variogramas experimentales (sucesin de puntos), debidamente ajustados a variogramas tericos (curvas continuas), algunos de los mas importantes se muestran en la fig. 4. Al ajustar un variograma experimental a uno terico, se debe determinar los parmetros mencionados en los prrafos anteriores. Tales parmetros y la forma misma del variograma ajustado nos sern de ayuda para optimizar los principales mtodos de estimacin de reservas. Los variogramas experimentales se pueden calcular a partir de una sucesin lineal de puntos, como por ejemplo a lo largo de un taladro de perforacin (variograma monodimensional); tambin se pueden calcular a partir de un conjunto de datos ubicados en

un mismo plano (variograma bidimensional), como por ejemplo una veta, un manto angosto, un banco o una seccin cualquiera. En la actualidad existen programas que permiten el clculo de variogramas a partir de una distribucin tridimensional (variograma 3D), lo que antes slo se poda realizar subdividiendo en cuerpo tridimensional en tajadas (bancos o secciones). Los detalles de clculo de los variogramas experimentales escapan al sentido del presente trabajo. Se puede calcular el variograma de prcticamente cualquier variable; lo nico que necesitamos es un conjunto de datos experimentales con su ubicacin en el tiempo o el espacio. Esto quiere decir que no slo vamos a poder trabajar con leyes, sino que tambin podemos procesar otras variables menos comunes como: peso especfico, porosidad, densidad de fracturamiento, potencia de la estructura, precio del oro, etc. Slo necesitamos una forma de cuantificarlas para luego procesarlas con la frmula (1) de manera similar como se hace con las leyes. En el anlisis variogrfico, la nica restriccin que se debe atender es la hiptesis de estacionariedad, que exige que el variograma se calcule para un dominio con un determinado patrn de distribucin constante. Lo

cual automticamente implica tener en cuenta las discontinuidades geolgicas: fallas, cambios de litologa, alteracin, etc. La solucin mas prctica es circunscribirse a dominios estacionarios, es decir realizar el anlisis variogrfico respetando las discontinuidades geolgicas. Es por eso que la correcta aplicacin de la geoestadstica nos obliga a tener muy en cuenta la informacin geolgica, lo cual en buena cuenta es lograr el tan ansiado equilibrio entre los mtodos determinsticos y probabilsticos; siendo difcil que una aplicacin geoestadstica se haga de espaldas a la informacin geolgica y mineralgica. LA VARIANZA DE ESTIMACION O EXTENSION

Estamos obligados a explicar este concepto, ya que est involucrado en cualquier estimacin de reservas, que no es otra cosa que la extensin del valor de una o mas muestras relativamente puntuales (volumen v), a un volumen mayor V (panel o bloque); extensin que irremediablemente implica un error, que no es otra cosa que la diferencia entre el valor estimado y el valor real. En la estadstica clsica y por ende en todos los mtodos de estimacin de reservas tradicionales, no es posible estimar tal error, ya que primero es necesario conocer el valor real, cosa que es imposible incluso al final de la vida de la mina. Esto es una de las principales diferencias entre los problemas industriales, tcnicos o cientficos puros, donde generalmente es posible conocer el valor real y por ende el error. Para aplicaciones en ciencias naturales y sus derivados (geologa, ingeniera forestal, batimetra, minera, etc.) la geoestadstica tiene una alternativa para determinar este error: la varianza de estimacin , la cual no depende de los valores reales de la informacin v utilizada ya que se expresa en funcin del variograma por la frmula:

donde : (V, v) : designa el valor medio de (h) = (MM) cuando los dos puntos de apoyo M y M del vector h describen independientemente uno del otro, los dos volmenes o conjuntos V y v. (V2) : designa el valor medio de (h) cuando los dos puntos de apoyo M y M del vector h describen, independientemente uno del otro, el volumen V. ( v2) : designa el valor medio de (h) cuando los dos puntos de apoyo M y M del vector h describen, independientemente uno del otro, el volumen v.

= 2 ( V, v ) - ( v 2 ) - ( V2 )

2 E (2)

2 E

5

6

1 5

P4

P* = 4.0 P* =

A

B

D C

4 6+5+4+1

FIG. 6 FIG. 6

Por lo general, en configuraciones sencillas a veces es suficiente con emplear bacos para estimar esta varianza de dispersin y con ese conocimiento tomar decisiones a priori, tan trascendentales que pueden comprometer los resultados de una campaa de exploracin o la decisin de abandonar un proyecto rentable. Por ejemplo en el baco de la fig. 5 se comparan dos configuraciones por tramos, una con las muestras en los extremos y la otra con la muestra en el centro del tramo. Resulta obvio que el error involucrado al estimar (extender) la ley de un tramo desde la ley centrada es mayor que el error que resulta al asignar la ley a partir de puntos de muestreo en los extremos del tramo; esto es vlido para distancias de muestreo mayores que los del alcance del variograma respectivo. Para casos algo mas complicados debemos utilizar la frmula (2), que slo se basa en el variograma y en las caractersticas geomtricas de los paneles, mas no en los valores que puedan tener los taladros. Lo cual nos permite estimar el error a priori: antes de perforar el primer metro! INTRODUCCION AL KRIGEAGE La forma ms simple y ms errnea de calcular valores desconocidos a partir de valores conocidos es el promedio aritmtico simple. Es errneo porque no se tiene consideracin alguna de la posicin relativa de los valores conocidos con respecto al punto, panel o bloque a estimar. Se dio un gran paso histrico cuando se consider necesario ponderar los valores de las muestras que participan en la asignacin de un promedio a un punto, bloque o panel; estos mtodos se clasifican como mtodos de distancias ponderadas.

Los mtodos de ponderacin por el inverso de la n potencia de la distancia (IPD) son los mas difundidos de todos los mtodos tradicionales. Sin embargo, debido a que tambin involucran una serie de suposiciones e imposiciones empricas y arbitrarias, su aplicacin encuentra una serie de problemas, algunos de los cuales se pueden minimizar con ayuda de la informacin que brinda el variograma. Para ello vamos a referirnos a la fig. 6, en la cual tenemos cuatro puntos (A, B, C y D) con sus respectivas leyes (6, 4, 1 y 5). Se trata de estimar el valor desconocido en el punto P. La forma mas simple es sumar los cuatro datos y dividirlos entre cuatro. En este caso a cada valor le estamos asignando arbitrariamente en mismo peso; independiente de su cercana o lejana al punto P.

Intuitivamente sentimos que esto no es correcto, que de alguna manera, las muestras ms cercanas deben influir mas que las lejanas; y que por lo tanto, debe haber una distancia mas all de la cual, dicha influencia debe ser despreciable. Esto ltimo da origen a la denominada rea de influencia, que se suele aplicar en todos los mtodos IPD. En el caso de una configuracin bidimensional, dicha rea de influencia es un crculo; mientras que en el caso de una tridimensional es una esfera. Hay dos problemas que resultan como consecuencia inmediata de esto; por un lado el uso de una figura isomtrica, implica que estamos idealizando al considerar una regionalizacin istropa; por otro lado el radio de dicha rea de influencia es seleccionado en forma completamente arbitraria. Salta a la vista de que manera podemos mejorar la calidad de los mtodos IPD aplicando un rea de influencia a partir del anlisis variogrfico realizado en varias direcciones, convenientemente seleccionadas. En la fig. 7 se muestra paso a paso la estimacin del valor de P usando el mtodo del Inverso del Cuadrado de la Distancia ICD; ntese que se ha aplicado un radio de influencia (R=70); el cual arbitrariamente ha dejado fuera de clculo al valor del punto A. Si hubiramos escogido R=90, el punto A se incluira en los clculos; mientras

que con R=60; slo entraran los puntos B y C. Los resultados obviamente dependern de esta seleccin; lamentablemente el mtodo por si mismo no cuenta con la posibilidad de resolver este problema. Algunos variogramas experimentales como el de la fig. 3A, presentan bajadas sbitas de su meseta, en este caso a la altura de h = 40. Esto es lo que se denomina efecto hoyo y corresponde a subregionalizaciones alternadas, como la alternancia de zonas ricas y pobres. En la mina de donde proviene el ejemplo se tienen clavos aurferos separados unos 40 metros entre si. Estas discontinuidades tambin deberan ser consideradas al momento de la configuracin de los paneles y bloques. Otro aspecto importante es el denominado drift o tendencia que presentan ciertos variogramas despus de alcanzar la meseta. Tal es el caso del variograma de la fig. 3C, en el cual se nota una subida constante de los puntos del variograma, a partir de h = 160. La presencia de drifts es seal de no-estacionariedad, producto de la presencia de tendencias muy marcadas en la distribucin de las variables. De lo nico que hay que tener cuidado en este caso es de no configurar paneles con dimensiones que nos comprometan con este drift; que para el caso de la fig. 3C sera 160 metros. Si tuviramos variogramas con una tendencia mas marcada o dominante, es preferible primero ajustar a los datos una superficie de tendencia (trend surface) y luego trabajar con los residuos; de lo contrario en lugar de realizar la estimacin por krigeage simple, hacerlo por el llamado krigeage universal (MATHERON 1969). A continuacin vamos a presentar, de manera muy simplificada, el mtodo de krigeage. Para una explicacin mas amplia referirse a: DAVID (1976, 1977), JOURNEL & HUIJBREGTS (1978: 303-343) y GUIBAL & TULCANAZA (1974: 16-32). Bsicamente el mtodo de krigeage nos da la posibilidad de asignar un ponderador exacto i a cada valor Zi que participa en la estimacin de un valor desconocido P* (punto, panel o bloque). De manera similar a los mtodos IPD, el valor estimado de P se calcula de ecuaciones lineales de la forma :

P* = i Z i

Cada valor del ponderador i se calcula de un sistema de ecuaciones denominado sistema de Matheron; la forma general de presentar este sistema de ecuaciones es como sigue:

( 3 )

FIG. 7 ESTIMACION POR EL METODO DEL INVERSO DEL CUADRADO DE LA DISTANCIA:

R

P*ICD = 3.67

6

4P

51

A

B

D

C

R = 70 RADIO DE INFLUENCIA

d (1/d) (1/d)2 LeyPA 90 6

PB 20 0.050 0.0025 0.81 4

PC 50 0.020 0.0004 0.13 1

PD 65 0.015 0.0002 0.06 5

0.095 0.0031 1.00

P*ICD = 0.81x4 + 0.13x1 +0.06x5 = 3.67

ifuera de R

i ij = pi -

j =1

Donde :

i, j : 1, 2, 3 .... , n. ij : es el valor promedio del variograma (h) = (MN) cuando M recorre

la muestra n = i y N recorre independientemente la muestra j. pi : es el valor medio del variograma (h) = (MN) cuando M se mueve

sobre el panel P y N se mueve independientemente sobre la muestra i. : es el parmetro de Lagrange.

Lo que se obtiene es un sistema con (n+1) ecuaciones y (n+1) incgnitas (los n ponderadores i y el parmetro de Lagrange ), que se resuelven para encontrar el valor de cada ponderador i , stos son luego reemplazados en la ecuacin ( 3 ) para finalmente encontrar el valor estimado P* de la variable en estudio. Tal sistema de Matheron tiene a su vez la propiedad de otorgar una varianza de estimacin mnima, cuya expresin matemtica general es :

i pj + - pp

la cual representa la medida de la precisin de la estimacin, y que no depende de los valores reales de la informacin utilizada. Volviendo a la fig. 6, vemos como la aplicacin de la ecuacin (4) nos permite configurar un sistema de 5 ecuaciones con 5 incgnitas (entre ellas los i). Para resolver este sistema slo necesitamos calcular por computadora o estimar por bacos los variogramas i y ip, basados en el anlisis variogrfico; para luego reemplazarlos en el sistema de ecuaciones y resolverlo. Procediendo de esta forma se obtuvieron los valores i que se dan en la fig. 8. Ntese que el mayor ponderador es D, que concentra el 55% del peso; mientras que el ms bajo es B, con slo el 10%.

n

j =1n

j =1

n

j =1

( 4 )

( 5 ) 2 k

=

FIG. 8 ESTIMACION POR KRIGEAGE:

6

4

5

1

ANISOTROPIA

P

A

B

D

C

R = 80r = 40

AAA + ABB +ACC + ADD + = APBAA + BBB +BCC + BDD + = BPCAA + CBB +CCC + CDD + = CPDAA + DBB +DCC + DDD + = DP A + B + C + D = 1A = 0.20B = 0.10 P*K = AA + BB + CC + DDC = 0.15 P*K = 3.10D = 0.55ERROR DE ESTIMACION =

2K = iP i + PP -

Estos resultados podran parecer contrarios a lo que nos dicta nuestra intuicin, sobre todo si estamos acostumbrados a los mtodos IPD; puesto que los valores mas lejanos tienen mas peso que los mas cercanos. Lo que pasa es que existe un marcado trend de mineralizacin en direccin NW, por lo que es de esperar una mejor continuidad de los valores en dicha direccin y consecuentemente una mayor variabilidad en la direccin ortogonal. Esta caracterstica del patrn de distribucin se refleja en el peso de los ponderadores. Calculando el valor de PP, y reemplazndolo en la ecuacin (5), junto con los ya conocidos y iP, se calcula la varianza de krigeage k2; que nos permite tener una idea concreta de nuestro error de estimacin; parmetro que no se puede calcular en ninguno de los otros mtodos de estimacin. En la Fig. 9 se muestra cmo los ponderadores adquieren valores diferentes dependiendo de la estructura de cada distribucin, caracterstica que se encuentra reflejada en su respectivo variograma. Se trata de estimar por krigeage la ley media de la porcin entre los puntos S2 y S3. Zi es la ley correspondiente al punto de muestreo i; y i el ponderador respectivo. Estamos empleando una funcin variograma de la forma: (h) = h en la cual le asignamos a diferentes valores (columna de la izquierda de la figura en cuestin).

Vemos que el nico caso en que pueden tener validez los mtodos empricos clsicos, es en el caso A; donde el variograma nos informa que en tal distribucin existe plena independencia entre las leyes, es decir una distribucin al azar (efecto de pepita puro). Los ponderadores en este caso tiene el mismo peso o valor i = 0.25. Slo en algunos yacimientos aluviales de oro se encuentra este tipo de distribuciones; quizs debido a la relativa violencia con que se deposita el material aluvional, de tal forma que la naturaleza no tiene tiempo para imponer un patrn de distribucin, por lo que las partculas de oro se encuentran diseminadas prcticamente al azar. Para = , el variograma corresponde a una distribucin de regularidad media, por lo tanto, los puntos mas cercanos al segmento estimado tendrn mas peso (2 y 3 6 veces mayores que

h

( )hVARIOGRAMA:

EFECTO DE

PEPITA PURO

( )h h= 1 2 3 4Z1 Z2 Z4S1 S2 S3 S4

COMENTARIOS:0.25 0.25 0.25 0.25

0 0.50 0.50 0

0.07 0.43 0.43 0.07

MEJOR ESTIMADOR:

LEY MEDIA

UNICO CASO DE VALIDEZ DE LOS METODOS CLASICOS

REGULARIDAD

MEDIA

VARIOGRAMA

LINEAL

GRAN

REGULARIDAD- 0.03 0.53 0.53 - 0.03

LOS DOS PUNTOS MAS CERCANOS AL

SEGMENTO ESTIMADO TIENEN MAS PESO

NO INTERVIENEN LOS PUNTOS LEJANOS

PROPIEDAD CARACTERSTICA DEL VARIOGRAMA LINEAL

LOS PONDERADORES DE Z1Y Z4 SON NEGATIVOS

DEBIDO A LA EXTREMA CONTINUIDAD DE LA

MINERALIZACION

3/2

1/2

1

0

FIG. 9 ESTIMACION DE LA LEY MEDIA EN EL TRAMO S2 A S3

( )h

( )h

( )h h

h

h

Z3

10 10

1 y 4). Los variogramas de este tipo por lo general se obtienen en yacimientos diseminados tipo prfido, en oro diseminado en rocas volcnicas y en algunas vetas hidrotermales de alcance epitermal. Para = 1, el variograma es lineal; por lo tanto el peso se concentra casi totalmente en los puntos mas cercanos (2 = 3 = 0.5); de tal forma que los puntos mas lejanos prcticamente no intervienen en la estimacin (1 = 4 = 0). Variogramas de este tipo son frecuentes en vetas hidrotermales, meso- a hipotermales. Para = 3/2, el variograma corresponde a una distribucin de gran regularidad, es decir con una continuidad extrema de la mineralizacin, a tal punto que las muestras mas lejanas al segmento estimado tendrn pesos negativos (1 = 4 = - 0.03). Este tipo de variogramas se encuentran en yacimientos estratiformes o de origen sedimentario. Tambin en le caso de mantos de carbn; o cuando se evala la potencia de cuerpos tabulares o el peso especfico en zonas de litologa homognea. EL CONCEPTO DE ANISOTROPIA Raras veces las distribuciones resultan istropas (Fig. 11), lo cual quiere decir que los variogramas en todas sus direcciones son similares. Esto es inusual, ya que casi siempre los procesos geolgicos son direccionales, es decir, por lo general tienen una direccin o componente preferencial, concepto relacionado principalmente al flujo o flujos de mineralizacin.

Para aclarar esto vamos a referirnos a la fig. 10 (simplificada a partir de CANCHAYA & BERNUY 1983), en la cual se muestra varios tramos de muestreo a lo largo de galeras y chimeneas sobre una veta. Como los flujos mineralizantes generalmente son sub-verticales, el patrn de distribucin a lo largo de las chimeneas ser diferente al de las galeras; lo cual quedar expresado en los respectivos variogramas y principalmente en el

alcance a. Para el caso se ha obtenido ah = 10 y av = 20. Por lo tanto tenemos una distribucin anistropa y consecuentemente debemos definir una elipse de influencia, tomando como ejes los valores de ah y av. Cualquier variable est estructurada dentro del alcance a de su respectivo variograma, mas all de l, su comportamiento, por ser al azar, ser impredecible. Por lo tanto para cubicar reservas probadas se configura paneles con dimensiones menores o iguales que 2a, tal como se ha procedido en la Fig. 10. Si quisiramos cubicar ms reservas probadas, deberamos disear subniveles cada 40 metros (dos veces el alcance en av ); mientras que la separacin ideal entre chimeneas deber ser 20 metros (dos veces el alcance en ah ). Estos conceptos se pueden aplicar tambin para dimensionar el reconocimiento con taladros diamantinos desde las labores subterrneas. Hay dos tipos de anisotropa: zonal y geomtrica. Cuando los variogramas en varias direcciones presentan diferentes alcances tenemos anisotropa geomtrica; mientras que cuando presentan diferentes mesetas se trata de anisotropa zonal.

En la figura 12 estamos mostrando otro ejemplo ilustrativo. Se trata de una seccin, perpendicular al rumbo, de un manto tufceo potente que contiene mineralizacin del tipo diseminada, la cual aumenta paulatinamente del techo al piso. Este patrn de distribucin queda claramente expresado en los variogramas direccionales, que se obtuvieron a partir de muestras de este manto, los cuales estn graficados en la mitad inferior de la fig. 12. Tal como era de esperar, los tres variogramas son diferentes, presentando no slo diferentes mesetas (anisotropa zonal) sino adems anisotropa geomtrica (diferentes alcances).

FIG. 11 REGIONALIZACION ISOTROPA

La direccin E-W corresponde a un variograma casi de efecto de pepita puro y con la mas alta varianza; podramos percibir esta irregularidad de la mineralizacin imaginando que recorremos el manto, con un analizador qumico porttil, a lo largo de cualquier lnea horizontal paralela a la direccin E-W indicada. Por el contrario, si recorremos el manto a lo largo de una lnea perpendicular a la hoja (N-S) notaremos una gran continuidad de los valores y una mnima variacin estructural de los mismos; lo cual est plenamente expresado en el variograma respectivo, que muestra la mejor estructuracin y el mayor alcance de los tres mostrados en la fig. 12. Un recorrido similar en direccin vertical, permite comprender porqu el variograma en esa direccin tiene mejor estructura y menos varianza que el de la direccin E-W.

Es una idealizacin muy peligrosa suponer que los patrones de distribucin son istropos, ya que los millares de estudios variogrficos de diferentes tipos de yacimientos, en la bibliografa mundial, nos indican que la mayor parte de los patrones de distribucin son anistropos. El concepto de anisotropa geomtrica tiene relacin directa con el denominado radio de alcance de los mtodos tradicionales; que como ya hemos visto slo se podr usar en regionalizaciones istropas. Es mas apropiado hablar de elipse (para bloques bidimensionales) o elipsoide de alcance (para bloques tridimensionales). Consecuentemente, y salvo en justificadas excepciones, las mallas de perforacin deberan ser rectngulos o paraleleppedos; y no necesariamente cuadrados o cubos, como generalmente se usa.

S. Canchaya/Dic. 2005

BIBLIOGRAFIA

Aqu se est consignando no slo la bibliografa citada en el presente trabajo, sino adems, bibliografa adicional para quien desee profundizar los temas que ms le interesan.

ALFARO, M. & MIGUEZ, F. (1976) Optimal interpolation using transitive methods.- In: GUARASCIO, M. et al. (eds.): Advanced Geostatistics in mining industry; D. Reidel Publ. Co., Holland: 91-99. ALVAREZ, A. & MARBEAU, J. P. & OVIEDO, L. & VERA, F. (1979) Estudio comparativo por geoestadstica de las vetas ms representativas de Casapalca y San Cristbal. - Bol. Soc.geo. Per, 62: 107-123. ARGUELLES, V. & ALVAREZ, A.(1976) Estudio geolgico y geoestadstico de la veta P, Mina Casapalca- Centromin Per.- An. XIII Conv. Ing. Minas, Arequipa; I-13, 11p. BERNUY, O. (1979) Estudio comparativo de evaluacin de reservas por diferentes mtodos.- Bol. Soc. geol. Per, 62: 83-105. BERNUY, O. (1980a) Aplicaciones de la simulacin de yacimientos como ayuda al planeamiento de la exploracin minera.- Bol. Soc. geol. Per, 65: 15-21. BERNUY, O. (1980b) Observaciones geoestadsticas del yacimiento de Antamina.- Bol. Soc. geol. Per, 67: 1-19. BERNUY, O. & JOURNEL, A. (1977) Simulation dune reconnaissance squentielle.- Revue de lIndustrie Minrale, Oct.: 472-478. BERNUY, O. & CASTILLA, F. & GUIBAL, D. (1976) Estudio geoestadstico del Banco 3500-Michiquillay.- Bol. Soc. geol. Per, 53-54: 7-28. BROOKER, P. I. (1975a) Optimal block estimation by kriging.- Proc. Aus. Ind. Min. Metall., 253: 15-19. BROOKER, P. I. (1975b) Avoiding unnecessary drilling. Proc. Aust. Inst. Min. Metall., 253: 21-23. BROOKER, P. I. (1978) Geostatistical Calculations Using True and Estimated Values from a Simulated Deposit.- Proc. Australasian Inst. Min. Metall. 268: 63-69. CANCHAYA, S. (1980) Estudio geolgico econmico de la Mina Bella Unin, Hualgayoc.- Inf. priv. Bella Unin. Minas S.A., 74p. CANCHAYA, S. (1983) Los mtodos computarizados en geologa.- Bol. Soc. geol. Per, 72: 11-28 CANCHAYA, S. (1984a) El mtodo geoestadstico: una presentacin comparativa con los mtodos tradicionales de estimacin de reservas.- Minera.

CANCHAYA, S. (1984b) Geologa econmica de la mina Bella Unin, Cajamarca.- Tesis Ing. Univ. Nac. Ing. (en prep.).

CANCHAYA, S. (1984c) Mtodos geoestadsticos en la Industria Minera.- Minera, 182/183 : 23-43. CANCHAYA, S. & BERNUY, P. (1983) Estudio geoestadstico de las vetas A;y Z de la Mina Bella Unin-Hualgayoc.- Bol. Soc. geol. Per, 72: 29-47. CANDIOTTI, H. (1979) Geology and Quantitative Data Analysis of Quellaveco Porphyry Copper Deposit.- Master-These, Univ. Leicester, England, 18p. CASTILLA, F. & GUIBAL, D. & BERNUY, O. (1975) Estudio estructural geoestadstico del yacimiento Michiquillay.- Bol. Soc. geol. Per, 46: 35-52. CHAMPIGNY, N. & ARMSTRONG, M. (1993) Geostatistics for the Estimation of Gold Deposits.- Mineralium Depos. 28, 279-282

CLARK, I. (1984) Practical Geostatistics.- Elsevier; 129 p. CUEVA, E.(1976) Modelo geoestadstico de evaluacin de reservas para yacimientos reconocidos con malla regular.- An. XIII Conv. Ing. Minas, Arequipa; I-14, 7p. DAVID, M. (1972) Grade-Tonnage Curve: Use and Misuse in Ore Reserve Estimation.- Trans. Inst. Min. Metall., 81: A129-132. DAVID, M. (1976) The Practice of Kriging.- In: GUARASCIO, M. et al. (eds.): Advanced Geostatistics in the Mining Industry; D. Reidel Publ. Co., Holland: 31-48. DAVID, M. (1977) Geostatistical Ore Reserve Estimation.- Elsevier; 364p DAVID, M. & DOWD, L. & KOROKOV, S. (1974) Forecasting Departure from Planning in Open Pit Design and Grade Control.- Proc. 12th. APCOM Symp., Colorado School of Mines: F131-F149 DAVIS, J. C. (1973) Statistics and Data Analysis in Geology.- John Wiley & Sons (New York); 550p DELFINER, P. & DELHOMME, J. P. (1973) Optimun Interpolation by Kriging.- Cent. Morph. Math., Fontainebleau, Report N343, August 1973. DELFINER, P. & DELHOMME, J. P. (1975) Optimum Interpolation by Kriging.- In: DAVIS, J. C. et al. (Ed.) Display and Analysis of Spatial Data; NATO Advanced Study Institute; Wiley : 96-114 DOWD, P. (1971) Applications of Geostatistics.- Internal Report, Zinc Corporation, N.B.H.C., Broken Hill, Australia (citado por JOURNEL & HUIJBREGTS 1978: 256-261). DOWD, P. (1975) Mine planning and ore reserve estimation with the aid of a digigraphic console display.- C.I.M. Bull., Feb. 1975: 39-43. FRANCOIS-BONGARCON, D. & MARECHAL, A. (1976) A new method for open-pit design and parametrization of the final pit contour.- Proccedings of the 14th International APCOM Symposium, Pennsylvania State University, Oct. 1976: 573-583. GEOFFROY, J. DE & WIGNALL, T. K. (1970) Statistical decision in regional exploration: Application of regression and Bayesian classification analysis in the southwest Wisconsin zinc area.- Econ. Geol., 65: 769-777. GUIBAL, D. (1976) Elementos de geoestadstica aplicada, apuntes del Seminario, Cerro Verde-Junio 1976; Lima (Reporte interno-Minero Per), 190p GUIBAL, D. & TULCANAZA, E. (1974) Fundamentos de geoestadstica aplicada.- Apuntes del 1er. Seminario peruano de geoestadstica, Minero Per - U.N.I., Lima, Sec.- Oct. 1974; 47p. GY, P. (1999) Sampling for Analytical Purposes.- John Wiley & Sons; 153 p. HOWARTH, R. J. & LEAKE, B. E. (1980) The role of data processing in the geological sciences.- Sci. Prog. Oxf., 66: 295-329. HUIJBREGTS, Ch. (1976) Selection and grade tonnage relationships.- In: GUARASCIO. M. et al. (eds.): Advanced Geostatistics in mining industry; Reidel, Holland; 113-135. HUIJBREGTS, Ch. & MATHERON, G. (1970) Universal kriging an optimal approach to trend surface analysis.- In Decision-making in the Mineral Industry Cand. Inst. Min. Metall. Special vol. 12: 159-169. JOURNEL, A. (1969) Krigeage Universel et Cartographie automatique.- Paris, Ed.: Service hydrographique de la Marine. JOURNEL, A. (1969) Presentacin general de la Geoestadstica (Minera) - An. XI Conv. Ings Minas, Secc. Geologa: 10-22p.

JOURNEL, A. G. (1973) Grades fluctuations at various scales of a mine output.- Centre de Morphologie Mathmatique, Fontainebleau, Report N348. JOURNEL, A. (1974a) Geostatistics for conditional simulation of ore bodies.- Econ. Geol., 69: 673-687. JOURNEL, A. (1974b) Simulations Conditionnelles.- Thorie et Practique.- These Docteur-Ingenieur, Univ. Nancy, 110p. JOURNEL, A. (1974c) Presentacin general de la geoestadstica (Mineria).- El Ingeniero Gelogo N 16: 37-49; Lima. Tambin en An. XI Conv. Ings. Minas JOURNEL, A. G. (1976) Ore grade distributions and conditional simulations-two geostatistical approaches.- In: GUARASCIO, M. et al. (eds.): Advanced Geostatistics in Mining industry; D. Reidel Publ. Co., Holland: 195-202. JOURNEL, A. G. & HUIJBREGTS, Ch. J. (1978) Mining Geostatistics - Academic press, London 600p. KRIGE, D. G. (1961) Developments in the valuation of gold mining properties from borehole results.- 7th. Commonwealth Min. Metall. Congress, Johannesburg, April; 20p. KRIGE, D. G. (1966) Two dimensional weighted moving average trend surfaces for ore valuation.- Proc. Symp. on math . statist. and computer applications in ore valuation , J. Johannesburg: 13-38. KRUMBEIN, W. C. (1972) The computer in geological perspective.- In: MERRIAM (de.) Computer applications in the earth sciences: 251-272. MARECHAL, A. (1976) Selecting mineable blocks: experimental results observed on a simulated orebody.- In; GUARASCIO, M. et al. (eds.): Advanced Geostatistic in the mining industry; D. Reidel Publ. Co., Holland :137-161. MATHERON, G. (1962a) Trait de Gostatistique Applique, T.1.- Le Krigeage.-Mmoires du B.R.G.M N 14, 333p. MATHERON, G. (1962b) Trait de Gostatistique Applique, T.2.- Le Krigeage.-Mmoires du B.R.G.M N 24, 171p. MATHERON, G. (1963) Principles of Geostatistics .-Econ. Geol. 58: 1246-1266. MATHERON, G. (1965) Les variables rgionaliss et leur estimation.- Masson et Cie, - Paris, 212p. MATHERON, G. (1967) Kriging, or polynomial interpolation procedures?.- Trans Canad. Inst. Min metall., 70:240-244. MATHERON, G. (1969) Le krigeage universel.- Cah. Cent. Morph. Math., Fasc. 1, C.G. Fontainebleau, 82p MATHERON, G. (1971) The Theory of regionalized variables and its Applications.-Les Cahiers du Centre de Morphologie Mathmatique, Fasc. 5, CG, Fontainebleau. MATHERON, G. & FORMERY, P (1963) Recherche doptium dans la reconnaissance et la mise en exp itation des gisements miniers.- Ann. des Mines, Mai : 23-42; June :2-30. MPANDE, M.M. (1981) Spatial variation in Zambian Copperbelt orebodies.-Ph.D. Thesis. MPANDE, M.M. (1982) Geostatistical system of classifying sulphide deposits.- Applied earth science, I.M.M. Transactions, Sect. B, 91 : 845-846. NEIRA, C.(1977) Presentacin de los Principales mtodos de diseo ptimo de pits, I Parte.- Inf. int Dpto. Geoestadstica-Minero Per, 32p. OLEA,R.(1972) Application of regionalized variable theory to automatic contouring.-Spec. Rep. amer. Petroleum Inst., Res. Proj. N131, 191p. PELISSONNIER, H. (1972) Les dimensions de gesiments de cuivre du monde. Essai de metallognie quantitative.-Memoires du B.R.G.M, 57; 405p.,90 fig.,5 coloured maps.

RENDU,J.M. (1971a) Some applications of geostatistics to decision-making in exploration.-Decision Making in the Mineral Industry, Canadian Inst. Min. Metall., Spec. Vol. 12 : 175-184. RENDU,J.M. (1971b) Some applications of geostatistics to decision-making in exploration.-Dr. Ing. These, Columbia Univ., New York, 273p. RENDU,J.M. (1976) Bayesian decision theory applied to mineral exploration and mine valuation.- In: GUARASCIO et al. (eds.) : Advanced Geostatistic in Mining Industry; Reidel, Holland : 435-445. RENDU, J.M. (1981) An introduction to Geostatistical Methods of Mineral Evaluation.- South afric. Inst. Min. Metall.; 84 p. SERRA, J. (1967) Un critre nouveau de dcouverte de structures : le variogramme.- Sciences Terre, 12: 277-299. SWITZER,P. & PARKER, H.M.(1976) The problem of ore versus waste discrimination for individual blocks :the lognormal model.- In : GUARASCIO et al. (eds.) : Advanced Geostatistics in Mining Industry; Reidel, Holland : 203-218. TULCANAZA, E. (1975) Los procedimientos geoestadsticos en el anlisis y estimacin de yacimientos.- CITEM, 1:6-23. TULCANAZA, E. (1976) Una aplicacin geoestadstica en la Mina Casapalca.- Minas, edic. Centenario; CEIGMM-UNI: 36-43.